高考数学第一轮专题复习 第十八讲 两角和与差及二倍角公式测试卷
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题：11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。
锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习3.3两角和、差及二倍角公式(含答案详析)
A 组 基础达标（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 3，6，9一、 选择题（每题5 分，共 25 分）π11.（ 2014 ·荆州模拟）设sin＋θ＝ ，则 sin 2 θ等于（ A ）4371A. －B. －991 7C.D.99分析： sin 2 θ＝－ cosπ π1 2 7＋ 2θ ＝2sin 2＋θ－1 ＝ 2 ×－1＝－ .24392.（ 2013·潍坊模拟）化简 2 ＋cos 2 －sin 21的结果是（ C ）A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 12 ＋cos 2 －sin 21＝1－cos 23 ＋3cos 2分析：2 ＋cos 2 － ＝＝223cos 2 1 ＝ 3cos 1.3.（ 2014 ·北京东城模拟）已知函数f （ x ）＝ cos 2ππ＋x － cos 2－x ，则 44π f等于（ B ）121 1 A.B. － 2233 C.D. －22分析：2π2x ＋ ππ ＝－ π f （x ）＝cos＋ x－sin ＝－sin 2x ，∴sin ＝44f6 121－ .24. 已知 tan1 cos2 α＋sin 2 α＋1α＝ ，则 cos 2α 等于（ A ）2 A.3 B.63 C. 12 D.2cos 2 α＋sin 2 α＋12cos 2α＋ 2sin α· cos α 分析：cos 2α＝＝2＋ 2tan α＝3.cos 2α5. （ 2014 ·淄博模拟已）知△ABC 的三个内角知足： sinA ＝ sinCcosB ，则△ ABC 的形状为（ B ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形分析： 由 sinA ＝sin CcosB ，得 sin （ B ＋C ）＝ sin Ccos B ，于是 sinBcos C ＋cos BsinC ＝sin CcosB ，即 sin Bcos C ＝0 ，∵sin B ≠0 ，∴cos C ＝0，故 C ＝ 90 °，∴△ABC 为直角三角形 .二、 填空题（每题5 分，共 15 分）1＋tan α 16. （ 2013 ·南平模拟）若 ＝ 2 013 ，则 ＋ tan 2 α＝ 21－tan α cos 2 α013.1＋tan 1＋ sin 2 α（cos α＋sin α）2cos α＋ sin α分析：2α＝＝α－sin 2α＝cos 2 αcos 2 αcos 2cos α－ sin α1＋ tan α＝＝2 013.1－ tan α7. （ 2013 ·抚顺模拟）若锐角α，β知足（1＋3tan α）（ 1＋ 3tan β）＝ 4π，则α＋β＝Ｗ.3分析：由（ 1 ＋3tanα）（1＋3tanβ）＝4，tan α＋ tan β可得＝ 3 ，即 tan （α＋β）＝3.1 － tan αtan βπ又α＋β∈（ 0，π），∴α＋β＝.38.已知α，β均为锐角，且 cos （α＋β）＝ sin （α－β），则 tanα＝1Ｗ .分析：依据已知条件得cos αcos β－sinαsinβ＝sin αcos β－cos αsin β，cosβ（cosα－ sinα）＋sinβ（cos α－sin α）＝0，即（ cos β＋sinβ）（cos α－sin α）＝ 0.又α，β为锐角，则 sinβ＋ cosβ>0 ，∴cos α－sin α＝ 0，∴tan α＝1.三、解答题（共10 分）12cos 4x－2cos 2 x＋9 ．（ 2014 ·贵州六校联考）化简：2.πsin 2π2tan －x＋x441－2sin 2xcos 2x ＋2分析：原式＝（4 分）ππ2sin － x cos 2－x44πcos － x41（1－sin 22x ）2＝π（8 分）π2sin－x cos－x441cos 22x2＝πsin－ 2x21＝cos 2x. （10 分）2B 组提优操练（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，9一、选择题（每题 5 分，共 20 分）ππ 3 71.（ 2012 ·山东高考）若θ∈，，sin 2 θ＝，则 sin θ等于（ D ）4283 4A.B.5 5C.D.44π π π分析： ∵θ∈ ， ，∴2θ∈ ， π .4 2 2 ∴cos 2θ＝－11 －sin 22 θ＝－ ，8 ∴sin1－ cos 2 θ 3θ＝2＝ .42. （ 2014 ·厦门模拟已）知 tan π 1 π2sin 2 α＋sin 2 α α＋ ＝ ，且－ < α<0 ，则4 2 2πcos α－4等于（ A ）2 53 5A. －B. －1053 102 5C. －D.510π tan α＋1 1 1分析： 由 tanα＋ 4 ＝ － ＝ ，得 tanα＝－ .1 tan α 23π10又－ < α<0 ，∴sinα＝－.2102sin 2α＋sin 2 α 2sin α（ sin α＋cos α）＝2 2sin 2 5故 ＝ 2α＝－.π5cos α－ 2（sin α＋cos α）43.（ 2013 ·中山模拟）已知角A 为△ ABC 的内角，且 sin32A ＝－ ，则 sin4A － cos A 等于（ A ）7 B. －7A.22C.－D.22分析： ∵A 为△ ABC 的内角且 sin2A ＝2sin3Acos A ＝－ <0 ，4∴sin A>0 ，cos A<0 ，∴sin A －cosA>0.又（sinA － cosA ）2＝ 1 －2sinAcos77 A ＝ . ∴ sin A － cos A ＝.4 2a b ＝ad －bc ，若 cos1sin α sin β 334. 定义运算d α＝ ，＝，c7cos α cos β14π 0< β< α< ，则 β等于（ D ）2π π A.B.12 6π π C.D.43分析： 依题意有 sinαcos β－cos3 3αsin β＝sin （α－β）＝，又140< β< α< π π，∴0< α－ β< ，221 －sin 2（α－ β）＝ 13 1 4 3故 cos （α－ β）＝ ，而 cos α＝ ，∴sin α＝ ，14 77 于是 sinβ＝sin[ α－（α－ β）]＝sin αcos （ α－ β）－cos αsin （α－β）43 13 1 3 3 3π ＝× － × 14 ＝ ，故 β＝ .7 14 7 2 3二、 填空题（每题5 分，共 15 分）5. 若 tanπcos 2 θ 3 Ｗ.－θ＝ 3，则 ＝41＋sin 2 θπ1 －tan θ 1cos 2 θ 分析 ： ∵ tan －θ＝ ＝ 3 ， ∴tanθ＝－. ∴ ＝4 1 ＋tan θ2 1＋sin 2 θ1cos 2θ－sin 2 θ1 － tan 2θ1－4 sin 2θ＋ 2sin θcos θ＋cos2 ＝＝＝3.θ tan 2θ＋ 2tanθ＋11－1＋14·北大附中模拟）在△中，已知π36. （ 2013cos＋A ＝，则cos 2AABC 4 524 Ｗ .的值为25分析： cosππ π 23＋A ＝cos cos A －sin sin A ＝ （cos A － sin A ）＝ ，44 4 25 32＞0.∴cos A － sin A ＝5 ①ππ ∴0＜A ＜ ，∴0＜2A ＜ .4218，∴sin 2A7由①得 1－sin 2A ＝＝ .25 25 ∴cos 2A ＝241－ sin 22A ＝ .253x － π1 1 7. （ 2013·衡水调研） x － πcos ＝－ ，则 cos 4x ＝ Ｗ .sin44 4 23 π 3π 分析： ∵ sinx － π ＝－ cos ＋x － π ＝－ cos x － ，4 2 4 4ππ 1 1＋ cos 2x －∴cos22 1 x － ＝ ，∴ 2＝ .4 44π 11 ∴cos 2x － ＝－ ，即 sin 2x ＝－ .2 221 ∴cos 4x ＝1 －2sin 22x ＝ .2三、 解答题（共 15 分）π8.（7 分）（ 2013 ·玉溪模拟）已知函数f （ x ）＝tan3x ＋ .4（1 ）求 f π的值；93πα ππ （2 ）设 α∈ π，，若 f ＋ ＝ 2 ，求 cos α－ 的值 .2 3 44π ππ π πtan ＋tan 4 3＋ 13 分析： （ 1）f＝tan ＋ ＝ ＝ ＝－2－ 3.（29 3 4 1 －tan ππ1－ 3tan 43分）α π 3π π（2 ）∵f ＋ ＝tan α＋ ＋ ＝tan （α＋π）＝ tan α＝2，3 4 4 4sin α ∴ ＝2 ，即 sin α＝ 2cos α. ①cos α又 sin 2 α＋cos 2 α＝ 1 ， ②1由①②解得 cos 2α＝ .（4分）53 π5 2 5∵α∈ π， ，∴cos α＝－，sinα＝－.2 5 5π＝cosαcos π π∴cos α－ ＋ sin αsin4445 2 2 5 2＝－ × ＋ － 5 ×5 2 2310＝－.（7 分）109. （ 8 分 ）（ 2014 ·蒙 阴 模 拟 ） 已 知 f （ x ） ＝ 1＋1sin 2x －tan xππ2sin x ＋ ·sin x － .4 4（1 ）若 tanα＝2 ，求 f （α）的值；（2 ）若 x ∈ π π ， ，求 f （x ）的取值范围 .12 22）＋ π x ＋ π分析： （ 1 ）f （ x ）＝（ sin x ＋ sin xcosx 2sinx ＋4· cos 41 －cos 2x1π＝2 ＋ sin 2x ＋sin 2x ＋2 2 1 12x －cos 2x ）＋ cos2x ＝ ＋ （sin2 211＝ （sin 2x ＋cos 2x ）＋.（2 分）22∵tan α＝2，∴sin 2 α＝ 2sin αcos α 2tan α 4＝＝ ，sin 2α＋cos 2 α tan 2 α＋1 5 coscos 2 α－sin 2α 1－ tan 2α 32 α＝ ＝ ＝－ .sin 2 α＋ cos 2α 1＋ tan 2α512 α＋cos1 3∴f （ α）＝ （sin 2α）＋ ＝ .（4 分）22 511 2π 1 （2 ）由（ 1）得 f （x ）＝ （sin 2x ＋cos2x ）＋ ＝ sin 2x ＋ ＋ .22 2 4 2 （6 分）由 x ∈ π π5 π π 5 π 12 ， 2 ，得 ≤ 2x ＋ ≤ .12 4 4故－2 2x ＋ π（）≤ 2 ＋ 1≤ sin， 2 4 ≤ 1 ，则0 ≤ f x2 ∴f （ x ）的取值范围是 0 ，2 ＋12.（8 分）。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
， ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例2，22 2 2知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α － β )： cos(α － β )＝ ； C(α ＋ β )： cos(α ＋ β )＝ ； S(α ＋ β)： sin(α ＋β )＝ ； S(α － β )： sin(α － β )＝；T( α＋ β )： tan( α ＋ β )＝ ； T( α－ β )： tan( α － β )＝；例 2 设 cos α－ β＝－ 1 2 9 α 2－ β＝ 2 ，其中 α∈ 3 π 2，π， β∈ 0 π，求 cos(α＋β)． 2 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 变式 2： 已知 0π 3 ππ,cos( )3,sin( 3 π5), 求 sin( α+β ) 的值. S 2 ：sin2α ＝ ； T 2 ：tan2α ＝ ； 4 4 45 413C 2 ：cos2α＝ ＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上 ,要灵活运用公式解决问题 :如公式的正用、逆用和变形用等。
如 T( α± β)可变形为 : tan α± tan β= ； tan αtan β==.考点自测：题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确定角所在的范围； (2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单调 ) ；（ 3） 求出角。
1、已知 tan α ＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α ＋ β) ＝ ()例 3 已知 α， β∈(0， π)，且 tan(α－ β)＝ 1 ， tan β＝－ 1，求 2α－β的值． 7 7C 7 72 7A 、B 、-1111、 D 、-13132、已知 cos α－π＋ sin α＝ 43，则 sin α＋7π的值是 ( ) 6 A ．－ 2 3 5 B.2 3 6 C ．－ 4D.4变式 3： 已知 tan α = 1， tan β = 1，并且 α , β 均为锐角 , 求 α +2β 的值 .5 5 55 733、在△ ABC 中，若 cosA ＝ 4， cosB ＝ 5，则 cosC 的值是 ( ) 5 16 56 A. B. 13 C.16或5616D ．－65 65 65 65 65 题型 4 辅助角公式的应用4、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ． 0B ． ± 3C ． 0 或 3D ． 0 或± 3asin x bcosxa2b 2sin x(其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由2cos55 －° 3sin5 °b 5、三角式 3 cos5 °值为 ( )tan确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、- 713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
2022届高考数学第一轮专题复习第十八讲两角和与差及二倍角公式测试卷
第十八讲两角和与差及二倍角公式一、选择题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．1．已知 co错误 !＋in α＝错误 !错误 !，则 in 错误 !的值是A．－错误 !C．－错误 !分析：∵ co 错误 !＋in α＝错误 !错误 !∴错误 !coα＋错误 !in α＝错误 ! 错误 !，错误 !错误 !＝错误 ! 错误 !，错误 !错误 !＝错误 !错误 ! ，∴ in 错误 ! ＝错误 !，∴in 错误 !＝－ in 错误 !＝－错误 !答案： C2．已知 co错误 !＝错误 ! ，则 co错误 !－ in2 错误 ! 的值是B．－错误!分析：∵ co 错误 !＝ co错误 !＝－ co错误 !＝－错误 !而 in2 错误 !＝ 1－ co2错误 ! ＝ 1－错误 !＝错误 !，因此原式＝－错误 !－错误 !＝－错误 !答案： B3．若 in α＝错误 !，in β＝错误 !，且α、β为锐角，则α＋β 的值为A．－错误 !C．±错误 !分析：解法一：依题意有coα＝错误 !＝错误 ! ，coβ＝错误 !＝错误 ! ，∴coα＋β＝错误 !×错误 !－错误 !×错误 ! ＝错误 !＞ 0∵α，β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝错误 ! 解法二：∵α，β 都是锐角，且 in α＝错误 !＜错误 !， in β＝错误 !＜错误 ! ，∴0＜α，β＜错误 !， 0＜α＋β＜错误 !，∴c oα＝错误 !＝错误 !，coβ＝错误 !＝错误 ! ，in α＋β＝错误 !×错误 !＋错误 ! ×错误 ! ＝错误 !∴α＋β＝错误 !答案： B4．在△ ABC 中，若 coA＝错误 !， coB＝错误 ! ，则 coC 的值是或错误 !D．－错误 !分析：在△ ABC 中， 0＜ A＜π， 0＜B＜π， coA＝错误 ! ＞0， coB＝错误 !＞ 0，得 0＜ A＜错误 !，0＜ B＜错误 !，从而 inA ＝错误 !，inB ＝错误 !，因此 coC＝co[ π－ A＋ B] ＝－ coA＋ B＝i nA ·inB －coA·coB＝错误 !×错误 !－错误 !×错误 !＝错误 !，应选 A答案： A5．若 co2θ＋ coθ＝ 0，则 in2 θ＋ in θ的值等于A．0 B ．±错误!C．0或错误! D ．0或±错误!分析：由co2θ＋ coθ＝ 0 得 2co2θ－ 1＋coθ＝ 0，因此 coθ＝－ 1 或错误 ! 当 coθ＝－ 1 时，有 in θ＝ 0；当 coθ＝错误 !时，有 in θ＝±错误 !于是 in2 θ＋ in θ＝ in θ2coθ＋1＝ 0 或错误 !或－错误!答案： D评析：此题主要考察三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题重点是娴熟掌握公式，并注意不可以出现丢解错误．6．2022·海口质检在△ ABC 中，已知inA － BcoB＋ coA－BinB≥1，则△ ABC 是A．直角三角形 B ．锐角三角形C．钝角三角形 D ．等边三角形分析： inA － BcoB＋ coA－ BinB ＝ in[A － B＋ B] ＝inA ≥1，又inA ≤1，∴ inA ＝ 1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上．的值是 ________．分析：原式＝错误!＝错误 !＝错误 !＝错误 !答案：错误 !8．已知 co错误 !＝错误 ! ，α∈ 错误 !则错误 ! α∈错误 ! ＝ ________分析：∵ 错误 !＝错误 !＝错误 !＝错误 !coα－ in α＝ 2in 错误 !又α∈错误 !，则错误 !－α∈错误 !由 co错误 !＝错误 ! ，则 in 错误 !＝错误 !∴原式＝错误 !答案：错误 !9． 1＋错误 !tan10 °· co40°＝ ________分析： 1＋错误 !tan10 °co40°＝错误 !co40°＝错误 ! ·co40°＝错误 ! ·co40°＝错误 !＝错误 !＝ 1答案： 110．已知α、β均为锐角，且coα＋β＝ in α－β，则角α＝________分析：依题意有coαcoβ－ in αin β＝ in αcoβ－ coαin β，即 coαcoβ＋ in β＝ in αin β＋ coβ．∵α、β均为锐角∴inβ＋coβ≠ 0，必有coα＝ in α∴α＝错误 !答案：错误 !三、解答题：本大题共 3 小题， 11、12 题 13 分， 13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤．11．如图，在平面直角坐标系 O中，以 O轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆订交于 A、 B两点．已知 A、 B 的横坐标分别为错误 !，错误 !1 求 tan α＋β的值；2 求α＋ 2β的值．解：由已知得coα＝错误 !，coβ＝错误 !∵α，β为锐角，∴i n α＝错误 !＝错误 !，in β＝错误 !＝错误 !∴t an α＝ 7，tan β＝错误 !1tan α＋β＝错误 !＝错误 !＝－ 32∵tan2 β＝错误 !＝错误 ! ＝错误 !，∴tan α＋ 2β＝错误 !＝错误 !＝－ 1∵α、β为锐角，∴ 0＜α＋2β＜错误!，∴α＋2β＝错误!12．已知 coα＝错误 ! ，coα－β＝错误 !，且 0<β<α<错误 !1 求 tan2 α的值；2 求β的值．剖析：由已知可求 in α，从而可求 tan α， tan2 α；由角的关系下手，利用角的变换β＝α－α－β可求得 coβ解： 1 由 coα＝错误 !，0<α<错误 !，得 in α＝错误 !＝错误 ! ＝错误 !∴tan α＝错误 ! ＝错误 !×错误 !＝ 4错误 !于是 tan2 α＝错误 !＝错误 !＝－错误 !2 由 0<β<α<错误 !，得 0<α－β<错误 !又∵ coα－β＝错误 !，∴in α－β＝错误 !＝错误 !由β＝α－α－β，得coβ＝ co[ α－α－β ] ＝coαcoα－β＋ in αin α－β＝错误 !×错误 !＋错误 !×错误 !＝错误 !因此β＝错误 !13．已知 0<β<错误 !<α<错误 !π， co 错误 !＝错误 !， in 错误 !＝错误 !，求 in α＋β的值．解：∵ 错误 !<α<错误 !，∴－错误 !<－α <－错误 !，－错误 !<错误 !－α <0又∵ co 错误 !＝错误 ! ，∴ in 错误 ! ＝－错误 !又∵ 0<β<错误 ! ，∴ 错误 !<错误 ! ＋β <π又∵ in 错误 !＝错误 ! ，∴c o 错误 !＝－错误 ! ，∴i n α＋β＝－ co错误 !＝－ co错误 !＝－ co错误 !co错误 ! －in 错误 !in 错误 !＝－错误 !×错误 !－错误 !×错误 !＝错误 !＋错误 !＝错误 !评析：三角函数的给值求值问题解决的重点在于把“所求角”用“已知角”表示．1当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；2 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，而后应用引诱公式把“所求角”变为“已知角”．3 常有的副角技巧错误 ![ α＋β＋α－β] ；β＝错误!α＝ 2·错误 !；α＝α＋β－β；α＝β－β－α；α＝[ α＋β－α－β ] ；错误 ! ＋α＝错误 !－错误 !。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例之阿布丰王创作知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝； 2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β==. 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝()2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”暗示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步调：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
2019届高考数学第一轮专题复习测试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式
--数学试卷第十八讲两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)7ππ41．已知cos α－＋sinα＝3，则sin α＋656的值是() 2 3B.32．－A 5544．－C5D.54πcos解析：∵α－6＝sinα＋35433341∴，3＝＋sinαcosα＋sinα＝cosα52522233，ππ44＋α＝，＝α＋3，∴sin 563 sin56π47.＝－π∴sin α＋＝－sin ＋α665C答案：ππ532α－(的值是α－sinα－，则cos π＋66 cos2．已知＝)36 32＋3＋2．－BA.333＋3－22－ D.C.33π5α－－α＝cos ππ＋66 cos解析：∵π3.＝－α－＝－cos 63ππ2122，αα－－663＝＝1－3 cos而sin 1－＝32＋3－2所以原式＝－.＝－333B答案：105、，且αβ的值为＋β为锐角，则α＝sinβ，＝sin3．若α5()10ππ．－A4B.4----数学试卷ππ D.．±C345 252＝5 －1α＝cos，解法一：依题意有解析：5 10 10，＝－1β＝cos321010253105102－×5＞0. cos(α＋β)＝∴＝×251010π.β＝α＋＜π，∴，β都是锐角，∴0＜α＋β∵α425，sin α＝＜解法二：∵α，β都是锐角，且25 210＝sinβ，＜210π＜α，β∴0＜π，2＜＜，0α＋β4 2 5 5 ＝2－1∴cosα＝，551010 3 2，＝－＝1cosβ1010251025310.＋10 ＋sin( αβ)＝52 ＝××510π.＝α＋β∴4B答案：54 () ，则cosC 的值是，cosB＝＝4．在△ABC 中，若cosA1355616B.A. 6565165616或C.．－D6565 65π45πsinA，从而B0，＜＞cosB＞0，＝0，得＜0 A＜＜21325＝，B0，＜＜πcosAπ＜＜中，解析：在△ABC 0A 312，sinB＝，＝135B) cosC所以＋(A－πcos[ ＝B)] cos(A＝－＋----数学试卷·cosB＝sinA·sinB－cosA1653124×－× A.5135＝，故选6513＝A答案：)θ的值等于(，则sin2θ＋sin5．若cos2θ＋cosθ＝03．±A．0B3或±D．0 C．0或312；＝－，所以cosθ1 或0.当cosθ＝－1 时，有sinθ＝＝解析：由cos2θ＋cosθ0 得2cos＋θ－1 cosθ＝0231或＝0 θθ＝sinθ(2cos＋1)θθ时，有sin＝± .于是sin2＋sin22 3.3或－当cosθ＝D答案：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握评析：公式，并注意不能出现丢解错误．) )6．(2019 ·口质检海在△ABC 中，已知sin(A－ABC ，则△是( B)sinB B)cosB＋cos(A－≥1．锐角三角形BA ．直角三角形．等边三角形DC．钝角三角形，又－B)sinB＝sin[( A B) ＋B] 1＝sinA≥－－解析：sin(A B)cosB＋cos(A°，A＝1，＝90sinA 1sinA≤，∴为直角三角形．ABC 故△A答案：) 24 分，把正确答案填在题后的横线上．分，共6 本大题共二、填空题：(4 小题，每小题sin20°－2cos10 °．的值是________7.°sin70°)202cos(30 －°°－sin20原式＝解析：°sin70°·°sin20 sin20 )°－sin30 °＋cos20 2(cos30 ·°＝°sin70°3cos20 3.＝＝°cos203答案：----数学试卷cos2απππ12α－π＝则________. )＝∈0∈0，，( α8．已知cos ，α44134＋αsin422αsincosα－αcos2＝解析：∵2πsin ＋α4(sinα＋cosα)2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝2(sinα)α＋cos2π＝2(cosα－sin α)＝2sin －α.4πππ0，－α∈0， .444，则∈又αππ125由cos －α＝，则sin －α＝.13134410∴原式＝.1310答案：139．(1＋3tan10 )°·cos40 °＝________.3sin10 °)cos403tan10°＝°1＋cos40cos10°＋解析：(1°3sin10 ＋°cos10 °°cos40 ·＝°cos10)30°2sin(10 ＋°·cos40 °＝cos10°2sin40 cos40°°sin80°＝＝1.＝°°cos10cos10答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin( α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinαπ. ＝∴α4----数学试卷π答案：4)三、解答题：(本大题共3 小题，11、12 题13 分，13 题14 分，写出证明过程或推演步骤．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相2 52交于A、B 两点．已知A、B 的横坐标分别为， . 510(1)求tan(α＋β)的值；的值．βα＋2(2)求225.∵α，β为锐5角，＝由已知得cosα解：10＝β，cos72522.＝β，sin105cos＝1－∴sinα＝1－cos α＝β1.＝，tanβ∴tanα＝721tanα＋tanβ7＋2＝－3.＝＝α＋β)(1)tan( 1tanβ1－tanα·71×－212tanβ2×24 ＝(2)∵tan2β＝，＝21 3β1－tan21－24tanα＋tan2β7＋3＝－1.4＝＝＋2β)∴tan(α1－tanα·tan2β1－7×33π∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π，∴α＋2β＝ .42π131< 0< ，且)α，cos(－β＝β.＝cosα．已知12<α1472的值；tan2求(1)α----数学试卷(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ.1π解：(1) 由cosα＝，0<α<，2714322.－177 ＝α－cos sinα＝1得＝4αsin 73＝α∴tan3.×＝4＝αcos1722tan×α＝tan2α＝于是＝－8 34 3.2247 (4 3)－α11－tanππ<β0<α－，得.2<<α(2)由0<β213又∵cos(α－β)＝，14 3 32β)＝－1－cos(α∴sin(α－β)＝14由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin( α－β)11343331××.＝＋14 ＝27147πβ＝所以.33πππ533＋β＝α＝α<π，cos －0<13．已知β<<4 444，求sin( α＋β)，sin的值．135ππ3，< <α解：∵443π∴－πππ<－α<－，－<－α<0.444243ππ.＝－α－＝，∴sin cos 又∵－α4545ππ3π3.<βπ∴< ＋，∵又0<β< 444π35＋β＝，134sin又∵----数学试卷3π12，13β＝－∴cos ＋4π∴sin(α＋β)＝－cos ＋(α＋β)23ππ＋－α－β44 cos＝－3π3πππ＝－cos ＋βcos－α－sin ＋βsin －α4444 3 5124××－－＝－13513－5362056.＝＝＋65 65 65评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公(2)式把“所求角”变成“已知角”．常见的配角技巧(3)παππ11；α＝[( α＋β)＋(α－β)] ；β＝[(α＋β)－(α－βα－(βα；)α＝2α＝·；α(＋β－β＝－β))] ；＋α＝－－α .222424--。
两角和与差及二倍角的三角函数(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)+Word版含解析
一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 【解析】依题意得cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝ 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3 4．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 【解析】由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③ 由①③可得sin α＝35. 5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16， ∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4， ∴β<π4<α. 7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45 ＝10＋32－4620. 12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式常识点及典例常识要点：1.两角和与差的正弦.余弦.正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝; C(α＋β)：cos(α＋β)＝; S(α＋β)：sin(α＋β)＝; S(α－β)：sin(α－β)＝; T(α＋β)：tan(α＋β)＝; T(α－β)：tan(α－β)＝; 2.二倍角的正弦.余弦.正切公式2S α：sin2α＝; 2T α：tan2α＝;2C α：cos2α＝＝＝;3.在精确闇练地记住公式的基本上,要灵巧应用公式解决问题:如公式的正用.逆用和变形用等.如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________; tan αtan β==. 考点自测：1.已知tan α＝4,tan β＝3,则tan(α＋β)＝()2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋ sin α＝453,则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453.在△ABC 中,若cos A ＝45,cos B ＝513,则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654.若cos2θ＋cos θ＝0,则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35.三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1题型练习题型1 给角求值一般所给出的角都长短特别角,应用角的关系（与特别角的接洽）化为特别角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的症结在于把“所求角”用“已知角”暗示．如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---例 2 设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23,个中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2π,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0π2,求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角,一般可分以下三个步调：(1)肯定角地点的规模;(2)求角的某一个三角函数值(请求该三角函数应在角的规模内严厉单调);（3）求出角.例3已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝12,tan β＝－17,求2α－β的值．变式3：已知tan α= 17,tan β= 13,并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.题型4帮助角公式的应用()sin cos a x b x x θ+=+ (个中θ角地点的象限由a, b 的符号肯定,θ角的值由tan b aθ=肯定) 在求最值.化简时起着主要感化.例4求函数25f (x )sin x cos x x=-x R )∈的单调递增区间？变式4（1）假如()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ=;（2）若方程sin x x c =有实数解,则c 的取值规模是___________.题型5公式变形应用二倍角公式的升幂降幂例5（1）设ABC ∆中,tan A tan B Atan B +=,4sin Acos A =,则此三角形是____三角形（2）变式5已知A.B 为锐角,且知足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝; 专题自测1.下列各式中,值为12的是（ ）A.1515sin cosB.221212cos sin ππ- C.22251225tan .tan .- D.302.命题P ：0tan(A B )+=,命题Q ：0tan A tan B +=,则P 是Q 的 （ ）A.充要前提B.充分不须要前提C.须要不充分前提D.既不充分也不须要前提3.已知3sin 5α=,tan 0α<则tan()4πα-= . 4.=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 32225.2sin()2sin()cos()333x x x πππ++---=______________.6.0000cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+= 7.若sin5α=,sin 10β=,,αβ都为锐角,则αβ+=8.在△ABC 中,已知tan A .tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根,则tan C 等于9.131080sin sin -=;10.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2=11.(1tan 22)(1tan 23)︒︒++= 12.)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=13.（福建理17）在ABC △中,1tan 4A =,3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）若ABC △求最小边的边长．14.（四川理17）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(1)求α2tan 的值. （2）求β.15.(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分离与单位圆订交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分离为10(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.答案：考点自测:1-5BCADD 变式 1. 2.56653：4π 4（1）－2 （2）[－2,2]5.-专题自测：1.C 2.C3.7- 4.32 5.0 6.27.34π 8.29.4 10. 11.2 12.1 13.()31π4C =()2BC14.()147-()23πβ= 15（1）—3 （2）3π4。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
(安徽专用)高考数学总复习 三角函数概念两角和差二倍角会考专题专练
高中数学会考三角函数概念两角和差二倍角专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、下列各组角中，终边相同的角是 A 、π2k 与)(2Z k k ∈+ππ B 、)(3k3Z k k ∈±πππ与C 、ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D 、)(66Z k k k ∈±+ππππ与2、将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是A 、3πB 、－3πC 、6π D 、－6π 3、的值等于)314sin(π-A 、21 B 、－21 C 、23 D 、－23 4、点M （－3，4）是角α终边上一点，则有 A 、3sin 5α=-B 、4cos 5α=-C 、34tan -=αD 、43cot =α 5、若在则满足ααααα,0sin cos ,02sin <-<A 、第一象限；B 、第二象限；C 、第三象限；D 、第四象限6、已知=+=-)4cos(,31)4sin(αππα则 A 、232 B 、232- C 、31D 、31-7、已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 A 、－2 B 、2 C 、1623D 、－16238、sin 1212ππ的值是A 、0B 、CD 、29、化简αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+得A 、tan αB 、tan 2αC 、1D 、1210、在ABC ∆中，①sin(A+B)+sinC ；②cos(B+C)+cosA ；③2t a n 2t a nCB A +；④c o s s e c 22B C A+，其中恒为定值的是A 、① ②B 、② ③C 、② ④D 、③ ④11、已知x x f +=1)(，化简：=--)2sin ()2(sin f fA 、1cos 2B 、1sin 2C 、－1cos 2D 、－1sin 212、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于A 、1B 、2524-C 、257D 、725-二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= 。
三角函数的两角和差及倍角公式练习题之令狐文艳创作
三角函数的两角和差及倍角公式练习题令狐文艳一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·；10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题： 11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
答案： 一、 1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示:()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0∴角C 为钝角。
2020年高考数学一轮复习专题3.4两角和差和二倍角练习(含解析)
第四讲 两角和差与二倍角1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 三．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.考向一 公式的简单运用【例1】 计算：（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° （2）cos20°cos10°–sin160°sin10°(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30° (4)3＋tan 15°1－3tan 15°；（5） sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155° （6）2cos 10°－sin 20°sin 70°【答案】（1）22 （2）2（3）1 （4）2＋ 3 （5）12 （6） 3 【解析】（1) sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. （2）cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°=(3)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.(4)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；（5）sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. （6） 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【举一反三】1.sin 10°1－3tan 10°＝.【答案】 14【解析】 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14. 2.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝. 【答案】 －7210【解析】 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝. 【答案】3【解析】 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.4．化简1tan151tan15︒︒+-等于 。
两角和与差及二倍角的三角函数(答案)
两角和与差及二倍角的三角函数基础巩固训练1．已知,21tan =α则α2cos 的值为（ ） A ．51- B ．53- C ． 54 D ． 53解析:选D ：221tan 3cos 21tan 5ααα-==+ 2．设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+= A ．1318B ．1322C ．322D ．16解析: tan()tan()34tan()tan[()()]44221tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--==++-选C 3．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
解析：原式=cos 43cos77sin 43cos(9077)cos 43cos77sin 43sin 77︒︒+︒︒+︒=︒︒-︒︒cos(4377)cos120=︒+︒=︒=－124．已知11tan ,tan 6263ππαββ⎛⎫⎛⎫++=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解析： tan()tan()66tan tan 13361tan()tan()66ππαββπππααββππαββ++--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++--== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++⋅-5．已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.若3()4f α=，求sin 2α的值. 解:()sin cos f x x x =+由3()4f α=得:39sin cos ,12sin cos 416αααα+=+=7sin 216α∴=-综合拔高训练6．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，22ππθ-<<．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1（22ππθ-<<），所以 θ＝4π-；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ) ＝3＋22sin(θ＋π4)， 10分当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1． 12分7．已知02cos 22sin=-xx ．（1）求x tan 的值；（2）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（1）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x ， 3421222t a n12t a n2t a n 22-=-⨯=-=∴x x x ． （2） 原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=1cot +=x 31()144=-+=．8．已知向量),cos ,(sin αα=a )sin ,(cos ββ=b ，)0,cos 2(β=+c b ，21=⋅b a ，31=⋅c a ，求βαβαcot tan )(2cos ⋅++的值.解：设(,)c x y = 则(cos ,sin )(2cos ,0)b c x y βββ+=++= ，∴(c o s,s ic ββ=-∵1,2a b ⋅= 1,3a c ⋅= ∴1sin cos cos sin 21sin cos cos sin 3αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴5sin cos 121cos sin 12αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1tan cot 5,sin(),2αβαβ⋅=+=∴21cos2()12sin ()2αβαβ+=-+=， ∴111cos2()tan cot 522αβαβ++⋅=+=.。
高考数学第一轮专题复习 第十八讲 两角和与差及二倍角公式测试卷
第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.而sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4 C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255，cos β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255， cos β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665 D ．－1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213， 所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B) ＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或± 3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB ＝sin[(A －B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α(α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos2α－sin2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α) ＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos2α＝7210，sin β＝1－cos2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan2β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π.又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β) ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.。
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第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sinα＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sinα＝45 3 ∴32cosα＋32sinα＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosα＋32sinα＝453， 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.而sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33. 答案：B 3．若sinα＝55，sinβ＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为( ) A ．－π4 B.π4C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cosα＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255，cosβ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0.∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sinα＝55＜22， sinβ＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2，∴cosα＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255， cosβ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4.答案：B4．在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213， 所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B) ＝sinA·sinB－cosA·cosB ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ的值等于( ) A ．0 B ．± 3C ．0或 3D ．0或± 3解析：由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或12.当cosθ＝－1时，有sinθ＝0；当cosθ＝12时，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－ 3.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误． 6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 解析：sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB ＝sin[(A －B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________．解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案： 38．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α(α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4)＝________.解析：∵cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos2α－sin2α22(sinα＋cosα)＝(cosα－sinα)(c osα＋sinα)22(sinα＋cosα)＝2(cosα－sinα)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013.答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________. 解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40°＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40°＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα∴α＝π4.答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－⎝⎛⎭⎪⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.12．已知cosα＝17，c os(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sinα，进而可求tanα，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cosβ. 解：(1)由cosα＝17，0<α<π2，得sinα＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝4 3.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3.13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4<α<3π4，∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.。