北京东城171中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版
北京东城区高二2016-2017期末(理)
东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科) 2017.7本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）一、选择题: （本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A． B． CD ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为 A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．357．函数||e cos x y x =-的图象大致为yxOA B C D8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A．4排8号B．3排1号C．1排4号D．1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i是虚数单位，复数13i1i-=-．10．定积分11(2sin)x x dx-+⎰的值为．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t=-++．则该运动员在0.5t s=时的瞬时速度为v=/m s．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则012345a a a a a a-+-+-的值为___________．13．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有 种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________；若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附:()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时， ，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ．图1那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）． 所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=， 两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=． 整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X 元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的． （I ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i p （0,1,2,,i n =L L ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=L L ． 定义由ξ生成的函数2012()n n f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=． （I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值； （II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上．）三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分 （II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………………………………………………………………………………7分 因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分） 解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分） 解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分 21k k a =-， ………………………………………………………6分 112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分 21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，X 可能的取值是2，4，6，因此X 的分布列为由此可知，X 的数学期望为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………5分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分 理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． …………………………………7分又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.161.92D X =-?-?-?，……………………8分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分） 解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分 当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分 当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<． 则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分 （II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分 设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分 故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分 方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分 令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． ………………………………6分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x-+=--=． 因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分 又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+． ………………………………8分 因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分 20．（本题满分9分） 解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分 （II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分 由ξ的方差定义可知2220000220002222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i i i i i i n n n ni i i i i i i i n i i n i i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分 （III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． ………………………………7分 投掷骰子两次次对应的生成函数为: 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分 所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分 方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分 则ξ的分布列为………………………………8分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++． 则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++=3969．………………………………9分=4419。
北京市东城区2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．24．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．85．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．7．已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．10．双曲线的渐近线方程为．11．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．12．已知球的体积为36π，球的表面积是．13．已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为．14．已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（9分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．16．（8分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17．（9分）已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．18．（9分）如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（9分）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．20．（8分）在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆，可得c=，离心率为，可得：，解得a=3．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．8【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，故底面面积S==，高h=2，故体积V=Sh=2，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．【点评】本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及其应用，空间想象能力6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线A1E与D1C1所成角的正切值．【解答】解：以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，设=1，则A1（1，0，2），E（，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），=（﹣，1，﹣2），=（0，1，0），设异面直线A1E与D1C1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ==．∴异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合直线和圆的位置关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当点P为原点时，三角形AOB是直角三角形，此时AB是圆的直径，此时圆C的半径最小，即充分性成立，当C的半径取得最小值，AB是圆的直径，当以AB为直径的圆和直线y=x相切时，切点不是O，即必要性不成立，则点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆的位置关系是解决本题的关键．8．图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，复变函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式求解．【解答】解：点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为d==，故答案为．【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，是基础题．10．双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想11．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C 时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12．已知球的体积为36π，球的表面积是36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．13．已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为2或6．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】分类讨论，利用|PF|+|PM|的最小值为5，求出p的值．【解答】解：M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5，解得p=6，M在抛物线的外部时，|MF|=5，=5，∴p=2综上所述，p=2或6．故答案为：2或6．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．14．已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是①③④．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中直线l k：y=kx+k2（k∈R），逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：由得：，由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，即l k与抛物线均相切，故①正确；圆x2+（y+1）2=1的圆心（0，﹣1）到直线l k：y=kx+k2的距离d==≥1恒成立，当且仅当k=0时，l k与圆x2+（y+1）2=1相切，故②错误；存在直线l：y=x+1，y=﹣x+1，y=0，与直线l k：y=kx+k2（k∈R）均不相交，故③正确；对任意的i，j∈R，直线l i，l j的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系等知识点，难度中档．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y ﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．【考点】直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设AC所在的直线方程为2x+y+t=0，代入A（5，1），即可AC 所在的直线方程；（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组，即可求出点B的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线方程为2x+y+t=0．把A（5，1）代入直线方程为2x+y+t=0，解得t=﹣11．所以AC所在的直线方程为2x+y﹣11=0．…（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组化简得解得即B（﹣1，﹣3）．…（9分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用已知及三角形的中位线定理可证EF∥B1C1，进而利用线面平行的判定定理即可得证．（Ⅱ）利用线面垂直的性质及判定定理即可作图得解．【解答】（本题满分8分）证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A1B1，A1C1的中点，∴EF∥B1C1．又∵EF⊂面BEF，B1C1⊄面BEF，∴B1C1∥面BEF．…（Ⅱ）作图如下：…（8分）【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的性质及判定定理的综合应用，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），推出a=3b．利用切点坐标，求出圆心与半径，然后求出圆的方程．（Ⅱ）判断△ABC为等腰直角三角形．利用点到直线的距离公式化简求解即可．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，所以a=3b．因为圆与y轴相切于点（0，1），则b=1，r=|a﹣0|．所以圆C的圆心坐标为（3，1），r=3．则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．…（Ⅱ）因为CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC为等腰直角三角形．因为|CA|=|CB|=r=3，则圆心C到直线l的距离．则，求得m=1或﹣5．…（9分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．18．如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF 沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出AF⊥BF，AF⊥FC．由此能证明AF⊥BC．（II）以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．（III）在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，推导出AF⊥FN，从而FN⊥面ABF，进而面ABF⊥面DFN．由此能求出在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．【解答】（本题满分9分）证明：（Ⅰ）∵等边△ABC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．即AF⊥BF，AF⊥FC．又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．又∵BC⊂面BCF，∴AF⊥BC．…解：（II）如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．设FC=2，则有F（0，0，0），，，C（0，2，0），∴，．∴，，，．设平面DEF的法向量为=（x1，y1，z1），因此，即，令z1=1，则=（﹣3，﹣，1）．设平面ADE的法向量为=（x2，y2，z2），因此有，即，令z2=1，则=（3，，1）．∴cos＜＞===﹣．∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为．…（6分）（III）在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．证明如下：在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN⊂面BCF，∴AF⊥FN．又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．又∵FN⊂面DFN，∴面ABF⊥面DFN．设FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴．…（9分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），求出直线的斜率，利用斜率乘积，化简求解即可．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，求出两个三角形的面积，判断相等，当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，求出M，N坐标，通过△BPQ和△BMN的面积不相等，推出结果．法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭=S△BMN，得到．推出﹣1=0．说明△BPQ和△BMN 圆方程，通过S△BPQ的面积不相等．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则，．∵，∴．化简得曲线C的轨迹方程为．…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则．直线PB的方程为，解得．直线QB的方程为，解得．则，．此时△BPQ和△BMN的面积相等…（6分）当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．直线PB的方程为，求得．直线QB的方程为，求得．，．=S△BMN，则（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．若S△BPQ∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，=S△BMN，因为∠PBQ=∠MBN，S△BPQ所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．则有，化简得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20．在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（Ⅰ）dα（A，B）的定义代入即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．通过计算展开即可证明．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．任取（x0，y0）∈Dα，．对x0，y0分类讨论，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：d1（A，B）=|1﹣2|+|1﹣3|=3，d2（A，B）===．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．=．=．所以d2（A，B）≤d1（A，B）成立．因为，所以===．所以成立．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．证明如下：任取（x0，y0）∈Dα，．当x0=1，y0=0时，dα（M，O）=0，dβ（M，O）=0，此时Dα⊆Dβ．当|x0|=1，|y0|=0时，，dβ（M，O）=1．此时Dα⊆Dβ．同理可得，当|x0|=0，|y0|=1时，Dα⊆Dβ．当|x0|≠1，|y0|≠1时，因为，所以．又因为0＜α＜β，所以．此时Dα⊆Dβ．反之不成立．所以Dα⊂Dβ．【点评】本题考查了新定义、集合之间的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市东城区171中学2016-2017高二上学期期中考试数学试题(文)
绝密★启用前北京市东城区171中学2016-2017高二上学期期中考试数学试题（文）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：64分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（ ）.A ．B ．C ．D ．2、经过两点的直线方程是（ ）．A ．B ．C ．D ．3、两直线与平行，则它们之间的距离为( )A ．B ．C ．D ．4、如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台5、在下列命题中，假命题是（ ）． A ．如果平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，那么B ．如果平面内的任意直线平行于平面，那么C ．如果平面平面，任取直线，那么必有D ．如果平面平面，任取直线，那么必有6、如图，，，，，，，则平面与平面的交线是（ ）．A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线7、已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）．A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离8、由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）．A ．B ．C ．D ．9、如图，正方体中，为中点，为线段上的动点（不与，重合），以下四个命题：（）平面． （）平面；（）的面积与的面积相等；（）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为（ ）．A ．B ．C ．D ．10、若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）． A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、直线被曲线所截得的弦长等于 ．12、已知，是两条异面直线，，那么与的位置关系为__________．13、已知直线与直线垂直，那么的值是__________．14、如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，是上的点，且，则__________．15、如果三个球的表面积之比是，那么它们的体积之比是__________．16、已知点在直线上，若在圆上存在两点，，使，则点的横坐标的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）17、如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点。
2016-2017北京东城171中学高三上期中【理】
北京市第一七一中学2017届高三第二次月考试题数学学科（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．负数i(i1)等于（）．A ．1iB ．1iC ．1iD ．1i2．下列函数中，既是偶函数，又是(0,)上是单调减函数的是（）．A ．12yxB ．cos yxC ．2xyD ．ln 1yx 3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a，2b ，1cos()3AB ，则c（）．A ．4B ．15C ．3D ．174．阅读如下图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为（）．A ．3B ．5C ．10D ．165．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“2cos a b C ”是“ABC △是等腰三角形”（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件是否是否输出n i<3n=n 2i=i +1n=3n+1n 是奇数i=0输入n 结束开始6．设函数212log ,0()log (),0x xf x x x 若()()f a f a ，则实数a 的取值范围是（）．A ．(1,0)(0,1)B ．(,1)(0,1)C ．(,1)(1,)D ．(1,0)(1,)7．设函数sin cos yx xx 的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x ，则函数0()kg x 的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．为了平衡膳食小王同学在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小王同学在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）．A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合24Ax x，0,1,2B，则AB__________．10．从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a__________，由图中数据可估计此次成绩平均分为__________．OxyyxOyxOyxO分数分()9080706050400.0050.0100.0200.030a频率组距。
北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题
北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（理）期中考试试题 （考试时间：100分钟总分：100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选D ．2．原点到直线250x y +-=的距离为（ ）．A ．1BC ．2D【答案】D【解析】d ==D ．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）．A ．3:πB ．2:πC ．1:2πD ．1:3π【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积216S a =， 由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：2R =，即R =， 所以外接球的表面积：2224π3πS R a ==，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：226:3π2:πa a =． 故选B ．4．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则（ ）．A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】A【解析】由图可知：10k <，20k >，30k >，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >，综上可知：123k k k <<，故选A ．5．平面α平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R =，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ是（ ）．A ．直线ACB ．直线BCC ．直线CRD ．以上都不对【答案】C【解析】∵AB l R =， ∴R l ∈，R AB ∈，又l αβ=， ∴l β⊂， ∴R β∈，R γ∈， 又∵C β∈，C γ∈， ∴CR βγ=，故选C ．6．对于平面α和异面直线m ，n ，下列命题中真命题是（ ）．A ．存在平面α，使m α⊥，n α⊥B ．存在平面α，使m α⊂，n α⊂C ．存在平面α，满足m α⊥，n α∥D ．存在平面α，满足m α∥，n α∥【答案】D【解析】A 选项，如果存在平面α，使m α⊥，n α⊥，则m n ∥，与m ，n 是异面直线矛盾，故A 不成立；B 选项，如果存在平面α，使m α⊂，则m ，n 共面，与m ，n 是异面直线矛盾，故B 不成立；C 选项，存在平面α，满足m α⊥，n α∥，则m n ⊥，因为m ，n 是任意两条异面直线，不一定满足m n ⊥，故C 不成立；D 选项，存在平面α，使m α∥，n α∥，故D 成立． 综上所述，故选D ．7．直线cos 0x m θ⋅+=的倾斜角范围是（ ）．A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tanαθ=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴θ即：tan α，∴π5π0,,π66θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B ．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）．A ．8B ．C ．10D ．【答案】C 【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =△，18A AB S =△，110A AC S =△，1A BC S =△，所以四个面中面积最大的是10，故选C ．9．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则ab 的取值范围是（ ）．A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,8⎛⎤⎥⎝⎦C ．(0,8]D ．[8,)+∞【答案】D【解析】由圆的方程224280x y x y +---=，得圆心坐标为：(2,1)，因直线1(0,0)x y a b a b +=>>始终平分圆的周长，则直线1x ya b +=必过点(2,1)， ∴211a b +=，∴21a b +≥∴1≥8ab ≥，当且仅当2112a b ==时，等号成立， ∴ab 的取值范围是：[8,)+∞，故选D ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的面积（ ）．A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关【答案】D 【解析】如图：EF 在棱11A B 上，Q 在棱CD 上，11A B CD ∥，所以QEF △的高为定值，又EF 为定值1，所以QEF △的面积为定值，四面体PEFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离有关，即与DP 的大小有关，故选D ．二、填空题：11．已知圆22:4C x y +=，则过点(2,0)P 的圆的切线方程是__________． 【答案】20x -=【解析】∵点(2,0)P 在圆22:4C x y +=上，且0CP k =， ∴过点(2,0)P 的且切线斜率不存在，故切线方程是：20x -=．12．直线(21)(3)110()k x k y k k --+-+=∈R 所经过的顶点坐标为__________． 【答案】(2,3)【解析】把(21)(3)110k x k y k --+-+=整理后得：(21)(311)0k x y x y ---+-=， ∴2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，故直线(21)(3)110k x k y k --+-+=恒过定点(2,3)．13．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则1AF B △周长为__________． 【答案】16【解析】由椭圆221169x y +=，可得：4a =． 1AF B △的周长111212||||||||||||||416AF BF AB AF AF BF BF a =++=+++==．14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________． 【答案】56【解析】111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．【注意有文字】15．在三棱锥P ABC -中，已知2PA PB PC ===，30BPA BPC CPA ∠=∠=∠=︒，从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是__________．【答案】【解析】将三棱锥P ABC -沿PA 展开，如图所示： 由题意可知：2PA PA '==，90APA '∠=︒， ∴AA '=即从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是16．二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒，则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在α内作AD l ⊥，垂足为D ，连接CD ， 则ADC ∠即是二面角l αβ--的平面角， ∴60ADC ∠=︒，设AD x =，则BD x =，AB =，12CD x =，AC ，∴sin AC ABC AB ∠=== 即AB 与平面β三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ． （Ⅱ）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D ．（Ⅲ）若正方体棱长为2，求三棱锥11A EFB -的体积．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ， ∵11BB DD ∥且11BB DD =， ∴四边形11BB D D 是平行四边形， ∴11BD B D ∥．又∵E 、F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF BD ∥， ∴11EF B D ∥，又∵EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面1CBD ， ∴EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴111AA B D ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形， ∴1111B D AC ⊥， ∴11B D ⊥平面11CAAC ， 又∵11B D ⊂平面11CB D ， ∴平面11CAAC ⊥平面11CB D ．（Ⅲ）11111112A EFB E A B F A B F V V S AE --==⨯△，∵111111122222A B F S A B AA =⨯⨯=⨯⨯=△，∴11122133A EFB V -=⨯⨯=．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ． （Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， ∵BD DE D =， ∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB由3AD =，可知：DE =，AF ．则(3,0,0)A ，F ，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴(3,3,0)CA =-，所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==．因为二面角为锐角，故二面角F BE D --． （Ⅲ）依题意得，设(,,0)(0)M t t t >， 则(3,,0)AM t t =-， ∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =， ∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时23DM DB =，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，及离心率．（Ⅱ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于A ，B两点，求OAB △面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2a =，1b =，c =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，离心率：c e a ==．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为：2y kx =+， 由22442x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 222(16)4(41)1216(43)k k k ∆=-+⨯=-，由0∆>得：2430k ->， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+， ||AB =， 又∵原点O到直线的距离d =∴1||2OAB S AB d=⨯=△41=．当且仅当22164343k k -=-，即2434k -=时，等号成立， 此时OAB △面积的最大值为1．。
2017北京二中高二(上)期中数学(理)
2017北京二中高二（上）期中数 学（理）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（ ）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥． 其中正确的命题是（ ）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④3．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．2m < B ．02m << C ．24m << D ．2m >4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）．A ．10πB ．7πC ．13π3D ．7π3俯视图侧左()视图正主()视图22235．椭圆22:416C x y +=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（ ）．A ．8，4，(23,0)±B ．8，4，(0,23)±C ．4，2，(23,0)±D ．4，2，(0,23)± 6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）．A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ）． A ．3B ．33C ．27D ．32 8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．63π++B ．623π++C ．1834π++D ．1823π++正视图侧视图俯视图22221359．双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（ ）．A ．3B ．23C ．26D ．610．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =-的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（ ）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（ ）．A ．2B ．43C ．233D ．412．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α与β都平行于γ； ③存在直线l α⊂，直线m β⊂，使得l m ∥． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22俯视图()22左视图()主视图()4214．已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y -+=，当实数m 在闭区间[3,3]-内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（ ）．A ．1，2，1，0，1，2，1B ．2，1，0，1，2C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)-和(2,0)，且经过点(2,3)P -，则双曲线的标准方程是__________．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D17．从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，离心率为32，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 20．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．DABCN D 1C 1B 1A 1三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4P D C D ==，2AD =． （1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．D PABC M23．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)x y E a b a b+>>的离心率32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233-，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程． 25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”． （1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”．数学试题答案一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1． 【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=， 所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)． 故选B ． 2． 【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥， 所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误． 故选B ． 3． 【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ． 4． 【答案】C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V =⨯⨯+⨯=+=． 故选C ． 5． 【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y +=化为标准方程为：221164y x +=，可得4a =，2b =，23c =，所以椭圆22416x y +=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,23)±． 故选B ． 6． 【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R =， ∴π22π180n rr ⨯=︒，解得180n =︒．故选D ． 7． 【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，132y =±，∴点M 到坐标原点的距离为22(30)(320)33-+±-=． 故选B ． 8． 【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且由三视图知此三角形的高为3，故三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：12332⨯⨯=，故组合体的表面积为1823π++．故选D ． 9． 【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为2226m =． 故选C ．10． 【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点(2,0)-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选D ．11．【答案】C【解析】解：∵点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay ±=的距离为1，∴22|2|21b bca b ==+， ∴2c b =，3a b =， ∴双曲线的离心率22333c b e a b===． 故选C ． 12． 【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确； ③项、若直线l α⊂，m β⊂，l m ∥，α与β可能相交，故③错误． 故选A ． 13． 【答案】A 【解析】解：CBAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴222222PB =+=，222222PD =+=，22CD =，2242026PC PA AC =+=+=， ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．14． 【答案】A【解析】解：椭圆22:143x y E +=的顶点坐标为(2,0)-，(2,0)，(0,3)，(0,3)-，圆22:()1C x m y -+=，表示以(,0)m 为圆心，1为半径的圆，当3m =-时，椭圆E 与圆C 只有一个焦点(2,0)-，当31m -<<-时，圆C 向右平移，与椭圆E 有两个交点， 当1m =-时，圆C 与椭圆E 只有1个交点，当11m -<<时，圆C 椭圆在E 内部，此时椭圆E 与圆C 无公共点，∴当m 在闭区间[3,3]-从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1． 故选A ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．【答案】2213y x -=【解析】解：由题意，2c =，2222|2(22)(03)(22)(03)|2a =-++--++-=， ∴1a =，3b =，2c =，故双曲线的标准方程是2213y x -=．16．【答案】60︒ 【解析】解：IJD GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF -， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒． 17． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2． 18． 【答案】4【解析】解：由题意4a =，32c e a ==，得4a =，2b =，23c =， ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=．19．【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =-， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++ 222444bt bt b b =-++-24b b =- =0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)． 20．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上， 故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．【答案】见解析． 【解析】解：D PA B CE FGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =，∴四边形BEFG 是平行四边形，∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．（2）证明：设AC BD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点，∴BD PO ⊥，又AC PO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．【答案】见解析．【解析】解：M CBAPD x yz（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ， 则(2,0,4)AP =-，(2,0,0)BC =-，(1,4,2)MB =-，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴1(0,1,2)n =， ∴11184cos ,5||||255AP n AP n AP n ⋅<>===⋅⋅， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =-， 设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴2(0,1,1)n =， ∴123310cos ,1052n n <>==⋅， 故二面角M CB P --的余弦值为31010．23．【答案】见解析．【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4，则242p +=， ∴4p =， 故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=-，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=， ∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=，∴0m =或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意， 当8m =-时，2=244640∆-⨯>，符合题意，综上，实数m 的值为8-．24．【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ，由直线AF 的斜率为233-得2233c --=-，解得3c =， 又离心率32c e a ==，得2a =， ∴221b a c =-=，故椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 由2=1643)0k ∆->（，得234k >，即32k <-或32k >， 1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+， ∴221212||(1)[()4]PQ k x x x x =++-22221612=1)44141k k k k ⎡⎤⎛⎫+-⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦（ 222414341k k k +⋅-=+， 又点D 到直线PQ 的距离221d k =+，∴OPQ △的面积221443||241k S PQ d k -=⋅⋅=+， 设243k t -=，则0t >， ∴24441414t S t t t ===++≤，当且仅当2t =，即72k =±时，等号成立，且0∆>， ∴直线l 的方程为：722y x =+或722y x =-+．25．【答案】见解析． 【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”．（2）集合{}1,3,5,7,9,11,13，证明：∵35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾， 故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．。
北京东城北京一中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题(含解析)
北京市第一中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三年级 数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．已知集合{}|M x x a =≤，{}|20N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）．A ．0a >B ．0a ≥C ．2a <-D ．2a -≤【答案】D【解析】∵{}|M x x a =≤，{}|20N x x =-<<， 由MN =∅，得2a -≤，故选D ．2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）．A ．e x y =B ．3y x =-C ．sin 2y x =D ．12log y x =【答案】B【解析】A ．e x y =是增函数，非奇非偶， C ．sin 2y x =在定义域内既有增区间也有减区间，D ．12log y x=定义域为(0,)+∞．3．若向量a ，b 满足||||2a b ==，且6a b b b ⋅+⋅=，则向量a ，b 的夹角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】解：根据题意得，6a b b b ⋅+⋅=， 即2||||cos ,6a b a b b +=， ∴4cos ,46a b +=， 计算得出1cos ,2a b =， 则向量a ，b 的夹角是60︒，所以C 选项是正确的．4．已知命题:p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（ ）．A ．命题:p x ⌝∀∈R ，2x ≤B ．命题:p x ⌝∃∈R ，2x <C ．命题:p x ⌝∀∈R ，2x -≤D ．命题:p x ⌝∃∈R ，2x <-【答案】B【解析】由题意:p x ∀∈R ，2x ≥， ∴:p x ⌝∃∈R ，2x <，故选B ．5．已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）．A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b >【答案】A【解析】“a b >”能推出“1a b >-”，故选项A 是“a b >”的必要条件，但“1a b >-”不能推出“a b >”，不是充分条件，满足题意；“a b >”不能推出“1a b >+”，故选项B 不是“a b >”的必要条件，不满足题意； “a b >”不能推出“||||a b >”，故选项C 不是“a b >”的必要条件，不满足题意； “a b >”能推出“22a b >”，且“22a b >”能推出“a b >”，故是充要条件，不满足题意； 故选A ．6．已知向量(3,1)a =，12,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列向量可以与2a b +垂直的是（ ）．A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(4,2)D ．(4,2)-【答案】C【解析】∵向量(3,1)a =，12,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2(3,1)(4,1)(1,2)a b +=+-=-， ∵(1,2)(1,2)145-⋅-=+=， (1,2)(2,1)224-⋅-=--=-， (1,2)(4,2)440-⋅=-+=， (1,2)(4,2)448-⋅-=+=，∴向量(4,2)可以与2a b +垂直，故选：C ．7．为了得到函数sin 2cos2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos2y x x =-的图像（ ）．A ．向右平移π2个单位 B ．向左平移π2个单位C ．向右平移π4个单位D ．向左平移π4个单位【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为πsin 2cos 224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数πsin 2cos 224y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又πππ22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知只需把函数sin 2cos2y x x =-的图象向左平移π4个长度单位，得到函数sin 2cos2y x x =+的图象，故选：D8．已知数列{}n a 满足1a a =，12n n a a +=+，定义数列{}n b ，使得1n nb a =，n ∈N *，若46a <<，则数列{}n b 的最大项为（ ）．A ．2bB ．3bC ．4bD ．5b【答案】B【解析】∵数列{}n a 满足1a a =，12n n a a +=+， ∴数列{}n a 是首项为1a a =， 公差为12n n d a a +=-=-的等差数列， ∴2(1)n a a n =--， ∵46a <<，∴{}n a 的最后一个正项是3312a a =-， ∴12(1)n b a n =--中，当3n =时，数列{}n b 取最大项3b ．故选B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知2log 5a =，23b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 【答案】a b c >>【解析】∵23b =，∴2log 3b =， ∴22log 5log 31>>， 即1a b >>， ∵3log 21<，∴1c =．∴a ，b ，c 的大小关系为a b c >>．故答案为：a b c >>．10．若1sin cos 2αα+=，则sin 2α的值是__________．【答案】34-【解析】把1sin cos 2αα+=两边平方得：21(sin cos )4αα+=，即22sin cos 2sin cos αααα++， 1sin 2α=+，14=． 解得：3sin 24α=-．故答案为：34-．11．计算211d x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________．【答案】3ln 22- 【解析】22211113d ln ln 222x x x x ⎛⎫-=-⨯=- ⎪⎝⎭⎰．12．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为__________．【答案】12【解析】由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知：1122AE AC CE AC AB =+=-．则λμ+的值为：12．13．函数()sin()(,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+><<的部分图像如图所示，其中A 、B 两点间距离为5，则ωϕ+=__________．【答案】7π6【解析】∵5AB ==，∴2π6T ω==，∴π3ω=， ∵(0)2sin 1f ϕ==，且0πϕ<<且根据图象为何在移动，∴5π6ϕ=，∴7π6w ϕ+=．14．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()f x k 为闭函数，则k 的取值范围是__________．【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】若函数()f x k =为闭函数，则存在区间[],a b ， 在区间[],a b 上，函数()f x 的值域为[],a b ，即a kb k⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴a ，b是方程x k =的两个实数根，即a ，b 是方程221(22)10,2x k x k x x k ⎛⎫-++-=- ⎪⎝⎭≥≥的两个不相等的实数根，当12k -≤时，[]222(22)4(1)0111(22)1024222122k k f k k k ⎧⎪∆=-+-->⎪⎪⎛⎫-=+++-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>-⎪⎩≥解得112k -<-≤；当12k >-时，[]2222(22)4(1)0()(22)10222k k f k k k k k k k ⎧∆=-+-->⎪⎪=-+⋅+->⎨⎪+⎪<⎩解得k 无解．综上，可得112k -<-≤．故答案为：11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦．三、解答题（共6小题，满分80分） 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：246a a +=，63a S =，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）若k ∈N *，且k a ，3k a ，2k S 成等比数列，求k 的值． 【答案】见解析【解析】（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由246a a +=，63a S =，得111246533a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩．∴11(1)n a n n =+⨯-=． （II ）222(21)222k k k S k k k -=+=+， 由k a ，3k a ，2k S 成等比数列，得229(2)k k k k =+， 解得4k =．16．（本小题满分13分）已知ABC △的三个内角分别为A ，B ，C ，且22sin ()2B C A +． （I ）求A 的度数．（II ）若7BC =，5AC =，求ABC △的面积S ．【答案】（I ）60︒（II ）【解析】（I ）∵22sin ()2B C A +，∴22sin (π)cos A A A -=，∴2sin cos A A A =， 又∵A 为三角形内角， ∴sin 0A ≠，∴tan A ，而A 为三角形内角， ∴60A =︒，综上所述，A 的度数为60︒．（II ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 7a BC ==，5b AC ==，60A =︒，∴2492525cos60c c =+-⨯⨯︒， ∴25240c c --=， ∴8c =或3c =-（舍去），∴11sin 5822ABC S bc A ==⨯⨯=△综上所述，ABC △的面积S 为．17．（本小题满分13分）已知函数22()ln f x x a x ax =-+，()a ∈R ． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间．（II ）若函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（I ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞．1()21f x x x'=-+， 由()0f x '>，解得01x <<； 由()0f x '<，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞． （2）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数， 所以()0f x '≤在(1,)+∞上恒成立， 则21()20f x a x a x'=-+≤， 即22()210g x a x ax =--≥在(1,)+∞上恒成立．①当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立．②当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =． 2(1)014g a a ⎧⎪⎨<⎪⎩≥，即22(1)2104g a a a a ⎧=--⎪⎨<⎪⎩≥， 解得112104a a a a ⎧-⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩≤或≥或．综上所述，实数a 的取值范围为12a -≤，1a ≥．18．（本小题满分13分）已知函数1()2f x =+．（I ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（II ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．【答案】（I ）12（II ）见解析 【解析】（I ）由函数的解析式可得：πππsin sin 2π1333π322cos 3f ⎫⎛⎫-⨯⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+ ⎪⎝⎭1121222⎝⎭=+⨯ 102=+ 12=． （II ）∵cos 0x ≠，得ππ2x k ≠+，()k ∈Z ， 故()f x 的定义域为ππ,()2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．因为1()2f x =+1sin sin )2x x x =-+212sin 2x x =-+1cos 21222x x -=-+12cos 22x x =+ πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． 由ππ3π2π22π262k x k +++≤≤，ππ2x k ≠+， k ∈Z ，得π2πππ63k x k ++≤≤，ππ2x k ≠+，k ∈Z ， 所以，()f x 的单调递减区间为πππ,π62k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，π2ππ,π23k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．19．（本小题满分14分） 设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （I ）2k =时，求函数()f x 的增区间．（II ）当0k <时，求函数()()g x f x '=在区间(]0,2上的最小值． 【答案】见解析【解析】解：（I ）2k =，2()(1)4ln f x x x =+-．则42()22(1)(2)0f x x x x x x'=+-=-+>，（此处用“≥”同样给分）注意到0x >，故1x >，于是函数的增区间为(1,)+∞．（写为[)1,+∞同样给分）（II ）当0k <时，2()()22k g x f x x x'==+-．()222k g x xx -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当x =上述“≥”中取“=”．(]0,2，即当[)4,0k ∈-时，函数()g x 在区间(]0,2上的最小值为2； ②若4k <-，则2()21k g x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭在(]0,2上为负恒成立， 故()g x 在区间(]0,2上为减函数，于是()g x 在区间(]0,2上的最小值为(2)6g k =-．综上所述，当[)4,0k ∈-时，函数()g x 在区间(]0,2上的最小值为2． 当4k <-时，函数()g x 在区间(]0,2上的最小值为6k -．20．（本小题满分14分）设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，，n a 为(2,3,4,,)n n =阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=；②123||||||||1n a a a a ++++=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．（2）若某2017阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式． （3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证：1||2k S ≤．【答案】见解析【解析】（1）三阶：12-，0，12四阶：38-，18-，18，38．（2）设等差数列1a ，2a ，3a ，，21(1)k a k +≥公差为d ，∵123210k a a a a +++++=，∴12(21)(21)02k k dk a +++=， ∴10a kd +=，即10k a +=， ∴2k a d +=且0d =时与①②矛盾， 0d >时，由①②得：232112k k k a a a ++++++=， ∴(1)122k k kd d -+=，即1(1)d k k =+，由10k a +=得10(1)k a k k +=+，即111a k =-+，∴111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n k k k k k k k=-+-=-∈++++N *≤， 令2120171008k k +=⇒=，∴1100810091008n n a =-⨯，0d <时，同理得(1)122k k kd d -==-，即1(1)d k k =-+，由10k a +=得110(1)a k k k -⋅=+即111a k =+， ∴111(1)(,21)1(1)(1)n n a n n n k k k k k k k=--=-+∈++++N *≤， ∴1008k =时，1100810091008n n a =-+⨯．（3）当k n =时，显然1||02n S =≤成立；当k n <时，根据条件①得12k k S a a a =+++，12()k k n a a a ++=-+++， 即12||||k k S a a a =+++，12||k k n a a a ++=+++，∴12122||||||k k k k n S a a a a a a ++=+++++++，∴1||2k S ≤．。
北京市东城区2017年高三一模数学理科试卷及答案
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =U（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<（2）已知命题:,2np n ∀∈>N ，则p ⌝是（A）,2nn ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N （C）,2nn ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）13（B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x =图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 （A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区北京一中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版缺答案
北京市第一中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三年级数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合|Mx x a ≤，|20Nx x，若MN ，则a 的取值范围为（）．A ．0aB ．0a ≥C ．2aD ．2a ≤2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）．A ．exy B ．3yxC ．sin 2yxD ．12log yx3．若向量a ，b 满足||||2a b ，且6a bb b，则向量a ，b 的夹角为（）．A ．30B ．45C ．60D ．904．已知命题:p x R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（）．A ．命题:p x R ，2x ≤B ．命题:p x R ，2x C ．命题:p xR ，2x ≤D ．命题:p xR ，2x5．已知a ，b R ，下列四个条件中，使a b 成立的必要而不充分的条件是（）．A ．1a bB ．1ab C ．||||a b D ．22ab6．已知向量(3,1)a，12,2b，则下列向量可以与2ab 垂直的是（）．A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(4,2)D ．(4,2)7．为了得到函数sin 2cos2y x x 的图像，只需把函数sin 2cos2y x x 的图像（）．A ．向右平移π2个单位B ．向左平移π2个单位C ．向右平移π4个单位D ．向左平移π4个单位8．已知数列n a 满足1a a ，12nna a ，定义数列n b ，使得1nnb a ，nN *，若46a ，则数列n b 的最大项为（）．A ．2b B ．3b C ．4b D ．5b 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知2log 5a，23b，3log 2c，则a ，b ，c 的大小关系为__________．10．若1sin cos2，则sin 2的值是__________．11．计算211d xxx__________．12．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ABAC ，则的值为__________．DA BCE13．函数()sin()(,0,0π)f x A x A 的部分图像如图所示，其中A 、B 两点间距离为5，则__________．222xy O AB14．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x 满足下列两个条件，则称()y f x 在定义域D 上是闭函数．①()y f x 在D 上是单调函数；②存在区间,a bD ，使()f x 在,a b 上值域为,a b ．如果函数()21f x x k 为闭函数，则k 的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（本小题满分13分）已知等差数列n a 满足：246a a ，63a S ，其中n S 为数列n a 的前n 项和．（I ）求数列n a 的通项公式．（II ）若kN *，且k a ，3k a ，2k S 成等比数列，求k 的值．16．（本小题满分13分）已知ABC △的三个内角分别为A ，B ，C ，且22s i n ()3s i n 2B CA ．（I ）求A 的度数．（II ）若7BC，5AC ，求ABC △的面积S ．17．（本小题满分13分）已知函数22()ln f x xa xax ，()aR ．（I ）当1a时，求函数()f x 的单调区间．（II ）若函数()f x 在区间(1,)上是减函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分13分）已知函数(3cos sin )sin 21()2cos 2xx x f x x．（I ）求π3f的值．（II ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．19．（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln f x x k x ．（I ）2k时，求函数()f x 的增区间．（II ）当0k时，求函数()()g x f x 在区间0,2上的最小值．20．（本小题满分14分）设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，，n a 为(2,3,4,,)n n阶“期待数列”：①1230na a a a ；②123||||||||1n a a a a ．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．（2）若某2017阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S kn ，试证：1||2k S ≤．。
北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）． 1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（ ）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<<．故选C ．2．“0x >”是“20x x +>”的（ ） ． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（ ）．A ．0x ∀>，sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>，sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤”．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（ ）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-， 【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=，当0x =时，函数值为2，过点(0,2)，排除B ，D ． 对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ． 综上，故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（ ）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ，b 是两个非零向量（ ）． A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +-≥|，其中等号当且仅当向量a ，b 共线时成立，所以由||||||a b a b +=-，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（ ）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>，故A 项错误；B 项，若()f a b ≠，如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <，故C 项错误；D 项，2()2bf a >，2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________． 【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________． 【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>． 故三个数12，122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________．【答案】12【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=，解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时，()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =-． 当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-，故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________． 【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >． 故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤，则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y ≤≤，则(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上，设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =--，(6,2)PF x =--， ∴2=64PE PF x x ⋅-+．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤．∴当7λ=-时有一解，当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤．∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()f x的最小正周期2ππ2T==．由πππ2π22π+242k x k--≤≤，k∈Z，可得：3πππ88k x kλ-≤≤+，k∈Z故函数()f x的单调递增区间是π3ππ,π88k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k∈Z．（2）∵π3π,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin24x⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦π24x⎛⎫⎡-∈-⎪⎣⎝⎭，即()f x⎡∈-⎣，故函数()f x在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)na n =满足12n na a+=，且1a，21a+，3a成等差数列，设23log10n nb a=-．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式．（2）求数列{}n b的前n项和n T．【答案】【解析】（1）12n na a=+，∴{}n a为等比数列，其公比为2．∵1a，21a+，3a成等差数列，∴2132(1)a a a=++，即1112(21)4a a a=++，解得：12a=．∴112n nna a q-==，222log103log210310nn nb a n=-=-=-，故2nna=，310nb n=-．（2）由310nb n=-，可得{}n b的前几项和为1(317)2nS n n=-．当13n-≤≤时，0nb<，即1(317)2n nT S n n=-=--；当4n≥时，可得：231317482(317)2422n nn nT S S n n-=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42nn nnT nn nn⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N≤≤≥++．17．在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =C 的大小． （2）求sin sin A C ⋅的取值范围． 【答案】【解析】（1）在ABC △中，1cos 2B =-，(0,π)B ∈,∴2π3B =,sin B =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得：2sin A =，∴1sin 2A =，∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦． 故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立，求实数a 的最小值． 【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+． （2）由()0f x =，可得1x =，即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得： 当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值，无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e xxf x -=>， 若1a <，令12x =，2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+， 由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意； 若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥， 所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥， 即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立． 综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =，结合222a b =+c ，解得：a ，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+， 将直线方程与椭圆方程联立，22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++． 由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和：12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，n *∈N ． （1）当1m =时，求2a ，3a ，4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论． （3）当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >． 【答案】【解析】（1）当1m =时，211n na a =++，10a =， ∴21a =，32a =，45a =．（2）∵2a ，3a ，4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++，∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． （3）∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >，∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥，，21a a d -≥，∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥． 取正整数20161k d>+，则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时，存在*k ∈N ,使得2016k a >．。
北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析
北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分(选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）． 1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（ ）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<,{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<<．故选C ．2．“0x >"是“20x x +>”的（ ） ． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>"的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>,sin 21x x >-，则p ⌝为( ）． A ．0x ∀>,sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>,sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤"．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=( ）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=,当0x =时，函数值为2,过点(0,2),排除B ，D ． 对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ． 综上,故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像( ）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ,b 是两个非零向量（ ）． A ．若||||||a b a b +=-,则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +-≥|，其中等号当且仅当向量a ，b 共线时成立，所以由||||||a b a b +=-，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（ ）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥,则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>,故A 项错误；B 项，若()f a b ≠,如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <,故C 项错误；D 项，2()2bf a >,2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分,共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________． 【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________． 【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12,122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________． 【答案】12【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=,解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-;当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时,()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-,所以(1)(1)f f =-． 当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-,故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________． 【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >． 故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴,以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤,则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ,06y ≤≤，则(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤,有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上,设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =--，(6,2)PF x =--, ∴2=64PE PF x x ⋅-+．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤．∴当7λ=-时有一解,当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上,设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤．∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解． 综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． （2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 由πππ2π22π+242k x k --≤≤，k ∈Z ，可得:3πππ88k x k λ-≤≤+，k ∈Z故函数()f x 的单调递增区间是π3ππ,π88k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k ∈Z ．（2）∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 24x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π24x ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，即()f x ⎡∈-⎣，故函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)n a n =满足12n n a a +=，且1a ,21a +，3a 成等差数列，设23log 10n n b a =-． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】【解析】（1）12n n a a =+，∴{}n a 为等比数列,其公比为2．∵1a ,21a +，3a 成等差数列,∴2132(1)a a a =++，即1112(21)4a a a =++，解得:12a =． ∴112n n n a a q -==，222log 103log 210310n n n b a n =-=-=-, 故2n n a =，310n b n =-．（2）由310n b n =-，可得{}n b 的前几项和为1(317)2n S n n =-．当13n -≤≤时，0n b <,即1(317)2n n T S n n =-=--；当4n ≥时，可得：231317482(317)2422n n n n T S S n n -=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42n n nn T n n n n ⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N ≤≤≥++．17．在ABC △中,内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ,且1cos 2B =-．(1）若2a =,b =求角C 的大小． (2）求sin sin A C ⋅的取值范围． 【答案】【解析】(1）在ABC △中,1cos 2B =-，(0,π)B ∈，∴2π3B =，sin B =． 由正弦定理sin sin a b A B=，可得:2sin A ，∴1sin 2A =,∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦． 故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=． (1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立,求实数a 的最小值． 【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+． （2)由()0f x =，可得1x =,即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值,无极大值．【注意有文字】 （3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e x xf x -=>，若1a <,令12x =,2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+,由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意； 若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥， 所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥, 即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立． 综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A )，判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值?若是定值,求出改定值;若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =,结合222a b =+c ，解得：a =，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+,将直线方程与椭圆方程联立,22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++,得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++． 由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和： 12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中,10a =，21n n a a m +=+,其中m ∈R ,n *∈N ． （1）当1m =时，求2a ，3a ,4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ,3a ，4a 构成公差不为0的等差数列?证明你的结论． （3)当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >． 【答案】【解析】（1）当1m =时,211n na a =++,10a =， ∴21a =,32a =，45a =．(2）∵2a ，3a ,4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++,∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列． （3)∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >,∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥,12n n a a d ---≥，，21a a d -≥，∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥． 取正整数20161k d>+,则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时,存在*k ∈N ,使得2016k a >．。
2016-2017学年北京东城区北京市第二中学高二上学期理科期中数学试卷
2016~2017学年北京东城区北京市第二中学高二上学期理科期中数学试卷选择1. 如果复数)1)(2mi i m ++（是实数，则实数m （ ）． A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-2. 某学生解选择题出错的概率为0.1，该生解三道选择题至少有一道题出错的概率是（ ）．A. 0.13 X 0.9B. 0.13 +0.12X 0.9 +0.1 X 0.92C.1- 0.93D.0.133. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线⊄b 平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ）．A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误4. 一个物体在变力25)(x x F -= （力单位：N ，位移单位 m ）作用下，沿与)(x F 成 300方向作直线运动，则由1=x 到2=x 时)(x F 作的功为（ ）．A. J 3B. J 332C. J 32D. J 3345. 观察右侧数表规律，则数2007的箭头方向是（ ）．A.B. C. D.6. 曲线x x x y cos sin sin +=在点)0,4(πM 处的切线的斜率为（ ）． A.21- B. 21 C. 22- D . 22 7.若实数a ，b 满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记b a b a b a --+=22),(ψ，那么 0),(=b a ψ是a 与b 互补的（ ）．A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数)(x f 对于定义域 R 内的任意x 都有)(x f )4(x f -=，且当2≠x 时，其导函数)('x f 满足)(2)(''x f x xf ，若42 a ，则（ ）．A.)(log 2a f )3(f )2(a f B. )3(f )(log 2a f )2(a f C.)2(a f )3(f )(log 2a f D. )(log 2a f )2(a f )3(f9. 已知函数x e x f x +=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：① A B C ∆一定是钝角三角形；② ABC ∆可能是直角三角形；③ A B C ∆可能是等腰三角形；④ ABC ∆不可能是等腰三角形；其中，正确的判断是（ ）．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④10. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ）． A.]1,33[ B. ]1,36[ C. ]322,36[ D. ]1,322[ 11.对实数a 与b ,定义运算“⊗”：⎩⎨⎧-≤-=⊗1,1, b a b b a a b a ．设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=．若函数c x f y -=)(的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）． A.)43,1(]2,(----∞ B. )23,1(]2,(---∞ C.),41()41,1(+∞- D. ),41[)43,1(+∞-- 12. 观察下列各式：312555=，1562556=，7812557=， ，则20115的末四位数字为（ ）．A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125填空。
北京东城171中2016-2017学年高二上期中数学(理)试题(含精品解析)
北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（理）期中考试试题一、选择题：1. 如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选．2. 原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选．3. 正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：，即，所以外接球的表面积：，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：．故选．4. 图中的直线的斜率分别是，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知：，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，综上可知：，故选．5. 平面平面，点，，，，有，过，，确定的平面记为，则是（）．A. 直线B. 直线C. 直线D. 以上都不对【答案】C【解析】∵，∴，，又，∴，∴，，又∵，，∴，故选．6. 对于平面和异面直线，，下列命题中真命题是（）．A. 存在平面，使，B. 存在平面，使，C. 存在平面，满足，D. 存在平面，满足，【答案】D【解析】选项，如果存在平面，使，，则，与，是异面直线矛盾，故不成立；选项，如果存在平面，使，则，共面，与，是异面直线矛盾，故不成立；选项，存在平面，满足，，则，因为，是任意两条异面直线，不一定满足，故不成立；选项，存在平面，使，，故成立．综上所述，故选．7. 直线的倾斜角范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则，∵，∴，即：，∴，故选．8. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且，，，∴，，，，所以四个面中面积最大的是，故选．点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．视频9. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆的方程，得圆心坐标为：，因直线始终平分圆的周长，则直线必过点，∴，∴，∴，即，当且仅当时，等号成立，∴的取值范围是：，故选．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，（，，大于零），则四面体的体积（）．A. 与，，都有关B. 与有关，与，无关C. 与有关，与，无关D. 与有关，与，无关【答案】D【解析】如图：在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．二、填空题：11. 已知圆，则过点的圆的切线方程是__________．【答案】【解析】∵点在圆上，且，∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：．12. 直线所经过的定点坐标为__________．【答案】【解析】把整理后得：，∴，解得：，故直线恒过定点．13. 已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，则周长为__________．【答案】【解析】由椭圆，可得：．的周长．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.14. 在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】【解析】15. 在三棱锥中，已知，，从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是__________．【答案】【解析】将三棱锥沿展开，如图所示：由题意可知：，，∴．即从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是．点睛：立体几何最值问题，一般把空间问题转化为平面问题（通常为展开图），再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，通过解三角形等方法求最值.16. 二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．【答案】【解析】过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接，则即是二面角的平面角，∴，设，则，，，，∴．即与平面所成角的正弦值是．三、解答题17. 如图，在正方体中，、为棱、的中点．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求证：平面平面．（Ⅲ）若正方体棱长为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得EF//BD，再根据平行四边形性质得，从而有，再根据线面平行判定定理得平面（2）分析可得关键证平面，这可由正方形性质得，由正方体性质得平面，即得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理证得结论（3），三棱锥高为，再利用三棱锥体积公式可得体积试题解析：（Ⅰ）证明：连接，∵且，∴四边形是平行四边形，∴．又∵、分别是，的中点，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明：在正方体中，∵平面，∴，又∵四边形是正方形，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅲ），∵，∴．18. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析.(2).(3)；证明见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 已知椭圆，其长轴为，短轴为.（1）求椭圆的方程及离心率.（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）1【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值试题解析：解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：，设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.。
北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析
北京市第一七一中学2016—2017学年度第一学期高二年级数学（理)期中考试试题(考试时间:100分钟总分:100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选D ．2．原点到直线250x y +-=的距离为（ )．A ．1B ．3C ．2D ．5 【答案】D【解析】22|5|512d -==+,故选D ．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）．A ．3:πB ．2:πC ．1:2πD ．1:3π【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积216S a =，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知:23R a =，即32R a =， 所以外接球的表面积：2224π3πS R a ==，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：226:3π2:πa a =．故选B ．4．如图,直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则（ )．A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】A【解析】由图可知：10k <，20k >,30k >，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >,综上可知：123k k k <<，故选A ．5．平面α平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R =,过A ,B ,C 确定的平面记为γ，则βγ是（ ）． A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对 【答案】C【解析】∵AB l R =，∴R l ∈，R AB ∈，又l αβ=，∴l β⊂，∴R β∈，R γ∈,又∵C β∈，C γ∈，∴CR βγ=，故选C ．6．对于平面α和异面直线m ，n ,下列命题中真命题是（ )．A ．存在平面α，使m α⊥,n α⊥B ．存在平面α,使m α⊂,n α⊂C ．存在平面α,满足m α⊥，n α∥D ．存在平面α，满足m α∥,n α∥ 【答案】D【解析】A 选项，如果存在平面α，使m α⊥，n α⊥，则m n ∥，与m ,n 是异面直线矛盾，故A 不成立； B 选项，如果存在平面α，使m α⊂，则m ,n 共面，与m ,n 是异面直线矛盾,故B 不成立； C 选项，存在平面α，满足m α⊥，n α∥，则m n ⊥，因为m ，n 是任意两条异面直线,不一定满足m n ⊥，故C 不成立；D 选项，存在平面α，使m α∥,n α∥，故D 成立．综上所述，故选D ．7．直线cos 0x m θ⋅+=的倾斜角范围是（ ）．A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tanαθ=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴θ即：tan α∴π5π0,,π66θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B ．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是( ）．A ．8B ．62C ．10D ．82【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示:易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =△，18A AB S =△,110A AC S =△，162A BC S =△，所以四个面中面积最大的是10，故选C ．9．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则ab 的取值范围是（ ）． A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,8] D ．[8,)+∞【答案】D【解析】由圆的方程224280x y x y +---=，得圆心坐标为：(2,1),因直线1(0,0)x y a b a b +=>>始终平分圆的周长，则直线1x y a b+=必过点(2,1)， ∴211a b +=, ∴212a b ab+≥ ∴212ab ≥8ab ≥，当且仅当2112a b ==时，等号成立， ∴ab 的取值范围是：[8,)+∞，故选D ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =,1A E x =,DQ y =,DP z =(x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的面积（ ）．A ．与x ,y ,z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关,与x ,z 无关D ．与z 有关，与x ,y 无关【答案】D【解析】如图：EF 在棱11A B 上,Q 在棱CD 上，11A B CD ∥,所以QEF △的高为定值,又EF 为定值1，所以QEF △的面积为定值，四面体PEFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离有关,即与DP 的大小有关，故选D ．二、填空题:11．已知圆22:4C x y +=，则过点(2,0)P 的圆的切线方程是__________．【答案】20x -=【解析】∵点(2,0)P 在圆22:4C x y +=上，且0CP k =,∴过点(2,0)P 的且切线斜率不存在,故切线方程是：20x -=．12．直线(21)(3)110()k x k y k k --+-+=∈R 所经过的顶点坐标为__________．【答案】(2,3)【解析】把(21)(3)110k x k y k --+-+=整理后得：(21)(311)0k x y x y ---+-=， ∴2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得:23x y =⎧⎨=⎩, 故直线(21)(3)110k x k y k --+-+=恒过定点(2,3)．13．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则1AF B △周长为__________． 【答案】16 【解析】由椭圆221169x y +=,可得:4a =． 1AF B △的周长111212||||||||||||||416AF BF AB AF AF BF BF a =++=+++==．14．在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】56 【解析】111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．【注意有文字】15．在三棱锥P ABC -中，已知2PA PB PC ===，30BPA BPC CPA ∠=∠=∠=︒，从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中,最短距离是__________． 【答案】22【解析】将三棱锥P ABC -沿PA 展开，如图所示:由题意可知：2PA PA '==，90APA '∠=︒,∴22AA '=．即从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是22．16．二面角l αβ--的大小是60︒,线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒,则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．【答案】64【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在α内作AD l ⊥,垂足为D ，连接CD ， 则ADC ∠即是二面角l αβ--的平面角，∴60ADC ∠=︒，设AD x =，则BD x =，2AB x =,12CD x =，3AC ， ∴362sin 2AC ABC AB x∠== 即AB 与平面β6三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ）求证:平面11CAAC ⊥平面11CB D ．(Ⅲ）若正方体棱长为2，求三棱锥11A EFB -的体积．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明:连接BD ，∵11BB DD ∥且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥．又∵E 、F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF BD ∥，∴11EF B D ∥，又∵EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面1CBD ，∴EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ)证明:在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平面1111A B C D ，∴111AA B D ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形，∴1111B D AC ⊥,∴11B D ⊥平面11CAAC ，又∵11B D ⊂平面11CB D ，∴平面11CAAC ⊥平面11CB D ． （Ⅲ）11111112A EFB E A B F A B F V V S AE --==⨯△，∵111111122222A B F S A B AA =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11122133A EFB V -=⨯⨯=．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒． （Ⅰ）求证:AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ)求二面角F BE D --的余弦值．(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥，∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒,∴3ED DB由3AD =，可知：36DE =，6AF =．则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-，设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303260y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴(3,3,0)CA =-，所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅===． 因为二面角为锐角，故二面角F BE D --． （Ⅲ）依题意得,设(,,0)(0)M t t t >，则(3,,0)AM t t =-，∵AM ∥平面BEF ,∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =，∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时23DM DB =， ∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，及离心率．(Ⅱ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于A ,B 两点,求OAB △面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2a =，1b =，c∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，离心率：c e a == (Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ,则直线方程为：2y kx =+， 由22442x y y kx ⎧+=⎨=+⎩,得22(41)16120k x kx +++=， 222(16)4(41)1216(43)k k k ∆=-+⨯=-,由0∆>得：2430k ->，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，||AB =又∵原点O 到直线的距离d =∴1||2OAB S AB d =⨯=△41=． 当且仅当22164343k k -=-,即2434k -=时，等号成立， 此时OAB △面积的最大值为1．。
北京市东城区东直门中学20162017学年高二上学期期中考试数学(理)试题
北京市东直门中学2016-2017学年度第一学期期中考试高二数学2016．11．8一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点(3,4,5)P ，在yOz 平面上的射影P '的坐标是（ ）． A ．(0,4,5) B ．(3,0,5) C ．(3,4,0) D ．(3,0,0)【答案】A【解析】点P 在yOz 平面上的射影P '和点P 的y 坐标相同，z 坐标相同，x 坐标为O ， ∴P '坐标为(0,4,5)，故选A ．2．已知全集{},,,U a b c d =，集合{},A a b =，{},B b c =，则()UA B 等于（ ）．A ．{}bB ．{}dC ．{},,a c dD ．{},,a b c【答案】B【解析】∵{,}A a b =，{,}B b c =， ∴{,,}A B a b c =， ∴(){}UA B d =．故选B ．3．πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）．A B ． C ．12D ．12-【答案】D【解析】ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选D ．4．已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是（ ）． A ．b ⊂平面α B ．b ⊥平面α C ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α【答案】D【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的可得：b 与平面α相交或b ∥平面α．故选D ．5．已知命题21:p x x ∀>，2122x x >，则p ⌝是（ ）． A ．21x x ∀>，2122x x < B ．21x x ∃>，2122x x ≤ C ．21x x ∀≤，2122x x ≤D ．21x x ∃≤，2122x x <【答案】B【解析】命题p 是全称命题，其否定为特称命题，所以:p ⌝“21x x ∃>，2122x x ≤”．故选B ．6．“tan 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“角α是第一象限角”，则“tan 0α>”，“若tan 0α>”，则“角α是第一象限角或第三象限角”，所以“tan 0α>”是“角α是第一象限角”的必要不充分条件．故选B ．7．已知向量(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，则||a b +等于（ ）． AB ．3CD ．9【答案】C【解析】∵(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，(3,5,1)a b +=，∴||925a b +=+=故选C ．8．命题p ：x ∀∈R ，220x ax a ++≥；命题q ：向量(2,3,0)e =，(0,0,0)f =不平行，则下列命题中为真命题的是（ ）． A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】∵p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∨是真命题．故选B ．9．已知向量(0,1,1)a =-，(1,0,2)b =，若向量ka b +与向量a b -互相垂直，则实数k 的值是（ ）．A ．32B ．2C ．54D ．74【答案】 D【解析】∵(0,1,1)a =-，(1,0,2)b =， ∴(1,,2)ka b k k +=-+，(1,1,3)a b -=--， ∵ka b +与a b -互相垂直， ∴13(2)0k k -+--+=， 解得：74k =． 故选D ．10．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =那么向量AP 用基底{},,a b c 可表示为（ ）．ABCOPA ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．12a b c ++D ．1122a b c -++【答案】D【解析】111111()()222222AP AB AC OB OA OC OA OA OB OC =+=-+-=-++ ∴1122AP a b c =-++．故选D ．11．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）．A ．2425-B ．2425C ．725-D ．725【答案】A【解析】∵3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=-，∴24sin 22sin cos 25ααα==-． 故选A ．12．已知(2,5,1)A -，(2,2,4)B -，(1,4,1)C -，则向量AB 与AC 的夹角为（ ）． A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】∵(2,5,1)A -，(2,2,4)B -，(1,4,1)C -， ∴(0,3,3)AB =，(1,1,0)AC =-， ∴1cos ,2||||3AB AC AB AC AB AC ⋅<>===，∴AB 与AC 的夹角为60︒，故选C ．13．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ①a αββγγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥ 其中为真命题的是（ ）． A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①利用平面与平面平行的性质定理可知：αβ∥，a γ∥，则βγ∥，故①正确； ②αβ⊥，m α∥，则m 与β可能平行，也可能相交，故②错误；③m n ββ⇒∃⊂∥，且m n ∥，因为m α⊥，所以n α⊥，所以αβ⊥，故③正确； ④m n ∥，n m αα⊂⇒∥或m α⊂，故④错误．综上所述，真命题是：①③．故选B．14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）．侧视图俯视图A．13B．12C．1D．32【答案】A【解析】三棱锥如图所示，1CD=，2BC=，CD BC⊥，且1A BCDh-=，∴底面积11212BCDS=⨯⨯=，∴11111333A BCD BCDV S h-=⋅⋅=⨯⨯=．故选A．DABCh15．已知正方体1111ABCD A B C D-，点E，F，G分别是线段1B B，AB和1A C上的动点，观察直线CE与1D F，CE与1D G．给出下列结论：①对于任意给定的点E，存在点F，使得1D F CE⊥；②对于任意给定的点F，存在点E，使得1CE D F⊥；③对于任意给定的点E，存在点G，使得1D G CE⊥；④对于任意给定的点G，存在点E，使得1CE D G⊥．其中正确结论的个数是（）．A1B1C1D1FECBAGDA．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①只有1D F ⊥平面11BCC B ，即1D F ⊥平面11ADD A 时， 才能满足对于任意，给定的点E ，存在点F ，使得1D F CE ⊥，∵过1D 点与平面11ADD A 垂直的直线只有一条11D C ，而11D C AB ∥，故①错误．②当点E 与1B 重合时，CE AB ⊥且1CE AD ⊥，∴CE ⊥平面1ABD ， ∵对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1CE D F ⊥，故②正确． ③只有CE 垂直于1D G 在平面1BCC B 中的射影时，1D G CE ⊥，故③正确．④只有CE ⊥平面11A CD 时，④才正确，因为过C 点的平面11A CD 的垂线与1BB 无交点，故④错误．综上，正确的结论是②③，故选C ．每二部分（非选择题）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）16．已知向量(3,5,1)a =，(2,2,3)b =，(4,1,3)c =--，则向量234a b c -+的坐标为___________．【答案】(16,0,19)-【解析】∵(3,5,1)a =，(2,2,3)b =，(4,1,3)c =--， ∴2342(3,5,1)3(2,2,3)4(4,1,3)(16,0,19)a b c -+=-+--=-．17．已知向量(2,1,3)a =-，(4,,)b x y =-，若a b ∥则实数x y +=___________． 【答案】4-【解析】∵(2,1,3)a =-，(4,,)b x y =-，a b ∥， ∴2x =，6y =-，4x y +=-．18．空间不共线的四点，可能确定___________个平面． 【答案】1或4【解析】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定4个平面，当四点共面时，可确定1个平面，故空间不共线四点，可确定1个或4个平面．19．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为___________．【解析】∵底面面积是π，∴底面半径是1， 又∵圆锥侧面积为π2πrl =，1r =，∴2l =，且圆锥高h∴圆锥的体积为：1π3V =⨯．20．下图的正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成45︒角；④DM 与BN 垂直． 其中正确结论的是___________．MN FEC B AD【答案】④【解析】将正方体还原，如图所示：BM ED ⊥，故①错； CN BE ∥，故②错；CN 和BM 所成角为60︒，故③错； DM BN ⊥，故④正确． 综上，正确结论是④．MN FE D AB C21．一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是___________．正(主)视图侧(左)视图俯视图【答案】6【解析】三视图对应的几何体如图所示，截面是一个等腰三角形，腰长为所以截面的面积为：162⨯．22．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________． ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．【答案】乙；数学【解析】①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙． ②观察散点图，作出对角线y x =，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学．三、解答题（本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．（本题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD =︒∠，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ． （Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．FE CBAP D【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵E 、F 分别是AP 、AD 的中点， ∴EF PD ∥，又EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD ． （Ⅱ）连接BD ，∵AB AD =，60BAD =︒∠， ∴ABD △是等边三角形， ∴BF AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD =，BF ⊂平面ABCD ，∴BF ⊥平面PAD ， 又∵BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ．DP ABCE F24．（本题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()cos 2sin 2cos 21f x x x x x x =-=+-1π22cos212sin 2126x x x ⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （Ⅱ）∵π04x ≤≤，∴ππ2π2663x +≤≤，∴1πsin 2126x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤， ∴π02sin 2116x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，即：0()1f x ≤≤．当且仅当0x =时，()f x 取最小值，()min (0)0f x f ==． 当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值，max π()16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．25．（本题满分14分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且22AC BC BD AE ====，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM EM ⊥．（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．MECBAD【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵AC BC =，M 是AB 的中点， ∴CM AB ⊥， 又EA ⊥平面ABC ， ∴CM EA ⊥， ∵EA AB A =， ∴CM ⊥平面AEM ， ∴CM EM ⊥．（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ，MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz -．则： (0,0,0)M，C，B ，(2,0,2)D，(2,0,1)E -， (ME =-，(0,2,0)MC =，(0,0,2)BD =，(BC =-，设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z=，则：11100z ⎧+=⎪=，取11x=，10y=，1z =，所以m =， 设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z =，则：2220,20,y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取11x =，11y =，10z =，所以(1,1,0)n =， cos ||||2m n m n m n ⋅<⋅>==⨯故平面EMC 与平面BCD． （Ⅲ）在棱DC 上存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒， 设(,,)N x y z 且DN DC λ=，(01)λ≤≤，∴(,2)(2)x y z λ--=-，∴2x =-，y =，22z λ=-，∴(2,22)MN λ=-，若直线MN 与平面EMC 所成的的角为60︒，则：cos ,sin 60MN m <=︒解得12λ=， 所以在棱DC 上存在一点N ，使直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒， 点N 为棱DC 的中点．26．（本题满分10分） 已知数列{}1212,,(1,2)n n A a a a a a a n =<<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 两数至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证：11a =． （Ⅲ）求证：1211112nn na a a a a a a ---++=+++． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，所以该数集不具有性质P ， 由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66，都属于数集{}1,2,3,6，所以该数集具有性质P ．（Ⅱ）因为123{,,}n A a a a a =具有性质P ，百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 所以n n a a 与n na a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a <<≤，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉， 从而1n na A a =∈，所以11a =． （Ⅲ）因为121n a a a =<<<，所以k n n a a a >，故(2,3)k n a a A k n ∉=． 由A 具有性质P 可知(1,2,)n k a A k n a ∈=， 又因为121n n n n n n a a a a a a a a -<<<， 所以1n n a a =，21n n a a a -=，，12n n a a a -=，1n n a a a =， 从而121n n n n n n a a a a a a a a -++++ 121n n a a a a -=++++， 所以1211112n n na a a a a a a ---+++=++．。
北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（文）期中考试试题一、选择题10小题，每小题4分，共40分1．如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，截去三棱锥A ABC '-，则剩余部分是（ ）． AB CA'B'C' A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．三棱柱 D ．三棱台【答案】B【解析】三棱台A B C ABC '''-沿A BC '截去三棱锥A ABC '-，剩余部分是四棱锥A BCC B '''-，故选B ．2．经过两点(4,0)A ，(0,3)B -的直线方程是（ ）．A ．34120x y --=B ．34120x y +-=C ．43120x y -+= D ．43120x y ++= 【答案】A 【解析】由直线方程的截距式可得直线方程为：143x y +=-， 即34120x y --=，故选A ．3．在下列命题中，假命题是（ ）．A ．如果平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线，那么αβ⊥B ．如果平面α内的任意直线平行于平面β，那么αβ∥C ．如果平面α⊥平面β，任取直线l α⊂，那么必有l β⊥D ．如果平面α∥平面β，任取直线l α⊂，那么必有l β∥【答案】C【解析】由l β⊥，l α⊂，得αβ⊥，∴A 是真命题．若α内任一条直线都平行于β，则α与β无公共点，由面面平行的定义知αβ∥，∴B 是真命题．由αβ⊥，l α⊂可得l β∥，或l 与β相交（垂直或斜交），∴C 是假命题．若αβ∥，l α⊂，则l β∥，这是面面平行性质定理，∴D 是真命题．综上所述，故选C ．4．如果两直线330x y +-=与610x my ++=互相平行，那么它们之间的距离为（ ）． A ．4 BCD【答案】D【解析】对330x y +-=变形可得6260x y +-=，∵直线330x y +-=与610x my ++=平行，∴2m =，=， 故选D ．5．如图，l αβ=，A α∈，B α∈，AB l D =，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是（ ）．A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【解析】由题意知，D l ∈，l β⊂，∴D β∈，又∵D AB ∈，∴D ∈平面ABC ，即D 在平面ABC 与平面β的交线上，又C ∈平面ABC ，C β∈，∴点C 在平面ABC 与平面β的交线上，∴平面ABC平面CD β=，故选C ．6．已知圆221:1O x y +=与圆222:(3)(4)16O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（ ）．A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离【答案】C【解析】圆1O 的圆心为(0,0)，半径为1r =，圆2O 的圆心为(3,4)-，半径为4R =， ∴两圆的圆心距5d =，∴d R r =+，∴两圆外切，故选C ．7．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm ），则它的体积是（ ）3cm ．俯视图侧视图正视图A． B ．18 C．18 D【答案】A【解析】由三视图知几何体是一个三棱柱，1232V =⨯= 故选A ．8．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）． A ．1 B． CD ．3【答案】C【解析】因为切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1=故选C ．9．若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线229x y +=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）．A．( B．⎡⎣ C ．(2,2)- D ．[]2,2-【答案】B【解析】由直线方程可知直线恒过定点(2,)b ，要使直线(2)y k x b =-+与曲线229x y +=总有公共点，则点(2,)b 在圆内或圆上，即2229b +≤，解得：b故b的取值范围是：⎡⎣，故选B ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1CD 中点，M 为线段1BC 上的动点（M 不与B ，1C 重合），以下四个命题：1DA B C M NC 1B 1A 1（1）1CD ⊥平面BMN ．（2）MN ∥平面11AB D ；（3）1D MN △的面积与CMN △的面积相等；（4）三棱锥D MNC -的体积有最大值，其中真命题的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】（1）1CD 与BM 不垂直，所以1CD ⊥平面BMN 不正确；（2）平面BMN ∥平面11AB D ，所以MN ∥平面11AB D ，正确；（3）两个三角形等底等高，1D MN △的面积与CMN △的面积相等，正确；（4）M 与B 重合，三棱锥D MNC -的体积最大，所以（4）不正确．综上，真命题的个数是2个，故选B ．二、填空题6小题，每小题4分，共24分11．已知a ，b 是两条异面直线，c a ∥，那么c 与b 的位置关系为__________．【答案】相交或异面【解析】若c b ∥，则由c a ∥可得到a b ∥，与a ，b 是两条异面直线矛盾，所以b 与c 可能相交；也可能异面，不可能平行，故c 与b 的位置关系为相交或异面．12．已知直线1:210l x y ++=与直线2:420l x ay +-=垂直，那么a 的值是__________．【答案】2-【解析】直线1:210l x y ++=和直线2:42l x ay +-垂直，则：1420a ⨯+=，解得：2a =-．13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，F 是AC 的中点，E 是PC上的点，且EF BC ⊥，则PE EC=__________．ABCEF【答案】1 【解析】在三棱锥P ABC -中，∵PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，∴AB ⊥平面PAC ，∴EF AB ⊥，∴EF BC ⊥，∴EF ⊥底面ABC ，∴PA EF =，∵F 是AC 的中点，∴E 是PC 的中点， ∴1PE EC=．14．如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．【答案】1:【解析】∵三个球的表面积之比是1:2:3，∴三个球的半径之比是∴三个球的体积之比是1:15．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于__________．【答案】【解析】曲线为圆22(3)(1)25x y -+-=，圆心到直线的距离5d =，∴弦长为：16．已知点P 在直线2y x =上，若在圆22:(3)4C x y -+=上存在两点A ，B ，使PA PB ⊥，则点P 的横坐标0x 的取值范围是__________． 【答案】1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时才是最大的角，此时PC的长度为故问题转化为在直线上找到一点，便它到点C的距离为设00(,2)P x x ，则：22200(3)(2)8PC x x =-+=，解得015x =或1， 故点P 的横坐标0x 的取值范围是：1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题4小题，共36分17．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C ．（I ）求直线CD 的方程．（II ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程．【答案】见解析【解析】解：（I ）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∴2CD AB k k ==，∴直线CD 的方程为：2(2)y x =-，即240x y --=．（II ）∵CE AB ⊥， ∴112CE AB k k ==--， ∴直线CE 的方程为：1(2)2y x =--， 即220x y +-=．18．已知一个几何体的三视图如图所示．侧视图正视图（I ）求此几何体的表面积．（II ）如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．【答案】见解析【解析】解：（I ）由三视图可知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱， 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和， 底面圆半径长为a ，圆柱高为2a ，圆锥高为a ．1(22S=圆锥侧(2πS =圆柱侧2πS a =圆柱底∴22224ππ(5πSa a a a =++=表面积．【注意有文字】（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图：QPC BA则PQ故从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为．19．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，P ，Q 分别为线段AB ，CD 的中点，EP ⊥平面ABCD ．D A BC EPQ（I ）求证：AQ ∥平面CEP ．（II ）求证：平面AEQ ⊥平面DEP ．【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥且AB CD =，∵P ，Q 分别是线段AB ，CD 的中点，∴AP CQ ∥，且AP CQ =，∴四边形AQCP 为平行四边形，∴CP AQ ∥，∵AQ ⊄平面CEP ，CP ⊂平面CEP ，∴AQ ∥平面CEP ．（2）证明：连接PQ ，PD ，Q PEC BA D∵2AB BC =，P 为AB 中点，∴PA AD =，∴四边形ADQP 为正方形，∴AQ PD ⊥，又∵EP ⊥平面ABCD ，AQ ⊥平面ABCD ，∴AQ EP ⊥，∵PD EP P =，∴AQ ⊥平面DEP ，∵AQ ⊂平面AEQ ，∴平面AEQ ⊥平面DEP ．20．已知圆C 的圆心为原点O，且与直线0x y ++=相切． （I ）求圆C 的方程．（II ）点P 在直线8x =上，过P 点引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点．【答案】见解析【解析】解：（I ）根据题意得：圆心(0,0)到直线0x y ++=的距离d r =，∴4d r ===，∴圆C 的方程为：2216x y +=．（2）连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是圆C 的两条切线，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴A ，B 在以OP 为直径的圆上，设点P 的坐标为(8,)b ，b ∈R ，则线段OP 的中点坐标为4,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴以OP 为直径的原方程为：2222(4)422b b x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b ∈R ， 化简得：2280x y x by +--=，b ∈R ， ∵AB 为圆2216x y +=和2280x y x by +--=的公共弦， ∴直线AB 的方程为：816x by +=，b ∈R ， 即8(2)0x by -+=，∴直线AB 恒过定点(2,0)．。
2016_2017学年10月北京朝阳区北京市第十七中学高二上学期理科月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 在下列命题中，不是公理的是（ ） A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
． ？若存在，指出点 的位置并证
A.
，
B.
，
C.
，
， D.
，
，
，
9. 如图，三棱柱
中，侧棱
底面
形， 是 中点，则下列叙述正确的是（ ）．
，底面三角形
是正三角
A.
与 是异面直线
C.
平面
B.
平面
D. ，
为异面直线，且
10. 如图所示，在正方体
的侧面
的距离相等，则动点 所在曲线形状为（ ）．
内有一动点 到直线
和直线
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
1 ）请将字母 ， ， 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
2 ）证明：直线
平面
3 ）求二面角
的余弦值．
19. 如图 ，直角梯形 的中点， 是 玉 ．
中， 的交点，将
， 沿
， 折起到图 中
，是 的位置，得到四棱锥
1 ）求证：
平面
．
2 ）当平面
平面
时，求证：
3 ）在线段 上是否存在点 ，使得
平面
明；若不存在，请说明理由．
2. 如图三视图所表示的几何体是（ ）．
2016东城区高二(上)期末数学(理科)
2016东城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在2．（3分）圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y ﹣2）2=253．（3分）已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．44．（3分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（3分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4 C．2D．26．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．28．（3分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．89．（3分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]10．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）双曲线的两条渐近线方程为．12．（3分）以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．13．（3分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|=．14．（3分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．15．（3分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．16．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD．18．（10分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．（10分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y﹣1=0，3x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．20．（11分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．21．（11分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】直线AB的斜率k==2，故选：A．2．【解答】∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），∴圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=25．故选：D．3．【解答】∵直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，∴1×2+（﹣2）m=0，解得m=1故选：C4．【解答】A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．5．【解答】双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．6．【解答】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．7．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM斜率的最小值为k=．故选：A．8．【解答】抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．故选：A．9．【解答】由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．10．【解答】排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：12．【解答】∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．13．【解答】∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．14．【解答】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．15．【解答】设x=交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=上一点，∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为：16．【解答】如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．（2分）又∵CD⊄平面PAB，（4分）且AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（5分）（Ⅱ）∵PA=PB，点E是AB的中点，∴PE⊥AB．（6分）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，（8分）∴PE⊥平面ABCD．（9分）∵AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD．（10分）18．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）19．【解答】联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（﹣，）．（2分）设C（x0，y0），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得（4分）所以C（，）．由已知，直线AD的斜率k AD=3．因为直线BC∥AD，所以，直线BC的方程为3x﹣y﹣16=0．（6分）由已知，直线AB的斜率k AB=﹣1．因为直线CD∥AB，所以，直线CD的方程为x+y﹣11=0．（8分）因此，其他两边所在直线的方程是3x﹣y﹣16=0，x+y﹣11=0．（9分）20．【解答】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．21．【解答】（1）由已知，椭圆方程可设为．（1分）∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（4分）（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（9分）（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0⇔2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．（14分）。
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线段，故选
B. C. D.
，故选
设正方体的棱长为，则正方体的表面积
由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：
，
所以外接球的表面积：，
故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：
的斜率分别是
B. C. D.
【答案】D
由图可知：，，且直线所以综上可知：平面点，，，过，是
B. 直线
C.
D.
，
，
，
，故选
对于平面和异面直线，
存在平面，使存在平面，使，
存在平面，满足存在平面，满足，
选项，如果存在平面，，与，是异面直线矛盾，故
选项，如果存在平面，则共面，与，是异面直线矛盾，故
存在平面，因为是任意两条异面直线，故，使，故
的倾斜角范围是（
B. C. D.
【答案】B
设直线的倾斜角为
，
即：，
，故选
某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（
B. C. D.
，，
，
所以四个面中面积最大的是，故选．
视频
若直线始终平分圆的周长，则
B.
【答案】D
由圆的方程，得圆心坐标为：
始终平分圆的周长，则直线必过点，
，即，当且仅当
的取值范围是：，故选．
如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱
，，，（，，则四面体
，有关，与
有关，与，
在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选
，则过点的圆的切线方程是
【答案】
在圆上，且
的且切线斜率不存在，故切线方程是：
直线
【答案】
，
，解得：，
故直线恒过定点
已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于两点，则周长为
【答案】
，可得：
的周长
点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
在棱长为则截去
【答案】
【解析】
15. 在三棱锥中，已知，，点绕三棱锥侧面一周回到【答案】
将三棱锥展开，如图所示：
，，
．
即从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是
二面角的大小是，线段，，，则所成的角的正弦值是
【答案】
【解析】
作平面的垂线，垂足为，在，垂足为，连接
的平面角，
，则，，
与平面所成角的正弦值是
三、解答题
如图，在正方体，、为棱、
平面．
Ⅱ）求证：平面平面
Ⅲ）若正方体棱长为，求三棱锥
）
，再根据平行四边形性质得，从而有
（平面，这可由正方形性质，由正方体性质得平面，即得，最后根据线面垂直判定定理以及
，三棱锥高为
证明：连接
且
∴四边形是平行四边形，
．
又∵、分别是
，
又∵平面，平面
．
证明：在正方体中，
，
又∵四边形
平面
又∵平面，
平面平面．
，
，
．
的正方形，平面，，，与平面
所成角为
）求证：平面
的余弦值；
）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.
由正方形性质得，平面得，再根据线面垂直判定定理得
坐标，根平面，列方程解得点坐标，再确定位置
证明：∵平面，平面
，
，
平面
）∵，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系
与平面所成角为，即
，可知：，
，，
，
设平面的法向量为，则
，
令，则．
平面，所以为平面
因为二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
依题意得，设，
平面
，解得：
的坐标为
，
是线段靠近
已知椭圆，其长轴为，短轴为
）求椭圆的方程及离心率.
）直线经过定点交于两点，求面积的最大值
，即得椭圆）先设直线方程为：与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长
角形面积公式表示
，，
的方程为：，离心率：．
依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：
，得
由得：，
，，则
，
又∵原点到直线的距离，
．
当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．。