【精品】2016年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期中数学试卷

2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）2．（5分）已知点（α，﹣1）在函数y=log2x的图象上，则函数y=xα的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x＞0}C．{x|x∈R，x≠0}D．R3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）4．（5分）若集合A={0，2，x}，B={x2}，A∪B=A，则满足条件的实数x有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（5分）设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）=的图象如图所示，则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（5分）已知，若[x]是不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]的值域为（）A．[﹣1，0]B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，1]8．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f（x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分.）9．（6分）已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则用列举法表示集合B=；若集合M={﹣1，1，3}，N={a+2，a2+4}满足M∩N={3}，则实数a=．10．（6分）函数f（x）=log2（4﹣x2）的定义域为，值域为，不等式f（x）＞1的解集为．11．（6分）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=，在[﹣2，2]的最大值为2，则f[f（﹣1）]=，a=．12．（6分）已知函数f（x）=（）|x﹣1|+a|x+2|．当a=1时，f（x）的单调递减区间为；当a=﹣1时，f（x）的单调递增区间为．13．（4分）若函数（a＞0且a≠1）满足对任意的x1，x2当时，f（x2）﹣f（x1）＜0，则实数a的取值范围为．14．（4分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．15．（6分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）．当x∈（0，2），f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）（1）已知x=27，y=64，化简并计算：；（2）计算：2log32﹣log3．17．（14分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．18．（14分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2．（1）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值记为g（a），求g（a）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的值．19．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（3）若对任意的t∈（1，4），不等式恒成立，求实数k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选：B．2．（5分）已知点（α，﹣1）在函数y=log2x的图象上，则函数y=xα的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x＞0}C．{x|x∈R，x≠0}D．R【解答】解：∵点（α，﹣1）在函数y=log2x的图象上，∴log2α=﹣1，即．∴y=xα=．函数的定义域为[0，+∞）．故选：A．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．4．（5分）若集合A={0，2，x}，B={x2}，A∪B=A，则满足条件的实数x有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵A={0，2，x}，B={x2}，A∪B=A，∴B⊆A，即x2=0或x2=2或x2=x，解得：x=0或x=1或x=或x=﹣，当x=0时，A={0，2}，不合题意，舍去；其他解符合题意，则满足条件的实数x有3个．故选：B．5．（5分）设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【解答】解：∵＜＜＜1且y=（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1∴指数函数y=a x在R上是减函数∴a b＜a a∴幂函数y=x a在R上是增函数∴a a＜b a∴a b＜a a＜b a故选：C．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）=的图象如图所示，则a，b，c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵函数过原点，∴f（0）==0，∴b=0，由图象知函数的定义域为R，则c＞0，又f（1）=1，即f（1）=，则a=1+c＞c，∴a＞c＞b，故选：D．7．（5分）已知，若[x]是不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]的值域为（）A．[﹣1，0]B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，1]【解答】解：，；2x＞0；∴；∴，；∴①时，；；即；∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0；∴[f（x）]﹣[f（﹣x）]=﹣1；②f（x）=0时，；∴f（﹣x）=0；∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0；∴[f（x）]﹣[f（﹣x）]=0；③时，；∴；即；∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1；∴[f（x）]﹣[f（﹣x）]=0﹣（﹣1）=1；∴综上得，函数y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]的值域为{﹣1，0，1}．故选：C．8．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f（x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）=，作出y=f（x）的图象，若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）=＞1，f（x2）=x2＞1，则x2f（x1）＞1，则A可能成立；若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）=＞1，f（x1）=x1＞1，则x2f（x1）=x2x1=1，则B可能成立；对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）=1，则D不成立；若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）=1，x1f（x2）＞1，则D成立．故有C一定不成立．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分.）9．（6分）已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则用列举法表示集合B={0} ；若集合M={﹣1，1，3}，N={a+2，a2+4}满足M∩N={3}，则实数a=1．【解答】解：∵A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，∴B={0，﹣2，2}；∵集合M={﹣1，1，3}，N={a+2，a2+4}，且M∩N={3}，∴a+2=3或a2+4=3（无解，舍去），解得：a=1，故答案为：{0}；110．（6分）函数f（x）=log2（4﹣x2）的定义域为（﹣2，2），值域为（﹣∞，2] ，不等式f（x）＞1的解集为．【解答】解：依题意得：4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，所以该函数的定义域为：（﹣2，2）．∵4﹣x2＞0，=4，∴（4﹣x2）最大值∴在（﹣2，2）上，该函数的值域为：（﹣∞，2]．由f（x）＞1得到：log2（4﹣x2）＞1，则4﹣x2＞2，解得﹣＜x＜．故不等式f（x）＞1的解集为．故答案是：（﹣2，2）；（﹣∞，2]；．11．（6分）已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=，在[﹣2，2]的最大值为2，则f[f（﹣1）]=0，a=．【解答】解：当a＞1时，y=a x+1在[﹣2，1）递增，无最大值，y=log2x在[1，2]上递增，则最大值为log22=1，与题意不符，则舍去；当0＜a＜1时，y=a x+1在[﹣2，1）上递减，则最大值为a﹣1=2，即a=，f（﹣1）=（）0=1，f[f（﹣1）]=f（1）=log21=0，故答案为：0，．12．（6分）已知函数f（x）=（）|x﹣1|+a|x+2|．当a=1时，f（x）的单调递减区间为[1，+∞）；当a=﹣1时，f（x）的单调递增区间为[﹣2，1] ．【解答】解：（1）∵f（x）=（）|x﹣1|+a|x+2|．∴当a=1时，f（x）=（）|x﹣1|+|x+2|，令u（x）=|x﹣1|+|x+2|=，∴u（x）在[1，+∞）单调递增，根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递减区间为[1，+∞），（2）当a=﹣1时，f（x）=（）|x﹣1|﹣|x+2|令u（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，u（x）在[﹣2，1]单调递减，∴根据复合函数的单调性可判断：f（x）的单调递增区间为[﹣2，1]，故答案为：[1，+∞），[﹣2，1]，13．（4分）若函数（a＞0且a≠1）满足对任意的x1，x2当时，f（x2）﹣f（x1）＜0，则实数a的取值范围为．【解答】解：∵y=x2﹣ax+5=（x﹣）2+5﹣在对称轴左边递减，∴当x1＜x2≤时，y1＞y2∵对任意的x1，x2当时，f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）故应有a＞1又因为y=x2﹣ax+5在真数位置上所以须有5﹣＞0∴＜a＜2综上得故答案为：14．（4分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣a＜|x﹣1|，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，则f（x）=，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则等价为，即，即，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]15．（6分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）．当x∈（0，2），f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（，1]∪{} ．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），且f（x）奇函数，∴令x=﹣2代入上式得，f（2）=f（﹣2）=﹣f（2），所以，f（2）=0且f（﹣2）=0，所以，f（x）在区间[﹣2，2]上有零点x=﹣2，x=0，x=2，要使函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则f（x）在区间（0，2）内必有唯一零点，即方程x2﹣x+b=1在（0，2）内有唯一实数根，分离参数b得，b=﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，x∈（0，2），结合函数g（x）=﹣（x﹣）2+的图象，如右图（实线）要使g（x）=b只有一个实数根，则b∈（g（2），g（1）]=（﹣1，1]，另外，当b=g（）=（过顶点），也符合题意，又因为，当x∈（0，2）时，真数x2﹣x+b=（x﹣）2+b﹣≥b﹣＞0，所以，b＞，故实数b的取值范围为：（，1]∪{}．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）（1）已知x=27，y=64，化简并计算：；（2）计算：2log32﹣log3．【解答】解：（1）已知x=27，y=64，=24=24×=12．（2）2log32﹣log3=2log32﹣5log32+2+3log32﹣9=﹣7．17．（14分）A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}，（1）求A∩B．（2）试求实数a的取值范围，使C⊆（A∩B）．【解答】解：（1）依题意得：A={x|x2﹣2x﹣8＜0}={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x2+2x ﹣3＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，∴A∩B={x|1＜x＜4}；（2）分三种情况考虑：①当a=0时，C=∅，符合C⊆（A∩B）；②当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆（A∩B），则有，解得：1≤a≤2；③当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，显然a＜0，C不为A∩B的子集，不合题意，舍去，综上，a的范围是1≤a≤2或a=0．18．（14分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2．（1）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值记为g（a），求g（a）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（1）f（x）=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2=+2﹣2a．①当0时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴g（a）=f（2）=a2﹣10a+18；②当时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴g（a）=f（0）=a2﹣2a+2；③当时，函数f（x）在区间[0，a）上单调递减，在区间上单调递增，∴g（a）=max{f（0），f（2）}．∴g（a）=．（2）由（1）可得：①当0时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，f（0）=a2﹣2a+2=3，解得a=1﹣；②当时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=a2﹣10a+18=3，解得a=5+；③当时，函数f（x）在区间[0，a）上单调递减，在区间上单调递增，∴当x=时，函数f（x）取得最小值，f（）=2﹣2a=3，解得a=﹣，舍去．综上可得a=1﹣；或5+．19．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；（3）若对任意的t∈（1，4），不等式恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（0）=0，且f（﹣1）=﹣f（1）；∴；解得b=1，a=2；即；（2）f（x）在R上单调递减．=；设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴；∴；又；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减．（3）若对任意的t∈（1，4），不等式恒成立，即f（t）＞﹣f（4﹣k），∵函数f（x）是奇函数，∴f（t）＞﹣f（4﹣k）=f（k﹣4），∵函数f（x）为减函数，∴t＜k﹣4，即k＞4+t，则k＞=+，∵t∈（1，4），∴∈（1，2），设x=，则x∈（1，2），则g（x）=x+在（1，2）上为减函数，则g（2）＜g（x）＜g（1），即4＜g（x）＜5，即k≥5．20．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2+（x﹣1）|x+1|，故有，当x≥﹣1时，由f（x）=1，有2x2﹣1=1，解得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1时，f（x）=1恒成立．∴方程的解集为{x|x≤﹣1或x=1}；（2），若f（x）在R上单调递增，则有，解得．∴当时，f（x）在R上单调递增；（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣3），则，不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a＜1，∴当x∈（﹣∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2﹣2a+3，+∞），由于a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2≥2，∴g（x）≥0成立．当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知，g（x）在x=处取得最小值，令，解得﹣3≤a≤5，又a＜1，∴﹣3≤a＜1．综上，a∈[﹣3，1）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。