2017届福建省福州外国语学校高三上学期期中考试数学(理)试题
福建省福州外国语学校2017届高三上学期期中考试理科综合化学试题 Word版含答案
福建省福州外国语学校2016-2017 学年度第一学期期中考试高三理科综合化学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共35题，共300分，共11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 AI 27 P 31 S 32 CL 35.5 Ca 40 Fe 56Zn65 Br 80 Se 79 Mg 24第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
7．生活中的一些问题常涉及到化学知识，下列叙述不正确的是（）A．维生素C 具有还原性，在人体内起抗氧化作用B．“加碘食盐”、“含氟牙膏”、“富硒营养品”、“高钙牛奶”、“加铁酱油”等等，这里的碘、氟、硒指的是分子，钙、铁则分别是钙离子和铁离子C．日本大地震后，防疫人员在震区周围撒石灰，进行环境消毒，防止灾后出现疫情D. 为防止中秋月饼等富脂食品氧化变质，常在包装袋中放入硫酸亚铁8．设NA 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（）A.标准状况下，18gD2O中所含的质子数为10NAB.标准状况下，11.2LO2参加反应转移的电子数一定为2 NAC．28gN2 和CO 的混合气体中含有的分子数为NAD.5.6g 铁与足量稀硫酸反应失去电子数为0.3 NA9．下列有关物质的分类或归类中正确的是( )A．化合物：HT、CaCl2、NaOH、盐酸B．纯净物：水玻璃、胆矾晶体、液氯、硫酸C．天然高分子化合物：淀粉、纤维素、蛋白质、聚氯乙烯D．同分异构体：CH3CH2CH2CH2CH3、CH3CH2CH(CH3)2、C(CH3)410. 下列有关NaClO 和NaCl 混合溶液的叙述正确的是（）A．该溶液中，H+、NH4+、SO42-、Br-可以大量共存B．该溶液中，Ag+、K+、NO3-、CH3CHO 可以大量共存C．向该溶液中滴入少量FeSO4 溶液，反应的离子方程式为：2Fe2++ClO-+2H+ = Cl-+2Fe3++H2OD．向该溶液中加入浓盐酸，每产生1molCl2，转移电子约为6.02×1023 个11．①1 L 0.1 mol/L 的Na2CO3 溶液中逐滴加入240 mL 0.5 mol/L 的盐酸；②在240 mL 0.5mol/L 的盐酸中逐滴加入1 L 0.1 mol/L 的Na2CO3 溶液。
2016-2017福建省高三上学期期中考试数学(理)试题6
⎨ ⎩) 222高三理科数学试卷（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上． 1．已知集合 A = {x | x 2- 2 x - 3 ≤ 0} ， B = {x | 2x≥ 1} ，则 A B =A ． ∅B ．[0,1]C ．[0, 3]D ．[-1, +∞)2．命题“对任意 x ∈ R , 都有 x 2 ≥ 0 ”的否定是A ．对任意 x ∈ R , 都有 x 2 < 0B ．对任意 x ∈ R , 都有 x 2 ≤ 0C ．存在 x 0 ∈ R , 使得 x 0 ≥ 0D ．存在 x 0 ∈ R , 使得 x 0 < 03．已知 f ( x ) = x 2+ ax + b 在点 (0, b ) 处的切线方程为 x - y + 1 = 0 ，则A ． a = -1, b = -1B ． a = 1, b = 1C ． a = 1, b = -1D ． a = -1, b = 14．过点 A (1, 2) 与原点距离最大的直线 l 的方程为A ． x + 2 y - 5 = 0C ． x + 3 y - 7 = 0B ． 2x + y - 4 = 0D ． 3x + y - 5 = 05．若圆 C 1 : x 2 + y 2 = 1 与圆 C : x 2 + y 2 - 6x - 8 y + m = 0 外切，则 m =A ． 21B ． 19C ． 9D ． -11⎧2x + 3 y - 3 ≤ 06．若实数 x , y 满足 ⎪2x - 3 y + 3 ≥ 0 ，则z = 2x + y 的最小值为 ⎪ y + 3 ≥ 0A ． -15B ． -9C ．1D ． 97．若函数 f ( x ) =x + 1 cos x ，其中 - π ≤ x ≤ π，则 f ( x ) 的最大值为 3 6A ． 2B ．1C 1D8 ．已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数， g ( x ) = xf ( x ) .若 a = g ( - log 2 5.1) ， b = g (20.8) ，c = g (3) ，则 a , b , c 的大小关系为A ． a < b < cB ． c < a < bC ． b < a < cD ． a < c < b0 9．已知直线 ax + y + 1 = 0 经过抛物线 y 2= 4 x 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为A ．9B ．8C ．7D ．6110．平行四边形 ABCD 中， AB = AD = 1 , AB ⋅ AD = ，点 P 在边 CD 上，则 AP ⋅ BP 的取值2范围是⎡ 1 3 ⎤⎡ 3 ⎤A ． ⎢⎣ 2 , 2 ⎥⎦B ． ⎢⎣-1, 2 ⎥⎦C ．[-1,1]D ．[1, 2]11．已知双曲线 C ： x 2 y 2-= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F ，F ，O 为坐标原点.P 是 a 2 b 2 1 2双曲线上在第一象限的点，直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M ，直线 PF 2 交双曲线 C 右支于另一点 N .若| PF 1 |= 2 | PF 2 | ，且∠MF 2 N = 60 ，则双曲线 C 的离心率A ．B ．C ．D 312．设函数 f ( x ) =πx ，若存在 f ( x ) 的极值点 x ，满足 x 2+ ⎡ f ( x)⎤2 < m 2 ，则 m 的 m 取值范围A ． ( -∞, -1) (1, +∞ )C ． ( -∞, -3) (3, +∞ )0 0 ⎣ 0 ⎦B ． ( -∞, -2) ( 2, +∞ )D ． ( -∞, -6) (6, +∞ )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．已知 a 与 b 的夹角为π， a = 2 ， b = 1 ， a - b = ．314．要制作一个容积为 4 立方米、高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低造价是元．15．已知抛物线 y 2 = 4x 及点 M (1,1) ,过点 M 的直线 l 与抛物线交于 A , B 两点，且 M 为弦 AB 的中点，则直线 l 的方程为．16．设 m ∈ R ,函数 f ( x ) = ( x - m )2+ (e 2 x - 2m )2.若存在 x 满足 f ( x) ≤ 1，则 m = ．0 0 5三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）∆ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a, b, c ，已知sin( A +C )= 8 s in 2 B ，2 （Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若a +c = 6 ，∆ABC 的面积为2 ，求b 的值．18．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A(2, -1)，和直线x +y =1相切，且圆心在直线y =-2x 上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ，求直线l 的方程.19.（本小题满分 12 分）4 2 +已知 a = (s i n x , cos x ) ， b = ( 2 cos x - sin x , cos x ) ,函数 f ( x ) = a ⋅ b .（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）解不等式： f ( x ) > 1 ；（III ）已知 f (α) = -，α∈ ⎛ π, π⎫，求 sin 2α的值. ⎪ 13 ⎝ ⎭20.（本小题满分 12 分）椭圆 C : y 2 x 22 2 = 1(a >b > 0) 的离心率 e = ，短轴长为 6 . a b 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知过点 M ( -1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点，试问：在直角坐标平面内是否存 在一个定点T ，使得无论直线如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在，求出点T 的坐标， 若不存在，则说明理由.21.（本小题满分 12 分）⎩已知函数 f ( x ) = a x+ x 2- x ln a - b (b ∈ R , a > 0且a ≠ 1) , e 是自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上的单调性；（Ⅱ）当 a > 1 时，若存在 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ，使得（参考公式： (ax)' = a x⋅ ln a ）f ( x 1 ) - f ( x 2 ) ≥ e - 1 ，求实数 a 的取值范围.注意：请考生在 22、23 题两题中任．选．一．道．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）⎧ x = 1 + cos α平面直角坐标系中，点 M 的坐标是 ，曲线 C 1 的参数方程为 ⎨ y = sin α （α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为ρ= 4 s in θ.（Ⅰ）求曲线 C 1 的直角坐标方程和 C 2 的普通方程，并求曲线 C 1 和 C 2 公共弦所在直线的直角 坐标方程；（Ⅱ）若过点 M ，且倾斜角为 π的直线 l 与曲线 C 1 交于 A ，B 两点，求 MA ⋅ MB 的值.323.（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x ) = x - m + x + 2 (m ∈ R ) .（Ⅰ）当 m = 1时，求不等式 f ( x ) ≤ 5 的解集；（Ⅱ）当 0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ≤ x + 4 恒成立，求实数 m 的取值范围.高三理科数学第11 页（共6 页）。
师大附中2017届高三上学期期中考试数学理试卷 含解析
2016—2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分）1．若集合M={x |﹣2＜x ＜3｝，N=｛y ｜y=x 2+1，x ∈R },则集合M ∩N=( ) A ．（﹣2，+∞） B ．(﹣2，3） C ．[1,3) D ．R 2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a +2i 在复平面内对应的点在( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量=（2，1），=10,｜+｜=，则｜｜=（ ）A ．B ．C ．5D ．25 4．已知cos()=,则sin （2）的值为（ )A ．B ．C ．﹣D ．﹣5．《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（ ） A ．B ．C ．D ．6．等比数列{n a }中，1a ＞0,则“1a ＜3a ”是“3a ＜6a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ）=﹣x 3+ax 2+bx （a,b ∈R ）的图象如图所示,它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分)的面积为,则a 的值为（ )A ．0B ．1C ．﹣1D ．﹣28．已知函数f(x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +1）=，若f （x)在[﹣1，0］上是减函数，记a=f （log 0.52），b=f （log 24)，c=f （20.5），则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．b ＞a ＞c9．将函数f(x ）=2cos2x 的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）在区间［0,]和[2a ，]上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．［，］ B ．［,]C ．［，］ D ．［,］10．已知数列｛a n ｝满足：2a n =a n ﹣1+a n +1(n ≥2），a 1=1,且a 2+a 4=10，若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，则的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．D ．11．已知函数f(x)=(其中e 为自对数的底数），则y=f （x ）的图象大致为( ）A ．B ．C ．D ．12．定义在R 上的函数f(x ）满足：f ’（x)＞1﹣f(x ），f （0)=6，f ′（x)是f （x ）的导函数，则不等式e x f （x ）＞e x +5（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞) C ．（﹣∞，0)∪(1,+∞） D ．（3，+∞)二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分） 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b ，c ，，则tanB= ．14．已知x ，y 满足，且z=2x ﹣y 的最大值与最小值的比值为﹣2,则a 的值是 ．15．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B 、C 两点间的距离是 海里．16．｛a n }满足a n +1=a n +a n ﹣1（n ∈N *,n ≥2），S n 是｛a n ｝前n 项和，a 5=1，则S 6= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．(12分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上,∠CAD=，AC=，cos ∠ADB=﹣（1)求sin ∠C 的值；（2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．18．（12分）已知数列{a n｝的前n项和为S n，a1=+1(n≥2)．（Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式;（Ⅱ）设b n=,数列｛b n｝的前n项和为T n，证明：T n＜．19．（12分）在△ABC中，内角A,B，C所对边长分别为a，b，c,,∠BAC=θ，a=4．（1)求bc的最大值；（2）求函数的值域．20．（12分)已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2•a3=15，S4=16．（Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式;（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a1，．①求数列{b n｝的通项公式；②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值;若不存在，请说明理由．21．(12分）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g(x）=e x．（其中e是自然对数的底数)(Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（Ⅱ）令,若函数F（x)在区间（0，1］上是单调函数，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在极坐标系中,圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ）求圆C的参数方程；(Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．选修4-5:不等式选讲23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|x﹣1｜+｜x﹣2|．(Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥｜m|f（x)对满足条件的所有m，n都成立,求实数x的取值范围．2016—2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M=｛x｜﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R｝，则集合M∩N=（)A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．[1，3）D．R【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先将N化简,再求出M∩N．【解答】解：N=｛y|y=x2+1，x∈R}=｛y|y≥1}=［1，+∞）,∵M={x｜﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），∴M∩N=[1，3)故选C．【点评】本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简单运算，属于基础题．本题中N表示的是函数的值域．2．若复数(α∈R)是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+(﹣a+1)i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2,2)，它在第二象限．故选:B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题,也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．3．已知向量=（2,1），=10，｜+｜=，则｜｜=（）A．B． C．5 D．25【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对｜a+b｜=两边平方,变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵｜+｜=，｜|=∴（+)2=2+2+2=50,得||=5故选C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用．4．已知cos（）=,则sin（2）的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin（2）的值．【解答】解：∵cos（）=，则sin(2）=﹣sin（2α+）=﹣sin[2（α+）+]=﹣cos2（α+）=﹣［2cos2（α+）﹣1］=﹣[﹣1]=，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（)A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d,a+2d(d＞0)，根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．【解答】解:设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）;∵把100个面包分给5个人，∴（a﹣2d)+（a﹣d）+a+（a+d)+（a+2d）=5a=100,得a=20，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a +a +d +a +2d ）=a ﹣2d +a ﹣d ，得3a +3d=7（2a ﹣3d ）， 化简得24d=11a ，∴d==， 所以最小的1分为a ﹣2d=20﹣2×=,故选：A ．【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果,属于基础题．6．等比数列｛n a ｝中，1a ＞0，则“1a ＜3a "是“3a ＜6a ”的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】先用等比数列的通项公式，表示出3a ＜6a ，进而可判断1a ＜3a 不一定成立；同时根据1a ＜a 3成立可知1a q 2＜1a q 5，进而推断出1a ＜3a ，判断出必要条件．最后综合可得答案．【解答】解：如果1a ＜3a ，∴1a ＜1a q 2∴q 2＞ 1， 若q ＜﹣1，则3a =1a q 2＞0,6a =1a q 5＜0 ∴3a ＞6a ， ∴“1a ＜3a ”不是“3a ＜a 6”的充分条件； 如果3a ＜a 6成立，则1a q 2＜1a q 5，又a 1＞0， ∴1＜q 3 ∴q ＞1， ∴1a ＜a 2＜3a ，故可判断,“1a ＜3a ”是“3a ＜6a "的必要条件． 综合可知，“1a ＜3a ”是“3a ＜6a ”必要而不充分条件．故选B ．【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．7．已知函数f （x)=﹣x 3+ax 2+bx （a,b ∈R ）的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分)的面积为,则a 的值为( ）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】定积分．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′(0）=0，求得b的值,确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为,利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解：由f(x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．∵x=0是原函数的一个极值点,∴f′（0)=b=0．∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0(x3﹣ax2)dx=(）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故选：C【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则,同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．8．（2016•红桥区二模）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f2），b=f（log24），c=f（20。
福建省五校2017届高三上学期期中联考理科数学试卷Word版含答案
“上杭、武平、漳平、长汀、永安一中”五校联考2016—2017学年第一学期半期考高三数学（理）试题（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}{1-==xyxA，且BBA=，则集合B可能是( )A．{}1,0-B．{}1,2C．{}1x x≥-D．R2.函数xxxxf221ln)(2-+=的极值点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．33.已知函数xxxxeeeexf--+-=)(满足41)(-=af，则=-)(af（）A．41B．43C．1D．04.已知具有性质：)()1(xfxf=的函数)(xf称为满足“倒正”变换的函数。
下列函数①xxy1-=,②xxy1+=,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>=10,11,01,xxxxxy④xy ln-=，其中满足“倒正”变换的函数是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5.函数xxy cos-=的部分图象是（）A B C D6.给定函数①12y x=，②12log(1)y x=+，③|1|y x=-，④12xy+=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数个数为（）A．1B．2C．3D．47.命题01,:2≥++∈∀ax ax R x p ，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4≥a B ．0<a C ．40≤≤a D ．40><a a 或8.角θ顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2-=上，则θ2sin =（ ）A ．54-B ．53-C ．53D ．54 9.已知33)6cos(-=-x π，则)32sin()65cos(x x -++ππ=（ ） A ．3-B ．1-C ．0D ．3 10.已知函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期为π，若将)(x f 的图像向左平移3π个单位后得到函数)(x g 的图像关于y 轴对称，则函数)(x f 的图像（ ） A ．关于直线2π=x 对称 B ．关于直线3π=x 对称 C ．关于点)0,2(π对称 D ．关于点)0,3(π对称 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=0,0,)(22x x x x x x f 满足2))((-≥a f f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),2[+∞-B ．]2,(--∞),2[+∞C ．]2,2[-D ．[)+∞,212.已知定义在R 上的函数()f x满足2f =-，3)(->'x f ，若(0,)x π∈，则不等式12cos 2sin 34)sin 2(+-≤x x x f 的解集( )． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛πππ,323,0 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13._____102=⎰dx x14.已知集合],[},4221|{n m B x A x =≤≤=，若B A ⊆,则m n -的取值范围是________ 15.已知)0,2(πα-∈且8sin tan 3=⋅αα，则________sin =α16.已知真命题:“函数)(x f y =的图像关于点),(b a P 成中心对称图形”的充要条件为“函数b a x f y -+=)( 是奇函数”.则函数xx x h -=24log )(2图像对称中心的坐标是________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足31<<-x ，命题q ：实数x 满足)0(04322><--a a ax x 。
福建省高三数学上学期期中试题理1
福建师大二附中2016—2017学年第一学期高三年期中考数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中，值域为的函数是A． B． C． D．2．已知集合，集合，则等于A．B．C．D．3．“”是“关于的方程有实数根”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是( ) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)5.已知的最小值为（）A． B． C．-1 D．06．已知满足则的取值范围是A．B．C．D．7．已知数列{x n}满足x n＋3＝x n，x n＋2＝|x n＋1－x n|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{x n}的前2 014项的和S2 014为( )A．669 B．671C．1 338 D．1 3438．若直线过曲线的对称中心，则的最小值为A ．B ．C ．D ．69．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．10．若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ． 11．在数列中，，且，，若数列满足，则数列是A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列12． 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示. （ ）则平面区域所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ．14．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝x AB →＋y AC →，则x ＝________；y ＝________. 15．对于数列，如果存在各项均为正整数的等差数列和各项均为正整数的等比数列，使得，则称数列为“DQ 数列”．已知数列是“DQ 数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则 ．16．设是函数的导函数，且．现给出以下四个命题：①若是奇函数，则必是偶函数； ②若是偶函数，则必是奇函数；③若是周期函数，则必是周期函数；④若是单调函数，则必是单调函数．xyo-2其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知函数的图象过点（，0）. （I ）求实数的值以及函数的单调递增区间；（II ）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.18. (本小题满分12分) 已知等比数列的前项和为，，。
【全国百强校】福建省福州外国语学校2017届高三上学期第一次月考理数(原卷版)
福州外国语学校2017届高三9月月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤，则()R A C B = （ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4) 2.已知复数134z i =+，2z t i =+，且12z z 是实数，则实数t 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．34-D ．43- 3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x =C ．ln(y x =+D ．2sin y x =4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．65.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ． 6B ．5 C. 4 D ．36.为得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个长度单位 B 向右平移4π个长度单位C. 向左平移8π个长度单位 D ．向右平移8π个长度单位7.设,,a b c 是单位向量，且0a b = ，则()()a c b c --的最小值为（ ）A ．-2B 2 C.-1 D ．18.下列命题中正确的有（ ）①设有一个回归方程ˆ23yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②命题:p “0x R ∃∈，20010x x -->”的否定p ⌝“x R ∀∈，210x x --≤”； ③“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”必要不充分条件；④在一个22⨯列联表中，由计算得2 6.679k =，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个 本题可以参考独立性检验临界值表9.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足22ca b +>且0c <，则含有()f x 的零点的一个区间是（ ） A ．(0,2) B ．(1,0)- C. (0,1) D ．(2,0)- 10.已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一定点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线l 成30 . 那么B 点轨迹是（ ）A ．两直线B ．椭圆 C. 双曲线 D ．抛物线 11.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体 积是（ ）A ．2B ．32 C. 1 D ．1212.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若 x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66-B ．11[,]33-C. [ D．[ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知tan 2x =，则224sin 3sin cos 5cos x x x x --=____________. 14.设20162015m =，20152016n =，则,m n 的从大到小关系为_____________.15.已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y 的最小值是_____________.16.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =1BC =，P 为ABC ∆内一点，90BPC ∠=.（I ）若12PB =，求PA ； （II ）若150APB ∠= ，设PBA α∠=，求tan 2α的值.18.（本小题满分12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A B 、的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面， 且22AB AD ==.（I ）求证：EA EC ⊥；（II ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，1EF =，求三棱锥E ADF -的体积.19.（本小题满分12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生， 并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第 五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人 数依次成等差数列.（I ）请在图中补全频率直方图；（II ）若B 大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进 行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.20.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足12a =且22*11(1)0()n n n n n a a a na n N ++++-=∈. （I ）证明数列{}n a 为等差数列； （II ）若记24n n b a =，12n n S b b b =+++ 求证：53nS <.21.（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，过点(1,0)A -的直线交抛物线C 于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，设AP AQ λ=.（I ）试求12,x x 的值（λ用表示）；（II ）若11[,]32λ∈，求当||PQ 最大时，直线PQ 的方程.22.（本小题满分13分）已知函数()(1)ln u x x x =-，()v x x a =-，()aw x x=，三个函数的定义域均为集合{|1}A x x =>. （1）若{|,()()}B a R x A u x v x =∈∀∈≥，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由； （2）记()()[()()][()]2w x G x u x w x v x =--，是否存在*m N ∈，使得对任意的实数(,)a m ∈+∞，函数()G x 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：2.7183e ≈，1)0.8814≈）：。
福建省福州外国语学校2017届高三上学期第一次月考理数试题Word版含解析
福州外国语学校2017届高三9月月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤，则()R AC B =（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4)【答案】B考点：集合的基本运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知复数134z i =+，2z t i =+，且12z z 是实数，则实数t 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】试题分析：12334(43)4304z z t t i t t =-++⇒+=⇒=-，故选C. 考点：复数及其运算.3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．1ln||y x = B ．3y x =C ．ln(y x =D ．2sin y x =【答案】A 【解析】试题分析：选项B 是奇函数，选项C 是增函数，选项D 非单调函数，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．6 【答案】B考点：程序框图.【方法点晴】本题主要考查程序框，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.5.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5 C. 4 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：441281845lg lg lg lg lg()lg104a a a a a a a a ++=∙∙===，故选C.考点：1、等差数列；2、对数的基本运算.6.为得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个长度单位 B 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移8π个长度单位 D ．向右平移8π个长度单位【答案】A 【解析】试题分析：sin cos )4y x x x π=+=+⇒向左平移4π个长度单位,故选A.考点：图象的平移.7.设,,a b c 是单位向量，且0a b =，则()()a c b c --的最小值为（ ）A ．-2B 2 C.-1D ．1【答案】D考点：向量的基本运算． 8.下列命题中正确的有（ ）①设有一个回归方程ˆ23yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题:p “0x R ∃∈，20010x x -->”的否定p ⌝“x R ∀∈，210x x --≤”；③“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”必要不充分条件；④在一个22⨯列联表中，由计算得26.679k =，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个本题可以参考独立性检验临界值表【答案】B 【解析】试题分析：命题①应是变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位，因此命题①错误；命题②正确；命题③正确；命题④，99%的把握，因此命题④错误，综上正确命题为②③，故选B.考点：命题的真假.9.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足22ca b +>且0c <，则含有()f x 的零点的一个区间是 （ ）A ．(0,2)B ．(1,0)- C. (0,1) D ．(2,0)- 【答案】D考点：函数的零点.10.已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一定点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线l成30.那么B点轨迹是（）A．两直线 B．椭圆 C. 双曲线D．抛物线【答案】C【解析】试题分析：题意画图如下，P是直线l上的定点，有一平面α与直线l平行，平面α内的动点B满足PB的连线与l成30角，因为空间中过P与l成30角的直线组成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B可理解为是截面α与圆锥侧面的交点，所以点B的轨迹为双曲线,故选C.考点：1、空间点、线、面的位置关系；2、圆锥曲线的定义.11.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 B．32C. 1D．1 2【答案】D考点：1、三视图；2、体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的体积公式. 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66-B ．11[,]33- C. [66-D ．[,33-【答案】 C 【解析】试题分析：当a x ≤≤0时2221()(23)2f x a x a x a x =-+--=-，当222a x a ≤≤时, 22221()(23)2f x x a a x a a =-+--=-，当22a x >时,22221()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-称,画出y 轴左侧()f x 图象,从而得到()f x 的图象,如下图，(1)f x -的图象是将()f x 的图象向右平移1个单位,若(1)()f x f x -≤恒成立,需(1)f x -的图象恒在()f x 图象的下方(可以部分重合)那么需要)0,3(2a -点至少移到)0,3(2a 点,即需162≤a [a ⇒∈，故选C.考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、函数与不等式.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知tan 2x =，则224sin 3sin cos 5cos x x x x --=____________. 【答案】1考点：三角恒等变换．【方法点晴】本题主要考查三角恒等变换，涉及转化化归思想和等价代换思想，考查逻辑推理能力、化归能力，具有一定的综合性，属于较难题型. 首先利用等价代换思想，将已知条件化简为22224sin 3sin cos 5cos sin cos x x x x x x --+，tan 2θ=，然后分子分母同除以2cos θ将弦化切得224tan 3tan 5tan 1x x x --+， 进而求得正解. 14.设20162015m =，20152016n =，则,m n 的从大到小关系为_____________.【答案】m n >考点：实数的大小比较.15.已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x y 的最小值是_____________.【答案】32【解析】试题分析：由下图可得⇒=32max k min 32x y =．考点：线性规划．【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型．考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数by ax z +=变形为bzx b a y +-=；（3）作平行线：将直线0=+by ax 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值．16.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为____________. 【答案】(2,)+∞考点：函数的零点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =1BC =，P 为ABC ∆内一点，90BPC ∠=.（I ）若12PB =，求PA ； （II ）若150APB ∠=，设PBA α∠=，求tan 2α的值.【答案】（I ）PA =（II ）tan 2α= 【解析】试题分析：（I ）由已知得：60PBC ∠=⇒30PBA ∠=，由余弦定理得PA =；（II ）由已知得sin PB α=，由正弦定理得sinsin150sin(30)αα=-⇒4sin αα=⇒tan α=⇒tan 2α=.考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.18.（本小题满分12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于点A B 、的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==.（I ）求证：EA EC ⊥；（II ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，1EF =，求三棱锥E ADF -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II .试题解析：（I ）证明：矩形ABCD ⊥面ABE ，CB ⊂面ABCD ，且CB AB ⊥，∴CB ⊥面ABE ，从而AE BC ⊥，①………………3分又在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠=，即AE BE ⊥，②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥.………………6分（II ）//AB CD ，∴//AB 面DCE .又面DCE ⊥面ABE EF =，∴//AB EF .在等腰梯形ABEF 中，1EF =，1AF =，120AFE ∠=，………………9分 ∴13sin12024S EF AF =⨯⨯⨯=，11133E ADF D AEF AEF V V S AD --∆==⨯⨯==.………………12分 考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、线面平行.19.（本小题满分12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（I ）请在图中补全频率直方图；（II ）若B 大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.【答案】（I ）频率直方图见解析；（II ）25．试题解析： （I ）由图象可知第五组为：0.02530030⨯⨯=人，第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列，所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次是30人，45人，60人，75人，90人.则绘制的频率分布直方图如右图所示.考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.20.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 满足12a =且22*11(1)0()n n n n n a a a na n N ++++-=∈.（I ）证明数列{}n a 为等差数列；（II ）若记24n n b a =，12n n S b b b =+++求证：53n S <. 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】试题分析：（I ）将原式变形得11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=⇒11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈，{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列；（II ）由（I ）知244112()4(21)(21)2121n b n n n n n =<=-+--+⇒11111112()2()2()35572121n S n n <+-+-++--+22513213n =+-<+. 试题解析： （I ）证明：将原式变形得：11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，………………2分由于{}n a 为正项数列，故有：11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈. 从而得知：数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列.………………6分考点：1、等差数列；2、累积法；3、裂项相消法.【方法点晴】本题考查等差数列、累积法和裂项相消法，涉及转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合性较高，属于较难题型. 第二小题利用转化化归思想将原式变形得11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=⇒11n n a n a n++=，利用累乘法得：*2()n a n n N =∈可得{}n a 是等差数列.第二小题利用放缩法和裂项相消法即可证明原命题成立．21.（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，过点(1,0)A -的直线交抛物线C 于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，设AP AQ λ=.（I ）试求12,x x 的值（λ用表示）； （II ）若11[,]32λ∈，求当||PQ 最大时，直线PQ 的方程.【答案】（I ）21x λ=，1x λ=；（II 20y ±+=. 【解析】试题分析：（I ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11()M x y -.利用AP AQ λ=⇒121(1)x x λ+=+⇒⇒21x λ=，1x λ=；（II ）由（I ）知：21x λ=，1x λ=⇒111x x =，2212121616y y x x ==⇒124y y =⇒2211||()4()12PQ λλλλ=+++-.又1510[,]23λλ+∈，根据二次函数的知识得：当1103λλ+=，即13λ=时，||PQ 有最小值3⇒1(,33P ±，(3,P ±⇒PQ 的方20y ±+=.试题解析：（I ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11()M x y -.∵AP AQ λ=，∴121(1)x x λ+=+，12y y λ=，∴22212y y λ=，2114y x =，2224y x =，212x x λ=，∴2221(1)x x λλ+=+，2(1)1x λλλ-=-，∵1λ≠， ∴21x λ=，1x λ=.………………5分考点：1、直线与抛物线；2、向量及其运算.22.（本小题满分13分）已知函数()(1)ln u x x x =-， ()v x x a =-，()a w x x=，三个函数的定义域均为集合{|1}A x x =>.（1）若{|,()()}B a R x A u x v x =∈∀∈≥，试判断集合A 与B 的关系，并说明理由；（2）记()()[()()][()]2w x G x u x w x v x =--，是否存在*m N ∈，使得对任意的实数(,)a m ∈+∞，函数()G x有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m ；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：2.7183e ≈，1)0.8814≈）【答案】（1）B A ⊆；（2）01)x ∈．【解析】试题分析：（1）()()ln ln ()u x v x a x x x x m x ≥⇒≥-+=，利用导数工具得0000011()m x x x x x =-+= 00011(1)x x x +->⇒1a >⇒B A ⊆；（2）令()()()ln ln a f x u x w x x x x x =-=--，()()(),(1,)22w x a g x v x x a x x=-=--∈+∞.利用导数工具和零点存在性定理可知：21'()ln 10a f x x x x=+-+>，(1,)x ∈+∞，由于(,)1a m a ∈+∞⇒>，(1)0f a =-<，x →+∞，()f x →+∞，由零点存在性定理可知：(1,)a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点. (1,)a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点.假设存在0x 使得00()()0f x g x ==，2000000ln ln 2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩⇒ 002002ln 021x x x x -=--，令22()l n 21x h x x x x =---，利用导数工具可得01)x ∈．（2）令()()()ln ln a f x u x w x x x x x=-=--，()()(),(1,)22w x a g x v x x a x x=-=--∈+∞. ①21'()ln 10a f x x x x =+-+>，(1,)x ∈+∞，由于(,)1a m a ∈+∞⇒>， (1)0f a =-<，x →+∞，()f x →+∞，由零点存在性定理可知：(1,)a ∀∈+∞，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.………………8分 ②2'()102a g x x =+>，(1,)x ∈+∞，3(1)102a g =-<，x →+∞，()g x →+∞， 同理可知： (1,)a ∀∈+∞，函数()g x 在定义域内有且仅有一个零点.………………10分③假设存在0x 使得00()()0f x g x ==，2000000ln ln 2a x x x x a x a x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消a 得002002ln 021x x x x -=--， 令22()ln 21x h x x x x =---，222142'()0(21)x h x x x x +=+>--， ∴()h x 递增.∵44132(2)ln 2ln 055h e =-=<，1)0.881403h =->，∴01)x ∈， 此时200001181(,2)11254()22x a x x x ==++-∈++， 所以满足条件的最小整数2m =.……………………13分考点：1、集合；2、函数的性质；3、函数的导数.【方法点晴】本题考查集合,函数的性质,函数的导数,不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.。
数学---福建省师大附中2017届高三上学期期中考试(理)
福建省师大附中2017届高三上学期期中考试（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数21iz =--，则在复平面内i z ⋅对应的点坐标为 （ ） A . B ． C ． D ． 2. 集合{}{}1,2,log 2-==>==x y x B x x y y A ，则 （ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 3．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A.B.C.D.4．若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y θ+++=都关于直线210x y --=对称,则sin cos θθ=（ ）A ．25 B. 25- C.637- D. 23- 5．下列各命题中正确的命题是 （ ）①命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题 “q ”均为真命题； ② 命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③“函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”.A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．③④6．如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ， 动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上.当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于 ( )A.212a B. 214a ()1,1()1,1-()1,1--()1,1-C.24D. 24a 7．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.A ．24B ．18C ．48D ．368．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00042y y x y x 表示的平面区域为D ，点(20)A ，，点(10)B ，，在区域D 内随机取一点M ，则点M满足|||MA MB ≥的概率是（ ） A ．516π B ．316π C ．38π D ．4π9．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（ ） A .B ．C ．D ．10．已知函数，对，使得，则的最小值为 （ ）A .B ．C ． D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．设52501251(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ,则125a a a +++= ． 12．某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表P B A ,,12222=-by a x AB PB PA ,32=⋅PB PA k k =e 253152102()()21ln ,2+==x x g e x f x()+∞∈∃∈∀,0,b R a ()()b g a f =a b -22ln 1+22ln 1-12-e 1-e由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，预测当气温为4-C 时，用电量的度数是 ．13．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且20,OA OC +=则AOC ∠= ．14．已知函数()214f x x b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b+的最小值为________.15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线e x y =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为(03)3t t <<，且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，求t 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．17．（本小题满分12分）已知函数222(sin cos )1()cos sin x x f x x x+-=-，方程()f x (0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设23(41)(32)nn a b n n =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．18.(本题满分12分)在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=o. （I ）判断ABC ∆的形状；（II ）若ADC ∆的三边长是连续三个正整数，求BAC ∠的余弦值.19.（本小题满分12分）如图,BC 为圆O 的直径,D 为圆周上异于B 、C 的一点,AB 垂直于圆O 所在的平面,BE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AD 于点F .(I)求 证：BF ⊥平面ACD ；(II)若AB ＝BC ＝2,∠CBD ＝45°,求平面BEF 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分13分）已知椭圆形：（a ＞b ＞0，其左顶点A 在圆O ：上． （Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在22221x y a b＋＝2216x y ＋＝点P，使得＝3? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)(0)f x x ax a =++≤．（I ）若()f x 在0x =处取极值，求a 的值； （II ）讨论()f x 的单调性；（III ）证明: 111(1)(1)(1)393n ++⋅⋅⋅+<（e 为自然对数的底数, *n ∈N ）．参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. D2. C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分.PQAP11． 31 12．68 13．2π314． 15．②③三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16解：（Ⅰ）依题意41693381t t ⨯⨯=, 所以2t =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为23, ξ的可能取值为0,1,2 428(2)9327P ξ==⋅=，415214(1)939327P ξ==⋅+⋅=， 515(0)9327P ξ==⋅=，所以81453010210272727279E ξ=⨯+⨯+⨯==. 17．解：（Ⅰ）222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x xf x x x x x x+-====-, …………2分由()f x =0x >得π2π,3x k =+∴ππ()26k x k =+∈Z ………4分方程()f x =(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为π6， 公差为π2的等差数列∴ππ(32)π(1)626n n a n -=+-=. ……………6分 （Ⅱ）23(32)ππ(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n -=⋅=---+111()π42121n n =--+，π11111π1π(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦ …12分 18.解：（I ）设,,BAD DAC αβ∠=∠= 则由90C α+=︒︒=+∴90B βABD ∆中，由正弦定理得sin ,.sin sin sin BD AD B ADB BDαα==即同理得sin ,sin C ADDCβ= …2分,BD DC =Q ,sin sin sin sin βαCB =∴B C sin sin sin sin βα=∴ 90,90,C B αβ+=︒+=︒Q sin cos sin cos C C B B ∴=…………4分即sin 2sin 2,C B =因为()0,πB C ∈、 90B C B C ∴=+=︒或……6分ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形.………………7分（II ）当90B C +=︒时，1,2AD BC DC == 与ADC ∆的三边长是连续三个正整数矛盾，B C ∴∠=∠， ABC ∆∴是等腰三角形. ………………8分在直角三角形ADC 中，设两直角边分别为,1,1,+-n n n 斜边为由222)1()1(-+=+n n n 得n =4， …………10分由余弦定理或二倍角公式得.257cos =∠BAC 或.257cos -=∠BAC…………12分19.法二：(建系向量法)如图,以O 为原点建立空间直角坐标系． 则B (0,－1,0),E (0,0,1),D (1,0,0),A (0,－1,2), ∵BF ⊥AD ,∴DF ＝BD 2AD ＝63＝13AD ,得DF →＝13DA →,∴F (23,－13,23),BF →＝(23,23,23),BE →＝(0,1,1),设平面BEF 的法向量为n 1＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧BF →·n 1＝0BE →·n 1＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧23·x ＋23·y ＋23·z ＝00·x ＋1·y ＋1·z ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z x ＝0,不妨取平面BEF 的一个法向量n 1＝(0,－1,1)．而又由已知AB 垂直于圆O 所在的平面．得BA →是平面BDC 的一个法向量,即n 2＝BA →＝(0,0,2), 设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角为θ,即cos θ＝|cos 〈n 1,n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝22.（12分） 解：（I ）因为椭圆的左顶点A 在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以, 所以的方程为. ……………………………………4分（II ）设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立得, 化简得到, 因为为方程的一个根，所以，所以 所以. ………………………………7分因为圆心到直线的距离为，所以, …………………………9分 .20W 16:22=+y x O 0=y 4±=x 4=a 2323==a ce 32=c 2224b a c =-=W 221164x y +=),(),,(2211y x Q y x P AP )4(+=x k y 22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(14)3264160k x k x k +++-=4-21232(4)14k x k -+-=+21241614k x k -=+||AP =AP d =||AQ ===因为， 代入得到21.再令/()0f x <，可得x x ><∴()f x在11(a a-- 上单调递增，在11+a a-+-∞∞(-,和（）上单调递减综上所述，若1a ≤-时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；若10a -<<时，()f x在11(a a-- 上单调递增，在11+a a-+-∞∞(-,和（）上单调递减；||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-22222||1433113||111PQ k k AP k k k +==-==-+++3分若0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递 减．…………………………………9分。
2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三(上)期中数学试卷(理科)及解析
2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（ ） A.A∩B={﹣1}B.（∁R A ）∪B=（﹣∞，0）C.A∪B=（0，+∞）D.（∁R A ）∩B={﹣1}2.复数 i1+i ﹣ 12i 的实部与虚部的和为（ ） A.﹣ 12 B.1 C.12 D.323.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A.y=2x B.y=2|x|C.y=2x ﹣2﹣xD.y=2x +2﹣x4.已知两个非零向量 a →， b →满足 a →•（ a →﹣ b →）=0，且2| a →|=| b →|，则＜ a →， b →＞=（ ） A.30° B.60° C.120° D.150°5.设等差数列{a n }满足a 2=7，a 4=3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞0最大的自然数n 是（ ） A.9 B.10 C.11 D.126.实数x ，y 满足 {y ≤2x +2x +y −2≥0x ≤2，则z=|x ﹣y|的最大值是（ ）A.2B.4C.6D.8 7.已知P是双曲线 x 23 ﹣y 2=1上任意一点，过点P 分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则 PA →⋅PB →的值是（ ）A.﹣ 38 B.316C.﹣ √38D.不能确定第II 卷（非选择题）二、解答题8.已知数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n +2 √a n +1 +1（1）求证数列{ √a n +1 }是等差数列，并求出a n 的通项公式； （2）若b n = a n ⋅2nn−1 ，求数列{b}的前n 项的和T n ．9.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= 14 x 2的焦点，离心率等于2√55． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA → =λ1 AF → ， MB →=λ2BF →，求证：λ1+λ2为定值．10.已知函数f （x ）=xlnx ﹣ a2 x 2﹣x+a （a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点分别为x 1 ， x 2 ， 且x 1＜x 2 ． 已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1•x 2λ恒成立，求λ的范围．11.如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ．（1）求证：C、D、G、E四点共圆．（2）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．12.已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=3+2cosθy=−4+2sinθ（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．13.设函数f（x）=|2x﹣2m|+|2x+m|（m≠0）．（1）证明：f（x）≥2 √2；（2）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t2﹣12t恒成立，求实数t三、填空题14.已知sinα﹣cosα=﹣15，则sin2α=．15.已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l 于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|= ．16.设数列{an }的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+3，则S4= ．参考答案1.D【解析】1.解：根据对数函数的定义，得x ＞0， ∴集合A={x|x ＞0}，∴A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，1}={1}，A 错误；（∁R A ）∪B={x|x≤0}∪{﹣1，1}={x|x≤0或x=1}，B 错误； A∪B={x|x＞0}∪{﹣1，1}={x|x ＞0或x=﹣1}，C 错误； （∁R A ）∩B={x|x≤0}∩{﹣1，1}={﹣1}，D 正确； 故选：D ．【考点精析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点，需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法才能正确解答此题． 2.D【解析】2.解：由 i1+i ﹣ 12i =，得复数 i1+i ﹣ 12i 的实部与虚部分别为 12 ，1， ∴数 i1+i ﹣ 12i 的实部与虚部的和为 12+1=32 ．故选：D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数的乘法与除法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握设则；．3.C【解析】3.解：A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，C 由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'=2x ln2+2﹣x ln2＞0）， 故选C ．【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题． 4.B【解析】4.解：根据题意， a →•（ a →﹣ b →）=0，则 a →• a →= a →• b →，即|a →|2= a →• b →，又由2| a →|=| b →|，则cos ＜ a →， b →＞= a →⋅b→|a →||b →|=|a →|22|a →||a →|= 12 ；即＜ a →， b →＞=60°； 故选：B ． 5.A【解析】5.解：设等差数列{a n }公差为d ，∵a 2=7，a 4=3， ∴ {a 1+d =7a 1+3d =3，解得d=﹣2，a 1=9．∴a n =9﹣2（n ﹣1）=﹣2n+11，∴数列{a n }是减数列，且a 5＞0＞a 6 ， a 5+a 6=0，于是 ， ， ， 故选：A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的前n 项和公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握前n 项和公式：．6.B【解析】6.解：依题画出可行域如图，可见△ABC 及内部区域为可行域， 令m=y ﹣x ，则m 为直线l ：y=x+m 在y 轴上的截距，由图知在点A （2，6）处m 取最大值是4，在C （2，0）处最小值是﹣2， 所以m∈[﹣2，4]， 而z=|x ﹣y|=|m|， 所以z 的最大值是4， 故选：B ．7.A【解析】7.解：设P （m ，n ），则 m 23 ﹣n 2=1，即m 2﹣3n 2=3，由双曲线 x 23 ﹣y 2=1的渐近线方程为y=± √33 x ，则由 {y =√33x y −n =−√3(x −m)解得交点A （ 3m+√3n 4 ， √3m+n4 ）；由 {y =−√33xy −n =√3(x −m)解得交点B （3m−√3n 4 ， n−√3m4）． PA →=（√3n−m4 ，√3m−3n4）， PB →=（−m−√3n 4 ， −3n−√3m4）， 则 PA →• PB →= √3n−m4×−m−√3n 4 + √3m−3n4×−3n−√3m 4 =﹣ 2m 2−6n 216 =﹣ 616=﹣ 38． 故选：A ．8.（1）证明：由a n+1=a n +2 √a n +1 +1= (√a n +1+1)2﹣1， ∴ √a n+1+1 ﹣ √a n +1 =1，故数列{ √a n +1 }是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列． ∴ √a n +1 =1+（n ﹣1） √a 1+1 =n ， ∴a n =n 2﹣1（2）解：b n = a n ⋅2nn−1 =（n+1）•2n ，∴数列{b}的前n 项的和T n =2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n ， 2T n =2×22+3×23+…+n•2n +（n+1）•2n+1，∴﹣T n =4+22+23+ (2)﹣（n+1）•2n+1=2+ 2(2n −1)2−1 ﹣（n+1）•2n+1，可得T n =n•2n+1【解析】8.（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【考点精析】掌握数列的前n 项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式． 9.（1）解：设椭圆C的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ，则由题意知b=1．∴√a 2−b a2=2√55,即√1−1a 2=2√55．∴a 2=5． ∴椭圆C的方程为 x 25+y 2=1（2）解：设A 、B 、M 点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （0，y 0）． 又易知F 点的坐标为（2，0）．显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y=k （x ﹣2）． 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得（1+5k 2）x 2﹣20k 2x+20k 2﹣5=0．∴ x 1+x 2=20k 21+5k 2,x 1x 2=20k 2−51+5k 2．又∵ MA →=λ1AF →,MB →=λ2BF →,将各点坐标代入得λ1=x 12−x 1,λ2=x22−x 2．∴λ1+λ2=x 12−x 1+x 22−x2=2(x 1+x 2)−2x 1x 24−2(x 1+x 2)+x 1x 2=⋯=−10【解析】9.（1）根据椭圆C 的一个顶点恰好是抛物线 y =14x 2 的焦点，离心率等于 2√55 ．易求出a ，b 的值，得到椭圆C 的方程．（2）设A 、B 、M 点的坐标分别为A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是y=k （x ﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中 MA →=λ1AF →， MB →=λ2BF →，求出λ1+λ2值，即可得到结论． 【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：才能正确解答此题． 10.（1）解：由题意知，函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 方程f′（x ）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx ﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx 与函数y=ax 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如下图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx 图象的直线斜率为k ，只须0＜a ＜k ． 令切点A （x 0，lnx 0）， 故 k =y ′|x=x 0=1x 0，又 k =lnx 0x 0，故 1x 0=lnx 0x 0 ， 解得，x 0=e ， 故 k =1e， 故 0<a <1e ．（解法二）转化为函数 g(x)=lnx x与函数y=a 的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又 g(x)=1−lnx x ，即0＜x ＜e 时，g′（x ）＞0，x ＞e 时，g′（x ）＜0， 故g （x ）在（0，e ）上单调增，在（e ，+∞）上单调减． 故g （x ）极大=g （e ）= 1e ；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如下图，可见，要想函数g(x)=lnxx 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须0<a<1e ．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而g′(x)=1x −ax=1−axx（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在0<x<1a 时，g′（x）＞0，在x>1a时，g′（x）＜0，所以g（x）在(0,1a )上单调增，在(1a,+∞)上单调减，从而g(x)极大=g(1a ) = ln1a−1，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即ln1a−1>0，所以0<a<1e．综上所述，0<a<1e．（2）解：因为e1+λ<x1⋅x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于a>1+λx1+λx2．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln x1x2=a(x1−x2)，即a=lnx1x2x1−x2．所以原式等价于ln x1x2x1−x2>1+λx1+λx2，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln x1x2<(1+λ)(x1−x2)x1+λx2恒成立．令t=x1x2，t∈（0，1），则不等式lnt<(1+λ)(t−1)t+λ在t∈（0，1）上恒成立．令ℎ(t)=lnt−(1+λ)(t−1)t+λ，又ℎ′(t)=1t −(1+λ)2(t+λ)2= (t−1)(t−λ)2t(t+λ)2，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ<x1⋅x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【解析】10.（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g(x)=lnxx 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（2）e1+λ<x1⋅x2λ可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得a>1+λx1+λx2；而a=ln x1x2x1−x2，从而化简可得ln x1x2x1−x2>1+λx1+λx2，从而可得ln x1x2<(1+λ)(x1−x2)x1+λx2恒成立；再令t=x1x2，t∈（0，1），从而可得不等式lnt<(1+λ)(t−1)t+λ在t∈（0，1）上恒成立，再令ℎ(t)=lnt−(1+λ)(t−1)t+λ，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．11.（1）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．（2）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴ EF=23，FB=43，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴ FC=83，CE=2．【解析】11.（1）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（2）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．12.（1）解：圆C的参数方程为{x=3+2cosθy=−4+2sinθ（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．…（2分）由ρcos(θ−π4)=√2得ρcosθ+ρsinθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2=0（2）解：圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2=0的距离为d=√2=由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d= 3√22，∴四边形AMBC面积S=2× 12AC•MA=AC ⋅√CM2−AC2 =2 √MC2−4≥2√d2−4=√2∴四边形AMBC面积的最小值为√2【解析】12.（1）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．（2）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．13.（1）证明：∵m＞0，f(x)=|2x−2m |+|2x+m|≥|2m+m|=2m+m≥2√2，当2m=m即m=√2时取“=”号（2）解：当m=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|=3则f（x）min =3，若∀x∈R，f(x)≥t2−12t恒成立，则只需f(x)min=3≥t2−12t⇒2t2−t−6≤0⇒−32≤t≤2，综上所述实数t的取值范围是−32≤t≤2【解析】13.（1）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2 √2；（2）求出f（x）min=3，若∀x∈R，f(x)≥t2−12t恒成立，则只需f(x)min=3≥t2−12t⇒2t2−t−6≤0⇒−32≤t≤2．【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．14.2425【解析】14.解：由sinα﹣cosα=﹣15，两边平方可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα= 125，化为1﹣sin2α= 125，则sin2α= 2425．所以答案是：2425．【考点精析】解答此题的关键在于理解二倍角的正弦公式的相关知识，掌握二倍角的正弦公式：．15.43【解析】15.解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴xA = 2√33．∵PA⊥l，∴xP = 2√33，yP= 13，∴|PF|=|PA|=yP +1= 43．所以答案是：43．16.66【解析】16.解：∵an+1=2Sn+3，∴an =2Sn﹣1+3（n≥2），可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，n≥2，∴数列{an }从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，∴ S4=1+5(1−33)1−3=66．所以答案是：66．【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列an列的通项公式才能正确解答此题．。
2016-2017学年(福建省)高三上学期期中考试数学(理)试题5
高三上学期期中考试数学（理）试题全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q = ð A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]2. 若复数z 满足i 1iz=-，其中i 为虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i + 3.若公差为2的等差数列}{n a 的前9项和为81，则=9a A.19 B.17 C. 9 D.1 4.执行如图所示的程序框图,输出S 的值为A.-23 B.23C.-21-D.21 5.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= A.6425 B. 4825 C. 1 D.16256.若函数21()2x x f x a +=-是奇函数,则使f(x)>3成立的x 的取值范围为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C. (1,+∞)D.(0,1)7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC ⋅的值为（ ）A.85-B.81C.41D.811 8.设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件9.如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点,C B 在O 上，且43(,)55B -，点C 在第一象限，,1AOC BC α∠==，则5cos()6πα-=A.45-B.35-C.35D.4510.已知直线l 过点A （﹣1，0）且与⊙B ：x 2+y 2﹣2x=0相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐进线平行于l ，则E 的方程为（ ） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x 2=1 D．﹣=111.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A ．6 B． C． D．12.已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A.（0，23]B.[23，34]C.[13，23] {34}D.[13，23） {34}第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【百强校】2017届福建福州外国语学校高三文上学期期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2017届福建福州外国语学校高三文上学期期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、定义在上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示，若两正数满足，则的取值范围是（）A ．(，) B ．(－∞，)∪(3，+∞)C ．(，3) D ．(－∞，－3)2、若函数在(0，1)上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A．≥0 B．≤0C．≥－4 D．≤－43、若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4－3=0和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A． B．C． D．4、在中，若，则的值是（）A． B．C．或 D．－5、在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A． B．C． D．6、函数在上单调递增，则实数的范围为（）A．(1，2) B．(2，3)C．(2，3] D．(2，+∞)7、命题：“若<1，则－1<<1”的逆否命题是（）A．若≥1，则≥1，或≤－1B．若≥1，且≤－1，则＞1D．若≥1，或≤－1，则≥18、设等差数列的前项和为，若＝9，＝36，则＝（）A．63 B．45 C．43 D．279、设，则的大小关系是（）A． B． C． D．10、已知平面向量，且∥，则实数的值等于（）A．2或 B．－2或 C． D．11、已知函数是幂函数且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则的值为（）A．2 B．－1C．－1或2 D．012、已知是抛物线上一点，则“≥1”是“点到抛物线焦点的距离不少于3”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知>0，>0，且，若恒成立，则实数的取值范围是．14、已知函数的图象在＝1处切线与直线+2－1=0平行，则实数的值为．15、已知与是两个不共线向量，，，，若三点共线，则＝．16、若，则= ．三、解答题（题型注释）17、已知函数⑴若函数在区间[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；⑵令，是否存在实数，当∈(0，]时，函数的最小值为3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18、已知圆：.⑴若圆的切线在轴和上的截距相等，求此切线的方程；⑵从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标.19、已知函数⑴求函数的最小值和最小正周期；⑵设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值.20、已知函数，其图象在点(1，)处的切线与直线－6+21=0垂直，导函数的最小值为－12.⑴求函数的解析式；⑵求在∈[－2，2]的值域.21、数列满足⑴证明：数列是等差数列；⑵设，求数列的前项和.22、在中为内角的对边，且.⑴求的大小；⑵若,试判断的形状.参考答案1、C2、D3、B4、A5、D6、C7、D8、B9、C10、B11、B12、B13、14、15、16、17、（1）；（2）.18、（1），；（2）.19、（1）的最小值是，最小正周期是；（2），.20、（1）；（2）.21、（1）证明见解析；（2）.22、（1）；（2）等腰三角形.【解析】1、试题分析：由图象知，时，，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∵两正数，满足且,∴，如图，表示点与线段上的点连线的斜率，其中，，∵，，，，∴，故选C.考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于时原函数单调递增，当导函数小于时原函数单调递减，利用斜率的几何意义是解决该问题的关键.若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．2、试题分析：∵函数在上单调递减，∴当时，，∴在时恒成立，∴，，即，故选D.考点：利用导数研究函数的单调性.3、试题分析：依题意设圆心()，由圆与直线相切得，∴，解得，则圆的标准方程是，故选B.考点：圆的标准方程.4、试题分析：在中，，，，∴，∴，故选A.考点：两角和的余弦函数.5、试题分析：时，，故A错；∵，∴，∴中等号不成立，故B错；∵，∴中等号也取不到，故C错；故选D.考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．6、试题分析：∵在上单调递增，∴，∴，故选C.考点：分段函数的单调性.7、试题分析：由“若则”的逆否命题为“若则”，得“若，则”的逆否命题是若或，则，故选D.考点：四种命题间的逆否关系.【方法点睛】本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“”的否定是“或”．近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．8、试题分析：由等差数列的性质知，，，成等差数列，∴，∴，故选B. 考点：等差数列的性质.9、试题分析：在上是增函数，，∴，又在上是减函数，∴，即，∴，故选C.考点：大小比较.10、试题分析：∵，∴，∴，∴或，故选B.考点：向量的坐标表示.11、试题分析：因为函数是幂函数，所以，即，解得或．又因为幂函数在，所以，即，所以．故选B．考点：幂函数的性质.12、试题分析：抛物线的交点坐标为，准线方程为，则点到抛物线焦点的距离，若，则，此时点到抛物线焦点的距离不少于不成立，即充分性不成立，若点到抛物线焦点的距离不少于，即，即，则，成立，即必要性成立，故“”是“点到抛物线焦点的距离不少于”的必要不充分条件，故选：B.考点：充分条件、必要条件的判定.13、试题分析：∵，，且，∴，当且仅当，即时取等号，又，∴，，∴，要使恒成立，只需，即，解得，故答案为.考点：函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数恒大于，就必须对进行限制--令，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单.14、试题分析：∵，∴，由题意知，解得，故答案为.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值．是中档题．利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．15、试题分析：∵共线，∴与共线，∴存在实数，使，∵，∴，∴，∴，故答案为.考点：平行（共线）向量.16、试题分析：∵，∴，∴，故答案为.考点：诱导公式；二倍角的余弦.17、试题分析：（1）由函数在上是减函数得在上恒成立，即有成立求解；（2）先假设存在实数，求导得，在系数位置对它进行讨论，结合分当时，当时，当时三种情况进行．试题解析：⑴由条件可得f′()=2+－≤0在[1,2]上恒成立，即≤－2在[1,2]上恒成立.而y=－2在[1,2]上为减函数，所以≤(－2x)min=－，故的取值范围为(－∞,－]⑵设满足条件的实数存在.∵g()=－ln，g′()=－=,∈(0,],①当≤0时，g′()<0,g()在∈(0,]上单调递减，∴g()min=g()=3,即有=(舍去).②当≥即0<≤时,g′()≤0且g′()不恒为0，所以g()在∈(0,]上单调递减，∴g()min=g()=3,即有=(舍去).③当0<<e,即>时，令g′()<0,解得0<<，则有g()在(0，)上单调递减，在(，]上单调递增.∴g()min=g()=1+ln=3即=2.综上，存在=2，当x∈(0，]时，函数g()的最小值为3.考点：函数单调性的性质.18、试题分析：（1）当截距不为时，根据圆的切线在轴和轴的截距相等，设出切线方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离，让等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；当截距为时，设出切线方程为，同理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形为直角三角形，根据勾股定理表示出点的轨迹方程，由轨迹方程得到动点的轨迹为一条直线，所以的最小值就是的最小值，求出原点到轨迹方程的距离即为的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出到的距离，把代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时的坐标．试题解析：⑴将圆配方得(＋1)2＋(－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为＝k，由直线与圆相切得，即＝2±，从而切线方程为＝(2±).②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为＋－a＝0，由直线与圆相切得＋＋1＝0，或＋－3＝0.∴所求切线的方程为＝(2±)，＋＋1＝0或＋－3＝0⑵由|PO|＝|PM|得，即点P在直线l：2－4＋3＝0上，取最小值时即取得最小值，直线⊥l，∴直线的方程为2＋＝0.解方程组得点坐标为.考点：直线与圆的位置关系.19、试题分析：（1）化简函数的解析式为，可得函数的最小值为，最小正周期为；（2）中，由求得．再由向量与共线可得，再由，可得，化简求得，故，再由正弦定理求得、的值．试题解析：⑴因为所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.⑵由题意得=0，则∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴，∴，＝，∵向量与向量共线，∴，由正弦定理得，①由余弦定理得，2＝2＋2－2cos，即3＝2＋2－②由①②解得，＝1，＝2.考点：正弦定理；平行向量与共线向量；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法.20、试题分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，再由二次函数的最值求法，可得，的值；（2）求出导数，求得极值，以及端点处的函数值，即可得到值域．试题解析：⑴f ′()＝3ax2＋c，则，则＝2，＝－12，所以f(x)＝23－12.⑵f ′()＝62－12，令f ′()＝0 得，＝±.所以函数y＝f()在(－2，－)和(，2)上为增函数，在(－，)上为减函数．f(－2)＝8，f(2)＝16－24＝－8，f()＝－8，f(－)＝8，所以y＝f()在∈[－2,2]上的值域为[－8，8]．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解.21、试题分析：（1）由可得，从而可证数列为等差数列；（2）利用错位相减法求其前项和.试题解析:（1）证明：由已知可得，即所以是以为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以＝2，从而＝·3n＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n①3＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n+1②①－②得：－2＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n+1＝所以＝考点：等差数列的性质；数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.22、试题分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得，和关系式，代入余弦定理中求得的值，进而求得；（2）把（1）中，和关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与联立求得和的值，进而根据，的范围推断出，可知是等腰的三角形．试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，；（2）由（1）得．变形得又，得上述两式联立得，因为，，故所以是等腰三角形.考点：正弦定理；余弦定理.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.。
【全国百强校】福建省福州外国语学校2017届高三上学期期中考试理数(原卷版)
福建省福州外国语学校2017届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．02.设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（ ） A ．11f()<f(2)<f()32B ．11f()<f(2)<f()23C ．11f()<f()<f(2)23D ．11f(2)<f()<f()233.等比数列n {a }的各项为正数,且5647a a +a a =18,则log 31a +log 32a +…+log 310a =（ ） A ．12B ．10C ．8D ．2+log 354.如图,已知ABCDEF 是边长为1的正六边形,则BA (BC+CF)⋅uuu r uu u r uu r的值为（ ）A ．34B C ．32D ．－325.将函数R)∈的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则θ的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C.π3D ．5π66.已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－ B ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－－ C ．x R,f(x )f(x )∃∈≠000－D ．x R,f(x )f(x )∃∈≠000－－7.下列三个结论：①设a,b r r 为向量，若|a b ||a ||b |⋅=r r r r ，则a r ∥b r恒成立；②命题“若x sinx=0－,则x=0”的逆命题为“若x 0≠,则x sinx 0≠－”；③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 其中正确的结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C. 3个D ．0个8.对于函数y=g(x)，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n {a }满足：1x =2，且对任意n N*∈，点n n+1(x ,x )都在函数y=g(x)的图象上，则122015x +x x ++L ＝（ ） A ．4054B ．5046C.5075D ． 60479.设函数y=xsinx+cosx 的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）10.已知向量a,b r r 满足0≠r r ，且关于x 的函数32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅r r r 在实数集R 上单调递增，则向量a,b r r的夹角的取值范围是（ ）A ．π[0,]6B ．π[0,]3C ．π[0,]4D ．ππ[,]6411.如图2是函数πf(x)=Asin(2x+φ),(A>0,|φ|)2≤图象一部分，对不同的12x ,x [a,b]∈，若12f(x )=f(x )，有12f(x +x ，则（ ）A ．f(x)在 (－3ππ,88)上是增函数 B ．f(x)在(－3ππ,88)上是减函数 C ．f(x)在(－5ππ,1212)上是增函数 D ．f(x)在(－5ππ,1212)上是减函数12.若关于x 的不等式23a x 3x+4b 4≤≤－的解集恰好是[a,b]，则a b +的值为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若34z=sin θ+i(cos θ)55－－是纯虚数，则tan θ的值为 ．14.若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(2a)>f(a 1)－－的实数a 的取值范围是 ．15.函数22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为 ．16.已知函数f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数x ，y 满足：f(2)=2,f(xy)=xf(y)n n n n n f(2)f(2)+yf(x),a =(n N*),b =(n N*)2n∈∈，考查下列结论：①f(1)=1；②f(x)为奇函数；③数列n {a }为等差数列；④数列n {b }为等比数列。
福建省福州市高三上学期期中数学试卷(理科)
福建省福州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·湖北模拟) 已知集合 A={x|y= }，B={x|x2﹣x＞0}，则 A∩B=（ ）A . {x|x≥0}B . {x|0＜x＜1}C . {x|x＞1}D . {x|x＜0 或 x＞1}2. （2 分） 下列命题：①若 p，q 为两个命题，则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件。
②若 p 为：， 则 为：。
③命题 p 为真命题，命题 为假命题。
则命题，都是真命题。
④命题“若 ， 则 q”的逆否命题是“若 p，则 ”． 则正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43. （2 分） 已知偶函数 在区间单调递增，则满足的 x 取值范围是（ ）A.B. C.D.第 1 页 共 12 页4. （2 分） 设 sinα= ， α∈（ ， π），则 tanα 的值为（ ） A. B.C. D.-5. （2 分） 函数 f（x）是自变量不为零的偶函数，且 f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数 n 使得 f（m）=g（n），则实数 m 的取值范围是（ ）A . [﹣2，2]B.∪C.∪D . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）6. （2 分） (2015 高三上·孟津期末) 已知 x1 ， x2（x1＜x2）是方程 4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1 ， x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min ， 若对任意 k∈R，恒只有成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. （2 分） (2017 高二下·广州期中) 若函数第 2 页 共 12 页在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A . （ ，3） B.（ ， ） C . （ ，3] D . （﹣∞，3]8. （2 分） (2019 高一上·遵义期中) 已知函数 取值范围是（ ）A. B. C.是 上的增函数，则实数 的D. 9.（2 分）(2017 高一上·巢湖期末) 设 min{p，q，r}为表示 p，q，r 三者中较小的一个，若函数 f（x）=min{x+1， ﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式 f（x）＞1 的解集为（ ） A . （0，2） B . （﹣∞，0） C . （1，+∞） D . （1，3）10. （2 分） 若点 P 是函数 的最小值是（ ）图象上任意一点，且在点 P 处切线的倾斜角为 ， 则A.第 3 页 共 12 页B. C. D. 11. （2 分） (2015 高三上·广州期末) 函数 f（x）=2sin（2x﹣ ）在区间[0， ]上的最小值为（ ） A . ﹣1B.-C.D.1 12. （2 分） 如果二次函数 A. B. C. D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)不存在零点，则 m 的取值范围是（ ）13. （1 分） (2018 高一上·扬州月考) 若函数 是________．在上递减，则实数 a 的取值范围14. （1 分） 若 f（x）=x3 ， 则满足 f（x）＜1 的 x 的取值范围是________15. （1 分） (2017 高二下·眉山期末) 己知 a= （sinx+cosx）dx，在（1+x）（a+x）5 的展开式中，x3 的 系数为________（用数字作答）．16.（1 分）(2017 高三上·邳州开学考) 设函数 y=f（x）的定义域为 D，若对于任意的 x1 ，x2∈D，当 x1+x2=2a第 4 页 共 12 页时，恒有 f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数 y=f（x）的对称中心．研究函数 f（x）=x+sinπx﹣3 的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得 f（ ） +f（ ））+…+f（ ） +f（ ） 的值为________．17. （1 分） (2013·上海理) 方程 2x=8 的解是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)18. （5 分） (2016 高一下·河南期末) 已知命题 p：x+2≥0 且 x﹣10≤0，命题 q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若 ¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．19. （15 分） (2019·中山模拟) 已知函数线方程为.（ ） ，曲线（1） 求实数 的值，并求的单调区间；（2） 试比较与的大小，并说明理由；（3） 求证：20. （10 分） (2016 高一上·仁化期中) 化简在点处的切（1） ﹣（﹣2）4+（﹣2）﹣3+（﹣ ）﹣3﹣（﹣ ）3；（2） lg14﹣2lg +lg7﹣lg18．21. （15 分） (2019 高三上·牡丹江月考) 已知椭圆：的坐标为， 为坐标原点，是等腰直角三角形.（1） 求椭圆 的方程；的右焦点为点（2） 经过点作直线 交椭圆 于两点，求面积的最大值；（3） 是否存在直线 交椭圆于两点，使点 为若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？第 5 页 共 12 页22. （10 分） (2017 高二下·廊坊期末) 已知函数 f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R． （1） 令 g（x）为 f（x）的导函数，求 g（x）单调区间； （2） 已知函数 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 取值范围． 23. （10 分） (2017 高二下·桂林期末) 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx 在 x=﹣ 与 x=1 处都取得极值． （1） 求 a，b 的值； （2） 求曲线 y=f（x）在 x=2 处的切线方程．第 6 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、 17-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)18-1、19-1、19-2、19-3、第 8 页 共 12 页20-1、20-2、 21-1、第 9 页 共 12 页21-2、 21-3、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、23-1、23-2、。
福建省福州市数学高三上学期理数期中考试试卷
福建省福州市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集,则（）A .B .C .D .2. （2分）已知是等比数列，则=（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·乾安期中) 函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点在区间（）A . （﹣1，0）B . （2，3）C . （1，2）D . （0，1）4. （2分）化简的结果为（）A . ﹣cos160°B . cos160°C .D .5. （2分）下列式子中成立的是（）A . log76＜log67B . 1.013.4＞1.013.5C . 3.50.3＜3.40.3D . log0.44＜log0.466. （2分） (2016高一上·菏泽期中) 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A . 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B . 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C . 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D . 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油7. （2分）已知i是虚数单位，则=（）A . 1-2iB . 2-iC . 2+iD . 1+2i8. （2分）(2018·河北模拟) 朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）A . 350升B . 339升C . 2024升D . 2124升9. （2分）若函数f（x）=﹣x•ex ，则下列命题正确的是（）A . ∀a∈（﹣∞，），∃x∈R，f（x）＞aB . ∀a∈（，+∞），∃x∈R，f（x）＞aC . ∀x∈R，∃a∈（﹣∞，），f（x）＞aD . ∀x∈R，∃a∈（，+∞），f（x）＞a10. （2分） (2017高一下·宿州期末) 在△AB C中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2= bc，sinC=2 sinB，则A=（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·日喀则期末) 设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A . （0，）B . （，e）C . （0， ]D . [ ，）12. （2分）已知O为△ABC内一点，且有+2+3=，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1 ，S2 ， S3 ，则S1：S2：S3等于（）A . 3：2：1B . 3：1：2C . 6：1：2D . 6：2：1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·天津期中) 设定义在上的函数满足，则________.14. （1分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=________．15. （1分） (2015高二下·吕梁期中) 曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程________．16. （1分） (2018高三上·湖南月考) 设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2017高一上·启东期末) 已知函数f（x）= sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（ + ），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ= 时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[ ， ]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．18. （10分） (2015高三上·大庆期末) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．19. （5分） (2016高三上·承德期中) 已知函数f（x）= sinxcosx+sin2x+ （x∈R）．（Ⅰ）当x∈[﹣， ]时，求f（x）的最大值．（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c= ，f（C）=2，sinB=2sinA，求a．20. （5分）(2017·和平模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点（2 ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．21. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.22. （5分）(2020·茂名模拟) 设为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.（Ⅰ）写出参数方程和普通方程；（Ⅱ）求最大值和最小值.23. （10分） (2016高一上·浦东期中) 设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，B为不等式组的整数解集，若（∁UA）∩B恰有三个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(三)数学(理)试题Word版含答案
高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数满足(34)|43|i z i -⋅=+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．4-B ．45C ．4D ．45-2.设集合{}||1|3P x x =+≤，1|(),(2,1)3xQ y y x ⎧⎫==∈-⎨⎬⎩⎭，则PQ =（ ）A ．1(4,)9-B ．1(,2]9C ．1(,2]3D ．1(,2)33.已知命题p ：1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是（ ） A ．1x ∃，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ B ．1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ C ．1x ∃，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --< D ．1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --<4.若(,)2παπ∈，3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（ ） A ．1718- B ．1718 C ．118- D ．1185.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(4,10]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞6.有关以下命题：①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=； ③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题个数为（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2++B ．16+C ．8+D ．8+8. 设x ，y 满足约束条件30,0,20,x y a x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z x y =+的最大值为2，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-9.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．210.过双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点F 作直线by a=-x 的垂线，垂足为A ，交双曲线的左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD11.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（a ，b ，c ，*d N ∈），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．227 B ．6320 C ．7825D ．1093512.已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[]3,3x ππ∈-时，方程()()f xg x =根的根数是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知61()x ax+展开式的常数项是540，则由区县2y x =和y x α=围成的封闭图形的面积为 ．14.△ABC 的三个内交为A ，B ，C ，7tan()12π=-，则2cos sin 2B C +的最大值为 ．15.在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=，22240BC AC +-=，若将其沿AC 折成二面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为 ．16.设函数32,ln ,x x x ey a x x e⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，设22(log 1)n n b a =+，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．18.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求证：//FC 平面EAD ； （3）求二面角A FC B --的余弦值．19.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A 甲 4次 6次 2次 12次B 乙 3次 6次 3次 12次 C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概念；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点1F ，2F 的距离之和为 （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l ：y x m =+（m R ∈）与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且||AB =，若点0(,2)P x 满足||||PA PB =，求0x 的值． 21.已知a R ∈，函数()()|1|f x x a x =--． （1）若3a =，求()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 在1,a b ⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,1-，求a ，b 需要满足的条件．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦CD AB ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，10AB =，8CD =，34ED OM =，EF 切圆O 于F ，BF 交CD 于G ．（1）求证：△EFG 为等腰三角形； （2）求线段MG 的长．23.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆C 的圆心(3,)6C π，半径3r =．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且||:||3:2OQ OP =，求动点P 的轨迹方程．24.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x =-，x R ∈． （1）解不等式()1f x x <+； （2）若对于x ，y R ∈，有1|1|3x y --≤，1|21|6y +≤，求证：()1f x <．福州市外国语学校2017届高三适应性考试（三）高三数学（理科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCAADDAACAB二、填空题 13.512 14.32 15.4π 16.1(0,]1e + 三、解答题17.解：（1）21n n S a =- ①1121n n S a --=- ②由题意得012122426222n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅…，③1212 2242(22)222n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅…，④③-④得12122(222)n n T --=++++…22nn -⋅(22)22n n =-⋅-， ∴1(22)22(1)22n n n T n n +=-⋅+=-⋅+．18.（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点， 又FA PC =，所以AC FO ⊥， 因为FOBD O =，所以AC ⊥平面BDEF ．（2）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以//AD BC ，//DE BF ，所以平面//FBC 平面EAD ， 又FC ⊂平面FBC ，所以//FC 平面EAD ．（3）解：因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，所以△DBF 为等边三角形， 因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则2BD =，所以1OB =，OA OF ==所以(0,0,0)O，A ，(0,1,0)B，(C，F ．所以(3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量(,,)n x y z =，则有0,0,n CF n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0y +=+=，取1x =，得(1,3,1)n =--．易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)v =． 由二面角A FC B --是锐角，得|,||cos,|||||u v n v u v <>=5=，所以二面角A FC B --的余弦值为5．19.解：（1）由人工降雨模拟实验的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：方式实施地点 大雨中雨小雨A甲11()3P A =21()2P A =31()6P A =B 乙 11()4P B = 21()2P B = 31()4P B =C丙11()6P C =21()6P C =32()3P C =记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E ，则2221111()()()()22624P E P A P B P C ==⨯⨯=．（2）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为1p 、2p 、3p ， 则121()2p P A ==，211()4p P B ==，2235()()6p P C P C =+=， ξ的可能取值为0,1,2,3，1231313(0)(1)(1)(1)24648P p p p ξ==---=⨯⨯=；123123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p p p ξ==--+--+--131********24624624648=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 123123123(2)(1)(1)(1)P p p p p p p p p p ξ==-+-+-1111151352124624624648=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 1231155(3)24648P p p p ξ===⨯⨯=． 所以随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P348 19482148 548数学期望3192151901234848484812E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）由已知2a =，得a =c = ∴2224b a c =-=，∴椭圆Γ的方程为221124x y +=． （2）由22,1,124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-= ①∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴223616(312)0m m ∆=-->，得216m <，设1232mx x +=-，2123124m x x -=，∴12|||AB x x =-==又由||AB =，得231294m -+=，解得2m =±． 据题意知，点P 为线段AB 的中垂心与直线2y =的交点， 设AB 的中点为00(,)E x y ，则120324x x x m +==-，004my x m =+=， 当2m =时，31(,)22E -， 此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2y =，得03x =-． 当2m =-时，31(,)22E ， ∴此时，线段AB 中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2y =，得01x =-． 综上所述，0x 的值为3-或1-．21.解：（1）因为3a =，2243,1()43,1x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，如图．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，(2,)+∞．（2）因为()f x 在1,a b ⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,1-，所以1(1)1f a -≤-≤，即11a -≤≤，22(1),1,()(1), 1.x a x a x f x x a x a x ⎧-++≥⎪=⎨-++-<⎪⎩（i ）当11a -≤≤时，1012a +≤≤，所以x a ≥时，|()|0f x ≥，又a a <，所以min ()(1)1f x f a ==-，得1a =-，此时102a +=， 而(0)1f =， 所以0,()1,b f b ≥⎧⎨≤⎩得0b ≤≤所以1,0a b =-⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ （ii）当11a <≤时，1112a +<≤，所以max ()()1f x f b ==，①当11a ≤≤时，112a a +≤，所以min ()(1)1f x f a ==-，得1a =，1b =+②当11a <<时，112a a +>,所以2121()3,0)24a a a f +-+-=∈，所以min ()(1)1f x f a ==-，所以1a =-或1a =，1a =不成立．由（i ）、（ii）可知1,0a b =-⎧⎪⎨≤≤⎪⎩1,1a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩22.（1）证明：连接AF ，OF ，则A ，F ，G ，M 共圆， ∴FGE BAF ∠=∠，∵EF OF ⊥，∴EFG BAF ∠⊥∠， ∴EFG FGE ∠=∠，∴EF EG =，∴△EFG 为等腰三角形．（2）解：由10AB =，8CD =，可得3OM =，∴443ED OM ==，248EF ED EC =⋅=，∴EF EG == 连接AD ，则BAD BFD ∠=∠，∴8MG EM EG =-=-23.解：（1）设(,)M ρθ为圆C 上任一点，OM 的中点为N ， ∵O 在圆C 上，∴△OCM 为等腰三角形，由垂径定理可得||||cos()6ON OC πθ=-，为所求圆C 的极坐标方程．（2）设点P 的极坐标为(,)ρθ，因为P 在OQ 的延长线上，且||:||3:2OQ OP =，所以点Q 的坐标为3(,)5ρθ，由于点Q 在圆上，所以36cos()56πρθ=-， 故点P 的轨迹方程为10cos()6πρθ=-．24.（1）解：()1f x x <+，即1211x x -<-<+，解得02x <<．（2）证明：()|21||2(1)(21)|f x x x y y =-=--++1152|21||21|21366x y y ≤--++≤⨯+=<．。
福州外国语学校高三上学期期中考试数学(理)试题
一、选择题 （本大题共12小题。
每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设i 为虚数单位，则复数34i i +的共轭复数为（ ） A ． 43i --B ． 43i -+C ． 43i +D ． 43i -2、设集合{}|1A x y x ==-，{}|lg ,1100B y y x x ==≤≤则AB =( ）A 、[]1,100B 、[]1,2C 、[]0,2D 、[)0,103．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（ ）A ．－3B ．3C ．31D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e内均无零点C ．在区间)1,1(e内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5。
下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =，则0x ="的否命题为：“若0xy =,则0x ≠”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数"的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x ，使得2210x-<”的否定是：“R ∈∀x ，均有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 6、已知a 是实数,则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ )7．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点,若点在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0m n >,则11m n+的最小值为（ ）A ．4B 2C ．2D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①x x x f cos sin )(-=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=;③2sin 2)(+=x x f ;④.sin )(x x f =其中“互为生成函数”的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 9．等边△ABC 的边长为2，平面内一点M满足11,32CM CB CA MA MB =+⋅则= （ )A ．139B ．—139C ．89D ．—8910设奇函数()(0,)x +∞在上是增函数，且(1)0f =,则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为( ） A ．{|10,1}x x x -<<>或 B ．{|1,01}x x x <-<<或 C ．{|1,1}x x x <->或D ．{|10,01}x x x -<<<<或11．已知定义在R 上的函数y = f （x)满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f （x+2)= - f （x ）;②对于任意的0≤x 1＜x 2≤2，都有f （x 1)＜f(x 2），③y=f （x+2)的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )A. f(4。
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高三数学(理科)试题考试时间:120分钟试卷满分:150分第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 2.设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有()A ．11f()<f(2)<f()32B ．11f()<f(2)<f()23C ．11f()<f()<f(2)23 D ．11f(2)<f()<f()233.等比数列n {a }的各项为正数,且5647a a +a a =18,则log 31a +log 32a +…+log 310a =()A ．12B ．10C ．8D ．2+log 354.如图,已知ABCDEF 是边长为1的正六边形,则BA (BC+CF)⋅uuu r uu u r uu r的值为()A ．34B ．32C ．32D ．－325.将函数y=3cosx+sinx,(x R)∈的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则θ的最小值是( ) A ．π12B ．π6C.π3D ．5π66.已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )A ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－B ．x R,f(x)f(x)∀∈≠－－C ．x R,f(x )f(x )∃∈≠000－D ．x R,f(x )f(x )∃∈≠000－－7.下列三个结论：①设a,b r r 为向量，若|a b ||a ||b |⋅=r r r r ，则a r ∥b r恒成立；②命题“若x sinx=0－,则x=0”的逆命题为“若x 0≠,则x sinx 0≠－”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 其中正确的结论的个数为( )A ．1个B ．2个C. 3个D ．0个8.对于函数y=g(x)，部分x 与y 的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 y247518数列n {a }满足：1x =2，且对任意n N*∈，点n n+1(x ,x )都在函数y=g(x)的图象上，则122015x +x x ++L ＝() A ．4054B ．5046C.5075D ．60479.设函数y=xsinx+cosx 的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为()10.已知向量a,b r r 满足|a|=22|b|0≠r r ，且关于x 的函数32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅r r r 在实数集R 上单调递增，则向量a,b r r的夹角的取值范围是() A ．π[0,]6B ．π[0,]3C ．π[0,]4D ．ππ[,]6411.如图2是函数πf(x)=Asin(2x+φ),(A>0,|φ|)2≤图象一部分，对不同的12x ,x [a,b]∈，若12f(x )=f(x )，有12f(x +x )=2，则()A ．f(x)在(－3ππ,88)上是增函数B ．f(x)在(－3ππ,88)上是减函数C ．f(x)在(－5ππ,1212)上是增函数D ．f(x)在(－5ππ,1212)上是减函数12.若关于x 的不等式23a x 3+4b 4≤≤－的解集恰好是[a,b]，则a b +的值为( )A ．83B ．4C ．163D ．5第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.若34z=sin θ+i(cos θ)55－－是纯虚数，则tan θ的值为 ．14.若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(2a)>f(a 1)－－的实数a 的取值范围是 ．15.函数221(x+1),(2x 0)f(x)=x x,(0<x 1)⎧≤≤⎪⎨≤⎪⎩－－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为 ．16.已知函数f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数x ，y 满足：f(2)=2,f(xy)=xf(y)n n n n n f(2)f(2)+yf(x),a =(n N*),b =(n N*)2n∈∈，考查下列结论：①f(1)=1；②f(x)为奇函数；③数列n {a }为等差数列；④数列n {b }为等比数列。
以上命题正确的是 ．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)设p ：关于x 的不等式x a >1的解集是{x|x<0}；q ：函数2y=ax x+a －的定义域为R .若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围. 18. (本小题满分12分)已知向量m=(sinx,1)u r －，向量1n=(3cosx,)2r －，函数f(x)=(m+n)m ⋅u r r u r(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T ；(Ⅱ)已知a,b,c 分别为ABC V 内角A,B,C 的对边，A 为锐角，a=23,c=4，且f(A)恰是f(x)在π[0,]2上的最大值，求A,b . 19. (本小题满分12分)已知数列n {a }与n {b }满足：n1n 3+(1)a =1,b =2－，且n n n+1n+1n a b +a b =1+(2),n N*∈－.(Ⅰ)求23a ,a 的值；(Ⅱ)令k 2k+12k 1c =a a k N*∈－－，，证明：n {c }是等比数列. 20. (本小题满分12分)罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．⑴试写出y 关于x 的函数关系式；⑵当m ＝96米，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y 最小？ 21. (本小题满分12分)在ABC V 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b sinC=1a+c sinA+sinB－，且b=5,CA CB=5⋅uuu r uur －， (Ⅰ)求ABC V 的面积；(Ⅱ)已知等差数列n {a }的公差不为零，若a cosA=11，且248a ,a ,a 成等比数列，求n n+28{}a a 的前n 项和n S . 22. (本小题满分12分)已知函数2g(x)=(2a)lnx,h(x)=lnx+ax (a R)∈－,令f(x)=g(x)h (x)'+，其中h (x)'是函数h(x)的导函数.(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当8<a<2－－时，若存在12x ,x [1,3]∈,使得122|f(x )f(x )|>(m+ln3)a 2ln3+ln(a)3－－－恒成立，求m 的取值范围.福建省福州外国语学校2016-2017学年度第一学期期中考试高三数学(理科)试题试卷答案一、选择题 1-5:DBBCD6-10:CADBC11、12：AD二、填空题 13.－3414.(－∞,32) 15.1π+6216.②③④三、解答题17.(本小题满分10分)解：依题意有：对于p ：0<a<1,所以对于q ：a ≥12. 由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”，可知p ，q 一真一假，………………………………………5分当p 真q 假时，0<a<11a<2⎧⎪⎨⎪⎩，有a 的取值范围是1{a|0<a<}2……………………………………………7分当p 假q 真时，a 0a 11a 2≤≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或，有a 的取值范围是{a|a 1}≥.………………………………………9分 综上，a 的取值范围是1(0,)[1,+)2⋃∞…………………………………………………………………10分 18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)211cos2x 31f(x)=(m+n)m=sin x+1+3sinxcosx+=+1+sin2x+2222⋅u r r u r －………………2分31π=sin2x cos2x+2=sin(2x )+2226 －－…………………………………………………5分 因为ω=2，所以2πT==π2………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：当πx [0,]2∈时，ππ5π2x 666≤≤－－ 由正弦函数图象可知，当ππ2x 62=－时f(x)取得最大值3…………………………………………8分又A 为锐角，所以πππ2A =,A=623－…………………………………………………………………9分由余弦定理，222a =b +c bccosA －2即2112=b +1624b 2⋅⋅－故b =2……………………………………………………………………………………………………12分 19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由nn 3+(1)b =,n N*2∈－，可得n 1,n b =2,n ⎧⎨⎩为奇数为偶数…………………………………………………1分 又n n n+1n+1n a b +a b =1+(2)－，a =1１当n=1时，a b +a b =1１２２１－，得a =2－3………………………………………………………………3分 当n=2时，2332a b +a b =5，得a =34……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)证明：∵n n n+1n+1n a b +a b =1+(2),n N*∈－ ∴令n=2k 1(k N*)∈－，则2k 12k 12k 2a +a =1+(2)－－－ ①………………………………………………7分 ∴令n=2k(k N*)∈，则2k2k 2k+1a +2a =1+(2)－ ②……………………………………………………9分 由①②得2k 22k 12k 1a a =32⨯－－－－ ，即2k 2k c =32⨯－ 因此n+1nc =c 4 ，所以k {c } 是等比数列.…………………………………………………………………12分 20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设需新建n 个桥墩，则(n+1)x=m ，即mn=1x－ ………………………………………………2分 所以m my=f(x)=32n+(n+1)(2+x )x=32(1)+(2+x )x x x－=32m(+x )+2m 32,(0<x<m)x－……………………………………………………………6分(Ⅱ)当m=96 时，32f(x)=96(+x )+160x则3213248f (x)=96()x 64)xx 2x '22－＝（－……………………………………………………………8分 令f (x)='0，得32x 64=，所以x=16当0<x<16时，f (x)<'0，f(x)在区间(0,16)内为减函数； 当16<x<96，f (x)>'0，f(x)在区间(16,96)内为增函数；所以f(x)在x =16处取得最小值，此时96n=1516－＝………………………………………………10分 故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y 最小.…………………………………………………12分21.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)由正弦定理得：b c=1a+c a+b－即：222b +c a =bc －, 所以由余弦定理得：222b +c a bc 1cosA===2bc 2bc 2－又因为：0<A<π，所以πA=3………………………………………………………………………3分 因为CA CB ⋅uu u r uur ＝－5即：5acosC=5－即：222a +bc 5a =52ab－－与22π25+c a cos =310c－联立解得：c =12，…………………………………………………………5分所以ABC V 的面积是：1512sinA=1532⨯⨯⨯…………………………………………………6分 (Ⅱ)数列n {a } 的公差为d 且d ≠0由1a cosA=1 得1a =2 又248a ,a ,a 成等比数列，得2428a =a a ⋅解得d =2…………………………………………………8分 所以n a =2+(n 1)2=2n ⨯－，有n+2a =2(n+2) 则n n+28211==a a n(n+2)n n+2－……………………………………………………………………10分 所以111111111S =(1)()()()()32435n n+1n n+2n +++++1L －－－－－－＝3112n+1n+2－－…………………………………………………………………………12分 22.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意1h (x)=+2ax x '，则1f(x)=(2a)lnx++2ax,x (0,+)x ∈∞－ 当a=0时，221212x 1f(x)=2lnx+,f (x)==x x x x '－－令f (x)=0'解得1x=2；当10<x<2时，f (x)<0'，当1x>2时，f (x)>0'…………………………………………………………3分所以f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间为(12,+∞) 所以1x=2时f(x)取得极小值1f()=22ln22－，无极大值.………………………………………………5分(Ⅱ)221a(2x 1)(x+)2a 1a f (x)=+2a=,x [1,3]x x x'∈－－－ 当8<a<2－－即111<<8a 2－时，恒有f (x)<0'成立，所以f(x)在[1,3]上是单调递减.…………………………………………………………………………7分 所以max min 1f(x)=f(1)=1+2a,f(x)=f(3)=(2a)ln3++6a 3－ 所以1max |f(x )f(x )|=f(1)f(3)=4a+(a 2)ln33２２－－－－， 因为存在12x ,x [1,3]∈,使得122|f(x )f(x )|>(m+ln3)a 2ln3+ln(a)3－－－恒成立， 所以24a+(a 2)ln3>(m+ln3)a 2ln3+ln(a)33２－－－－整理得2ma<4a ln(a)33２－－－又a <0，所以2ln(a)m>43a 3a２－－－…………………………………………………………………9分令t =－a ，则t ∈(2,8)，构造函数2lntF(t)=+43t 3t２－－,所以22(2lnt)F (t)=3t'－， 当F (t)='0时，2t=e ，当F (t)>'0时，22<t<e ，此时函数单调递增， 当F (t)<'0时，2e <t<8，此时函数单调递减，所以2max 2F(t)=F(e )=43e ２－， 所以m 的取值范围为(243e２－,+∞)…………………………………………………………………12分。