17.1.2勾股定理的应用.利用勾股定理解决平面问题
勾股定理的应用及方法
勾股定理的应用及方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表述为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a 和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。
勾股定理的应用非常广泛，在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。
下面我将介绍一些常见的勾股定理的应用及解题方法。
1. 求解三角形的边长和角度：勾股定理可以用于求解三角形的边长和角度。
当我们已知两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。
而已知两边长和夹角时，可以利用勾股定理计算出第三边长或者求解夹角的大小。
例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以利用勾股定理计算出另一条直角边的长度：3²+ b²= 5²9 + b²= 25b²= 16b = 4同样地，已知直角三角形的两条直角边长度为3和4，可以利用勾股定理计算斜边的长度：3²+ 4²= c²9 + 16 = c²c²= 25c = 52. 解决实际问题：勾股定理也可以应用于解决实际问题。
例如，在测量中，我们经常需要通过已知的边长计算其他未知边长的问题。
有一道经典的应用题是“房子问题”：如果一个房子的两堵墙的长度分别为6米和8米，房子的对角线长度是多少？根据勾股定理可知，对角线的长度即斜边的长度c，可以通过勾股定理求解：6²+ 8²= c²36 + 64 = c²c²= 100c = 10因此，房子的对角线长度为10米。
3. 判断三角形的形状：勾股定理还可以用来判断三角形的形状。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a²+ b²= c²，那么这个三角形就是直角三角形。
例如，如果一个三角形的三条边长分别为3、4和5，我们可以通过勾股定理验证这个三角形是否为直角三角形：3²+ 4²= 5²9 + 16 = 2525 = 25由此可见，三角形的三条边满足勾股定理，所以这个三角形是一个直角三角形。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1.2 勾股定理的应用 利用勾股定理计算旗杆高度课件-2024-2025学年人教版初中数学八下
谢谢！！！
重点与难点
重点: 利用勾股定理列方程计算旗杆高度 难点:结合实际问题，构造相应的直角三
角形模型
1、完全平方公式：a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
2、勾股定理
如图1，在Rt△ABC中，如果a,b分别 为直角边长，c为斜边长，那么
A
a2 b2 c2
c b
17.1.2 勾股定理的应用
---利用勾股定理计算旗杆高度
学习目标
通过动手操作，模拟情境，学会将实际问题抽象成数 学问题来解决，提高分析问题，解决问题的能力；
通过小组合作活动探究出旗杆高度的一般表达式,体验 从特殊到一般的探究方法；
学会利用勾股定理列方程解决实际问题，体会方程思想， 培养应用意识。
有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小 孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.8 m，问这根铁 棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则.5 所以最长是2.5+0.8=3.3(m). 最短时, x=1.5
所以最短是1.5+0.8=2.3(m).
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形； 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这 根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边 的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
┐
解：设水深为x尺，则芦苇长为(x 1)尺 根据勾股定理可得
x2 52 (x 1)2 解得：x 12 则x 1 13 答：水深为12尺，芦苇长为13尺。
a
x+a
x
b
A
x+a x
BbC
旗杆高度的一般表达式
解：设旗杆长为x 米,则绳长为（x+a） 米，
人教版数学八年级下册17.1.2《勾股定理的应用》教案
3.数学抽象：理解勾股定理的数学表达，提高学生的数学抽象思维能力。
4.问题解决：培养学生遇到问题时能主动运用所学知识进行解决的能力，提高数学问题解决技巧。
5.数据分析：通过实际案例分析，使学生能够从数据中提炼信息，培养数据分析素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生们在讨论中表现出了很高的热情，能够积极发表自己的观点，但有时候讨论的主题偏离了课程内容。为了使讨论更加有效，我应该在设置讨论主题时更加明确，同时在讨论过程中加强对学生的引导，确保讨论的方向与课程目标相符。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，部分学生提出了疑问，但我没有足够的时间一一解答。我意识到在以后的教学中，需要合理安时间，预留出更多的时间来解答学生的疑问，确保他们对所学知识的掌握。
最后，针对本节课的教学，我认为在以下几个方面进行改进：
1.增加课堂互动，让学生多参与，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时发现并解决问题。
3.丰富教学手段，利用多媒体、实物等资源，使抽象的概念更加直观易懂。
4.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教8年级下册数学17.1.2勾股定理的实际应用
第1节 勾股定理 第2课时 勾股定理的实际应用
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知识点 1 求实际中长(高)度的应用
1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意 的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问 题，运用__勾__股____定理求解．
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2．如图，在校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m， 另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟 至少要飞___1_3____m.
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方程思想 14．如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一
只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只 猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路 线为直线)．如果两只猴子所经过的路 程相等，求这棵树的高．
解： 设BD＝x m，由题意知BC＋AC＝BD＋AD， ∴AD＝(30－x)m. ∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2， 解得x＝5，∴x＋10＝15. 答：这棵树的高为15 m.
点拨 返回
【思路点拨】 通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示 出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．
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(2)当把该隧道改为双向二车道时， 4÷2＝2(m)<3.2 m， 所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．
返回
题型 2 勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用
12．为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆柱形灯 罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示． 已知圆柱的高为108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在侧面上均匀缠绕油纸4圈， 应裁剪多长的油纸？
应用勾股定理解实际问题
应用勾股定理解实际问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。
在实际生活中，勾股定理可以应用于多种场景，解决实际问题。
本文将探讨勾股定理在几个具体问题中的应用。
1. 应用一：测量直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是用来测量直角三角形的边长。
在我们日常生活中，经常会遇到需要测量一些不易直接测量的距离，比如高楼的高度、河流的宽度等等。
这时，我们可以利用勾股定理来求解。
假设我们需要测量一栋建筑物的高度，可以选择一个合适的地方A 站立，从眼睛位置向上仰望，然后测量自己与建筑物底部的距离为a。
接着，我们移动到地点B，使得站立在地点B时看到建筑物顶部，测量自己与建筑物底部的距离为b。
此时，我们可以利用勾股定理计算出建筑物的高度c，即c²=a²+b²。
2. 应用二：求解物体之间的距离在很多实际问题中，我们需要求解两个物体之间的距离。
例如，在导航软件中，我们需要确定两个地点之间的最短路径。
这时，我们可以应用勾股定理帮助我们计算出两个地点的距离。
假设有两个地点A和B，我们知道A点的横坐标为x₁，纵坐标为y₁，B点的横坐标为x₂，纵坐标为y₂。
我们可以通过计算AB两点间的距离来获得最短路径。
根据勾股定理，AB的距离可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
3. 应用三：解决投影问题另一个常见的应用领域是求解投影问题。
在日常生活中，我们经常需要计算物体的投影长度，比如阳光下建筑物的影子长度、物体在倾斜地面上的投影长度等等。
勾股定理可以帮助我们解决这些问题。
假设有一个倾斜的平面，上面有一个物体A。
物体A的高度为h，离倾斜平面的水平距离为d。
我们可以利用勾股定理来计算物体A在倾斜平面上的投影长度l。
根据勾股定理，我们可以得到l=√(d²+h²)。
4. 应用四：解决角度问题勾股定理还可以应用于求解角度问题。
在导航、航海等领域中，经常需要精确测量物体的角度。
17_1_2 勾股定理在实际生活中的应用(优质学案)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 导学案一、学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 难点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 二、学习过程： 课前热身_______________________ ______________________ ______________________ _______________________ ______________________ ______________________如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1，求AC的长．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典例解析例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内穿过？为什么？【针对练习】有一根长125cm的木棒，要放入长、宽、高分别是40cm、30cm、120cm的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．例2 如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？【针对练习】如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC =60°，∠DAE =45°．点D 到地面的垂直距离DE =4米，求点A到墙壁BC 的距离．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【总结提升】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）_____________________________________________________； （2）_____________________________________________________； （3）_____________________________________________________； （4）_____________________________________________________.例3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A,B 两点间的距离.【针对练习】如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.例4.如图，有两棵树，一棵树高AC 是10米，另一棵树高BD 是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B 点处，则小鸟至少要飞行多少米？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.如图，甲乙两船同时从A 港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C 、B 两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？例6.有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB 是5m,π取3）?【针对练习】如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.达标检测1.如图，书架上放了四个文件夹，已知∠ACB =90°，AC=24cm ， BC=7cm ， 则AB 的长为( )A.20cmB.23cmC. 25cmD.√47cm学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.如图，一根12米高的电线杆CD 垂直于地面，在其两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点A, B(点A 、D 、B 在同一直线上)之间的距离是( ) A.13米 B.9米 C.10米 D.18米3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米4.如图，长方体的长为3,宽为2，高为4，则从点A 1到C 点(沿着长方体表面)的最短距离是( )A.√41B.√53C.9D.3√55.如图是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚高h=2.5m,棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为______m 2.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.如果将一根细长木棒放进长为3cm 、宽为2cm 、 高为6cm 的长方体有盖盒子中，那么细木棒最长可以是_____cm.7.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北走6km 处往东拐,仅走1km 就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为______km.8.如图，池塘边有两点A 、B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得CB=60m ，AC=20m.求A 、B 两点间的距离(结果取整数).9.如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A站多少千米处？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）11.如图，有一个圆柱体，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)12.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇．公路PQ 上距离O 点240m的A 处与铁路MN 的距离是120m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km/h的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？学习笔记记录区___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________ ___________________。
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）ห้องสมุดไป่ตู้
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理在实际生活中的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或计算物体体积的情况？”（如测量房间的对角线长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在实际生活中的奥秘。
4.培养学生的观察能力、解决问题的能力和合作交流的能力。
具体内容包括以下案例：
1.利用勾股定理测量房屋墙壁的长度；
2.计算不规则立体图形的体积，如斜放的长方体、四棱锥等；
3.分析实际生活中存在的勾股定理问题，如道路宽度、桥梁长度等；
4.探讨勾股定理在建筑设计、地理测量等领域的应用。
二、核心素养目标
1.知识与技能：通过勾股定理在实际生活中的应用，使学生在掌握勾股定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养运用数学知识解决实际问题的素养；
2.过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，学会运用勾股定理进行实际测量和计算，提高数学思维和逻辑推理素养；
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养他们用数学眼光看待世界的观念，增强对数学学科的价值认同。
具体包括：
1.能够运用勾股定理解决实际问题，形成数学应用意识；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的应用步骤和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用4
B1
B
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
A
10
B2
8
6
变式训练
1.小明拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了
点儿食物，你能算出小蚂蚁吃到食物的最短路程么？
B
前面 8cm
A 长10
例2 在一个圆柱石凳上，若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm.若小 明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信 息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？(π取3)
蚂蚁A→B的路线
B
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
A
A
立体图形中的最短路径 2
C B
A
AC+CB >AB(两点之间线段最短)
直线同侧两点之间路径最短
如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完 成这件事情所走的最短路程是多少？
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′， 连接A′B则A′B就是最短路线长. 由题意得 A′C=4+4+7=15(km)，
②求法： 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运
用勾股定理求最短路径.
立体图形中的最短路径 1
例1 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于55cm,10cm和
6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去
《17.1.2勾股定理的应用》教学设计
教学设计与反思我用了4课时讲授了八年级下册数学人教版的第十八章第一节勾股定理，第一课时我主要讲授的是勾股定理的探究和验证，并举例计算有关直角三角形已知两边长求第三边的问题；第二课时我主要讲授了各种类型的有关直角三角形边长或者面积相关问题；第三课时讲授了如何用勾股定理解决生活中的实际问题；第四课时主要讲授了怎样在数轴上找出无理数对应的点。
这4个课时我采用的教学方法是：引导—探究—发现法；为学生设计的学习方法是：自主探究与合作交流相结合。
第一课时的课堂教学中，我始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.因此，课堂效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破了本节课的难点.第二课时我依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。
教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。
为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．第三课时在课堂教学中，始终注重学生的自主探究，由实例引入，激发了学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高，切实体现了学生是数学学习的主人的新课程理念。
勾股定理的内容及应用条件
勾股定理的内容及应用条件勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中各边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达式为：c^2 = a^2 + b^2，其中c表示斜边的长度，a和b 表示直角边的长度。
勾股定理的应用条件是直角三角形，即三角形中存在一个角为90度的三角形。
只有在直角三角形中，才能使用勾股定理进行计算。
勾股定理在几何学中有很广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用领域：1. 测量距离：勾股定理可以用来测量两点之间的距离。
设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过勾股定理计算得出：d =sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
这在地理测量、导航系统和三维空间中的距离计算中都有广泛应用。
2. 解决三角形的边长和角度：通过已知角度和边长的条件，可以利用勾股定理计算出三角形中的其他边长或角度。
例如，已知两边的长度和它们之间的夹角，可以利用勾股定理计算出第三条边的长度。
这在解决房地产规划、建筑设计和导弹轨迹计算等问题中非常实用。
3. 三角函数的推导：勾股定理是三角函数的基础之一。
三角函数是数学中的重要概念，与勾股定理有密切的关系。
勾股定理可以推导出正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数的定义和性质。
通过三角函数的运算，可以解决物理、工程学和天文学等领域中的各种问题。
4. 解决平面几何问题：勾股定理可以应用于解决直角三角形以外的平面几何问题。
例如，通过将图形拆分为直角三角形，可以运用勾股定理计算出图形的长度、面积和角度等参数。
这在建筑设计、地图绘制和机械制造等领域中非常重要。
5. 数据验证：勾股定理可以用来验证数据的正确性。
例如，在测量两条边的长度和夹角后，可以利用勾股定理验证所得结果是否符合实际情况。
这在科学实验和工程测试中具有重要意义。
总结来说，勾股定理的内容是描述直角三角形中各边之间的关系，即斜边的平方等于两直角边的平方和。
人教版八年级数学下《117.1.2勾股定理应用 数轴表示根号13》优质课教学设计_9
17.1勾股定理（3）教学设计教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题，会用勾股定理作无理线段；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历使用勾股定理解决实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】1.培养学生使用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用水平.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展使用数学的信心和水平，初步形成积极参与数学活动的意识．教学重点：1.能熟练使用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；2.探索空间与平面图形之间的关系.教学难点：熟练使用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用水平教学过程：一、使用勾股定理作无理线段1、情境导入复习回顾：1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ，∠C＝90°，则 a、b、c 三者之间的关系是；2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是；3. 叫做无理数.设计意图：复习勾股定理和无理数相关概念，为当堂课的学习做好知识铺垫。
2、探究一：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？分析引导：（1）你能画出长为2的线段吗？怎么画？说说你的画法.（2）长度13的线段怎么画？是由直角边长为_____和______整数组成的直角三角形的斜边？（3）怎样在数轴上画出表示13的点？作法：①在数轴上找到点A，使OA=3，②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2，③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示13的点.利用勾股定理作出长为2，3，5……的线段.按照同样方法，能够在数轴上画出2，3，5……的点。
练习：利用探究的方法，请你在数轴上表示17的点设计意图：拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点，并通过练习，注重学生是否掌握了用勾股定理话无理线段的方法，能否反应17出来位于怎样的直角三角形中。
新人教版八年级数学下《117.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计_52
教学设计教学目标：能说出勾股定理,能使用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这个模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和水平.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提升学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：【重点】使用勾股定理解决实际问题.【难点】勾股定理的灵活使用.教学准备：【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、三角形模型.教学过程：一、新课导入：导入一：电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.[设计意图]让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.导入二：?上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢教师出示问题：求出下列直角三角形中未知的边.提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.教师巡视指导答疑,在活动中重点注重：(1)学生能否准确应用勾股定理实行计算;(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.[设计意图]通过简单的提问协助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.二、新知建构：[过渡语] 勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.1.木板进门问题思路一(1)分析导入一提出的问题.教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法：计算电视机对角线的长度,看是否为74 cm.解：根据勾股定理,得≈74(cm).所以,这台电视机符合规格.(2)自学教材第25页例1.教师提问：门框能通过薄木板的最大宽度是多少?学生带着问题阅读题目,试写解答过程.(3)变式练习：长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为 cm.本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).教师引导学生小结：遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否能够通过(放入).[设计意图]通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提升学生使用勾股定理解决简单问题的水平.思路二(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?逐步引导提问：(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还能够分析比较哪两个长度?(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗?如何求?学生先尝试后发现：木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解：如图所示,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.[解题策略]在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否能够通过(放入).[设计意图]使用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.2.梯子靠墙问题如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?引导学生分析：利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.解：能够看出,BD=OD-OB.在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,OB==1.在Rt△COD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,OD=≈1.77.BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m. [解题策略]已知直角三角形的两边长,能够根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也能够求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,能够将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.[设计意图]巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.3.表面距离最短问题(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 ()A.aB.(1+)aC.3aD.a解析：将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB===a.故选D.[解题策略]平面图中,能够直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成能够用勾股定理实行计算的问题.[设计意图]通过例题分析解决,建立数学模型,提升学生分析问题和解决问题的水平.[知识拓展]勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为：①化非直角三角形为直角三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.三、课堂小结：用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活使用勾股定理计算.在利用勾股定理实行相关计算和证明时,要注意使用方程的思想;求直角三角形相关线段的长,有时还要使用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再使用勾股定理求解.四、检测反馈：1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ()A.20根B.14根C.24根D.30根解析：∵摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒,∴由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.2.为迎接新年的到来,同学们做了很多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为 ()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米解析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.3.(2019·厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,∠C=90°,A,C两地相距4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是km.解析：∵∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,∴AB===5(km).故填5.4.(2019·潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是：如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.解析：将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25(尺).故填25.5.如图(1)所示,两点A,B都与平面镜CD相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点间的距离.解：如图(2)所示,作出B点关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点O,则O点就是光的入射点,连接OB.因为AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以OC=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.五、板书设计：第2课时1.木板进门问题例12.梯子靠墙问题例23.表面距离最短问题例3六、作业布置：一、教材作业【必做题】教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.【选做题】教材第29页习题17.1第9,10,11题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 ()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示的是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤133.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A 落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为 .【水平提升】5.(2019·龙东中考)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是10 cm,底面圆的直径是5 cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用(接头处重合部分忽略不计) ()A.10π cmB.10 cmC.5π cmD.5 cm6.如图所示,某会展中心准备在高5 m,长13 m,宽2 m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你协助计算一下,铺完这个楼梯至少需要元钱.7.如图所示,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要 cm.(结果保留根号的形式)8.甲、乙两位探险者到沙漠实行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8：00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10：00,甲、乙两人相距多远?还能保持联系吗?9.如图所示,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.六、教学反思：本节课使用勾股定理解决实际问题,整节课注重基础,通过度类探索,由浅入深,注重讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提升学生使用勾股定理解决简单问题的水平；虽然仅仅勾股定理的实际应用这个知识点,但是涉及生产生活的各个方面,受时间约束无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性.。
17.1 第2课时 勾股定理的应用
第17章勾股定理17．1勾股定理第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，所以船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝102＋（20＋5）2＝529(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2. 设AD＝x m，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设AD＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋BC＝x＋AC＝15.∴ BC＝5，AC＝15－x，AB＝x＋10.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．➢ 练习1 如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8mB.10mC.12mD.14m【解析】如图，设大树高为AB ＝10m ，小树高为CD ＝4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，四边形EBDC 是长方形，连接AC ，⊥EB ＝4m ，EC ＝8m ，AE ＝AB －EB ＝6 m ，在Rt⊥AEC 中，m 1022=+=EC AE AC . 故选B.➢ 练习2 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m 处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB ＝2m ，则树高为( ) A.5m B.3m C.(5+1)m D.3m【解析】在Rt △ABC 中，AC=1m ，AB=2m ，由勾股定理，得m 522=+=EC AE BC ;∴树的高度为AC+BC=(5+1)m. 故选C.➢ 练习3 如图，图中有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41cmB.34cmC.25cmD.35cm【解析】如图，连接BC ，BD ，在Rt △ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，根据勾股定理，m 25222=++=CD AC AB 体对角线. 故选C.➢ 练习4 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB于B ，已知DA ＝15km ，CB ＝10km ，现在要在铁路AB 附近建一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处?【解析】设AE ＝x km ，则AE ＝(25－x ) km ，因为C ，D 两村到E 站的距离相等，所以DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+(25－x )2，解得x ＝10.故E 点应建在距A 站10km 处.➢ 练习5 如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P是母线BC 上一点且PC=32BC. 一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+π64cm B.5 cm C.53cm D.7 cm【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长. 在Rt⊥ACP 中，AC=621⨯=3(cm)，PC=32BC=4cm ，所以AP=√32+42=5(cm). 故选B.【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题(1) 解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.(2) 解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.(3) 解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.(4) 解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.三、板书设计1．勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．2．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．。
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
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学习主题：《勾股定理》
-------运用数形结合思想解决数学问题
单元主题
1、学情分析
2、课程标准要求
数学思想是蕴含在知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。
学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟到数形结合思想在解决问题时的真实存在。
3、教材的地位和作用
勾股定理把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（a²+b²=c²）,它把形和数密切联系了起来。
由于直角图形的普遍性，勾股定理在实际应用中极其重要。
对于勾股定理的证明将直角三角形三边关系的探究放置网格中（探究），使数据比较准确，符合学生的认知规律，侧重于利用几何图形引导学生自己去发现这种数量关系，即渗透数形结合思想在解决问题中的重要作用。
1
（一）学习目标
（二）学习过程和持续性评价
：借助图形比较
2
请自己重新设计一个符合结构特征的网格3
怎样构造
4。