2020届百校联盟(全国卷)高三第四次调研考试数学(理)试题
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷(必做题，共160分)一、填空题 (本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．) 1．已知集合A ＝{2 ，5} ，B＝{3 ，5} ，则A U B＝．1 2i2．已知复数z满足i(i 为虚数单位) ，则复数z的实部为．z3．A，B，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值为．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为．6．已知数列a n 满足a1 1，且3a n 1a n a n 1 a n 0 恒成立，则a6 的值为7．已知函数f (x) Asin( x ) (A> 0， > 0，的值为．22xy 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2 21(a> 0，b>0)的焦距为2c，若过右焦点且ab与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c2，则双曲线的离心率为9．已知m，n 为正实数，且m＋n＝mn，则m＋2n 的最小值为．10．已知函数f (x) x x 4 ，则不等式f (a 2) f (3) 的解集为< 2) 的部分图象如图所示，则f (0)第 4 题第7题第11 题第12 题2 的圆锥形容器中，装有深度为 h 的水，再放入一 个半径为 1 半球的大圆面、 水面均与容器口相平， 则 h 的值为 ．ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是 BC ，CD 的中uuur uuur uuur uuur点，若 AE DE 1 ，则 AF CD 的值为13．函数 f(x)满足 f (x) f(x 4)，当 x [﹣2，2)时，f(x)若函数 f （x ）在［0，2020）上有 1515个零点，则实数 a 的范围为14．已知圆 O ：x 2 y 2 4，直线 l 与圆O 交于 P ，Q 两点， A （2 ，2），若AP 2＋AQ 2＝ 40， 则弦 PQ的长度的最大值为 ．二、解答题 （本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． ）15．（本小题满分 14 分） 如图，已知在三棱锥 P —ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，E ，F ，G 分别为 AC ，PA ，PB 的中 点，且 AC ＝2BE ．（ 1）求证： PB ⊥BC ；（ 2）设平面 EFG 与 BC 交于点 H ，求证： H 为 BC 的中点．16．（本小题满分 14 分） ur r 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 m ＝（a ，b ﹣c ），n ＝（sinA ﹣ ur ur rsinB ， sinB ＋ sinC ）， p ＝ （1，2），且 m ⊥ n ．（1）求角 C 的值；r ur（2）求 n p 的最大值．11．如图，在一个倒置的高为的不锈钢制的实心半球后，12．如图，在梯形 322 x 3x a ,2 x a1 x, a x 217．（本小题满分 14 分）18．（本小题满分 16 分） 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具， 现欲用清洁棒清洁一个 如图 1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图 2所示，一根长度为 L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于 AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小， （0， ））．2（ 1）请用角 表示清洁棒的长 L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度．22 已知椭圆 C ：x 2 y 2 a 2 b 21（a >b >0）的左顶点为 A ，左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12 ，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合） 称点为 Q ，直线 AP ，QF 2 交于点 M ．（ 1）求椭圆方程；，且△ PF 1F 2的周长为 6，点 P 关于原点的对2）若直线 PF 2 与椭圆交于另一点N ，且 S △AF 2M 4S △AF 2N ，求点P 的坐标．是否存在正整数 m ，使得 S m T m 1 恰好是数列 a n 或 b n 中的项？若存在，求Sm Tm出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分 16 分)4 x a已知函数 f (x) (1 )e x，g(x)1( a R)( e 是自然对数的底数， e ≈2.718⋯)．xx(1)求函数 f (x) 的图像在 x ＝1处的切线方程；f ( x)(2)若函数 y在区间 [4，5]上单调递增，求实数 a 的取值范围；g(x)( 3)若函数 h(x) f(x) g(x)在区间(0， )上有两个极值点 x 1，x 2(x 1< x 2)，且 h(x 1) m 恒成立，求满足条件的 m 的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)19．(本小题满分16 分)已知等差数列a n和等比数列 b n 的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 S n ，T n ，且 b 1 2a 1 2 ，b 2S 354， a 2 T 2 11． 1) 求数列 a nb n 的通项公式；2) 求M na 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 La nb n ；3)第 II 卷（附加题，共 40 分）21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4—2：矩阵与变换1 a ur 已知矩阵 M ＝ （a ，b R ）不存在逆矩阵， 且非零特征值对应的一个特征向量b 41 ，求 a ， b 的值．1B ．选修 4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 且在两种坐标系中取相同的长度单位， 建立极坐标系， 已知曲线 C 1： sin （ ） 4 （ 为参数），求曲线 C 1，C 2 交点的直角坐标．C ．选修 4—5：不等式选讲已知凸 n 边形 A1A 2A 3⋯A n 的面积为 1，边长 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1），A n A 1＝an ，其内部一点P 到边 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1）的距离分别为 d 1，d 2，d 3，⋯，d n ．求证：2a 1 2a 2 d 1d 2L 2d a nn (n na 1a 2 L a n )2．2，曲线 C 2： x cos2y sin【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC，AB ⊥BC，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；uuurCP （0≤≤1），且直线BQ 与平面PDC 所成角为，求的值．323．（本小题满分10 分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30 秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1 分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线（I →F，I→H）等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？uuur2）若CQ备用图参考答案⑵设2=島+島朋(0 •升 则/.'(0)■一g¾∙8曲U 汐・ (6)分sm∙0Co¥0sm'tfcos∙0令 ∕/(¢)-0. Wl tan l d≡^.即 tan 0=y. ....................................................................................................... 8 分 设 Ae<O∙-≡∙).H.tan Λl =y∙M当 氏 W∙e )时∙"n tf<4 .L ∖θ)<O.所以LW)单問递减；17.M≡<1)因为椭IMl 的离心华为y∙ΔPF F 的周长为6•设椭関的悠片为2-2ci + 2<∙- 6∙ w⅛4・ ..................................................................................................................................... 2分Ir +/ —a : •斜得 α 2∙C = 1 ∙Λ~y3 •所以捕Bl 方《1为；+β⅛F∙ ................................................................................................................... 4分負 上⑵设 PS •”》•则¥ + '；• = 1∙ H. Q< —“『•一”>• 所U AP 的方秤为、='鳥( r+2)(D∙/W I L若≡= -I.MIJ QF 的方Ig 为r-10.Il 1对祢性不妨令点P 在丁轴I:方•J — 1 • ()9 即 M(l∙*)∙则 P(-l∙寻)∙QU∙-弓〉.联走(D∙PF Z 的方程为~(χ-D.R 人馳圈方程側N 谭•一却•Sa z 寺皿 IE VUSr ∣ΛF: IyVl I ^l2—=7H4∙不符合条 I —« IH若 ∕Λ≠-1.则 QF 的ZfTV 为 y=二•即 V=A T=I '“一“③•{r 3//1 ♦ 1 ■.、 所以 M(3W +4∙3Q∙ ....................................................................................... 8 分y ■ 3w •M 为 S “屮= 4Sg 八•所以* ×ΛF z X NI =4 X * X ΛF i X |八 | •即 IMI =4 IyS .乂 1月为M∙N 位于∙r 轴*駕•所以V 、N —普. 冈为P ・F ：・N 三点共线.即丙IjF 茂廉线. 所以 W<X ∖ -D = -γ<m-1).即 Xv = -一严所以÷<】•所以(十一"A —加=等・駢彳？加=*•所以刃=士呼•所以点P 的唯标为(*・晋 > 或 ........................................................10分12分Il 分所以^O=A 时丄(刃取衍极小值. ......................................................... 11分 所以 L(^mh-UΛ).因为 Ian G =号"•所以 Sin 9 ="∣-co∙ 9 • 乂 Sin ^>÷cos 2β — U 所以 ∞s'β)≡s 占♦又β>6(0∙:).所以CoSa)=-^ •所以 Zn 仇 =-^= • .................................................. M ........................................................................................................................................................................ 分/13 /13所以 L(Λ∙)-~■ + —⅛-13 /T3(cm).SIn a. CoS 仇所以能通过JltWft 的铁Iwt 大长度为13/13 CnL ................................................................................. 16分19•解s (l>ftft 列｛<⅛｝的公差为水数刘仏> 的公比为g∙固为 6∣≡2α∣≡2.¼S l ≡54.<⅛ ÷7⅛≡11.所以(∣.≡2∕!-b¼-2∙3∙-1. ............................................................................................................................ 4 ........................................................................................................................................................................ 分(2)ιVf M =αΛ+αt ¼+αa ¼+-+α>ll = l×2÷3×2×3+5×2×3t +∙∙∙+(2w -l)×2×3j ,・ 3Λt -l×2×3+3×2×3f + ∙∙∙+ (2Λ-3)×2×3∙ ,+(2w-l)×2×3β. 所以一2M∙ = 2+4(3+3' 3- l ) (2Λ-1)×2×3∙= 4-< lw-4) ∙ 3*∙所以 M t = 2(w-∣) ∙r+2. .......................................................................................................................... 8 ........................................................................................................................................................................ 分(3 川 I(I)Uf {⅛S --√.K≡3M - 1.因为装⅜1是数列几;或人中的•项•所以山定“ •所以(L-Ixm-1) = (3-L)3-∙M 为肿一 l≥O∙L>O∙所以 1V1≤3∙又 L ∈N∙ ∙WL=2⅛L=3. (12)....................................................................................................................................................................... 分IML=2时•冇S-I) =犷•即U⅛J = 1∙令 /S )=型F∙UΛZZ 1 «> c 、(m÷l)x -1 ι∙r 2 — 1 JU∕(Λ+1) /(m)- ----------- 尹T ---- 3." Zm t —2nι—3 1I 加=1 时∙∕( 1)<∕(2)I l ∣ m≥2 Rj√(m÷ 1 )-∕(m)<0t即 /(i)<∕(2)>∕(3)>∕(4)>∙∙∙・Ih/(i)=o.∕(2)≡-J-.⅛ι0z,^1-≡ι 无整½⅜r. ....................................................................................................... H 分当L=3时•右F —】=0・即存在m=l 便得霜二If =3∙是数列UU 中的第2项•故存存正療l⅛"L ∣∙使得笔丢1是数列d>中的琨•……20. IW ：(I)N 为 /(J ∙> = <1--)c r .所以 ∕<x)≡(l 一* +Λ><^,∙当 J=I ∏∙t√(l) = -3c∙∕<l>=c. 所以切线方f⅛为y ( Se)-e(τ 1).即y=er 仏/S (X —4)e , ∙ -Lr t -α+4λr+3α+4]<√</( 1 +d)=9∙ c∕÷2g=8∙所以5=L +7^∣ X÷τΓ∕√-l÷3"t ZW-I+3m 10分“V4 戒 α>5∙所以 S 4,-ω+4)×4+3d+4≤O∙52-(<r÷<l)×5+3α+4≤O. αV4 flftα>5∙ 心4∙ > 9 &右•16分所以¾(3+3<∕) -51. l+<∕+2+2g -ll. 宀T ・d=5冈为隕数y在区何M∙5]上单俱递增•所以“ G[4∙5]∙[Lβ√20恒戚立•所以¢1J(U 的取值范IM½(5∙+∞). .......................................................................................................... 7分 (3W*)∙∕Cr)+g(Q.g 二 42±S 二刃二“ f 子_ 3因为瞋数Mn=/O)+/; Cr)在区间(0∙+oo)上冇曲个极值点.所以方K∕∕<x)-O 在(0・+8〉上右网不等实根・即(F-4∙r+4h√ -“■()•令 m(x) = (√ —4,r+4)e r —“•则 ∕w (x) = <τ* —2x)e r ∙由 ZW (X)X).f⅛ Z>2∙所以刑Cr)在(0.2)±ΦMiiJ⅛.ft(2.+oo>上单调述增. ......................................... 9分又山 m(3)≡c ,-α>23-a=8-a>0.所以 j⅛∈(2.3).且当 x ∈(O.χ1 ) ftl(j ∙2 . +∞)H ∣ .√(x)>O.Λ(x) φ-iβ∣il 增. x ∈<x i ∙Λ⅛)Bt.^(x><O∙Λ(x>单调递Itsm 是极值点• .................................. M 分 此(I M5〉= 5二4>eV~<ιH=5一40+5一5 + 4)「一^=5-3^. -1.才1 J r i令 H(X)-(X- 3)e t - I(Xe(O∙2>)•则 √(x)-(x 2)σf <0.所以nCr)在<0∙2)上单调递碱•所以Λ(x l )<Λ<0) = -4.因为ACrl)VHdI 立•所以m≥-4. ........................................................................................................ 13分 若一 12VnrV —彳■収Kl= — ∙ -LIM ∣n=-Axι —4.所以 Λ(x ∣)-ιw≡(x ∣ ,3)e f < +4x ∣ +3.〉川 八=Cr-3)u 丨 l√ • 3( r>O)∙W // √ •(./ 一2)ι∙' + l∙∕f )=Cr-I - 当 x ∈(O∙l)时∙Ar(X)<0；当 χ∈(h +∞)H∙f ∙H^(X)>0. 所以 H'Cr)∙∙ = H'(l) = -ι+4>0∙所以 //(J)-(J 3)e β+4x+3 ft(O.÷∞)±Φ-Wi⅛m.W 以 H(x)>H(O)-O∙WXi--J-I 使科》3E•不合βM∙満足条件的刑的■小值为一4∙ ............................................................................................................. 16分21. A. Ih 因为M 不存住連矩阵∙<kι(M)令 ∕<λ>-0.Wλ≡3utλ≡0.BL 解：因为^in<∂+γ)二-√2 •所以 ∕>sin Q+pcos O= —2・ 所以曲线Cl 的直角坐标方程为x+y+2-O. ............................................................................................ 2分 (x≡cos 20.心(x≡ 1 —2!<in r <?.由 ・A 側 I y= ^ln σ∙ I i y=Sln 0∙所以曲线G 的修通方聊为χ=l-2y∙j ∈[-l.lJ. ............................................................................................ 5分 (无范HGIl 1分)∣x÷y÷2=O• 由 :、得2"—，一3・0・ ........................................................................................... 7分 ∣Ll-2y •所以>1 ≡ - 1 m y < ).所以丿|・ L所以曲线G∙G 的交点蚩标为(-1∙-1). ..................................................................................................... 10分 CHrW 为凸〃边形的啲枳为1•所以"M+M+∙∙∙+"∕∙ 2. ......................................................................... 3分 所以 ⅜1÷⅜÷∙∙∙÷⅜2 = 2(⅞L + 5l ÷∙∙∙÷5ija ∣ at <43 a ∖ 血 G= (a l <∕ι +<!：</： + •••+“/■)「： +： ÷∙∙∙ + τi )所以 ///<)) I —<^>0∙ m(2)= PV0∙∙W ∣O<4iV4∙且 jr ∣∈(0∙2)∙(xf ÷4)e F i =u.・0•所以uΛ-i - J. 距FiM 的待征多项式为/Wλ÷l —a —b A —4-=λ2-3λ-4-<ι6≡λ2~3λ. 所以'b λa∙即 1 ・ u=3∙ 6÷4=3∙ 10分 所以<∕∣<∕j U 1≥（ √α∣c∕∣^^+i∙∙+ >2（IhMl ,⅛不尊式得）-（Cll ÷α∙十•••十α∙ ）* ≥（w 7α∣αj∙∙∙α∏）2. <由均值不等式得） ............................................... 10分 22. 解：（1）分別取ΛIi.CD 的中点为Q∙E∙连结PO∙FUN 为AD 〃反•・所以（疋〃 Be∣∙ 因为AB 丄HC∙所以ABIC*：. Zk因为侧面I i An 为幫边三介形.∕p∖ 所以 ABIoR / β \乂 W 为平而 PAB 丄 Trti AIM'D. R j ∖ \平面 PABn 平而 AB （VJ=ABJ ）PCYiftj PAH. 护痴 所以QP 丄平而Λ!K D. j 产〜Y所 WOP.OE.OB ∣⅛∣⅛⅜Λ. .................................................................... 2 分 X以O 为空阀坐标系的跟点•分别以OE.OU.OP 所在直线为∙r∙y∙=袪建立如图所示的空刚克角至标系•因 为 AB=W =2AD=2,WJ(KO∙0∙O)∙A(0∙-kO).∕K0.kO)∙C(2.1∙O) JXk 1∙0)∙P(0.0<√3).Z5Γ=(E 2.0)∙T i Γ = (2.1. √3).Jro=I∙W ,∣ r≡-2.r=-√3.所以 n=(-2.1.-√3). ............................................................................................... I 分 乂ID=(1.0.0)为半面PAB 的法向址•设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为0•則CoS 9= lra <∙∙λβ>l =⅛⅛=√(-2>,+J +f .75,,=<∙所以半血PAB 与半血PDC 所成的悦二血如的大小为' ..................................... 6分(2)∣h<l>得•半Iftl PDC 的法向域为π = <-2∙h -√3)∙73t ,= (2∙l∙-√3)∙所以处 7^'^λ(75 ■(一2λ+2∙-A∙"Q(O≤λMl)・乂伍线IiQ 与平Ei PDr 所成角为号•所以 ICo*<n.∕⅞> I = 5∣n 专.即］；；=弩・ ............................................ K 分 即 _________________ 142—4_2—3入 ________________ =T3√(-2)2 + l 2+(-√3>2 ×√(-2λ+2)2 + (-λ)2 + (√3λ>2 2 *化简得βλ2-6λ+l-0∙所以AN 违旦.符合题恵・ ............................................ 10分I .Usd ）路途中可以看成必.走过2条横KHI 2 山•即从1条術中选择2条HHJ 即叭忖『以踣线」C ι≡6^. ..................................................................................................................................................... 2 分 （2〉小期途中恰好经过E 处•共右4条箱线：① 当⅛ 1→H→E ∙D→A 时•全程不年红绿灯的M Ψ Z∙∣-⅛×T×⅛×>-⅜>② 幷疋/-//-E-Zi-A 时•全鼻不务红绿灯的tt Ψ ^=y×y×y×y = ⅛*（Vui I >F -E " •八时•全樫不等红绿灯的ttΨ A -JX-I-XyXl 二扣④当走∕→F -E→β→A 时•全程不等红绿灯的Λ∙-y×y×γ×y -⅛所以途中恰好经过E 处・R 全程不务信号灯的槪率3 1 3 1 I 1 3 11 亡八Pf 4 化∙S+N=范小页 ⅛ TZ«=64• ......................................................................................................... 6 分«3）设以F 第，条的豁线尊信号灯的次数为变ttX.∙M①第一条 i l→H→E→l>→A ∙X ∣ 〜〃（1 •斗）•则 E （Xj =斗； 4 4(Z)第二条 JYFfCfB ・A.X,-β(3.y)∙WE<X 2) =3×-^ = y ∣设YlftPDC 的法向鈕为"Λx.y.z ）.则n ∙ 7J Γ*=()∙ 5 J j∙+2y=0∙ 2∙r + y √3τ-0.③另外四条路线Jf!∣mW ^H→K→H→Λ；∕→∕∙→E→∕>→Λ;∕→∕∙→E M.X,~B(2∙-γXr = 3∙4∙5∙6)∙则E(X I)=2×γ=4<t=3.4.5∙6).综上•小明上学的量佳路线为1→H→E→D→A I IΛ尽fit進开l→F→C→B→A• ......................... 10分。
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足121z i i -+=+，则||z =（ ）A ．B ．2C D ．3【答案】A【解析】由条件121z i i -+=+，则211z i i =++-，求出z ，在求||z . 【详解】∵121z i i -+=+，∴2z i =+，∴z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．已知集合{}221,,0A a a =-，{1,5,9}B a a =--，且{9}A B =I ，则（ ） A ．{9,25,0}A = B ．{5,9,0}A =C ．{7,9,0}A =-D ．{7,9,0,25,4}A B ⋃=--【答案】C【解析】由{9}A B =I 可得29a =，或219a -=，则3a =±，或5a =，再检验得出结论. 【详解】由已知可得29a =，或219a -=，∴3a =±，或5a =. 当3a =时，{5,9,0}A =，{2,2,9}B =--(舍)， 当5a =时，{9,25,0}A =，{4,0,9}B =-(舍)， 当3a =-时，{7,9,0}A =-，{4,8,9}B =-. 故选：C 【点睛】本题考查利用集合的交集求参数，注意检验集合的元素的唯一性，属于基础题. 3．已知向量()22,1a x x →=-，(1,3)b →=-，则“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据若0a b ⋅<r r，则a →，b →的夹角为钝角或平角，再求出a →，b →反向时x 的取值，从而可得到答案. 【详解】∵223x x a b →→=--⋅，∴130a b x →→⋅-<<⇔<，当//a b →→时，()2321x x -⨯-=，解得：13x =±当1x =时，1,13a →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时a →，b →反向.所以a →，b →的夹角为钝角则13x -<<且1x ≠所以“13x -<<”不能得到“a →，b →的夹角为钝角. 当“a →，b →的夹角为钝角”则能得到“13x -<<”.∴“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和向量的夹角与数量积的关系，属于中档题. 4．将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得函数（ ） A ．在区间3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 B ．在区间5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为一个对称中心 【答案】B【解析】由三角函数的图像平移得出解析式2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数()sin y A ωx φ=+的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度,可得2sin 22sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由222()242k x k k πππππ--+∈Z 剟，得3()88k x k k ππππ-+∈Z 剟， ∴单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故A 错误； 由32+22()242k x k k πππππ-+∈Z 剟，得37+()88k x k k ππππ+∈Z 剟 当1k =-时，函数在5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 故B 正确 由242x k πππ-=+，得对称轴为3()28k x k ππ=+∈Z ，故C 错误； 由24x k ππ-=，得()28k x k ππ=+∈Z ，对称中心为,028k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， ∴3114164228323V ππππ=-⨯⨯-⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.6．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．25D ．34【答案】C【解析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率. 【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟， 7：40至8：30之间共计50分钟， 由几何概型知所求概率为202505=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.7．已知函数()212()log f x x ax a =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可看出该函数是由对数函数和二次函数复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a 的不等式组，解出a 的取值范围即可． 【详解】12log y x =Q 在(0,)+∞上为减函数，2y x ax a ∴=-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且0y >，122a -∴-≤，且211022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 1a ∴≤，且12a ≥-，1,12a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用，涉及复合函数单调性的判断，解题关键是对数函数的定义域、二次函数的性质的运用，属于中等题.8．在平面直角坐标系xOy 中，A ､B 为函数||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB V 的面积为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，20x >，由线段AB 的中点M ，则122122x x x x M ⎛⎫+-⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将M 的坐标代入曲线22330x y -+=可得123x x =-，然后求出1OA x =，2OB x =，利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(,)M x y . 由题意，不妨设10x <，20x >.∵12121221233333222x x xx x y y x x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪+-⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎩， 点(,)M x y 在22330x y -+=上，则22221221123333223330x x x x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦++=⎝∴123x x =-，又∵2211123OA x y x =+=-， 22222233OB x y x =+=，23AOB π∠=，∴1213sin 323OAB S OA OB AOB x x =⋅⋅∠=-=△. 故选：B 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用和求三角形的面积，属于中档题.9．一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-,先求出n P 的通项公式，然后可得4P ，从而可得答案. 【详解】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13， 设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列. ∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查概率的计算和利用数列的递推关系求通项公式，属于中档题.10．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，BC =，则ADB ∠的最大值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN .在MBC △,NBC V 中分别用余弦定理可得2228m n a +=，然后在ABD △中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案. 【详解】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN . 由平面几何知识，易知AD MC =，BD NC =. 设AD MC m ==，BD NC n ==.在MBC △中，222)2cos m a a MBC =+-⨯⋅∠，在NBC V 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，∴2228m n a +=，在ABD △中，222244cos 22m n a a ADB mn mn+-∠==， 又∵22228mn m n a +=„，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，∴ADB ∠的最大值为3π. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M ､N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形的面积为（ ）A 221B ．213C ．273D ．473【答案】A【解析】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，可得截面图形，然后计算其面积. 【详解】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 就是平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形.由已知可求得：2215AM AN ==+=, 由1△PC E ∽1△EB M ，可得1111223B E B E ==142C E = 2221713ME ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,2424217121cos 4533NE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪ ⎪⎝⎭()222115+16MN A N A M =+==.()2222161176221656222323S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴截面面积2213S =. 故选：A【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若存在*x ∈N ，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e +∞ B ．4,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．6,ln 3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】C【解析】显然当1x =时，不成立，则当1x >时，即2ln x a x >，设2()ln xg x x=，分析出函数()g x 的单调区间，然后可得出答案. 【详解】由题意，得ln 20a x x ->，当1x =时，20->不成立； 当1x >时，2ln x a x >，设2()ln xg x x=，则22(ln 1)()(ln )x g x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.当2x =时，4(2)ln 2g =，当3x =时，6(3)ln 3g =，又∵4ln3ln81ln646ln2=>=，∴46ln 2ln 3>，∴6ln 3a >. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调区间进一步解决存在性问题，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则|1|z x y =-+的最大值为__________.【答案】2811【解析】根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线10x y -+=的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解. 【详解】由线性约束条件，得到图中ABC V 所在的区域，在图中做出直线10x y -+=，可以看出三角形区域ABC 的所有点都在直线10x y -+=的同一侧，所以当直线10x y -+=平移经过点B 时，z 取得最大值.由4360210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得152,1111B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入1z x y =-+，得2811z =. 故答案为：2811【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.14．在()251()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为___________.【答案】1-或32【解析】由()2525551()()()()+x x x a x x a x x a x a =-+-----，又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr rr T C x a -+=-，可得含5x 项，从而可得其系数，从而可得答案.【详解】()2525551()()()()+xx x a x x a x x a x a =-+-----又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr r r T C x a -+=-由已知，含5x 的项为22324050555C ()C ()(1)C ()x x a x x a x a -+⋅-+-⋅-⋅()251051a a x =--，∴2105114a a --=，即2230a a --=，解得1a =-或32. 故答案为：1a =-或32. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，求参数的值，属于基础题. 15．已知实数,x y 满足20y x ≥>，则92y x x x y++的最小值为_____. 【答案】174【解析】采用换元法设yt x=，由已知可得2t ≥，可得9922y x t x x y t +=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+，利用导数求最值即可. 【详解】 设yt x=，由已知可得2t ≥， 9922y x t x x y t ∴+=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+， 29()10(2)f t t '=->+Q ， 9()2f t t t ∴=++在[2,)+∞上为增函数， 917()24f t t t ∴=+≥+，即91724y x x x y +≥+.故答案为：174. 【点睛】本题考查函数的最值问题，题目含有双变量，此类问题可用换元法将其转化为函数，再利用导数求解最值，属于中等题.16．已知1F ､2F 为双曲线2214x y -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆的圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为____________. 【答案】1【解析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案.【详解】由双曲线2214x y -=，则 2,1,a b c ===设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ， 根据圆的切线性质，可得1224F M F M a -==，又因为1212F M F M F F +==，∴12F M =，即2OM =， ∴内切圆圆心I 在直线2x =上.又因为圆22(1)1y x +-=的圆心为(0,1)，半径1r =， ∴圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为211-=. 故答案为：1 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，()*1121n n n S a n N n +-=+∈+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2(1)!n n n a b n N n =∈+，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）()*2nn a n n =⋅∈N .（2）证明见解析【解析】(1)由1121n n n S a n +-=++有()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …两式相减可得()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …，从而可求出答案. (2)由112(1)!(1)!!(1)!n n n a n b n n n n ===-+++用裂项相消可求和.【详解】（1）当1n =时，112S a ==， ∵210S =，∴28a =， 又∵()*1121n n n S a n n +-=+∈+N ， ∴()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …， ∴()*1122,1n n n n n a a a n n n n +--=-∈+N …， 整理得：()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项242a =开始是公比为2的等比数列. ∴2422n n na n-=⨯= ∴()*22,nn a n n n =⋅∈N …又∵当1n =时，12a =满足2nn a n =⋅.∴()*2nn a n n =⋅∈N .（2）由（1）得()*112(1)!(1)!!(1)!n n na nb n n n n n ===-∈+++N ， ∴111111112!2!3!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+⋯+-=-++，显然当*n ∈N 时，n T 为单调递增函数，且10(1)!n >+，∴1112n T T =<…成立. 【点睛】本题考查利用n a 和n S 的递推关系求通项公式和利用裂项相消可求和，属于中档题. 18．某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 教师人数 2000 1300 样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：（1）求该市年龄在[50,60]的教师人数；（2）试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x 及方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 【答案】（1）800.（2）频率分布直方图见解析，39x =，292s = 【解析】(1)设样本容量为x ，由130********x⨯=解得x 的值，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中的人数，在列式计算.(2)分布求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）设样本容量为x ，则130********x⨯=，解得500x =， ∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有50020002005000⨯=(人)， ∴年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中共有500200130170--=(人)， 设年龄在[50,60]的教师在样本中的人数为y ， 由题意可知：(10)170y y ++=，∴80y =，∴该市年龄在[50,60]的教师人数为500080800500⨯=. （2）由（1）可知，年龄在[20,30)的教师人数为500020001300800900---=(人)，频率为9000.185000=， 年龄在[30,40)的教师人数为2000(人)，频率为20000.45000=， 年龄在[40,50)的教师人数为1300(人)，频率为13000.265000=， 年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为8000.165000=. 由此做出频率分布直方图.250.18350.4450.26550.1639x =⨯+⨯+⨯+⨯=；22222(2539)0.18(3539)0.4(4539)0.26(5539)0.1692s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，属于中档题. 19．如图，将斜边长为42的等腰直角ABC V 沿斜边BC 上的高AD 折成直二面角B ADC --，E 为AD 中点.（1）求二面角A BC E --的余弦值；（2）M 为线段BC 上一动点，当直线DM 与平面BCE 所成的角最大时，求三棱锥M CDE -外接球的体积.【答案】（1）223.（2510 【解析】(1)设F 为BC 中点，连接EF ､AF 得出BD ⊥平面ADC ，由平面几何可知EF BC ⊥，AF BC ⊥，则EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角，在EFA △中求解.(2) 设直线DM 与平面BCE 所成的角为α,点D 到平面BCE 的距离为d ，则sin d DM α=，由等体积法可得求得233d =，当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =，可求出三棱锥M CDE -外接球的体积. 【详解】 【详解】解法一：（1）设F 为BC 中点，连接EF ､AF . ∵ABC V 为等腰直角三角形， 且二面角B AD C --为直二面角， ∴BD ⊥平面ADC∴22AD BD CD ===，4AB BC CA ===， 由平面几何可知，10BE CE ==， ∴EF BC ⊥，AF BC ⊥，∴EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角， 在EFA △中，2AE =，224223AF =-=，1046EF =-=，∴2221622cos 23122EF AF AE EFA EF AF +-∠===⨯⨯， ∴二面角A BC E --的余弦值为223.（2）设直线DM 与平面BCE 所成的角为α，点D 到平面BCE 的距离为d ， 则sin d DMα=， 在三棱锥B CDE -中，1262BCE S BC EF =⨯⨯=△， 由B CDE D BCE V V --=三棱锥三棱锥，求得23d =，∴当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大， ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点， 则11022ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为102， ∴外接球的体积3410510323V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.解法二：（1）∵ABC V 为等腰直角三角形，且二面角B AD C --为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ， ∴BD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，以DA ､DC ､DB 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，ABC V 是斜边为42的等腰直角三角形，且E 为高AD 的中点， ∴(0,0,0)D ，(22,0,0)A，(0,0,22)B ，(0,22,0)C ，(2,0,0)E ，∴(22,22,0)AC =-，(0,22,22)BC =-u u u r，(2,22,0)EC =-，设平面ABC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，由00m BC m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ，得11112222022220y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则111y z ==∴(1,1,1)m =u r，同理可求得(2,1,1)n =r，∴22cos ,336m n m n m n ⋅〈〉===⨯⨯u r ru r r u r r ， ∴二面角A BC E --的余弦值为22.（2）如图，设(01)BM BC λλ=剟， 可得(0,22,2222)M λλ-， ∴(0,22,2222)DM λλ=-，又由（1）可知平面BCE 的法向量为(2,1,1)n =r，∴2222cos ,244263(21)1DM n λλλ〈〉==-+⨯⨯-+u u r r即直线DM 与平面BCE，∵01λ剟，3，当且仅当12λ=时，等号成立. ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点，则122ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为2， ∴外接球的体积34323V π⎛==⎝⎭. 【点睛】本题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.20．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠.由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=. ()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.21．已知函数1()f x ax x =+，()1xe g x x=-. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当12a =时，设(,)P x y 为函数()1ln ((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】(1)由22211()ax f x a x x-'=-=，分0a ≤与0a >两类讨论，可求得函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间.(2)由已知，即证0y x <<,由于2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，即证210ln 12x e x x x --<<，①设21()12x h x e x x =---，②构造函数21()12x x s x e x x e =---，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.【详解】（1）∵1()f x ax x=+， ∴22211()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x a=±(舍负)当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<. ∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-， ∴即证210ln 12x e x x x --<<， ①设21()12x h x e x x =---， ∴()1x h x e x '=--， ∴()1x h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，∴()10x h x e ''=->，∴()h x '为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=， ∴()h x 为增函数 ∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=， ∴21102x e x x --->， 即2112x e x x -->，即21112x e x x -->， ∴21ln 012x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12x x x s x e xe x e '=---， 21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21()202x x s x xe x e ''=--<， ∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=， ∴2112x x e x x e --<， ∴2112x x e x e x --<，即21ln 12x e x y x x --=<成立. 由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查证明不等式的有关问题，考查分离讨论和构造函数，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，P 为直线l 上的任意一点. （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P Q 、两点间的最小距离；（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A B 、，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）1.（2【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程可得圆，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆的位置关系可得P Q 、两点间的最小距离；（2）△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△PC 最小时面积最小，由此能求出面积的最小值．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得22(1)(1)1x y -+-=， ∴曲线C 是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆.由sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 20ρϕρϕ++=， cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩Q ，:20l x y ∴++=， P Q 为直线l 上的任意一点，Q 为圆C 上任意一点，min min 1PQ PC ∴=-(其中C 为圆心)，又min PC ==Qmin 1PQ ∴=-.（2）由题意，△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△由（1）知，min PC =∴四边形PACB 面积的最小值min S =.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程，解题关键是利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程与参数方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系求解即可，属于中等题.23．若0a >，0b >，且223a b ab ++=.（1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ､b ，使得33a b +=？并说明理由.【答案】（1）4.（2）不存在a ，b ，理由见解析【解析】(1) 利用均值不等式有3222ab a b =++…，从而可求解出答案.(2)由均值不等式有33a b +厖1）2ab …可得出答案. 【详解】（1）由3222ab a b =+++…，得2ab …，当且仅当22a b ==时等号成立. 故2324a b ab +=-…，当且仅当22a b ==时等号成立. 所以2a b +的最小值为4.（2）由（1）知，33a b +厖当且仅当22a b a b =⎧⎨==⎩时等号成立).因此，33a b +>.从而不存在a ，b ，使33a b +=.【点睛】本题考查利用均值不等式求最值和考查等号成立的条件，属于中档题.。
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为 ．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()4πρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：21212222(n na a a d d d +++≥L ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。
2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.7．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面11ACC A ,所以l ⊥平面11ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V ,∴bc =6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.11．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．0,2⎛ ⎝⎦B．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦D．,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A． B．C．D．【答案】D【解析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD .依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD V 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：222433R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为2113624343⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3MFP π∠=，当MFP V 面积最大时，直线AB 的方程为______.【答案】()31y x =-【解析】根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，43MFP S ≤△，根据等号成立条件得到直线AB 的倾斜角为3π，计算得到直线方程. 【详解】由椭圆22143x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，13sin 234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅△， 82PF MF PF MF =+≥⋅，16PF MF ⋅≤，3316434MFP S PF MF =⋅≤⨯=△（当且仅当4PF MF ==，等号成立）， 4MF =Q ，12F F =，16FMF π∴∠=，13MFF π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，∴直线AB 的方程为()31y x =-. 故答案为：()31y x =-.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．已知三棱锥P ABC -，PA PB PC ==，ABC V 是边长为4的正三角形，D ，E 分别是PA 、AB 的中点，F 为棱BC 上一动点（点C 除外），2CDE π∠=，若异面直线AC 与DF 所成的角为θ，且7cos 10θ=，则CF =______.【答案】52【解析】取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，计算2222MF a a =-+，22410DF a a =-+，根据余弦定理计算得到答案。
吉林省吉林市2020届高三第四次调研测试数学(理)试题Word版含解析
令 得
设 是平面 的法向量，
那么有 即
令 得 .
那么
所以平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值为 .
18. 数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且 ， ，数列 满足： ，当 ， 时， .
〔1〕求数列 ， 的通项公式；
〔2〕令 ，证明： .
【答案】〔1〕 ; ;(2)证明见解析.
【解析】
5. 在 中，内角 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得 ，然后利用正弦定理求得 .
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
应选：C
点睛】此题考查解三角形，考查运算求解能力.
6. 函数 是偶函数，当 时， ，那么曲线 在 处的切线方程为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】由题意可得： ，
据此可知，复数z的虚部为 .
此题选择D选项.
【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
3. ?九章算术?是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽 ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？〞意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？〞〔注：1丈=10尺，取 〕〔 〕
〔Ⅱ〕假设 ,求平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：
〔Ⅰ〕作 ，垂足为 ，依题意得 平面 ，那么 ， 平面 ， ，结合勾股定理可得 ，那么 平面 ，平面 平面 .
2020届全国大联考高三第四次联考数学(理)试题(带答案解析)
数学（理)试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 （）
A．1B．2C． D．3
3．抛物线 的准线方程是 ，则实数 （）
A． B． C． D．
4．已知 ， 则p是q的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．在棱长为a的正方体 中，E、F、M分别是AB、AD、 的中点，又P、Q分别在线段 、 上，且 ，设平面 平面 ，则下列结论中不成立的是（）
A． 平面 B．
C．当 时，平面 D．当m变化时，直线l的位置不变
9．已知抛物线 ，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若 ， ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
故选：C
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
9．A
【解析】
【分析】
根据 可知 ,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
16．已知三棱锥 ， ， 是边长为4的正三角形， ， 分别是 、 的中点， 为棱 上一动点（点 除外）， ，若异面直线 与 所成的角为 ，且 ，则 ______.
17．在数列 和等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ， ，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案
此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设 为 的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时， 的最大值为
有最大值 ， ．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为 ， 设焦距为 ，
的周长为 ，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设 为
，则
，且
，
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2020/4/27
当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】 设容器底面半径为 ，原水面所在半径为 ，母线长为 ，
河南省百校联盟2020届高三4月教学质量监测(理数)
河南省百校联盟2020届高三4月教学质量监测数 学（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝ 5 B.2 3 D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A.83π B.8π C.163π D.12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.347.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝3|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC ＝3CD ，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。
百师联盟2020届高三理数模拟试卷四(全国卷Ⅰ)附答案
第 1 页 共 4 页百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
（共12题；共60分）1.若用列举法表示集合 A ={(x,y)|{2x +y =6x −y =3} ，则下列表示正确的是（ ）A. {x=3，y=0}B. {（3，0）}C. {3，0}D. {0，3} 2.已知复数z=5i 3+i，则 z̅ =（ ）A. −12+32iB. −12−32i C. 12+32i D. 12−32i3.新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A 级，则该校学生物理成绩达到A 级的人数是（ ）A. 600B. 300C. 60D. 304.掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（ ） A. 1564B. 516C. 916 D. 585.已知凸四边形ABCD 的面积为S ，点P 是四边形内部任意一点，若点P 到四条边AB ，BC ，CD ，DA 的距离分别为d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 ， 且满足 AB 1=BC 2=CD 3=DA 4=k ，利用分割法可得d 1+2d 2+3d 3+4d 4=2S k；类比以上性质，体积为V 的三棱锥P-ABC ，点Q 是三棱锥内部任意一点，Q 到平面PAB ，PBC ，PAC ，ABC 的距离分别为D 1 ， D 2 ， D 3 ， D 4 ， 若S ΔPAB 1=S ΔPBC 2=S ΔPAC 3=S ΔABC 4=K ，则D 1+2D 2+3D 3+4D 4=（ ）A. VK B. 2V K C. 3VK D. 4VK 6.已知F 1 ， F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 （a>b>0）的两个焦点，C 的上顶点A 在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F 1AF 2= 2π3，则椭圆C 的标准方程为（ ）A. x 22+y 2=1 B.x 24+y 23=1 C.x 24+y 2=1 D.x 23+y 2=17.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（ ）A. 6π+12B. 10π+36C. 5π+36D. 6π+18 8.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（ ）A. - 32B. - 13C. 2D. -29.已知函数f （x ）=sinπx6cos πx6- √3 sin 2 πx6+ √32，x ∈[-1，a]，a ∈N*，若函数f （x ）图象与直线y=1至少有2个交点，则a 的最小值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 1210.在如图所示的圆锥中，平面ABC 是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC= π3 ，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A.64π3B.16π3C.128π3D. 32π11.已知点P是双曲线C：x2a2−y2=1（a>1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若|PM|的最小值为√3，则双曲线C的离心率为（）A.5√33B. √3C. √52D. √512.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（）A. 99B. 100C. 198D. 200二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高三上学期第四次调研数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期第四次调研数学（理）试题 含答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1.设集合{}M=1x x <，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()R C MN 等于（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞2.已知复数()41biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4.函数23y x =的图象大致形状是（ ）A B C D ．5.若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ） ABC ．12D ．146.已知命题:p x R ∃∈，31cos 210x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若()p q ⌝∧是假命题，则命题q 可以是（ ）A ．若20m -≤<，则函数()2f x x mx =-+区间()4,1--上单调递增B ．“14x ≤≤”是“5log 1x ≤”的充分不必要条件C ．3x π=是函数()cos2f x x x =图象的一条对称轴D ．若1,62a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则函数()21ln 2f x x a x =-在区间()1,3上有极值 7.以(),1a 为圆心，且与两条直线240x y -+=及260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．()2215x y +-= B ．()()22115x y +++= C ．()2215x y -+=D ．()()22115x y -+-=8.向量()cos25,sin25a =︒︒，()sin20,cos20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（ ） AB ．1CD ．129.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1+B．()1++∞ C ．()1,3D ．()3,+∞10.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．94D ．312.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()'2f x <，则不()()11ln 223x f x x e x ++-+->+的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()1,-+∞C ．()1,2-D ．()2,+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13.已知()1201x m dx +=⎰，则函数()()2log 2m f x x x =-的单调递减区间是______.14.已知()2cos2sin 2sin 15a a a +-=，,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 15.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ．若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．三、解答题 ：大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围．18.（本小题满分12分在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=，b =(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若ABC ∆，求sin sin A C +的值． 19.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆'O 的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点， 求证：//GH 平面ABC ；(Ⅱ)已知12EF FB AC ===AB BC =， 求二面角F BC A --的余弦值20.（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x a x ==．(Ⅰ)若函数()f x 的图像在()()1,1f 处的切线不过第四象限且不过原点，求a 的取值范围；(Ⅱ)设()()2g x f x x =+，若()g x 在[]1,e 上不单调且仅在x e =处取得最大值，求a 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =,以上顶点和右焦点为直径墙点的圆与直线20x y +-=相切． (Ⅰ求椭圆的标准方程；(Ⅱ)对于直线:l y x m =+和点()0,3Q ,是否椭圆C 上存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称,且332QA QB ⋅=,若存在实数m 的值,若不存在,说明理由． 22.（本小题满分12分）()()21ln 2a f x x a x x =-+-+． (Ⅰ)若12a =-,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若1a >,求证:()()3213a a f x e --<河北武邑中学2016—2017学年高三年级第四次调研考试数学试题（理科）答案一、选择题:CBABB DDCAA BA二、填空题: 13.(]0,1; 14.17． 17.解：(Ⅰ)由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；………………1分 当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅；故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩………………4分则()11211112211212nn n n b q b b q --⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b ………………8分 而1212n⎛⎫-⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n nb b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b ………………10分 18.解：(Ⅰ)由()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=， 得()cos sin sin cos 0A B c A B --=，………………1分 即()sin cos A B c B +=，sin cos C c B =，sin cos CB c=，………………3分 因为sin sin C B c b =cos B =，即tan B =，3B π=.………………6分 (Ⅱ)由1sin 2S ac B ==，得2ac =，………………8分由b =()2222222cos 3a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-， 所以3a c +=………………10分 所以()sin 3sin sin 2B AC a c b +=+=………………12分 19. 解：(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结GM ，HM ，//GM EF 、EF 在上底面内，GM 不在上底面内，//GM ∴上底面，………………2分//GM ∴平面ABC ，又MH//BC ，BC ⊂平面ABC ，MH ⊄平面ABC ，H //M ∴平面ABC ，………………4分所以平面GHM//平面ABC ，由CH ⊂平面GHM ，GH//∴平面ABC ．………………5分(Ⅱ)连结OB ，AB BC =，OA OB ⊥，………………6分以O 为原点，分别以OA ，OB ，'OO 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，12EF FB AC ===AB BC =，'3OO =，于是有()A ，()C-，()B ，()F ，可得平面FBC 中的向量()BF=，()CB =，于是得平面FBC的一个法向量()1n =，………………9分又平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =………………10分 设二面角F BC A --为θ，则1212cos 7n n n n θ⋅===⋅二面角F BC A --………………12分20. 解：(Ⅰ)()'a f x x x=-，()'11f a =-，()112f =………………2分 所以函数()f x 图像在()()1,1f 的切线方程为()()1112y a x -=--，即()112y a x a =-+-，……………3分由题意知10a -≥，102a ->，a 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦，………………5分(Ⅱ)()()2'220a x x ag x x x x x+-=-+=>，………………6分设()()220h x x x a x =+->，若()g x 在[]1,e 上不单调，则()()10h h e <，………………7分()()2320a e e a -+-<，232a e e ∴<<+，………………9分同时()g x 仅在x e =处取得最大值，所以只要()()1g e g >.即可得出：253,222e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭………………11分则a 的范围：253,222e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭………………12分21. 解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e =得2222212c c a b c ==+，得b c =………………1分上顶点为()0,b ，右焦点为(),0b ，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为22222222b b a b x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=，2b b -=，1b c ==，a =3分 椭圆的标准方程为2212x y +=………………4分(Ⅱ)由题意设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+.联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=，………………5分 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<6分1243n x x +=，212223n x x -=， 设直线AB 之中点为()00,P x y ，则120223x x nx +==，………………7分 由点P 在直线AB 上得：0233n ny n =-+=， 又点P 在直线l 上，233nnm =+，所以3n m ⎛=-∈ ⎝⎭……①………………9分又()11,3QA x y =-，()22,3QB x y =-，()()11223232,3,333QA QB x y x y ∴⋅-=-⋅--()()()()221212323323963331102x x y y n n m m m m =+---=--=+-=-+= 解得：13m =或1m =-……②………………11分 综合①②，m 的值为13.………………12分 22. 解：(Ⅰ)()213ln 42f x x x x =-+，0x >，则()()()2'211313222x x x x f x x x x x---+=-+==，………………1分 ()'0f x >的解集为()0,1，()2,+∞：()'0f x <的解集为()1,2，………………2分∴函数()f x 的单调递增区间为：()0,1，()2,+∞，函数()f x 的单调递增区间为：()1,2：………………4分 (Ⅱ)证明：1a >，故由()()()'11ax x f x x-+-=可知，在()0,1上()'0f x >，函数()f x 单调递增，在()()'1,0f x +∞<，()f x 单调递减，()f x ∴在1x =时取极大值，并且也是最大值，即()max 112f x a =-………………7分又210a ->，()()()1212112a f x a a ⎛⎫∴-≤-- ⎪⎝⎭，………………8分设()()312112a a a g a e -⎛⎫--⎪⎝⎭=，()()()()2'3329712722e a aa a a g a e e ---+--=-=-， (9)分()g a ∴的单调增区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴()1236742g a g e ⨯⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，………………10分 23e >，933<=，()3g a ∴<，30a e ->， ()()3213a a f x e -∴-<………………12分。
江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集，知A B ={}2,3,5.故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】21222i i z i i i+-===-，所以复数z 的实部为2. 故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 【答案】100 【解析】 【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，30240160240400x=⨯++，解得100x=.故答案为：100【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.4.根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为____________.【答案】1【解析】【分析】满足条件执行34y x←-，否则执行22xy-←.【详解】本题实质是求分段函数234,22,2xx xyx-->⎧=⎨≤⎩在2x=处的函数值，当2x=时，1y=. 故答案为：1【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14.故答案：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 【答案】116【解析】 【分析】易得1113n n a a +-=，所以1{}na 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以1113n n a a +-=，所以数列1{}na 是以 111a 为首项，3为公差的等差数列，故611(61)316a =+-⨯=，所以6a =116. 故答案为：116【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 7.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f 的值为____________.【答案】3-【解析】 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将5(,2)12π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f .【详解】由图可得2A =，353()41234T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=， 又5()212f π=，即52sin(2)212πϕ⨯+=，52,62k k Z ππϕπ+=+∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】 利用221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【详解】设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bcc c a⋅=，所以a b =，离心率e ==【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题.9.已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+ 【解析】 【分析】m n mn +=⇒111m n +=，所以有2m n +=(2)m n +112()3m n m n n m +=++，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()3322m n m n n m+=++≥+， 当且仅当2m n m n mn ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即2221,2m n +=+=时，等号成立.故答案为：322+【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.10.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 【答案】()()1,17,-⋃+∞【解析】 【分析】224,4()4,4x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，(3)3f =，分类讨论即可.【详解】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得7a >或11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为()()1,17,-⋃+∞.故答案为：()()1,17,-⋃+∞【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为____________.【答案】32 【解析】 【分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为r ，体积为V ，半球的体积为1V ，水（小圆锥）的体积为2V ，如图则,1,2,OA r OC OB BE h ====，所以2rh ED =，2241r r ⨯=+⨯，解得243r =， 所以218239V r ππ=⨯=，123V π=，23211()329rh V h h ππ=⨯⨯=，由12V V V =+，得3821939h πππ=+，解得32h =.故答案为：32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.12.如图,在梯形ABCD 中，AD ∥24BC AB BC AD ===，，，E F ，分别是BC CD ，的中点，若1AE DE ⋅=-，则AF CD ⋅的值为___________.【答案】2【解析】 【分析】建系，设设A θ∠=，由1AE DE ⋅=-可得3πθ=，进一步得到C F 、的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A 为坐标原点，AD 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A θ∠=，则(4,0),(2cos ,2sin ),(12cos ,2sin ),(22cos ,2sin )D B E C θθθθθθ++，所以AE =(12cos ,2sin )θθ+，DE =(2cos 3,2sin )θθ-，由1AE DE ⋅=-，得2(12cos )(2cos 3)4sin 1θθθ+-+=-，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以 3πθ=，故73(3,3),(,)22C F ,73(1,3),(,)2CD AF =-=, 所以73322AF CD =-⋅⨯=.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.13.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩，此时a ∈∅；若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤；若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为102a -≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min 222OM ==，max 22PQ =.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.（1）求证：PB BC ⊥；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明【详解】证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥. （2）因平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC .因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.16.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得222a b c ab +-=，再用余弦定理即可得到角C ；（2）n p ⋅6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为m n ⊥，所以(sin sin )()(sin sin )0a A B b c B C -+-+=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， 所以()()()0a a b b c b c -+-+=，即222a b c ab +-=.在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）得3C π=，在ABC ∆中，A B C π++=，所以1(sin sin )2(sin sin )n p A B B C ⋅=⨯-++ 2sin sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A =++3sin 2A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以当62A ππ+=，即3A π=时，sin 6y A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1，所以n p ⋅的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎝⎭或135,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF NAF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P 的坐标为135,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或135,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lcm 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）.（1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 【答案】（1）278,0,sin cos 2πθθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）1313cm . 【解析】 【分析】（1）过A 作PC 的垂线，垂足为C ，易得27,sin AP θ=8cos BP θ=，进一步可得L ； （2）利用导数求278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭得最大值即可. 【详解】（1）如图，过A 作PC 的垂线，垂足为C ，在直角APC △中，APC θ∠=， 27AC cm =，所以27cm sin AP θ=，同理8cm cos BP θ=， 278,0,sin cos 2L πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（2）设278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则33'222227cos 8sin 8sin 27cos ()sin cos sin cos L θθθθθθθθθ-=-+=， 令()'0L θ=，则327tan 8θ=，即3tan 2θ=. 设00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且03tan 2θ=，则当()00,θθ∈时，'3tan ,()02L θθ<<，所以()L θ单调递减； 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'3tan ,()02L θθ>>，所以()L θ单调递增， 所以当0θθ=时，()L θ取得极小值， 所以()min 0()L L θθ=. 因为03tan 2θ=，所以003sin cos 2θθ=，又2200sin cos 1θθ+=， 所以204cos 13θ=，又00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos 13θ=0sin 13θ=， 所以()0002781313()sin cos L cm θθθ=+=， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm .【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 19.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；（3）21*121313m mm m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯，所以()21224333(21)23n n n M n --=++++--⨯⨯，13(13)24(42)34(44)313n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-所以2(1)32n n M n =-⋅+.（3）由（1）可得2n S n =，31=-n n T ，所以21121313m m mm m m S T m S T m +++-+=+-+.因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()2(1)1(3)3mL m L --=-，因为210,30m m ->，所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有()213mm -=，即()2113mm -=，令21()3m m f m -=.则22211(1)11223(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113mm -=无整数解. 当3L =时,有210m -=，即存在1m =使得21213313m mm m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1m m m mS T S T +++是数列{}n a 中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20.已知函数4()1,()1()xa f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. 【答案】（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）2'2(4)340()xx a x a ey a x ⎡⎤--+++⎣⎦=≥-在[]4,5上恒成立，只需2(4)340xa x a -+++，注意到[4,5]a ∉；（3）()2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()2()44xm x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()11131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.【详解】（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-. （2）()(4)()xf x x e yg x a x -==-，2'2(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.因为函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即492a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞，故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.（3）()2'244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x -+--+-=+==. 因函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，所以方程()'0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()2440xx x e a -+-=. 令()2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2xm x x x e =-，由()0m x '>，得2x >，所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=.又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈， 且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '>，单调递增，当()12,x x x ∈时，()()'0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，此时()()()()()111121111111111444431xx xx x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-===--令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<， 所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-. 因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-. 若124m -<<-，取114mx =--，则14 4m x =--， 所以()()1111343xh x m x e x -=-++.令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-. 当(0,1)x ∈时，()''0Hx <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114mx =--使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）选做题:请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵1(,R)4a M a b b -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a ⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，求a b ，的值.【答案】41a b =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】由M 不存在逆矩阵，可得4ab =-，再利用特征多项式求出特征值3，0，3M αα=，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为M 不存在逆矩阵，1det()04aM b -==，所以4ab =-. 矩阵M 的特征多项式为221()3434af ab b λλλλλλλ+-==---=---， 令()0f λ=，则3λ=或0λ=， 所以3M αα=，即113413a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1343a b -+=⎧⎨+=⎩，所以41a b =⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.选修4-4：坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线1C :sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线12C C ，交点的直角坐标. 【答案】()1,1-- 【解析】 【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.由cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ⎧=-⎨=⎩，所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.由22012x y x y++=⎧⎨=-⎩，得2230y y --=， 所以1231,2y y =-=（舍）， 所以11x =-，所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 选修4-5：不等式选讲 23.已知凸n 边形123n A A A A 的面积为1，边长1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-，1n n A A a =，其内部一点P 到边1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-的距离分别为123,,,,n d d d d .求证：2121212222()nn n na a a n a a a d d d +++≥.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由已知，易得11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++⎪⎝⎭利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸n 边形的面积为1，所以11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=， 所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ ()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭211(n na a d a d d +（由柯西不等式得）()212n a a a =++⋅⋅⋅+212()n n n a a a （由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形且AD ∥22BC AB BC AB BC AD ⊥===，，，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD .（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小； （2）若(01)CQ CP λλ=，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值. 【答案】（1）4π；（233±.【解析】 【分析】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，易得OP OE OB ，，两两垂直，以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，只需求出平面PDC 的法向量为n ，再利用||cos |cos |||||n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=计算即可；（2）求出BQ ，利用|cos ,|sin 3n BQ π<>=计算即可.【详解】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，连结PO EO ，. 因为AD ∥BC ，所以OE ∥BC . 因为AB BC ⊥，所以AB OE ⊥. 因为侧面PAB 为等边三角形，所以AB OP ⊥又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ， 所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP OE OB ，，两两垂直.以O 为空间坐标系的原点，分别以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 2 2AB BC AD ===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)O A B C D P --，()1,2,0DC =，(2,1,3)PC =-.设平面PDC 的法向量为(, , )n x y z =，则00n DC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20230x y x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩.取1y =，则2,3x z =-=-，所以(2,1,3)n =--.又(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为θ，则222||2cos |cos |2||||(2)1(3)n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>===-++-， 所以平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为4π.（2）由（1）得，平面PDC 的法向量为(2,1,3),(2,1,3)n PC =--=-， 所以成(22,3)(01)BQ BC CP λλλλλ=+=-+-.又直线BQ 与平面PDC 所成角为3π， 所以|cos ,|sin 3n BQ π<>=，即||3||||n BQ n BQ ⋅=，即2222223(2)1(3)(22)()(3)λλλ=-++-⨯-++-+， 化简得26610λλ-+=，所以33λ±=，符合题意. 【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.25.如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 【答案】（1）6种；（2）1164；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C =条.（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线： ①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313124432p =⨯⨯⨯=；②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率2131132444128p =⨯⨯⨯=；③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111124432p =⨯⨯⨯=；④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率4113132444128p =⨯⨯⨯=.所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率 1234331311321283212864p p p p p =+++=+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()134E X =；②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()239344E X =⨯=；③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→； 3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.。
《精品》2020届高三入学调研考试试卷 理科数学(四)-解析版
号位注意事项：2020届高三入学调研考试卷理科数学（四）1i (2i)(1z)【解析】由题可得4322．故选A．z ()()155，整理得z43i55，封座1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
73．c os()，则24cos2的值为（）密不号场考2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
17A．B．816【答案】A【解析】因为cos()274，所以s in1C．87，4D．1316订一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．所以cos 212sin218．故选A．1．设A {x x 1}，B {x x2x 20}，则(ðA)RB （）4．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同A．{x x 1}B．{x 1x 1}期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论装号证C．{x 1x 1}D．{x1x 2}考准【答案】B只【解析】由题得C A {x x 1}，B {x 1x 2}，R所以(ðA) B {x 1x 1}R．故选B．卷名姓2．已知i为虚数单位，复数z满足1i1z2i，则z （）①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；此A．1B．3C．5D．5③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；【答案】A④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是（）级A．1B．2C．3D．4班【答案】C【解析】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，作直线l：2x y 0，平移l可知，12233z 22(1)，故选C．即z的取值范围是[0,5)，故选D．5．斜率为2的直线lx2y2过双曲线1a2b2（a 0，b 0）的右焦点，且与双曲7．函数f(x)x ln x的大致图象是（）线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e的取值范固是（）A．e 2B．1e 3A．B．C．1e【答案】D5D．e 5【解析】依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即C．D．b a 2，因此该双曲线的离心率ec a2b2 b1()a a2a25．故选D．6．已知实数，满足2x y 10x y 10，则z 2x y的取值范围是（）【答案】Ax 2【解析】函数的定义域为(,0)(0,)，且为定义域上的奇函数．排除C，D，A．[0,5]B．411[,]32C．[45,]32D．[0,5)当x12时，f(x)0排除B，故选A．【答案】D【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4科，且化学排在生物前面，有种排法；A2124第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有A2412种y x2所以不同的排表方法共有1212144，故选B．9．在ABC中，A 90，AB 1，AC 2，设点D、E满足AD AB，图中阴影区域的面积S 10108836，则P(A)361000.36，故选C．AE (1)AC(R)，若BE CD 5，则（）11．设数列{a }的前n项和为S，且a 1，an n1n Sn 2(n 1)(n Nn*)，则数A．13B．2C．95D．3列1{}S 3nn的前10项的和是（）【答案】D【解析】因为A90，则AB AC 0，A．290B．920C．511D．1011所以BE CD (AE AB)(AD AC)【答案】C[(1)AC AB] (AB AC)【解析】由anSn 2(n 1)(n Nn*)得S na 2n(n 1)n n，(1)AC AB2当n 2时，a S S na (n 1)a 4(n 1)n n n 1n n 1，整理得a a 4n n 1，4(1)3 4．所以{a }n是公差为4的等差数列．由已知，3 4 5，则3，故选D．10．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里又a 1，所以a 4n 3(n N1n*)，半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（）A．0.18B．0.32C．0.36D．0.64从而S 3nnn(a a )1n23n 2n22n 2n(n 1)，【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x、y，“进站时间的间隔不超所以11S 3n2n(n 1)n111()2n n 1，过2分钟”为时间A，则A {(x,y)0x 10,0y 10,x y 2}．数列{1S 3nn}115的前10项的和S (1)21111．故选C．12．长方体ABCD A B C D1111中，AB BC 1，BB 21，设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C两点之间的距离为（）1A．2B．3C．1D．1 223【解析】将长方形中含有ABD的平面取出，过点A作1AM B D1，垂足为M ，延长AM到AP，使MP AM ，则P是A关于BD的对称点，如图所示，1【答案】20过P作PE B C1，垂足为E，连接PB，PC1，【解析】由三视图可得，1V224322320．依题意AB 1，AD 31，BD 2，ABD6011，BAM30，PE12，15．已知点A(0,1)，抛物线C：y ax(a 0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，，与抛物线C的准线相交于点N，若3BE ，所以2PC 11．故选C．FM: MN 1:2，则实数a的值为．43【答案】3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．1S7 13．等比数列{a }的前n项和为S，a ，若6，则2S82a3．a【解析】依题意得焦点F的坐标为( ,0) ，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为4K，连接MK，由抛物线的定义知MF M K ，【答案】18因为FM: MN 1:2，所以KN:KM 3:1，a (1q6)1S1q71【解析】由题知公比q 1，所以61q ，解得q ，S a (1q ) 82311q014k 443又FN a a，，所以，解得a ．KM a3 41x 1,x 116．已知函数f(x)3，则当函数F(x)f(x)ax恰有两个不同的所以a a q23118．ln x,x 1零点时，实数a的取值范围是．14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为．【答案】11[,)3e2n n13 3KNk 330FN【解析】由题可知方程f(x)ax恰有两个不同的实数根，所以y f(x)与y ax有2个交点．【解析】（1）由0A ，cos A347，得sin A ，4因为a表示直线y ax的斜率，当x 1时，f (x) 1x，所以sin B sin2A 2sin A cos A 27337．44811设切点坐标为(x,y)，k ，所以切线方程为y y (x x)，00x x0011而切线过原点，所以y 1，x e，k ，所以直线l的斜率为，e ea b b s in A由正弦定理，可得a2．sin A sin B sin B31（2）c os B cos2A 2cos A 12()148，在ABC中，由余弦定理b2a2c22a c cos B，得2c2 c 100，直线l与2y13x11平行，所以直线l的斜率为，3解得c52或c2（舍去），所以实数a的取值范围是11[,)3e．SABC1157bc s in A ，216三、解答题：本大题共 6 大题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．因为SS ACMABMCM AC36BM AB552，17．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分別为a、b、c，若cos A 34，所以SABM55157757S ．11116176B 2A，b 3．18．（12分）在四棱锥P ABCD中，BC BD DC 23，AD AB PD PB 2．（1）求a ；（2）已知点M 在边BC上，且AM平分BAC，求ABM的面积．【答案】（1）a 2；（2）757176．（1）若点E为PC的中点，求证：BE//平面PAD；（2）当平面PBD 平面ABCD时，求二面角C PD B的余弦值．0000122 2ABC【答案】（1）见解析；（2）1313．则D(0,3,0)，C(3,0,0)，P(0,0,1)，DC (3,3,0)，DP (0,3,1)，【解析】（1）取CD的中点为M，连结EM ，BM．平面PBD的一个法向量为n (1,0,0)1．设平面PCD的法向量为n (x,y,z)2，有n D C2n D P2，得n DC 02n DP 02，由已知得，BCD为等边三角形，BM CD．3x 3y 0x 1，，令y 3，得即3y z 0n n 11312cos n,n∴．12n n131312z3，∴n (1,3,3)2．∵AD AB 2，BD 23，∴∴ADC 90，∴BM//AD．ADB ABD30，二面角C PD B的余弦值是1313．又∵BM 平面PAD，AD 平面PAD，∴BM//平面PAD，19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM//P D．位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方又EM 平面PAD，PD 平面PAD，∴EM//平面PAD，式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按∵EM BM M，∴平面BEM//平面PAD．[0,5]，[5,10)，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直∵BE 平面BEM，∴BE//平面PAD．方图如图所示．（2）连结AC，交BD于点O，连结PO，则O为BD的中点，且AC BD，PO BD，∵平面PBD 平面ABCD，PO BD，∴PO 平面ABCD，可求得PO AO 1，CO 3，以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz，（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．6（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：因为K2100(45201520)26006.593 5.0246040356591，查表得P(K2 5.024)0.025，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．1（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，223．附：观测值公式：K2(a b c d)(a d bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)．设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，12据题意，X∼B(2,)，Y∼B(2,)．23临界值表：所以E(X)212241，E(Y)233．【答案】（1）17.5千元；（2）有97.5%的把握认为；（3）见解析．因为X Y，则E ()E(X)E(Y)737，所以的数学期望为．3【解析】（1）在直方图中，从左至右前(0.010.020.04)50.35，3个小矩形的面积之和为20．（12分）已知椭圆C：x2y21(a b 0)a2b2过点(23,3)，右焦点F是后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35，抛物线y28x的焦点．所以中位数位于区间(15,20]内．（1）求椭圆C的方程；设直方图的面积平分线为15x，则0.06x 0.50.350.15，得x 2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M ，N两点．试问x轴上135是否存在定点Q，使得Q M QN 恒成立？若存在求出点Q的坐标；若不16当直线斜率存在或且不为N(x,y)，220时，设其方程为y k(x 2)(k 0)，M(x,y)11，存在，说明理由．x2y2【答案】（1）11612；（2）存在，11Q(,0)4．y k(x 2)由x2y2，得(34k)x 16k x 16(k11612直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，23) 0，【解析】（1）因为椭圆C过点(23,3)，所以1231a2b2．且x x1216k24k23，x x1216(k23)4k23．又抛物线的焦点为(2,0)，所以c 2，所以123a2a241，y y k(x 2)k(x 2)k2x x 2k2(x x)4k121212122，解得a33（舍去）或a216．所以QM QN (x111411,y)(x ,y)4所以椭圆C的方程为x2y211612．(1k2)16(k24k23)3(2k21116k2121135)4k244k231616．（2）假设在x轴上存在定点Q(m,0)，使得QM QN 13516，综上所述，在x轴上存在定点11Q(4,0)，使得QM QN13516恒成立．①当直线l的斜率不存在时，则M(2,3)，N(2,3)，QM (2m,3)，21．（12分）已知函数f(x)a ln x x 1a x．QN (2m,3)，由QM QN (2m)2913516，解得m511或m44；（1）当a 2时，求函数f(x)的单调区间；②当直线l的斜率为0时，则M(4,0)，N(4,0)，Q M (4m,0)，（2）设g(x)e x mx23，当a e21时，对任意x [1,)1，存在QN (4m,0)，由QM QN m21613516，解得m1111或m ．44x [1,)，使f(x )2e g(x )，证明：m e2e．212【答案】（1）见解析；（2）见解析．由①②可得m 11411，即点Q的坐标为( ,0)4．【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0,)，下面证明当m 114时，QM QN13516恒成立，当直线l的斜率不存在或斜率又f (x)ax1a 1(x 1)[x (a 1)]x2x2，为0时，由①②知结论成立．由f (x)0，得x 1或x a 12221222，8当 a2 即 a 11 时，由 f (x) 0 得 1 x a 1 ；由 f (x) 0 得 0 x 1 或以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方x a 1；程为2 3 sin．当 a2 即 a 11时，当 x 0 时都有 f(x) 0，∴当 a 2 时，单调减区间为（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C的直角坐标方程；(1,a 1)，单调增区间为(0,1)，(a 1,)（2）设点 P (1, 3)，直线 l与曲线 C相交于两点 A 、 B ，求11 PAPB的值．当 a2 时，单调增区间是 (0, )，没有单调减区间．（2）当 a e 21 时，由（1）知 f ( x ) 在 (1,e ) 单调递减，在 (e 2, )单调递增，【答案】（1）x 3 y 2 0，x 2 y 22 3 y 0 ；（2）112．从而f ( x )在[1,)上的最小值为f (e 2) e23．【解析】（1）消去参数得直线 l 的普通方程为 x 3 y 2 0 ；对任意x[1,)，存在 x[1,)12，使得f ( x ) 2e 2g ( x ) 12，因为2 3 sin，所以22 3sin，即存在x[1,)2，使得g ( x )2的值不超过f ( x ) 2e2在区间[1, )上的最小值 所以曲线 C 的直角坐标方程是 x 2 y 2 2 3 y 0 ．为 e23 ．由 e 23 2e 2ex mx 2 3 得 e xmx 2e 2，∴ me2 e x 2x．（2）点 P (1, 3) 是直线 l 上的点，设 A ， B 两点对应的参数分别为 t ，t ，12将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得t 23t 2 0 ，令 h ( x )e2 e x 2x，则当x [1,)时， m h ( x )max．方程判别式Δ0，可得tt3 12，t t2 1 2．∵ h(x)e x x22(e 2 ( x 2 )2e x ) xxex2(ex 32 e x )，当 x [1,2] 时， h(x) 0；于是11PAPBPA P B PA PBt t1 2 t t1 2(tt ) 2 12 t t1 24t t1 211 2．当x [2,)时，xe x2(e 2 e x ) xe x 2e x， h(x) 0，23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f ( x )x 1 3x a ．故 h ( x ) 在 [1, ) 上单调递减，从而 h ( x )maxh (1) e 2e ，从而实数 m e 2e ．（1）当a1时，解不等式f ( x ) 2；请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（2）若存在x 0满足f ( x )2 x1 1 0，求实数 a的取值范围．22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为3 x 1 t21y3 t2（ t 为参数），【答案】（1）x x 0 或x【解析】（1）当 a 1时，2xOy1；（2）2a 42 f(x)x 13x 1．，9当x13时，不等式等价于x 13x 12，解得x11，∴x ；22当1x13时，不等式等价于x 13x 12，解得x 0，∴1x 0；当x1时，不等式等价于x 13x 12，解得x12，∴x1，综上所述，原不等式的解集为x x 0或x12．（2）由f(x )2x 1100，得3x 13x a 100，而3 x 13x a 3x 33x a (3x 3)(3x a)3a000000，（当且仅当(3x 3)(3x a)000时等号成立，）由题可知，(f(x)2x 1)min 1，即a 31，解得实数a的取值范围是2a 4．10。
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2020届百校联盟（全国卷）高三第四次调研考试（理科）数学试题 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
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不按以上要求作答无效。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
—、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。
）1.设集合U={6<0|≤∈x N x },S={1,2，4，5}，T={3，5}，则S ∩（C U T ）= A. {1，2} B. {1，2，3，4，5} C. {1，2，4} D. {1，2，4，5，6}2.下列有关命题的说法正确的是A.命题“若 12=x ，则1=x ”的否命题为：“若 12=x ，则1≠x ”B.命题“若 y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为假命题.C.在ABC ∆中，“A>600”是23>sin A 的必要不充分条件. D.命题“ R x ∈∃,使得12++x x <0”的否定是：“ R x ∈∀,均有12++x x >0”. 3.设2log ,21ln,231.0===c b a ,则a,b,c 的大小关系是 A.a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. b ＞a ＞c D. b ＞c ＞a4.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若caB =cos 2，则该三角形一定是A. 等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 5. 已知3tan =α，则cos()2πα-=A. 35±B. 310±C. 34±D. 6.已知30π=x 是函数)2sin()(ϕ+=x x f 的一个极大值点，则)(x f 的一个单调递增区间是A.)32,6(ππ B. )65,3(ππ C. )34,65(ππ D. ),32(ππ 7.函数⎩⎨⎧≥--=1,2＜1,13)(2x ax x x x x f ，有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是A. 2≤aB. 2 ＜aC. 2≥aD. 2 >a8.满足函数)3ln()(+=mx x f 在]1,(-∞上单调递减的一个充分不必要条件是 A. 2- ＜ 4＜m - B. 0 ＜ 3＜m - C.0 ＜ 4＜m - D. 1- ＜ 3＜m - 9. 如图，已知AB =a ，AC =b ，3DC BD =，2AE EC =，则DE =ABC D 10.的部分图像大致为11. 函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为sin x12.定义在函数),0(+∞上的函数)(x f 满足25)2(1,>)('2=f x f x ,则关于x 的不等式x1()<3e x f e -的解集为 A.),0(2e B. )2ln ,(-∞ C. )2ln ,0( D. ),(2+∞e 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
）13. 已知正方形ABCD 的边长为1， , 则14.已知43)sin(2=+⎰dx x πϕ，则=ϕ2sin . 15.已知函数7)3(,2)1ln()(2=-++++=f xbx x a x f ，则)3(f 的值为 . 16.设R m ∈，若函数3()|3|f x x x m =--在]3,0[∈m 上的最大值与最小值之差为2，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共计70分。
（解答题写出文字说明、证明过程或步骤。
） 17.(本小题满分10分）设:p 函数a x ax x f 41)(2+-=的定义域为R ，:q )1,0(∈∃x ，使得不等式0a ＜-93 x x -成立，如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围。
18. (本小题满分12分）已知向量()2sin ,1=θa ，()2cos ,1=-θb ，其中（1）若⊥a b ，求角θ的大小； （2tan θ的值. 19. (本小题满分12分）已知四边形OACB 中，a 、b 、c 分别为ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长，且满足()cos (2cos cos )b c A a B C +=--(1)证明：2a c =+b ；(2),c b =42OB OA ),＜＜(0AOB ===∠πθθ， 求四边形OACB 面积的最大值。
,,AB a BC b AC c ===a b c ++=20. (本小题满分12分）已知函数()cos )cos 0)f x x x x ωωωω=-+>的一条对称轴为π83=x . (1)求ω的最小值；(2)当ω取最小值时，若0<<2,53)42(αππα-=+f ，求)42sin(2πα-的值； 21. (本小题满分12分）已知函数 ， . （1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）若方程 有实数解，求实数k 的取值范围.22. (本小题满分12分） 已知函数x a x x x f ln 21)(2+-=. (1)当a> 0时，讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，证明: 432ln2->)()(21-+x f x f .高三数学参考答案（理）一、选择题：1--6. CCBADC 7—12 CBDAAB 二、填空题： 13.14.15. -3 16.或17．（本小题满分10分)解：若命题为真，即恒成立，…………1分则，解得.…………3分令，则=，，…………4分()11x f x x -=+()()22x g x f =3)()(x x g x F =()10g x k -+=所以的值域为，若命题为真，则. …………6分由命题“或”为真命题，“且”为假命题，可知，一真一假，…7分当真假时，不存在；当假 真时，.…………8分所以实数的取值范围是. …………10分18.（本小题满分12分) 【答案】（12）tan 3θ=. 【解析】（1）由⊥a b ，得0⋅=a b ，即4cos sin 10-=θθ，即，所以()20,π∈θ，所以（2）由题得()2sin 2cos ,2-=-θθa b ，得()224-=a b b ，即()224sin cos 416cos 4θθθ-+=+，整理得22sin 2sin cos 3cos 0θθθθ--=，cos 0θ≠，等式两边同时除以2cos θ得，2tan 2tan 30θθ--=，即()()tan 3tan 10θθ-+=，解得tan 3θ=或tan 1θ=-，tan 3θ=．19．（本小题满分12分) 解：（1）证明：由题意，结合正弦定理得：…………1分…………2分…………3分…………4分由正弦定理得： …………6分 （2）解：，，为等边三角形…………7分…………8分…………10分当且仅当时，取最大值…………12分20．（本小题满分12分) 解：（1）=. ………………3分 因为函数 的一条对称轴为，所以,所以………………5分所以的最小值为1 ………… 6分（2）由（1）知．…………7分由于…………8分因为，…………… 9分…………10分. ………………12分21.（本小题满分12分) （1）∵函数()F x 的定义域为()(),00,D =-∞⋃+∞，对于任意的x D ∈，22221()(2)2+1x xx g x f -==，()()3g x F x x ==341141x x x -⋅+()()3g x F x x==()33411411()()4141x xx x F x F x x x -----=⋅=⋅=++- ∴()F x 为偶函数（2）由题意得2222212()(2)12+12+1x xx x g x f -===-∵220x >，∴21012+1x <<即22202+1x-<-<， ∴221112+1x-<-<，从而有：1()1g x -<<又若方程()1g x k =-有实数解， 则111k -<-<，即02k <<22. （本小题满分12分) 解：（1）.……1分当即时，，所以在单调递增；……2分当即时，令得，且，在上；在上；所以单调递增区间为；单调递减区间为. …………4分综上所述：时，在单调递增；时，在区间单调递增；在区间单调递减. …………5分（2）.因为函数有两个极值点，所以有,且，得. …………7分. …………9分令（），则，所以在上单调递减，所以，…………11分所以. …………12分。