2019-2020年高三调研考试数学试题含答案
2019-2020年高三9月调研考试数学试题含答案
2019-2020年高三9月调研考试数学试题含答案注意事项：1 .本试卷共3页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 •答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答 .题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答 题卡相应位置上. 1 .函数f(x)= cos 2x — sin 2x 的最小正周期为▲12. 已知复数z = 1 + i ，其中i 是虚数单位，则|z|=▲3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4: 3: 3,现用分层抽样的方法从该校高 4. 从甲、乙、丙、丁 4位同学中随机选出 2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是▲5. 已知向量 a = (2 , 1), b = (0, — 1).若(a + ?b)丄 a , 则实数X=▲.2 27. 已知双曲线 为一y 2= 1(a >0, b > 0)的渐近线方程为y =± 3x ,则该双曲线的离心率为 ▲&已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 _______ ▲. 9.设f(x)=x 2— 3x + a .若函数f(x)在区间(1, 3)内有零点，贝U 实数a 的取值范围为▲10. 在△ ABC 中，角A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c .已知a + 2c = 2b , sinB = 2sinC ,则 cosA =▲中三个年级的学生中抽取容量为 80的样本，则应从高一年级抽取11.若 f(x) = x.—x + 3a , x > 1,X V 1 是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为▲ 名学生.(第6题图)6. 右图是一个算法流程图，则输出S的值是▲12. 记数列｛a n｝的前n 项和为S n•若a i= 1, S n = 2佝 + a n)(n》2, n€ N*)，则S n = ▲- 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C: x2+ y2—6x+ 5 = 0,点A, B在圆C上，且AB= 2 3, 则I"O A + 75B I的最大值是▲.x14. 已知函数f(x)= x—1 —(e—1)1 nx,其中e为自然对数的底，则满足f(e )< 0的x的取值范围为▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答.题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)n已知函数f(x) = 2sin(2x+妨(0 <X 2力的图象过点(；，一2).(1)求$的值；(2)若◎=5, -n< a< 0，求sin(2 a— j的值.16. (本小题满分14分)如图，三棱柱ABC —A1B1C1中，M , N分别为AB, B1C1的中点.(1)求证：MN //平面AA1C1C ；(2)若CC1= CB1, CA = CB,平面CC1B1B丄平面ABC，求证：AB_平面CMN .(第16题图)17. (本小题满分14分)已知｛a n｝是等差数列，其前n项的和为S n, ｛b n｝是等比数列，且a i = b i= 2, a4+ b4= 21, S4+ b4= 30.(1) 求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2) 记C n= a n b n, n € N* ,求数列g｝的前n项和.18. (本小题满分16分)2 2给定椭圆C: X2+ y z = 1(a>b>0),称圆C1：x2+ y2= a2+ b2为椭圆C的“伴随圆”.已知a b椭圆C的离心率为j，且经过点(0, 1).(1)求实数a, b的值；(2)若过点P(0, m)(m>0)的直线I与椭圆C有且只有一个公共点，且I被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2 2，求实数m的值.19. （本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为a的角形耕地，其中tan a=—2 .在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM , AN的距离分别为3km , 5km .现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.（第19题图）20. （本小题满分16分）已知函数f（x）= ax3+ |x—a|, a€ R.（1）若 a =—1，求函数y= f（x）（x€，都存在10.厶211. ［；, ）12. 2 —2n—113. 8 14. （0, 1）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. （本小题满分14分）解：（1）因为函数f（x）= 2sin（2x+枷0v X 2"的图象过点（才，—2）,所以f(；)= 2sin( n+ 閒=—2,即sin ©= 1. ........................................................... 4 分因为0v(V 2 n所以0= n ........................................................... 6分(2)由(1)得，f(x)= 2cos2x. ...................................................... 8 分因为f(；)= 5 所以cos a= 5 .由条件a 4+ b 4= 21, S 4+ b 4= 30,得方程组{8:3d ： 2q 3=31,解得<d =1,& = 2.n4又因为-2V a 0,所以sin — 5.所以 sin2a 2sin 处。
2019-2020年高三上学期期末调研测试数学试题含解析.doc
2013．1【试卷总评】本试卷作为高三一轮复习结束后的一次测试，能紧扣2013年江苏《考试说明》，试题难度适中，没有偏题，怪题，注重对基础知识和数学思想方法的考查。
填空题前13题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第14题体现了字母处理能力以及知识的综合运用能力；第15、16、17、18、19、20题分别从三角向量、立体几何、实际应用、直线与椭圆、数列、函数不等式的综合运用等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现了注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力。
参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ．【考点定位】本题考查集合的关系和运算，集合中元素的互异性是本题的易错点。
2． 已知复数1i z =-+（i 为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ．3．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为▲．4．根据右图所示的算法，可知输出的结果为▲．【答案】11【解析】5．已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为▲．6． 函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．7． 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．【考点定位】此题考查的是复合函数的值域问题，正确的理解定义域是本题的关键。
8． 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ▲ ．【考点定位】此题考查的是曲线的切线问题和导数的运算，紧扣切点是本题的关键。
2019—2020学年度第一学期高三调研测试文科数学答案
∴ f (x) 在 x ln 2a 时取到极小值，∵ f (x) 的极值为 0
∴ f (ln 2a) 0
…………12 分 …………1 分
…………2 分 …………3 分
…………4 分 …………5 分
∴ eln2a 2a ln 2a 0 即 2a(1 ln 2a) 0
∴a e 2
19. 解：(1) 因为 AD EF ，所以 AD AP, AD AB ，
又 AP AB A， AP, AB 平面ABP
所以 AD 平面ABP
因为 BM 平面ABP ，所以 AD BM ；
由已知得， AB AP BP 2 ，所以 ABP 是等边三角形， 又因为点 M 是 AP 的中点，所以 BM AP ； 因为 AD BM , AP BM , AD AP A， AD, AP 平面ADP
①当 a 0 时， f '(x) 0 恒成立
∴ f (x) 在 (，+) 上单调递增，没有极值.
②当 a 0 时，由 f '(x)=0 ，得 x ln 2a
当 x (, ln 2a) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在 (, ln 2a) 上单调递减
当 x (ln 2a, ) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在 (ln 2a, ) 上单调递增
4
min
…………9 分
此时点 P 的坐标为 (0,1) ，
所以 PQ 2 2 ，此时点 P 的坐标为 (0,1) . min
法二：曲线 C 是以 C(2, 3) 为圆心，半径为 2 2 的圆，
…………10 分 …………6 分
2+3+3
2019-2020学年度高三数学12月调研测试2套+参考答案
2019-2020学年度高三12月调研测试数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B = ▲ ．2.已知i 为虚数单位，若复数()()11ai i ++是纯虚数，则实数a= ▲ ．3.已知，:(1)(2)0q x x --≥，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ▲ ．4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．5.圆柱形容器内部盛有高度为4cm 的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是 ▲ cm .6.角α的终边经过点(3,4)P -，则cos()2πα-= ▲ ．7.设直线:340l x y a ++=，与圆()()22:2125C x y -+-=交于,A B ，且6AB =，则a 的值是 ▲ ．8.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为 ▲ ． 9.我们可以运用以下原理解决一些面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比恒为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用以上的原理，可知图③中椭圆的面积为 ▲ ．10.若曲线()(1)x f x ax e =-在点(0,(0))A f 处的切线与y 轴垂直，则a= ▲ ． 21▲ ．12.在△ABC 中, 2AB BC =,1,2DB AD CE EA ==,则BE 与CD 的夹角为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系中，:C ，若直线上存在点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与C 有公共点，则的最大值是 ▲ ．14.若对任意的0,x ≥都有21x e ax x ≥++恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分） 已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,BC AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11A B ∥平面1DEC ；（2） 1BE C E ⊥．某公园为监控“旋转木马”游乐项目,要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头,使整个木马始终在摄像头的监控范围内.如图为木马和护栏的水平示意图,分别记作圆C 和直线l,入口为A ,AC 与l 垂直,,,A B C 高度一致.已知木马轮盘的半径为5米,AC 的距离为6米,B 处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l.(注:摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角)（1）若AB 的长为8米,求最小摄像视角的正切值;（2）若摄像视角最大为60︒,求B 距离A 至少有多远?18.（本小题满分16分）设椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点,A B 且OA OB ⊥，证明2211OA OB +是定值，并求出AB 的最小值.已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有23331212().n n a a a a a a +++=++……（1）若数列{}n a 共三项，且为等比数列，求数列{}n a 的公比.（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20202019?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数()x f 满足()00f x x =成立,则称函数()x f 有不动点0x （1）判断函数 1()xf x x+=在区间(0,1)内是否有不动点,说明理由； （2）证明：函数2()(01)xxg x a ax a a x-=++->≠且在区间(0,1)内有不动点；（3）若函数()2ln h x ax x =-有两个不动点,求实数m 的取值范围.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）已知可逆矩阵273aA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值.21C.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数. 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程．（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=，射线:(0)3OM πθρ=>与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22.（本小题满分10分）如图，三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．（1）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角的大小是450．23.（本小题满分10分）某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于,A B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态.（1）=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望.（2）记该空间处于处于基态的概率为()P n ，研究()P n 的单调性，并证明2n ≥时1()()2n P n >恒成立.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅰ答案1.{}|0x x >2.13.2a ≥4.50505.66.457.10或8.1. 9.ab π 10.1 11.1(,1)312. 13.14.1(,]2-∞15.解：（１）,,即.……2分又∵, ∴,即,∴.……4分又 ,.……7分(2) ∵.……9分, ,即.……11分又, ∴.……14分16.证明：（1）连接DE 因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .……2分在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED . ……4分因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1…6分 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .……8分 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .……10分因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1…12分17、解：(1)如图,过B 作圆C 的切线BE ,切点为E ,连接CE ,BC ,则CE ⊥BE ,3(2)以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系当∠ABE 的最大值为60°时,若直线BE 与圆∴直线BE 的方程为y =3x , ∴CE =5263=-a ，.……11分得a =316 (负值舍去)..……13分 18.解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过两点,所以2222611421a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩椭圆的方程为22184x y += ……4分（2）因为，若,OA OB 斜率不存在或为0，则2211113=+=848OA OB +， ……6分若斜率存在且不为，设OA 斜率为k ，222222222222811121288818412y kx x k k x y OA x y k k y k ⎧==⎧⎪+⎪⎪+⇒⇒==⎨⎨+++=⎪⎪=⎩⎪+⎩……8分 用1k -换,k 2221+288k OB k =+，所以222211333==8+88k OA OB k ++综上，总有22113=8OA OB +成立 .……12分 考虑到2222222811()()3AB OA OB OA OB OA OB =+=++所以222228832(2)(2333OB OA AB OA OB =++≥+=，当且仅当=OA OB 即1k =±时取等号.所以min AB = .……16分19.解：（1）当1n =时，2311a a =，由10,a ≠得1=1.a当2n =时，2322(1)1,a a +=+由20,a ≠得2=2 1.a 或-当3n =时，2332323(1)1,a a a a ++=++若2=2,a 得3=3 2.a 或-若2=1,a -得3=1.a 又数列{}n a 为等比数列，所以122=1,=1,=1,a a a -所以数列{}n a 的公比为1- ……4分（2）令12n n S a a a =++…，则233312n n S a a a =++…，所以23331121()n n n S a a a a +++=++…，相减并考虑到2+11102.n n n n a S a a ++≠=-，得 …8分当1n =时，由(1)得1=1.a 当2n ≥时，2211122()()().n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 整理得：111()(1)0.+1.n n n n n n n a a a a a a a ++++--==-所以，或 (12)分又12020=1,=2019,a a -则{}n a 的一个通项公式是1,12019;=2019(1),2020.n n n n a n +≤≤⎧⎨⨯-≥⎩ …16分20.解:（1）令1=x x x + ,解得x =均不在区间(0,1)内, 所以 1()xf x x+=在区间(0,1)内没有不动点 ……2分（2）要证()g x 在区间(0,1)内有不动点，即证方程02=-+-xa a xx 在(0,1)上有解即证方程02)(2=+-x a a x x x 在(0,1)上有解记x a a x x h x x +-=2)()(2，因为)(x h 图像在]1,0[上不间断，,02)0(<-=h 0)1(12)1(22>-=+-=a a a h ，所以)(x h 上有零点在)1,0(，所以方程02)(2=+-x a a x x x 在),0(+∞上有解，从而原命题得证 ……6分 （3）记2()ln ,H x ax x x =--则 ()H x 有两个零点.2121()21=,0,ax x H x ax x x x--'=-->所以当 a ≤ 0 时，()0H x '< ，函数()H x 减，最多一个零点，所以 a > 0 ．……8分 考虑2ln x xa x+=, 下面证明：ln 1x x ≤-,设()ln 1t x x x =--所以11()1(0)x t x x x x-'=-=> (0,1)x ∈时()0t x '<，()t x 减；1x >时()0t x '>，()t x 增.()(1)0t x t ≥=，ln 1x x ≤-2222ln 21211=(1)11x x x a x x x x x+-=≤-=--+≤，1a =时x 只能取1，(0,1)a ∈…12分 下面证明(0,1)a ∈时()H x 有两个零点(0,1)a ∈时，(1)=10,H a -<22211()=10,a e e a H e e e e-++-=> 1()=ln 0,H a a <()H x 图像不间断，所以()H x 在1(,1)e ，1(1,)a上各有一个零点符合题意.综上，(0,1)a ∈……16分2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）答案1.解：∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴141 72101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， .……5分 ∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=+，24λ=-． .……10分2.解：(1)圆的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==;所以圆的极坐标方程是2cos ρθ= ..……5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有2222(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2 ..……10分3.解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意得：，（1）因为为中点，则，设是平面的一个法向量， 则，得 取，则， 设直线与平面的法向量的夹角为， 则，..……4分 所以直线与平面所成角的正弦值为； ..……5分（2）设， 设是平面的一个法向量， 则，取，则..……7分 是平面的一个法向量，，得，即， 所以当时，二面角的大小是． ..……10分 4.解：（1）记=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0,1,2,3,4}04411(0)()216P C ξ=== 144141(1)()2164P C ξ====， 244163(2)()2168P C ξ====， 344141(3)()2164P C ξ====， 44411(4)()216P C ξ=== 所以1311()1234248416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=..……4分 （2）221()()2n n n P n C =，1222222221111(1)()()()()()022222n n n n n n n n n P n P n C C C n +++-+-=-=<+ 所以()P n 单调递减...……7分=2n 时244131(2)()282P C ==> 假设n k =时1()()2k P k >成立 则1n k =+时1211111(1)()()()()()()222222k k k P k P k P k k +++=>>⋅=+成立 综上，2n ≥时1()()2n P n >恒成立. ...……10分。
2019-2020年高三第一次调研考试数学(有答案详解).doc
2019-2020年高三第一次调研考试数学(有答案详解)参考公式：线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知角α的终边过点P (－5,12),则cos α=____▲____. 2.设(3)10i z i +=(i 为虚数单位),则||z =____▲____.3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形,其俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为____▲____.4.设不等式组0,022x y x y ≥≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线12y x =上方的概率为____▲____.5. 某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为____▲____.6.设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为____▲____.7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是____▲____.8.设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是____▲____.俯视图左视图主视图第3题第7题9.已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=____▲____. 10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:____▲____.11.现有下列命题:①命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R ð=A ；③函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2k k Z πφπ=+∈；④若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-,则()b a b -与的夹角为 60º.其中正确命题的序号有____▲____.(写出所有你认为真命题的序号)12.设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____.13.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为____▲____.14.若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是____▲____.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分) 已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面A B C 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.OPDBA第16题第13题MCBAP17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”. (Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分) 已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； (Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.20. (本小题满分16分) 在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；第17题GFEDC BA（Ⅱ）若n S =p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M++≤的所有等差数列{}n a , 求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.江苏省江都中学2011—2012高三第一次调研考试数学附加题(总分40分,考试时间30分钟)21.[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，是ABC ∆⊙O 的内接三角形，是PA ⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若PE PA =， 6018ABC PD BD BC ∠===，，，求的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (Ⅰ)求矩阵M 的逆矩阵1M -；(Ⅱ)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程．C.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,设圆3ρ=上的点到直线()cos 2ρθθ=的距离为d ,求d 的最大值.D.（选修4—5：不等式选讲）设,,a b c 为正数且1a b c ++=，求证:222111100()()()3a b c a b c +++++≥.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD =2，∠BAD=60°. （Ⅰ）求点A 到平面PBD 的距离； （Ⅱ）求二面角A —PB —D 的余弦值.第21题(A)第22题O23. (本小题满分10分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅲ)求甲取到白球的概率．江苏省江都中学2011—2012高三第一次调研考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 513-6π 4. 345.686. 47. 78. 3[,3]49.2(14)3n±- 10. 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值2222a b a b+ 11.②③ 12.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 13.1 14.9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.解:(Ⅰ)因为co A =,∴sin A =,则tan 2A =…………………………………………(4分) ∴22tan tan 21tan AA A==-………(7分)(Ⅱ)由sin()2B π+=,得cos B =,∴1sin 3B =…………………………………………(9分) 则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………………………………(11分)由正弦定理,得sin2sinc AaC==,∴ABC∆的面积为12s i n23S ac B==(14分)16. (Ⅰ)解:因为//CD PBO平面,CD ABCD⊂平面,且ABCD PBO BO=平面平面,所以//BO CD……………………………………………………………………………………………(4分)又//BC AD,所以四边形BCDO为平行四边形,则BC DO=……………………………………(6分)而3AD BC=,故点O的位置满足2AO OD=………………………………………………………(7分)(Ⅱ)证: 因为侧面PAD⊥底面ABCD,AB ABCD⊂底面,且AB AD⊥交线, 所以AB PAD⊥平面,则AB PD⊥…………………………………………………………………(10分)又PA PD⊥,且,,PA PAB AB PAB AB PA A⊂⊂=面面,所以PD PAB⊥平面…………(13分)而PD PCD⊂平面,所以PAB PCD⊥平面平面…………………………………………………(14分)17. 解:(Ⅰ)因为t nB D aθ=,所以ABD∆的面积为21tan2aθ((0,)2πθ∈)………………………(2分)设正方形BEFG的边长为t,则由FG DGAB DB=,得tantant a ta aθθ-=,解得t a n1t a natθθ=+,则2222tan(1tan)aSθθ=+…………………………………………………………………(6分)所以222212211tantan tan22(1tan)aS a S aθθθθ=-=-+,则212(1tan)12tanSySθθ+==-………………(9分)(Ⅱ)因为t a nθ∈+∞,所以1111(t a n2)1(t a n 2t a n2t a nyθθθθ=++-=+1≥……………(13分)当且仅当tan1θ=时取等号,此时2aBE=.所以当BE长为2a时,y有最小值1…………………(15分)18. 解:(Ⅰ)设圆心C(,)a b,则222022212a bba--⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得a b =⎧⎨=⎩…………………………………(3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=………(5分)(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++…………………………(7分)=224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k--=+………………………………(13分) 同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)21B A B A BAAB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OPk 所以,直线AB 和OP 一定平行…………………………………………………………………………(15分)19. (Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅…………………………………(2分)由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤………………………………………………………(5分)(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e (7分) 又213(2)f e e-=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - …………………………………(9分) 从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <…………………………………………………………(10分)(Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e =-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分)因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解 ……(13分) ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意…………(16分)(说明:第(Ⅱ)题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数)20.（Ⅰ）解：由题意得,=,所以100S5=……………………(4分)（Ⅱ）证:令1n =,=,则p =1………………………………………………(5分)所以1nn i S ===（1）,111n n i S ++===（2）,（2）—（1）,化简得1(1)n n n a na a n +++-=≥（3）……………………………………………………………(7分)231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥ …………(9分) 在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 …………………………………………(10分)（Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++…………………(12分) 则12T kd t k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+- 222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+…………………………………………(14分)则T ≤,当且仅当2432()52t kd kd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立……………(16分)数学附加题部分21.A ．（几何证明选讲选做题）解：因为PB=PD+BD=1+8=9,2PA =PD ·BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在ADE ∆中,得AD =(5分) 又AED BEC ∆∆,所以BC =…………………………………………………………………(10分)B ．（矩阵与变换选做题）解: (Ⅰ)设b d a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则有b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, 所以12,122a b a b c d cd-=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩且,解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………………………………………(4分) 所以M=12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,从而1M -=21 31-22-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………(7分) (Ⅱ)因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且m ：24x y ''-=， 所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l 的方程 ………………………………………(10分) C ．（坐标系与参数方程选做题）解：将极坐标方程3ρ=转化为普通方程：229x y +=……………………………………………(2分)()cos 2ρθθ+=可化为2x =…………………………………………………………(5分) 在229x y +=上任取一点A ()3cos ,3sin αα,则点A 到直线的距离为06sin(30)22d α+-==,它的最大值为4 ……………………………(10分)D ．（不等式选讲选做题） 证:左=2222221111(111)[()()()]3a b c a b c +++++++21111[1()1()1()]3a b c a b c≥⨯++⨯++⨯+…(5分)2211111111[1()][1()()]33a b c a b c a b c =+++=+++++21100(19)33≥+=……………………(10分)22．解:以OA 、OB 所在直线分别x 轴，y 轴,以过O 且垂直平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则)2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(P D C B A --，(0,2,0),(0,0,2)DB AP ==…(2分)（Ⅰ）设平面PDB 的法向量为),,(1111z y x n =,,)0,2,0(),2,1,3(==由1111111102021,(200n DP y z z n y n DB ⎧⋅=++=⎪==-⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩,得.令得,(3,1,0),DA =所以11||||n DA A PDB d n ⋅=点到平面的距离=7212…………………………………………………(5分)（Ⅱ）设平面ABP 的法向量),,(2222z y x=，)0,1,3(),2,0,0(-==，2222222222001,1000x x AP n y y y AB n z ⎧=⎪⎪=⎧⎧⋅=⎪⎪⎪==⎨⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=⎪⎪⎩由,得.令得,)0,1,33(2=∴n ， 121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==-,而所求的二面角与12,n n <>互补, 所以二面角A —PB —D 的余弦值为77…………………………………………………………………(10分) 23．解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：227(1)2(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球……………………………………………………………(3分)(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，4………………………………………………………………(4分) 4342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯,所以，取球次数ξ的分布列为：………(6分)85E ξ=…………………………………………………………………………………………………(8分)(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==………………………(10分)。
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2019-2020年高三调研考试数学试题含答案注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：(每题5分，共计70分) 1、已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .2、已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 3、写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．4、一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ .08910125、如图所示的流程图，输出的n = ▲ .6、已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .7、若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 9、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ . 10、将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ．11、若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a= ▲.12、已知函数f(x)= 22,0,3,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 ▲13、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则B C B A 的值= ▲ .14、设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ . 二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程） 15、（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+，（1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值. （2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值.16、（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC, AB BC ⊥， D 为PB 中点，E 为PC 的中点， （1）求证：BC 平面ADE ；（2）求证:平面AED ⊥平面AB P .17、（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25-x 万元（国家规定大货车的报废年限为10年）． （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）18、（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.19、已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n s ； （2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++>20、已知函数(),()ln x f x e g x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ;(2)设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立.江苏省淮阴中学2015届高三调研数学试卷参考答案一、填空、(每题5分，满分70分)1、{-1,0,1,2}，2、1,3、“若3x ≠则2230x x --≠”， 4、2, 5、4,6、y =，7、6,8、6π，9、40, 10、6π， 11、-2, 12、-4∞（，），13、332， 14、53[,]22-。
二、解答题：(满分90分)15、解：（1）()sin 2sin()3f x x x x π==+………………………………（2分）当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈2()6x k k z ππ⇒=+∈时f(x)有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) 014f a π⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭………………………………………………………………(8分）1sin cos 5x x -=21(in cos )25s x x ∴-=12sin cos 25x x ∴= 2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0,)x π∈3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴tanx=43…………………………………………………（14分）16、（1）证明：////PE EC DE BC PD DB DE ADE BC ADE BC ADE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面………………………(7分）（2）PA ABC PA BC BC ABC BC ABPA AB A BC PA ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎪⎪⎭平面平面平面PAB 平面PABAB 平面PAB………………………(12分）//DE BC DE ∴⊥平面PAB ,又DE ADE ⊂平面ADE ∴⊥平面平面PAB (14分)17、解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，18、解：（1）122c e a c a ==∴=…………………………………………………（2分）22223b a c c ∴=-=设椭圆方程为：2222143x y c c+=，22131144c c c ∴+=∴=设椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………(7分）（2）设B(00,x y )，D(0，m)，则00(,)BD x m y =--，3(1,)2DA m =- 00-2,32x m y m ∴=-=-即002,33x y m =-=-代入椭圆方程得m=1(0,1)D ∴…(14分）1:12AB l y x ∴=+………………………………………………………………………(16分） 19、（1）1121,n n n n n n a a b a a a ---=∴==……………………….……….…………(2分）当a=1时1n b =，则n s n =……………………………………………………………(3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a -=-………………………………………………………….…(5分）（2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈………………………………………………………………(7分） 当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时，*121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴= 12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩………………………………………………………………(11分）（3）12,n n a a n +=+①，121,3a a =∴=11n n a a n -∴=+(2)n ≥②①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111na a a ∴+++314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++-=112n n a a a a ++--1231111n a a a a ∴++++=112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 11222n n n n a a a a n +++>=+1231111na a a a ∴++++＞3．…….(16分) 20、（1）令()1,xF x e x =--x R ∈，()'10x F x e =-=得0x =, ∴当0x >时()()'0,;F x F x >当0x <时()()'0,;F x F x <()()min 00F x F ∴==，由最小值定义得()()min 0F x F x ≥=即1xe x ≥+…………………………………（4分） （2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与xy e =图像相切于点()11,xx e ，则:l ()1111x x y e x e x =+- ②……(6分)③ 由①②得④()110011ln 1x x ex x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>- ()G x ∴在()1,+∞上.又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈ ()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证……………………………………………………（10分）(1) 由（1）知()110f x x-->即证当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解.令()1xH x e ax x =---，即证()min 0H x <………………………………………（12分） 由()'10x H x e a =--=得()ln 10x a =+>. 当()0ln 1x a <<+时，()()'0,H x H x <， 当()ln 1x a >+时，()()'0,H x H x >.()()()min ln 1H x H a ∴=+()()1ln 1ln 11a a a a =+-+-+-. 令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，()V x ∴()()10V x V ∴<=.综上得证…………………………………………………………………………………(16分)。