八年级数学下册18平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时学案新版新人教版

18.2.1 矩形(第1课时)学习目标1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.学习过程一、合作探究【问题探究一】矩形的定义阅读教材本节中的第一个“思考”前面内容,解决下列问题:1.有一个角是的叫矩形.2.你能举出一些生活中矩形的实例吗?【问题探究二】矩形的性质区别阅读教材本节中的第1个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.结合平行四边形的性质的探求过程,你认为应该从哪几个方面探求矩形的性质?2.画一个矩形,连接对角线,度量它的四个角和对角线,你有什么发现?3.你能证明你的猜想吗?归纳总结:矩形的四个角都是,矩形的对交线且.几何语言表述∵∴【问题探究三】直角三角形斜边上中线的特性.阅读教材本节中的第2个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.观察图所示的矩形,寻找图形中的相等线段,在Rt△ABC中,有哪些相等线段,你能得到什么结果?2.你能证明上述猜想吗?写出证明过程:归纳总结:直角三角形斜边上中线等于.二、自主练习【例1】已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.【例2】(补充)已知:如图,矩形ABCD,AB长8 cm,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.三、跟踪练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BO是斜边上的中线,则BO的长为.3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,BC=12,则△ABO的周长为.4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长.5.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,ED=5,EC=3,求矩形的周长及对角线的长.四、变式演练1.如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长.(2)求四边形ABCE的面积.2.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,则AE的长为多少?五、达标检测1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于F,那么S△ACF为()A.12B.15C.6D.102.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于E.若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为()A.85°B.80°C.75°D.70°3.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB的长为()A.4B.4√3C.3D.54.根据图中数据可求阴影部分的面积和为()A.12B.10C.8D.75.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E=度.6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则△AEF的周长cm.7.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M 为EF中点,则AM的最小值为.8.如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证:四边形ABEC是平行四边形;(2)连接AC,BE,若四边形ABEC是矩形,则∠AFC与∠D应满足什么数量关系?并说明理由.9.如图,长方形OABC中,O为原点,A(4,0),C(0,6),点B在第一象限点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿O-A-B-C-O的路线移动.(1)直接写出点B的坐标;(2)当点P移动了4秒时,点P的坐标是;(3)移动过程中,当点P到x轴距离为5个单位长度时,求点P移动的时间及此时点P到O点的距离.参考答案一、合作探究【问题探究一】1.直角;平行四边形2.略【问题探究二】1.内角、对角线.2.(1)矩形的四个角都是直角. (2)矩形的对角线相等.3.猜想1:矩形的四个角都是直角.求证:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形,求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°,证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,又矩形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四个角都是直角.猜想2:矩形的对角线相等.已知:如图,四边形ABCD 是矩形求证:AC=BD ,证明:在矩形ABCD 中,∵∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC ,BC=CB ,∴△ABC ≌△DCB ,∴AC=BD ,即矩形的对角线相等.结论:矩形的对角线相等.数学语言:∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD.归纳总结:矩形的四个角都是直角,矩形的对交线相等且互相平分.几何语言表述:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.AC=BD.【问题探究三】1.OA=OB=OC2.如图,在矩形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,由性质2有AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.归纳总结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二、自主学习1.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AC 与BD 相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°,∴△OAB 是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8.2.解:设AD=x cm,则对角线长(x+4) cm,在Rt △ABD 中,由勾股定理:x 2+82=(x+4)2,解得x=6.则AD=6 cm,AB=10 cm .(2)S △ABD =12AE ·DB=12AD ·AB ,解得AE=4.8 cm .三、跟踪练习1.A2.53.184.解:∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=12AC ,OB=12BD ,AC=BD ,∴OA=OB ,∵∠AOB=60°,∴△AOB 是等边三角形,∴OA=AB=4,∴AC=2OA=8.即矩形的对角线长为8.5.解:如图,连接BD.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠C=90°,AB=CD ,AD ∥BC.∵ED=5,EC=3,∴DC 2=DE 2-CE 2=25-9=16,∴DC=4,AB=4.∵AD ∥BC ,∴∠AEB=∠DAE.∵AE 平分∠BAD ,∴∠BAE=∠DAE ,∴∠BAE=∠AEB ,∴BE=AB=4,矩形的周长=2×(4+3+4)=22.由勾股定理得:BD 2=42+72,∴BD=√65.答:矩形的周长为22,对角线的长为√65.四、变式演练1.解:(1)∵四边形ABCD 为矩形,∴CD=AB=6,AD=BC=8,∠BAD=∠D=90°,在Rt △ABC 中,AC=√62+82=10,∵长方形ABCD 沿CE 折叠后,使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处,∴CF=CD=6,ED=EF ,∠EFC=∠D=90°,∴AF=10-6=4,设EF=x ,则ED=x ,AE=8-x ,在Rt △AEF 中,x 2+42=(8-x )2,解得x=3,即EF 的长为3.(2)四边形ABCE 的面积=S △ABC +S △EAC =12×6×8+12×3×10=39.2.解:在矩形ABCD 中,∠A=∠D=90°.∵CE ⊥EF ,∴∠AEF+∠DEC=90°.又∵∠AFE+∠AEF=90°,∴∠AFE=∠DEC∴EF=CE ,∴△AEF ≌△DCE (AAS).∴AE=DC.又∵矩形的周长为16,∴2(AE+DE+DC )=16,即2AE+2=8.∴AE=3.五、达标检测1.D2.C3.A4.C5.156.97.658.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵CE=DC,∴AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形;(2)解:∠AFC=2∠D.理由如下:∵四边形ABEC是矩形,∴AE=BC,FC=FE,∵AD=BC.∴AD=AE,∴∠AED=∠D,∵FC=FE.∴∠AED=∠FCE=∠D,∵∠AFC=∠AED+∠FCE.∴∠AFC=2∠D.9.解:(1)根据长方形的性质,可得AB与y轴平行,BC与x轴平行;且A(4,0),C(0,6),即AB=OC=6,BC=OA=4,故B的坐标为(4,6);(2)根据题意,P的运动速度为每秒2个单位长度,当点P移动了4秒时,则其运动了2×4=8个长度单位,此时点P在AB上,且PA=4,故P的坐标为(4,4);(3)根据题意,点P到x轴距离为5个单位长度时,有两种情况:P在AB上时,P运动了4+5=9个长度单位,此时P运动了9÷2=4.5(秒);此时点P到O的距离为√OO2+OO2=√42+52=√41个单位长度;P在OC上时,P运动了4+6+4+1=15个长度单位,此时P运动了15÷2=7.5(秒);此时点P到O的距离为5个单位长度.。