最新2019-【金版教程】2014届高考数学总复习 第8章 第6讲 双曲线课件 理 新人教A版-PPT课件
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线
A.1
√
B.17
C.1或17
D.8
解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,
所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程
| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),
若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),
将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),
得 - =1,①
2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
= - ,
+ = ,
则
解得
+ = ,
= ,
故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.
考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线
2014届高考数学一轮复习课件：第八章第6课时双曲线(新人教A版)
【方法提练】
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数
法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的 形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的值． 如果已知双曲线的渐近线方程， 求双曲线的标准方程， x 2 y2 可利用有公共渐近线的双曲线的方程为 2－ 2＝λ(λ≠0)，再由 a b 条件求出 λ 的值即可．
标准方程 渐近线 性 质 离心率
x2 y2 － ＝1(a＞0， b＞0) a2 b2
b y＝± x a __________ c (1，＋∞) e＝______，e∈____________ a
y2 x2 － ＝1(a＞0，b＞0) a2 b2 a y＝± x b
实虚轴 a，b，c 间 的关系
线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴， ____； 它的长|B1B2| ＝2b；a 叫作双曲线的半实轴长，b 叫作双曲线 的半虚轴长 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 实轴与虚轴 _____________等长的双曲线叫作等轴双曲线，其方程为x2－
2 y＝±x y2＝λ(λ≠0)，其离心率为e＝_____，渐近线方程为________.
课前热身
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( A．2 C．4 B．2 2 D．4 2 )
答案：C
2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线 方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x 2 y2 C. － ＝1 10 6 ) x 2 y2 B. － ＝1 12 4 x 2 y2 D. － ＝1 6 10
定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||
2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件
第六节 双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两 焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求 解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几 何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率 公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素 养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体 现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线
第六节双曲线这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程（一）循纲忆知1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.(二)小题査验1.判断正误(1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线(2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I，卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS©的面积等于解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10.2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l,A \PF 2\=69 IPFil=8.AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ •••Mi 丄“2, ・°・ S^PF \F2=flPF ］卜LPF2I=f X 6 X 8=24.,（二）小题查验1.判断正误2 2⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ）2 2 2（2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一必=0,即兰±》=0n m n（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ）2 2 2 2（4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）（V ）2.（北师大版教材习题改编）若双的离心率eG则加的取值范围为（°”）■巳课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效 2 23・已知F （c ，O ）是双曲线缶一話=1（°>0, 〃>0）的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆E ：x-c ）2+y 2=^c 2相切，则双曲线C 的离心率为边•解析：依题意得，圆心（c,0）到渐近线的距离等于亨c,即有方号c （注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚 半轴长)，c 2=2b 2=2(c 2—a 2)9 c 2=2a 29 夕=\2 即双曲线 C 的离心率为羽.考点一 双曲线的定义及标准方程I （基础送分型考点——自主练透）［必备知识］1.定义在平面内到两定点F” F2的距离的差的绝对值等于常数（小于IFid且大于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线.定点F i9 F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.［提醒］令平面内一点到两定点F”尸2的距离的差的绝对值为加@为常数），贝！I只有当2a<IF!F2l且加HO时，点的轨迹才是双曲线；若2“ = IFiF2l,则点的轨迹是以Fi，码为端点的两条射线；若2a>IFiF2b则点的轨迹不存在.2.标准方程中心在坐标原点，焦点在兀轴上的双曲线的标准方程为护一# =1（“>0,课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效方>0）；2 2中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为7—話=1（“>0,方>0）・［提醒］在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是X2 或X的系数.［题组练透］1. （2014•大纲卷）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F” F29点A在C上，若屮淤1=2屮2如，贝J COS ZAF2F I =C- 4 D- 3解析曲双曲线的定义知|lAFil — IAF2l|=2©又⑷Fil=214/5 •••lAFil=4a, \AF2\=2a.• 0 = - = 2，・.c = , • • \F iF 2^ = • • cos Z AF2^I =随尸2卩+IFiFf—IAF1 卩_ （加）2+（滋）2—（滋）2 _ 1 2IAF2I-IF1F2I —2X2aX4a_4,敌坯A2. （2014•天漳高考）已知双曲线初一話=1@>0, 〃>0）的一条渐近线平行于直线Z： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线Z上,则双曲线的方程为解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线丿=》与直线y =2x+10平行，所以十=2且左焦点为（一5,0）,所以a2+b2 = c2=25f解得a2=5f沪=20,故双曲线方程为?一空=1.3.已知Fi，巧为双曲线?一专=1的左、右焦点，卩(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，贝!|L4PH-IAF2I的最小值为() A.A/37+4 B. A/37-4^^37-2^5 D. 回+2书解析：由题意知，IAPI + IAF2I = IAPI + IAF1I- 2a f要求IAPI +⑷F2I的最小值，只需求IAPI + IAF1I的最小值，当A, P, Fi三点共线时，取得最小值，贝1|14卩1 + 14珂=1"11=佰，AIAPI + IAF2I = IAPI + lAFJ - 2a=佰一2质・［类题通法］1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.2.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a, b, c的关系易错易混.考点二渐近线与离心率问题I (常考常新型考点——多角探明)［必备知识］1.求双曲线离心率的值⑴直接求出“，c,求解e：已知标准方程或“，C易求时，可利用离心率公式求解;(2)变用公式，整体求出◎如利用2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二A厂2者之间可以互求.已知渐近线方程时，可得十的值，于是/=£ ==1+ 因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值,W 丿也可求出渐近线的方程，即夕=管二i.但要注意，当双曲线的焦 点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.［多角探明］a 2+b 2~?-角度一：已知离心率求渐近线方程（2014•山东离考）已知«>Z»0,2 2椭圆Ci的方程为缶+話=1,双曲线C2的方程为話一&=1, C］与C2的离心率之积为岁,则C2的渐近线方程为A. x±\[2y=0C. x+2y=0() B. \[2x±y=0D. 2x±y=0=4胪，所以a=\[ib,所以双曲线C 2的渐近线方程是丿=±正x,即 x±\[2y=Q.解析：椭圆Ci 的离心率为2-b 2,双曲线C 2的离心率为尹,所以芒=¥，所以 a 4~b 4=^a 4f 即 a 4答案：A角度二：已知渐近线求离心率2 2 2. （2014-浙江高考设直线兀一3y+/w=0OH0）与双曲线缶_話=1（«>0,方>0）的两条渐近线分别交于点A, B•若点P（m,0）满足\PA\ = \PB\,则该双曲线的离心率是_____________ •解析：联立直线方程兀一3丁+观=0与双曲线渐近线方程丿=±$可bm bm3b~a3b+a ° =—3,化简得4b 2=a 2f 所以e =\f J -得交点坐标为 am bm —am bm 9 而 kAB=j ，由 IP4I3b —a 9 3b —a)9 {3b + a" 连线的斜率为一3,即=\PB\ ,可得AB 的中点与点P 2 am —am 3b —a 3ba墨答案：乎角度三：由离心率或渐近线确定双曲线方程2 23・(2015•郑州二^已知双曲线为一器=1(。
高考新坐标高考数学总复习 第八章 第6节 双曲线名师课件
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设 m>n>0. 则 m＋n＝3b 且 m－n＝2a，
∴m＝3b＋2a，n＝3b－2a，①
2
2
又|PF1|·|PF2|＝mn＝94ab，②
将①代入②，得9b2－4a2＝9ab. 44
解之得ba＝43.则 e2＝ca22＝b2＋a2 a2＝1＋ba22＝295，故 e＝53.
又双曲线xa22－yb22＝1 的一条渐近线为 y＝2x. 所以b＝2，即 b＝2a，②
a 联立方程①②，得 a2＝5，b2＝20. 故所求双曲线方程为x2－ y2 ＝1.
5 20
[答案] (1)D (2)A
【通关锦囊】
1．(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2) 求离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e>1 这一条件．
【变式训练 2】 已知双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y2＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，
9 求双曲线的标准方程
[解]
由椭圆x2＋y2＝1，知 c＝ 16－9＝ 7， 16 9
∴焦点 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，且离心率 e′＝ 47.
【变式训练 1】 已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、 右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
[解析] 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－ PF|2F| 1F2|2＝34.
高考数学(文通用)一轮复习课件：第八章第6讲双曲线
第6讲双何曲何线教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源1.双曲线的定义2 .双曲线的标准方程和几何性质(a>0,方>0) (a>0,方>0)标准方程顶点渐近线离心率实虚轴a、b、c 的关系Ai(0, —a), A2(0, a)Ai( —a, 0), A2(a, 0)5 y=^x ace= a, eG(l, +°°)ay=±i x线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长IA!A2I= 2«；线段B02叫做双曲线的虚轴，它的长血血= 2b； a叫做双曲线的半实轴长，方叫做双曲线的半虚轴长2= 0+沪(c>00, c>方>0)1.辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a<IFxFzl这一条件.若2a = IF1F2I，则轨迹是以Fi，屁为端点的两条射线，若2« > IF I F2I,则轨迹不存在.在椭a2=b2+c29而在双曲线中c2=a2+b2.⑶双曲线的离心率e^(l, +8),而椭圆的离心率⑵区分双曲线中a, b,C a，b,1).2.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的偽b, c,即可求得方程.(2)待定系数法①与双曲线2—台=1共渐近线的可设为茶-台=竝工0)；a b a b2 2②若渐近线方程为丿=盘，则可设为％—台=2(2工0)；a a b③若过两个已知点，则可设^/―+—= l(mn< 0). m n3.双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；⑶“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形•双基自测r21. (2016-昆明质检)若双曲线务一/=1的一个焦点为(2, 0), 则它的离心率为(C )A裁A・5C・羊 D. 2解析：由焦点为(2, 0)知，c=2,所以«2+1 = 22,所以a =3, a=\[3f 所以离心率.故选C"书3c 5解析：因为PR,恥，0）,所以c=5,所以“=4,沪= —2=9,所以双曲线c 的标准方程为話-討1.2. （2015•高考广东卷）已知双曲线G 2 2"2—~2 = 1的离心率 a b「4,且其右焦点为F 2（5, 0）,则双曲线C 的方程为（C ）1 1一一 -2J-162J- 4- -2X - 9 2X - 3 B D3. （20X6-南昌模拟）若双曲线C：2 2寺-沪@>0, 〃>0）的-条渐近线的倾斜角为夕，则双曲线C的离心率为（OA. 2或书C. 2D. 2解析：由题意知双曲线C：=1的渐近线方程为尸#小所以知咗=¥，所以a=\fib, 0=甘/ +方2 = 2小故双曲线C的离心率c 2b 2\/3 。
高三一轮总复习文科数学课件8-6双曲线
求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线 方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
28
【解析】 (1)如图，内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA，MB，MC，切点 分别为 A，B，C，由三角形的内切圆的性质有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|， ∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c， 则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
又双曲线的一个焦点为( 5，0)，所以 a2＋b2＝5.② 由①②得 a＝1，b＝2.
答案：1 2
18
3
考点疑难突破
19
求双曲线的标准方程
[题 组 训 练]
1．(2016 年天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的
一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( )
31
[自 主 演 练]
1．已知双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|
＝43|PF2|，则△F1PF2 的面积为(
)
A．48
B．24
C．12
D．6
32
解析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1| ＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，
2014届高考数学(理)总复习：第八章 第6讲 双曲线
双曲线的定义及标准方程
[例 1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线 C：ax22－by22＝1
的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为
()
A.2x02 －y52＝1 C.8x02 －2y02 ＝1
B.x52－2y02 ＝1 D.2x02 －8y02 ＝1
(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数 形结合思想的应用．
2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线xa22－y52＝1的右焦点为
(3,0)，则该双曲线的离心率等于
()
3 14 A. 14
32 B. 4
3
4
C.2
D.3
解析：由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该
双曲线的离心率e＝ac＝32. 答案：C
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|
性 实虚轴 ＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
质
长|B1B2|＝ 2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，_b_
叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
2b2 a
a、b、c的 关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足 |MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k， 该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支，
∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝ac＝54，|k|＝43.
由y－＝xc－＋babyx＝，1，
【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件：第8章 第6讲
第八章 第6讲
第9页
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(4)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于4 的点的轨迹；( )
(5)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于6的点的轨 迹；( )
第八章 第6讲
第12页
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(1)Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的双曲线的条件是什么？ (2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴 长与虚轴长有何关系？
第八章 第6讲
第13页
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1. 双曲线 焦点 焦距 a<c a＝c 射线 a>c
判一判：(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否
2．a
－a
a ±bx
(1，＋∞)
a2＋b2
bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±abx.
第八章 第6讲
第6页
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第八章 第6讲
第7页
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1. 双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做________．这 两 个 定 点 叫 双 曲 线 的 ________ ， 两 焦 点 间 的 距 离 叫 做 ________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为 常数且a>0，c>0； (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P点的轨迹是两条________； (3)当________时，P点不存在．
2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六节 双曲线课件 理.pptx
点的轨迹是双曲线．
()
(2)方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． (
)
(3)双曲线方程
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是
mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.
()
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )
(5)若双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)与bx22－ay22＝1(a＞0，b＞0)的
一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 ( )
A.x42－y2＝1
B．x2－y42＝1
C.32x02－35y2＝1
D.35x2－32y02＝1
解析：由焦距为2 5 ，得c＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直
线2x＋y＝0垂直，所以
b a
＝
1 2
.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为x42－y2＝1. 答案：A
第六 节
双曲线
1
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
2
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
3
过基 础知 识
4
1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为 常数且 a>0，c>0.
高考数学大一轮复习 第八章 第6节 双曲线课件
【答案】 A
6．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)的离
心率为 2，则 a＝( )
A．2
B.
6 2
5 C. 2
D．1
【答案】 D
考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右
焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
【尝试解答】 椭圆 D 的两个焦点为 F1(－5,0)，F2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c＝5.
设双曲线 G 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25. 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r＝3， ∴ b|52＋a| a2＝3，得 a＝3，b＝4. ∴双曲线 G 的方程为x92－1y62 ＝1.
【答案】 C
3．设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲
线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1
B．17
C．1 或 17
艺术生高考数学总复习第八章平面解析几何第6节双曲线课件
法 2：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2，∴点(4， 3)在渐近 线 y＝12x 的下方，在 y＝－12x 的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在 x 轴上，故可设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，
b>0)．由已知条件可得a1ba＝ 62 －12b，32＝1，
解得ab22＝＝41，，
D．8
解析：B [由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以 P 点在双曲线的 左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]
2．[教材改编] (2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，
b＞0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错
误的打“×”．
(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点
的轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．(
)
(3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，
(1)当 2a<|F1F2| 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2| 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线课件理
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第十七页，共七十四页。
经典(jīngdiǎn)题型冲关
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第十八页，共七十四页。
题型 1 双曲线的定义及应用
典例1
(2017·湖北武汉调研)若双曲线x42－1y22 ＝1 的
第二十九页，共七十四页。
[条件探究 1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的 圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．
解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交 点为(3,4)，所以 c＝5，ba＝43.又 c2＝a2＋b2，所以 a＝3，b＝ 4，所以此双曲线的方程为x92－1y62 ＝1.
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8．6 双曲线
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基础知识过关(guò〃guān)
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[知识梳理] 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的 绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做 双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距 离叫做双曲线的 焦距．
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方法技巧
双曲线标准方程的求解方法
1．定义法．
2．待定系数法．
提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键
是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第六节+双曲线
，
[解析] 根据题意，设所求双曲线的方程为 ，由双曲线 经过点 ，得 ，即 ，所以双曲线的方程为 ，其标准方程为 ，顶点坐标为 ， .
√
2. （2022山东淄博模拟）双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 由题意得 , ，故 ， ，故选D.
3. 易错题 若点 为双曲线 上的一点， , 为双曲线的焦点，且 ，则 _______.
4或16
[解析] 双曲线 中 ， ， 在双曲线上，∴由双曲线的定义可得 ， 或16.
[解析] 以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，其垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系（图略），设双曲线的方程为 ，由题意知 ，点 ， 在双曲线上，所以 解得 所以 ，所以 .
方法感悟双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是不是双曲线;二是在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,结合 ,建立与 的联系.
3. 平面内到点 和 的距离之差等于6的点的轨迹是________________________.
双曲线 的右支
4. （2022湖北武汉二模）如图，发电厂的冷却塔外形可以抽象成双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为 米，则该双曲线的离心率为____.
标准方程
性质
范围
对称性
对称轴：___________，对称中心：______
顶点
轴、 轴
原点
续表
标准方程
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(1)与双曲线x42－y32＝1 有共同的渐近线，且过点(2，2 3)；
(2)与双曲线1x62 －y92＝1 有公共焦点，且过点(－3 2，4)．
解析
：
(1)
设
所
求双
曲
线
方程
为
1. 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线 定义，确定 2a、2b 或 2c，从而求出 a2、b2，写出双曲线方 程．
2. 待定系数法：先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，设出
标准方程，再由条件确定 a2、b2 的值，即“先定型，再定量”；
如
果
焦
点
位
置
不
好
确
定
，
可
将
双
曲
线
方
程
设
1．解决双曲线上的点与焦点距离及有关的问题，常用双曲线 的定义． 2．求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程 是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后 再根据a、b、c、e及渐近线之间的关系，求出a、b的值．
[变式探究] [2013·浙江宁波]根据下列条件，求双曲线
的标准方程：
(1)已知双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一条渐近线的方程为 y ＝2x，则 b＝________.
(2)若双曲线 mx2＋y2＝1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于________.
1. 双曲线 焦点 焦距 a<c a＝c 射线 a>c
判一判：(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否
B. x52－2y02 ＝1
C. 8x02 －2y02 ＝1
D. 2x02 －8y02 ＝1
(2)[2012·大纲版全国卷]已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2 ＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2 ＝( )
1
3A. 4ຫໍສະໝຸດ B. 534
C. 4
bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±abx.
课前自主导学
1. 双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做________．这 两 个 定 点 叫 双 曲 线 的 ________ ， 两 焦 点 间 的 距 离 叫 做 ________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为 常数且a>0，c>0； (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P点的轨迹是两条________； (3)当________时，P点不存在．
实虚轴 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做
双曲线的虚半轴长
a、b、c的 关系
c2＝________(c>a>0，c>b>0)
(1)Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的双曲线的条件是什么？ (2)若双曲线的两条渐近线的夹角是90°，则双曲线的实轴 长与虚轴长有何关系？
图形
性 范围 x≥____或 x≤____，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a
质 对称性
对称轴：坐标轴对称中点：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 性 离心率
y＝±bax
y＝________
e＝ac，e∈________，其中 c＝ a2＋b2
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
2．a
－a
a ±bx
(1，＋∞)
a2＋b2
想一想：(1)提示：A<0，B>0.
(2)提示：相等．
填一填：(1)2 (2)－14
核心要点研究
例 1 (1)[2012·湖南高考]已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦
距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( )
A. 2x02 －y52＝1
为
x2 m2
－
y2 n2
＝
λ(λ≠0)，再根据条件求 λ 的值．
3 点必须注意
1. 区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系，
在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
2. 求双曲线的离心率 e 时，只要求出 a、b、c 的一个齐次方 程，再结合 c2＝a2＋b2，就可求得 e(e>1)，而椭圆的离心率 e ∈(0,1)． 3. 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±bax，ay22－
第6讲 双曲线
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简 单几何性质．
2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3. 理解数形结合的思想.
1 条重要规律
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条 渐近线互相垂直(位置关系)． 2 种必会方法
(4)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于4 的点的轨迹；( )
(5)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于6的点的轨 迹；( )
(6)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于6 的点的轨迹．( )
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或 “否”)
(1)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于2的点的轨 迹；( )
(2)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差的绝对值等于3 的点的轨迹；( )
(3)平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之差等于4的点的轨 迹；( )
D. 5
[解析] (1)由焦距为 10，知 2c＝10，c＝5. 将 P(2,1)代入 y＝bax 得 a＝2b. a2＋b2＝c2,5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20. 所以方程为2x02 －y52＝1.
(2)由 x2－y2＝2，得 a＝b＝ 2，c＝2. ∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，|F1F2|＝2c＝4. 由余弦定理，得 cos∠F1PF2 ＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝34. [答案] (1)A (2)C