1.1 归纳与类比 课件(北师大选修2-2)

[例2]
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱
数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
[思路点拨]
先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，
观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．
[精解详析] 正方体：F＝6，V＝8，E＝12；
三棱柱：F＝5，V＝6，E＝9； 五棱柱：F＝7，V＝10，E＝15； 四棱锥：F＝5，V＝5，E＝8；
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有 点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是 空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆 球
圆心与弦(非直径)中点的连 球心与截面(不经过球心的小 线垂直于弦 圆面)圆心的连线垂直于截面
[一点通]
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代
数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律；
(3)运用归纳推理写出一般结论．
1．(2012· 陕西高考)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为___________________．
[例3]
找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质
类比球的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C＝πd(d是直径)； (4)圆的面积S＝πr2.
[思路点拨]
先找出相似的性质再类比，一般是点类
比线、线类比面、面类比体． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：
1 1 1 1 1 11 答案：1＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2< 2 3 4 5 6 6
2．下列各组数都依照一定的规律排列，在括号内填上适当 的数： (1)1,5,9,13,17，( )； )．
2 1 1 3 (2) ，1,1 ，2 ，3 ，( 3 2 4 8
解析： (1)考察相邻两数的差： 5数之差都是 4，按此规律，括号里的 数减去 17 等于 4，所以括号内应填 17＋4＝21. 2 3 9 27 2 (2)先把给出的各数改写为 ，1， ， ， ，可以发现 1÷ ＝ 3 2 4 8 3 3 3 3 9 3 3 27 9 3 3 ， ÷ 1＝ ， ÷ ＝ ， ÷ ＝ .后一个数是前一个数的 倍， 2 2 2 4 2 2 8 4 2 2 27 3 81 1 因此括号内应填 × ＝ ＝5 . 8 2 16 16 1 答案：(1)21 5 16
n 2 －1，不等式右边为 ，由此可得一般性结论． 2
[精解详析]
1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24
－1，……猜想不等式左边最后一项的分母为 2n－1，而不等 1 2 3 4 n 式右端依次分别为： ， ， ， ，…， . 2 2 2 2 2 1 1 1 n 归纳得一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n > (n∈N＋)． 2 3 2 －1 2
特征
类似的其他 其他特征，推断另一类对象也具有 特征 ，把这种推理过程称为类比推
类比推理是 两类事物特征 之间的推理.
理.
1. 合情推理的含义 合情推理是根据 实验和实践的结果 、个人的经验和 直觉 、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)， 推测出某些结果的推理方式． 归纳推理 和 类比推理 是最常见的合情推理．
10．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.
等式
不等式
① ② ③
a＝b⇒a＋c＝b＋c a＝b⇒ac＝bc a＝b⇒a2＝b2
答案：①a>b⇒a＋c>b＋c ②a>b⇒ac>bc(c>0)
③a>b>0⇒a2>b2.(说明：“>”也可改为“<”)
7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可
以得到
A．空间中平行于同一直线的两直线平行 B．空间中平行于同一平面的两直线平行 C．空间中平行于同一直线的两平面平行 D．空间中平行于同一平面的两平面平行
(
)
解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面
类比． 答案：D
8．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式： 底×高 S＝ ，可推知扇形面积公式 S 扇＝ 2 r2 A. 2 lr C. 2 l2 B. 2 D．不可类比 ( )
an 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n＝1,2,3，…)． 1＋2an (1)求 a2，a3，a4； (2)归纳猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)当 n＝1 时，a1＝1， an 1 由 an＋1＝ (n∈N＋)，得 a2＝ ， 3 1＋2an a2 1 a3 1 a3＝ ＝ ，a4＝ ＝ . 1＋2a2 5 1＋2a3 7 1 1 1 1 (2)由 a1＝1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ， 1 3 5 7 1 可归纳猜想 an＝ (n∈N＋). 2n－1
归纳推理
定义
根据一类事物中 部分事物 个事物
特征
归纳推理是
具有某种属性，推断该类事物中 每一 由 部分到整体 都有这种属性，将
个别到一般 ，由
的推理.
这种推理方式称为归纳推理.
问题1：试写出三角形的两个性质．
提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； 1 (2)三角形的面积等于高与底乘积的 . 2
表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。
2.类比推理的特点 （1）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象； （2）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性 质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越
可靠；
（3）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结 论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类 比推理不能作为数学证明的工具.
[例4]
类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的
运算性质．
[精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向
量相加后，结果仍是向量； (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运
与圆心距离相等的两条弦长 与球心距离相等的两个截面的
相等 圆的周长C＝πd 圆的面积S＝πr2 面积相等 球的表面积S＝πd2 球的体积V＝
4 πr3 3
[一点通]
解决此类问题，从几何元素的数目、位置关
系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几 何中，相关类比点如下： 平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 平行四边形 圆 立体图形 点、线 直线、平面 棱长、面积 体积 四面体 面面角 平行六面体 球
2.演绎推理的含义 演绎推理是根据 已知的事实 和 正确的结论 ，按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
1.归纳推理的特点
（1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论 是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳 推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代
系． (2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生 一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数
等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)．
试求第七个三角形数是
(
)
A．27
C．29
B．28
D．30
解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：B
5．将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：
根据以上规律判定，从2 010到2 012的箭头方向是(
)
解析：本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头
每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化.2 012恰 好是4的倍数，2 010应该与2的起始位置相同． 答案：C
6．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)＝____________；当n>4时， f(n)＝______________.(用含n的数学表达式表示)
解析：扇形的弧长类比于三角形的底，扇形的半径类比于 l×r 三角形的高．所以 S 扇形＝ . 2
答案：C
9．如图所示，在△ABC中，射影定理可表
示为a＝b· C＋c· B，其中a，b，c分 cos cos
别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面 体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P—ABC中， S1，S2，S3，S分别表示△PAB， △PBC，△PCA，△ABC的面积， α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所 成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应 为S＝S1· α＋S2· β＋S3· γ. cos cos cos
[例 1]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知：1> ；1＋ ＋ >1；1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 2 3 2 3 4 5 6 7
3 1 1 1 > ；1＋ ＋ ＋…＋ >2；…… 2 2 3 15 根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨]
n
观察不等式左边最后一项的分母特点为
问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性 质吗？试写出来．
提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； 1 (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 3