高二上学期期中练习题(一)
山东省聊城市2024-2025学年高二上学期11月期中化学试题(含答案)
2024~2025学年度第一学期期中教学质量检测高二化学试题2024.11本试卷分第I 卷和第II 卷，全卷满分100分，考试时间为90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡（纸）指定位置上。
2.答第I 卷选择题时，将每小题答案选出后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第II 卷题目的答案用黑色签字笔，将答案写在答题卡（纸）规定的位置上。
写在试卷上无效。
可能用到的相对原子质量：H_1、 N_14、 O_16、 S_32一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列食品添加剂的使用中，与反应速率有关的是A.炒菜时加味精B.卤水点豆腐C.水果罐头中加入维生素D.食盐中加碘酸钾2.下列实验操作对应的装置正确的是测量中和反应反应热测定某溶液的调控滴定速度通过注射器活塞右移，验证与反应放热ABCD3.下列关于合成氨的说法正确的是A.适当延长反应时间，可以提高合成氨气的平衡产率B.升温会导致原料的平衡转化率降低C.压强越大，合成氨的综合效益越好D.铁触媒能减小该反应的焓变4.关于下列的判断正确的是A. B.C pHNa 2H O ΔH ()()()2OH aq H aq H O l -++=1ΔH ()()()()332OH aq CH COOH aq CH COO aq H O l --+=+2ΔH ()()()233CO aq H aq HCO aq -+-+=3ΔH ()()()()322HCO aq H aq H O l CO g -++=+4ΔH 12ΔH ΔH <34ΔH ΔH >C. D. 5.反应（I 为中间产物）的反应历程（＿＿为无催化剂，﹍﹍为有催化剂）如图所示，下列说法错误的是A.该反应为非基元反应B.加入催化剂，对决速步反应的活化能无影响C.提高反应温度，减小D.其他条件一定时，增大压强，反应达到平衡所需时间缩短6.恒温条件，在的密闭容器中发生反应，随时间的变化如图中曲线甲所示。
高二上学期期中考试试卷
第一学期期中练习高二化学考 生 须 知 1．本卷共8页，包括 19小题，满分为100分。
练习时间90分钟。
2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．本试卷中可能用到的相对原子质量有H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ni 59第I 卷 选择题（共42分。
每道试题仅有1个正确答案）1．下列过程或装置能实现电能转化为化学能的是A ．电动汽车充电B ．火力发电C ．燃料燃烧D ．火星车太阳能帆板2．一定温度和压强下，2 mol H 2和1 mol O 2分别以点燃和形成氢氧燃料电池这两种方式发生化学反应，生成2 mol 液态水。
下列说法正确的是A ．放出的热量相等B ． 体系内能变化相等C ．反应速率相等D ． 反应的活化能相等3．下列实验装置或操作，能达到实验目的的是选项A B C D 装置或操作目的 电解法制金属钠 测定中和反应的反应热 防止铁片被腐蚀 测定锌与稀硫酸反应速率4．下列事实不能．．用平衡移动原理解释的是 A ．铁质器件附有铜质配件，久置，在接触处铁易生锈B ．在NO 2和N 2O 4组成的体系中，恒温缩小容积，气体颜色先变深后变浅C ．向FeCl 3溶液中滴加几滴KSCN 溶液，溶液呈红色，再加入少量铁粉，溶液红色变浅D．工业上用熔融的KCl和金属钠发生置换反应，可以分离出钾蒸气5．已知下列热化学方程式，所得结论正确的是A．N2(g)+3H2(g)2NH3(g) ∆H=－92.4kJ∙mol-1则一定条件下将2 mol N2和6mol H2置于一密闭容器中充分反应，放出的热量为184.8 kJ B．C(石墨，s)C(金刚石，s) ∆H>0 则金刚石比石墨稳定C．H+(aq)+OH－(aq)H2O(l) ∆H=－57.3 kJ∙mol-1则将含1mol CH3COOH的溶液与含1mol NH3·H2O的溶液混合，放出的热量为57.3 kJ D．S(s)+O2(g)SO2(g) ∆H1；S(g)+O2(g)SO2(g) ∆H2；则∆H2 <∆H16．下图为电镀实验装置，下列有关叙述不正确．．．的是A．电镀时，待镀铁制品应与直流电源负极相连B．通电后，溶液中的SO42-移向阳极C．镀铜时，理论上阳极和阴极质量变化在数值上相等D．待镀铁制品增重2.56 g，电路中通过的电子为0.04 mol7．碱性锌锰电池是普通锌锰电池的升级换代产品，图1、图2分别为碱性锌锰电池和普通锌锰电池的构造图。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试语文试题(含答案)
苏州市2023～2024学年第一学期高二期中试卷语文2023.11注意事项：本卷共150分，答题时间150分钟。
请将所有答案填涂或书写在答题卡相应的答题区域。
写在本卷上无效。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
从赣南、湘西、四川嘉陵江、河南何家冲出发的4支红色大军，最终汇聚在西北黄土高原。
他们的远征，从此有了一个让中华民族为之骄傲的名字：长征。
虽然，这支队伍当时还十分弱小，而病榻上的鲁迅却坚信，这些九死一生的红色种子，就是“民族的脊梁”。
作为一部无与伦比的伟大史诗——长征，给予我们的，是一种怎样的启示？（一）一条长征路，是一条鲜血浸透的红飘带。
包括红一、二、四方面军和红25军在内的4支大军，出发时总人数为20.6万，到长征结束仅剩5.7万人，有16.6万名红军将士战死或失散在途中。
张震将军回忆湘江之战时说，仅他们一个团，就顶住了敌人一个师又一个团的兵力。
鲜血，染红了湘江，染红了一座又一座山头。
突破包括湘江在内的四道封锁线后，在不到50天时间内，出发时8.6万人的中央红军，锐减到3万人。
“再大的牺牲，也不能阻止我们前进！”从赣南一直征战到陕北的老红军唐进新回忆说，每一战都有大批战友倒下，“但活下来的人毫不退缩，因为我们有红色的理想。
”这红色理想，就是建立人民当家做主的政权，就是北上抗日实现民族独立。
共产党人创建的红色政权，点燃了像唐进新一样的劳苦大众心中的理想之火，也激发了他们一往无前的英雄气概。
雪山草地，是许多老红军难以忘怀的地方。
多少从枪林弹雨中闯过来的勇敢生命，倒在了川西水草地上。
老红军李中权回忆说：“饿得摇摇晃晃，连抬腿的力气都没有。
可一旦爬起来，就向前走，向着党中央的方向走！”崇高的理想和坚定的信念，使红军战士的生命意志和能量空前迸发：粉碎了3倍、5倍乃至10倍于己的强敌的围追堵截……他们身后，留下的是惊人的数字：红一方面军翻越山脉18座，5座经年被积雪覆盖，跨过大河24条，历经11个省份行程二万五千里……（二）一条湍急的河流横亘在红军北上的道路上。
黄冈市2022-2023学年高二上学期期中考试语文试题(解析版)
黄冈市2022-2023学年高二上学期期中考试语文试题一、现代文本阅读（35分）（一）现代文本阅读Ⅰ（本题共1小题，17分）阅读下面的文字，完成各题。
文本一曹丕提出了“文气说”，并且用这种观点来评论作家，指出他们气质、才性和作品风格上的主要特征。
他在《典论•论文》中论“应玚和而不壮。
刘桢壮而不密”；又说“孔融体气高妙，有过人者”“徐干时有齐气”。
在《与吴质书》中评价刘桢“公干有逸气，但未道耳”。
这些评论都是比较确当公允的。
清人刘熙载在他的《艺概》中盛称“孔北海[注]文，虽体属骈丽，然卓荦道亮，令人想见其为人”。
又称徐干之文“非但其理不驳，其气亦雍容静穆，非有养不能至焉”。
这里“体气高妙”与“卓荤道亮”，显然都是赞他的文风气格奇高；而“雍容静穆”也自然是纡徐舒缓的“齐气”了。
应该说，曹丕“文气说”中，对作者个性、作品风格的差异的探讨是极有意义的。
曹丕的“文气说”，对后代文学批评影响极深远，文气之说从他一直到清代，都是我国文学批评上的一种重要理论。
刘熙载指出：“自《典论•论文》以及韩、柳，俱重一‘气’字。
”其实不唯韩、柳、刘勰，宋之欧、苏诸公直至清之桐城派，都很看重这个“气”字，就是刘熙载自己，在《艺概》中，不拘论诗文，论词曲，论赋，就连论书法也常常强调“气”。
他在论文时说：“文贵备四时之气，然气之纯驳厚薄，尤须审辨。
”他在论诗时主张“学太白诗，当学其体气高妙”。
他又这样论赋：“邹（阳）枚（乘）雄奇之气，相如亦当避谢。
”“邹阳狱中上书，气盛语壮。
”当然他所说的“气”，有的是指文章的气势，不完全同于曹丕的“文气说”，但这也足见“文气说”对后世文学批评的影响何等巨大。
虽然曹丕注意到了作家作品的风格独特性，但他过分强调了作家的气质才性，而没有看到社会实践和艺术修养对作品风格的影响。
就是对作家的气质才性，他也把它看成是不可变更的，是“不可力强而致”的。
人的气质不等于个性，气质只能使人的个性带有一定色彩，个性是个人的气质、性格、兴趣、能力等方面心理特征的统一体。
丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二语文试题及答案
丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二语文考试时间：150分钟2024．11一、本大题共5小题，共17分。
阅读下面材料，完成1—5题。
材料一中国高铁的快速发展，改变着中国的方方面面。
现在，乘坐京沪高铁从北京南出发至河北廊坊，最快只要21分钟，廊坊经济技术开发区目前已吸引来自30多个国家和地区的1500家企业入驻，总投资超过700亿元。
高铁的建设和开通促进了产业结构优化升级，使铁路发展转变为现实生产力，为民生改善创造了条件。
高铁投资规模大，产业链长，可以有效增加钢材、水泥及其他建材的需求，对扩大就业、提高中低收入者收入水平、促进消费增长具有重要作用。
按照铁路与相关产业投资1:10比例计算，其对相关产业拉动效益在10亿元以上，有效带动了基础制造业发展。
据不完全统计，我国新一代高速动车组零部件生产设计核心层企业近100家、紧密层企业500余家，覆盖20多个省市，形成了一个庞大的高新技术研发制造产业链。
以CRH380动车组为例，其零部件数量超过4万个，涉及机械、电力、信息等大量上下游产业，一批关键设备制造企业在产业链中迅速成长。
不仅如此，高铁开通释放了既有线的运能，使全社会物流成本得以降低。
我国已开通运营的高铁可为货物运输腾出2.3亿吨的年运力，有效缓解了货运能力紧张的状况，全社会人流、物流周转明显加快，成本降低。
京津城际铁路通车后，从北京至天津仅需30分钟。
京沪高铁开通后，北京至上海最快不到5小时，实现了“朝发夕归”。
这种“同城效应”在沪宁、杭甬、广珠、沪杭等高铁沿线相继形成。
京广高铁通车后，北京至广州2298公里的距离只要8小时便可到达，环渤海、中原、长株潭和珠三角城市群连为一体，进入了跨区域间的“同城化”时代。
现在，上海到南京只需1个多小时。
在上海上班、南京安家成为一部分人的选择。
昆山市位于江苏省东南部，京沪高铁使它与上海这座大都市的时间距离缩短到18分钟。
高铁带来的全新速度，让原本并不遥远的两座城市变成了一个“社区”，昆山成为上海的后花园，越来越多的上海人在昆山居住。
1.高二上学期期中生物试题(原卷版)
B.上述体温调节过程只有神经调节
C.传出神经末梢与甲、乙、丙共同构成反射弧的效应器
D.如果丙表示相关骨骼肌的活动，则通过战栗增加无氧呼吸的强度
16.宫颈癌是由人乳头瘤病毒（HPV）引起的发病率较高的癌症之一。九价HPV疫苗（只能预防9种高危型HPV病毒的宫颈癌疫苗）对年龄16至26岁人群效果最佳，半年内完成3剂次接种后体内初期抗体平均值是自然感染的100倍。下列叙述错误的是（）
①传入神经②传出神经③感受器④神经中枢⑤效应器
A.②④B.①④C.①②D.②⑤
30.共享单车一度成为街头巷尾的一道靓丽风景线。下列关于共享单车骑行过程中的相关叙述，正确的是（）
A.骑行过程中，维持身体平衡的神经中枢在脊髓
B.骑行过程中，维持呼吸作用的神经中枢在小脑
C.骑行过程中，维持躯体运动的神经中枢在脑干
A.HPV能诱导入体某些细胞的基因发生突变
B.九价HPV疫苗具有与9种HPV相似的抗原结构
C.通过3次注射可获得大量的抗体和记忆细胞
D.接种成功的人群对所有HPV能终身免疫
17.艾滋病（AIDS）是由于感染HIV引起 一类传染病，人体感染HIV后体内HIV浓度和辅助性T淋巴细胞数量随时间变化如下图所示。下列相关说法中正确的是（）
A.下丘脑具有内分泌功能，能调节产热和散热，维持体温的相对恒定
B.科学家进入南极后，身体的适应性变化是：机体耗氧量降低、皮肤血管收缩、下丘脑兴奋性增强
C.人寒冷时打寒颤，这一反射的效应器为骨骼肌，而神经中枢应包括大脑皮层、下丘脑和垂体
D.剧烈运动引起的大量出汗会导致失水过多，从而抑制垂体抗利尿激素的分泌
（2）从图乙中可以看出，当再次感染相同的病原体后，产生抗体既快又多，这主要与记忆细胞有关，初次免疫时记忆细胞由图甲中的_______(填字母)增殖分化而来，二次免疫时记忆细胞由图甲中的_______(填字母)增殖分化而来。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试语文试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高二语文 2024.11一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：卡夫卡的文学可以称为“弱”的文学。
他的作品的主人公几乎无一例外是弱者，逆来顺受，对于异化的现实毫无反抗能力。
而另外的一些作品可以称为“强”的文学，描写强者，他们反抗着，尽管他们的反抗包含着绝望。
这方面最具有代表性的作家是美国的欧内斯特·海明威。
他是现代荒原上的一名绝望而坚强的角斗士。
世界上还没有第二个作家用角斗、拳击、打球的习惯用语来谈论写作:“我开始写作时并没有大叫大嚷,可是我超过了屠格涅夫先生。
接着我严格训练自己，又超过了莫泊桑先生。
我和司汤达先生打了两回平局，我自己觉得在第二回里还是我占了上风。
可是谁也没法拖我到拳击场上去和托尔斯泰先生比个高低，除非是我疯了，或是我的水平还在不断提高。
”海明威喜爱看拳击、看角斗、打猎、钓鱼、喝酒,而他主要的拳击对象是语言。
然而海明威不仅是写字台旁的角斗士,他也是20世纪欧洲舞台上的一个出色的人生角斗士。
面对世界的荒诞与邪恶，他不像卡夫卡那样一味做出顺应性反应，也不似萨特早期作品那样厌恶生活。
他发现世界是由暴力与邪恶统治着，但却勇敢地生活。
绅士淑女们很难喜爱海明威的作品，这不仅因为他的文体——几乎斩伐了所有美丽动人的形容词，使语言简明得像不长树叶的枯枝，而且因为他描绘的世界过于冷酷，使神经不够坚强的人难以卒读。
好莱坞在制作根据海明威作品改编的影片时，总要加入大量的柔情蜜意，就像中国观众看到的《乞力马扎罗的雪》，哈里的爱情几乎成了主题，而小说中却只有十几个字；小说中象征死亡的豹尸、秃鹫、鬣狗都没有去着意表现；在小说结尾处已经停止呼吸的哈里，在电影里却睁着一双炯炯放光的眼睛坐了起来。
电影界公认，海明威的小说形式最接近电影，然而根据海明威作品改编的电影却离海明威甚远。
从电影上了解海明威是容易受骗的。
天津市第一中学2024_2025学年高二英语上学期期中试题
天津市第一中学2024-2025学年高二英语上学期期中试题本试卷分为第I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。
第I 卷 1 至 5 页，第 II 卷 6 页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺当!I 卷 (满分 70 分)I.听力理解（共 20 小题，每小题 0.5 分，满分 10 分）第一节听下面 5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的 A,B,C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
每段对话仅读一遍。
1.What will the man go to London to do?A. Attend a meeting.B. Go sightseeing.C. Visit someone.2.What’s wrong with the man’s alarm clock?A. It doesn’t work well.B. It tells wrong time.C. It rings all the time.3.What’s the man’s nationality?A. Canadian.B. British.C. American.4.What’s the weather going to be like tomorrow?A. Cloudy.B. Rainy.C. Sunny.5.What is the man going to do first after school today?A. Play basketball.B. Study at the library.C. Go home.其次节听下面 5 段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的 A,B,C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
每段对话或独白读两遍。
听第 6 段材料，回答第 6~7 题。
6.What can we know about Peter?A.He has just got married.B.He met his girlfriend unexpectedly.C.He has returned home from abroad.7.What will the man go to Pairs for?A. Business.B. Sightseeing.C. Honeymoon. 听第 7 段材料，回答第 8~10 题。
山东省青岛地区2023-2024学年高二上学期期中考试语文试题(含答案)
2023-2024学年度第一学期期中学业水平检测高二语文2023.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填涂在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：近几年，短视频作为媒体融合的一种表达形式，成为手机网民中绝对的“宠爱”。
从《中国互联网络发展状况统计报告》中用户规模和网民使用率两项指标看，短视频早在2018年就已成为互联网发展的“黑马”，超过了网络购物、网络视频、网络音乐和网络游戏。
这个结果远远超出了专业机构对短视频行业发展前景的预期。
艾媒咨询发布的两份关于中国短视频行业专题调查分析报告中，对2018年中国短视频用户规模的预判分别为3.53亿和5.01亿。
实际上，根据《中国互联网络发展状况统计报告》，当年短视频用户规模已达6.48亿。
短视频为何发展如此迅猛？对此，复旦大学传播与国家治理研究中心主任李良荣在一次主题演讲中表示：短视频是依托移动互联网的发展而产生和壮大的，由于短视频只有几十秒或者三五分钟，非常符合当前碎片化阅读场景；其次，短视频主题鲜明，叙事结构紧凑，在一个视频中就能将一件事情的前因后果交代清楚，十分符合当前受众高效获取信息的习惯；再次，短视频直接而又直观的表达方式能让“90后”“95后”感觉到这就是他们的生活，符合他们在手机、动漫等包围的成长环境中使用媒介的习惯。
“这一轮短视频风口颠覆了我们以往的内容逻辑。
我们可能看到，短视频平台上有不够专业的东西，但是另一方面，这些东西是人民群众想知道的、想看到的。
”中国人民大学新闻学院宋建武教授曾这样表示。
他认为：“短视频的出现，让媒体传播手段、信息交互方式等都发生了本质性变化，主流媒体不把握这个机会就会没有未来。
天津市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试语文试题(含解析)
天津市五校联考2023-2024学年高二上学期期中考试语文第Ⅰ卷（共33分）一、（本题共3小题，每题3分，共9分）阅读下面的文字，完成小题。
近日热映的国风动漫《长安三万里》受到追捧。
电影中的盛唐美景如诗如画，李白、高适等一众诗坛“顶流” 登场，让观众梦回“大唐群星闪耀时刻”。
电影不仅在美术层面有所突破，更探索出关于中国叙事的新路径。
“天地一逆旅，同悲万古尘”“黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠”……当穿越千年的诗句透过银幕以生动的故事与观众相遇，（）。
《长安三万里》的“ ”是传统文化拥抱大众的一个缩影。
近年来，一批深具东方美学的爆款文艺作品深受年轻人喜爱。
比如，《如果国宝会说话》在严肃中玩梗，拉近了千年文物与年轻观众的距离；《上新了故宫》将建筑艺术与沉睡数百年的传奇文物带到大家面前；《唐宫夜宴》《洛神水赋》等节目技惊全网……这类文艺作品备受追捧，可以说是文艺领域践行将中华优秀传统文化创造性转化、创新性发展的成功探索。
传统文化并非，只要找到时代化的表达，让观众与中华文明共情，它们同样可以飞入寻常百姓家，为大众所。
1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是A．连续破防曲高和寡脍炙人口B．陆续破防阳春白雪脍炙人口C．陆续出圈曲高和寡喜闻乐见D．连续出圈阳春白雪喜闻乐见2．下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是A．长安的繁华气派，田园风光的梁园，扬州的温柔妩媚，苍凉辽阔的塞北，与回响在历史深处的吟诵一起，“唤醒”了观众骨子里的文化基因。
B．“唤醒”了观众骨子里的文化基因，长安的繁华气派，梁园的田园风光，扬州的温柔妩媚，塞北的苍凉辽阔,与回响在历史深处的吟诵一起。
C．与回响在历史深处的吟诵一起，繁华气派的长安，梁园的田园风光，温柔妩媚的扬州，苍凉辽阔的塞北，“唤醒”了观众骨子里的文化基因。
D．长安的繁华气派，梁园的田园风光，扬州的温柔妩媚，塞北的苍凉辽阔，与回响在历史深处的吟诵一起，“唤醒”了观众骨子里的文化基因。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
内蒙古赤峰市元宝山区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
内蒙古赤峰市元宝山区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 经过点(()2,,3,0，则直线l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π42．已知向量()2,3,1n =-是平面α的一个法向量，点()1,1,2P 在平面α内，则下列点不在平面α内的是（）A ．()3,2,3B ．()0,0,3C ．()2,1,1D ．()2,1,43．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．最低气温与最高气温为正相关B ．10月的最高气温不低于5月的最高气温C ．最低气温低于0C ︒的月份有4个D ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月4．“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x ，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A ．6，163，5B ．5，5，5C ．5，163，6D ．4，5，66．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD的长度是（）A ．14B ．12C ．34D ．137．方程y -=表示的曲线是（）A ．x 轴上方的半圆B ．x 轴下方的半圆C ．y 轴左侧的半圆D ．y 轴右侧的半圆8．如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知事件A ，B 发生的概率分别为()0.2P A =，()0.4P B =，则下列结论正确的有（）A ．若A 与B 互斥，则()0.6P A B +=B ．若A B ⊆，则()0.4=P AB C ．若()0.12P AB =，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.52P A B +=10．（多选）在直三棱柱111ABC A B C -中，90,1,2ABC CB CA ∠=︒==，1AA M =是1CC 的中点，则（）A ．11AM BA ⋅=-B ．若112B N NA =，则MN = C ．在1AA 上存在一点G ，使得1//C G 平面BMAD ．若112,2BE BE AF AF =-=-，则平面BMA 与平面1C EF 不平行11．若()()1,0,4,0M N ，点Q 满足2QN QM =，记点Q 的轨迹为曲线C ，直线:40,l x y P +-=为l 上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线PA PB ､，切点为A ､B ，则下列说法中正确的是（）A ．P 的最小值为2B ．线段ABC ．PA PB ⋅的最小值为0D ．当PO AB ⋅最小时，直线AB 的方程为20x y +-=三、填空题12．直线6820x y +-=与3430x y +-=间的距离为13．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只，标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚只．14．如图，圆台12O O 中，上、下底面半径比为1:2，ABCD 为圆台轴截面，母线与底面所成角为π3，上底面中的一条直径EF 满足2π3DO E ∠=，则AE BF 、夹角余弦值为．四、解答题15．某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a 、b 的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．(1)求证：PB ⊥平面EFD ；(2)求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小．17．已知圆C 经过点()1,1A -和()2,2B --，且圆心在直线l ：10x y +-=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点()2,1-作圆C 的切线，求该切线方程.18．已知圆()()221225C x y -+-=：，直线()()211740l m x m y m +++--=：.(1)求证：直线l 恒过定点；(2)直线l 被圆C 截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.19．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6AD =，点,E F 分别在,AD BC 上，且1,4AE BF ==，沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A EFB ''．(1)求证：//A D '平面B FC '；(2)若点B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，求直线CB '与平面B HD '所成角α的正弦值；(3)在（2）的条件下，设点M 在线段FH 上，平面MB C '与平面HB D '所成锐二面角的平面角为β．若αβ=，求FMFH．。
北京市2024-2025学年高二上学期11月期中练习数学试题含答案
2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习（答案在最后）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.1.直线:30l y --=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.90︒【答案】B 【解析】【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线30l y --=可化为3y -，,0180θθ︒≤<︒，则tan θ=，所以60θ=︒.故选：B.2.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AA C C 的距离为（）A.33a B.a C.2a D.【答案】C 【解析】【分析】连接1111,A C B D ，它们交于点O ，证明11B D ⊥平面11AA C C ，得1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3.如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A.1AB B.DC C.AD D.BA【答案】B 【解析】【分析】通过所给平行六面体1111ABCD A B C D -，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解.【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B4.已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A.1-或2 B.1C.1或2- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选：B.5.已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB.若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C.若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D.若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A.716π+ B.7566π+ C.718π+ D.1π+【答案】A 【解析】【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836ππ+⨯⨯=+.故选：A.7.已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8.已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A.3243a -≤≤ B.34a ≤-或23a ≥ C.4332a -≤≤ D.43a ≤-或32a ≥【答案】D 【解析】【分析】结合已知条件作图并求出直线l 的定点A ，然后分别求出直线AP 和直线AQ 的斜率，结合图像求解即可.【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9.当曲线214y x =-与直线330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A.120,5⎛⎫⎪⎝⎭B.2,25⎛⎤⎥⎝⎦C.20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D.122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据图像计算直线过()2,1时和相切时的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：∵曲线214y x =--，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，22221k k -=+，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D．【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉y 的取值范围是容易犯的错误.10.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离()()()221212,D A B x x y y =-+-曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A.310110-B.72110-C.2515-D.515-【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得N 在正方形ABCD 的边上运动，结合图象分析,OM ON的最大值，即可得结果.【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()25cos ,cos ,5M N OM ON ==；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()310cos ,cos ,10M N OM ON ==；因为31025105>，所以(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.11.两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：3450x y +-=之间的距离是_____．【答案】35##0.6【解析】【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.【详解】35d ==.故答案为：35.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11A C的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为______【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313.已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为________.【答案】5y =+【解析】【分析】先判断点P 在圆上，再由垂直关系得出切线方程.【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，3,3PC k k==∴=.则切线方程为25y x =+=+.故答案为：5y =+14.已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为_____．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形OAB 面积取最小值时的直线方程，从而得到直线的斜率.【详解】设 ，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥=，4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B ⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 【答案】①②③【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对A ，验证两向量的数量积是否为0；对B ，证明QP 与BC平行即可得；对C ，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D ，证明1A Q 与1AB不垂直即可得.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =-，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以//PQ BC，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ᦙ，所以PQ 与CD 所成角的余弦值为1116cos ,11116DC QP DC QP DC QP⋅== ，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；（3）求ABC V 的面积.【答案】（1）34170x y +-=（2）40x y +-=（3）14【解析】【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高AD 的斜率，再利用直线的点斜式即可得解；（2）利用中位坐标公式求得点M 的坐标，再利用直线的两点式即可得解；（3）利用直线的两点式求得直线BC 的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解.【小问1详解】因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；【小问2详解】由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；【小问3详解】由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h ==，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17.已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111？若存在，求PG PB；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PG PB =【解析】【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得OP OB ⊥，结合线线垂直可得OP OA ⊥，根据面面垂直判定定理即可证得结论；（2）以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，分别求平面ADG 与平面ABD 的法向量，根据面面夹角余弦值公式列方程求解λ即可得结论.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =--，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，则()1,,1AG AP PG λλ=+=--，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m =，因为平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111，所以21·3111cos ,11121n m n m n mλλλλ+-〈〉==+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 311，且12PG PB =.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面ACQ ；（2）若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）（i ）13；（ii ）33【解析】【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，由OQ ∥PB 证明PB ∥平面ACQ ；（2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到BA ⊥平面PAD ，建立空间直角坐标系，求出法向量，求解PC 与平面ACQ 所成角的正弦值，计算点P 到平面ACQ 的距离．【小问1详解】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．【小问2详解】选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =-，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅===，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19.设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．（1）求圆C 的方程；（2）过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．【答案】（1）()2214x y ++=（2）（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【解析】【分析】（1）分别求出M ，N ，G 的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可；（2）（i ）当直线的斜率不存在时，求出A B 、的坐标，进而可求||||PA PB 、的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出||||PA PB 、并化简，然后计算||||PA PB ⋅即可；（ii ）同（i ）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得2210QA QB +=，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出22QA QB +关于k 的表达式，结合函数性质即可求最大值.【小问1详解】设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =，即)(),MN ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.【小问2详解】||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设 ，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x xk k -++-+==++，且PA ==，PB ==，则()()()212111PA PB k x x⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k-=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-+=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k xx k kx x kk =++++++++()()()()()2222222222242*********111k k k k k k kk k kk k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k kk k kk kk+-++=-+-+++++()22414141k k k k-+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k-+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222t f t t t t t=+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t=，即t =，11k t =-=-时，()f t取最大值12+所以()22max12QA QB+=+。
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题(含答案)
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考练习学试题2024年11月6日说明:本试卷共五道大题，共8页，满分150分，考试时间120分钟;第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.空间直角坐标系中，，则（ ）A. B. C. D.2.已知直线m ，n ，l ，平面，下列正确的是（ ）A.若，则与异面B.若，则C.若，则D.若，则3.在四面体中，点是AB 靠近的三等分点，记，则（ ）A. B.C. D.4.若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为（ ）A. B. C. D.5.已知直线m ，n ，平面，那么“”是“”的（ ）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（ ）D.7.一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（ ）(1,2,3),(3,0,1)A B --AB = (2,2,4)--(4,2,2)-(2,2,4)-(4,2,2)--,αβ,l P n αα⋂=⊂l n //,m n n α⊂//m α,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂l α⊥,,m n αβαβ⊥⊥⊥m n⊥P ABC -Q B ,,PA a PB b PC c === CQ = 2133c a b -+ 1233c a b -- 2133a b c +- 1233a b c +- π3π2π2π3,//,m n m αα⊂///n α//m αl (1,0,2)m =(0,1,0)A l (1,2,3)B -l 710A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥8.正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形QMN周长的最小值为（）9.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成如图中的多面体，其上部为直三棱柱，，四边形为矩形，平面平面，且平面，平面，则正脊末端与戗脊末端两点间距离为（）A.4C.10.如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图像大致为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11.已知，则_______________.P ABC-π,2,6APB PA Q∠==111,4ABC A B C AB AC BC-===118AA=11EFF E 11//EFF E11BCC B1E E⊂11ABB A1F F⊂11,ACC A BE CF== 1111,C F B E=120,6EE EF==A EA BCD-P(02)AP x x=<<()V x()y V x=(0,2,3),(1,4,6),(2,2,5),(0,,),//A B C D m n AB CDm n+=12.已知平面，直线，给出三个语句:①，②，③.从这三个语句中选取两个做条件，剩下一个做结论，构成一个真命题，该命题是：若_____________，则_____________.（只需填写序号）13.如图，在四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，平面ABCD ，Q 点在四棱锥表面上，且，则PC 与底面ABCD 的夹角为_____________；点所形成的轨迹长度是_____________.14.如图，在正方体内，正方形EFGH 中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为_____________.15.如图，是正方形ABCD 内一动点（不包括边界），平面ABCD 于，，给出下列四个结论:①四棱锥的体积是定值;②设平面PAD 与平面PBC 交于，则;③四棱锥的表面积既有最小值又有最大值;④存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直.其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16.（本小题10分）已知空间四点.,αβn αβ⊥n α⊥//n βP ABCD -2PA AB ==60,DAB PA ︒∠=⊥P ABCD -DQ AC ⊥Q 1111ABCD A B C D-AB =11EFGH BCC B -O PO ⊥,2O AB =1,PO PA PD ==P ABCD -l //l BC P ABCD -O P ABCD -(0,2,3),(1,4,6),(1,2,5),(0,,),A B C D m n AC BD ⊥（I ）求和的值;（II ）若点在平面ABC 内，请直接写出的值.17.（本小题12分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD 为梯形，，其中是BC 的中点，是的中点.（I ）求证:平面;（II ）求平面与平面ABCD 所成角的余弦.18.（本小题13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，平面.（I ）若，求证：平面平面PCD ；（II ）若AD =DC ，PB 中点为，试问在棱CD 上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；（III ）若与平面PBC 成角大小，求DC 边长.第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）||AB AC - n D m 1111ABCD A B C D -//,AB CD CD AD ⊥12,4, 1.AD CD DD AB E ====F 1AA //AE 1CB F 1CB F PA⊥,,ABCD AB AC PD AB AC ⊥===AD DC =PAD ⊥E Q PQ AE ⊥Q 2,PA PD =30︒19.如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ）A. B. C. D.20.如图，正方体的棱长为1，其中P ，Q ，R 分别是棱的中点，则到平面PQR 的距离是（ ）21.如图1，在矩形ABCD中，，点在AB 边上，且.如图2，将沿直线DE 向上折起至位置，连结.记二面角的大小为，当时，下面四个结论中错误的是（ ）A.存在某个位置，使B.存在某个位置，使平面平面C.存在某个位置，直线BE 与平面所成角为111ABC A B C -1π,2BAC AB AC AA ∠===1A B 1AC π6π4π3π21111ABCD A B C D -111,,C D AA BC B AD =E CE DE ⊥1AE =ADE V 1A 1AC 1A DE A --θ(0,π)θ∈1DA CE⊥1A DE ⊥1A EC1A DE 60︒D.存在某个位置，使平面与平面的交线与平面DEC 平行22.光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似地展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（ ）A. B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题纸上的相应位置.）23.直二面角，则______________;三棱锥外接球的体积是_____________.24.已知正方体的棱长为为侧面内一动点（包括边界），为棱上一动点（包括端点），则的最小值是_____________.25.如图，某一个自行车停放时，车体由尺寸相同的前后轮和脚撑来支撑，前后轮的轴中心分别为M ，N ，与地面接触点分别为A ，B ，脚撑一端固定在后轮轴中心处，另一端与地面接触于点，若A ，B 两点1A DE 1A BCαβ123,,O O O 12A A 2O 123π3,cos 44A A A ∠=-,2,1P AB Q PA PB AB AQ BQ --=====PQ =P ABQ -1111ABCD A BCD -P 11BB C C Q 11B C 1||AP AD PQ ⋅+ N C间距离为110厘米，车轮外径（直径）为66厘米，脚撑长度等于车轮半径，，则后车轮所在平面与地面的夹角（即二面角）的余弦值为_____________.26.将半径为1的半圆弧等分，从半径的一个端点出发依次连接各个分点至半径的另一个端点，得到折线，将折线绕半径MN 所在直线旋转，得到旋转体时，如图所示），设所得旋转体的表面积为，给出下列四个结论:①;②;③最大值为；④.其中所有正确结论的序号是___________.27.已知正方体的棱长分别为中点，从开始沿射线DF 运动，做平面，垂足为，给出下列四个结论：5π,12ABC ∠=π,12BAC ∠=NB AB ⊥N AB C --()*2,n n n ≥∈N M N 121n MA A A N - (5n =n S 2S =1n n S S +<n S 4ππ4πcos 2n S n=1111ABCD A B C D -,E F 11,D C BC M D 1B N ⊥1A ME N①平面与平面ABCD 夹角先增大后减小;②B 1N 最大值为4，并且先增大后减小;③存在N 使得；④存在唯一的使得.其中所有正确结论的序号是_____________.28.蜜蜂分泌蜂蜡筑巢，蜂巢由许多中空的柱状体连接而成，其中柱状体的一端为正六边形开口，另一端由三个全等的菱形拼成类似锥形的底部（如图1），蜜蜂这样筑巢能够使得蜂巢空间不变的条件下，所用蜂蜡最少，为了揭开蜜蜂筑巢的数学秘密，研学小组利用正六棱柱去研究中空的柱状体.设正六棱柱底面边长为4，底面中心分别为（如图2），现将延长至，平面PFB ，PBD ，PDF 分别与棱交于M ，N ，T ，得到中空的柱状体（如图3）.（1）比大小：所得中空的柱状体的体积____________原正六棱柱体积；（填“>”，“<”或“=”）（2）当中空的柱状体表面积最小时，PO 的取值是___________.1A ME AN CN =N BN DN ⊥111111ABCDEF A B C D E F -1,O O 1O O P 111,,AA CC EE人大附中20242025学年度第一学期高二年级数学期中练习数学参考答案I 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）（1）C （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B （7）A （8）A （9）D （10）D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.-311.②③,①13.（前空3分，后空2分）15.①、②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）三、解答题（本大题共3小题，共35分.）16.（本题10分）【解】:（1）………………………………………………….……1分且…………………………………………………………………………1分………………………………………………………2分 (2)分………………………………………………..……………1分即………………………………………………………………1分（2）……………………………………………………………………………………2分17.（本题12分）【解】:（1）平面，证明如下:…………………………………………………1分连结，设，由四棱柱，知四边形为平行四边形，所以为中点，又是BC 的中点，π;26+||||,AB AC BC -= (0,2,1)BC =-- ||BC ∴== (1,0,2),(1,4,6)AC BD m n ==--- 0,AC BD AC BD ⊥∴⋅= 1312(6)02n n -+-=∴=9m =//AE 1CB F 1C B 11C B CB O ⋂=11BCC B O 1CB E所以，所以四边形AEOF 为平行四边形，所以…………………………………………………2分又平面平面，所以平面………………………………………2分（2）因为直四棱柱，所以平面ADC ，又，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系…………………………………………………………………………………………………1分因为，所以设平面法向量，则，即………………………2分令则，所以………………………………………………………………1分又平面ACD 法向量………………………………………………………………………………1分设平面与平面ABC 成角为，则分18.（本题13分）【详解】：（1）因为平面平面ABCD ，111//,,//,2OE BB OE BB OE AF OE AF =∴=//AE OF AE ⊂/1,CB F OF ⊂1CB F //AE 1CB F 1DD ⊥CD AD ⊥1,,DA DC DD 12,4,1AD CD DD AB ====1(0,0,2),(2,2,0),(2,4,1)C F B 1(2,2,2),(0,2,1)CF FB =-=1CB F (,,)m x y z = 100m CF m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222020x y z y z +-=⎧⎨+=⎩2z =1,3y x =-=(3,1,2),m =- (0,1,0)n =1CB F θcos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=== PA ⊥,,ABCD AD CD ⊂所以，………1分又，所以…………………………………1分平面PAD所以平面PAD ，………………………………………………………………………………1分又平面PCD ，所以平面平面PCD ……………………………………………………1分（2）因为平面，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系…1分设，则则设，………………………………………………………………………………………………2分假设存在满足，因为等价于，解得，所以不存在……………………………………………………………………………1分（3）因为，所以，，设，其中，则， (1)分,PA AD PACD ⊥⊥PD =,,PD AD CD PD AC==== 222,,,ACAC CD AD AD CD∴==∴=+∴⊥,,,,AD CD PA CD PA AD APA AD ⊥⊥⋂=⊂ CD ⊥CD ⊂PAD ⊥PA ⊥,ABCD AB AC ⊥1PA =1,AD CD AC AB ====1(0,0,1),,2B C P D E ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,[0,1]DQ DC λλ=∈11),1PQ PD DC λλλλ⎛⎫⎫⎫∴=+=-+=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭12AE ⎫=⎪⎪⎭ P PQ AE ⊥PQ AE ⊥0PQ AE ⋅= 2[0,1]λ=∉2PA =2,AD AC AB ===(0,0,2),P B C 2),2)PB PC =-=- (,,0)D a b 0,0a b <>2224AD a b =∴+= (,,2)PD a b =-设平面PBC 法向量，依题意即令则，所以，…………………………………………………………2分因为PD 与平面PBC 成角大小，所以或…………………………………………………………1分此方程组无解综上……………………………………………………………………………………………………1分第II 卷（共10道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分）19.C 20.D 21.D 22.D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（前空3分后空2分）24.26.①②④（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）27.①②（全选对得5分，对一个得3分，错选得0分）28.（1）相等（2（前空3分后空2分）(,,)m x y z = 00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩z =1x y ==m =30︒sin 30|cos ,|||||PD m PD m PD m ︒⋅=〈〉= 102a b ∴+=a b +=220||24a b a DC DC a b b ⎧⎧+==⎪⎪∴=∴=⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2DC =4π312。
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高二年级期中模块检测数学练习题（一）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知,a b 为非零实数，若a b >，则下列不等式成立的是（ ）
A ．22a b >
B ．b a a b >
C ．22ab a b >
D ．2211a b ab
> 2、已知等比数列{}n a 满足1462,2a a a ==，则3a =（ ）
A ．14
B ．12
C ．1
D ．2 3、已知甲、乙两地距丙的距离均为100km ，且甲地在丙地的北偏东20 处，乙地在丙地的南偏东40 处，
则甲乙两地的距离为（ ）
A ．100km
B ．200km C
． D
．
4、已知数列{}n a 是等差数列，且34567160a a a a a ++++=，则39a a +=（ ）
A ．32
B ．64
C ．96
D ．128
5、已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos cos c C a B b A =+，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．锐角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
6、如果实数,x y 满足约束条件10101x y x y y ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，那么目标函数2z x y =-的最大值为（ ）
A ．-3
B ．-2
C ．1
D ．2
7、已知数列{}n a
满足111,n n a a a +=-=，则n a =（ ） A
8、若函数2
lg(4)y x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()4,4-
B ．[]4,4-
C ．()(),44,-∞-+∞
D ．(][),44,-∞-+∞
{}
则36930a a a a = （ ）
A ．103
B ．153
C ．203
D ．253
10、已知两个正实数,x y 满足211x y
+=，并且222x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,4- B ．[]2,4- C ．()(),24,-∞-+∞ D ．(][),24,-∞-+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
11、已知数列{}n a 是公差为-1的等差数列，n S 且其前n 项和，若1013S S =，则1a =
12、若不等式220ax bx -+>的解集为11{|}23x x -
<<，则a b += 13、在ABC ∆中，,43A AB π
==
且ABC S ∆，则BC 边的长为
14、已知变量,x y 满足约束条件为341202402x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
，若目标函数(0)z ax by a =+>仅在点()4,0处取得
最大值，则a 的取值范围为
15、已知数列{}n a 的通项公式为sin
12
n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2014S =
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
且sin sin sin sin a A c C C b B +=。
（1）求角B 的大小；
（2）若60,2A b == ，求边,a c 的大小。
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足21226528,4a a a a a +==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2122232log log log log n n b a a a a =++++ ，求数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n S 。
18、（本小题满分12分）
解关于x 的不等式2(1)0,()x x a a a R +-->∈。
19、（本小题满分12分）
已知函数()2221(sin cos (),24
f x x x x x R π=-+-∈。
（1）求函数()f x 的弹道递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1,2f B b ==，求ABC ∆的面积的最大值。
某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为1000元。
（1）若建筑楼房为x 层，该楼房的综合费用为y 万元（综合费用为建筑费用与购地费用之和）， 求()y f x =的表达式。
（2）为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
21、（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且152445,18a a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-。
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
（3）将数列{}n b 中第1a 项，第2a 项， ，第n a 项， 删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n d ，求数列{}n d 的前2014项和2014M 。