高二上学期数学练习题有详细答案
高二上学期数学练习题(5)(圆与方程综合)有详细答案
高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）班级 姓名 学号一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．252.函数 y ＝|x | 的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点， 则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( ) A ．24 B ．16 C ．8 D ．44. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－28. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝09. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．310. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 211. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．4312. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________14.已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________. 15.设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________ .16.过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝17.平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________18.已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标是______三．解答题19.已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20.已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21.如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．22.已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．高二上学期数学练习题（5）（圆与方程）参考答案班级 姓名 学号 （第5—11页，共7页） 一．选择填空1. 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－5C ．5D ．25[答案] A[解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心(1,-2)到原点的距离d ＝5，已知园的半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.2. y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2 D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3. 点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点， 则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C [解析] ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2PA =2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小 4. 方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1 [答案] D [解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点． 结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.5.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0 相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π[答案] A [解析] 原点O 到直线240x y +-=的距离为d ，则d ＝45，园C 圆心C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知圆心C 是线段AB 的中点，又以斜边AB 为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，∴2d r ≥,所以r 最小为2d ==25，面积最小为4π5，故选A6. 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] B[解析] 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0 的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．7. 已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2[答案] D[解析] 由空间两点间的距离公式得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝6或x ＝－2. 8. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，所以直线恒过定点(－1,2)， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.9. 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝( ) A ． 2 B ．2 C ．1D ．3[答案] B[解析] 依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.10. 直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3（需作出弦心距）， 圆心到直线的距离d ＝1－(32)2＝12， ∴1k 2＋1＝12（注：用点到直线的距离公式表示弦心距），解得k ＝±3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.11. 已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43[答案] B[解析] △ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即在直线x ＝1上，设圆心D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝1＋(b －3)2，解之得b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝12＋(223)2＝213.故选B ．12. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.二．填空题13.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__________[答案] [34，＋∞)[解析] 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA ．。
高二上数学练习册答案
高二上数学练习册答案第一章线性方程组1.1 一元一次方程1.1.1 简单的一元一次方程题目：求解下列方程1.2x+3=92.5x−7=183.3x−4=2x+84.4x−9=5−2x答案： 1. x=3 2. x=5 3. x=12 4. x=21.2 一元二次方程1.2.1 一元二次方程的解法题目：求解下列方程1.x2−7x+10=02.2x2+5x−3=03.3x2−4x+1=04.4x2−9=0答案： 1. x=2或x=5 2. x=−3/2或x=1/2 3. x=1或x=1/3 4. x=3/2或x=−3/21.3 二元一次方程1.3.1 二元一次方程组的解法题目：求解下列方程组1.\begin{align} 2x + 3y &= 10 \\ 3x - 2y &= 9 \\ \end{align}2.\begin{align} 4x - 2y &= 10 \\ 3x + 5y &= 9 \\ \end{align}3.\begin{align} 2x - y &= 1 \\ 3x + 4y &= 10 \\ \end{align}4.\begin{align} 3x + 2y &= 6 \\ 2x - 3y &= -1 \\ \end{align}答案： 1. x=3,y=2 2. x=−1,y=3 3. x=2,y=3 4. x=2,y=1第二章函数2.1 函数的基本概念2.1.1 函数的定义与性质题目：判断下列关系是否为函数，并说明理由1.y=2x+12.x2+y2=4答案： 1. 是函数，因为每个x都对应唯一的y 2. 不是函数，因为存在多个x对应同一个y2.2 一次函数2.2.1 一次函数的图像与性质题目：求下列一次函数的斜率和截距，并画出其图像1.y=3x+22.y=−2x+5答案： 1. 斜率为3，截距为2，图像如下：图像1 2. 斜率为−2，截距为5，图像如下：图像2第三章三角函数3.1 三角函数的定义3.1.1 弧度制与角度制的转换题目：将下列角度转换为弧度1.$30^\\circ$2.$45^\\circ$3.$60^\\circ$4.$120^\\circ$答案： 1. $\\pi/6$ 2. $\\pi/4$ 3. $\\pi/3$ 4. $2\\pi/3$3.2 三角函数的性质3.2.1 三角函数的周期性题目：求下列三角函数的周期1.$y = \\sin(x)$2.$y = \\cos(3x)$3.$y = \\tan(2x)$答案： 1. 周期为 $2\\pi$ 2. 周期为 $2\\pi/3$ 3. 周期为 $\\pi/2$第四章概率与统计4.1 随机事件与概率4.1.1 随机事件的定义与性质题目：判断下列事件是否互斥，并计算概率1.抛一枚硬币正面朝上2.抛一个骰子点数为偶数答案： 1. 不互斥，概率为1/2 2. 不互斥，概率为1/24.2 随机变量与概率分布4.2.1 离散型随机变量与概率分布题目：计算下列离散型随机变量的期望1.一个骰子的点数2.抛一枚硬币正面朝上的次数直到出现反面朝上答案： 1. 期望为3.5 2. 期望为2这是一份高二上数学练习册的答案，包含了线性方程组、函数、三角函数、概率与统计等多个章节的练习题及其答案。
数学期末试卷和解答——高二上学期
数学期末试卷和解答——高二上学期一、选择题（每题2分，共40分）1. 设函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$，则 $f(-1) =$- A. 2- B. 4- C. 6- D. 8答案：B2. 若 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$，则 $\frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{y}} =$- A. 1- B. $\frac{1}{5}$- C. $\frac{1}{\sqrt{5}}$- D. $\frac{5}{\sqrt{5}}$答案：C3. 已知 $x \in \mathbb{R}$，则 $|2x - 3| + |x + 1| =$- A. $3x + 2$- B. $-3x - 2$- C. $-3x + 2$- D. $3x - 2$答案：C4. 给定等差数列 $\{a_n\}$，已知 $a_1 = 2$，$d = 3$，则 $a_5 =$- A. 2- B. 5- C. 14- D. 17答案：D5. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像过点 $(1, 3)$，$(2,6)$ 和 $(3, 9)$，则 $c =$- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：A...二、填空题（每题3分，共30分）1. 设 $a$ 是正数，若 $a^2 + \frac{1}{a^2} = 34$，则 $a +\frac{1}{a} =$答案：52. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1 = -2$，$d = 3$，若 $S_3 = -3$，则 $a_5 =$答案：33. 若 $\sin x = \frac{1}{2}$，则 $\cos x =$答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$4. 已知函数 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 1$ 的图像过点 $(1, 4)$ 和 $(2, 9)$，则 $a + b =$答案：-75. 设 $a$ 是正数，若 $a^2 - 2a + 1 = 0$，则 $a =$答案：1...三、解答题（共30分）1. 求下列不等式的解集：$2x - 3 < 4x + 1 \leq 5$解答：首先解不等式 $2x - 3 < 4x + 1$，得 $x > -2$。
高二上数学试题及答案
高二上数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = x^2 + 1 \)D. \( y = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于？A. {1,2,3}B. {2,3}C. {4}D. {1}答案：B3. 计算以下极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B4. 以下哪个不等式是正确的？A. \( 2^3 > 3^2 \)B. \( 2^3 < 3^2 \)C. \( 2^3 = 3^2 \)D. \( 2^3 \leq 3^2 \)答案：A5. 已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，且\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 2 \)，\( f(0) = 1 \)，则a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A6. 以下哪个选项是复数的共轭？A. \( 3 + 4i \)B. \( 3 - 4i \)C. \( -3 + 4i \)D. \( -3 - 4i \)答案：B7. 计算以下定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：A8. 已知向量\( \vec{a} = (2, -1) \)，\( \vec{b} = (1, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为？A. 5B. -1C. 1D. 3答案：C9. 以下哪个选项是双曲线的标准方程？A. \( x^2 - y^2 = 1 \)B. \( x^2 + y^2 = 1 \)C. \( x^2 - y^2 = -1 \)D. \( x^2 + y^2 = -1 \)答案：A10. 计算以下二项式展开式中\( x^3 \)的系数：\[ (x + 1)^5 \]A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为________。
数学练习题及答案高二
数学练习题及答案高二第一节：选择题1. 若函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图象开口向上，且在点 P(-1, 3) 有极值，那么 a, b, c 的关系是（）(A) a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0;(B) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0;(C) a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0;(D) a ≠ 0, b = 0, c = 0;答案：(A)解析：由题可知，函数图象开口向上，所以a ≠ 0。
又因为在点 P(-1, 3) 有极值，极值对应的 x 坐标为 -1，代入函数可得 f(-1) = -a + b - c。
由于函数开口向上，所以该极值为极小值，即 f(-1) = -a + b - c > 0。
再结合a ≠ 0，可以得出 b = 0，因为如果b ≠ 0，则在 x = -1 附近 f(-1)不可能为正值。
所以，a ≠ 0，b = 0，c ≠ 0。
2. 已知函数 y = 2x^2 + 3x - 2 的图象与 x 轴交于点 A、B两个地方，那么点 A、B 的纵坐标分别是（）(A) 0，-3;(B) -2，0;(C) 0，-2;(D) -3，0;答案：(C)解析：当函数与 x 轴交于点 A、B 时，函数值 y = 2x^2 + 3x - 2 = 0。
可以通过因式分解或二次方程求根公式来解。
将方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 因式分解为 (2x + 1)(x - 2) = 0，得到两个解：x = -1/2，x = 2。
所以，点 A 的纵坐标为 y(A) = 2(-1/2)^2 + 3(-1/2) - 2 = -2，点 B 的纵坐标为 y(B) = 2(2)^2 + 3(2) - 2 = -2。
因此，点 A、B 的纵坐标分别是 0、-2。
第二节：填空题1. 给定矩阵 A = [1 2 3; -1 0 1]，则 A 的转置矩阵为 ______。
答案：[1 -1; 2 0; 3 1]解析：矩阵的转置就是将原矩阵的行变为列，列变为行。
高二上学期数学试题+答案
数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆191622=+y x 的焦距为（ ）A. 10B. 5C. 7D.72 2.命题“0,02≤->∀x x x 都有”的否定是( )A. 0,02≤->∃x x x 使得 B. 0,02>-≤∃x x x 使得 C. 0,02>->∃x x x 使得 D. 0,02>-≤∀x x x 使得3.等差数列{}n a 中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，数列{}n a 前9项的和为( ) A. 297 B. 144 C. 99 D. 664. 设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ）A ． 2e B ． e C ． ln 22D ．ln 25.在ABC ∆中，角A B <是sin sin A B <的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A. 1241222=-y x B.1122422=-x y C. 1122422=-y x D. 1241222=-x y 7．数列{}n a 的通项公式是n a =n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．1218.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为（ ）A.2-B.4C. 6-D.8-9.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．3C ．12D ．1310. 设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值（ ） A ．2 B ．41C ．4D ．8 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置. 11.不等式13x x+≤的解集是 . 12.在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是13.椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠的大小为 ．14. 已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值15.下列四个命题： ①若0a b >>，则11a b <；②0x >，11x x +-的最小值为3； ③椭圆22143x y +=比椭圆22142x y +=更接近于圆； ④设,A B 为平面内两个定点，若有||||2PA PB +=,则动点P 的轨迹是椭圆； 其中真命题的序号为________________.(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分) 设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x，其中0<a ；命题q ：实数x 满足0822>-+x x ，且q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.数列｝｛n a 的前n 项和n S ，11,a =12n n a S +=.（Ⅰ）求数列｝｛n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log ,n n b a =求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.19.（本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且bcB A 2tan tan 1=+. （1）求角A ； （2）已知6,27==bc a ，求b c +的值.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上,D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知3AB =米，2AD =米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，坐标原点O 到直线lAOB ∆ 面积的最大值.AMN B DP高二文科拉练2（参考答案）一、选择题： DBCBC DADBC 二、填空题：11. ()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭12. 等腰三角形13. 12014. 12- 15. ①③ 三、解答题：16. （本小题满分12分） 解：设{}{})0(3)0(03422<<<=<<+-=a a x a x a a ax x x A{}{}240822>-<=>-+=x x x x x x B 或. …………… 5分∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件， B A ⊂∴ ……………………8分∴0,423<-≤≥a a a 又或所以实数a 的取值范围是4-≤a …………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）11,a =211222,a S a === ------------------------2分12n n a S +=，12(2)n n a S n -=≥∴11222n n n n n a a S S a +--=-=∴13(2)n n a a n +=≥ ------------------------4分 ∴｝｛n a 是从第二项开始起的等比数列 ∴21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩-----------------------6分 （Ⅱ）当1n =时，13log 10b == -------------------------7分 当2n ≥时，233log 23log 22n n b n -=⋅=+- ----------------------8分∴当1n =时，1=0T ------------------------9分 当2n ≥时，3(1)(2)=(1)log 22n n n T n ---+， -------------------------11分令1n =，1=0T综上：18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）22=31a b =， ∴2224c a b =+=，2c = -------------------------2分 ∴2,42pp == -------------------------4分 ∴抛物线的方程为28y x = -------------------------6分（Ⅱ）1a b =双曲线的准线方程为y x = -------------------------8分 抛物线的准线方程为2x =- ------------------------9分令2x =-，3y =±设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为,A B则|AB -----------------------11分∴122S == -------------------------12分 19. （本小题满分12分） 解：（1）由b c B A 2tan tan 1=+及正弦定理，得sin cos 2sin 1,cos sin sin A B CA B B+=.........3分 即cos sin sin cos 2sin ,cos sin sin A B A B CA B B+= ()sin 2sin ,cos sin sin A B CA B B+∴= .........5分在ABC ∆中，()1sin sin 0,cos .2A B C A +=≠∴=.........6分 ()0,,.3A A ππ∈∴=.........7分（2）由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+- .........8分 又71,6,cos ,22a bc A === 则()()222249318,4b c bc b c bc b c =+-=+-=+- .........10分 解得：11.2b c += .........12分20. （本小题满分13分）解：设DN 的长为(>0)x x 米，则=(+2)AN x 米，DN DC AN AM=3(+2)x AM x ∴= 23(2)AMPNx S AN AM x+∴=∙= …………………3分由>32AMPN S 得23(+2)>32x x又>0x 得23-20+12>0x x 解得：20<<3x 或>6x 即DN 的长的取值范围是()20,6,+3⎛⎫⋃∞ ⎪⎝⎭…………………6分 （2）矩形花坛的面积为：223(+2)3+12+1212===3++12(>0)x x x y x x x x x≥ …………………11分 当且仅当123=x x即=2x 时，矩形花坛的面积最小为24平方米. …………………13分 21. （本小题满分14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧⎪⎨⎪⎩=1b ∴，所以所求椭圆方程为：22+=13x y . …………………4分（2）设11(,)A x y ，22B(,)x y当AB x ⊥轴时，AB …………………6分 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为=+y kx m得223=(+1)4m k . …………………8分把=+y kx m 代入椭圆方程，整理得222(3+1)+6+3-3=0k x kmx m ，122-6+=3+1km x x k ∴，21223(-1)=3+1m x x k222222223612(-1)=(1+)-(3+1)3+1k m m AB k k k ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦ 22222222212(+1)(3+1-)3(+1)(9+1)==(3+1)(3+1)k k m k k k k 24222121212=3+=3+(0)3+=419+6+123+69++6k k k k k k≠≤⨯.当且仅当2219=k k，即=k .当=0k时，AB ，综上所述max =2AB …………………12分 所以AOB ∆面积的最大值为122AOB S ∆=⨯= …………………14分。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
高二数学练习册答案上
高二数学练习册答案上第一章：函数习题一：函数的基本概念1. 判断函数f(x)=x^2+3x+2是否为奇函数或偶函数。
答案：f(x)不是奇函数也不是偶函数。
2. 求函数f(x)=1/x在x=2处的导数。
答案：f'(2)=-1/4。
3. 判断函数f(x)=|x|+2在[0, +∞)上的单调性。
答案：在[0, +∞)上，函数f(x)是单调递增的。
习题二：复合函数1. 求复合函数f(g(x))=sin(x^2)的导数。
答案：f(g(x))的导数为2x*cos(x^2)。
2. 判断复合函数f(g(x))=ln(x+1)在x=0时的连续性。
答案：在x=0时，复合函数是连续的。
第二章：导数与微分习题一：导数的运算法则1. 求函数f(x)=x^3-2x^2+5的导数。
答案：f'(x)=3x^2-4x。
2. 求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的导数。
答案：f'(x)=cos(x)-sin(x)。
习题二：导数的应用1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在x=2时的切线斜率。
答案：切线斜率为-10。
2. 求函数f(x)=x^2+4x+6的极值点。
答案：极值点为x=-2，此时函数取得最小值。
第三章：积分习题一：不定积分1. 求不定积分∫(2x+1)dx。
答案：∫(2x+1)dx = x^2 + x + C。
2. 求不定积分∫(1/x)dx。
答案：∫(1/x)dx = ln|x| + C。
习题二：定积分1. 求定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：∫[0,1] x^2 dx = 1/3。
2. 求定积分∫[-1,1] sin(x) dx。
答案：∫[-1,1] sin(x) dx = 0。
结束语通过本练习册的练习，希望同学们能够加深对高二数学知识点的理解，提高解题技巧。
数学是一门需要不断练习和思考的学科，希望同学们能够持之以恒，不断进步。
请注意，以上答案仅为示例，实际练习册的答案可能有所不同。
高二上数学练习题40道题及答案
高二上数学练习题40道题及答案1. 某班级的男生人数是女生人数的3倍，如果班级总人数是40人，那么男生和女生各有多少人？解答：设女生人数为x，男生人数为3x，根据题意可得：x + 3x = 404x = 40x = 10所以女生人数为10人，男生人数为30人。
2. 若a = 2，b = -3，则a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = ?解答：将a和b代入公式可得：2^3 - 3(2^2)(-3) + 3(2)(-3)^2 - (-3)^3= 8 - 3(4)(-3) + 3(2)(9) - (-27)= 8 + 36 + 54 + 27= 1253. 已知直角三角形的斜边长为25，一条直角边长为9，求另外一条直角边的长度。
根据勾股定理可得：a^2 + b^2 = c^29^2 + b^2 = 25^281 + b^2 = 625b^2 = 625 - 81b^2 = 544b = √544b ≈ 23.34. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，则cosθ = ?解答：根据三角函数定义可得：cosθ = √(1 - sin^2θ)= √(1 - (3/5)^2)= √(1 - 9/25)= √(16/25)= 4/55. 某商品原价为150元，现以打8折的优惠出售，求优惠后的价格是多少？优惠后的价格 = 原价 ×折扣优惠后的价格 = 150 × 0.8优惠后的价格 = 120元6. 一辆摩托车以每小时60公里的速度行驶，行驶4小时后停下，求摩托车行驶的总路程。
解答：摩托车行驶的总路程 = 速度 ×时间摩托车行驶的总路程 = 60 km/h × 4 h摩托车行驶的总路程 = 240公里7. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数中可得：f(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 5f(2) = 2(4) + 6 - 5f(2) = 8 + 6 - 5f(2) = 98. 某商品原价为200元，现在以降价30%的优惠出售，求优惠后的价格是多少？解答：优惠后的价格 = 原价 ×折扣优惠后的价格 = 200 × (1 - 0.3)优惠后的价格 = 200 × 0.7优惠后的价格 = 140元9. 若2x + y = 5，3x - y = 2，则方程组的解为？解答：将两个方程相加可消去y的项得到：(2x + y) + (3x - y) = (5) + (2)2x + 3x = 75x = 7x = 7/5将x的值代入任意一个原方程可得：2(7/5) + y = 514/5 + y = 5y = 5 - 14/5y = 25/5 - 14/5y = 11/5所以方程组的解为x = 7/5，y = 11/5。
聊城高二上学期数学试题及答案
聊城高二上学期数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：B2. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则第四项为（）A. 11B. 12C. 13D. 14答案：A3. 函数f(x) = 2x - 3的值域是（）A. (-∞, ∞)B. (-3, ∞)C. (-∞, 3)D. [3, ∞)答案：A4. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =（）A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 5，求f(3)的值为______。
答案：-42. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标为______。
答案：(2, 3)3. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的数量积为______。
答案：-224. 已知等比数列的前三项分别为2，4，8，求第四项为______。
答案：16三、解答题（每题10分，共60分）1. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。
答案：x = 1/2 或 x = 22. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求导数f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x3. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与直线平行且与直线y = -x + 7相交的直线方程。
答案：y = 2x + 114. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值。
答案：最小值为0，当x = 2时取得。
5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，求向量a与向量b的夹角。
答案：夹角为arccos(-1/5)6. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求数列的前五项。
最新高二(上)数学试卷 附带参考答案
最新高二（上）数学试卷一、单选题（每小题5分）1. 已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（）A.a+b≥b+cB.ac>bcC.(a−b)c2≥0D.c2a−b>02. 已知正数x、y满足8x +1y=1，则x+2y的最小值是（）A.18B.16C.8D.103. 已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（）A.3B.6C.7D.84. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H5. 已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2＝0，直线l:2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A.2x−y−1＝0B.2x+y−1＝0C.2x−y+1＝0D.2x+y+1＝06. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c=√6b,C=60，则B＝（）A.45∘B.45∘或135∘C.30∘D.30∘或150∘7. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A.√69B.5√39C.√53D.238. 方程|y|−1=√3−(x−2)2所表示的曲线的长度是()A.6πB.2√3πC.2√3π+4√3D.6π+129. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.√3B.32C.1 D.√3210. 数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+...+a k+10＝215−25，则k＝（）A.2B.3C.4D.511. 在三棱锥A−SBC中，AB=√10，∠ASC=∠BSC=π4，AC＝AS，BC＝BS，若该三棱锥的体积为√153，则三棱锥S−ABC外接球的体积为（）A.πB.4√3πC.√5πD.π312. 已知椭圆C的焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（每小题5分）若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z＝x+7y的最大值为________．在△ABC中，A＝60∘，a＝3，则a+b+csin A+sin B+sin C=________．已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，|PF1|=3,∠F1PF2=π3，则b＝________32．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60∘，△PAD 是等边三角形，PB=√6,Q点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是________．三、解答题已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=−12，a8=−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，△ABC的面积为2√3．，求△ABC的周长；（1）若A=π3（2）求sin B⋅sin C的最大值．如图，在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，PB＝BC＝2．（1）证明：AC⊥平面PBC；，线段PA的长．（2）若二面角B−PA−C的余弦值为√1010已知点M(−1, 0)，N(1, 0)，设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B(−2, 0)，C(2, 0)，点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．参考答案与试题解析最新高二（上）数学试卷一、单选题（每小题5分）1.【答案】C【考点】不等式的概念【解析】根据不等式的性质，看由a>b能否得出每个选项的不等式即可．【解答】A．∵ a与c的关系不知道，∵ 由a>b得不出a+b≥b+c，∵ 该选项错误；B．∵ c的符号不知道，∵ a>b得不出ac>bc，∵ 该选项错误；C．∵ a>b，∵ a−b>0，且c2≥0，∵ (a−b)c2≥0，∵ 该选项正确；D．∵ c2＝0时，c2a−b=0，∵ a>b得不出c2a−b>0，∵ 该选项错误．2.【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】先把x+2y转化成x+2y＝(x+2y)⋅( 1m +1n)展开后利用均值不等式求得答案．【解答】∵ 8x +1y=1，∵ x+2y＝(x+2y)⋅(8x +1y)＝10+xy+16yx≥10+8＝18（当且仅当x＝4y时等号成立）答案为：18．3.【答案】D【考点】等比数列的性质等差数列的性质【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a11＝4a7，可得a72=4a7≠0，解得a7，数列{b n}是等差数列，则b3+b11＝2b7＝2a7．【解答】设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 3a 11＝4a 7，∵ a 72=4a 7≠0，解得a 7＝4， 数列{b n }是等差数列，则b 3+b 11＝2b 7＝2a 7＝8． 4.【答案】 【考点】简单空间图形的三视图 【解析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点． 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图： 如图所示：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ， 所以在侧视图中与点E 对应． 故选：A ． 5.【答案】 D【考点】 圆的切线方程 【解析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|⋅|AB|=2√|PM|2−4，说明要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直．写出PM 所在直线方程，与直线l 的方程联立，求得P 点坐标，然后写出以PM 为直径的圆的方程，再与圆M 的方程联立可得AB 所在直线方程． 【解答】化圆M 为(x −1)2+(y −1)2＝4， 圆心M(1, 1)，半径r ＝2．∵ S PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △PAM ＝|PA|⋅|AM|＝2|PA|=2√|PM|2−4．∵ 要使|PM|⋅|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y −1=12(x −1)，即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0 ，解得P(−1, 0)．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．6. 【答案】 A【考点】 正弦定理 【解析】 由已知可得b =6，由正弦定理可得sin B 的值，根据大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求B 的值． 【解答】在△ABC 中，∵ 2c =√6b,C =60，可得：b =√6， ∵ 由正弦定理bsin B=c sin C，可得：sin B =b⋅sin C c=2c=√22， ∵ b <c ，B 为锐角， ∵ B ＝45∘． 7. 【答案】 A【考点】直线与平面所成的角 【解析】建立空间直角坐标系，求出平面CB 1D 1的法向量及直线C 1E 的方向向量，利用向量公式得解． 【解答】以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(1, 1, 0)，B 1(0, 1, 2)，D 1(1, 0, 2)，C 1(1, 1, 2)，E(0, 0, 1)， 设平面CB 1D 1的法向量为n →=(x,y,z)，CB 1→=(−1,0,2),CD 1→=(0,−1,2)，由{n →⋅CB 1→=−x +2z =0n →⋅CD 1→=−y +2z =0 ，可取n →=(2,2,1)， 设直线C 1E 与平面CB 1D 1所成角为θ，又C 1E →=(−1,−1,−1)，则sin θ=cos <C 1E →,n →>=4+4+1⋅√3=5√39， 故cos θ=√69，即直线C 1E 与平面CB 1D 1所成角的余弦值为√69． 8.【答案】B【考点】 曲线与方程 【解析】由题意可得y ≥1或y ≤−1，曲线为两个半圆，半径均为√3，由圆的周长可得所求值．【解答】解：方程|y|−1=√3−(x −2)2，可得|y|−1≥0，即有y ≥1或y ≤−1， 即有(x −2)2+(|y|−1)2=3，作出方程|y|−1=√3−(x −2)2所表示的曲线， 可得曲线为两个半圆，半径均为√3， 可得表示曲线的长度为2√3π． 故选B . 9.【答案】 C【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC 的外接圆的半径，然后求解OO 1即可． 【解答】由题意可知图形如图：△ABC 是面积为9√34的等边三角形，可得√34AB 2=9√34，∵ AB ＝BC ＝AC ＝3， 可得：AO 1=23×√32×3=√3，球O 的表面积为16π，外接球的半径为：R ；所以4πR 2＝16π，解得R ＝2， 所以O 到平面ABC 的距离为：√4−3=1． 10. 【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】在已知数列递推式中，取m ＝1，可得a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式列式求解． 【解答】由a 1＝2，且a m+n ＝a m a n ， 取m ＝1，得a n+1＝a 1a n ＝2a n ， ∵a n+1a n=2，则数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a k+1=2⋅2k =2k+1， ∵ a k+1+a k+2+...+a k+10=2k+1(1−210)1−2=211+k −2k+1=215−25，∵ k +1＝5，即k ＝4． 11. 【答案】 B【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算 球内接多面体【解析】设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA 、OB 、OD ，由已知可得O 为三棱锥三棱锥S −ABC 外接球的球心，由三棱锥的体积列式求出三棱锥S −ABC 外接球的半径，代入球的体积公式得答案． 【解答】 如图，设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA 、OB 、OD ， ∵ ∠ASC =∠BSC =π4，AC ＝AS ，BC ＝BS ，∵ ∠SAC ＝∠SBC ＝90∘，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ，则O 为三棱锥三棱锥S −ABC 外接球的球心，设半径为R ，又OD ⊥AB ，且AB =√10，∵ AD ＝DB =√102，OD =√R 2−52．则S △OAB =12⋅AB ⋅OD =12√10R 2−25又由SC ⊥OA ，SC ⊥OB ，且OA ∩OB ＝O ，可得SC ⊥平面OAB ， ∵ V A−SBC =13⋅12√10R 2−25⋅2R =√153，解得R =√3．∵ 三棱锥S −ABC 外接球的体积为4π3⋅(√3)3=4√3π． 12.【答案】B【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义 余弦定理 【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =√3，b =√2，可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |AF 2|=2|BF 2|，∵ |AB|=3|BF 2|， 又|AB|=|BF 1|，∵ |BF 1|=3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|=2a ，∵ |BF 2|=a2，∵ |AF 2|=a ，|BF 1|=32a ，∵ |AF 1|+|AF 2|=2a ，∵ |AF 1|=a ， ∵ |AF 1|=|AF 2|，∵ A 在y 轴上． 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O =1a ， 在△BF 1F 2中，由余弦定理可得 cos ∠BF 2F 1=4+(a 2)2−(32a)22×2×a2，根据cos ∠AF 2O +cos ∠BF 2F 1=0， 可得1a +4−2a 22a=0，解得a 2=3，∵ a =√3，b 2=a 2−c 2=3−1=2． 所以椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1．故选B .二、填空题（每小题5分）【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【解答】x ，y 满足约束条件{2x +y −2≤0,x −y −1≥0,y +1≥0, ，不等式组表示的平面区域如图所示，由{2x +y −2=0x −y −1=0 ，可得A(1, 0)时，目标函数z ＝x +7y ，可得y =−17x +17z ，当直线y =−17x +17z 过点A 时，在y 轴上截距最大， 此时z 取得最大值：1+7×0＝1．【答案】2√3【考点】同角三角函数间的基本关系 正弦定理【解析】由A 的度数求出sin A 的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a 的值及求出的sin A ，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值． 【解答】由A ＝60∘，a ＝3，根据正弦定理得：asin A =bsin B =csin C =3sin 60=2√3， 则a+b+csin A+sin B+sin C =2√3．32【考点】 椭圆的离心率 【解析】通过已知条件求出|PF 2|，利用余弦定理，求解c ，然后求出b 即可． 【解答】∵ |PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|=3,∠F 1PF 2=π3，|PF 2|＝1， ∵ 4c 2＝9+1−2×3×1×12=7∵ b =√a 2−c 2=32． 【答案】2√7【考点】点、线、面间的距离计算 轨迹方程【解析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q 的轨迹，利用转化思想，求解距离即可． 【解答】连接AC ，BD 交点为：O ，取AD 的中点E ，BC 的中点H ，连接EH ，PH ，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，且AB ＝2，∠DAB ＝60∘，△PAD 是等边三角形，PA ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，PE =√3，BE =√3，所以PE ⊥BE ，∵ PB =√6,Q 点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ ⊥AC ，AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BDG ，过O 作OG ⊥平面ABCD ，交PH 于PH 的中点，G 在PH 的中点与B 的连线上，侧面PBC 中，PH =√7，BH ＝1，PB =√6，∵ PB ⊥BC ，∵ PC =√10，BF 的方程：y =√6x ，PC 的方程为：x2+√6=1，联立可得F(23, 2√63) 所以BF =(23)(2√63)=2√73． 三、解答题 【答案】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 数列的函数特性【解析】（1）可设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=−12，a 8=−4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{a n }的通项公式；（2）由（1）可得数列{a n }的通项公式a n =2n −20，可得：数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，即可求得答案． 【解答】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.【答案】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∵ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10， ∵ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A =b sin B=c sin C，∵ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a ，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∵ sin B ⋅sin C =√3sin A4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，bc ＝4√3，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34． 【考点】 余弦定理 正弦定理（1）利用三角形面积公式得到bc ＝8，再利用余弦定理可求出b +c 的值，从而求出△ABC 的周长；（2）由正弦定理得sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，再结合S △ABC ＝2√3，a ＝4，可得sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立．【解答】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∵ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10， ∵ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A=b sin B=c sin C，∵ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∵ sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，bc ＝4√3，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34．【答案】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∵ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∵ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∵ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∵ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =2+4，CG =√x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CGCH =2xx 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∵ PA =√8+12=3．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）由已知可得平面PBC ⊥平面ABC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，可得AE ⊥平面PBC ．同理在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，得到AE 与AF 重合为AC ．可得AC ⊥平面PBC ；（2）由PB ⊥平面ABC ，得平面PAB ⊥平面ABC ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ，得CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ，则CH ⊥PA ，可得∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，即cos ∠CHG =√1010，设AC ＝x ，求解三角形得到x ，进一步求得PA ． 【解答】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∵ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∵ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∵ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∵ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =√x 2+4，CG =√x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CG CH=√x 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∵ PA =√8+12=3．【答案】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t 6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t 27+t2，即E(54−2t 227+t 2,18t 27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2)⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t 3+t2，即F(2t 2−63+t 2,−6t 3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2)则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】（1）根据已知条件转化到椭圆的定义即可求解；（2）求出E ，F 的坐标以及向量的坐标结合向量共线即可得到结论 【解答】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t27+t 2，即E(54−2t 227+t 2,18t27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2)⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t 3+t 2，即F(2t 2−63+t 2,−6t 3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t 2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2) 则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)．。
高二上半学年的数学期末试题及解答
高二上半学年的数学期末试题及解答试题一：代数与函数1. 已知函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求 $f(2)$ 的值。
2. 解方程 $\frac{1}{3}x + 4 = 7$。
3. 若 $x$ 是方程 $2x + 1 = 3$ 的解，求方程 $4x + 2 = 6$ 的解。
解答一：代数与函数1. 将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 15$。
2. 将方程两边同时减去 $4$，得到 $\frac{1}{3}x = 3$。
再将方程两边同时乘以 $3$，得到 $x = 9$。
3. 将方程两边同时减去 $2$，得到 $4x = 4$。
再将方程两边同时除以 $4$，得到 $x = 1$。
试题二：几何1. 已知 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$。
若 $\angle BAC = 60^\circ$，求 $\angle ABC$ 和 $\angle BCA$ 的度数。
2. 在直角三角形 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 5$，$BC =12$，求 $AC$ 的长度。
3. 已知平行四边形 $ABCD$ 的对角线交点为 $E$，若 $AC =8$，$BD = 6$，求 $AE$ 和 $DE$ 的长度。
解答二：几何1. 由等腰三角形的性质可知，$\angle ABC = \angle BCA$。
又由三角形内角和为 $180^\circ$，得到 $\angle ABC = \angle BCA =\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$。
2. 根据勾股定理，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$。
3. 由平行四边形的性质可知，$AE = BD = 6$，$DE = AC - AE = 13 - 6 = 7$。
高二上册数学试题及答案
高二上册数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，是一次函数的是：A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {2, 3, 4}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}3. 如果a，b是方程x^2 + 4x + 1 = 0的两个根，那么a+b的值是：A. -2B. -4C. 2D. 44. 已知三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA = 1/3，那么sinA的值是：A. 2√2/3B. √2/3C. √5/3D. 4√2/95. 函数f(x) = |x-1| + |x+2|的最小值是：A. 3B. 1C. 2D. 46. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，那么第5项a5的值是：A. 14B. 17C. 20D. 237. 根据二项式定理，(3+x)^5的展开式中x^3的系数是：A. 90B. 120C. 150D. 1808. 已知向量a=(3, 4)，b=(-1, 2)，那么向量a与向量b的点积是：A. 10B. 2C. -2D. 89. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 4)10. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是：A. x = -1B. x = 1C. y = -1D. y = 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数是________。
12. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，那么第4项b4的值是________。
13. 已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，那么三角形ABC的面积是________。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1）《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、选择题1.直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交 B.相切C.相离D.不确定2.直线y ＝kx ＋2和椭圆x 23＋y 22＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A.k <－63或k >63 B.k ≤－63或k ≥63C.－63<k <63D.－63≤k ≤633.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( ) A.159 B.259 C.2959 D.30594.已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( )A.x －y －3＝0B.x ＋y －2＝0C.2x ＋3y －3＝0D.3x －y －10＝05.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.136.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A.13B.12C.22D.327.(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63C.－33 D.33 8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A .a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)B .a 1－c 1＝a 2－c 2C .e 1＝e 2＋12D .椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为87 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d 至少应是________米．10.过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________11.若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．三、解答题13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －k ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0Δ＝(－18k 2)2－4(4＋9k 2)(9k 2－36)＝576(2k 2＋1)，易知Δ>0恒成立∴直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为相交． 2.B 解析：将y ＝kx ＋2代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0 ∴Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48∵直线和椭圆有公共点，∴72k 2－48≥0，∴k ≤－63或k ≥63. 3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得a －c a ＋c ＝2930整理得a ＝59c ，即c a ＝159. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是159. 4.B 解析：过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)的切线l 的方程为3x 12＋(－y )4＝1，即x －y －4＝0，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为－1，故过点A 且与直线l 垂直的直线方程为y ＋1＝－(x －3)，即x ＋y －2＝0.5.C 解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，由“切面”所在平面与底面成60°角可得2b 2a ＝cos 60°，即a ＝2b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝32. 6.B 解析：如图，l 1，l 2 是两条与球相切的直线，分别切于点A ，C ，与底面交于点B ，D ，设篮球的半径为R∴AC ＝2R ＝22，R ＝11过点C 作CE ∥BD 交l 1于点E ，则CE ＝BD在△ACE 中，CE ＝AC sin 60°，∴CE ＝22×23＝2a ，∴a ＝223＝2R 3，b ＝R ∴c ＝4R 23－R 2＝33R ，∴e ＝c a ＝3R 32R 3＝12. 7.AB 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±63． 8.ABC 解析：对A ，由题可知a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2＞2c 2，所以a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)，所以选项A正确；对B ，由a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，得a 1－c 1＝a 2－c 2，所以选项B 正确；对C ，由a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2，得c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝1＋c 2a 22，即e 1＝e 2＋12，所以选项C 正确；对D ，根据选项C 知，2e 1＝e 2＋1＞2e 2，所以e 1＞e 2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D 错误．故选ABC ．二、填空题9.答案：32解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 236＝1，当点(47，4.5)在椭圆上时，16×7a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92236＝1，解得a ＝16 ∵车辆高度不超过4.5米，∴a ≥16，d ＝2a ≥32，故拱宽至少为32米．10.答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.② ∵M 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1. ∵直线AB 的方程是y ＝－12(x －1)＋1，∴y 1－y 2＝－12(x 1－x 2)． 由①②两式相减可得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，即2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·2b 2＝0.∴a ＝2b ，∴c ＝b ，∴e ＝c a ＝22. 11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0∴Δ＝16m 2－4m (m ＋3)>0，解得m >1或m <0.∴m >1且m ≠3∴m 的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由条件可得，竞技场的总面积为π×1882×1562＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π×862×542＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为6 171π90 000≈6 171×3.1490 000≈0.22(平方米)．三、解答题13.解：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0(a ≠4) 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离 且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.14.解：(1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． 即点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，易知此时线段CD 的中点不是N ，不符合题意． 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)的坐标代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，② ①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1 故直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0. 15.解：(1)由题意知b ＝15，a ＋9＝34，解得a ＝25，b ＝15.所以“挞圆”方程为x 2252＋y 2152＝1(x ≤0)和y 2152＋x 292＝1(x ≥0)． (2)设P (x 0，t )为矩形在第一象限内的顶点，Q (x 1，t )为矩形在第二象限内的顶点则t 2152＋x 2092＝1，x 21252＋t 2152＝1，可得x 1＝－259x 0.所以内接矩形的面积S ＝2t (x 0－x 1)＝2t ×349x 0＝15×34×2·x 09·t 15≤15×34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2092＋t 2152＝510 当且仅当x 09＝t 15时，S 取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。
高二数学上册练习题及答案
高二数学上册练习题及答案1. (a) 求解方程：3x - 2 = 7(b) 求解方程：2(x - 3) + 5 = 17解答：(a) 3x - 2 = 7将-2移到等式右边：3x = 7 + 23x = 9将系数3移到等式右边，同时将9除以3：x = 3(b) 2(x - 3) + 5 = 17将2乘以括号里的表达式：2x - 6 + 5 = 17合并同类项：2x - 1 = 17将-1移到等式右边：2x = 17 + 12x = 18将系数2移到等式右边，同时将18除以2： x = 92. 计算下列代数式的值：(给定变量a = 3, b = 5)(a) a^2 - b^2(b) a^3 + b^3解答：(a) a^2 - b^2替换变量的值：3^2 - 5^2计算指数运算：9 - 25提取结果：-16(b) a^3 + b^3替换变量的值：3^3 + 5^3计算指数运算：27 + 125提取结果：1523. 解下列不等式，并将解表示在数轴上：(a) 2x + 3 ≤ 9(b) 5 - x > 2x + 1解答：(a) 2x + 3 ≤ 9将3移到不等式右边：2x ≤ 9 - 3简化不等式：2x ≤ 6将系数2移到不等式右边，同时将6除以2：x ≤ 3将解表示在数轴上，标记点3及其左侧为解的区间。
(b) 5 - x > 2x + 1将5移到不等式右边：-x > 2x + 1 - 5简化不等式：-x > 2x - 4将系数-1移到不等式右边，将解取反，同时将4加到2x上： 3x < 4将解表示在数轴上，标记点4及其左侧为解的区间。
4. 求解下列线性不等式组，并将解表示在数轴上：(a) { x + 1 > 3{ 2x - 5 ≤ 9(b) { 3x - 2 ≤ 10{ 4 - x > 2x - 1解答：(a) { x + 1 > 3{ 2x - 5 ≤ 9对第一个不等式进行简化：x > 3 - 1x > 2对第二个不等式进行简化：2x ≤ 9 + 52x ≤ 14x ≤ 7综合两个不等式的解：x > 2 且x ≤ 7将解表示在数轴上，标记点2及其右侧和标记点7及其左侧为解的区间。
高二上学期数学练习题及答案
高二上学期数学练习题及答案1. 解方程:(1) 2x + 5 = 9(2) 3x - 7 = 2(x + 1)2. 线性函数:(1) 设函数 f(x) = 3x - 2，求 f(4) 的值。
(2) 已知函数 y = kx + 3 在点 (1, 5) 上的函数值为 4，求 k 的值。
3. 四边形面积:(1) 一个矩形的长是 5 厘米，宽是 4 厘米，求其面积。
(2) 一个平行四边形的底边长是 6 厘米，高是 4 厘米，求其面积。
4. 平方根:(1) 计算√49 的值。
(2) 计算√72 的值，结果保留一位小数。
5. 求导数:(1) 对函数 y = 2x^2 + 3x - 1 求导数。
(2) 对函数 y = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1 求导数。
答案:1. 解方程:(1) 解得 x = 2(2) 解得 x = -22. 线性函数:(1) 将 x = 4 代入函数 f(x) = 3x - 2，得到 f(4) = 10(2) 由题意可得 k = 13. 四边形面积:(1) 面积为 5 cm × 4 cm = 20 平方厘米(2) 面积为 6 cm × 4 cm = 24 平方厘米4. 平方根:(1) √49 = 7(2) √72 ≈ 8.495. 求导数:(1) 导数为 y' = 4x + 3(2) 导数为 y' = 12x^2 + 4x - 5以上是高二上学期数学练习题及答案。
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高二上册数学练习题答案
高二上册数学练习题答案1. 高考真题1.1 选择题1.1.1 题目考查知识点：三角函数已知三角函数的定义域和值域，判断下列函数中哪些是奇函数。
A. $\sin(\pi+x)$B. $\cos(\pi-x)$C. $\tan(\pi-x)$D. $\cot(\pi+x)$1.1.2 答案选项 A 和 C 是奇函数。
1.2 解答题1.2.1 题目考查知识点：平面向量已知向量 $\overrightarrow{AB} = (2, -3)$， $\overrightarrow{AC} = (-1, 4)$，求 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标表示。
1.2.2 答案由向量的加法可知：$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (-1, 4) - (2, -3) = (-3, 7)$因此，$\overrightarrow{BC}$ 的坐标表示为 $(-3, 7)$。
2. 教材练习2.1 第一章2.1.1 选择题2.1.1.1 题目考查知识点：函数下列函数中，是一次函数的是（）。
A. $y=2^x$B. $y=\sqrt{x}$C. $y=2x^2$D. $y=-x^3$2.1.1.2 答案选项 D 是一次函数。
2.1.2 解答题2.1.2.1 题目考查知识点：二次函数已知函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象经过点 $(1, -1)$，斜率为 2，求函数的解析式。
2.1.2.2 答案由已知得到以下两个方程：$(-1) = a\cdot1^2 + b\cdot1 + c$ (1)$2 = 2a\cdot1 + b$ (2)解方程组 (1) 和 (2) 可得 $a=1$，$b=0$，$c=-2$。
因此，函数 $y=x^2 - 2$ 的解析式为 $y=x^2 - 2$。
2.2 第二章2.2.1 选择题2.2.1.1 题目考查知识点：不等式解不等式组 $\begin{cases} x-3 > 1 \\ x+2 < 4 \end{cases}$，得到的解集为（）。
北京市2024-2025学年高二上学期11月期中练习数学试题含答案
2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习（答案在最后）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.1.直线:30l y --=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.90︒【答案】B 【解析】【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线30l y --=可化为3y -，,0180θθ︒≤<︒，则tan θ=，所以60θ=︒.故选：B.2.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AA C C 的距离为（）A.33a B.a C.2a D.【答案】C 【解析】【分析】连接1111,A C B D ，它们交于点O ，证明11B D ⊥平面11AA C C ，得1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3.如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A.1AB B.DC C.AD D.BA【答案】B 【解析】【分析】通过所给平行六面体1111ABCD A B C D -，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解.【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B4.已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A.1-或2 B.1C.1或2- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选：B.5.已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB.若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C.若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D.若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A.716π+ B.7566π+ C.718π+ D.1π+【答案】A 【解析】【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836ππ+⨯⨯=+.故选：A.7.已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8.已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A.3243a -≤≤ B.34a ≤-或23a ≥ C.4332a -≤≤ D.43a ≤-或32a ≥【答案】D 【解析】【分析】结合已知条件作图并求出直线l 的定点A ，然后分别求出直线AP 和直线AQ 的斜率，结合图像求解即可.【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9.当曲线214y x =-与直线330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A.120,5⎛⎫⎪⎝⎭B.2,25⎛⎤⎥⎝⎦C.20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D.122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据图像计算直线过()2,1时和相切时的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：∵曲线214y x =--，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，22221k k -=+，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D．【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉y 的取值范围是容易犯的错误.10.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离()()()221212,D A B x x y y =-+-曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A.310110-B.72110-C.2515-D.515-【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得N 在正方形ABCD 的边上运动，结合图象分析,OM ON的最大值，即可得结果.【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()25cos ,cos ,5M N OM ON ==；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()310cos ,cos ,10M N OM ON ==；因为31025105>，所以(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.11.两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：3450x y +-=之间的距离是_____．【答案】35##0.6【解析】【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.【详解】35d ==.故答案为：35.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11A C的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为______【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313.已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为________.【答案】5y =+【解析】【分析】先判断点P 在圆上，再由垂直关系得出切线方程.【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，3,3PC k k==∴=.则切线方程为25y x =+=+.故答案为：5y =+14.已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为_____．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形OAB 面积取最小值时的直线方程，从而得到直线的斜率.【详解】设 ，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥=，4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B ⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 【答案】①②③【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对A ，验证两向量的数量积是否为0；对B ，证明QP 与BC平行即可得；对C ，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D ，证明1A Q 与1AB不垂直即可得.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =-，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以//PQ BC，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ᦙ，所以PQ 与CD 所成角的余弦值为1116cos ,11116DC QP DC QP DC QP⋅== ，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；（3）求ABC V 的面积.【答案】（1）34170x y +-=（2）40x y +-=（3）14【解析】【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高AD 的斜率，再利用直线的点斜式即可得解；（2）利用中位坐标公式求得点M 的坐标，再利用直线的两点式即可得解；（3）利用直线的两点式求得直线BC 的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解.【小问1详解】因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；【小问2详解】由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；【小问3详解】由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h ==，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17.已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111？若存在，求PG PB；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PG PB =【解析】【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得OP OB ⊥，结合线线垂直可得OP OA ⊥，根据面面垂直判定定理即可证得结论；（2）以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，分别求平面ADG 与平面ABD 的法向量，根据面面夹角余弦值公式列方程求解λ即可得结论.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =--，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，则()1,,1AG AP PG λλ=+=--，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m =，因为平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111，所以21·3111cos ,11121n m n m n mλλλλ+-〈〉==+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 311，且12PG PB =.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面ACQ ；（2）若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）（i ）13；（ii ）33【解析】【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，由OQ ∥PB 证明PB ∥平面ACQ ；（2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到BA ⊥平面PAD ，建立空间直角坐标系，求出法向量，求解PC 与平面ACQ 所成角的正弦值，计算点P 到平面ACQ 的距离．【小问1详解】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．【小问2详解】选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =-，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅===，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19.设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．（1）求圆C 的方程；（2）过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．【答案】（1）()2214x y ++=（2）（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【解析】【分析】（1）分别求出M ，N ，G 的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可；（2）（i ）当直线的斜率不存在时，求出A B 、的坐标，进而可求||||PA PB 、的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出||||PA PB 、并化简，然后计算||||PA PB ⋅即可；（ii ）同（i ）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得2210QA QB +=，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出22QA QB +关于k 的表达式，结合函数性质即可求最大值.【小问1详解】设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =，即)(),MN ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.【小问2详解】||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设 ，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x xk k -++-+==++，且PA ==，PB ==，则()()()212111PA PB k x x⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k-=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-+=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k xx k kx x kk =++++++++()()()()()2222222222242*********111k k k k k k kk k kk k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k kk k kk kk+-++=-+-+++++()22414141k k k k-+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k-+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222t f t t t t t=+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t=，即t =，11k t =-=-时，()f t取最大值12+所以()22max12QA QB+=+。
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高二上学期数学练习题（1）（圆与方程）班级 姓名 学号一．选择填空题1.圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝102. 若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )A ．(－1,5)， 3B ．(1，－5)， 3C ．(－1,5)，3D ．(1，－5)，3 3. 方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．点(a ，b )C ．以(－a ，－b )为圆心的圆D ．点(－a ，－b ) 4. 点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不确定 5. 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ．36. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋y 2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 7. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)8. 方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆9. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0 10. 点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．211.直线1y kx =+与圆221x y +=的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．不能确定 12. 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B 13. 方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定14.圆22(4)(5)10x y -+-=上的点到原点的距离的最小值是( ).A C.二．填空题15.以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是______ .16.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是_____17.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________18.以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________19.设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则x－12＋y－12的最大值为________．20.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．21.直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有1个公共点，则b的取值范围是__________．三．解答题22.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．(2)周长最小的圆的方程；23.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．24.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．25.求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．26.求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为62的弦所在的直线方程．27.已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．高二上学期数学练习题（1）（圆与方程）班级 姓名 学号一．选择填空题1.圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10[答案] A [解析] 设圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝r 2，把点(5,2)代入可得r 2＝10，即得选A ． 2. 若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )A ．(－1,5)， 3B ．(1，－5)， 3C ．(－1,5)，3D ．(1，－5)，3 [答案] B 3. 方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．点(a ，b )C ．以(－a ，－b )为圆心的圆D ．点(－a ，－b ) [答案] D 4. 点P (a,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．不确定 [答案] A [解析] 因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外．5. 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ．3 [答案] A [解析] 直线方程可化为：0x -=，先求得圆心坐标(1,0)， 再依据点到直线的距离公式求得12d ==。
6. 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，此圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋y 2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 [答案] A 7. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] 点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则(2a )2＋a 2＜5，解得－1＜a ＜1 8. 方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 [答案] D [解析] 方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，所以方程y ＝9－x 2表示圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分，是半个圆． 9. 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0[答案] D [解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－12，又点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ，∴k MN k PC ＝－1， ∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.10. 点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2 [答案] D [解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M 到直线的最短距离为5－3＝2.11.直线1y kx =+与圆221x y +=的位置关系是( )A ．相交 B ．相切 C ．相交或相切 D ．不能确定解析：直线1y kx =+过定点(0,1)，而点(0,1)在圆221x y +=上，所以直线与圆相交或相切． 12. 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B解析：(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个． 13. 方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定解析：设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图像交点的个数．如图所示（略），在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根． 答案：B 14.圆22(4)(5)10x y -+-=上的点到原点的距离的最小值是( ).A C.【解析】因为圆的圆心为(4,5),所以圆22(4)(5)10x y -+-=上的点，【答案】B 二．填空题15.以点(2，－1)为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是______ [答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝252 [解析] 将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252.16.若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是_____[答案] (x －2)2＋(y ＋1)2＝1，[解析] 圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 17.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________[答案] (x －2)2＋y 2＝10[分析] 圆心在x 轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r ，写出圆C 的标准方程，将A ，B 两点坐标代入求a ，r 即可得圆C 的方程． [解析] 设所求圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a 2＋12＝r 21－a 2＋32＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 18.以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________ [答案] x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20，[解析] 令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝2， ∴直线与两轴交点坐标为A (0,4)和B (2,0)，以A 为圆心过B 的圆方程为x 2＋(y －4)2＝20， 以B 为圆心过A 的圆方程为(x －2)2＋y 2＝20.19.设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最大值为________．答案：26＋2 解析 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，因此x －12＋y －12表示点(1,1)与该圆上点的距离． 易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图象易得x －12＋y －12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.20.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．答案：x 2＋y 2＝25 解析：原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25. 21.直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有1个公共点，则b 的取值范围是__________．解析：曲线x ＝1－y 2可化为x 2＋y 2＝1(x ≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图（略），相切时b ＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b ≤1. 答案：b ＝－2或－1＜b ≤1 三．解答题22.圆过点A(1，－2)，B (－1,4)，求(1)圆心在直线240x y --=上的圆的方程． (2)周长最小的圆的方程； 解：(1)解法1：直线AB 的斜率为()24311AB k --==---，线段AB 的中点为M （0,1），则线段AB 的垂直平分线l 的斜率为113l AB k k =-=，∴线段AB 的垂直平分线l 的方程是：y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0. 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴所求园的圆心是C (3,2)． ∴所求园的半径r ＝|AC |＝3－12＋2＋22＝2 5.，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 解法2：待定系数法依题意可设所求圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.，则根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝r 2，－1－a 2＋4－b 2＝r 2，2a －b －4＝0.解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴所求圆的方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝20.(2)当AB 为直径时，过A 、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即AB 中点M(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10.则圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝10.[点评]（1）小题中∵圆心在直线2x －y －4＝0上，∴也可设圆心坐标为C (x 0,2x 0－4)，∵A ，B 在圆上， ∴|CA |＝|CB |，可由此等式根据两点间的距离公式得关于0x 的方程，解此方程即可求得0x 的值，从而求得所求圆的方程。