一线三角与全等三角形B4
第7讲 一线三等角模型与全等三角形
第7讲一线三等角模型与全等三角形基本模型1如下图，AB=AC,BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,则△ADB≡△CEA规律：含有等腰直角三角形的条件，通常可以构造一线三垂直，利用全等三角形进行边角的等量转化。
练习：如图，A(3,0),C(0,6),AC⊥BC，且AC=BC,求点B的坐标。
变式2如图，已知B(4,0),C(0,2),AC⊥BC，AC=BC,求点A的坐标变式3如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,C在X轴上，BC交Y轴于M,BM=CM,C(-1,,0),点A的横坐标为-3，求点B的坐标练习（武汉第三寄宿中学10月月考14.）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=49︒则∠DFE=____︒分析：构造三垂直：△ADB≌△CBF，∴DB=BF,DB⊥BF，∠DFB=45°∵BE=AC,FC=AB,∴△ACF≌△EBA，AE=AF,AE⊥AF,∠AFE=45°∴∠DFE=∠AFE+∠DFB-∠AFB=45°+45°-49°=41°基本模型2:如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC则△ADB≌△CEA.如图2，∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC，则△ADB≌ACEA.图1图2教材变式1如图，点D、A、E在一条直线上,AB=AC，∠ADB=∠AEC=∠BAC=60°，试探究BD、CE与DE之间的数量关系.解:DE=DB+CE,证△ADB≌△CEA;教材变式2如图,D、A、E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC.试探究BD,CE与DE之间的数量关系。
解:∠BDA=∠BAC=α,∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC ，∴.△ADB ≌△CEA.∴AE=BD ，AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.教材变式3如图，AB=AC.∠BAC=60°，D 、E 为AD 上两点，∠ADB=∠AEC=120°.探究BD 、CE 与DE 之间的数量关系。
全等三角形——一线三等角模型
全等三角形——一线三等角模型一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
二、一线三等角的类型同侧：锐角 直角 钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCC A BDDC DBADB CAAB2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ， 若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ）A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°★演练题：（勾股定理）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.练习1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =； ⑤DE=CD+BE. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．（1）已知△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．当点B ，C 位于直线l 的同侧时（如图1），易证△ABD ≌△CAE ．如图2，若点BC 在直线l 的异侧，其它条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B 、C 位于l 的同一侧，如果∠CEA ＝∠ADB ＝∠BAC ，求证：△ABD ≌△CAE ．（3）变式二：如图4，△ABC 中，依然有AB ＝AC ，若点B ，C 位于l 的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA ＝∠AEC ，求证：BD ＝CE+DE ．4321EB DC AEC DA。
专题十：“一线三等角”模型下的全等三角形问题解析(有答案)
专题十：“一线三等角”模型下的全等三角形问题解析（有答案）一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在初二阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值以及角度的证明，是一类比较典型的全等模型，下面我们就来学习一下这个一线三等角下的全等三角形。
➢ 一线三等角模型：➢ 处理一线三等角类问题的步骤：首先，找角，其中会涉及到角度的计算和对等处理；其次，找线，也就是所给的定线，往往是指全等时对等的那组对应边；最后，用来判断全等，进而利用全等三角形的性质来证明或求取相应的问题.类型一：同侧一线三等角类全等的证明【例1】（1）如图（1）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m，知识指引 典型例题CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD +CE ；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据AAS 证明△ADB ≌△CEA ，得到AE ＝BD ，AD ＝CE ，即可证明；（2）同理证明△ADB ≌△CEA ，得到AE ＝BD ，AD ＝CE ，即可证明；【详解】（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，AB ＝AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（2）∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA +∠BAD ＝∠BAD +∠CAE ＝180°﹣α，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，AB ＝AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE ＝BD ，AD ＝CE ，∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE ．类型二：异侧一线三等角类全等的证明【例2】如图，在Rt△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD⊥l 于D ，CE⊥AE，若BD ＞CE ，试问：（1）AD 与CE 的大小关系如何？请说明理由；（2）线段BD ，DE ，CE 之间的数量之间关系如何？并说明理由．【分析】（1）由已知可得AB=AC ，∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE ；两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，利用△ABD ≌△CAE 即可得到AD=CE ；（2）据△ABD ≌△CAE ，可得BD=AE ，AD=EC ，又AE=AD+DE ，故可得BD=DE+CE ．【解答】（1）AD 与CE 的大小关系为AD=CE ，理由是：∵CE⊥l 于E ，∴∠ACE+∠EAC=90°，又∵∠BAD+∠EAC=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠ACE；∵BD⊥l 于D ，CE⊥l 于E ，∴∠BDA=∠AEC=90°；又∵AB=AC；∴△ABD≌△CAE（AAS ），∴AD=CE．（2）线段BD ，DE ，CE 之间的数量之间关系为：BD=DE+CE ，理由如下：∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE ，又∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE．1．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，CE ⊥BD ，AB=BC ，若CE=6，AD=2，求DE 的长．解：∵AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠D=∠CEB=∠ABC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD ，在△ADB 和△BEC 中，{∠CEB ＝∠D ，∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∴△BCE ≌△ABD （AAS ），强化练习∴BD=CE=6，BE=AD=2，∴DE=BD-BE=6-2=4，答：DE的长是4．2．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，①线段CD和BE的数量关系是；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．【详解】（1）①CD＝BE，理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△ACD和△CBE中，{∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠B，AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE．②AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）②中的结论不成立． DE＝AD+BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△ACD和△CBE中，{∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠B，AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE＝BE+AD，∴DE＝AD+BE．3．如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE （1）请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？（2）若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？ 【解答】（1）AC ⊥EF ，理由：∵AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD ，∴∠B=∠D=90°，在△ABC 和△FDE 中，{AB ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△FDE ，∴∠A=∠EFD ，∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACE=180°-90°=90°，∴AC ⊥CE ，即AC ⊥FE ．（2）AC 垂直FE ，理由是∵∠A=∠F （已证），∠ABC=∠ABF=90°，∠AMN=∠FMB ，∴∠F+∠FMB=90°，∴∠A+∠AMN=90°，∴∠ANM=180°-90°=90°，∴AC ⊥FE ．4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线l 过点C ，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D 、E ．（1）当直线l 不与底边AB 相交时，求证：ED=AE+BD ；（2）如图2，将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 相交时，请你探究ED ，AE ，BD 三者之间的数量关系．【解析】（1）∵直线l 过点C ，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC 和△CDB 中，{∠EAC =∠BCD ，∠AEC =∠BDC ，AC =BC ，∴△AEC≌△CDB（AAS ），∴CE=BD，AE=CD ，∵ED=C E+CD ，∴ED=AE+BD；（2）ED=BD ﹣AE ， 理由是：∵直线l 过点C ，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，在△AEC 和△CDB 中，{∠EAC =∠BCD ，∠AEC =∠BDC ，AC =BC ，∴△AEC≌△CDB （AAS ），∴CE=BD，AE=CD ，∵ED=CE ﹣CD ，∴ED=BD﹣AE ．5．如图，∠BCA=90°，AC=BC ，BE⊥CF 于点E ，AF⊥CF 于点F ，其中0°＜∠ACF ＜45°．（1）求证：△BEC ≌△CFA ；（2）若AF=5，EF=8，求BE 的长；（3）连接A B ，取AB 的中点为Q ，连接QE ，QF ，判断△QEF 的形状，并说明理由．．【解答】（1）∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠B=∠ACF ，在△BEC 和△CFA 中，{∠B =∠ACF ，∠BEC =∠F ，BC =A ，∴△BEC ≌△CFA ．6．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线，MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E 。
第12章全等三角形重难点专题3：一线三角模型(课件)八年级数学上册(人教版)
∴AD=CE，BD=AE∴DE=AE-AD=BD-CE
已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C
分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE
DE=CE-BD
三者之间的数量关系式为____________.
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
(2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE;
(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE
三者之间的数量关系式为____________.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C
解：（1）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
∴∠BDA=∠CEA=90°
∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°
则∠ABD=∠CAE
在△BDA和△AEC中
∠ = ∠ = 90°
∵
∠ = ∠
=
“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全
等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全
等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可
以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C
初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。
第12章：一线三等角与全等三角形
第12章：一线三等角与全等三角形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12一线三等角与全等三角形一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
二、一线三等角的类型同侧：锐角 直角 钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .（1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角 ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE BACl FEBAC lFEBAC DCCDC D BADB CAAB3巩固提高1：1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ）○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ）A.75°B.70°C.65°D.60° ?演练题：1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF __________.2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _________.3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.4321EB DC Al F EBACEC DBAEC DAB4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C 位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；4。
建构数学模型 深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例
技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。
W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。
这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。
由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。
对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。
似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。
1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。
2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。
所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。
根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。
第12章全等三角形模型一：一线三等角讲义2022—2023学年人教版数学八年级上册
一线三等角模型构造全等三角形【模型说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
这个模型贯穿初中几何的始终。
下面我们具体分析一下这个模型。
【同侧型一线三等角（常见）】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角∠FAC=∠ABD=∠CED 添加任一边相等【基础训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．5．在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．6．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．7.如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ．8．如图，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE ⊥AC 于B ，且DC ＝EC ，能否在△BCE 中找到与AB+AD 相等的线段，并说明理由．9、如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠A ＝36°时，求∠DEF 的度数．10.如图，在ABC ∆中，2==AC AB ，︒=∠36B ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作︒=∠36ADE ，DE 交线段AC 于点E.线段DC 的长度为何值时，DCEABD∆≅∆请说明理由；【提升训练】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD ⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．ADEB C3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F 处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH 于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A 运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．。
第12章：一线三等角与全等三角形
一线三等角与全等三角形一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
二、一线三等角的类型同侧：锐角 直角 钝角 异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCCA BD C D BAD B CAACB巩固提高1：1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 演练题：1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF __________.2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _________.3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.4321EB DC Al F EBACFEC DBAEC DAB4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
全等三角形模型：二次全等、截长补短、倍长中线、一线三等角、半角模型
全等三角形模型+例题【考纲要求】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【考点梳理】【全等三角形】知识点一、全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点二、全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.知识点三、全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：【探索三角形全等的条件】边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA ”.在△ABC与△A’B’C’中，已知角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS ”. 在△ABC 与△A’B’C’中，已知边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”.在△ABC 与△A’B’C’中，已知.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL ”在Rt △ABC 与Rt △A’B’C’中，，已知.1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.探究SSA全等篇异侧半角模型1.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则BE ＋DF＝EF .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合， 通过证明△AEF ≌△AEG 即可得到BE ＋DF ＝EF .2.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则AE 平分∠BEF ，AF 平分∠DFE .简证：如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90º得到△ABG ，使得AD 与AB 重合；将△ABE 绕点A 逆时针旋转90º得到△ADH ，使得AB 与AD 重合.3. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.4.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，过点A 作AH ⊥EF 交EF 于点H ，则AH ＝AB .简证：由上述结论可知AE 平分∠BEF ，又∵AB ⊥BC ，∴AH ＝AB . 5.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，则.简证：由结论1可得EF ＝BE ＋DF ，则＝CE ＋CF ＋EF ＝CE ＋CF ＋BE ＋DF ＝2AB .6. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45º，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，则.简证：如图，将△AND 绕点A 顺时针旋90º得到△AGB ，连接GM .通过证明△AMG ≌△AMN 得MN ＝MG ，DN ＝BG ，∠GBE ＝90º，即可证.补充：等腰直角三角形与“半角模型”DCPBACDPB ADPCAB如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.1.1二次全等证明1.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．2.求证：△BDF≌△CDE．3.4.5.已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．6.求证：△DEG≌△BFG．7.3.已知：如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于E，交CD于点F，AE=AD．求证：△CEF≌△BDF．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，BD平分∠ABC，E为BD上任意一点，连接AE，CE．求证：△ADE≌△CDE．5.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．6.求证：△EFD≌△GFD．7.6、已知：如图，点A，C在直线EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．求证：∠E=∠F．7、已知，如图，AE=BF，AD=BC，CE=DF．求证：AO=BO．8、已知：如图，∠D=∠E，AM=ME=CN=DN．试猜想AB和BC的数量关系，并证明你的猜想．9、10、9.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF交DE于点G．求证：DE⊥CF．10.已知：如图，在等边△ABC中，△C=△ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE 相交于点F．11.求证：△1=△2．12.1.2截长补短 倍长中线例题1、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．例题2、在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例题3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形______【理解与应用】（2）填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x ，则x 的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD 是△ABC 的中线，∠BAC=∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC=BC ，求证：AQ=2AD ．F E D CB AF EDC B A例题4、如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．例题5、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．例题8、（1）如图，四边形ABPC中，AB AC∠=︒，求证：PB PC PABPC+=．=，60BAC∠=︒，120（2）如图，四边形ABCD中，AB BCAPC∠=︒，求证：ABC∠=︒，P为四边形ABCD内一点，且120=，60++≥．PA PC PD BDC 1A B C ED D E(C )B A C 1C 1A B C E D 1A B C E D1.3一线三等角例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D ，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ．（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．1.4半角模型1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.3. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.（1）①求证：OB＝OC；②求∠BOC的度数；（2）求证：CF＝BE＋EF.5. 在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.（1）试说明：DE＝DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG 满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.。
专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略(解析版)
专题06全等三角形之一线三等角模型全攻略目录【知识点归纳】 (1)【例题精讲】 (2)【课后练习】 (13)【知识点归纳】“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。
基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠，CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE⇒ ≌异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠，任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE ⇒ ≌【例题精讲】例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，且∠DBA ＋∠BAD ＝180°−α，可得∠DBA ＝∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）①∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD 、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GN GHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）∴EI=GI∴I 是EG 的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．例2．（异侧一线三直角）如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．OA OB ⊥，OC OD ⊥90AOB COD ∴∠=∠=︒，AOB AOC AOC ∠+∠=∠ AOD BOC ∴∠=∠，又 OA OB =，OC OD =AOD BOC ∴ ≌()SAS ，（3）如图，过点,C D ，分别作90CFO OGD ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒ ，90COF GOD ∴∠=︒-∠=∠又CO DO = ，()AAS CFO OGD ∴ ≌，FO GD ∴=，AOC 的面积为1S ，BOD 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ，求证：ABD CAF V V ≌；（2）如图2，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E 、F 都在MAN ∠内部的射线AD 上，已知AB AC =，且12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌；（3）如图3，已知ABC 的面积为15，且AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ACF △与BDE △的面积之和是6，求:CD BC 的值．∵12∠=∠，∴AFC BEA ∠=∠，∵34BAC ∠+∠=∠，1∠∴4ABE ∠=∠，∵AB AC =，∴()AAS ABE CAF △≌△∵12BAC ∠=∠=∠，∴3ACF ∠=∠，BEA ∠∵AB AC =，∴(AAS ABE CAF △≌△∴ABE CAF S S = ，∵ACF △与BDE △的面积之和是∴ABD ABE BDE S S S =+ △△∵ACD 与ABC 等高，∴底边之比3：5，∴:3:5CD BC =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等的判定方法，是解题的关键．例4．（坐标系中的K 字模型）A B y 轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为5，求点B 的坐标；（2）如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求CD AM的值；（3）如图③，若点A 的坐标为()4,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限中作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE ，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变求PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．例．（）已知等腰ABE 和，连接，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC ∠=；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC ∠=∠=︒==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ⊥交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC 的面积．如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD ∠=∠=︒==∴BAD EAC ∠=∠，（2）作BM AF ⊥于M ，CN AF ⊥于N ，∵AF D E ⊥，∴90BMA AFE ∠=∠=︒，∵90,BAE AB AE ∠=︒=，∴90BAM FAE ∠+∠=︒，E FAE ∠+∠=∴BAF E ∠=∠，∴BAM AEF ≌，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【课后练习】1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE △≌△．进而得到AC =___________，BC =___________．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,6，点B 为平面内任一点．若AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【答案】(1)DE ；AE(2)①证明见解析；②()4,2或()2,4-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM △≌△，ACF EAN △≌△，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG △≌△，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，过点B '作B H x '⊥轴于点H ，B H '交DE 于点G ，利用（1）的结论即可解答．【详解】（1）解：∵12290D ∠+∠=∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABC 和DAE 中，1D ACB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DAE △≌△，∴AC DE =，BC AE =．故答案为：DE ；AE ．（2）①证明：如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，90BAD ∠=︒，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，12190B ∠+∠=∠+∠=︒∴2B ∠=∠，在ABF △和DAM △中，2BFA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAM △≌△，∴AF DM =，∵BC AF ⊥，90CAE ∠=︒，∴90CFA ANE ∠=∠=︒，90FAC NAE FAC C ∠+∠=∠+∠=︒∴C NAE =∠∠，在ACF △和EAN 中，CFA ANE C NAE AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．【答案】(1)9(2)=-PE CP AE ；理由见解析(3)10【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）由ABM BCN ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到2AM BN ==，7BM CN ==，即可得到MN ；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到ABE BCP ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到AE BP =，BE CP =，由BE BP PE =+中，即可得到三者的数量关系；（3）延长FE ，过点C 作CP FE ⊥于P ，由两个三角形全等的判定定理得到ABE BCP ≌△△，从而1PC BE ==，5PB AE ==，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥于F ，由平行线间的平行线段相等可得4CF PE ==，代入面积公式得ACE S ，即可得到答案．【详解】（1）解：ABM BCN ≌，2AM =，7CN =，2AM BN ∴==，7BM CN ==，9MN BM BN ∴=+=；故答案为：9．（2）解：=-PE CP AE理由：90ABC ∠=︒ ，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，CP BE ⊥ ，90CPB ∴∠=︒，90BCP CBP ∴∠+∠=︒ABE BCP ∴∠=∠，90AEB ∠=︒ ，90AEB CPB ∴∠=∠=︒，AB BC = ，ABE BCP ∴V V ≌，AE BP ∴=，BE CP=BE BP PE =+ ，PE BE BP PC AE ∴=-=-；90ABE EBC ∠+∠=︒ ，ABE ∠EBC BAE ∴∠=∠，90AEB CPB ∠=∠=︒Q ，AB ABE BCP ∴V V ≌，1PC BE ∴==，5PB AE ==514PE PB BE ∴=-=-=，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥AF PE ⊥Q ，CP PE ⊥，AF CP ∴∥，AF PE ⊥Q ，CF AF ⊥，PE CF ∴∥，由平行线间的平行线段相等可得115422ACE S AE CF =⨯⨯=⨯⨯V 故答案为：10．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，ACF ECG ECG ∴∠+∠=∠+∠ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．4．综合与实践：在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 在直线l 上，点A 、B 在直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D ．(1)问题情境：如图1，在直线l 上取点E ，使BE l ⊥．则BE 与CD 的数量关系是_________________，此时AD BE DE 、、之间的数量关系是_________________．(2)探究证明：如图2，在直线l 上取点F ，使BF BC =，猜想CF 与AD 的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在直线l 上任取一点P ，连接BP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形BPM ，作MN l ⊥于点N ，请直接写出在图3、图4中MN AD CP 、、之间的数量关系．【答案】(1),BE CD AD BE DE =+=；(2)2CF AD =，理由见解析(3),MN AD CP MN AD CP+=-=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．（1）根据AAS 证明ACD CBE ≌，得BE CD =，CE AD =，进而可证AD BE DE +=；（2）过点B 作BH l ⊥于点H ，根据AAS 证明DAC HCB ≌，得AD CH =，由三线合一得2CF CH =，进而可得；2CF AD=（3）如图3，作BH l ⊥于点H ，作PF l ⊥，作BF PF ⊥于点F ，作ME PF ⊥于点E ，可证四边形MEPN 和四边形PFBH 都是矩形，从而BF BH =，MN PE =．结合ACD CBH △≌△，可证MN AD CP +=；如图4，作BH l ⊥于点H ，由ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，得MN PH =，AD CH =，进而可证MN AD CP -=．【详解】（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90CAD ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠．∵AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌，∴BE CD =，CE AD =，∵CE CD DE +=，∴AD BE DE +=．故答案为：BE CD =，AD BE DE +=；（2）2CF AD=理由如下：过点B 作BH l ⊥于点H ，如图，则90BHC ∠=︒，∴四边形MEPN 和四边形PFBH 都是长方形，∴BF BH =，MN PE =．由（1）知，ACD CBH △≌△， ∴AD CH PE BF ==，，∴PH MN =，∵CH PH CP +=，∴MN AD CP +=；由（1）知，ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，∴MN PH AD CH ==，，∵PH CH CP -=，∴MN AD CP -=．5．如图1所示，已知AB 为直线a 上两点，点C 为直线a 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作△ACD 和△BCE ，且90DAC CBE ∠=∠=︒，AD AC =，BC BE =，过点D 作1DD a ⊥于点1D ，过点E 作1EE a ⊥于点1E ．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．他的方法是：作直线CH AB ⊥于点H ，可以先证明1ADD CAH ≌△△和1BEE ≌△________，于是可得：________和________，所以得到线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，试探究三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，小华同学测得线段11D E m =，AB n =，请用含有m 、n 的代数式表示△ABC 的面积为________．三角形面积公式求出答案.【详解】解：（1）∵1DD a ⊥，CH AB ⊥，∴∠1DD A =∠CHA=90DAC ∠=︒，∴∠1D DA+∠1D AD=90°，∠1D AD+∠CAH=90°，∴∠1D DA=∠CAH ，∵AD=AC ，∴△1D DA ≌△HAC ，同理1BEE ≌△△CBH ，∴D 1D =AH ，1EE =BH ，∴11AB DD EE =+故答案为：△CBH ，1DD AH =，1EE BH =，11AB DD EE =+；（2）11AB DD EE =-．理由：如图，过点C 作CG a ⊥于点G ，∵1DD a ⊥，CG a ⊥，1EE a ⊥，∴1DD A AGC ∠=∠，1CGB BE E ∠=∠，∴1190DAD ADD ︒∠+∠=，90∠+∠=︒CBG BCG ，∵90DAC CBE ∠=∠=︒，∴190DAD CAG ︒∠+∠=，190CBG E BE ︒∠+∠=，∴1ADD CAG ∠=∠，1BCG EBE ∠=∠，在1ADD 和CAG 中，11,,,ADD CAG DD A AGC AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴1ADD ≌CAG ，∴1DD AG =，同理可得：1BCG EBE ≅△△，∴1BG EE =，由图可得：AB AG BG =-，∴11AB DD EE =-；侧作AE AD ⊥，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EF AC ⊥于F ，求证：ACD EFA △≌△；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线AC 于点M ．试探究BM 与EM 的数量关系，并说明理由．(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于点M ，若4AC CM =，求ADB AEMS S △△的值．=90DAE ∠︒，F ACD MCB ∴∠=∠=∠，90FAE CDA ∠=∠=在FAE 和CDA 中，F ACD FAE CDA AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FAE CDA ∴ ≌，EF AC BC ∴==，MCB F ∠=∠⎧90FAE D DAC ∴∠=∠=︒-∠，在AFE △和DCA △中，F ACD FAE D AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFE DCA ∴ ≌，AF DC ∴=，EF AC BC ==，AF AC DC BC ∴-=-，CF DB ∴=，18090BCM ACB ∠=︒-∠=︒ ，4AC n ∴=，3AM n ∴=，11222ADB S DB AC n AC n AC ∴=⋅=⨯⋅=⋅ ，12AEM S AM EF =⋅ ∴2332ADB AEM S n AC S n AC ⋅==⋅ ，综上所述，ADB AEM S S △△的值为25或23．。
全等三角形单元复习： 一线三等角模型课件(16张PPT)2024-2025学年人教版八年级上学期
∠ = ∠
ቐ ∠ = ∠
=
∴△ ≌△ （AAS）
方法总结
“一线三等角”模型最关键的要点是证明角相等：
（1）三垂直：利用同角的余角相等。
（2）一般角：利用三角形外角的性质。
（3）证明全等三角形的判定方法可以用AAS，也可以
用ASA。
∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴∠ = 90°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ = ∠ + ∠
又∵∠ = ∠ + ∠，∠ = ∠
∴∠ = ∠
在△ 和 △ 中，
∠ = ∠
ቐ
∠ = ∠
思考：若α为钝角，
=
上面结论仍然成立
∴△ ≌△ （AAS）
吗？
∴ = , =
∵ = +
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(3)当∠ = 60°时，∠ + ∠ = 120°.
理由如下：
∵∠ + ∠ = 120°
∴∠ = 60°
由(2)得，∠ = ∠
∴ ∠ = ∠ = 60°
∴∠ = 180° − ∠ − ∠ = 60°.
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(2)∵∠ = 40°
专题03 一线三垂直模型构造全等三角形(教师版)
专题03 一线三垂直模型构造全等三角形模型：三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC . 结论：R t △BCD ≌R t △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.A图①图②图③AC图④D EABC模型实例例题1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC .【证明】∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°，∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°，∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，BE ＝CD∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC .例题2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？【解析】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm ，∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cmDEDA例题3 如图，在平面直角坐标系中，等腰R t △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.【解析】（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中，BDC AOCDBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD ≌△CAO ，∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2，∴CD ＝3，BD ＝2，∴OD ＝5， ∴B （－5，2）（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO . ∵B （－1，0），C （0，3） ∴OB ＝1，OC ＝3. ∴AD ＝3，OD ＝2.xy 图①BA (0,3)C (-2,0)O∴OD ＝5. ∴A （3，2）.巩固提升1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .【证明】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF ，∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF ，∴∠BAE ＝∠CBF . ∵∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°. ∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°. ∴∠BGE ＝90°， ∴AE ⊥BF .F2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.【解析】∵a 、b 、c 都是正方形， ∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△CDE ，∴AB ＝CE ，BC ＝DE在R t △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE 即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.【解析】∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴∠FAC ＋∠ACF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠FAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .P在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE . （2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF . ∴AE ＝CF ，BE ＝AF . ∵EF ＝AE ＋AF ， ∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将 腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE . （1）当α＝45°时，求△EAD 的面积； （2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.【解析】（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F . ∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ， ∴∠GDF ＝90°.EA又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF ，∴EF ＝CG∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3， ∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1. ∴EADS＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP .【解析】过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形， ∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°. ∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°. 又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°. ∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH和△GAM中，AHC GMAACH GAMAC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可证△ABH≌△EAN ∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，EPN GPMENP GMPEN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPN≌△GPM，∴NP＝MP∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP课后练习 一、解答题1．在中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线，MN 经过点C ，且AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：DE ＝AD+BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD 【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证⊥ADC ≌⊥CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解． 【解析】（1）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， 在⊥ADC 和⊥CEB ，ABC， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下： ⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝BE ﹣AD ． 【小结】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：⊥ADC ≌⊥CEB ；（2）已知DE=35cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明⊥ADC ≌⊥CEB 即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°，⊥∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，⊥∠BCE ＝∠DAC ，在⊥ADC 和⊥CEB 中，⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：⊥一块墙砖的厚度为a ，⊥AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：⊥ADC ≌⊥CEB ，⊥DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，⊥DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，⊥a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【小结】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝3．已知，A （-1，0）．（1）如图1，B （0，2），以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角⊥ABC ． ⊥求C 点的坐标；⊥在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合）， 使⊥PAB 与⊥ABC 全等？ 若存在，直接写出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角⊥AEM ，设M （a ，b ），求a -b 的值．【答案】（1）⊥；⊥存在，或或；（2）1．【分析】（1）作CD⊥y 轴于D ，证⊥CEB ≌⊥BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF⊥y 轴于F ，证⊥EFM ≌⊥AOE ，求出EF ，即可得出答案．【解析】（1）⊥作CE⊥y 轴于E ，如图1，⊥A （-1，0），B （0，2），⊥OA=1，OB=2，⊥∠CBA=90°，()2,3C -()2,1P ()1,1-()3,1-⊥∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，⊥∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，⊥∠ECB=∠ABO ，在⊥CBE 和⊥BAO 中⊥⊥CBE ≌⊥BAO ，⊥CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，⊥C （-2，3）．⊥存在一点P ，使与全等，分为三种情况：⊥如图2，过P 作轴于E ，则，，，，在和中，≌，，，ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝PAB △ABC PE x⊥90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=90EPA PAE ∴∠+∠=90PAE BAO ∠+∠=EPA BAO ∴∠=∠PEA AOB EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEA ∴AOB 1PE AO ∴==2EA BO ==，即P 的坐标是；⊥如图3，过C 作轴于M ，过P 作轴于E ，则，≌，，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，即P 的坐标是；⊥如图4，过P 作轴于E ，123OE ∴=+=()3,1-CM x ⊥PE x⊥90CMA PEA ∠=∠=CBA PBA 45PAB CAB ∴∠=∠=AC AP =90CAP ∴∠=90MCA CAM ∴∠+∠=90CAM PAE ∠+∠=MCA PAE ∴∠=∠CMA AEP △MCA PAE CMA PEA AC AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMA ∴AEP △PE AM ∴=CM AE =()2,3C -()1,0A -211PE ∴=-=0312OE AE A =-=-=()2,1PE x ⊥≌，，，则，，，，在和中，，≌，，，，即P 的坐标是，综合上述：符合条件的P 的坐标是或或．（2）过作轴于，得到下图5CBA PAB △AB AP =∴90CBA BAP ∠=∠=90AEP AOB ∠=∠=90BAO PAE ∴∠+∠=90PAE APE ∠+∠=BAO APE ∴∠=∠AOB PEA BAO APE AOB PEA AB AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOB ∴PEA 1PE AO ∴==2AE OB ==0211E AE AO ∴=-=-=()1,1-()3,1-()1,1-()2,1M MF y ⊥F⊥⊥，由上图得：，，，，在和中，≌，，，轴，轴，，四边形FONM 是矩形，，．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．4．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且(),M a b ,MF a FO b ==90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=90AEO MEF ∠+∠=90MEF EMF ∠+∠=AEO EMF ∴∠=∠AOE △EMF △AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEO ∴()EMF AAS 1EF AO ∴==MF OE =MN x ⊥MF y ⊥90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=∴MN OF ∴=1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===A B 25C D DA AB ⊥A CB AB ⊥B 15DA =AB H C D H，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？【答案】应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得千米，最后根据线段的和差可得．【解析】由题意得：，千米，，，，，，，在和中，，，，千米，千米，千米，千米，答：应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【小结】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．90DHC ∠=︒H AC H A C 90A B ∠=∠=︒D BHC ∠=∠,15AH BC DA HB ===DH HC =25AB =,DA AB CB AB ⊥⊥90A B ∴∠=∠=︒90D AHD ∠∴∠+=︒90DHC ∠=︒18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒D BHC ∴∠=∠ADH BHC △A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH BHC AAS ∴≅,AH BC DA HB ∴==15DA =25AB =15HB ∴=10BC AH AB HB ∴==-=H A C5．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BD=10厘米，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）厘米【分析】（1）由DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ；（2）由（1）可知⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=BC ＝BD ＝5厘米． 【解析】解：（1）⊥DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，⊥∠ABC+∠DEB=90°，⊥∠ACB=90°，⊥∠ABC+∠A=90°，⊥∠A=∠DEB ，在⊥ABC 和⊥EDB 中，， ⊥⊥ABC ≌⊥EDB （AAS ），⊥BD=BC ；ABC ∆DBC∆51212ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝（2）⊥⊥ABC ≌⊥EDB ，⊥AC=BE ，⊥E 是BC 的中点，BD=10厘米，⊥BE=BC ＝BD ＝5厘米． 【小结】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．1212。
30+全等三角形+模型一：一线三等角北师大班
一线三等角模型构造全等三角形【全等三角形图形说明】在初中数学《全等三角形》中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。
今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
这个模型贯穿初中几何的始终。
下面我们具体分析一下这个模型。
【例题讲解】1．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D （1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．【作业设计】3．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝．（不要求写过程）6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从点B出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒．则经过多长时间，△PEC与△QFC全等？并说明理由。
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一线三角与全等三角形
探究：
在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .
（1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时， ○
1图中有几对相等的锐角？ ○
2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○
3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；
、
巩固提高：
1.如图，ABC ∆是等腰三角形，
DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =；○2
21∠=∠；○
3︒=∠+∠9043；○4BE AD =.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）
3个 （D ）4个
（第1题图）
（第2题图）
2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC
=，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，
l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________.
3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于
点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _______________.
4.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB _______________.
（第3题图） （第4题图）
5.在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF _______________.
6.在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，25==BC AC ，直线l 经过斜边AB 的中点D ，且l AE ⊥于点E ，l CF ⊥于点F .若4=AE ，则=EF _______________.
（第6题图）
7.如图，在等边ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，连接CD ，点E 在CD 上，连接AE ，
︒=∠60AED ,过点B 作BF ∥AE 交CD 的延长线于点F . 求证：EF AE =.
（第7题图）
F。