中南大学大学物理电磁学 静电场中导体和电介质

A B 1 2 3 a E 3 E 2 E1
A板
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
1 2 3
b
电荷分布
E1 E 2 E 3
31
A
B
电荷分布
1
Q 0 2 3 S
在静电平衡下，导体内 部场强为零
41
RB RA 或RB
这就是孤立球形导体的电容公式
例 平行无限长直导线已知:a 、d、d>> a.求:单位长度导线 间的电容C.


A
O
B
P E
d
x
解: 设单位长度导线带电 量为。
场强分布E 20 x 20 (d x)
d a
X
a
导线间电势差u A u B
设+q、-q
由高斯定理求得E q 40 r 2
q
q
q
B
r
A
RA
电势差
1 1 u A uB dr ( ) 2 40 r 40 RA RB RA
RB
RB
q
由定义 C
讨论
4 0 R A RB q uA u B RB R A
C 4 0 RA
r
20 r
由高斯定理求得E
电势差
B RB
RB
RB u A uB Edr dr ln 2 0 RA A R A 2 0 r
由定义
q C u A uB 20 L RB RB ln ln 20 RA RA
L
40
3.球形电容器 已知 R A RB
E dx
a
电容C

u A uB

0
d ln a
d a d ln ln 0 a 0 a
42
三.电容器的连接
1.电容器的串联
C1 C2 U
C3 C4
C
U
1 1 1 1 C C1 C 2 Cn
即串联等效电 容器的电容的 倒数等于每个 电容器电容的 倒数之和
q
q
Q q
由高斯定理得
场 强 分 布
E
0 q
4 0 r Qq 4 0 r 2
2
r R1
R2 r R3
R1 r R2
r R3
33
Q q
场 强 分 布
0 r R1 R2 r R3
E
q 4 0 r 2
R1 r R2
B
q q
A R1 O
+ + +
+
+ + +
S
+
+ + +
17
+
+
+ +
+
2、空心导体, 腔内无电荷 空腔内表面上没有电荷，电荷只分布在外部表面。 在导体内包围空腔作 高斯面S。则：
1 E dS
S
0
q
S内
i
0
18
3、空心导体, 腔内有电荷 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异 号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
35
练习 已知: 两金属板带电分别为q1、q2求：电荷 面密度1 、2 、3 、4 有厚度
q1
S
q2
S 2 S q1 假设 1、 2、 3、 4 0.根据电荷守恒有 1 3 S 4 S q2 又在静电平衡下，导体内部场强为零， 1 2 3 4 q q 1 4 1 2 2 2 2 2 0 0 2S . 0 0 0 ，解得 q q2 4 1 2 3 0 2 3 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2S
37
二、电容器
导体组合,使之不受周围 导体的影响 ——电容器
电容器的电容：当电容器的两极板分别带有等值异号电
荷q时，电量q与两极板间相应的电势差uA-uB的比值。
q C u A uB
38
1.平行板电容器
已知：S、d、0 设A、B分别带电+q、-q
q
q
A、B间场强分布 E 0
金属球放入前电场为一均匀场
E
14
金属球放入后电场线发生弯曲 电场为一非均匀场
++ + + + ++
E
15
⑵导体表面附近的场强方向处处 性质 与表面垂直。 (3)导体是等势体，导体表面是等势面,且导体内
部电势等于导体表面电势
静电平衡
⑴导体内部任意点的场强为零。
p
等势体 a
b
Q
等势面
ua ub E内 dl a ua ub E内 0
Q q
连接A、B, q和-q中和
球壳外表面均匀带电 Q q
B
q q
A R1 O
R2
r R3
E 0由高斯定理得到
R3
Qq 将电荷无限等分，利用点电荷电势公式 uo 40 R3
r R3

Qq 由高斯定理得到 E 2 40 r

Qq Qq u Edr dr 2 40 r 40 r r r
电势差
E
A
讨论
d
B
qd u A uB E dl Ed 0S A
B
0S q 由定义 C u A uB d
C 与 d S 0 有关 S C ； C d
39
2.圆柱形电容器
已知： R A R B L
A

B L
l
RA
L RB RA
设圆柱面单位长度上的电荷量为 .
第十章
10-1
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体
一、导体的静电平衡性质
无外电场时
1
导体的静电感应过程
E0
加上外电场后
2
导体的静电感应过程
E0
+
E E 0 E
加上外电场后
3
导体的静电感应过程
E0
+
E E 0 E
加上外电场后
+
4
导体的静电感应过程
E0
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
30
B板接地时 4 0，为什么？因为静电平衡， B板右侧的电场强度 EB右
4 ，若EB右 0，则B板的电势U B EB右 dx 0, 矛盾！ 0 x
B
1 2 3 a点 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 b点 0 2 0 2 0 2 0
R2
Qq 4 0 r 2
R3
r R3
球心的电势
R3 R2 R1 uo E dr Edr Edr Edr 0 0 R1 R2
Edr
R3

1 1 1 qQ ( ) 4 0 R1 R2 4 0 R3 q
34
②用导线连接A、B，再作计算
1
2 3
4
36
10-2 电容
电容器
一、孤立导体的电容 孤立导体：附近没有其他导体和带电体
qU
q C U
孤立导体的电容
孤立导体球的电容
C=40R
电容在数值上等于使导体升高单位电势所需的电 量。 单位：法拉（F）、微法拉（F）、皮法拉（pF）
1法拉 1库仑 伏特
1F 106 F 1012 pF
b
导体内
Q uP uQ E dl E cos 900 dl 0 导体表面
Q P
uP uQ
P
16
二、静电平衡下导体上的电荷分布
1、实心导体 导体内没有净电荷，电荷只分布在导体表面上。
E dS
S

V
e dV 0
E内 0 e 0
A B 1 2 3
场 强 分 布
两板之间
E
2 3 Q 0 0 0S
E
两板之外
1 4 E 0 0 0
32
例2.已知R1 R2 R3 q Q
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
Q q
B
q
q
A R1 O
R2
②如用导线连接A、B，再作计算
R3
解: 电荷分布
则
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 用导线连接两导体球
uR1 uR2
2
Q2 即 4 R 4 R 0 1 0 2
2
Q1
1 4R1 2 4R2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
导体表面曲率较大的地方，电荷面密度也较大
21
导体表面上的电荷分布
加上外电场后
11
导体的静电感应过程
+ + + + + +
E0
E E 0 E
加上外电场后
+ + + +
12
导体达到静电平衡
+ + + + + + + + + +
E E E 0 E
感应电荷
E0
E内 E0 E 0
感应电荷
13
+ + +
+ +
+
+
+ + + +
+
+
结论：一个接地的金属 壳（网）既可防止壳外 来的静电干扰，又可防 止壳内的静电干扰壳外
25
实际中大量应用： 1）测试用的屏蔽室
2）无线电电路中的屏蔽罩、屏蔽线、高压 带电作业中的均压服。 3）变压器中的屏蔽层。 初级 次级
26
封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场 静 电 不受外电场的影响； 屏 接地封闭导体壳（或金属丝网）外部的场 蔽 不受壳内电荷的影响。
加上外电场后
+ +
8
导体的静电感应过程
+ + +
E0
+
+ + +
E E 0 E
加上外电场后
9
导体的静电感应过程
E0
+ + +
+ + +
E E 0 E
加上外电场后
10
导体的静电感应过程
+ + + + + + + +
E0
E E 0 E
+ + +
E E 0 E
加上外电场后
+ +
5
导体的静电感应过程
E0
+ +
E E 0 E
加上外电场后
+
6
导体的静电感应过程
E0
+ + +
E E 0 E
加上外电场后
+ +
7
导体的静电感应过程
E0
+ + +
E E 0 E
E4
A
b
E1 E 2 E 3
29
B
解方程得:
电荷分布
A
Q 1 4 2S
QE E E
场强分布
静电 平衡 例题
A 板左侧
两板之间
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
未引入q1时
放入q1后
q2 q1
+ q1
q1 q 2
19
二、导体表面外侧的场强
尖端放电
1.电场强度与电荷面密度的关系
表面附近作圆柱形高斯面
E dS E S cos 00

E
S
S 0
E 0
20
2. 电荷面密度与曲率的关系
1 R
导体表面上的电荷分布情况，不仅与导体表面 形状有关，还和它周围存在的其他带电体有关。
静电场中的孤立带电体：
导体上电荷面密度的大小与该处表面的曲率有关。
曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大
曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小
曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
22
3. 尖端放电 尖端场强特别强，足以使周围空气分子电离 而使空气被击穿，导致“尖端放电”。 ——形成“电风”
23
四、静电的应用
防上静电干扰的思路： 1）“躲藏起来” 2）大家自觉防止静 电场外泄 实验： + ++ + Q + + ++
咯咯嚓嚓
+
+ ++ + Q + + ++
+
24
解 + ++ 释： + Q + + ++
+
- -+ -- + -- - +
+
+ +
+
+
+ + + +
- -+ -- + -- - +
E
++ E0 + +







27
五、有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律
电荷分布
静电平衡条件
E
u
28
例1.已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边 放入导体板B。 有厚度 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布
1 2 3 4 0 a点 2 0 2 0 2 0 2 0
解
(2)将B板接地，求电荷分布
A B 1 2 3 4
1 2 3 4 b点 0 2 0 2 0 2 0 2 0
E 4 E 3 E 2 E1
1 2 3 4
a
A板
1S 2 S Q
B板
3S 4S 0
43
2.电容器的并联
a
U
C1
C2
C3 C4
b
q C C1 C 2 C n U C C1 C 2 C n
即并联等效 电容器的电 容等于每个 电容器电容 之和
44
10—3、静电场中的电介质 一、电介质的极化 The Polarization of Dielectric