4正态分布
第四章 第一讲 正态分布及其性质
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
标准的正态分布
标准的正态分布正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它具有许多重要的性质，因此在自然和社会科学中经常出现。
正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐减小，呈对称分布。
在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，且位于分布的中心。
正态分布的密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-((x-μ)²/(2σ²)))。
其中，μ是分布的均值，σ是标准差，π是圆周率，exp是自然对数的底数。
正态分布具有许多重要的特性，其中之一是68-95-99.7法则。
这一法则指出，大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这一特性使得正态分布在统计推断中有着重要的应用，可以帮助我们对数据的分布进行初步的判断。
正态分布在自然界和社会科学中有着广泛的应用。
例如，人的身高、智力分数、体重等都呈现出正态分布的特征。
在工程和经济学中，许多随机变量的分布也可以近似地用正态分布来描述。
因此，对正态分布的理解和运用对于我们理解和分析各种数据具有重要意义。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对数据进行正态性检验的情况。
正态性检验是指通过统计方法来判断数据是否符合正态分布。
常见的正态性检验方法包括直方图分析、QQ图检验、Shapiro-Wilk检验等。
通过对数据进行正态性检验，我们可以更好地选择适当的统计方法，从而得到更加准确的分析结果。
除了在统计学和概率论中的应用外，正态分布还在金融工程、风险管理、医学诊断等领域发挥着重要作用。
例如，在金融领域，股票价格的日收益率往往呈现出正态分布的特征，这对于风险管理和投资决策具有重要意义。
总之，正态分布作为概率论和统计学中最重要的分布之一，具有广泛的应用价值。
通过对正态分布的深入理解和运用，我们可以更好地分析和解释各种数据现象，为科学研究和实际应用提供有力支持。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布通俗解释
正态分布通俗解释
正态分布是一种概率分布，也称为高斯分布。
它是由柯西在19世纪末提出的，是统计学中最常见的分布之一。
正态分布的特点是数据呈现“钟型分布”，即以平均数为中心，向两侧延伸，两侧的数据出现次数逐渐减少。
通俗来讲，正态分布就是指一组数据在统计上呈现“正常分布”的状态。
这种分布的数据往往是由许多不同的因素共同作用而产生的，不存在极端值的影响。
因此，在实际应用中，正态分布往往被用于描述人类智力、体重、身高等方面的分布情况。
正态分布的另一个特点是其满足中心极限定理。
这一定理指出，当样本容量足够大时，任何给定的样本的平均数的分布都将接近正态分布。
因此，正态分布在实际应用中往往被用于描述大样本的分布情况。
例如，在质量检测中，如果样本容量足够大，则样本的质量平均数的分布往往接近正态分布。
正态分布还具有很多其他的特点，例如其概率密度函数的形式等。
如
果您想了解更多关于正态分布的知识，可以咨询相关的数学或统计学资料。
四级正态分布表
四级正态分布表
摘要：
一、四级正态分布表的概念和特点
1.正态分布的概念
2.四级正态分布表的特点
二、四级正态分布表的应用领域
1.考试成绩分析
2.考试成绩预测
3.其他领域的应用
三、如何利用四级正态分布表进行数据分析
1.确定数据的分布状态
2.计算平均值和标准差
3.分析数据分布的合理性
四、四级正态分布表的优缺点
1.优点
a.易于理解和使用
b.可以反映数据的整体状况
2.缺点
a.不能反映数据的具体情况
b.对数据的要求较高
正文：
四级正态分布表是一种常用的数据分布表，它将数据按照一定的规则分成四个级别，从而可以更好地分析和预测数据。
四级正态分布表的主要特点是，它能够将数据分为四个级别，每个级别的数据所占比例相同，并且能够反映数据的整体状况。
四级正态分布表的应用领域非常广泛，其中最常见的是用于考试成绩的分析。
通过对考试成绩进行四级正态分布，可以更好地了解考试的整体情况，预测考试成绩，为教学提供参考。
此外，四级正态分布表还可以用于其他领域的数据分析，例如企业的绩效考核、产品的质量控制等。
在利用四级正态分布表进行数据分析时，首先需要确定数据的分布状态，即判断数据是否符合正态分布。
其次，需要计算数据的平均值和标准差，这是进行四级正态分布的基础。
最后，需要分析数据分布的合理性，判断数据是否符合实际情况。
四级正态分布表的优点在于，它易于理解和使用，能够反映数据的整体状况。
4正态分布 2
x=
正态分布曲线下的面积规律
对于正态分布X~N(μ,σ2) ,以总面积为1，则 在 μ±uασ 范围所对应的曲线下的面积为1-α。
表2-5 常用u值表
α 0.20 0.10 0.05 0.01 单侧 0.842 1.282 1.645 2.326 双侧 1.282 1.645 1.960 2.576
e
1 x 2
2
, x
即随机变量X服从均数为μ,标准差为σ的正 态分布，记为： X~N(μ,σ2) f(x)称随机变量X的概率密度函数。
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X )
1
2
e
( X )2 2 2
标准正态分布曲线下面积(u)
-u
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-3.0 -2.5 -2.0 -1.9 -1.6 -1.0 -0.5 0
0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
由于正态分布以均数所在处频数最多，两侧 逐渐减少，左右完全对称，故u值的均数为0。又由 于以原变量值的标准差为单位，故u值的标准差为1
医学统计学-4-正太分布及应用
1 2 e
u 2 2
，(-∞＜ u ＜+∞)
对其定积分：
(u )
1 2
u
e
u 2 2
du
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。 引入标准化变换后，对于其他任何正态分 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计 布 任意（X1，X2）范围内的频数比例。
1、参考值范围确定的注意点
“正常人” 的概念 样本数据大小的问题 检测误差的问题 判断是否分组 单、双侧的问题 “绝大多数”的含义 是否需要确定可疑范围 变量转换的问题
不管将正常界值定在什么位置，都可能出现假 阳性或假阴性，产生这两种误判的根本原因是 正常人的分布与病人的分布有重叠 。
（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。 认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分 布N（3100,3002）,作标准化变换：
u X
2500 3100 2.00 300
注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均 数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服 从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm 以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求 X ±1s、 X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占 该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比 较。
《数理统计》第6章§4正态总体的置信区间
区间。
其他非正态分布的影响
03
非正态分布可能导致置信区间的形状和范围与正态分
布不同，需要特别注意。
05
置信区间的应用实例
金融数据的置信区间分析
股票价格的预测
通过分析历史股票价格数据，利 用正态总体置信区间估计股票价 格的未来走势，为投资者提供参 考。
总体方差的置信区间
总结词
总体方差的置信区间是用来估计未知的总体 方差的一个区间范围，基于样本方差和自由 度。
详细描述
在正态分布的假设下，总体方差的置信区间 可以通过样本方差和自由度计算得出。具体 来说，对于给定的置信水平（如95%），我 们可以使用以下公式来计算总体方差的置信 区间：$left(frac{text{样本方差}}{text{自由 度}} pm text{统计量}right)^2$，其中统计量
许多自然现象的观测数据都服从或近似服从 正态分布，如人的身高、考试分数等。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布是重要的 理论基础。
参数估计
利用正态分布的性质进行参数的点估计和区 间估计，如均值和方差的估计。
线性回归分析
在回归分析中，正态分布用于解释因变量的 变异和建立预测模型。
02
置信区间的概念
流行病学研究
在流行病学研究中，利用置信区间分析疾病发病率 、患病率等指标，为制定公共卫生政策提供依据。
诊断试验评价
在评价诊断试验的性能时，使用置信区间分 析试验结果的准确性，为医生提供可靠的诊 断依据。
市场调查数据的置信区间分析
市场份额预测
通过对市场调查数据进行置信区间分析，预测产品在市场 中的份额和潜在增长空间。
4正态分布
+∞
1 = ∫ ( x − μ) ⋅ e −∞ 2 πσ x− μ 令 = t,得 σ t2 2 − +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫− ∞
+∞
2
( x − μ )2 − 2σ 2
d x.
t2 2 ⎛ − σ ⎜ = − te 2 2π ⎜ ⎝
+∞
+∫ e
−∞
t2 +∞ − 2 −∞
所以
1 E( X ) = ∫ x ⋅ e −∞ 2πσ
+∞
( x − μ )2 − 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫−∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ − 2 −∞
t2 − 2
dt
t2 − 2
σ +∞ dt + ∫−∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
dx
dx
1 = e 2π
z t = x− 2
∫− ∞ e
+∞
+∞
z ⎛ −⎜ x− 2 ⎝
⎞2 ⎟ ⎠
1 e 2π
z2 − 4
∫− ∞ e
−t2
dt=
1 2 π
e
z2 − 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
∫
c− μ σ −∞
1 e 2π
u2 − 2
⋅du
⎛d − μ⎞ c − μ⎞ =Φ⎜ ⎟ −Φ ⎛ ⎜ ⎟. σ ⎠ ⎝ ⎝ σ ⎠
数学正态分布
正态分布是概率论中最重要的一种连续型随机变量分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，因此也被称为钟形曲线分布。
正态分布的概率密度函数可以表示为：
f(x) = (1/σ√2π) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)
其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
这个公式表明，正态分布的概率密度函数关于均值对称，且随着离均值的距离增加而逐渐减小。
正态分布在统计学和科学领域中有着广泛的应用。
例如，在描述自然现象、人类行为和社会现象等方面，很多数据都呈现出正态分布的特征。
此外，许多统计方法都基于正态分布假设，例如参数估计、假设检验等。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率论和统计学中最重要的分布之一，它在自然界和社会现象中广泛存在。
本文将从定义、特征、应用等方面详细介绍正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义和性质1.1 正态分布的定义正态分布是指在一维空间中，以均值μ和标准差σ为参数的连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部渐进于x轴，对称分布于均值μ处。
1.2 正态分布的特征正态分布具有以下特征：（1）均值和中位数相等，分布对称；（2）标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；（3）68-95-99.7法则，约68%的数据落在均值左右一个标准差范围内，约95%的数据落在均值左右两个标准差范围内，约99.7%的数据落在均值左右三个标准差范围内。
1.3 正态分布的应用正态分布在实际应用中有广泛的用途，包括但不限于：（1）自然科学研究，如天文学、物理学等；（2）社会科学研究，如经济学、心理学等；（3）质量控制，如产品质量检测、工艺控制等；（4）统计推断，如参数估计、假设检验等。
二、正态分布的计算方法2.1 Z分数的计算Z分数是指将原始数据转化为标准正态分布的分数，计算公式为：Z = (X - μ) / σ，其中X为原始数据，μ为均值，σ为标准差。
2.2 正态分布的累积概率计算正态分布的累积概率可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件进行计算。
标准正态分布表给出了不同Z值对应的累积概率。
2.3 正态分布的反向计算反向计算是指已知累积概率，求对应的原始数据。
可以通过查找标准正态分布表的逆查表或使用统计软件进行计算。
三、正态分布的假设检验3.1 假设检验的基本原理假设检验是统计学中常用的推断方法，用于判断样本数据与某个假设的一致性。
在正态分布中，常用的假设检验方法有单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验等。
3.2 假设检验的步骤（1）建立原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量；（3）计算检验统计量的观察值；（4）确定显著性水平，进行决策；（5）得出结论。
第四章 正 态 分 布 体育统计学
第四章 正 态 分 布如果将第二章中的（表2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。
（图4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图4 —2）所示的平滑的曲线。
这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。
随机变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是正态分布。
下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。
12345678910x图4 — 1 频数多边形图第一节 正态分布曲线的形式如果随机变量X 的概率密度函数为y =πσ21e 222)(σμ--x （+∞<<∞-x ） （4 — 1）则称随机变量X 是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。
（图4 — 2）X 的变动范围在 ∞- 至 +∞ 间。
YX0μ图4 — 2 正态分布曲线正态分布曲线中有两个参数：均值 μ 及方差 2σ。
为了应用方便，对式（4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令u 来代替原式中的 σμ-x ， 寻这时的随机变量u 的概率密度函数成为：y = π21e 22u - （4 — 2） 按照（4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。
（图4 — 3）Y00.40.30.20.1-1-2-3123μ图4 — 3 标准正态分布曲线第二节正态分布曲线的特征正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。
它的主要特点有以下几个方面：一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。
在正态分布中均值与中位数相重合。
二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。
三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以σμ1±的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。
四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1. 00。
正态分布的参数
正态分布的参数一、什么是正态分布正态分布（Normal Distribution）又称高斯分布（Gaussian Distribution），是一种连续概率分布。
在统计学中，正态分布是最重要的概率分布之一，因为它具有很多良好的性质，例如对称性、单峰性、稳定性等。
正态分布在自然界中也广泛存在，如身高、体重、智力等指标都服从正态分布。
二、正态分布的参数1. 均值μ均值μ是一个描述数据集中趋势的参数，它代表着数据集中心的位置。
在正态分布中，均值μ就是曲线的对称轴。
当μ=0时，曲线的对称轴就位于y轴上方。
2. 标准差σ标准差σ是一个描述数据集散度的参数，它代表着数据集离散程度的大小。
在正态分布中，标准差σ决定了曲线的形状和宽度。
当σ越大时，曲线就越平缓；当σ越小时，曲线就越陡峭。
3. 方差σ^2方差σ^2是标准差σ的平方，它也是一个描述数据集散度的参数。
在统计学中，方差是最常用的描述数据离散程度的指标之一。
在正态分布中，方差σ^2也决定了曲线的形状和宽度。
4. 偏度Skewness偏度Skewness是一个描述数据集偏斜程度的参数，它代表着数据集分布形态的偏斜程度。
在正态分布中，偏度为0，表示曲线左右对称；当偏度>0时，表示曲线向右偏斜；当偏度<0时，表示曲线向左偏斜。
5. 峰度Kurtosis峰度Kurtosis是一个描述数据集峰值程度的参数，它代表着数据集分布形态的尖峭程度。
在正态分布中，峰度为3，表示曲线为标准正态分布；当峰度>3时，表示曲线更加尖峭；当峰度<3时，表示曲线更加平缓。
三、正态分布的性质1. 对称性正态分布具有对称性，在均值μ处呈现出最高点，并且两侧呈现出相同的形状。
这个性质使得我们可以通过均值来确定整个分布的特征。
2. 单峰性正态分布是一种单峰分布，在均值处呈现出最高点，并且两侧呈现出相同的形状。
这个性质使得我们可以通过均值和标准差来确定整个分布的特征。
3. 稳定性正态分布具有稳定性，即当数据集中有新数据加入时，整个分布的形态不会发生明显变化。
正态分布标准
正态分布标准正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。
它具有许多重要的性质，使其在自然科学、社会科学和工程领域中得到了广泛的应用。
正态分布的标准形式具有许多特征，本文将对正态分布的标准形式进行详细介绍。
首先，我们来了解一下正态分布的基本特征。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，呈对称分布，均值、中位数和众数相等，且位于曲线的中心。
标准正态分布具有均值为0，标准差为1的特性，其概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)，其中e为自然对数的底数。
标准正态分布的曲线在均值处达到最高点，且两侧逐渐下降，呈现出典型的钟形。
正态分布的标准形式在统计学和实际应用中具有重要意义。
许多统计推断和假设检验的方法都建立在正态分布的假设之上。
在实际数据分析中，我们经常需要将非正态分布的数据转化为正态分布，以便进行进一步的统计分析。
而标准正态分布则为我们提供了一个基准，可以用来进行比较和标准化。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的累积分布函数值。
这可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件来实现。
标准正态分布表列出了在标准正态分布曲线下方的面积值，可以帮助我们进行统计推断和概率计算。
而在统计软件中，我们可以直接输入变量的数值，软件会自动计算出对应的累积分布函数值。
除了计算累积分布函数值外，我们还可以利用标准正态分布进行概率计算。
例如，我们可以计算变量落在某个区间内的概率，或者计算两个变量之间的相关性。
这些计算都建立在对标准正态分布的理解和应用之上。
总之，正态分布的标准形式在统计学和实际应用中具有重要的地位。
它不仅具有重要的理论意义，还为我们提供了一个重要的工具，可以帮助我们进行统计推断、概率计算和数据分析。
因此，对于正态分布的标准形式，我们应该深入理解其特性和应用，以便更好地应用于实际问题的解决中。
希望本文对正态分布的标准形式有所帮助，谢谢阅读！。
第四章：正态分布
P { 1 .3 (X 1 )/2 0 .7 } (0.7) ( 1.3)
( 0 . 7 ) [ 1 ( 1 . 3 ) 0 ] . 7 5 [ 1 0 . 8 9] 0 0 . 6 3 . 6 2
例2. 设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
(二)标准正态分布N(0, 1)
X~f(x)
1
x2
e 2,
x
2
E(X) x(fx)d x
2 xex2 2d x0(奇函 ) 数
D(X)E{X [ E(X)]2}[xE(X)2 ]f(x)dx
x2 2 1ex22dx1
0.3(x)0.7(x1)
22
于 E 是 X x ( x ) f d x x [ 0 .3 ( x ) 0 .7( x 1 )d ]x
22
0 .3 x(x)d x 0 .7 x(x 1 )dx
求 P { X 0 } .
解 P { 2 X 4 } P { 0 ( X 2 ) / 2 /}
随机变量 标准化
(2 /) (0 ) 0 .3 , (2 /) 0 .3 (0 ) 0 .8
P { X 0 } P { X ( 2 )/ 2 /}
图象见右上角
正态分布有两个特性： (1) 单峰对称
1
2 f (x)
密度曲线关于直线x=对称
f()＝maxf(x)＝ 1
2
0
(2) 的大小直接影响概的分布
越大,曲线越平坦;
f (x)
越小，曲线越陡峻.
正态分布也称为
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正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
（2）百分位数法：特别适用于偏态分布资料以及资料中 一端或两端无确切数值的资料。如95%参考值范围： 双侧界值：P 2.5和P 97.5 单侧上界：P 95 单侧下界： P 5 （3）对数正态分布法：适用于对数正态正态分布资料。 双侧界值 单侧上界 单侧下界
lg 1 ( X lg X u / 2 slg X ) lg 1 ( X lg X u slg X ) lg 1 ( X lg X u slg X )
双侧u 单侧u / 2,如双侧u0.10 单侧u0.05 1.64
2. 估计频数分布
X X u s
3. 进行质量控制
三、正态分布的应用
1. 制定医学参考值范围 概念 参考值范围（reference range)是指所谓“正常人” 的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定参考值范 围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”。 所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响 所研究指标的疾病和有关因素的同质人群。其次需根据 指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根据研究目的和 使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和 99%，常用95%。
为了控制实验中的检测误差，常 以 X 2s 作为上下警戒值，以 X 3s 作为上下控制值。这里的2s和3s可视 为1.96s和2.58s的约数。
4.正态分布是许多统计方法的理论基础：
分布都是在正态分布的基 础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。
2
（1） t分布、F分布、x
（2） t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正 态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处 理。
2
, X
u
X
; 0, 1
标准正态分布 2 / 2
, u
• 正态分布的特征
1．集中性：正态曲线在横轴上方均数处最高。 2．对称性：以均数为中心，左右对称。
3．正态分布的图形由均数和标准差两个参数决定。 位置参数μ；变异度参数σ。
168 172.70 (1)u 1.17 4.01
查附表得， φ (u)=0.1210，即该地18岁男大学生身高 在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的12.10%。
177 172.70 (2)u 1.07 4.01
查附表得， φ (-1.07)=0.1423，则 φ (u)=1- φ (-1.07) =1-0.1423=0.8577，即该地18岁男大学生身高在177 cm以下 者占该地18岁男大学生总数的85.77%。
查表方法：
1 、先求 u 值
, 已知：u , 未知：u
x
xx s
2、根据所得u值查表，应注意以下几点： （1）曲线下横轴上的总面积为100%或1； （2）表中曲线下面积为 到 u的面积 ； （3）曲线下的面积以0为对称，即
(u ) 1 (u),
标准正态分布：为了实际应用的方便，设u=（xμ）/σ或Z= （x-μ）/σ ，即将原点移到μ的位置， 横轴尺度以σ为单位，使μ=0，σ=1，则将原正态分布 变换为标准正态分布,N(0,1)。 u为标准正态变量或标 准正态离差。 正态分布
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
如区间（ ， 1.96 ）与区间（ .96， ）的面积相等。 1
例：某地1998年抽样调查了100名18岁男大学生身高， 其均数=172.70cm，标准差=4.01 cm。 （1）估计该地18岁男大学生身高在168 cm以下者占该 地18岁男大学生总数的百分数； （2）估计该地18岁男大学生身高在177 cm以下者占该 地18岁男大学生总数的百分数。