「初中数学」利用对称求线段和最值
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
中考数学之 线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’Bmmmmm Q。
初中数学几何最值专题50：轴对称最值(最全修正版)
蚂蚁行程【例题精讲】例1、如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是。
解析提示：总结：例2、如图，在四边形ABDE中，C是BD的中点，BD＝8，AB＝2，DE＝8．若∠ACE＝150°，则线段AE长度的最大值为。
解析提示总结：例3、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，沿EF所在直线折叠△BEF，使点B的对应点B'始终落在边CD上，则点A，E间的距离d的取值范围是。
解析提示：总结：针对训练1、如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是。
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，BP的取值范围是。
3、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝12，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是。
4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是。
5、折叠纸片，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与AD，BC相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与BC，AD相交于点E，F，则线段CE的取值范围是。
6、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠DAB＝60°，点E，F分别是边AD、AB上的动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点A'落在边CD上，则BF的取值范围。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
利用轴对称性质求几何最值
利用轴对称性质求几何最值————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中,为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：(1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边;(3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征:已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置,使动点与定点线段和最短。
核心思路:这类最值问题所求的线段和中只有一个动点,解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点,连结这个对称点与另一定点，交直线于一点,交点即为动点满足最值的位置。
变异类型:实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
１. 如图，等边△AＢC的边长为6,AD是ＢＣ边上的中线,M是AＤ上的动点,E是AC边上一点，若AE=2，ＥM+CM的最小值为()Ａ．4 B.8 C.Ｄ.2.如图,等边△ABC的边长为４，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,E是ＡC边上一点,若ＡE＝2,当EF＋ＣF取得最小值时，则∠EＣＦ的度数为（）A．1５°Ｂ.2２.5° C.30° D. 45°3.如图,Ｒt△AＢC中，AC=BC=4,点D,E分别是AＢ,AC的中点，在CD上找一点Ｐ,使ＰA+PE 最小，则这个最小值是__＿__＿______＿.4.(2006•河南）如图，在△ＡBC中，AC=ＢC=2，∠ＡCB=90°,D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，则EC+ED的最小值是＿_＿＿＿__＿＿＿＿＿_.5．如图,在正方形ABCＤ中,E是AB上一点，ＢE=2,AE＝3BＥ,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( ）A.Ｂ．C． D. 106..（2０09•抚顺）如图所示,正方形AＢCD的面积为12,△ＡBE是等边三角形，点Ｅ在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点Ｐ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( ）A．2√3 B. 2√6Ｃ．３Ｄ. √６（2）一点两线的最值问题：（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间,分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
利用轴对称解决最值问题
九年级数学专题复习利用轴对称解决最值问题学案学习目标：1.借助中考真题的探究,掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决图形几何最值问题的思考方向、思路方法,并感受体验其解题策略；2.体验变化中寻找不变性的数学思想方法, 能将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破.学习重难点：1.借助相关概念、图形性质、定理,探寻几何图形最值问题中化归与转化的关键.2.知识溯源，借助中考真题的研究，从知识转化角度，掌握处理最值问题的基本知识源，归纳总结其解题策略.教学过程：一、真题探究真题示例1（2016•福建龙岩）如图1，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4【基本模型（一）】变式1：正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________变式2：在等边三角形ABC 中，AB ＝4，点E 是AB 的中AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP ＋PE 的值最小 .变式3：已知二次函数的图象与坐标轴交于点 A （-1， 0）点B （0，-5）和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使 的周长最小，求出点P 的坐标。
（1） （2） （3）(图1) c x ax y +-=42PAB ∆N M D C B A真题示例2（2016•四川内江）如图2所示，已知点C(1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．【基本模型（二）】变式：45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR△周长的最小值为_________．真题示例3（2012•浙江宁波）如图4，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 .【基本模型（三）】变式：如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4, BC=5,P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为 .(图3) (图2)【拓展延伸】如图，在等边三角形ABC 中，AB=4，点D 、P 、E 分别为边BC 、AB 、AC 上（均不与端点重合）的动点 则 的周长的最小值是________.三、专题总结1.收获哪些解题方法?2.体验哪些解题策略?DEP课后自测题1.（2013•江苏宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x 轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是．变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是．2.(2016•四川泸州)如图6，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 .3.（2016•江苏常州）如图7，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx 的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(图7)(图6)。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
用轴对称知识求线段和的最小值讲解
浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A1 Array2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
2022年中考复习专题线段和差最值问题之对称
中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA+PB 最小？这个问题的难点在于PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作点A 关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA ，所以PA+PB=P A'+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，PA'+PB =A'B ，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．2.二次对称问题在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．AB 将军军营河A'AP 折点端点A 'P A此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P'M +MN +NP ’’，当P'、M 、N 、P''共线时，△PMN 周长最小． 3.过河修桥问题已知人在图中点A 村庄，现要过河去往B 村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置．问题化为求A'N +NB 最小值，显然，当A'、N 、B 共线时，AM+MN+BN 的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？MP'NMBPOOPB考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A'Q +QM +MB'．当A'、Q 、M 、B ’共线时，A'Q +QM +MB'取到最小值，再依次确定P 、N 位置． 【问题扩展1】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？【分析】考虑MN 为定值，故只要AM +BN 值最小即可．将AM 平移使M 、N 重合，AM =A'N ，将AM +BN 转化为A'N +NB ．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B ，可依次确定N 、M 位置，可得路线．军营将军河河QA B MNPB'A'QABMNPPNMBAQA'B'M将军A军营河A'AA''MNAA'练习题1.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．2. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．3.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)4.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7P OBAMNNMD CBAyPO D CBA PDCBA5.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．6. 如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3B ．4C ．33D ．238.如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )A 3B ．2C ．23D ．49.如图，在菱形ABCD 中，AC =62BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，N MDBA A BCDMNE AFCDBNMDCBA连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )A ．6B ．33C ．26D ．4.510.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)311.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( ) A ．213B ．210C ．35D 4112.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A ．5B ．105C ．103D ．15313.如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP =3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异EPDCAMEOD C B AyDCBAPH FGEDCB A于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A ．362B ．332C ．6D ．314. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．15. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．17.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．ABOPNNMPOBAyPAMN Oy Ey xB ()Q ACD OP18. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为___________．19.如图，△ AOB=30 °，点M 、 N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3，点P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值 _________20.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE 的周长最小．21.如图在河的两侧有两个村庄，A 离河为60米，B 离河是30米，AB 的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A 经过桥到B 的路程最小，最小值为多少？参考答案1.82.63.C4.B5.276.277.C8.C9.C 10.BAB CDEFMyx PCBAO QPED C BA11.A 12.B 13.D14.3(,3)215.2316.8(,0)317.5 18.3121020.622217+21.180。
初中数学对称求最小值问题
初中数学对称求最小值问题一、对称轴问题对于对称轴问题，我们可以通过找到对称轴来求取最小值。
在几何图形中，对称轴是一条直线，它使得图形沿这条直线折叠后两部分能够完全重合。
对于一些具有对称性质的几何图形，如等腰三角形、矩形等，它们的对称轴是固定的。
通过找到这些对称轴，我们可以确定最小值的所在位置。
二、对称点问题对于对称点问题，我们需要找到图形中的对称点来求解。
在一个图形中，如果两个点关于某一条直线对称，那么这两个点的连线与该直线垂直且中点在该直线上。
通过找到这些对称点，我们可以确定最小值的所在位置。
三、对称性应用对称性在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决很多问题。
例如，在几何问题中，我们可以通过对称性将复杂的问题简化；在代数问题中，我们可以通过对称性找到函数的极值点；在概率问题中，我们可以通过对称性计算概率分布。
四、对称与最值关系对称性与最值之间存在着密切的联系。
在一些情况下，通过利用对称性，我们可以更方便地找到最小值。
例如，对于一些二次函数，它们的图像具有对称性，我们可以通过找到对称轴来确定最小值的位置；对于一些几何图形，我们可以通过找到对称轴或对称点来确定最小值的位置。
五、对称性质与几何图形几何图形中的对称性质是常见的。
例如，等腰三角形是关于其高线对称的；矩形是关于其对角线所在的直线对称的；圆是关于其任意直径所在的直线对称的。
了解这些对称性质可以帮助我们更好地理解图形的结构，并找到最小值的位置。
六、对称变换与函数图像函数图像的对称变换也是数学中的一个重要概念。
例如，函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，该抛物线可以沿x轴或y轴进行对称变换。
通过了解这些对称变换的性质，我们可以更好地理解函数的图像，并找到最小值的位置。
七、对称不等式问题在一些数学问题中，我们需要证明两个量之间的不等式关系。
如果这两个量具有对称性，那么我们可以利用这种对称性来证明不等式。
例如，对于一些二次函数的最小值问题，我们可以利用二次函数的对称性来证明不等式。
中考数学专题讲练 线段最值问题二
线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。
「初中数学」利用对称求线段和最值
「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
利用轴对称性质求几何最值
轴对称中几何动点最值问题的应用初二一班轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
例1以三角形载体的最短距离问题. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点, 若AE=2,EM+CM的最小值为( )A．4 B.8 C. D.练习1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45°2如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE 最小，则这个最小值是 _____________.3如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED 的最小值是_____________.例2以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。
初中数学几何模型与最值问题05专题-费马点中的对称模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题5 费马点中的对称模型与最值问题【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN的周长的最小值为___________.4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．ABCDME6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接P C，P E．当△P CE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A点右侧)，点H 、B 关于直线l ：y x =+对称.(1)求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上； (2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 的最小值.专题5 费马点中的对称模型与最值问题 答案【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD △△AGF ，△MD =GF △ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH △BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．ABCDMEHFGE MDCBA3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.【解析】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△P MN 的周长最短，最短的值是CD 的长．△点P 关于OA 的对称点为C ， △P M =CM ，O P=OC ，△COA =△P OA ； △点P 关于OB 的对称点为D ， △P N =DN ，O P=OD ，△DOB =△P OB ，△OC =OD =O P=3，△COD =△COA +△P OA +△P OB +△DOB =2△P OA +2△P OB =2△AOB =60°， △△COD 是等边三角形， △CD =OC =OD =3．△△P MN 的周长的最小值=P M +MN +P N =CM +MN +DN ≥CD =3．4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（）A．B．C．D．【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结P Q分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=D P+DC+CQ+AB=P Q+AB==4+2=6，故选B．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【解析】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PMPM =，2PN P N =，1212PMN PM MN P N PP ∴∆=++=，且1AOP AOP ∠=∠，2BOP BOP ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128OP OP OP ===，12PP O ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2﹣x ﹣与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接P C ，P E ．当△P CE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）△y=x2﹣x﹣，△y=（x+1）（x﹣3）．△A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．△E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．△直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．△直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作P F△y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则F P=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．△△E P C的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．△当x=2时，△E P C的面积最大．△P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和C P的对称点G、H，连接G、H交CD和C P与N、M．△K是CB的中点，△k（，﹣）．△点H与点K关于C P对称，△点H的坐标为（，﹣）．△点G与点K关于CD对称，△点G（0，0）．△KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．△GH==3．△KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：△y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ，△点F （3，﹣）．△点G 为CE 的中点，△G （2，）．△FG =．△当FG =FQ 时，点Q （3，），Q ′（3，）．当GF =GQ 时，点F 与点Q ″关于y =对称，△点Q ″（3，2）．当QG =QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：a +=，解得：a =﹣．△点Q 1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q 的坐标为（3，），Q ′（3，）或（3，2）或（3，﹣）． 7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A=+对称.点右侧)，点H、B关于直线l：y x(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；BK AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、(3)过点B作直线//MK，求HN+NM+MK的最小值.【解析】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，两边都除以a得x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，△B点在A点右侧，△A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，答：A.B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).证明：△直线l:y x+-=，△点A在直线l上．当x=−3时,y(3)0(2)△点H、B关于过A点的直线l:y x+对称，△AH=AB=4，过顶点H作HC△AB交AB于C点，则AC=12,2AB HC==△顶点H(1,-，代入二次函数解析式,解得a=，△二次函数解析式为2y x=，答：二次函数解析式为2y x=+.(3)直线AH的解析式为y=+，直线BK的解析式为y=-y xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩K)，则BK=4，△点H、B关于直线AK对称,K，△HN+MN的最小值是MB，过K作KD△x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK,QE=EKAE△QK，△根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，△BK△AH，△△BKQ=△HEQ=90△，由勾股定理得QB8==△HN+NM+MK的最小值为8，。
利用对称求最值
利用对称求最值作者：段安波来源：《空中英语教室·社会科学版》2011年第02期【摘要】初中数学中求最大值或者最小值的问题是一类常见的问题，我们常常称之为求最值问题。
而利用点的对称性求最值问题的方法是一种重要的数学方法，这种方法在求最值问题中常常显示出其他方法不可替代的优越性。
【关键词】对称；模型；最值【中图分类号】G632【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)02-0233-01作者简介：段安波(1969.12-),男，大学本科，湖北省十堰市房县实验中学数学教师，数学教研组长。
曾有多篇论文在省、市、县获奖。
常见的对称问题有以下几种模型：(1)如图1，点A,B为直线L同侧两点，求作直线L上一点P，使PA+PB最小。
解：作点A关于直线L的对称点A’，连接A’B交L于P,则P即为所求。
(2)如图2，点A,B为直线L异侧两点，求作直线L上一点P，使PA+PB 最小。
解：连接AB，交L于P,则P即为所求。
(3)如图3，点A,B为直线L同侧两点，求作直线L上一点P，使｜PB-PA｜最小。
解：连接BA并延长交L于P,则P即为所求。
(4)如图4，点A,B为直线L异侧两点，求作直线L上一点P，使｜PB-PA｜最小。
解：作点A关于直线L的对称点A’,连接A’B交L于P,则P即为所求。
(5)如图5，A，B为直线L同侧两点，PQ为L上定长的动线段，当PQ运动到何处，AP＋PQ＋QB最小？解：作点A关于L的对称点A’，以QB，QP为邻边作平行四边形PQBR，连接A’R交L 于P’，则当P运动到P’，Q运动到Q’时，AP+PQ+QB最小。
（6）如图6，点A、B为∠AOB内两定点，求作OM上一点P，ON上一点Q，使AQ＋QB＋PB最小。
解：分别作点A，B关于OM，ON的对称点A’、B’，连接A’B’分别交OM、ON于P、Q，则点P、Q即为所求。
下面将举例进行说明。
例1.某公园有三个景点A、B、C,其中BC=2,∠B=60°，∠C=75°，在AB、BC、CA上各取一点D、E、F,建成如图7所示的三条旅游线路，问D在何处，可使新建的线路长度（△DEF的周长）最小？最小值是多少？解分别作D关于AB、AC的对称点D1、D2,连BD1、D1E、FD2、CD 2.则由对称性可得DE=D1E，CF=CD2,则所求的线路长度成折线D1EFD2,故当D1E、F、D2在同一直线上时，可使△DEF的周长最小。
初中数学动点最值基本模型
动点最值根本模型一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短〔或三角形三边关系〕得到结果.2.小垂型：即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果.3.穿心型：即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果.4.转换型：即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心.5.三边型：即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大〔小〕值.6.结合型：即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等※二、分类例析、饮马型例1：如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1,点P在AC上,贝U PE+PD 的最小值是.解析：如图例2：如下图,正方形ABCD的面积为12, A ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,那么这个最小值为一.换型图,P 四、转例5:如为菱形Z C = 90°, AC = 8, BC = 6,点 P 是 AB 上的任意一点, 作PD X AC 于点D , PE X CB 于点E ,连接DE ,贝U DE 的最小值为解析：如下列图三、穿心型例4：如图,在边长为4的菱形ABCD 中,N ABC=120°, M 是AD 边的中点,N 是AB 边上一动点,SA AMN 沿MN 翻折得到^A ,MN ,连接A ' C ,那么A ’ C 长度的最小值是—.解析：如下列图解析：如下列图、小垂型例3：如图,在Rt A ABC 中,D ADABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,假设N C=60°, CD=4,那么的最小值为解析：由于P到A、B两点的距离相等,所以P在AB的垂直平分线上,又因菱形ABCD 中N C为60°,所以4ABD为等边三角形,AB的垂直平分线经过点D,如下列图由N ADP=30度,可将PD的一半进行转换,即过点P作AD的垂线.如图,即B、P、F三点共线,且BF X AD时最短五、三边型例6：如图,N MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为解析：如下列图由于AB为定长,所以取其中点E,那么OE为定值,在^ODE中,DE为定值,OE为定值,根据三角形三边关系即可得到OD的最大值.例7：如图,△ABC中,N ACB=90°,BC=4, AC=8,点 D 在AC 上,且AD=6,将线段AD绕点A旋转至AD', F为BD’的中点,连结CF,那么线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理,点F的轨迹为圆,一箭穿心便可以求出其取值范围.解法二：如下列图,取AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得CM 为定值,由三角形中位线得FM为定值,所以在4CFM中,三边关系可得到CF的取值范围.r C例8：如图,BA=1,BC=2,以AC为一边做正方形AEDC,使E,B两点落在直线AC的两侧,当N ABC变化时,求BE的最大值.解析：将^AEB以点A中央顺时针旋转90°,得到△ACB,,如下列图所示,连接BB’,所以B' C=BE,在A BB' C中,BB'为定值,BC为定值,三角形三边关系即可得到B' C的最大值,即BE的值.6.结合型例9：如图,正方形ABCD中,AB=4, E为CD边的中点,F、G为AB、AD边上的点,且AF=2GD,连接E、DF相交于点P,当AP为最小值时,DG=解析：由AF=2GD, AD=2DE,得△AFD s^DGE.如下列图A GE X DF,那么线段AP中,A点为定点,P为动点,由N DPE为直角,所以P的轨迹为一以DE 中点为圆心的一段弧.如下列图由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线,而此时,由△DMP s^FAP可得到AP=AF 即可得到结果.AG D A※三、模考分析【庐阳二模第10题】如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),BO8),点C在y轴正半轴上, 点D 在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF 的最大值为如图,在平面直角坐标系中,46,0)1(0,8),点C在y轴正半轴上,点D在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF的最大值为解析：线段EF由于半圆的变化而变化,所以应将其作为弦的变化来看,而弦长又与弦心距存在变量之间的关系,所以首先作出弦心距.如下动图,所以当PQ最小时,EF最大.9方法一：穿心十小垂(P点为以O点圆心,OP为半径的弧上)求出OQ的最值,即PQ 的最小值,再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂〔三角形OPQ〕求出OQ的最值【期山二模第10题】如图,在当面直角坐标系中,觉物线f二一工工+2后工的顶点为A点,且与戈轴的正半轴交于点以P点为该抛物线对称轴上一点.那么.尸+—WP的最小值为: 2、3+2而口3+2右广3Aa 5 L . □解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为,所以N OAP=30°,如下列图问题是.尸+上/P,转换型最值,2即过P点作PD_L03于点D,1饮马+小垂】【瑶海二模第10题】如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点, 且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点.那么PA+PG的最小值为〔〕A.3B.4C.2J5D.5解析：由于G为EF的中点,EF=2,所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧,【饮马+穿心】即A', P, G, D四点共线时,PA+PG最小〔PA+PG=PA' +PG+DG〕【练习1】如图,圆O的半径为13,弦AB长为24,弦CD长为10,点N为CD的中点,O 到弦AB的距离为OM,那么MN的最小值是【练习2】如图,A,B为圆O上两点,以AB边直角边作等腰直角三角形ABC,假设圆O的半径为5,那么OC的最小值为8。
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「初中数学」利用对称求线段和最值
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等
类型一：两定一动型
【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B
【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.
【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10
【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标
【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）
类型二：一定两动型
【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)
【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.
【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''。
【答案】2√7。
倘若追加一问：此时∠AMN+∠ANM=_____°，你能答对吗？
【例4】如图，点P是四边形ABCD内一点，BP=2，∠ABC=60°，分别在边AB,BC上作出点M,N，使△PMN的周长最小，求这个最小值。
【分析】这是一定两动模型，作点P关于AB的对称点P’，关于
BC的对称点P''，连接P'P''，交AB于M,交BC于N，此时△PMN的周长最小。
在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的长度很容易求。
【答案】2√3
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB 上各取一点M,N，求BM+MN的最小值。
【分析】这是一定两动型的变异模型，其变化在于：①定点与动点所在的直线在同一直线上，②求的是两条线段和的最小值，而不是周长最小值。
要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直(即化折为直)，从而想到用轴对称性质来做。
画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值，初三的同学也可以用相似或三角函数求解。
【解答】作B点关于AC的对称点B1,再过B1作AB的垂线，垂足为N，与AC的交点为M，此时BM+MN的值最小。
类型三：两定两动型
【模型介绍】在∠MON内有两点P,Q，在边OM,ON上分别找点R,S，使得PR+RS+SQ+PQ最小。
作法：作点P关于OM的对称点P',点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，与OM,ON的交点就是R,S，此时四边形PRSQ的周长最小。
验证：在OM上取一点R‘，ON上取一点S’，则PR'+R'S'+QS'=P'R'+R'S'+S'Q'>P'Q'(两点之间，线段最短)
【例6】如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON，OD=4，C在OM上的任意一点，B是ON上的任意一点，则折线ABCD的最短长度为______.
【分析】作D关于OM的对称点D'，A关于ON的对称点A‘，连接D'A'，交OM于C，交ON于B，则AB+BC+CD的值最小，最小值即为D'A'。
此时∠D'OA'=90°，OD'=4,OA'=2，D'A'=2√5
类型四：两定滑动型（架桥）
【模型介绍】在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
作法：过点B作BB'垂直于河岸，且使BB'长等于这条河宽，连接AB'交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点D,则CD即为架桥最合适的位置。
验证：在河的两岸任取一点C',D'，连接B'C'，易知四边形BB'C'D'是平行四边形，则AC'+C'D'+BD'=AC'+B'C'+BB'>AB'+BB'=AC+CD+DB（三角形的两边之和大于第三边）
【例7】如图，在平面直角坐标中，已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为______．
【分析】这是典型的架桥问题，将B沿x轴向左平移一个单位到B’，连接AB'，交直线x=1于点C，交直线x=2于点D，此时AC+CD+DB的值最小，最小值为AB'+CD=√13+1.
【例8】如图，A、B是直线a同側的两定点，定长线段PQ在a 上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？
【分析】本题与架桥问题有所区别，动线段不是在平行线间移动
了，而是在一条直线上移动，故处理策略截然不同，需用轴对称及平行四边形的性质化折为直。
作AA'平行且等于PQ，再作A'关于直线a 的对称点A''，连接A''B，与直线a的交点为D，在D的左边截取线段CD，使CD=PQ,则当PQ移动到与CD重合的位置时，AP+PQ+QB 的长最短。
类型五：三动型
【模型介绍】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，求DE+EF+DF的最小值。
分析：首先假设F点固定，作关于AB,BC的对称点F',F''（如图1），则DE+EF+FD=DE+F'D+F''E，此时最小值就是线段F'F''的长。
于是问题转化为：当F运动时，F'F''什么时候最短。
将Rt△ABC补全为菱形（如图2），发现F‘，F''是这个菱形对边上的关于B中心对称的对称点，很容易发现，F'F''的最短距离就是菱形对边的距离，即菱形的高。
此时（如图3）F就是斜边AC上的高的垂足点，D,E与B点重合。
验证：如图所示，在AB,BC上任取点D,E，则FD+DE+EF=F'D+DE+EF''>F'F''(两点之间线段最短)
【例9】在直角△ABC中，∠B=90°，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，AB=3,BC=4,求DE+EF+DF的最小值。
【答案】构造菱形，其对边间距离为4.8，即DE+EF+DF的最小值为4.8
【总结】两定一动型是较为简单的一种类型，其要领是作一定点关于动点所在直线的对称点，若题目是以几何图形（如正方形、菱形、等边三角形等）为背景，则应利用图形自身的轴对称性来找它的对称点。
而其他模型大多以此模型为基本方法，利用轴对称或平移变换化折为直，由此可见，转化思想是解决此类问题的基本思想。
小结:
最短路径有技巧
五类模型含架桥
平移旋转与对称
化折为直本领高。