2014一轮复习三角函数公式(学生) -

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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.7正弦定理和余弦定理课件新人教A版

代入A＝
4

sin
π Bsin4＋C－sin
π Csin4＋B＝
2 2
利用两角和与差的三角函数公式 ―――――――――――――――→ sinB－C＝1
1 (1)S＝ ah(h表示边a上的高)； 2 1 1 1 (2)S＝ bcsin A＝ acsin B ＝ absin C ； 2 2 2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2
[小题能否全取]
1．(2012· 广东高考)在△ABC 中，若∠A＝60° ，∠B＝45° ， BC＝3 2，则 AC＝
2 2 2
又∵b＋c＝2 3， ∴b＝2 3－c，代入①式整理得 c2－2 3c＋3＝0，解得 c＝ 3，∴b＝等边三角形． 3，于是 a＝b＝c＝ 3，即△ABC 为
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主
要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π 这个结论． [注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[知识能否忆起]
一、正、余弦定理
正弦定理
a b c 内容 sin A＝sin B＝sin C
余弦定理
2 2 a2＝ b ＋c －2bccos A ；
a2＋c2－2accos B； b＝ 2 a2＋b2－2abcos C． c＝
2
正弦定理 ①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；变形形式

2014高考数学一轮复习课件3.3三角函数的图象与性质

调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交
汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换
的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．
创新探究之四
三角函数单调性的创新应用
π (2012· 课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋ )在 4 π ( ，π )上单调递减，则ω的取值范围是( 2 1 5 A．[ ， ] 2 4 1 C．(0， ] 2 1 3 B．[ ， ] 2 4 D．(0，2] )
π π kπ 【解析】由3x≠ ＋kπ，k∈Z得x≠ ＋， 2 6 3 k∈Z，.
【答案】
D
5π 2．函数f(x)＝2cos(x＋ )是( 2
)
A．最小正周期为2π 的奇函数 B．最小正周期为2π 的偶函数 C．最小正周期为2π 的非奇非偶函数 D．最小正周期为π 的偶函数
π 5 【解析】 f(x)＝2cos(x＋ π)＝2cos(x＋ )＝－2sin 2 2 x，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数．
π 【解析】 f(x)＝sin(πx－ )－1＝－cos πx－1， 2 2π 因此函数f(x)是偶函数，周期T＝＝2. π
【答案】
B
1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．
π 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ )，给出以 2 下四个论断： ①它的最小正周期为π ； π ②它的图象关于直线x＝成轴对称图形； 12 π ③它的图象关于点( ，0)成中心对称图形； 3 π ④在区间[－，0)上是增函数． 6 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示)．

2014版高考数学一轮总复习第23讲三角函数的性质课件理新人教A版

素材1
1 π 函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ＋，0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x－ )＝0， 2 8 1 π π 得 x－＝kπ＋ (k∈Z)， 2 8 2 5π 即 x＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 1 π 所以函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称中心是(2kπ＋ 2 8 5π ，0)(k∈Z)． 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立， 4
a－4≤0 只需 3 9 a－ ≥ 4 4
⇔3≤a≤4，所以 a∈[3,4]为所求．
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y＝ sin( － )的最小正周期和单调区间； 2 4 3 (2)函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A．( ， ) 2 2 3π 5π C．( ， ) 2 2 B．(π，2π) D．(2π，3π)
x π A．y＝2sin( ＋ ) 2 3 π C．y＝2sin(2x＋ ) 6
2π 【解析】根据 T＝，容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π，然后可利用求对称轴的表达式 ωx＋φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得答案 B 符合题意．
4.将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数， φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：
1 首先看定义域是否关于原点对称； 2 在满足 1 后，再看f x 与f x 的关系．

2014年高考数学一轮复习：高考常用的诱导公式汇总

2014年高考数学一轮复习：高考常用的诱导公式汇总一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编7：两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)

▲ ．
错误！未指定书签。．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研（3 月）测试数学试题）设，，，且 sin( ) 5 , tan 1 ．则 cos 的值为 2 2 13
【答案】 16 65
错误！未指定书签。．（江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题）已知 cos(
3 2 ) ,则 2 3
cos 2 ________.
【答案】
79 81
0
错误！未指定书签。．（江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）已知 cos(75 )
1 , 3
则 cos(30 2 ) 的值为__________.
【答案】

2 , ;

错误！未指定书签。．（江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在△ABC 中,若
sin B 2 cos( A B), 则 tan B 的最大值为_____________. sin A
【答案】
3 3
错误！未指定书签。．（江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研 ( 附答案 ) ）已知
错误！未指定书签。．（2011 年高考（江苏卷））已知 tan( x

) 2, 则
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2
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一对一辅导（教师版）
cos2 (0, ) ,则的值为________. 2 sin( ) 4
4 1 cosA , tan( A B) ,则 tan C 的值是____. 5 2 11 【答案】 ; 2

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

答案：4
6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的
角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是 {α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为 {α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
π (3)角度与弧度的换算：①1° 180 rad；＝ 180 π ° ②1 rad＝ .
(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(rad)，半径为，扇形的面积为 S＝ lr＝ |α|·2. r 2 2
4．任意角的三角函数
3．已知在半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10， (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小； (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.
解：(1)如图所示，过 O 作 OC⊥AB 于点 C，则 AC＝5，在 Rt△ACO 中， AC 5 1 sin∠AOC＝AO＝＝， 10 2 ∴∠AOC＝30° ，∴α＝2∠AOC＝60° .
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的命题有 ( )
A．1个 C．3个
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件新人教A版

a， c 的大小关系是 b，
(
)
A．a<b<c C．b<a<c
B．c<a<b D．b<c<a
解析： (1)作出 y＝|tan x|的图象，观察图象可知， y＝|tan x|
π 的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z. π (2)f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋3 ，因为函数
3 答案：5 π＋2kπ，k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y
＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调
区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
π π (1)y＝sinωx－4 ；(2)y＝sin4 －ωx.
1 cos x－的定义域为________． 2 (2)函数 y＝sin2x＋sin x－1 的值域为
(
)
A．[－1,1]
5 C.－4，1
5 B.－4，－1 5 D.－1，4
sin x>0， [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0，即 1 cos x≥2， 2kπ<x<π＋2kπ，解得 π (k∈Z)， π －3＋2kπ≤x≤3＋2kπ
π ＋kπ，0 2
y＝tan x 奇函数
kπ ，0 2 (k∈Z)
(kπ，0)
∈Z)
(k∈Z)
函数对称轴方程周期
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π x＝＋kπ 2 (k∈Z) x＝kπ (k∈Z)

高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理

高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理数学学问点许多，只有进行（总结），才能发觉重点难点，下面就是我给大家带来的，盼望大家喜爱！高考数学公式总结高考数学三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式第1页/共11页sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina三角函数帮助角公式Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2)cost=A/(A2+B2)’(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数推导公式第2页/共11页tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4 cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/ 2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos 2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos [(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]= 4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)第3页/共11页三角函数半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角函数三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sin γcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)三角函数两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ第4页/共11页cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 三角函数积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2第5页/共11页三角函数诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotα第6页/共11页tan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]（其它）公式(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2,其次个除(cosα)2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)第7页/共11页(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∠Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n] =0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n] =0以及sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高考数学（记忆（方法））一、分类记忆法第8页/共11页遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第3讲三角函数的图象与性质

π 2x π π 故由 2kπ－ ≤ － ≤2kπ＋ 2 3 4 2 3π 9π ⇒3kπ－ ≤x≤3kπ＋ (k∈Z)， 8 8
π 2x π 3π 由 2kπ＋ ≤ － ≤2kπ＋ 2 3 4 2 9π 21π ⇒3kπ＋ ≤x≤3kπ＋ (k∈Z)， 8 8 3π 9π ∴函数的递减区间为3kπ－ 8 ，3kπ＋ 8 (k∈Z)， 9π 21π 递增区间为3kπ＋ 8 ，3kπ＋ 8 (k∈Z)．
②作出 y＝|tan x|的图象，观察图象可知，y＝|tan x|的增 π π 区间是 kπ，kπ＋2，k∈Z，减区间是 kπ－2，kπ，k∈ Z.最小正周期 T＝π. (2)f(x)＝ 3sin 2x＋1－2sin2x－1 π ＝ 3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin2x＋6 －1. π π π π 2π 因为 x∈－6，4，所以 2x＋ ∈－6， 3 ， 6 π π π 所以当 2x＋＝－，即 x＝－时，f(x)min＝－2； 6 6 6 π π π 当 2x＋＝，即 x＝时，f(x)max＝1. 6 2 6 π π 故函数 f(x)在区间－ 6，4 上的最小值为－2，最大值为 1.
π π f(x)在区间－12，2 上的范围为________．
解析法一
(1)要使函数有意义，必须使利用图象．在同一坐标系中
sin x－cos x≥0.
画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图
象，如图所示．
π 5π 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为，，再结合正 4 4 弦、余弦函数的周期是 2π，
式)．
(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴． (4)求三角函数最值，可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)或二次函数在某个区域内的最值问题．

2014版高考数学一轮总复习第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版

【点评】(1)本题看似复杂，其实由条件可求得 sinx 及 cosx 的值为特殊值，从而使问题快速解决． (2)本题在证明过程中，充分利用三角函数的平方关系， sin2α＋cos2α＝1，对“1”进行巧妙的代换，使问题迎刃而解．
备选例题
π 1 已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ . 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； x x 2x 3sin －2sin cos ＋cos 2 2 2 2 (2)求的值． sinx cosx ＋ cosx sinx
公式一：
正弦 2kp+ sin - ④_____ p- sin p+ -sin 2p- -sin
余弦正切
③____ tan
cos
-tan
-cos ⑤_____
-cos tan
⑥____ -tan
公式二：
正弦余弦 - ⑦_____ sin + cos ⑧_____ p- ⑨_____ -sin p+ -cos ⑩_____
三
公式sin2α＋cos2α＝1的巧用
1 【例 3】已知 sinθ－cosθ＝，求： 2 (1)sinθcosθ； (2)sin3θ－cos3θ； (3)sin4θ＋cos4θ.
1 1 【解析】 (1)sinθ－cosθ＝，平方得 1－2sinθcosθ＝， 2 4 3 sinθcosθ＝ . 8 1 (2)sin θ－cos θ＝(sinθ－cosθ)(sin θ＋sinθcosθ＋cos θ)＝ 2
【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时，可逆用商 sinα 数关系式 tanα＝将弦化为切(以减少函数名称)，从而达 cosα 到简化运算目的． (2)三角中的化简、求值及三角恒等式的证明问题常常采 sinα 用“切化弦法”，即利用商数关系 tanα＝，把切函数化 cosα 为弦函数，以达到统一函数名称之目的．

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.4函数y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数

[例2] (2011· 江苏高考)函数f(x)
＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
T 7π π π [自主解答] 由图可知：A＝ 2，＝－＝，所 4 12 3 4
π 2π π ，0，以 T＝π， ω＝ T ＝2，又函数图象经过点 3 所以 2× 3 π π ＋φ＝π， φ＝，则故函数的解析式为 f(x)＝ 2sin2x＋3 ， 3
由
1 π f(x0)＝2sin2x0＋6 ＝2，
1 π π ∴ x0＋＝＋2kπ， 2 6 2 2π x0＝4kπ＋，k∈Z， 3 又(x0,2)是 y 轴右侧的第一个最高点， 2π ∴x0＝ . 3
π 1 π π 4π (2)由－＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z 得－＋ 2 2 6 2 3 2π 4kπ≤x≤ ＋ 4kπ ，所以 3
3．(2012· 安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，
只要将函数y＝cos 2x的图象
A．向左平移 1 个单位 1 C．向左平移个单位 2
(
B．向右平移 1 个单位 1 D．向右平移个单位 2
)
解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos
1 2x＋2，
1 ∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可． 2
(1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 M－m M＋m A＝，b＝ . 2 2
2π (2)求 ω，确定函数的周期 T，则可得 ω＝ T .
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b 已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式(学生版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式一、选择题1 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于（）A ．169120B ．169119C ．169120-D ．119169-2 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则（）A ．35B ．45C ．35-D ．45-3 ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知3cos ,05ααπ=<<,则tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ （）A ．15B ．17C ．1-D ．7-4 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）一已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行,则tan 2α的值为（）A ．45B ．43C ．34D ．235 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（）A ．）已知34(,),cos ,25αππα∈=-则)4tan(απ-等于（）A ．7B ．71C ．71-D ．7-6 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知向量a=(sin α,1),b=(2,2cos α2παπ<<),若a⊥b,则sin(4πα-)= （）A ．B ．-12 C ．12D 7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若3)4tan(=-απ,则αcot 等于（）A ．2B ．21-C ．21 D ．-28 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知ααsin 2sin -=,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2,则=αtan （）A ．23- B ．53- C ．33- D ．3- 9 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242510．（2012年山东理）(7)若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ= （）A ．35B ．45CD ．3411．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- （）A ．2B ．52 C ．3 D ．2512．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））已知,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα则)4tan(απ-等于（）A ．7B ．71C ．71-D ．7-13．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知4cos 5α=-,且π(,π)2α∈,则πtan()4α-等于（） A ．-17B ．-7C ．17D ． 714．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．13-B ．13C ．3-D ．315．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知53)4sin(=+x π,则x 2sin 的值为（）A ．2524-B ．2524 C ．257-D ．257 16．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知25242sin -=α,⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα,则ααcos sin +等于（）A ．51-B ．51C ．57-D ．57 二、填空题 17．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）在ABC ∆中,若sin 2cos cos A B C =,则tan tan B C +=__________.18．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）若α是锐角,且1sin(),cos 63παα-=则的值是__________.19．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若tan()2α-=π,则sin 2α=___________.三、解答题20．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数f(x)=2 sin 63x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭(0≤x≤5),点A 、B 分别是函数y=f(x)图像上的最高点和最低点.(1)求点A 、B 的坐标以及OA ·OB的值;(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-)的值.21．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数()5sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)求()f x 的单调递增区间;(II)已知()()()33cos ,cos ,0,552f παβαβαββ-=+=-<<≤求. 22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知.471217,53)4(cos πππ<<=+x x (1) 求x 2sin 的值. (2)求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值山东省2014届理科数学一轮复习试题选编9：两角和与差的三角函数及二倍角公式参考答案一、选择题1. 【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选D. 2. A 【解析】由1tan ,47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11tan()tan3744tan tan()14441tan()tan 1447ππαππααππα-+-=+-===-+++,所以解得3sin 5α=,选A 3. D 【解析】因为3cos 0,05ααπ=><<,所以0,sin 02παα<<>,所以4sin ,5α=故4tan ,3α=所以41tan tan34tan()7441tan tan 143παπαπα+++===--⋅-,选D 4. 【答案】B【解析】直线的斜率为12,即直线l 的斜率为1tan 2k α==,所以22122tan 142tan 2131tan 31()24ααα⨯====--,选B. 5. 【答案】B【解析】因为34(,),cos ,25αππα∈=-所以sin 0α<,即33sin tan 54αα=-=，.所以311tan 14tan()341tan 71+4πααα---===+,选B. 6. D7. D 【解析】由3)4t an (=-απ得,tantan()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-,所以1cot 2tan αα==-选D. 8. D (教材必修4 P148 练习3)9. A 【解析】因为α为第二象限角,所以4cos 5α=-,所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-,选A.10.解析:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈,812sin 12cos 2-=--=θθ,4322cos 1sin =-=θθ,答案应选D. 另解:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ,而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >,结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D. 11. D 12. B【解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-,3tan 4α=.所以3tan tan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++,选B. 13. D14. 【答案】B【解析】因为a b⊥,所以2cos sin 0a b αα=-=,即tan 2α=.所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++,选B. 15. 【答案】C【解析】27sin 2sin[2()]cos 2()[12sin ()]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+=-,选C.16. B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B二、填空题17. 2 【解析】在ABC ∆中,C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=,cos cos 2C B =两边.同除以cos cos B C 得tan tan 2B C +=.18.【解析】∵α是锐角,∴02πα<<,663πππα-<-<,所以cos()63πα-==,cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππαααα=-+=---1132=-⨯= 19. 【答案】45-由tan()2α-=π得tan =2α-,所以22222sin cos 2tan 2(2)4sin 2sin cos 1tan 1(2)5ααααααα⨯-====-+++-. 三、解答题 20.解:(1)50≤≤x , ππ7π3636x π∴≤+≤, ∴1ππsin()1263x -≤+≤当πππ632x+=,即1=x时,ππsin()163x+=,)(xf取得最大值2;当ππ7π636x+=,即5=x时,ππ1sin()632x+=-,)(xf取得最小值1-.因此,点A、B的坐标分别是(1,2)A、(5,1)B-152(1)3OA OB∴⋅=⨯+⨯-=(2) 点)2,1(A、)1,5(-B分别在角α、β的终边上,tan2α∴=,51tan-=β,212()55tan21121()5β⨯-==---,∴52()2912tan(2)5212()12αβ---==+⋅-21.22.解: (1) ∵x x x 2sin )22cos()4(2cos -=+=+ππ1)4(cos 2)4(2cos 2-+=+x x ππ又25712592-=-⨯= ∴2572sin =x )4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin tan 1)cos sin 1(2sin tan 1sin 22sin )2(2x x x x x xxxx xxx +=-+=-+=-+π∵.471217ππ<<x ∴πππ2435<+<x ∴54)4(cos 1)4sin(2-=+--=+x x ππ∴34)4tan(-=+x π∴ x x x tan 1sin 22sin 2-+7528)34(257-=-⨯=(此题也可先求出x x cos ,sin 再进行计算)。

高考数学一轮复习知识点总结：三角函数

高考数学一轮复习知识点总结：三角函数高考第一轮复习既以教材为基本内容，又以教学大纲以及当年的考试说明为依据，做到知识点的全面涉及与提高巩固。

整理了高考数学一轮复习知识点总结：三角函数，供参考。

高中数学三角函数知识点总结：锐角三角函数公式sin =的对边 / 斜边cos =的邻边 / 斜边tan =的对边 / 的邻边cot =的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))高中数学三角函数知识点总结：推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos^21-cos2=2sin^21+sin=(sin/2+cos/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(3/2)2-sin2a]=4sina(sin260-sin2a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]co s[(60-a)/2]=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2] sin[(a-30)/2]}=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)高中数学三角函数知识点总结：半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-ta ntan)高中数学三角函数知识点总结：两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)高中数学三角函数知识点总结：和差化积sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 高中数学三角函数知识点总结：积化和差sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2coscos = [cos(+)+cos(-)]/2sincos = [sin(+)+sin(-)]/2cossin = [sin(+)-sin(-)]/2高中数学三角函数知识点总结：诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin() = sincos() = -cossin() = -sincos() = -costanA= sinA/cosAtan(/2+)=-cottan(/2-)=cottan()=-tantan()=tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]高中数学三角函数知识点总结：其它公式(1)(sin)^2+(cos)^2=1(2)1+(tan)^2=(sec)^2(3)1+(cot)^2=(csc)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C /2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n -1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1) /n]=0 以及sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高考数学一轮复习知识点总结：三角函数就分享到这里了，更多高考备考信息请继续关注高考频道！。

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质(含解析)

第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数(1)周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 解析：选D ∵x －π4≠k π＋π2，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 4．比较大小，sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 答案：>5．(教材习题改编)y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________. 解析：当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .答案：5 34π＋2k π，k ∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f (x＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期．典题导入[例1] (1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎤－1，54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[0,1]． ∴y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54. ∴y ∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－32，32B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B典题导入[例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c <a <b .答案：(1)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.[答案] C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 (2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0D.⎝⎛⎭⎫18，0解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析：选C 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则f (x )的对称轴为2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴．4．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8，9π8 C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8D.⎣⎡⎦⎤π8，5π8解析：选C 由f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，得f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．已知函数f (x )＝5sin (ωx ＋2)满足条件f (x ＋3)＋f (x )＝0，则正数ω＝________. 解析：f (x ＋3)＋f (x )＝0⇒f (x ＋6)＝f (x )，故f (x )以6为最小正周期，故2π|ω|＝6.又ω>0，∴ω＝π3.答案：π39．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π610．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π2， ∴－π3≤2x ≤π，则－32≤sin 2x ≤1. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．1． (2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0<φ<π，所以φ＝π4. 2．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：由2k π－π6≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，得－12≤cos x ≤1. 故所求函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 3． (2012·汕头模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，又∵a >0，－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2a ＋b ＝－5，a ＋2a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π得 π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．1．(2012·湖南高考)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2]B ．[－3， 3 ]C ．[－1,1] D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B 因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫ 32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3， 3 ]．2．(2012·温州模拟)已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 C.⎝⎛⎭⎫0，π2 D.⎝⎛⎭⎫π4，3π4解析：选A 由函数为偶函数知φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π所以φ＝π2，从而y ＝2cos ωx .又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y ＝2cos 2x .经验证知A 满足条件．3．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形；④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．答案：①②⇒③④(或①③⇒②④)4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值； (2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .。

【创新设计】高考数学一轮总复习第四篇第2讲同角三角函数之间的关系与诱导公式课件理湘教版

2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝ ___c_o_s_α______，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 公式二：sin(－α)＝__－__s_in__α___，cos(－α)＝ ___c_o_s_α_____，tan(－α)＝－tan α.
(2)法一
sin12－x＋ta2nsxin2x＝2sin
xcos x＋sin
1－csoins
x x
x
＝2sin
x·cos cos
x·cos x＋sin x－sin x
x＝－22457×15＝－12745.
5
法二
sin 由(1)，得
sin
x＋cos x－cos
x＝15， x＝－75
sin ⇒
cos
x
＝－cos x·tan x＝－sin x，
∴f－313π＝－sin－313π＝sin
31π 3
＝sin10π＋π3＝sin π3＝ 23.
答案
(1)－1
3 (2) 2
方法优化4——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，主要考查用
同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值，多数
＝tanπ4＝….
三点提醒 (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐，特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
考点自测
考向二利用诱导公式求值
【例 2】►(1)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α＝________； (2)已知 tanπ6－α＝ 33，则 tan56π＋α＝________. [审题视点] 已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系．

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

3．在三角形ABC中，
(1)求证：cos
(2)若
2A＋B
2
＋cos ＝1； 2
(C－π)<0，求证：三角
2C
π 3 cos2 ＋Asin2π＋Btan
形 ABC 为钝角三角形．
A＋B π C 证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，则＝－， 2 2 2
[例 3]
在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)，
3cos A＝－ 2cos (π－B)，求△ABC 的三个内角．
[自主解答] 由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A
＝ 2cos B 两式平方相加得 2cos2A＝1， 2 2 即 cos A＝或 cos A＝－ . 2 2
1．(1)(2013· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限，则 cos α 2sin α 2 ＋ 2 的值为 1－sin α 1－cos α ( )
A．3 C．1
B．－3 D．－1
(2)(2012· 厦门模拟)已知 sin αcos α 等于
2 A．－ 5 2 2 C. 或－ 5 5
π sin(3π－α)＝－2sin2＋α，则
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，问题迎刃而解．
2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．
[巧思妙解]
π C. 6
(
π B．－ 3 π D. 3
)
解析：∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3. π π ∵|θ|< ，∴θ＝ . 2 3 答案： D
3．已知tan
π sin2＋θ－cosπ－θ θ＝2，则＝( π sin2－θ－sinπ－θ

高三数学一轮复习三角函数(解析版)

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3³6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33³⎝⎛⎭⎫－33＋63³63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12³3³32³13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12³3³1²sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2³π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12³π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ²sin 2π3EC ＝2³327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12³277＋32³217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ²(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan C tan A tan C－1＝－1，所以B＝135°.14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．14．1[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．17．解：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sin B＝sin⎝⎛⎭⎫A＋π2＝cos A＝63.由正弦定理可得，b＝a sin Bsin A＝3³6333＝3 2.(2)由B＝A＋π2得cos B＝cos⎝⎛⎭⎫A＋π2＝－sin A＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝33³⎝⎛⎭⎫－33＋63³63＝13.因此△ABC的面积S＝12ab sin C＝12³3³32³13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120³222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222³2³52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ²1＋cos B 2＋sin B ²1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12³8－sin ⎝⎛⎭⎫π12³8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3³⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2³π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22³⎝⎛⎭⎫－2 55＋22³55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2³55³ ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2³⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32³35＋12³⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ²(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →²BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13³79＋2 23³4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ²cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ²cos π6＋sin 2A ²sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12³3³1²sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2³1³3³⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2³2³1³14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12³2³2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形，则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ²sin 2π3EC ＝2³327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12³277＋32³217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2²12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解：方法一：(1)如图所示，以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．方法二：(1)如图所示，延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503，从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003，从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35，所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨5680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2³⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →²BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →²BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2³2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23³223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13³79＋2 23³4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ²DA sin A ＋12BC ²CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12³1³2＋12³3³2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°³100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°³1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。

三角函数一轮复习资料

三角函数一轮复习资料三角函数是高中数学中重要的一部分，也是升学考试中常考的知识点。

为了帮助学生在考试中取得好成绩，我们整理了一份三角函数的复习资料。

1. 常用三角函数常用三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。

它们的定义如下：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ为角度，对边、邻边和斜边分别是一个直角三角形中相应的边。

这三个函数都是周期函数，它们的周期分别是360度（或2π弧度）。

2. 常用三角函数的基本关系式常用三角函数有许多基本的关系式，它们能够相互转化和应用。

以下是一些重要的关系式：sin^2θ + cos^2θ = 11 + tan^2θ = sec^2θ1 + cot^2θ = csc^2θ根据这些关系式，我们可以在应用中相互转化，方便求解问题。

3. 常用三角函数的图像正弦函数的图像是一条连续的波形，取值范围在[-1,1]之间，周期为360度（或2π弧度）。

余弦函数的图像也是一条连续的波形，取值范围也在[-1,1]之间，周期为360度（或2π弧度）。

余弦函数的高峰和低谷是正弦函数的低谷和高峰。

正切函数的图像是一条连续的波形，x轴有一个无限的间断点（即在kπ/2处函数为无穷大），它的取值范围是所有实数。

正切函数的周期为180度（或π弧度），即tan(θ) = tan(θ + kπ)。

4. 三角函数的变换公式三角函数在图像上可以进行平移、伸缩、翻转等变换。

以下是常见的三角函数变换公式：y = A sin(Bx - C) + Dy = A cos(Bx - C) + Dy = A tan(Bx - C) + D其中，A、B、C和D均为常数。

A为函数的振幅，B为函数的周期，C为函数的相位，D为函数的平移量（上下平移）。

这些公式的应用能够使我们更好地理解三角函数的性质和规律。

5. 常见的三角函数应用题三角函数在物理、工程、工业、建筑、科学等方面都有广泛的应用。

盘点高考数学一轮复习三角函数公式

盘点高考数学一轮复习三角函数公式三角函数一样用于运算三角形中未知长度的边和未知的角度。

以下是三角函数公式，期望考生能够好好经历。

同角三角函数的差不多关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tan cot=1sin csc=1cos sec=1 sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec sin2+cos2=11+tan2=sec21+cot2=csc2(六边形经历法：图形结构上弦中切下割，左正右余中间1经历方法对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

)诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。

)sin(-)=-sincos(-)=cos tan(-)=-tancot(-)=-cotsin(/2-)=coscos(/2-)=sintan(/2-)=cotcot(/2-)=tansin(/2+)=coscos(/2+)=-sintan(/2+)=-cotcot(/2+)=-tansin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cotsin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cotsin(3/2-)=-coscos(3/2-)=-sintan(3/2-)=cotcot(3/2-)=tansin(3/2+)=-coscos(3/2+)=sintan(3/2+)=-cotcot(3/2+)=-tansin(2)=-sincos(2)=costan(2)=-tancot(2)=-cotsin(2k)=sincos(2k)=costan(2k)=tancot(2k)=cot(其中kZ)两角和与差的三角函数公式万能公式sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsintan(+)=(tan+tan)/(1-tan tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan tan)sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2))cos=(1-tan2(/2))/(1+tan2(/2))tan=(2tan(/2))/(1-tan2(/2))半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan2=2tan/(1-tan2)sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3costan3=(3tan-tan3)/(1-3tan2)三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sin+sin=2sin(2/(+ -))cos(2/(+ -))sin-sin=2cos(2/(+ -))sin(2/(+ -))cos+cos=2cos(2/(+ -))cos(2/(+ -))cos-cos=-2sin(2/(+ -))sin(2/(+ -))sin cos=-[sin(+)+sin(-)]/21cos sin=-[sin(+)-sin(-)]/21cos cos=-[cos(+)+cos(-)]/2唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

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三角函数公式●考试目标主词填空1.两角和与差的三角函数.（1）cos(α±β)=βαβαsin sin cos cos ；（2）sin(α±β)=βαβαsin cos cos sin ±；（3）tan(α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ±.2.倍角公式.(1)sin2α=2sin αcos α;(2)cos2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α=cos 2α－sin 2α；(3)tan2α=αα2tan 1tan 2-.3.半角公式. (1)sin=2α2cos 1α-±; (2)cos2α=2cos 1α+±；（3）tan2α=ααcos 1cos 1+-±.●题型示例点津归纳【例1】化简下列各式: (1)23cos15°－21cos75°; (2)tan19°+tan41°+3tan19°²tan41°. 【解前点津】 (1)考虑21,23所对应的特殊角，逆用差角的正弦公式; (2)展开tan(19°+41°)变形即得.【规范解答】 (1)原式=sin60°²cos15°－cos60°²sin15° =sin(60°－15°)=sin45°=22; (2)∵tan(19°+41°)=︒∙︒-︒+︒41tan 19tan 141tan 19tan ,∴3³(1－tan19°²tan41°)=tan19°+tan41°,∴原式=3.【解后归纳】对三角函数公式进行逆用或变用，是必须掌握的一项基本功. 【例2】已知2π<β<α<43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin 2α值. 【解前点津】进行“角变形”.用α+β及α－β的形式表示2α,就能与条件对上号!【规范解答】由条件知:(α－β)是第一象限角，(α+β)是第三象限角. 故sin(α－β)>0,cos(α+β)<0所以,sin(α－β)=13513121)(cos 122=⎪⎭⎫⎝⎛-=--βα；cos(α+β)=－54531)(sin 122-=⎪⎭⎫⎝⎛---=+-βα.∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)²cos(α+β)+cos(α－β)²sin(α+β) =655653131254135-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. 【解答归纳】应用三角公式，为了与条件对上号，掌用的变形手段有：①变角，(本题就是对角进行变形).②变名，(改变函数名称).③变式，(改变式子结构). 【例3】已知－22,22πβππαπ<<-<<,且tan α,tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，求α+β的值.【解前点津】先计算tan(α+β)的值及α+β的取值范围,再确定α+β值.【规范解答】 ①∵－22,22πβππαπ<<-<<,∴－π<α+β<π.由根与系数的关系得:tan α+tan β=－6<0,tan α²tan β=7>0, ∴tan α<0,tan β<0,+∴－π<α+β<0.②∵tan(α+β)=1716tan tan 1tan tan =--=∙-+βαβα,∴α+β=－π43.【解后归纳】考察α+β的取值范围,是一项精细的工作，要善于综合利用“各种信息”，去伪存真，从而达到“准确定位”.【例4】已知sin α+sin β=22,求cos α+cos β的取值范围. 【解前点津】令m =cos α+cos β,利用条件,构造关于m 的方程. 【规范解答】设cos α+cos β=m ① 又sin α+sin β=22②. ①2+②2得:2+2cos(α+β)=21+m 2⇒cos(α+β)=43212-m . ∵－1≤cos(α－β)≤1,∴－1≤4322-m ≤1解之:－214≤m ≤214,故－214≤cos α+cos β≤214. 【解后归纳】本题的解答体现了“方程思想”构造方程,并利用三角函数的有界性，是解题的基本思路.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知sin α²sin β=1,那么cos(α+β)的值等于 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.±12.若A ,B 是△ABC 的内角，并且(1+tan A )²(1+tan B )=2,则A +B 等于 ( ) A.4π B.43π C.45π D.4ππ+k (k ∈Z ) 3.若0<α<2π<β<π,且cos β=－31,sin(α+β)=97,则sin α的值是 ( ) A.271 B.275 C.31D.2723 4.在△ABC 中，若sin A ²sin B <cos A ²cos B ,则三角形的外心位于 ( ) A.三角形外部 B.三角形内部 C.三角形边上 D.不能确定5.在锐角三角形ABC 中,若tan A +tan B >0,则tan A ²tan B 的值是 ( ) A.大于1 B.小于1C.可能等于1D.与1的大小关系不定6.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos=0,则cos(β－γ)= ( ) A.－21 B. 21C.－1D.1 7.若tan α=3,0tan 22tan tan 3,221=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ββαα、β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π,则α+β= ( ) A.6π B.3π C.2π D.32π8.如果tannmA =2,那么m ²cos A －n ²sin A = ( ) A.n B.－n C.－m D.m 9.tan12cot12ππ+的值为 ( )A.2B.3C.4D.6 二、思维激活10.计算:=-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--ααπαπαcos 33sin 24sin 2cos 2 .11.已知:sin α=31,2π<α<3π,则sin 2cos 2αα+= .12.已知0<α<π,化简:αααααcos 222cos 2sin )cos sin 1(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙++= .13.函数y =sin x ²⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+2tan tan 1x x 的最小正周期是 .三、能力提高14.已知1+sin x +cos x +sin2x +cos2x =0,求tan x .15.已知4sin 2x －6sin x －cos 2x +3cos x =0,求:)2tan 1()2cos 1(2sin 2cos x x xx -∙--之值.16.求sin10°²sin50°²sin70°的值.17.在△ABC 中，tan B +tan C +3tan B ²tan C =3.且3tan A +3tan B +1=tan A ²tan B , 试判断△ABC 的形状.第3课三角函数公式习题解答1.A 由条件知sin α=±1且sin β=±1,故α=β=2k π+2π或2k π－2π,(k ∈Z )⇒α+β=2k π±π.2.A ∵tan(A +B )=BA BA tan tan 1tan tan ∙-+=1而0<A +B <π故A +B =4π.3.C sin α=sin ［(α+β)－β］=sin(α+β)²cos β－cos(α+β)²sin β=31311971319722=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. 4.A 由条件得cos(A +B )>0,⇒C 是钝角. 5.A tan A ²tan B =1tan tan tan 1)tan (tan )tan(1>++=++-BA CB A B A .6. A 由条件得1=(－sin α)2+(－cos α)2(sin β+sin γ)2+(cos β+cos γ)2 =2+2(cos βcos γ+sin βsin γ)cos βcos γ+sin βsin γ=cos(β－γ)=－21. 7.B 由条件可得:tan β=243364+,故 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=3,3243364221312433642213πβα=+∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-.8.C 由万能公式得:m cos A －n ²sin A =m ²2tan 12tan22tan 12tan 1222AAn A A +∙-+- m n m m n m n m n m n m n n m n m m -=+--∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-∙=222222222)(12119.C 原式=46sin212cos12sin112sin12cos 12cos12sin==∙=+πππππππ.10.2 ∵分子=2cos α－2sin 4πcos α+2cos 4πsin α=2sin α,分母=2sin 3πcos α+2cos3πsin α－3cos α=sin α,∴原式=2. 11.由条件知:π<232<απ故sin 2α<0,cos 2α<0,sin 2α+cos 2α<0, ∴sin 2α+cos 2α=－332311sin 12cos 2sin 2-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααα.12.分子=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+2cos 2sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα)cos (2cos 22cos 2sin 2cos2ααααα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=分母=2cos2)12cos 2(222αα=-+.故原式=－cos α.13.2π.14.由条件得:(sin x +cos x )+2sin x ²cos x +2cos 2x =0⇒(sin x +cos x )²(1+2cos x )=0, ∴sin x +cos x =0或1+2cos x =0,∴tan x =－1,±3 15.由条件得:(2sin x －cos x )²［(2sin x +cos x )－3］=0, ∵2sin x +cos x －3≠0,∴2sin x －cos x =0, ∴tan x =21⇒tan2x =34,sin2x =54,cos2x =53,∴原式=23. 16.原式=cos20°²cos40°²cos80°=8120sin 8160sin 20sin 880cos 40cos 20cos 20sin 8=︒︒=︒︒∙︒∙︒∙︒.17.由tan B +tan C +3tan B ²tan C =3得:tan B +tan C =3(1－tan B ²tan C ), ∴tan A =－tan(B +C )=－3,∴A =32π.由3tan A +3²tan B +1=tan A ²tan B 得:－3+3tan B +1=－3²tan B . 解之:tan B =33,∴B =6π,C =π－(A +B )=6π,故△ABC 是等腰三角形.。