幂的混合运算
初中数学试题分类汇编：整式幂的混合运算专项训练1(附答案)
（1）原式=－1+1－4－2=－6；
（2）原式= = = ．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂以及幂的混合运算．掌握基本法则和基本运算是解答本题的关键．
20．（1）12；（2）27．
【解析】
【分析】
（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可．
9．（1） ；（2）144；（3） ，5.
【解析】
【分析】
（1）根据乘法分配律与同底数幂的乘法的运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法与幂的乘方的逆运用，将 变形为 ，再代入计算即可；
（3）先提取公因式（a﹣b），然后利用乘法分配律去括号化简，然后代入a，b的值求解即可.
【详解】
（1）原式
；
（3）先化简再求值：( 2m + 3)m﹣3- (m + 2)(m - 4)，其中m-1．
12．计算：x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
13．计算:
14．计算
（1）
（2）
（3）
15．计算
（1） （2）
16．计算
（1）（-1）2019+（π-3.14）0-（ ）-1.
（2）（-2x2y）3-（-2x3y）2+6x6y3+2x6y2
（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果；
（2）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式=m2n+3n3÷mn-2=mn+5n3；
（2）原式=2+1-9+1=-5．
混合计算的运算法则
混合计算的运算法则
混合计算是一种组合多种算法的计算方式，它需要遵循一定的运算法则。
以下是混合计算的运算法则：
1. 先乘除后加减：混合计算中，先进行乘除运算，再进行加减运算。
例如，4 × 2 + 3 ÷ 3 = 8 + 1 = 9。
2. 同级运算从左到右：混合计算中，同级运算从左到右依次进行。
例如，2 × 3 ÷ 2 = 3，而不是1。
3. 括号优先：混合计算中，有括号的部分要先计算。
例如，（2 + 3）× 4 = 20，而不是5 × 4 = 20。
4. 负数优先：混合计算中，负数要先运算。
例如，2 + （-3）×
4 = -10，而不是-2。
5. 指数幂优先：混合计算中，指数幂要先计算。
例如，2 × 3 = 18，而不是2 × 9 = 18。
以上就是混合计算的运算法则，希望能对大家有所帮助。
- 1 -。
幂的运算实数练习题
幂的运算实数练习题一、基础题1. 计算：\(2^3\)2. 计算：\((3)^2\)3. 计算：\(\left(\frac{1}{2}\right)^4\)4. 计算：\((2)^5\)5. 计算：\(\left(\frac{3}{4}\right)^3\)二、混合运算题6. 计算：\(2^3 \times 3^2\)7. 计算：\(\frac{4^3}{2^2}\)8. 计算：\((5^2)^3\)9. 计算：\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2\)10. 计算：\(\left(\frac{5}{6}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^2\)三、指数比较题11. 比较：\(3^4\) 和 \(4^3\)12. 比较：\((2)^5\) 和 \((3)^4\)13. 比较：\(\left(\frac{3}{4}\right)^2\) 和\(\left(\frac{4}{5}\right)^2\)14. 比较：\(\left(\frac{2}{3}\right)^3\) 和\(\left(\frac{3}{4}\right)^3\)15. 比较：\(2^6\) 和 \(3^4\)四、应用题16. 一个正方形的边长为2，求其面积。
17. 一个数的平方是64，求这个数。
18. 一个数的立方是216，求这个数。
19. 如果一个数的平方根是4，求这个数的平方。
20. 如果一个数的立方根是3，求这个数的立方。
五、拓展题21. 计算：\(2^3 + 3^2 4^2\)22. 计算：\(\left(\frac{1}{2}\right)^5 \times\left(\frac{2}{3}\right)^4\)23. 计算：\(\left(\frac{3}{4}\right)^2 \div\left(\frac{4}{5}\right)^2\)24. 计算：\(\left(2^3\right)^2 \times \left(3^2\right)^3\)25. 计算：\(\sqrt[3]{64} \times \sqrt[4]{81}\)六、根式运算题26. 计算：\(\sqrt{49}\)27. 计算：\(\sqrt[3]{27}\)28. 计算：\(\sqrt{64} + \sqrt{25}\)29. 计算：\(\sqrt[4]{16} \times \sqrt[3]{8}\)30. 计算：\(\sqrt{121} \sqrt{81}\)七、分数指数幂题31. 计算：\(4^{\frac{1}{2}}\)32. 计算：\(9^{\frac{3}{2}}\)33. 计算：\(\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}\)34. 计算：\(\left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{2}{3}}\)35. 计算：\(32^{\frac{1}{5}}\)八、指数方程题36. 解方程：\(2^x = 32\)37. 解方程：\(3^{x+1} = 27\)38. 解方程：\(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8\)39. 解方程：\(5^{2x1} = 25\)40. 解方程：\(4^{x+2} = \frac{1}{16}\)九、指数不等式题41. 解不等式：\(2^x > 16\)42. 解不等式：\(3^{x1} < 27\)43. 解不等式：\(\left(\frac{1}{3}\right)^x \geq 9\)44. 解不等式：\(5^{2x3} \leq 125\)45. 解不等式：\(4^{x+1} > \frac{1}{64}\)十、综合题46. 已知\(a^2 = 36\)，\(b^3 = 64\)，计算\(a^3 + b^2\)。
初中数学试题分类汇编：整式幂的混合运算专项训练2(附答案)
试题解析：①∵x+y=7，
∴原式= （x2+y2+2xy）= （x+y）2= ；
②∵ ， =7，
∴原式= =16÷7= ．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．b<a<d<c
【解析】
【分析】
利用乘方性质计算a,b,再利用负指数幂和0次幂计算出c和d,即可比较大小.
（4）把(a-b+2)(a+b-2)写成[a-(b-2)][a+(b-2)]，再利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式展开后合并同类项即可．
【详解】
解：（1）原式=1+4-
= ；
（2）原式=a6-a6-8a6
=-8a6；
（3）原式=(10+ )×(10- )+32017×( )2017×( )2
（2）原式=a2x－b6x=(ax)2－(b2x)3=9－8=1．
【点睛】
本题考查了幂的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
12．1
【解析】
【分析】
首先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则分别求出m、n的值，然后代入求解．
【详解】
16m＝24m，4×22n﹣2＝22n，27n＝33n，9×3m+3＝3m+5，则有：4m＝2n，3n＝m+5，解得：m＝1，n＝2，则（n﹣m）2008＝1．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
13．0.
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的知识求解即可求得答案．
幂的混合运算
课题：幂的混合运算主备人：宗龙昌 审核：成学斌教学目标：1.熟练地进行幂的运算，能对知识发展进行正确合理的迁移；2．让学生在自主学习的过程中，逐步发展解决问题的能力，感受整体思想与转化思想。
3．让学生经历探究、合作、实践应用、反思感悟的过程中，培养学生严谨认真的科学态度，体会数学的应用价值，体验探索数学规律的过程，享受成功的喜悦。
教学重点：幂的运算法则的应用.教学难点：幂的运算法则的延伸.教学方法： 观察、比较、合作、交流、探索.教学过程知识梳（ 在二.例题研练 幂的运算同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方积的乘方科学记数法零指数与负整数指数填空:(1)若23×83 = 2n 则n =_____(2)(－ x 2y 3)3=______(3)若x 3n = －4 则x 9n =________(4)当x_______时,(x-3)0 =1(5)若42x = 8x+1则x=_____ 321.下列四个算式:①(－a)3·(－a)2÷(－a)=a 4②(－a)5÷(－a)3·(－a)2=1③－(－x)7÷(－x)5·(－x)3×(－x)=x 4④(－p)4·(－p)6÷p 3÷(－p)=－p 6其中错误的算式有 ( )选择题2.已知 则n 的值是( ) A.0 B.1 ,)25()52(32-=n n能力训练三．当堂反馈3.当n 为正整数时,计算(-2)2n+1+2·(-2)2n 的结果是( ) A.22n+1 B.-22n+1 计算：2、][[]22252)3()2(--⨯÷-a a a 1、 2-4×0.5-4－ [(-2)－2]-1(x+y)-3÷[(x+y)2]-1× [(x+y)2]2 3、 4、 101141073.0321⨯⨯幂的混合运算步骤: 有乘方的先算乘方,然后算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的. ,)31(,)31(,3,3.00222-=-=-=-=--d c b a 比较a 、b 、c 、d 的大小,并用 “＜”号连接起来. （4）已知2a ·3b ·5c =810,其中a 、b 、c 为正整数 ，求 的值 2005)41(c b a -+(3)若a m+2n÷a 3=a 9（a ≠0） (2) 已知a m =2 a n =3求：a 2m+3n 的值海洋总面积约3.6×108km 2,地球的表面积约是5.10×108km 2,海洋总面积是地球表面积的百分之几?按海洋的海水平均深度3.7×103m 计算,求海水的体积.(用科学记数法表示)四． 拓展提高五、教学反思 六、预习指南 如果3x+4y-2=0，你能求出8x ·16y 的值吗？1.幂的混合运算步骤是什么？⒉有什么疑问吗?.单元测试。
幂的混合运算50道计算题
幂的混合运算50道计算题幂的混合运算计算题一、不带解析的30道计算题1. a^2 · a^3 div a^42. (b^3)^2 · b^4 div b^53. (-2a^2)^3 div (2a^2)4. 3x^2y · (-2xy^2)^35. (m^3n)^2 · (-m^2n^3)6. (-3a^3b^2)^2 div (-a^2b)^37. a^5 · a^3 - a^4 · a^48. (2x^3)^2 - 3x^3 · x^39. (-a^2)^3 + (-a^3)^210. 4y^2 · (y^3)^2 div 2y^511. (a^4)^3 div a^6 · a^212. (-2x^2y^3)^2 · (xy)^313. 5m^2n · (-3mn^2)^214. (3a^2b^3)^2 div (a^3b^4)15. (-x^3)^2 · (-x^2)^316. 2a^3 · (a^2)^3 div a^517. (4b^3)^2 · b div 2b^718. (-3m^2)^3 div m^319. a^2 · (a^3)^2 div (a^4)^220. (-2x^3y)^3 · (x^2y^2)^221. 3a^4 · a^2 - 2(a^3)^222. (5y^4)^2 · y div 5y^923. (-a^3)^2 · (-a^2)^3 div a^524. 2x^5 · (x^3)^2 div x^1025. (3m^3n^2)^2 · (-mn)26. (-2a^2b^3)^3 div (2a^3b^2)27. a^6 div a^3 · a^2 - a^528. (4x^4)^2 - 2x^3 · x^529. (-m^3)^2 · m · (-m^2)^330. 3y^3 · (y^2)^3 div y^7二、带解析的20道计算题（一）1. 计算：a^2 · a^3 div a^4解析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得a^2 · a^3=a^2 + 3=a^5；再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以a^5div a^4=a^5 - 4=a。
新人教版八年级上册数学[幂的运算(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】【幂的运算 知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+． 【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-． 2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =． （2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．【答案与解析】 解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值． 【答案】解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=．【396573 幂的运算 例3】【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。
剖析幂的混合运算
剖析幂的混合运算一、注意运算顺序对于幂的混合运算，一般是先算幂的乘方或积的乘方，再算同底数幂的乘法或同底数幂的除法.例1计算：a4·a3·（a2）3÷a5.分析：这是一道幂的混合运算题，其中包括同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法.解题思路是按运算顺序先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法和同底数幂的除法.解：原式=a4·a3·a6÷a5=a4+3+6+5=a8.评注：在进行幂的混合运算时，一定要弄清先算什么，后算什么.先算的是哪种运算，后算的又是哪种运算，以便正确运用相关的法则.就本题来说，先算的是幂的乘方，指数应相乘，不能相加；后算的是同底数幂的乘法和同底数幂的除法，前者指数应相加，不能相乘，后者指数应相减，不能相除.二、注意符号例2计算：x2·x·x3+(-3x2)2·x2.分析：按照运算顺序，应先算积的乘方，后算同底数幂的乘法，最后算加法.在计算积的乘方时，要特别注意“ ”号的处理.解：原式= x2·x·x3+9x4·x2=x6+9x6=10x6.评注：幂的混合运算中，符号的处理非常重要，也是同学们感到困惑的地方.在具体运算时，要注意以下问题：乘方时负数的奇次方和偶次方的区别，即(-a m)n=(-1)n a mn，当n为奇数时，(-1)n=-1；当n为偶数时，(-1)n=1.三、注意灵活转化例3计算：(-a)2·a3÷（-a）3.分析：从表面上看，本题由于底数不同无法运用幂的运算法则来进行计算，但仔细观察便可发现，先算积的乘方，然后即可运用同底数幂的乘法和同底数幂的除法法则来计算.解：原式=a2·a3÷（-a3）=-a2+3-3=-a2.评注：在运算时，要注意认真观察，分析题目的特点，从而正确求解.。
幂的混合运算2
13．已知 ， ，则 的值为________．
14．已知ax＝3，ay＝9，则a2x+y＝_____．
15．已知 ,则用底数是10的幂的形式表示75=_________.
16． 2 5÷ 6=____________．
评卷人
得分
三、解答题
17．完成下列各题：
（1）计算：① ②
（2）因式分解：① ②18计算：（1） （2）（3） （4）
19．计算：
（1） （2）
20．（1）计算：
（2）计算：
21．计算：（1）
（2）
22．计算：
（1）
（2）
23．计算：
（1）
（2）（﹣a）2•a﹣（2a）3
（3）（x＋1）2﹣（x＋2）（x﹣2）
24．计算题
（1） ；
（2）
幂的混合运算2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列运算正确的是（）
A．a2•a4＝a8B．﹣a（a﹣b）＝﹣a2﹣ab
C．（﹣2a）2÷（2a）﹣1＝8a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4B．（3a2）3＝9a6
C．2a•3a＝6a2D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
3．下面计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
6．下列各式：①a4·a2；②(a3)2；③a2·a3；④a3+a3；⑤(a·a2)3，其中结果为a6的有()
七年级数学8.1幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．1．同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．③不要忽视指数是1的因数或因式．【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．【例1－2】计算：(1)(x＋y)2·(x＋y)3；(2)(a－2b)2·(2b－a)3.分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5；方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5.本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5相乘，读作“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3；(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个＝m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个＝a mn(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn(m ，n 都是正整数)．这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp(m ，n ，p 均为正整数)．(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( )．A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 9(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝__________.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.答案：(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8都是错误的．3．积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n等．(2ab )3＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443个＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个＝a n b n(n 为正整数)．(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积．也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n(n 是正整数)． (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n(n 是正整数)．【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34.分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12，a ，b 2，c 3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．解：(1)(－2x )3＝(－2)3·x 3＝－8x 3；(2)(－xy )2＝(－1)2·x 2·y 2＝x 2y 2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2＝x 3(y 2)3·(－1)2·(x 2)2y 2＝x 3y 6·x 4y 2＝x 7y 8；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124a 4(b 2)4(c 3)4＝116a 4b 8c 12.(1)在计算时，把x 2与y 2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．4．同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n )．这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p(a ≠0，m ，n ，p 为正整数，m ＞n ＋p )．【例4】计算：(1)(－a )6÷(－a )3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2；(3)(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2. 分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a ，(2)中的底数是(a ＋1)，(3)中的底数可以是－x ，也可以是x .解：(1)(－a )6÷(－a )3＝(－a )6－3＝(－a )3＝－a 3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2＝(a ＋1)4－2＝(a ＋1)2； (3)方法1：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x )7÷(－x )3÷(－x )2＝(－x )7－3－2＝(－x )2＝x 2. 方法2：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x 7)÷(－x 3)÷x 2＝x 7－3－2＝x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a ，b 可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a 只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a 5÷a ＝a 5－1，而不是a 5－0.5．零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a 0＝1(a ≠0)．a 0＝1的前提是a ≠0，如(x －2)0＝1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．用字母可以表示为：a －p＝1ap (a ≠0，p 是正整数)．a －p ＝1ap 的条件是a ≠0，p 为正整数，而0－2等是无意义的．当a ＞0时，a p 的值一定为正；当a ＜0时，a －p 的值视p 的奇偶性而定，如(－2)－3＝－18，(－3)－2＝19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是整数)．如a ÷a 2＝a 1－2＝a －1＝1a；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a －2·a －3＝a－2－3＝a －5等．【例5】计算：(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2；(4)(π－3.14)0；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a －p＝1ap (p 是正整数，a ≠0)和a 0＝1(a ≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．解：(1)1.6×10－4＝1.6×1104＝1.6×0.000 1＝0.000 16.(2)(－3)－3＝1－33＝－127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝925. (4)因为π＝3.141 592 6…， 所以π－3.14≠0.故(π－3.14)0＝1.(5)原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－231＝1＋9－32＝812.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6．用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10－n的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a ＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n ，n 是正整数，它等于原数化为a 后小数点移动的位数．(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ，用科学记数法表示这个数是( )．A ．0.156×10－5B ．0.156×105C．1.56×10－6 D．1.56×106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．答案：Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例6－2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．A．0.000 124 B．0.012 4C．－0.001 24 D．0.001 24解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.答案：D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．7．幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.【例7－1】下列运算正确的是( )．A．a4＋a5＝a9B．a3·a3·a3＝3a3C．2a4·3a5＝6a9D．(－a3)4＝a7解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．答案：C【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3＝－8x6y3＋8x6y3＝0.8．幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．(1)逆用同底数幂的乘法性质：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 为正整数)．如25＝23×22＝2×24.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．(2)逆用幂的乘方性质：a mn ＝(a m )n ＝(a n )m (m ，n 均为正整数)．逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x 6＝(x 2)3＝(x 3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．(3)逆用积的乘方性质： a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．(4)逆用同底数幂的除法性质： a m －n ＝a m ÷a n (a ≠0，m ，n 为整数)．当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．【例8－1】(1)已知3a ＝2,3b ＝6，则33a －2b的值为__________；(2)若m p ＝15，m 2q ＝7，m r ＝－75，则m 3p ＋4q －2r的值为__________．解析：(1)因为3a ＝2,3b＝6，所以33a －2b ＝33a ÷32b ＝(3a )3÷(3b )2＝23÷62＝29.(2)m 3p ＋4q －2r ＝(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝15.答案：(1)29 (2)15【例8－2】(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024；(2)已知10x ＝2,10y ＝3，求103x ＋2y的值．分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x ＋2y化为条件中的形式．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) ＝8.(2)因为103x ＝(10x )3＝23＝8,102y ＝(10y )2＝32＝9，所以103x ＋2y ＝103x ·102y＝8×9＝72. 9．利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．(3)作商比较法：当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．【例9】(1)已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a(2)350,440,530的大小关系是( )．A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350(3)已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( )．A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．无法比较解析：(1)因为a ＝8131＝(34)31＝3124，b ＝2741＝(33)41＝3123，c ＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a ＞b ＞c .故选A ．(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B ．(3)因为P Q ＝999999×990119＝9×119999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P ＝Q .故选B ． 答案：(1)A (2)B (3)B10．幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ，则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少？分析：要计算卫星运行3×102s 所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m ． 11．幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(x m)n＝__________.利用你发现的规律计算：①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．规律：a n·b n＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．(2)x2x2×3＝x6x mn①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.。
幂的运算复习讲义
课 题（课型） 幂的运算 学生目前情况（知识遗漏点）：复习巩固教 学 目 标或考 点 分 析：1. 学会应用同底数幂的乘法和除法。
2. 掌握幂的乘方和积的乘方。
3. 幂的混合运算和科学计数法 教学重难点： 同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方 教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸幂的运算知识点一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：文字叙述：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
字母表示：________________________2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n pa a a a ++⋅⋅= 注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.3、逆用同底数幂的乘法法则： =m n a a例1、计算列下列各题（1） x 3·x 5+(x 4)2； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-例2、若15(3)59n n x x x -⋅+=-，求x 的值.()2 (3)例11、（1）已知5544222,36a b c ---===，比较a,b,c 的大小。
（2）当a,b 满足什么条件时，等式1)1(=+b a 成立？4、绝对值小于1的数的科学计数法把一个正数写成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 为整数），这种计数法称为科学计数法，其方法如下：（1）确定a ，a 是只有个位整数的数；（2）确定n ，当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值<1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中做起第一个非0数前0的个数（包括整数位上的0）。
. 例12、（1）用科学计数法表示：0.000096=________________________. （2） 用小数表示4102-⨯-=______________________________.（3）为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出40000亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长.这个数用科学记数法表示为 亿元． （4）2015nm =_______________________m. （5）最薄的金箔的厚度为m 000000091.0，用科学记数法表示为 m ．例13、（1）计算并用科学计数法表示：78106.41067.3⨯-⨯（2）有一句谚语：“捡了芝麻，丢了西瓜，”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小 事，却忽略了具有重大意义的大事.据测算，5万粒芝麻才200g,请你计算1粒芝麻有多少千克？练习：1．下列计算正确的是（ ）A ．1)1(0-=-B ．1)1(1=--C ．33212a a =- D ．4731)()(aa a =-÷- 2．下列各式：①5151=-,②0)00001.0(0=,③001.0102=-,④ 313310=÷-正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ． 2 个D ．3个3．下列计算错误的是 （ ）A ．1)0001.0(0=B ．01.0)1.0(2=-C ．1)5210(0=⨯-D ．0001.0104=-4．若,)31(,3,3.0022-=-=-=-c b a 则 （ ）A ．d c b a ＜＜＜B ．c d a b ＜＜＜C ．b c d a ＜＜＜D ．b d a c ＜＜＜5．通过世界各国卫生组织的努力，甲型Ｈ1N1流感疫情得到了有效地控制，到目前为止，全球感染人数为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031,将数字0.0000031用科学计数法表示为（ ）A ．5101.3-⨯B ．6101.3-⨯C ．7101.3-⨯D ．8101.3-⨯6．=÷6622_____________.=-2)21(______________.7．肥皂泡表面厚度大约是0.0007mm,用科学记数法表为____________________mm8． 当___________时, .1)12(0=-a9． 已知==-=x x x 则且,1)3(,30_____________. 10．已知==-x x 则,1312___________________.11．计算：（1）031452222)21(2+⨯⨯++---- （2）02213)2()21(])1(8)2[(-⨯-⨯-⨯------π。
专题1.4 幂的运算与整式混合运算专项训练(北师大版)(解析版)
考卷信息：
【北师大版】
本套训练卷共 40 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对幂的运算与整式混合运算的理解！
1．（2023 春·四川达州·七年级校考期末）计算：
(1)�3 ⋅ �4 ⋅ � + (�2)4 − ( − 2�4)2．
(2)� ⋅ �7 − ( − 3�4)2 + �10 ÷ �2 (3)−3�2 2� − 4� + 2� �2 − �� ． 【答案】(1)−2�8
(2)−7�8
(3)−4�3 + 10�2�
【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则化简即可； （2）分别根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）�3 ⋅ �4 ⋅ � + (�2)4 − ( − 2�4)2
【分析】（1）根据单项式乘以多项式运算法则，进行计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式，进行计算即可．
【详解】（1）解：−
1 2
�
2 �2 − 2� 2 + 1
3
=−
1 3
�3
2 + �2
3 −1�
2
；
（2）解： 2� − � � + � − � − � 2
= 2�2 + �� − �2 − �2 − 2�� + �2
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= 54�4�5 ÷ 9�3�4 = 6��； （2）解：原式= 4�2 − � + 12� − 3 − 4�2 − 12� − � − 3 =− 2� − 6． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握选积的乘方、单项式相乘除、多项式乘以多项式运算法则是解 题的关键． 5．（2023 春·安徽宣城·七年级校考期中）计算： 2� + � � − � + �2 ⋅ 2� 2． 【答案】8�4 − 4�3� 【分析】先对括号内的整式乘法进行计算，括号外利用积的乘方进行计算，再将括号内的各项合并同类项， 最后和括号外的单项式相乘即可． 【详解】解： 2� + � � − � + �2 × 2� 2 = 2�2 − 2�� + �� − �2 + �2 × 4�2 = 2�2 − �� × 4�2 = 8�4 − 4�3� 【点睛】本题考查整式乘法的混合运算，积的乘方，多项式乘多项式等，掌握相关的运算法则和运算顺序是 解题的关键． 6．（2023 春·湖南永州·七年级校考期中）计算： (1)1042； (2) � + 2 − � − 2． 【答案】(1)10816 (2)4�
同底数幂的乘法混合运算
1．（2017?东光县一模）计算|﹣6|﹣（﹣）0的值是（）A．5 B．﹣5 C．5D．7【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：|﹣6|﹣（﹣）0=6﹣1=5．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．2．（2017春?余杭区期末）若（t﹣3）2﹣2t=1，则t可以取的值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据任何非0数的零次幂等于1，1的任何次幂等于1，﹣1的偶数次幂等于1解答．【解答】解：当2﹣2t=0时，t=1，此时t﹣3=1﹣3=﹣2，（﹣2）0=1，当t﹣3=1时，t=4，此时2﹣2t=2﹣2×4=﹣6，1﹣6=1，当t﹣3=﹣1时，t=2，此时2﹣2t=2﹣2×2=﹣2，（﹣1）﹣2=1，综上所述，t可以取的值有1、4、2共3个．故选C．【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，要穷举所有乘方等于1的数的情况．3．（2017春?新野县期中）计算4﹣（﹣4）0的结果是（）A．3 B．0 C．8 D．4【分析】直接利用零指数幂的性质化简进而求出答案．【解答】解：4﹣（﹣4）0=4﹣1=3．故选：A．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．4．（2017春?长安区期中）若（m﹣3）0=1，则m的取值为（）A．m=3 B．m≠3 C．m＜3 D．m＞3【分析】利用零指数幂的性质判断即可确定出m的值．【解答】解：∵（m﹣3）0=1，∴m﹣3≠0，则m≠3，故选B【点评】此题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的性质是解本题的关键．5．（2016春?江都区校级月考）若式子|x|=（x﹣1）0成立，则x的取值为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．不存在【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：由|x|=（x﹣1）0成立，得|x|=1且x﹣1≠0．解得x=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1得出|x|=1且x﹣1≠0是解题关键．6．（2017?包头）计算（）﹣1所得结果是（）A．﹣2 B．C．D．2【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：（）﹣1==2，故选：D．【点评】本题考查的是负整数指数幂的运算，掌握a﹣p=是解题的关键．7．（2017?临高县校级模拟）下列说法：①若a≠0，m，n是任意整数，则a m．a n=a m+n；②若a是有理数，m，n是整数，且mn＞0，则（a m）n=a mn；③若a≠b且ab≠0，则（a+b）0=1；④若a是自然数，则a﹣3．a2=a﹣1．其中，正确的是（）A．①B．①②C．②③④D．①②③④【分析】①、④根据同底数幂作答；②由幂的乘方计算法则解答；③由零指数幂的定义作答．【解答】解：①a m．a n=a m+n，同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；正确；②若a是有理数且a≠0时，m，n是整数，且mn＞0，则（a m）n=a mn，根据幂的乘方计算法则底数不变，指数相乘，正确；③若a≠b且ab≠0，当a=﹣b即a+b=0时，（a+b）0=1不成立，任何非零有理数的零次幂都等于1，错误；④∵a是自然数，∴当a=0时，a﹣3．a2=a﹣1不成立，错误．故选B．【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方、零指数幂等知识．8．（2017?黄冈模拟）计算：|﹣2|﹣（π﹣2016）0+（）﹣3的结果为（）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1+8=9，故选D【点评】此题考查了负整数指数幂，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2017?威海一模）﹣（）﹣2的倒数是（）A．﹣4 B．C．D．4【分析】根据负整数指数幂的意义先求出﹣（）﹣2的值，然后再求该数的倒数．【解答】解：∵﹣（）﹣2=﹣22=﹣4，∴﹣4的倒数为：﹣故选（B）【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．10．（2017春?迁安市期中）如果a=﹣0.32，b=﹣3﹣2，c=（﹣）﹣2，d=（﹣）0，那么a、b、c、d的大小关系为（）A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b【分析】根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的定义将a、b、c、d的值计算出来即可比较出其值的大小．【解答】解：因为a=﹣0.32=﹣0.09，b=﹣3﹣2=﹣=﹣，c=（﹣）﹣2==9，d=（﹣）0=1，所以c＞d＞a＞b．故选C．【点评】本题主要考查了（1）零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方运算：负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．（2）有理数比较大小：正数＞0；0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小．11．（2017春?东明县期中）原子很小，1010个氧原子首位连接排成一行的长度为1m，则每一个氧原子的直径为（）A．10﹣7m B．10﹣8m C．10﹣9m D．10﹣10m【分析】根据题意列出算式即可求出氧原子的直径．【解答】解：原式=1÷1010=10﹣10故选（D）【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是根据题意列出算式，本题属于基础题型．二．填空题（共10小题）12．（2017?隆回县模拟）（﹣3）2﹣（π﹣3.14）0=8．【分析】本题涉及零指数幂、乘方等考点，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=9﹣1=8．【点评】本题考查了幂运算的性质：负数的偶次幂是正数；任何不等于0的数的0次幂都等于1．13．（2017?河北模拟）若|p+3|=（﹣2016）0，则p=﹣4或﹣2．【分析】原式利用零指数幂法则及绝对值的代数意义化简，即可确定出p的值．【解答】解：已知等式整理得：|p+3|=1，可得p+3=1或p+3=﹣1，解得：p=﹣2或﹣4，故答案为：﹣4或﹣2【点评】此题考查了零指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2017?河南一模）|﹣2|﹣（π﹣3）0=1．【分析】根据绝对值的性质，零次幂，可得答案．【解答】解：|﹣2|﹣（π﹣3）0=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题考查了零指数幂，利用绝对值的性质，零次幂是解题关键．15．（2017?河南模拟）若=1，则实数x应满足的条件是x≠0，x≠﹣．【分析】根据零指数幂的条件、运算法则计算即可．【解答】解：由题意得，x≠0，+3≠0，解得，x≠0，x≠﹣，故答案为：x≠0，x≠﹣．【点评】本题考查的是零指数幂的运算，掌握零指数幂：a0=1（a≠0）是解题的关键．16．（2017春?太仓市校级期中）当x=1或2或﹣2017时，代数式（2x﹣3）x+2017的值为1．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及结合零指数幂的性质分解得出答案．【解答】解：当x=1时，（2x﹣3）x+2017=（﹣1）2018=1，当x=2时，（2x﹣3）x+2017=12019=1，当x=﹣2017时，（2x﹣3）x+2017=1，故答案为：1或2或﹣2017．【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．17．（2017?江西模拟）若3n=，则n=﹣3．【分析】根据负整数指数幂，即可解答．【解答】解：3n==3﹣3，所以n=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了负整数指数幂，解决本题的关键是熟记负整数指数幂的定义．18．（2017春?招远市期中）已知|a|=2，且（a﹣2）0=1，则a﹣3=﹣．【分析】根据非零的零次幂等于1，可得a，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：由|a|=2，且（a﹣2）0=1，得a=﹣2．a﹣3=（﹣2）﹣3=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用零次幂得出a的值是解题关键．19．（2017春?新野县校级月考）=3．【分析】首先根据a0=1（a≠0）、a﹣p=（a≠0，p为正整数）计算，然后再按从左到右的顺序计算．【解答】解：原式=×9÷1=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了零次幂、负整数指数幂，关键是掌握计算公式和计算顺序．20．（2017春?新北区校级月考）若3（y﹣1）0﹣2（y﹣2）﹣2有意义，则y应满足条件y≠1且y≠2．【分析】根据负整数指数幂和非零数的零指数幂求解可得．【解答】解：若3（y﹣1）0﹣2（y﹣2）﹣2有意义，则y﹣1≠0且y﹣2≠0，解得：y≠1且y≠2，故答案为：y≠1且y≠2．【点评】本题主要考查负整数指数幂和零指数幂，掌握负整数指数幂和非零数的零指数幂的定义是解题的关键．21．（2017春?东台市月考）实数m、n满足|m﹣2|+（n﹣2017）2=0，则m﹣1+n0=．【分析】根据非负数的和为零，可得m，n的值，根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：由题意，得m﹣2=0，n﹣2017=0，解得m=2，n=2017．m﹣1+n0=1+=，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用非负数的和为零得出m，n的值是解题关键．三．解答题（共9小题）22．（2017春?简阳市期中）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2015=1成立的x的值．【分析】根据1的乘方，﹣1的乘方，非零的零次幂，可得答案．【解答】解：①当2x+3=1时，x=﹣1；②当2x+3=﹣1时，x=﹣2，但是指数x+2015=2013为奇数，所以舍去；③当x+2015=0时，x=﹣2015，且2×（﹣2015）+3≠0，所以符合题意；综上所述：x的值为﹣1或﹣2015．【点评】本题考查了零指数幂，利用了1的任何次幂都等于1；﹣1的奇数次幂都等于﹣1；﹣1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1．23．（2017?南平模拟）计算：（﹣1）×（﹣3）+20+15÷（﹣5）【分析】根据非零的零次幂等于1，可得有理数的运算，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：原式=3+1﹣3=1．【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键．24．（2017春?姜堰区月考）小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：“已知：（2x﹣5）x+4=1，求x的值．”，他解出来的结果为x=2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？请你写出完整的解答过程．【分析】根据1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1，非零的零次幂等于1，可得答案．【解答】解：2x﹣5=1时，即x=3时，（2x﹣5）x+4=1，2x﹣5=﹣1时，即x=2时（2x﹣5）x+4=1，x+4=0时，即x=﹣4时（2x﹣5）x+4=1，（2x﹣5）x+4=1的解为x=3或2或﹣4．【点评】本题考查了零指数幂，利用1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1，非零的零次幂等于1是解题关键．25．（2016秋?宣威市校级期中）计算：（﹣2）2﹣（3.14﹣π）0﹣|﹣|﹣（﹣1）2016．【分析】首先计算乘方、零次幂、绝对值，然后再计算有理数的加减即可．【解答】解：原式=4﹣1﹣﹣1=1．【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握零指数幂：a0=1（a≠0）．26．已知（|x|﹣4）x+1=1，求整数x的值小红与小明交流如下：小红：因为a0=1（a≠0），所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．小明：因为1n=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案．【解答】解：因为a0=1（a≠0），所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．因为1n=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5当|x|﹣4=﹣1，解得：x=±3，此时（|x|﹣4）x+1=（﹣1）4或（﹣1）﹣2其结果都为1，综上所述：x的值可以为：﹣1，±3，±5．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，正确把握运算法则是解题关键．27．（2016春?无锡校级月考）（1）你发现了吗？（）2=×，（）﹣2=，由上述计算，我们发现（）2=（）﹣2（2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系．（3）我们可以发现：（）﹣m=（ab≠0）．（4）计算：（）﹣2．【分析】（1）根据平方和负整数指数幂的计算法则计算即可求解；（2）仿照（1）计算即可作出判断；（3）根据（1）（2）得出发现；（4）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解．【解答】解：（1）我们发现（）2=（）﹣2；故答案为：=；（2）∵=××=，==××=××=∴=．（3）我们可以发现：（）﹣m=（ab≠0）．故答案为：=；（4）（）﹣2=（）2=．【点评】考查了负整数指数幂，负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．28．要使（x﹣1）0﹣（x+1）﹣2有意义，x的取值应满足什么条件？【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数、任何非0数的0次幂等于1解答即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，x+1≠0，解得，x≠±1，答：要使（x﹣1）0﹣（x+1）﹣2有意义，x≠±1．【点评】本题考查的是负整数指数幂和零指数幂的概念，掌握负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1是解题的关键．29．已知S=1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+…+2﹣2007，请你计算求出S的值．【分析】观察等式发现，式子中的第二个加号后的项是前一项的，要消去这些分数，两边同乘以后，再与原式相减，就可求出S．【解答】解：解：∵S=1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+…+2﹣2005，∴S=1++++…+（1），∴两边同乘以得，S=+++…+（2），（1）﹣（2），得S=1﹣，∴S=2﹣．【点评】本题是观察规律题，对于式子中后一项是前项的几倍或几分之一，则可把原式同乘以几或几分之一后，再与原式相减，式子就可得到化简．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．30．要使式子（4x﹣5）0+（2x﹣3）﹣2有意义，求x的取值范围，并求当x=时式子的值．【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得答案；再根据代数式求值，可得答案．【解答】解：由（4x﹣5）0+（2x﹣3）﹣2有意义，得，解得x≠，且x≠．x的取值范围x＜或＜x＜或x＞．当x=时，（4x﹣5）0+（2x﹣3）﹣2=1+（2×﹣3）﹣2=1+=．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零得出不等式组是解题关键．。
第03讲幂的运算(3个知识点+7种题型+过关检测)(教师版) 24-25学年七年级数学上册(沪教版)
【答案】 -a21 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解： a ×-a5 ×-a6 ×-a7 ×-a2 = a ×-a5 ×-a6 ×-a7 ×a2
= -a × a5 × a6 × a7 × a2 = -a1+5+6+7+2
解得： m = 2 ．
故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查幂的知识，解题的关键是掌握 am ´ an = am+n 的运用．
4．（23-24 七年级上·上海闵行·阶段练习）已知 22x+3 - 22x+1 = 192 ，求 x =
．
5 【答案】
2
【分析】 22x+3 - 22x+1 = 22x ´ 23 - 22x ´ 2 = 6 ´ 22x ，据此即可求解．
第 03 讲 幂的运算（3 个知识点+7 种题型+过关检测）
知识点一．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n 是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p 都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 23 与 25，（a2b2）3 与（a2b2）4，（x﹣y）2 与（x﹣y） 3 等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数” 这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
专题 幂的运算章末重难点题型(举一反三)(苏科版
专题 幂的运算章末重难点题型【苏科版】【考点1 科学记数法】【方法点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【例1】（2019春•岱岳区期中）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.0000037mg ，已知11000g mg =，那么0.0000037mg 用科学记数法表示为( )A ．63.710g -⨯B ．73.710g -⨯C ．83.710g -⨯D ．93.710g -⨯【变式1-1】（2018春•宝丰县期中）小聪在用科学记数法记录一个较小的数时，多数了2位，结果错误地记成84.0310-⨯，正确的结果应是( ) A ．64.0310⨯B ．64.0310-⨯C ．104.0310⨯D ．104.0310-⨯【变式1-2】（2019春•龙口市校级期中）1纳米等于1米的10亿分之一，人的头发的直径约为6万纳米，用科学记数法表示一根头发的直径是( )米． A ．7610-⨯B ．6610-⨯C ．5610-⨯D ．4610-⨯【变式1-3】（2019春•高新区期中）下列用科学记数法表示正确的是( ) A ．40.00056756710-=-⨯ B ．40.0012312.310-=⨯ C ．20.0808.010-=⨯D ．5696000 6.9610--=⨯【考点2 零指数幂和负整数指数幂】【方法点拨】零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）负整数指数幂：任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nn a a-=（a ≠0，n 是正整数）.【例2】（2019春•电白区期中）若01(3)2(24)x x ----有意义，则x 取值范围是( ) A ．3x ≠B ．2x ≠C ．3x ≠或2x ≠D ．3x ≠且2x ≠【变式2-1】（2019春•天宁区校级期中）如果0(2019)a =-，1(0.1)b -=-，25()3c -=-，那么a 、b 、c 三数的大小为( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【变式2-2】（2019春•东平县期中）计算011|5|( 3.14)()2π--+--的结果是( )A ．0B ．1C ．4D ．6.5【变式2-3】（2019春•秦淮区期中）如果等式3(23)1x x +-=，则等式成立的x 的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点3 幂的基本运算判断】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：nm nmaa a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。