高数 求导法则
高中《导数》知识点总结
《导数》知识点一.导数公式：0='C 1)(-='n n nx x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='a a a x x ln )(=' x x e e =')( a x x a ln 1)(log =' xx 1)(ln =' 二.运算法则：(1) )()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2) )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅；(3) )(])([x f C x f C '⋅='⋅，C 为常数； (4) 2)]([)()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 三.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度．四.导数的几何意义：导数就是切线斜率．函数)(x f y =在0x x =处的导数是曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处切线的斜率，即)(0x f k '=.注：点())(,00x f x 是切点五.对于函数)(x f y =给定区间[,]a b 内，1.(1)若0)(>'x f ，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若0)(<'xf ，则()f x 在[,]a b 内是减函数．(2)若()f x 在[,]a b 内是增函数，则0)(≥'x f 在[,]a b 内恒成立；若()f x 在[,]a b 内是减函数，则0)(≤'x f 在[,]a b 内恒成立. 注：0)(>'x f ⇒()f x 递增；()f x 递增⇒0)(≥'x f 2.极值：图中1x ，3x 是极大值点，相应的函数值为极大值；2x ，4x 为极小值点，相应的函数值为极小值. 且=')(1x f =')(2x f =')(3x f 0)(4='x f 3.已知)(x f y =是可导函数，则“0x 为极值点”是“0)(0='x f ”的充分不必要条件.（0x 为极值点⇒0)(0='x f ；但满足0)(0='x f 的0x 不一定．．．是极值点.例如：函数3)(x x f =，虽然0)0(='f ，但0=x 不是其极值点，因为3)(x x f =在定义域内单调递增，没有极值点）4.利用导数求极值的步骤：第一步：求导数)(x f '； 第二步：令0)(='x f ，解方程； 第三步：由方程的根将定义域分为若干个区间； 第四步：判断)(x f '在每个区间上的正负； 第五步：确定极值点，并求出极值.5.利用导数求函数)(x f y =在闭区间],[b a 内最值：(1)若)(x f y =在闭区间],[b a 内有唯一的极大(小)值，那么这个极大(小)值就是函数的最大(小)值；(2)若)(x f y =在闭区间],[b a 内的极值不唯一，那么将所有的极值和)(a f ，)(b f 比大小，最大者为 函数的最大值，最小者为函数的最小值.六.含参数的恒成立问题：（分离参数法）（1）若)(x f a ≥恒成立，则)(max x f a ≥； （2）若)(x f a ≤恒成立，则)(min x f a ≤； )(x f。
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
高数求导公式大全法则
高数求导公式大全法则
高数求导公式和法则如下：
1. 基本初等函数求导公式：
y=c y'=0
y=α^μ y'=μα^(μ-1)
y=a^x y'=a^x lna
y=e^x y'=e^x
y=loga,x y'=loga,e/x
y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx
2. 基本的求导法则：
求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方。
3. 链式法则：如果有复合函数，则用链式法则求导。
4. 导数的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率。
5. 导数的计算方法：计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
6. 导数在几何上的意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
希望对您有所帮助！如果您还有疑问，建议咨询数学专业人士。
高数——求导法则
3.2.1 函数的和 、商 、积、差求导法则
定理3.2 设函数u(x)和v(x)均在x点可导,则它们的和、差、积、商 (分母不等于0)也均在x点可导,且
[u(x) v(x)]'=u '(x) v '(x)
[u(x)v(x)]'=u '(x)v(x) u(x)v '(x)
(3) 设y ln u,u cos x,则
(ln cos x) ' (ln u) '(cos x) ' 1 (sin x) sin x tan x
u
cos x
(4) 设y u10,u 1 2x,则
[(1 2x)10 ]' (u10 ) '(1 2x) ' 10u9 2 20(1 2x)9
x2 a2 )；
x
解 (1) 设y sin u,u x2 ,则 1 x
x2 dy dy du
x2
sin
1
x
dx
du
dx
(sin
u)
'
1
x
'
cos
u
(1
x)(2x) (1 x)2
x2
1
x2 2x (1 x)2
cos
x2 1 x
(2) 设y eu ,u x2,则
(ex2 ) ' (eu ) '(x2) ' eu 2x 2xex2
12x3 10x 1
例 2 设g(x)=x2 3x , 求g '(x),g '(2)
解 g '(x)=(x2 ' 3x x2 (3x ' 2x 3x x2 3x ln 3 g '(2)=(x2 '3x x2 (3x ' 2 4 32 4 32 ln 3 36(1 ln 3)
大学数学(高数微积分)函数求导法则(课堂讲解)
二、反函数的导数
若原来的函数x ( y )在某一区间Dy 上单调、连续.则其反函数y f ( x)在 x ( y )的值域Dy 上也单调、连续.
问题：若原函数x ( y )在点( ( y ), y )可导， 反函数y f ( x)在对应点( x, f ( x))是否可导？ 若可导，f '( x)与 '( y )有何关系？
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
例5
x, x0 设 f ( x) , 求 f ( x ). ln(1 x ), x 0
解 当x 0时, f ( x ) 1,
当x 0时,
ln(1 x h) ln(1 x ) f ( x ) lim h 0 h 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 , 1 x
（常数和基本初等函数的导数公式）
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc xctgx (e x ) e x 1 (ln x ) x 1 1 x2 1 (arccot x ) 1 x2 (arccos x )
例1 求函数 y arcsin x 的导数. 解
x sin y在 I y ( , )内单调、可导, 2 2
且 (sin y ) cos y 0,
在 I x (1,1)内有
1 1 1 1 (arcsin x ) . 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
1 3( x 2)
例 解
求函数 y e
sin 1 x
sin
高中数学导数公式及运算法则
高中数学导数公式及运算法则1.y=cc为常数 y'=02.y=x^n y'=nx^n-13.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[fx+gx]'=fx'+gx'乘法法则：[fx*gx]'=fx'*gx+gx'*fx除法法则：[fx/gx]'=[fx'*gx-gx'*fx]/gx^2由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高数求导法则公式
高数求导法则公式
《高数求导法则公式》
在微积分中，求导是一项重要的运算。
对于一些基本的函数，可以通过一些法则和公式来简化求导的过程。
下面列举了一些常见的求导法则和公式。
1. 常数法则
如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0。
2. 幂函数法则
如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
这条法则表明x的幂函数求导后，指数减1，并乘上原始指数。
3. 指数函数法则
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
这条法则表示指数函数的导数仍然是它自己。
4. 对数函数法则
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
对数函数ln(x)的导数是1/x。
5. 三角函数法则
sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = 1 + tan^2(x)。
这些法则表示了三角函数的导数和原函数之间的关系。
这些是基本的求导法则和公式，通过它们可以对各种函数进行求导。
当然，还有更多的求导法则和公式，如乘积法则、商法则、链式法则等，它们可以帮助我们更快捷地求出复杂函数的导数。
通过熟练掌握这些法则和公式，可以更好地理解微积分的运算，也可以更轻松地解决相关的数学问题。
高等数学求导公式大全
高等数学求导公式大全求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性，定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。
函数的导数就是一点上的切线的斜率。
当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。
导数与微分：微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。
微分和导数是两个不同的概念。
但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。
可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。
一、求导法则1. 四则运算求导法则2. 反函数求导法则设是的反函数，则3. 复合函数求导法则设则4. 参数函数求导法则设则5. 对数求导法如果涉及多项相乘、相除、开方、乘方的情况，可以先取对数再求导.假设于是则6. 幂指函数求导法设则可采用上述对数求导法有：于是或化为指数函数然后求导.7. 隐函数求导法则设确定了关于的函数，则于是二、基本初等函数求导公式三、高阶导数。
高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导是微积分中的重要概念，用来求函数的变化率和斜率。
在求导过程中，有一些基本公式是非常重要的，它们可以帮助我们简化计算。
下面是16个常用的求导基本公式：1. 常数规则：对于常数c，导数为0。
即：d/dx(c) = 0。
2. 变量规则：对于自变量x，导数为1。
即：d/dx(x) = 1。
3. 幂规则：对于幂函数y = x^n（n为常数），导数为ny^(n-1)。
即：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
4. 指数函数规则：对于以e为底的指数函数y = e^x，导数为e^x。
即：d/dx(e^x) = e^x。
5. 对数函数规则：对于以a为底的对数函数y = log_a(x)，导数为1/(x·ln(a))。
即：d/dx(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))。
6. 乘法法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数为u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
即：d/dx(uv) = u'v + uv'。
7. 除法法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数为(u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/(v(x))^2。
即：d/dx(u/v) = (u'v - uv')/(v^2)。
8. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数为f'(g(x))·g'(x)。
即：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)。
9. 正弦函数法则：对于正弦函数y = sin(x)，导数为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
10. 余弦函数法则：对于余弦函数y = cos(x)，导数为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
11. 正切函数法则：对于正切函数y = tan(x)，导数为sec^2(x)。
高等数学18个求导公式
高等数学18个求导公式高等数学的求导，是高等数学的重要的基本技能。
求导的基本定义是求出一个函数的变化率，也就是求函数的导数。
下面给出18个求导公式：1.常数项求导公式：若y = c，其中c为常数，则y′ = 0；2.幂函数求导公式：若y = x^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1}；3.多次幂函数求导公式：若y = x^n + a^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1} + na^{n-1}；4.指数函数求导公式：若y = a^x，其中a为正数，则y′ = a^xln a；5.对数函数求导公式：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；6.三角函数求导公式：若y = sin x，则y′ = cos x；若y = cos x，则y′ = -sin x；若y = tan x，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}；7.反三角函数求导公式：若y = arcsin x，则y′ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arccos x，则y′ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arctan x，则y′ = \frac{1}{1+x^2}；8.指数函数的导数：若y = e^x，则y′ = e^x；9.乘法公式求导公式：若y = f(x)g(x)，则y′ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；10.链式法则求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；11.求和求导公式：若y = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)，则y′ =\sum_{i=1}^{n} f'(x_i)；12.积分求导公式：若y = \int f(x)dx，则y′ = f(x)；13.极限求导公式：若y = \lim_{x \to a} f(x)，则y′ =\lim_{x \to a} f'(x)；14.复合函数求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；15.乘方公式求导公式：若y = (f(x))^n，其中n为正整数，则y′ = n(f(x))^{n-1}f'(x)；16.幂函数的导数：若y = x^n，则y′ = nx^{n-1}；17.对数函数的导数：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；18.三角函数的导数：若y = sinx，则y′ = cosx；若y = cosx，则y′ = -sinx；若y = tanx，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}。
高等数学求导法则
高等数学求导法则高等数学中，求导是十分重要的一个概念。
通过求导，我们可以研究函数的性质以及解决各种数学问题。
求导法则是求导的基本规则和方法的总称，它们是我们进行求导计算的依据。
下面，我将向你介绍一些常见的求导法则。
1.常数法则：如果f(x)=C（其中C为常数），那么f'(x)=0。
这是因为常数的斜率为零。
例如，如果f(x)=3，那么f'(x)=0。
2.幂函数法则：对于 f(x) = x^n，其中 n 为常数，f'(x) = nx^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^3，那么f'(x)=3x^23.加法法则：对于f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)+v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2+2x，那么f'(x)=2x+24.减法法则：对于f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)-v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2-2x，那么f'(x)=2x-25.乘法法则：对于f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 * sin(x)，那么 f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)。
6.除法法则：对于f(x)=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v^2(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 / sin(x)，那么 f'(x) = (2x * sin(x) - x^2 * cos(x)) / sin^2(x)。
7.复合函数法则：对于f(x)=g(h(x))，其中g(x)和h(x)是任意函数，f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
高数课件-求导的运算法则
（9） (secx) secx tan x ；
（11） (arcsin x) 1 ； 1 x2
（ 13）
(arctanx)
1 1 x2
；
2021-10-3
（2） (x ) x1 ；
（4）(loga
x)
1 x ln
a
，(ln
x
)
1 x
；
（6） (cosx) sin x ；
（8） (cot x) csc2 x ；
注 1.基本初等函數的導數公式和上述求導法則
是初等函數求導運算的基礎，必須熟練掌握
2.複合函數求導的鏈式法則是一元函數微分 學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解 ，熟 練應用——注意不要漏層
3.對於分段函數求導問題：在定義域的各個部 分區間內部，仍按初等函數的求導法則處理， 在分界點處須用導數的定義仔細分析，即分別 求出在各分界點處的左、右導數，然後確定導 數是否存在。
2021-10-3
lim
x0
u x
u(x),
lim
x0
v x
v(x)
，
lim u
x0
lim v
x0
0，
且
u u(x x) u(x), v v(x x) v(x),
u(x x) u(x) u,v(x x) v(x) v.
⑵ ⑴⑶
yxyxyx[u[((x1ux)(xu)v((uxx]))[vu()x)uvx((vuvv(]((xxx)))ux(
例 3.2.9
设
y
shx
ex
ex 2
, 求 dy .
dx
解 dy (ex ) (ex ) ex ex (x) ex ex chx.
高中导数公式及导数的运算法则
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
(6) y (7) y 4 ; 5 x
3 x; 2
练习： 求下列函数的导数： 5 3 2 2 (1)y＝x －3x －5x ＋6； (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1
两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数减去第一个函数乘第二个函数的导数再除以第二个函数的平方
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 x y＝e 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
求导运算法则
求导运算法则求导运算法则是数学中重要的研究内容，也是学习高数必须掌握的基本技能。
这涉及到计算函数的导数，也就是求函数在某一点处的斜率。
求导的方法可以通过几种不同的方式来实现，下面就将介绍几种常用的求导运算法则。
一、直接求导法则直接求导法则指的是在直接利用函数已经给出的函数公式来计算导数，也就是说，根据函数的性质和公式来计算它的导数。
例如，二次函数$$y=ax^{2}+bx+c$$，其导数$$frac{dy}{dx}=2ax+b$$。
二、链式法则链式法则指的是利用给定的函数的一阶导数和常数来计算复杂函数的高阶导数。
为此，我们可以借助链式法则，利用其给定的函数的一阶导数和常数来求解复杂函数的高阶导数。
例如，假定函数f(x)的一阶导数为f(x)，其下一阶导数为f(x)，那么f(x)可以用f(x)来求解，即$$f(x)=f(x) frac{d}{dx}f(x)$$，依次类推，就可以求得f(x)的任何阶导数。
三、极限法则极限法则是数学上最重要的求导运算法则，也是学习高数最常用的一种方式。
极限法则的基本思想是通过求取函数随某点x的变化而变化的趋势而求得函数的导数，即求函数在此点处的极限，即$$lim_{xto a}{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$为函数f(x)在点a处的导数。
四、导数定义法则导数定义法则也称作算术定义法则，指的是用算术定义来求导数。
其基本思想是，对于某函数f(x)，假定在某一点处 x=a，它的导数为f(a)，那么$$f(a)=lim_{hto 0}{frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$ 以上就是关于求导运算法则介绍的几种常用法则。
在学习高数时，求导运算是必须要掌握的基本技能，本文就介绍了几种常用的求导运算法则，希望能够帮助到正在学习的朋友们。
高数求导法则
4. 初等函数在定义区间内可导,
由定义证 ,
说明: 最基本的公式
其它公式
用求导法则推出.
且导数仍为初等函数
例7.
求
解:
例8.
设
解:
求
例9.
求
解:
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
例10. 设
求
解:
作业
P 66 1 (2) , (4) , (7), (11) , (12) ; 2 (1) ,(4) ,(9) ;
例4. 求下列导数:
解: (1)
(2)
(3)
说明: 类似可得
例5. 设
求
解:
思考: 若
存在 , 如何求
的导数?
这两个记号含义不同
练习: 设
例6. 设
解:
记
则
(反双曲正弦)
的反函数
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P63)
2. 有限次四则运算的求导法则
( C为常数 )
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
例1.
解:
(3)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
例2. 求证
证:
类似可证:
二、反函数的求导法则
定理2.
y 的某邻域内单调可导,
证:
在 x 处给增量
由反函数的单调性知
且由反函数的连续性知
因此
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
内容小结
求导公式及求导法则 (见 P63)
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个【原创版】目录1.导数的基本概念2.常用求导公式分类3.幂函数求导公式4.三角函数求导公式5.指数函数求导公式6.对数函数求导公式7.反三角函数求导公式8.复合函数求导公式9.隐函数求导公式10.参数方程求导公式11.高阶导数求导公式正文一、导数的基本概念导数是微积分学中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化率。
导数可以用以下符号来表示：f"(x) 或者 dy/dx。
导数是函数的局部性质，可以帮助我们了解函数在某一点的变化情况。
二、常用求导公式分类在求导过程中，我们需要掌握一些常用的求导公式。
这些公式可以根据函数的类型进行分类，如幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
三、幂函数求导公式幂函数是指形如 f(x) = x^n 的函数，其中 n 是实数。
幂函数的导数可以通过以下公式求得：f"(x) = n * x^(n-1)四、三角函数求导公式三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：1.正弦函数：sin(x)" = cos(x)2.余弦函数：cos(x)" = -sin(x)3.正切函数：tan(x)" = sec^2(x)五、指数函数求导公式指数函数是指数函数是指形如 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数。
指数函数的导数公式为：f"(x) = a^x * ln(a)六、对数函数求导公式对数函数是指形如 f(x) = log_a(x) 的函数，其中 a 是正实数且 a ≠1。
对数函数的导数公式为：f"(x) = 1/(x * ln(a))七、反三角函数求导公式反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的导数公式如下：1.反正弦函数：arcsin(x)" = 1/√(1-x^2)2.反余弦函数：arccos(x)" = -1/√(1-x^2)3.反正切函数：arctan(x)" = 1/1+x^2八、复合函数求导公式复合函数是指形如 f(g(x)) 的函数。
高等数学——函数的求导法则
函数的求导法则本节将要介绍求导数的基本法则以及前一节中尚未讨论过的几个基本初等函数的导数公式。
借助这些法则和基本初等函数的导数公式，就能比较方便地求出常见的初等函数的导数。
一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 若函数)(x u 、)(x v 在点x 处均可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x 处也可导，且（1）)()(])()([x v x u x v x u '±'='±； （2）)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， 特别的，若C x v =)(（常数），则有)(])([x u C x Cu '='（3）2)]([)()()()()()(x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（0)(≠x v ）， 特别的，)()()(12x v x v x v '-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 证明：此处只证明（3），（1）、（2）请读者仿此自行证明。
设)()()(x v x u x f =（0)(≠x v ），则 xx v x u x x v x x u x x f x x f x f x x ∆-∆+∆+=∆-∆+='→∆→∆)()()()(lim )()(lim )(00xx v x x v x x v x u x v x x u x ∆∆+∆+-∆+=→∆)()()()()()(limxx v x x v x v x x v x u x v x u x x u x ∆∆+-∆+--∆+=→∆)()()]()()[()()]()([lim)()()()()()()()(lim 0x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆2)]([)()()()(x v x v x u x v x u '-'=法则（3）得证。
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1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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(3)
u u v u v 2 v v
u ( x) v( x)
证: 设 f (x)
, 则有
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h
1 1 1 x 1 2 ,求 y . 例10. 设 y arctan 1 x ln 2 2 4 1 x 1 1 1 x 解: y 2 1 ( 1 x2 )2 1 x2
2
1 1 x 1 x 2 2 4 1 x2 1 1 x2 1 x 1 1 x
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
cos x 2 2 x) arctan x 2 1 1 sin x 2 1 2x ) e ( 2 x 2 x2 1
1 x x 1
2
2 sin x 2arctan x 2 1 2 x cos x e
e
sin x 2
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
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说明: 最基本的公式 (C ) 0
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
(sin x) cos x
(ln x)
1 x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数
1 2 x 1
2
2x
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四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
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例1. y x ( x 4 cos x sin 1) ,
3
( x 3 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
x ( x 4 cos x sin 1)
3
2 x 1 y x 1 (1 4 cos 1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos 1 2 2
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc 2 x , (sec x) sec x tan x .
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二、反函数的求导法则
( y ) 的反函数 , f ( y ) 在 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1 ( y )] 0 d y 1 f ( x) 1 或 d1x dx [ f ( y )]
u ( x h) u (x) v( x h) u (x) v( x h) v( x) lim h 0 h h
u ( x)v( x) u ( x)v( x)
故结论成立.
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw 1 ln x 3) ( log a x ) ln a x ln a
其中 (x) 在 x a 处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a) ( x) 故 f (a) (a) 正确解法:
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例7. y
x 1 x 1 求 , y . x 1 x 1
2
2x 2 x 1 2 x x 1 解: y 2 1 x y 1 (2 x) 1 2 x2 1 x2 1
例8. 设 y x
aa
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
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(2) (u v) uv u v
证: 设 f ( x) u ( x)v( x) , 则有
f ( x h) f ( x ) u ( x h )v ( x h ) u ( x )v ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h h
(a ) a ln a
x x
( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
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三、复合函数求导法则
定理3. 在点 x 可导, 在点
可导
复合函数 在点 x 可导, 且 dy f (u ) g ( x) dx y 证: y f (u ) 在点 u 可导, 故 lim f (u ) u 0 u y f (u )u u （当 时 ) y y u u f (u ) ( x 0u f (u ) ) 故有 x x x
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y a x (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设 1 1 y ln a 1 (log a y )
y ln a
特别当 a e 时, ( e x ) e x
小结:
( arcsin x) ( arctan x)
( xln x) x x ( ln x 1)
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例5. 设 解:
求
1 x x x ( sin( e )) e cos( e )
e x tan(e x )
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例6. 设 解:
1 x x2 1 1 x2 1
1
证: 在 x 处给增量 x 0 , 由反函数的单调性知 y 1 x y f ( x x) f ( x) 0 , x y 且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0 , 因此 y 1 1 f ( x) lim lim x x0 x y 0 [ f 1 ( y )] y
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例2. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos 2 x cos x
cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos x 1 (sin x) (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
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定理2. 设 y f ( x) 为 x f
1
1
d y
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 则
y (
1
2
,
2
),
cos y 0 , 则
1 (sin y ) cos y
1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 类似可求得
dy y lim lim d x x 0 x x 0
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f (u ) g ( x)
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
d y d y d u dv d x d u dv d x
u v x
u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x )
h
v( x h) v(x) u ( x h) u (x) v(x) u (x) h h lim
h 0
v ( x h )v ( x )
u ( xuv( xv( xu ( x) v( x) ) ( x) ) ) 故结论成立. 2 u ( x h)v( x) u (v )( x)x h) x v( C C v h 推论: v( x h vx) 2 ( C为常数 ) ) ( v v
a
xa
a
xa ax
ax
(a 0), 求 y .
a 1
解: y a x
a a a 1 ln a
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例9. y e
解:
sin x2
arctan x 1 ,求
2
y .
y (e
sin x 2
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
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一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
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(1) (u v) u v 证: 设 f ( x) u ( x) v( x) , 则 f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h0 h0 h h u( x) v( x) 故结论成立.