求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。

但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。

因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。

鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且[()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=±同理可证：'''[()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。

注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即12''''12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±±±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4cos ln 2y x x x π=+++的导数解 4cos ln 2y x x x π'⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭()()()4cos ln 2x x x π'⎛⎫'''=+++ ⎪⎝⎭314sin x x x=-+2.函数积的求导公式定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。

注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时，'''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。

而且将其与和、差的求导法则结合，可得：''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。

2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即''''12121212()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。

例2 求下列函数的导数。

1）323254sin y x x x x =+-+；解 ()()()()323254sin y xx x x '''''=+-+29454cos x x x =+-+ 2）334ln 5cos y x x x =+- 解 '445sin y x x x=++ 例3 求下列函数的导数1）34sin y x x x =+； 2）3ln cos y x x x =解 1）'3'3'''22(4sin )()4[()sin (sin )]12sin 34(sin cos )34cos 2y x x x x x x x x x x x x x x x xx x=+=++=++=++ 2）'3'3'3'3'2332(ln cos )()ln cos (ln )cos ln (cos )13ln cos cos ln sin (3ln cos cos ln sin )y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x ==++=+-=+-3.函数商的求导法则定理3 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，且()0v x ≠，则函数()()u x y v x =在点x 处也可导，且2()()()()()[]()()u x u x v x u x v x y v x v x ''-''==所以()()()().u v v x u x yx x xv x x v x ∆∆-∆∆∆=∆+∆ 因为()v x 可导,必连续,故()()0lim x v x x v x ∆→+∆=,于是()()()()0000limlimlimlim x x x x u v v x u x y x xy xv x v x x ∆→∆→∆→∆→∆∆-∆∆∆'==∆+∆()()()()()2u x v x u x v x v x ''-=注意：特别地，当u c =（c 为常数）时，2()[](()0)()()c cv x y v x v x v x '''==-≠总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。

能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理4 设函数()y f x =在某一区间是单调连续，在区间任一点x 处可导，且()0f x ≠，则它的反函数1()x f y -=在相应区间内也处处可导，且11[()]()f x f x -'=' 或11[()][()]f x f x -'='证 因为函数()y f x =在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数1()x f y -=在相应区间内也是单调连续函数。

当()y f x =的反函数1()x f y -=的自变量y 取得改变量(0)y y ∆∆≠时，由1()x f y -=的单调性知11()()0x fy y f y --∆=+∆-≠，于是1x y yx∆=∆∆∆ 又因为1()x fy -=连续，所以当0y ∆→时，0x ∆→。

由条件知()0f x ≠，所以1000111[()]limlim ()lim y x x x f y y y y f x xx -∆→∆→∆→∆'====∆∆'∆∆∆ 故11[()]()f x f x -'='或11[()][()]f x f x -'=' 即证。

例6 求下列反三角函数的导数。

1）arcsin y x =； 2）arccos y x =；3）arctan y x =； 4）arccot y x =。

例7 求函数(0,1)xy a a a =>≠的导数。

解 由于((,))xy a x =∈-∞+∞为对数函数log ((0,))a x y y =∈+∞的反函数，根据反函数的导数法则得1()ln ln (log )x x a y a y a a a y ''===='所以，指数函数的导数公式为()ln x x a a a '=特别地，当a e =时，有()x x e e '=三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。

但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：sin 2y x =。

思考：如果sin 2y x =，是否有'(sin 2)cos 2x x =？因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。

定理 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数()y f u =在对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处也有导数，且([()])()()f x f u x ϕϕ'''=⋅简记为dy dy dudx du dx=⋅或x u x y y u '''=⋅。

（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。

这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。

（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。

例如，设()y f u =，(),()u g v v x ϕ==，则dy dy du dvdx du dv dx=⋅⋅或x u v x y y u v ''''=⋅⋅ （3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。

只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

例8 求函数()623y x =+的导数 解 ()()5562331823y x x '=+⋅=+ 例9 求函数()sin ln 3y x =的导数解 ()()cos ln 311cos ln 33232x y x x x x'=⋅⋅=例10 求幂函数uy x =的导数。

例11 求函数()()sin sin y f x f x =+的导数。

解 ()()()sin cos cos y f x x f x f x '''=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 例12 求下列函数的导数。

1）1()y f x=； 2）()f x y e=。

本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。

我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。

从而解决了初等函数的求导问题。

这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。

归纳如下：1.求导法则（1）'''[]u v u v ±=± （2）'''()uv u v uv =+（3）''()cu cu =（c 为常数） （4） '''2()(0)u u v uv v v v-=≠ （5）''2()c cv v v=-（c 为常数）（6）1'''1[()](()0)()fy f x f x -=≠（7）'''x u x y y u =，其中(),()y f u u x ϕ==2.基本初等函数的导数公式。