求导法则与求导公式
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。
通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。
本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。
1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。
（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。
其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。
（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。
（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。
（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。
2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。
同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。
（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
求导法则与导数公式
f
11
x2 ，
( x0 )1
或 ，
dx
1
xdy (y 1y0, 1) ，dy
1 x2
dx x x0
arctan x
1
1 x2
，
arc cotx
1
1 x2
，
x (,
) ．
4. 复合函数的导数
指导思想：“由外向内， 逐层求导”
(1) 求导法则（链式法则）
Thm 3 设 u g( x) 在点 x 可导，而 y f (u) 在 在对应点 u g( x) 可导，则 y f (g(x)) 在点 x 可导，且
dt
求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a> 0) 在对应
4 的点处的切线方程．
a
o
r
6. 隐函数的导数
例 11 (1)
由显x函y 数 ex
e y 0 确定了隐函数 y 形如 y f ( x) 的函数．
f
(x)
，求
y ．
(2) 隐函数 由 F ( x, y) 0确定的函数 y y( x) ． 能显化， 不能显化．
若函数 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
y f [1( x)]是由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成．
Thm 4
设有参数方程
x y
f
(t ), (t ),
t I ，若函数
x(t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且 (t)0 ，
又 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
d ln f ( x)
dx
Thm 若函数 y f ( x) 在 x 可导 ，且 f (x)0 ，则
d ln f ( x) f ( x) ， 即 ln f ( x) f ( x) ．
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
求导法则与导数基本公式
1
1
y ln a
y ln a
例11.设
求
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 1) , 则
(反双曲正弦)
sh x ex ex 2
的反函数
(arsh x)
1 x2 1
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
在上一节中我们曾经用定义求出指数函数导数，下面 我们利用反函数求它的导数.
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2cos1 22
(3)
(其中
)．
证:设 y(x)
f '(x)g(x) f (x)g '(x)
故结论成立.
推论:
(2) ( uvw) uvw uvw uvw
(3)
( loga
x )
ln ln
x a
x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
二、复合函数的求导法则 定理2(复合函数的导数) 若 f 和 g 可导， 有意义，则复合函数可导，且
函数求导公式大全法则
函数求导公式大全法则
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式
三角函数求导公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec ²x。
求导法则与求导基本公式
对数函数的导数法则
总结词
对数函数的导数是求对数函数的导数的重要法则，它表明对数函数的导数等于对数函数 自身在自变量上的倒数。
详细描述
对数函数的导数是求对数函数的导数的关键法则。具体来说，如果对数函数$ln x$可导， 则$(ln x)'=frac{1}{x}$。其中，$frac{1}{x}$表示数函数的导数法则是求指数函数的导数的重要法则，它表明指数函数的导数等于底数乘以指数函数 自身在自变量上的导数。
详细描述
指数函数的导数法则是求指数函数的导数的关键法则。具体来说，如果指数函数$a^x(a>0,aneq1)$ 可导，则$(a^x)'=a^xln a$。其中，$ln a$表示以e为底的对数。
04
导数的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率， 从而了解曲线在该点的变化趋势。
单调性分析
通过求导可以判断函数的单调性，进而研究 函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函 数的最大值和最小值。
导数在物理中的应用
速度与加速度
01
在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如自
商的导数法则
总结词
商的导数法则是求两个函数的商的导数的重要法则，它表明两个函数的商的导数 等于被除数的导数乘以除数减去被除数乘以除数的导数后再除以被除数的平方。
详细描述
商的导数法则是求两个函数的商的导数的关键法则。具体来说，如果两个可导函 数$u$和$v$满足$u/v$可导，则$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$。其 中，$u'$和$v'$分别表示对$u$和$v$的导数。
求导法则与导数的基本公式
求导法则与导数的基本公式求导法则是微积分中用于求函数导数的一系列规则和公式。
这些法则和公式是根据导数的定义、函数的基本运算性质以及复合函数和反函数的关系推导得出的。
下面将介绍求导法则中的基本公式。
1.基本常数求导法则a. 常数的导数为零： d(c)/dx = 0，其中c为常数。
b. 变量的导数为一： d(x)/dx = 1c. 变量的幂函数的导数： d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
2.和差法则a. 两个函数的和的导数等于两个函数的导数之和： d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx。
b. 两个函数的差的导数等于两个函数的导数之差： d(u-v)/dx = du/dx - dv/dx。
3.乘积法则a.两个函数的乘积的导数等于第一个函数在求导后与第二个函数未求导的乘积再加上第二个函数在求导后与第一个函数未求导的乘积：d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)。
4.商法则a.两个函数的商的导数等于第一个函数在求导后与第二个函数未求导的乘积再减去第二个函数在求导后与第一个函数未求导的乘积，再除以第二个函数的平方：d(u/v)/dx = (v(du/dx) - u(dv/dx))/v^25.链式法则a.如果函数y是由两个或多个函数复合而成，即y=f(g(x))，其中g(x)是x的函数，f(u)是u的函数，则复合函数y对x的导数等于f的导数乘以g对x的导数：dy/dx = df/du * dg/dx。
6.反函数的导数a. 对于函数y = f(x)，如果其反函数x = f^(-1)(y)存在，且f'(x) ≠ 0，则反函数的导数等于一除以原函数的导数：(dy/dx)^(-1) = dx/dy。
7.正切函数的导数a. 正切函数的导数为其函数的平方减一：d(tan(x))/dx = sec^2(x)。
8.指数函数的导数a. 指数函数的导数等于其函数本身的导数乘以函数的常数底数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x。
求导法则与基本求导公式
例12 求函数 y = e 解
sin 1 x
sin
1 x
的导数 .
1 sin 1 1 1 x ′ ′ y = e (sin ) = e ⋅ cos ⋅ ( )′ x x x 1 1 sin x 1 =− 2e ⋅ cos . x x
四、基本求导法则与求导公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
( C )′ = 0 (sin x )′ = cos x (tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x
′ v − uv ′ u u ′ ′ ′ （3）( uv ) = u v + uv , （4）( )′ = ( v ≠ 0) . 2 v v
3.反函数的求导法则 设函数 x = f ( y )在某区间 I y内单调、可导
且f ′( y ) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f −1 ( x)在对应 1 ′ 区间I x = f ( I y )内也可导 , 且有f ( x) = . ϕ ′( y ) 4. 复合函数的求导法则 设y = f (u ), 而u = ϕ ( x)则复合函数 y = f [ϕ ( x)] dy dy du 的导数为 = ⋅ 或 y′( x) = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x). dx du dx 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完 全解决. 注意: 注意:初等函数的导数仍为初等函数.
∴ f ′( 0 ) = 1 .
1, ∴ f ′( x ) = 1 , 1 + x x≤0 x>0 .
求分段点 处导数必 须用定义
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x = ϕ ( y )在某区间 I y内单调、可导 且ϕ ′( y ) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间
求导数的方法法则与公式
例5
函数，
ln x , y ln x 号，为分段
x 0, x 0.
1 当 x 0时， y (ln x ) (ln x ) , x 1 ( x ) 当 x 0时， y (ln x ) [ln( x )] , x x 1 综上， (ln x ) . x
第二节 求导数的方法
一、求导法则
法则与公式
主要内容：
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [ u ( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ).
于是方程两边对x求导数有 y 2 x y 0, y 2 xy 从而 y . y 1
二、基本初等函数的求导公式
1. 幂函数 x ( R )的导数
取对数求导法
对等式 y x 的两边取自然对数，有
y 两端对 x求导得 , y x y x 1 ( x ) x . 于是 y , x x
当u( x ) 1时,
0
1 (1)v ( x ) 1 v ( x ) v ( x ) 2 . [ ] 2 v ( x) v( x ) v ( x)
u( x ) u ( x ) 不可以为 [ ] . v( x ) v ( x )
1 v ( x ) ] 2 特别的， [ v( x ) v ( x)
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
下面我们用例题来说明这种解法：
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中常用的一些对函数进行求导的方法和规则。
在求导过程中，我们需要根据一些基本求导公式和特定的求导法则来计算。
下面是常用的求导法则：1.【常数法则】：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
这是求导的最基本法则，即对常数求导的结果为0。
2. 【幂法则】：若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
这是求导中最简单的法则之一，对于幂函数，求导后指数减1，并将指数与系数相乘。
3.【加法/减法法则】：若f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
加法法则和减法法则是同样的运用，可以将一个函数的求导拆分成两个函数分别求导后再相加或相减。
4.【乘法法则】：若f(x)=g(x)*h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
乘法法则可以用来求两个函数相乘的导数，根据公式，先求一个函数的导数再乘以另一个函数，在求第二个函数的导数再乘以第一个函数，并将两个乘积求和。
5.【除法法则】：若f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，并且h(x)≠0，则f'(x)=[g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)]/(h(x))^2除法法则是乘法法则的逆运算，先求分子的导数乘以分母再减去分子乘以分母的导数，最后除以分母的平方。
6.【链式法则】：若f(x)=g(h(x))，其中g(u)和h(x)是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
链式法则适用于求复合函数的导数，先求外函数对内函数的导数，再乘以内函数对自变量的导数。
7.【反函数法则】：若y=f(x)在一些区间上是严格单调的连续函数，且在这个区间上有f'(x)≠0，则其反函数x=f^(-1)(y)在相应的区间上可导，并且有(f^(-1))'(y)=1/f'(x)。
数学求导公式大全
数学求导公式大全以下是一些常用的数学求导公式：1. 基本求导法则：- 常数函数：$f(x) = c$，其中 $c$ 是常数，$f'(x) = 0$- 幂函数：$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是常数，$f'(x) = nx^{n-1}$ - 指数函数：$f(x) = a^x$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，$f'(x) = \ln(a) \cdot a^x$- 对数函数：$f(x) = \log_a(x)$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$- 三角函数：- 正弦函数：$f(x) = \sin(x)$，$f'(x) = \cos(x)$- 余弦函数：$f(x) = \cos(x)$，$f'(x) = -\sin(x)$- 正切函数：$f(x) = \tan(x)$，$f'(x) = \sec^2(x)$- 反三角函数：- 正弦函数的反函数：$f(x) = \arcsin(x)$，$f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 余弦函数的反函数：$f(x) = \arccos(x)$，$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 正切函数的反函数：$f(x) = \arctan(x)$，$f'(x) =\frac{1}{1+x^2}$2. 基本运算法则：- 常数乘法规则：$[cf(x)]' = c \cdot f'(x)$，其中 $c$ 是常数- 加法法则：$[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)$- 减法法则：$[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)$- 乘法法则：$[f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdotg'(x)$- 除法法则：$[f(x) / g(x)]' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{g^2(x)}$，其中$g(x) ≠ 0$- 复合函数法则：$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$3. 高阶导数：- 一阶导数：$[f(x)]'$- 二阶导数：$[f(x)]''$ 或 $f''(x)$- n阶导数：$[f(x)]^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$这只是一些常用的数学求导公式，实际上数学求导有很多不同类型的公式和规则。
基本求导法则与导数公式
基本求导法则与导数公式导数是微分学的重要内容之一、在求解实际问题时，经常需要用到求导。
因此，掌握基本求导法则和导数公式是非常重要的。
本文将介绍基本求导法则和一些常用的导数公式。
导数的定义是：设函数$y=f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，如果极限$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并把这个极限的值称为函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$，即$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$1.基本求导法则(1)常数法则：设$y=C$，其中$C$为常数，则$y'=0$。
(2)幂函数法则：设$y=x^n$，其中$n$为常数，则$y'=nx^{n-1}$。
(3)和差法则：设$y=u+v$，其中$u$和$v$都是可导的函数，则$y'=u'+v'$。
(4)积法则：设$y=uv$，其中$u$和$v$都是可导的函数，则$y'=u'v+uv'$。
(5)商法则：设$y=\frac{u}{v}$，其中$u$和$v$都是可导的函数，并且$v \neq 0$，则$y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。
(6)复合函数法则：设$y=f(g(x))$，其中$f(u)$和$g(x)$都是可导的函数，则$y'=f'(g(x))g'(x)$。
2.导数公式(1)常数函数的导数设$y=C$，其中$C$为常数，则$y'=0$。
(2)幂函数的导数设$y=x^n$，其中$n$为常数，则$y'=nx^{n-1}$。
(3)指数函数的导数设$y=a^x$，其中$a>0$且$a \neq 1$，则$y'=a^x\ln a$。
八个常见的求导公式
八个常见的求导公式
以下是常见的八个求导公式：
1.常数法则：对于常数c，它的导数为0，即 d(c)/dx = 0。
2.乘法法则：对于两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积的导数
可以通过以下公式求得：d(uv)/dx = v * du/dx + u * dv/dx。
3.幂函数法则：对于函数u(x) = x^n，其中n是任意实数，其
导数可以通过以下公式求得：d(x^n)/dx = n * x^(n-1)。
4.指数函数法则：对于指数函数u(x) = e^x，其导数为
d(e^x)/dx = e^x。
这适用于以e为底的指数函数。
5.对数函数法则：对于自然对数函数u(x) = ln(x)，其导数为
d(ln(x))/dx = 1/x。
类似地，对于以其他底的对数函数，其导数公式为d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))。
6.反函数法则：对于函数y = f(x)及其反函数x = f^(-1)(y)，如
果y可导，则有d(f^(-1)(y))/dy = 1 / (df/dx)。
7.正弦函数法则：对于正弦函数u(x) = sin(x)，其导数为
d(sin(x))/dx = cos(x)。
8.余弦函数法则：对于余弦函数u(x) = cos(x)，其导数为
d(cos(x))/dx = -sin(x)。
这些是求导的基本公式，可以用于对各种函数进行求导运算。
需要注意的是，在使用这些公式时，可能会涉及链式法则、复合函数等其他求导的技巧和规则。
高中求导公式运算法则
高中求导公式运算法则
求导公式和运算法则是高中微积分中用于求导数的基本规则，下面是一些常见的求导公式和运算法则：
1. 常数的导数为0：(C)' = 0，其中C为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数。
3. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。
4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x * ln a，其中a为常数。
5. 三角函数的导数：
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = sec^2 x
- (csc x)' = -csc x * cot x
- (sec x)' = sec x * tan x
- (cot x)' = -csc^2 x
其中sin x表示正弦函数，cos x表示余弦函数，tan x表示正切函数，csc x表示余割函数，sec x表示正割函数，cot x表示余切函数。
6. 乘法法则：(uv)' = u'v + uv'。
7. 除法法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2。
8. 函数的复合：若y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
9. 指数函数的链式法则：若y = f(u) = a^u，其中u = g(x)，则y' = f'(u) * g'(x) * ln a。
以上仅为常见的求导公式和运算法则，实际求导时还会涉及到其他的规则和技巧。
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式
1. 求导法则：
- 常数法则：导数为0。
- 加法法则：导数等于各项的导数之和。
- 常数倍法则：导数等于常数倍的导数。
- 乘法法则：导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数，再加上第一个函数的导数乘以第二个函数。
- 除法法则：导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。
- 复合函数求导法则：导数等于外层函数对内层函数求导，再乘以内层函数对自变量求导。
- 指数函数求导法则：对于以常数e为底的指数函数，导数等于指数函数的常数倍。
- 对数函数求导法则：对于以常数e为底的对数函数，导数等于函数的倒数。
2. 基本求导公式：
- 常数函数：导数为0。
- 幂函数：对于函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。
- 指数函数：对于函数y=a^x（其中a>0，a≠1），导数为
y'=a^xlog(a)。
- 对数函数：对于函数y=log_ax（其中a>0，a≠1），导数为y'=(1/x)log_ae。
- 三角函数：对于函数y=sin(x)，导数为y'=cos(x)；对于函数y=cos(x)，导数为y'=-sin(x)；对于函数y=tan(x)，导数为
y'=sec^2(x)。
其中sec^2(x)是sec(x)的平方。
- 反三角函数：对于函数y=arcsin(x)，导数为y'=1/√(1-x^2)；对于函数y=arccos(x)，导数为y'=-1/√(1-x^2)；对于函数
y=arctan(x)，导数为y'=1/(1+x^2)。
求导法则与求导基本公式
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[ fi ( x)]
f1( x) f2( x)
fn ( x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
例2 求函数 y log a x 的导数.
(ln x) 1 . x
三. 复合函数求导
定理 由函数 y f (u)与 u u( x) 复合而成的函数 y f (u( x))。若 f (u) 与 u( x) 存在，则 y f (u( x) 在 x 可导，且 dy dy du . dx du dx
(e x ) e x (ln x) 1
x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
3.复合函数的求导法则
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§2.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。
教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。
但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。
因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。
鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。
一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且[()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=±同理可证：'''[()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。
注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即12''''12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±±±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4cos ln 2y x x x π=+++的导数解 4cos ln 2y x x x π'⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭()()()4cos ln 2x x x π'⎛⎫'''=+++ ⎪⎝⎭314sin x x x=-+2.函数积的求导公式定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。
注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时，'''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。
而且将其与和、差的求导法则结合，可得：''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。
2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即''''12121212()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。
例2 求下列函数的导数。
1）323254sin y x x x x =+-+；解 ()()()()323254sin y xx x x '''''=+-+29454cos x x x =+-+ 2）334ln 5cos y x x x =+- 解 '445sin y x x x=++ 例3 求下列函数的导数1）34sin y x x x =+； 2）3ln cos y x x x =解 1）'3'3'''22(4sin )()4[()sin (sin )]12sin 34(sin cos )34cos 2y x x x x x x x x x x x x x x x xx x=+=++=++=++ 2）'3'3'3'3'2332(ln cos )()ln cos (ln )cos ln (cos )13ln cos cos ln sin (3ln cos cos ln sin )y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x ==++=+-=+-3.函数商的求导法则定理3 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，且()0v x ≠，则函数()()u x y v x =在点x 处也可导，且2()()()()()[]()()u x u x v x u x v x y v x v x ''-''==所以()()()().u v v x u x yx x xv x x v x ∆∆-∆∆∆=∆+∆ 因为()v x 可导,必连续,故()()0lim x v x x v x ∆→+∆=,于是()()()()0000limlimlimlim x x x x u v v x u x y x xy xv x v x x ∆→∆→∆→∆→∆∆-∆∆∆'==∆+∆()()()()()2u x v x u x v x v x ''-=注意：特别地，当u c =（c 为常数）时，2()[](()0)()()c cv x y v x v x v x '''==-≠总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。
能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：定理4 设函数()y f x =在某一区间是单调连续，在区间任一点x 处可导，且()0f x ≠，则它的反函数1()x f y -=在相应区间内也处处可导，且11[()]()f x f x -'=' 或11[()][()]f x f x -'='证 因为函数()y f x =在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数1()x f y -=在相应区间内也是单调连续函数。
当()y f x =的反函数1()x f y -=的自变量y 取得改变量(0)y y ∆∆≠时，由1()x f y -=的单调性知11()()0x fy y f y --∆=+∆-≠，于是1x y yx∆=∆∆∆ 又因为1()x fy -=连续，所以当0y ∆→时，0x ∆→。
由条件知()0f x ≠，所以1000111[()]limlim ()lim y x x x f y y y y f x xx -∆→∆→∆→∆'====∆∆'∆∆∆ 故11[()]()f x f x -'='或11[()][()]f x f x -'=' 即证。
例6 求下列反三角函数的导数。
1）arcsin y x =； 2）arccos y x =；3）arctan y x =； 4）arccot y x =。
例7 求函数(0,1)xy a a a =>≠的导数。
解 由于((,))xy a x =∈-∞+∞为对数函数log ((0,))a x y y =∈+∞的反函数，根据反函数的导数法则得1()ln ln (log )x x a y a y a a a y ''===='所以，指数函数的导数公式为()ln x x a a a '=特别地，当a e =时，有()x x e e '=三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。
但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：sin 2y x =。
思考：如果sin 2y x =，是否有'(sin 2)cos 2x x =？因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。
定理 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数()y f u =在对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处也有导数，且([()])()()f x f u x ϕϕ'''=⋅简记为dy dy dudx du dx=⋅或x u x y y u '''=⋅。
（证明略）注意：（1）复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。
这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。
（2）复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。
例如，设()y f u =，(),()u g v v x ϕ==，则dy dy du dvdx du dv dx=⋅⋅或x u v x y y u v ''''=⋅⋅ （3）在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。
只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。
例8 求函数()623y x =+的导数 解 ()()5562331823y x x '=+⋅=+ 例9 求函数()sin ln 3y x =的导数解 ()()cos ln 311cos ln 33232x y x x x x'=⋅⋅=例10 求幂函数uy x =的导数。
例11 求函数()()sin sin y f x f x =+的导数。
解 ()()()sin cos cos y f x x f x f x '''=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 例12 求下列函数的导数。
1）1()y f x=； 2）()f x y e=。
本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。
我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。
从而解决了初等函数的求导问题。
这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。
归纳如下：1.求导法则（1）'''[]u v u v ±=± （2）'''()uv u v uv =+（3）''()cu cu =（c 为常数） （4） '''2()(0)u u v uv v v v-=≠ （5）''2()c cv v v=-（c 为常数）（6）1'''1[()](()0)()fy f x f x -=≠（7）'''x u x y y u =，其中(),()y f u u x ϕ==2.基本初等函数的导数公式。