一类多线性积分算子在Triebel-Lizorkin空间上的连续性
一类算子在Triebel-Lizorkin空间的有界性
１ 预 备 知 识
设Ｒ 是具有通常范数 Ｉ Ｉ 的７ ２ 维欧氏空间， 单位球面为 Ｓ 一｛ Ｅ Ｒ ” ： ｌ ｚ Ｉ ＝ ＝ ＝ １ ） ， ， …， 是固定实
数． 对 于 每个 固定 的 ｚ一（ ｚ ， …， ｚ ）Ｅ Ｒ ， 函数 Ｆ（ ｘ， 』 Ｄ ） 一 ２是关 于 Ｉ Ｄ （ Ｐ ＞。 ）的
文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １
到 了相 应 的结 果 ， 从 而 推 广 了 已有 结 果 ．
关 键 词 ：粗 糙 核 ；奇 异 积 分 算 子 ； Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空 间
中 图分 类 号 ： Ｏ １ ７ ７ ． ６
设 Ｋ（ ｚ ）Ｅ Ｌ （ Ｒ ” ） 是定义在 Ｒ 上有紧支集的函数， 满足 Ｉ． Ｋ（ ） ｄ ｘ一０ ， 且存在某个 。 ＞０ ， 使得
Ｋ（ ）ｌ ≤ ｃ Ｉ ｌ 一 。 ．
对 每个 整数 ， 记
Ｋ （ ｚ）一 ２ － ￣ ａ Ｋ（ Ａ２
一
（ １ ）
一
个 严格 递减 函数 ， 因
此 存 在唯 一 』 ０ ： ： ： Ｊ Ｄ （ ） ， 使得 Ｆ（ ｘ， ｌ Ｄ ） 一１ ． 定义 ｌ ０ （ ｚ） 一ｔ 且Ｐ （ ０ ） 一０ ， 由文献 １ － １ ］知 ｌ ０ 是Ｒ 中的距 离 ， 且（ Ｒ ， Ｐ ）
称 为关 于 ｛ ｝ ？ 一 的混 合齐性 空 间．
Ｖｏ １ ． ４ ２ ＮＯ ．１
Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ３
一
类 算 子 在 Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ 空 间 的 有 界 性
李 晓 冬 ，牛 耀 明
Bochner-Riesz算子的多线性交换子在Besov空间的连续性
Ｍｄｒ ０１ ２ ．
Ｂ ｃ ｎｒ Ｒｅｚ ｏｈ ｅ— ｉ 算子的多线性交换 子在 ｓ Ｂ ｓｖ 间的连续性 ｅｏ 空
彭 朝 英
（ 湖南对 外经济 贸 易职 业学院 ，湖南长 沙 ４ ０ １） １０ ５
【 摘 要 Ｉ ｏｈ ｅ Ｒｅｚ 予是 分析 数 学 重婴 的积 分 算予 ， ｓ ｃｎ ｒ ｉ 算 ＿ ｓ 具有 Ｊ 泛的 应用 。 章引 入 了 由 Ｂ ｅ。ｒＲｅ 了，成 的 多线 文 ｏｈ ｅ ｉ 算 上 － 。
ｂ ｊ
本文 的 目的是 研 究 山 Ｂ ｃｎ ｒ Ｒ ｅｚ 予 生成 的 多 ｏｈ ｅ— ｉ 算 ｓ 线性 交 换 子 在 Ｂ ｓｖ 问 上 的连 续 性 。 文 中，Ｑ ｅｏ 空
表 ｎ 的 体 ９ 【ｘｘ ｆ （） ｓ 示Ｒ中 方 ， ｌ ｆ） ， ： ｕ （ ｄ
ｌＩ ｙ ，ｌ ｊ， ） 口 ｆ （一 出 ）
【 中图分类号］ ７ Ｏ１７
【 文献标识码】 Ａ
【 文章编号】６ １９ ８（０ １ １０ ． ９ １７ － ５ １ １） — ｌ６ ０ ２ ０ ｌ
Ｃｏ ｉ ｕｉｙ ｆ ｒ ｍ ｕ ｔｌｎｅ ｒ ｃ ｍ ｍ ｕ ａ ｏ ｆ Ｂｏ ｈｎｅ －Ｒｉ ｓ ｎｔｎ ｔ ｏ ｌｉｉ ａ ｏ ｔｔｒｏ ｃ ｒ ｅｚ
和 ＝ （， ）ｏ１． ∈ ， － ＝（ｏ ，， （） ６ ） （和 １． ）ｆ，越） 记６ ） Ｕ ｛． ． ． ＇ ｂ（．６ ，ｂ ＝ 呷 ． ， ７ ． ． ） １． ） ． ）
ｗ ｉ ｔ ｄ ｃ ｈ ｍｕ ｉ ｎ ａ ｏ ｅ ｎｒ ｕ ｅ ｔｅ ｏ ｈ ｌ ｅ ｒ ｃ ｍｍｕａｏ ｓｏ ｉ ｔ ｔ ｔｅ ｏ ｈ ｅ － ｅ ｚ ｏ ｅ ａｏ ｎ ｐ ｏ ｅ ｈ ｏ ｔ ｕｔ ｏ‘ｔ ｅ ｉ ｔｔｒ ａ ｓ ｃ ａｅ ｏ ｈ Ｂ ｅ ｎ ｒ Ｒｉｓ ｐ ｒ ｔｒ ａ ｄ ｒ ｖ ｔｅ ｃ ｎ ｉ ｉ ｆ ｒ ｈ ｍｕ ｉ ｎ ａ ｄ ｎ ｙ ｈｌ ｅｒ ｉ
乘法算子在齐次～Herz—Triebel—Lizorkin空间上的双线性估计
现的。 后 期 调 色
课程教育 研究
ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ０ ｎ ａ ｒ ｅ ｈ
渲染 输 出
２ ０ １ ３ 年 ８ 月 下旬 刊
有逐 渐 出现 又 消 失 的效 果 就 是 使 用 透 明 度 的 关 键 帧 动 画 来 实
当 电影 预告 片全 部 制 作 完 毕 ， 检 查 无 误后 ， 可 以通 过 【 文 件ｌ － ｔ 导 出】 命令将 其发布 成影片 ， 可 以选取 Ａ Ｖ Ｉ 、 ＭＯ Ｖ 等 不
１前 言
’ ｐ
的双线性有界性
．。
【 文章 编 号 】 ２ ０ ９ ５ － ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ － ０ ２ ３ ６ － ０ ２
众所周知 ， 乘 法算 子是 包 含 了许 多特 殊 类 算 子 的 重 要 算 子类 ， 而微 分算 子 在 Ｆ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅ ｒ 变 换 下 转 化成 为乘 法算 子 ， 因此 ， 这类算 子的研究 无疑是一项有 意义的工作 ． 在［ ７ ］ 中徐 景 实 证 明 了乘 法算 子 的 Ｈｅ ｒ ｚ型 Ｂ ｅ ｓ ｏ ｖ范 数 的 一种 估 计 ．对 于 这 种 形 式 的 乘 法 算 子 常 出现 在 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｒ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 和各 种 Ｋ ｉ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ方 程 中。如 Ｋ ｏ ｚ ｏ ｎ ｏ和 Ｓ ｈ ｉ ｍａ ｄ ａ给 出 了 乘 法 算 子 在 Ｔ ｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空 间 中 的双 线 性 估 计 后 ，将 其 应 用 在 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 中， 得 到方 程 的解 的 估 计 ． 本 文研 究 了乘 法 算 子 的 Ｈ ｅ ｒ ｚ 型 Ｔ ｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ范 数 双 线 性 的估 计 ，这将 有 助 于 对 微 分 方 程 中解 的 估 计 的 研究 。
多线性Hardy型算子在变指数Herz-Morrey乘积空间上的有界性
： ＝
的多线性算 子
．
设Ｅ是Ｒ 的Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 可测子集且 Ｉ ＥＩ ＞０ ． 先给 出变指数Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ ￣ ＿ 间的定义．
定义 １ ． ２ 壹 钓（ ． ） ： Ｅ一 ［ １ ， ∞） 是可测ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数． 变指数 ｅ ６ ｅ ｓ 夕 ｅ 空问 ｑ （ ‘ ） （ Ｅ ） 定义为
，
（ 厂 ） （ ） ： 同。
Ｊ ＜ 。 ｌ ＜
…
ｆ ｌ （ ， ２ （ …， ｍ （ ） 出 ｄ 一ｄ
ｌ ＜
和
（ （ ） ： ： 厂 Ｉ 厂 ． ． ｔ １ ｌ ≥ ｌ ｌ Ｉ ， Ｉ ｔ ２ Ｉ Ｉ ｚ Ｉ
其 ∈Ｒ” ＼ ｛ ０ ） ， ， ｔ ２ …． ， ｔ ｍ ） Ｉ ＝
（ ， 是 可 测 对 于 某 个 常 数 叩 ＞ Ｏ ＇ 有 （ ｑ （ Ｘ ） ｄ ｘ ＜ ∞ ＞
局部可积的变指数 ｅ ６ ｅ ｓ ９ 乱 ｅ 空问 （ Ｅ ） 定义为
在空间 （ ） 中的有界性， 并给 出了最佳常数． ２ ０ ０ ７ ： 年， 在０ ＜ｎ 的条件下， Ｆ ｕ ， Ｌ ｉ ｕ ￣ ｌ Ｌ ｕ 等 引入 了ｎ 维分数次Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ ． ＇ － 算子
锑 （ ， ） （ ： 南 ｌ ） ｄ ｒ 和 （ ， ） （
最近， 武江龙等人 ［
１ ９ ９ ５ 年， Ｃ ｈ ｒ ｉ ｓ ｔ ￣ 和Ｇｒ ａ ｆ ａ ｋ ｏ ｓ ［ ０ ＇ ］ 研究 了如下定义 的ｎ 维Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ 算子
（ ， ） （ ） ： ＝赤 Ｉ ｌ Ｊ ／ ｌ ｔ ｌ Ｉ １ ． ． ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ ， ∈ Ｒ ” ＼ ｛ ０ ） ＜ｌ Ｉ
多线性积分算子在Triebel-Lizorkin和Lebesgue空间的有界性
・
令 Ｆ （ ）为定 义在 Ｒ × ［ ， ｏ ）的 函数．记 ， × ０＋ ＜ ３
ｒ ｒ
儿 ， （ ， ） ＋Ａ； 】
Ｆｆ（ 一 ，Ｊ ） ， ｔ） ） ｊＦ ｙ （ ｄ 且 （ ｒ ）ｙ ｙ （
（ （ 一 二丁 － Ｊ Ｌ 厂 ） ）
Ｌ ｂ ｓ ｕ 空 间是 有 界 的．本 文 的 目的是 引 入 一 些 非 卷 积 型 积 分 算 子 的多 线 性 算 子 ，并 且 证 明 Ｌｚ ｒ ｉ ｉｅ ｅ ｉ ｋｎ空 间 和 Ｉ ｂ ｓ ｕ ｏ ． ｅｇ ｅ空 问 的有 界 性 ， 些 算 子 包 括 了 Ｌｔｌ ｏ ｅ 这 ｉ ｅ ｄ—Ｐ ｌｙ算 子 、 ｒｉｋ ｔ ｗｏ ａｅ Ｍａｃ ｎ ｉｗｉ ｅ ｃ ｚ算子 和 Ｂ ｃ ｎ ｒ Ｒｉ ｚ 子． ｏｈ ｅ — ｅ 算 ｓ
关键词 ： 线性算子 ； ｉｌ ｏ 多 Ｌ ｔ ｅ ｄ—Ｐ ｌ 算子 ；Ｍａｃｎ ｉ ｃ ｔ ｗｏ ａｅ ｙ ｒｉｋｅ ｚ算 子 ； ｏ ｈ ｅ — ｉｓ ｗｉ Ｂ ｃ ｎ ｒ Ｒ ｅｚ算 子 ； ｉｂ ｌ Ａ ｏ ｋｎ Ｔｒ ｅ —Ｉ ｚ ｒ ｉ ｅ
空 间 ；Ｌｐ ｃ ｉ ｉｓ ｈｔ ｚ空 间 ．
１ 概 念 及 定 理
令 ｍ 表示 正整 数 （ 一 １ … ， ） ｍ ， ｚ ， ＋ … ＋ｍ ｍ ， Ａ， 一 且 （ 一 １ … ， ）表示 在 Ｒ ， ｚ ”上 的函数 ．记
一
１
Ｒ ＋ １
，
（ 一Ａ （） ∑ Ｄ Ａ （） ） Ａ； ） ｊ ’ ， 一 。 （ 一 。 ．
Ｓｅ ｔ ２ ０７ ｐ． ０
多线性积分算子在 Ｔ ｉ ｅ —Ｌｚ ｒ ｉ ｒ ｂ ｌ ｉ ｋｎ和 ｅ ｏ Ｌ ｂｓｕ 空 间 的有 界 性 ｅｅｇ ｅ
Marcinkiewicz积分算子及交换子
西北师范大学 硕士学位论文 Marcinkiewicz积分算子及交换子 姓名：司颖华 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：陶双平
2008-05
摘 要
本文主要讨论了 Marcinkiewicz 积分算子及其交换子的有界性. 关于 Marcinkiewicz 积分算子, 首先证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子 µΩ 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 其次证明它在弱齐次 MorreyHerz 空间 W M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 最后证明它在齐次加权 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(ω1, ω2) 上的有界性. 关于 Marcinkiewicz 积分交换子, 首先证明一类带粗糙核的 Marcinkiewicz 积 分算子与 BM O(Rn) 函数 b(x) 生成的高阶交换子 µmΩ,b 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 其次证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子与 Lipschitz 函数 b(x) 生成的交换子 µΩ,b 在齐次 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(Rn) 上的有界性; 最 后证明带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子与 BM O(Rn) 函数 b(x) 生成的交换子 µΩ,b 在齐次加权 Morrey-Herz 空间 M K˙ pα,,qλ(ω1, ω2) 上的有界性. 关 键 词: Marcinkiewicz 积 分 算 子; 交 换 子; BM O 函 数; Lipschitz 函 数; 粗糙核; 齐次 Morrey-Herz 空间; 齐次加权 Morrey-Herz 空间
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riesz表示定理 lex milgram -回复
riesz表示定理lex milgram -回复Riesz 表示定理在数学领域中是一个重要的结果，它与Hilbert 空间和线性算子理论有关。
在本文中，我们将一步一步地回答这个问题，解释Riesz 表示定理的概念和应用。
Riesz 表示定理是由Mathias Riesz 在20 世纪早期提出的。
它是关于Hilbert 空间中的线性连续泛函的一个重要结果。
定理说明了存在一个由该泛函唯一决定的向量，该向量与泛函之间存在一种特殊的线性关系。
我们首先来回顾一下Hilbert 空间的概念，因为Riesz 表示定理是基于Hilbert 空间的理论。
Hilbert 空间是由一个完备的内积空间构成的。
内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，满足线性性、对称性和正定性。
例如，在Euclidean 空间中，我们熟悉的点积就是一种内积运算。
根据Riesz-Dunford 定理，每个连续线性泛函都可以表示为内积形式的表达式。
因此，我们可以将一个连续线性泛函f(x) 定义为某个向量v 和Hilbert 空间中的内积的形式，即f(x) = <x, v>。
在这里，v 被称为泛函f 的Riesz 表示。
接下来，我们将从一个更具体的例子开始解释Riesz 表示定理。
考虑一个实数域上的Hilbert 空间L^2[0,1]，即在区间[0,1] 上可积的函数的集合。
在这个空间中，我们可以定义一个线性泛函f(x) = \int_0^1x(t)dt，其中x(t) 是L^2[0,1] 中的一个函数。
我们想要找到v，使得f(x) = <x, v>。
根据Riesz 表示定理，存在一个唯一的v，满足v = \int_0^1 x(t)dt。
这意味着泛函f 可以表示为内积形式，并且v 就是该表示。
那么，我们如何证明这一结论呢？首先，让我们证明存在性。
假设我们有一个连续线性泛函f(x) = \int_0^1 x(t)dt。
一类特殊粗糙核算子有界性
一类特殊粗糙核算子有界性马丽 谢显华 许绍元赣南师范学院数学与计算机科学学院 江西赣州 341000摘要：本文主要研究一类特殊粗糙核奇异积分算子dy y x f y y y b V P x f T n Rn b )(||)'(|)(|.)(,,-Ω=⎰--Ωαα当)2(≥∆∈γγb ，0≥α，且)()'(11-∈Ωn S L y 下的)(n pR L α有界性，该积分条件较[1]弱，从而推广了[1]中定理1的结论。
关键词：Littlewood-Paley 理论； 粗糙核； Fourier 变换估计； 算子插值理论 中图分类号：O177.6 文献标识码：A1 引言设)2(≥n R n 是n -维欧氏空间，1-n S 为nR 中赋予Lebesgue 测度)(⋅=σσd d 的单位球面对非零点nR x ∈，记.||'x xx =设)(11-∈Ωn S L 为n R 的零次齐次函数，且满足⎰-=Ω1.0)'()'(n S x d x σ （1.1）对1≥s ，令s ∆表示如下定义在),0[+∞上可测函数类：})|)(|1(sup :)({:10+∞<==∆⎰>∆s us u s dt t b u bt b s. 显然若+∞<≤≤211s s 时，则有.121∆≤∆≤∆<∆∞s s 如下定义奇异积分算子)(f SI b ： .)(||)'(|)(|.)).((dy y x f y y y b VP x f SI nRn b -Ω=⎰--α （1.2）明显地，当1≡b 时，)(f SI b 即为经典的Calderon-Zygmund ]1[算子，此时我们记)(f SI b =)(f SI . Calderon-Zygmund 证明了当)(log 1-+∈Ωn S L L 且满足消失性和（1.1）式时，bSI 是)1)((∞<<p R L np有界的。
单边算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的加权有界性
单边算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的加权
有界性
程鑫;张婧
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)1
【摘要】该文在单边意义下采用权的外推法研究了Calderón-Zygmund奇异积分算子,离散面积函数,Weyl分数次积分与Lipschitz函数生成的多线性交换子从加权Lebesgue空间到加权Triebel-Lizorkin空间上的有界性.
【总页数】10页(P50-59)
【作者】程鑫;张婧
【作者单位】伊型师范大学数学与统计学院;安康学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在加权Herz型Hardy空间上的有界性
2.Calderón-Zygmund算子多线性交换子在加权 Morrey-Herz空间上的有界性
3.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在一类Block-Hardy空间上的加权有界性
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5.单边振荡积分的多线性交换子在加权Morrey空间上的有界性
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risesz-fisher定理
risesz-fisher定理
Riesz–Fisher定理是一个重要的数学定理，它引导了很多数学理
论和应用，并且也提供了猜测某些新定理的帮助。
这是一个关于内积
以及它们的有限维空间中映射的定理，它允许我们解释和分析函数之
间的关系。
该定理的正式定义如下:对于任意的非空正定的有限维向量空间V，任何两个变量f和g在V中的内积都满足以下关系：
<f, g>=∫_{V}f(x)g(x)dx = ∑_{k=1}^{n}λ_{k}f_{k}g_{k}
其中 f_k和g_k分别是f和g的希尔伯特基序列，λ_k是V的
希尔伯特基的特征值。
Riesz–Fisher定理的许多版本中，通常都包含称为Hilbert空间
的范畴中的对象。
在Hilbert空间中，内积可以被定义为一种被称为
标量产品的内积形式，其结果是一个标量。
Riesz–Fisher定理简单而又强大，它不仅仅用于证明维数空间和Hilbert空间中的函数，而且可以用于解决一般函数逼近问题，因为它
能够提供一个快速而精确的方法来衡量函数之间的相似度。
该定理也
用于研究线性代数的复杂性，可用于估计函数的行为，以及用于证明
多个拉格朗日最优化问题的优化条件。
非齐次Besov和Triebel-Lizorkin空间上的T1定理
ｌ （，）一Ｉ ｘＹ） ≤ ｃ （ ， ） （，）ｄ： （ ） ｘＹ ｃ ，， ｌ ｏ ｙＹ Ｙ －ｔ ６ Ｉ ｃ （ －
其 中 ∈ （ ， ，ｒ＞０ Ｏ ）ｏ ．
称 具 有弱 有 界性质 ， 为 Ｔ ∈ Ｗ Ｐ， 指对 记 Ｂ 是 于所 有 的 和 ｇ属 于 Ｃ （ ），具 支集 的距 离不超 过
ｌ ）ｐｘ ｌ ｐ 一（ ）≤
， ） ｐ ） （） ）ｐ ［ ＋ ］ ２
是从 （ ）到 （ （ ） ） 的连 续 线 性算 子 ，
对 任 意支 集 不 交 的试 验 函数 ｆ ∈ ｃ （ ， ），在下 述 意 义下联 系 于核 Ｋ（ Ｙ ， ， ）
叙述 本文 的主要结 果之 前 ，先 回顾齐 型空 间上
Ｃ ｌｅｏ ａ ｒｎ—Ｚ ｇ ｕ ｄ 算 子 理 论 和 非 齐 次 Ｂ ｓｖ和 ｄ ｙｍ ｎ ｅｏ Ｔｉ ｅ —Ｌｚｒｉ 间 的一 些必 要事 实 。 ｒ ｂ ｌ ｉ ｋｎ空 ｅ ｏ
集合 上 的拟距 离 Ｐ： ×Ｘ一 ［ ∞ ）满足 ： Ｘ ０， （ ） （ ，） ＝０当且 仅 当 ＝Ｙ； １ ｐ ｘＹ
（ ）如果 ， ２ Ｙ∈Ｘ ，则 ｐ ｘ Ｙ （ ， ）＝Ｐ ｙ ）； （，
ｒ ，满足 ｌｒ，） ≤ Ｃ“ ｌ （ ｌ ｌ （ ． （ｆｇ ｌ ｒ ｌ ｌ ｌ ｌ 四 ｇｃ 定义 ２ 算子序列 ｛ ｝ 称为恒等逼近 ， ． ｓ 是指 Ｓ（ Ｙ ， ． ，） 即 ｓ 的核 是从 Ｘ ×Ｘ到 Ｃ 的 函数 ，
当 Ｐ Ｙ Ｙ ）≤ｐ（ ， ） ２ （ ， ｘ） ／ Ａ时 ， ，
＜ｑ≤ ∞ ，一 ＜ ＜０上 的 ｎ 定 理 ，其 中 ＞０
。
粗 略地说 ， 果算 子 的核仅 满足 一 半 的光 滑性 如 （ ）和
抛物型粗糙核Littlewood-Paley在齐次Triebel-Lizorkin算子空间上的有界性
’
（ 尺 ）ｆ ｏ ｒ Ｐ ａ ｒ ａ ｂ 。 ｌ ｉ ｃ Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ — Ｐ ａ ｌ ｅ ｙ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｋ ｅ ｎｅ ｒ ｌ ｓ ｂ ｅ ｌ ｏ ｎ ｇ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｂ ｌ ｏ ｃ ｋ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ Ｂ ０ ’
基 金项 目： 国家 自 然科 学基 金资助项 目（ １ １ １ ６ １ ０ ４ ２ ； １ １ ０ ７ １ ２ ５ ０ ） 作者简 介 ： 刘琴 （ １ ９ ８ ８ 一） ， 女， 甘肃定 西人 ， 硕士 ， 主要从事调和分析研究 。
９ ６
ｃ ｏ ｓ Ｔ 一 １ ， Ｘ ２ Ｐ ｃ ｏ ｓ Ｔ１ …
（ Ｓ ） ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：ｐ ａ ｒ ａ ｂｏ ｌ ｉ ｃ Ｌｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗｏ ｏ ｄ－ － Ｐａ ｌ ｅ ｙ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ；Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ － — Ｌｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ ｓ ｐａ ｃ ｅ ｓ；ｂ ｌ ｏ ｃ ｋ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ
第２ ７卷 第 １ 期
Ｖ０ １ ． ２ ７
Ｎｏ ． １
重 庆 理 工 大 学 学 报 （自然科 学）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
一类卷积算子在齐次Triebel—Lizorkin空间上的有界性
Ｔ ｆ （ ） 一 ｆ ｌ ｏ ｏ （ ＊ （ ） ＿ ｄ ｕ ． ２ ｔ ．
（ ２ ）
Ｉ ｌ （
Ｉ ｓ ） ｌ ｌ ｑ
定理
设ｇ ＞１ ， 口 ≥２ ， Ｂ ＞１ ， ＞１ ， Ｉ ＡＩ ＞ 其中 （ ＝ （ ２ 一 （ ） ． 写
１ ， 且满足下列条件 ：
ｓ ｕ ｐ ｐ ￣∈ ｛ ： ｌ≤ Ｉ Ｄ （ ３ ， ） ≤２ Ｂ｝ ，
（ ） 一： ｛ ｆ ： Ｉ 厂 Ｊ Ｉ 心 。 ＝
ｌ ¨ ∑ Ｊ Ｅ Ｚ （ Ｉ ｄ ｅ ｔ Ａ Ｉ 知 ｌ Ｉ ） 口 ） １ ／ ｑ － ｌ ， ≤ ∞ ） ，
ｊ Ｅｚ 』
：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＊ （ （ ） 。 Ｉ
２ ｕ 槭） 邮
， ，●
一
∑Ｊ （ ， 志 ） ．
ｊ ∈ｚ
＼
● ●Ｊ
定 义
Ｉ 。 ｄ 了 ｔ １
焖 （ Ｉ 。
Ｂ
） 一 （ ｆ ｏ Ｉ 则 （ ＊ ｆ （ ｘ
≤ ∑
ｊ ∈ｚ
．
，
这里 ＋ 一［ ２ 一 ＋ ＋ ＂ 。 ， ２ Ｕ ＋ ｔ － Ｄ Ｂ ］ ， 如果 愚 ＜
，
∑ 到 Ｏ ， ＜Ｏ ， 这 时注意
ｌ ｚ 了 ｄ ｔ ≤Ｃ Ｂ
．
（ 厂 ） （ ｚ ） ，
因此 ，
对 于任意 的 函 数 ｇ∈ ’ （ ） ，
（ ３ ） ０ （ 厂 ） Ｌ ｑ ≤８ ｆ ｌ Ｉ Ｌ ｑ ， ｆ ＥＬ ｑ （ Ｒ ＂ ） ．
则对任意的 １ ＜户 ＜∞ ， （ ２ ） 式定 义的算子 Ｔ 是齐次 Ｔ ｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ 声 （ ） 上的有界算
【国家自然科学基金】_积分算子_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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科研热词 交换子 奇异积分 分数次积分 粗糙核 多线性算子 marcinkiewicz积分 齐型空间 正解 多线性奇异积分 各向异性 不动点 littlewood-paley理论 lipschitz函数 legendre小波 fourier变换估计 banach空间 锥 边值问题 积分算子矩阵 积分算子 积分方程 积分-微分方程 极大算子 有界性 弱hardy空间 存在性 多线性振荡奇异积分算子 单程波算子 加权herz型hardy空间 不动点定理 integro-differential型方程 herz空间 herz型hardy空间 hardy空间 dini条件 calderon-zygmund奇异积分算子 bmo(rn) bmo 齐次morrey-herz空间 高精度分析 高斯界 饱和土 预处理 面积积分 非线性边界条件 非线性边值问题 非线性抛物积分微分方程 非紧性测度 非协调元 雷达散射截面 集结算子 随机积分方程
一类振荡积分算子在Wiener共合空间上的有界性
算 子
Ｔ ，（ｚ， ）＝ ｐ．ｖ． ｆ（ｘ－ｔ，ｙ－７ ））三二 ， 一
ｄｔ
及 其推 广 形 式
Ａ 口，（ｚ，Ｙ，２） ／ ，（ｚ一￡， 一ｓ， —ｔｋｓＪ）ｅ一。 “一 ５一 。￡－￣：￣ｉ－１８－ａ２－１ｄｔｄｓ ， Ｑ０
在 Ｗ ｉｅｎｅｒ共合 空间 （厂Ｌｐ，Ｌ ）上的映射性质．本文的结论足以表明，Ｗｉｅｎｅｒ共合 空间是 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ 空间的一个很 好的替代．
ｌ １ １ Ｉ １ ０ ＩＰ ２ Ｊ ２ ｎｂ’
最近，文 【４］的作者将 Ｗａｉｎｇｅｒ的结论作了推广，他们考虑 了更一般的算子
Ｔｆ（ｘ）＝ （ ，ｂ ｆ）（Ｘ）
（１．１）
在加权调幅空间 ，。（ ）上的有界性．他们证明了若０＜ｎ≤警，由（１．１）式定义的算子
在 加权调 幅 空间 Ｍ （ ）上有 界对 于所 有的 １≤Ｐ≤。。，０＜ｑ≤。。及 ｓ Ｅ 成 立．
受 Ｗａｉｎｇｅｒ的启发 ，本 文主 要考虑 由 （１．１）式定 义的算 子 在 Ｗｉｅｎｅｒ共 合 空 间上 的 有界性 ，其结 论为
定理 １．１ 设 １≤Ｐ＜。。，１≤ ｑ≤。。．如 果参 数 ａ，ｂ满足条 件 ０＜ａ≤ ，则 由 （１．１） 式 定 义的算 子 在 Ｗｉｅｎｅｒ共 合 空间 （ ｐ， ）（ ）上 有界 ．此 处 空间 ｐ的定义 将 在 第 ２节给 出．
数 学 年 刊 Ａ 辑 ２０１８，３９（２）：１１３—１２６ ＤＯＩ：１０．１６２０５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃａ，ｍａ．２０１８．００１１
一 类振荡积分算子在 Ｗ ｉｅｎｅｒ 共合 空 间上 的有界 性 术
程美芳 孙 伟。 束立生。
摘 要 假 设 ａ，ｂ＞ ０并 且
ｉＩｚＩ－ｂ
一类奇异积分算子与BESOV函数生成的交换子的有界性
一类奇异积分算子与BESOV函数生成的交换子的有界性作者：胡鑫娜，孙杰来源：《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》2021年第04期摘要：讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin 空间及在Lebesgue空间上的有界性.关键词：Triebel-Lizorkin空间;Besov函数;交换子;极大函数[中图分类号]O 174.2[文献标志码]ABoundedness for Commutators of a Type of Singular IntegralOperators and Besov functionHU Xinna，SUN Jie（College of Mathematical Science;Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）Abstract：In this paper，we discuss the commutator generated by a type of singular integral operators and Besov function is bounded from Lebesgue spaces to Triebel-Lizorkin spaces and to Lebesgue spaces.Key words：Triebel-Lizorkin spaces;Besov function;commutator;the Maximal function算子理论是调和分析的核心内容，证明奇异积分算子与适当函数生成的交换子的有界性问题是算子理论研究的重要内容.1976年Coifman，Rochberg和Weiss首次介绍了经典奇异积分算子T与局部可积函数b生成的交换子[b，T][1]，证明了奇异积分算子T与BMO函数生成的交换子有界.自此之后，交换子的问题得到了广泛关注，取得了很多研究结果.[2-3]本文讨论一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Ld到Fβ-n/p，∞d及Ld到Lr有界的問题.1预备知识2003年Trujillo-González在参考文献[4]中介绍了核满足如下条件的奇异积分算子定义1[4]设K∈L2（Rn）.若C0>0使（1）‖K︿‖∞≤C0;（2）|K（x）|≤C0|x|n;（3）存在函数B1，…，Bm∈L1locRn＼{0}和Rn 中的一族有界函数Φ={1，…，m}且detj（yi）2∈RH∞（Rnm）;（4）对固定的γ>0及|x|>2|y|>0，有K（x-y）-∑mj=1Bj（x）j（y）≤C0|y|γ|x-y|n+γ，对f∈C∞c（Rn），定义Tf （x）=∫RnK（x-y）f（y）dy.当m=1，j（y）=1，Bj（x）=K（x）时，上面定义中的算子是经典的奇异积分算子.定义1中的奇异积分算子与Besov函数生成的交换子定义为Tbf（x）=[b，T]f（x）=b（x）Tf（x）-T（bf）（x）.引理1[5]设1≤p≤∞.T是定义1的算子，则存在C>0，f∈Lp（Rn），有‖Tf‖p≤C‖f‖p，其中C 与f无关.引理2（i）当1（ii）对任意1≤s引理3[6]设f∈Lp（Rn），当1supQ1Q1+β/n-1/p∫Qb-bQdy≤supQ1Qβ/n+1/q-1/p∫Qb-bQqdy1/q≤Cb∧·p，qβ.2结果与证明2.1奇异积分算子交换子Tb是从Ld到Fβ-n/p，∞d有界的定义1所定义的一类奇异积分算子是具有标准核奇异积分算子的推广，故得到的结论对具有标准核的奇异积分算子的交换子也是成立的.定理1设22qq-2，Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，则Tb是从Ld到F·β-n/p，∞d有界的.证明固定方体Q=Q（xQ，s）.对于f∈C∞c（Rn），令f=f1+f2，其中f1=fχ2af2=f-f1.由Tbf=Tb-bQf.令A=∑mj=1Cjj-（y-xQ），Cj是待定常数j=1，2，…，m.有∫QTbf（y）-（Tbf）Qdy≤2∫Qb（y）-bQTf（y）dy+2∫QT（b-bQ）f1（y）dy+2∫QT（b-bQ）f2（y）-Ady∶=J1+J2+J3.现估计J1，由Ho··lder不等式及引理4得到J1≤2∫Qb（y）-bQqdy1q∫QTf（y）qq-1dyq-1q≤CQ1+βn-1qb∧·p，qβMqq-1（Tf）（x）.再估计J2，当21，由引理1及Ho··lder不等式，有J2≤CT（b-bQ）f12Q12≤C（b-bQ）f12Q12≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβM2qq-2（f）（x）.最后估计J3，由于b-b2Q≤1Q∫Qb（y）-b2Qdy≤C2Qβn-1pb∧·p，qβ，那么可以得到b2kQ-bQ≤Ck2kQβn-1pb∧·p，qβ.令Cj=∫Rnf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-bQdy.j=1，2，…，m.证明Cj有限.由f∈C∞c （Rn），设suppfQ0=（xQ，d），d>0.存在方体Q*，中心为xQ，使suppf∪2QQ*.Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，根据引理4，由Ho··lder不等式有|Cj|≤∫Q*＼2Qf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-b2Qdy由z∈（2Q）c，y∈Q，则|y-z|～|z-xQ|有J3≤2∫Q∫（2Q）cK（y-z）-∑mj=1Bj（xQ-z）j（xQ-y）b（z）-bQf（z）dzdy.由定义1中条件（4）可以得到J3≤C∫Q∫（2Q）c（xQ-z）-（y-z）γy-zn+γb（z）-bQf（z）dzdy.插项有J3≤C|Q|∑∞k=2∫2kQ＼2k-1Q2-ky2kQ-1b（z）-bQ+b2kQ-b2kQf（z）dz.再由引理4得到J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβ∑∞k=22k（-γ+β-npMq′（f）（x）+∑∞k=22k（-γ+β-npkM（f）（x）.最后当0J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβMq′（f）（x）+M（f）（x）.综上，由于d>2qq-2以及22qq-2>qq-1=q′.且0TbfF·β-np，∞d≤Cb∧·p，qβfd.定理1得证.2.2Tb是Ld到Lr有界的证明满足定义1中条件（1）到（4）的一类奇异积分算子的交换子Tb是Ld到Lr有界的，即在Lebesgue空间上的有界性.定理2设0证明利用变量替换，有Tbf（x）≤∫Rnb（x）-b（x-t）K（t）f（x-t）dt≤C0∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdt.考虑Tbf的Lr范数Tbfr≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdtrdx1r∶=S1.q>1，对变量t用Ho··lder不等式S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtrq∫Rnf（x-t）tn-nq-βqq-1dtr（q-1）qdx1r.由于pr>1再对x用Ho··lder不等式S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtpqdx1p∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.应用广义Minkowski不等式有S1≤Cb∧·p，qβ∫Rn∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.令α=q βq-1，取g=fqq-1，由1r=1d-βn+1p和qq-1S1≤Cb∧·p，qβgq-1qd（q-1）q≤Cb∧·p，qβfd.定理2得证.3结论本文讨论了一类奇异积分算子与Besov函数生成的交换子从Lebesgue到Triebel-Lizorkin 空间及在Lebesgue空间上的有界性问题，推广了经典奇异积分算子交换子的相关结果，对后续交换子的研究具有一定的推动作用.参考文献[1]Coifman R.，Rochberg R.and Weiss G..Facorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann of Math.，1976，103（3）：611-635.[2]Paluszyński M..Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman，Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.J.，1995，44：1-17.[3]孙杰.Hardy算子与加权BMO函数生成交换子的加权估计[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2019（4）：15-18.[4]Trujillo-González R..Weighted norm inequalities for singular integrals operators satisfying a variant of Hormander condition[J].Comment Math.Univ.Carolin.，2003，44（1）：137-152.[5]Grubb D.J.，Moore C.N..A variant Hormander's condition for singularintegrals[J].Colloq.Math.，1997，73（2）：165-172.[6]Gao X.L.，Ma B.L..The boundedness of commutators of singular integral operators with Besov functions[J].Scientific Horizon，2010，8（3）：245-252.[7]周民強.调和分析讲义[M].北京大学出版社，2003，67-71.编辑：琳莉。
拓扑空间中的连续函数
拓扑空间中的连续函数参考文献：1.岳跃利;方进明诱导I-Fuzzy拓扑空间[期刊论文]-数学研究与评论5.李清华;方进明 I-Fuzzy拓扑空间中的可数性[期刊论文]-模糊系统与数学相似文献1.学位论文韩刚 L-拓扑空间中的分离性 2006 本文的目的是进一步讨论L-拓扑空间(即L-Fuzzy拓扑空间)中的分离性，以及I-Fuzzy拓扑空间中的导集和连续性。
主要工作如下： (1)在L-拓扑空间中分离性是很重要的性质，SteenLA，etal.在分明拓扑空间中定义了T21/2分离性，陈水利和孟广武以及尤飞将其推广到L-拓扑空间中.本文首先在分明拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在分明拓扑空间中T21/3分离性等价于T2分离性，然后在L-拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在L-拓扑空间中T21/3分离性与T2分离性是不等价的。
同时又定义了ST21/3，层T21/3分离性，讨论了它们与其它分离性的关系，并且研究了它们各自的一些性质，论证了它们都是L-好的推广。
(2)吉智方教授定义了T3＃分离性，本文继续讨论了它的一些性质，并且定义了一种新的分离性；T3(×)分离性，它是介于T3＃分离性与T3分离性之间，同时研究了它的一些性质，并且证明了T3＃空间范畴是有积和有上积的范畴。
(3)应明生教授1991年用连续值逻辑语义的方法定义了I-fuzzy 拓扑空间，王瑞英在2005年的博士学位论文中在I-Fuzzy拓扑空间中提出了R-邻域系的概念，它是以王国俊教授研究L-拓扑学时给出的远域为特款引入的，在此基础上定义了闭包、内部、基、子基、连续、子空间、积空间、商空间等基本概念，并且建立了网收敛理论。
讨论了可数性与分离性。
方进明在I-Fuzzy拓扑空间中提出了I-Fuzzy拟重邻域系，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时给出的重域为特款引入的，并。
陆续在I-fuzzy拓扑空间讨论了可数性、连续性、诱导空间等性质。
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Ｃｏ ｔ ｕ ｔ ｆｍｕ ｔｌ ｅ ｒ ｏ ｅ ａ ｏ ｓｏ ｉｂ ｌＬｉｏ ｋ ｎ ｓ ａ ｅ ｎ ｉ ｉ ｏ ｌ ｉ ａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｎ Ｔｒｅ ｅ — ｚ ｒ ｉ ｐ ｃ ｎ ｙ ｉｎ
ＺＨＯＵ ａ ． ｈ Ｘｉｏ ｓ ａ
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第 ２期
周 肖沙 ： 类 多线性 积 分 算子在 Ｔｉ ｅ—ｉ ｒｉ 问上 的 连 续性 一 ｒ ｂｌ ｚ ｋｎ空 ｅ Ｌｏ
９ ７
） 厂 ：Ｕ － ｌ）一 － １ ｒ ∞ ０ ８ ｎ 和 ） Ｓｉ ＇ ， ｆ 对 ≤ ＜ 和 ≤ ＜， （ Ｑ ｆ ） Ｑｙ ￣ ｉ Ｉ ｄ 令
． （ ＝ｔ丽 『 ） ） ， ｒ Ｓ（ （ ） ｌ Ｑ ， ， ｄ Ｉ ）
当 ＝ ０时 ， 记 ． ＝ （ ， ｒ ， ∽ 当 ＝１时 ， 即为 Ｈ ｒｙＬｔｅ ｏｄ极 大 函数 ． 卢＞Ｏ和 ｐ＞１令 此 ａ —ｉｌ ｏ ｄ ｔｗ 引对 ，
文 章 编 号 ：００— ７９ ２０ ）２—０９ ０ １０ ９ ７ （０ ８ ０ ０ ６— ６
一
类 多线 性 积分 算 子在 Ｔ ｉ ｅ Ｌｚｒｉ ｒ ｂ１ ｉ ｋｎ ｅ ． ｏ 空 间上 的连 续 性
周 肖沙
（ 长沙理 工大 学 数学与计算科 学学院，湖 南 长沙 ４０ ７ ） １０ ６
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：ｍｕ ｔ ｉｅ ｒ ｏ ｅ ａｏ ；Ｔ ｉｂ ｌＬ ｚ ｒ ｉ ｐ ｃ ；Ｌ ｔ ｅ ｏ ｄ Ｐ ｌｙ ｏ ｅ ａ ｏ ；Ｍａｃ ｎ ｉｗｉｚｏ ｅａ ｏ ｌ ｌ ａ ｐ ｒ ｔｒ ｒｅ ｅ — ｉ ｋ ｎ ｓ ａ ｅ ｉ ｌｗ ｏ ・ ａ ｅ ｐ ｒ ｔｒ ｉｎ ｏ ｔ ｒ ｉ ｋ ｅ ｃ ｐ ｒ ｔｒ
Ｌ ｚ ｒ ｉ ｐ ｃ ｒ ｂ ｎ ｄ Ｔｈ ｓ ｐ ｒ ｔ ｒ ｎｃｕ ｅ Ｌｉ ｌ ｗｏ ｄ・ ｌｙ ｏ ｅ ａｏ ｎｄ Ｍａ ｃｎ ｉｗｉｚ ｏ ｅ ａｏ ． ｉｏ ｋｎ ｓ ａ ｅ ａ ｅ ｏ ｍｉ ｅ ． ｅ ｅ ｏ ｅ ａｏ ｉ ｌ ｄ ｔ ｅ ｏ Ｐａｅ ｐ ｒ ｔ ｒａ ｒ ｉ ｋ ｅ ｃ ｐ ｒ ｔｒ ｓ ｔ
２ 预 备 知 识 和 结果
本研究中， Ｑ表示 Ｒ 中的方体． 给定方体 Ｑ和局部可积 函数 令 Ｑ ＝ ， ）
收稿 日期 ： ０ ２ ７—１ ２ ０ １— ０
） ， ＝ｌ ・ Ｉ Ｑ～
基金项 目 ： 国家 自然科 学基金资助项 目（０７ １７ １６ １ １ ） 作者简 介 ： 肖沙（ ９ ７ ， ， 周 １５ 一） 男 长沙理工大学副教授
（ｃｏｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓａｄＣ ｍ ｕ ｎ ｃｅｃ ， ｈ ｇｈ ｎｖｒｔ ｏ ｉｎｅａｄＴ ｃｎｌｇ ，ｈ ｇｈ １０ ６ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｈｍａｃ ｎ ｏ ｐ ｔ ｇＳｉ ｅ Ｃ ａ ｓａＵ ｉ ｓｙ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏ ｙ Ｃ ａ ｓａ ０７ ｈｎ ） Ｍａ ｉ ｉ ｎ ｎ ｅ ｉ Ｓ ｏ ｎ ４ ，
其在 Ｔｉ ｅ Ｌ ｏ ｉ 空间上的连续性． ｒ ｂ１ ｉ ｒ ｎ ｅ ．ｚ ｋ 作为应用 ， 对相关于 Ｌｔ ｗｏ —ａ ｙ ｉ ｅ ｏｄＰｌ 算子和 Ｍ ｒ ｎｉ ｉ 算子的 ｔ ｌ ｅ ａｉ ｅ ｃ ｃｋｗ ｚ
多线性算 子证 明了其在 Ｔｉ ｅ．ｉ Байду номын сангаасｉ 间上 的连 续性 ． ｒ ｂ１ ｚ ｋｎ空 ｅ Ｌｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｏ ｔ ｕｔ ｏ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｐ ｒ ｔ ｒ ｅａ ｅ ｅｔ ｉ ｏ ｖ ｌ ｔ ｎ ｏ ｅ ａｏ ｎ ｔ ｅＴ ｅ ｅ — ｓｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｉ ｆｒｓ ｍｅｍｕｔ ｉ ａ ｅ ａｏ ｓｒ ｌ ｔｄ ｔ ｃ ｒａ ｃ ｎ ｏｕ ｉ ｐ ｒ ｔｒ ｏ ｈ ｆ ｂ ｌ ｎ ｙ ｉｎ ｏ ｏ ｎ ｏ ｓ ｉ
摘
要 ： 一类相关于非卷积型算 子的多线性算子 ， 对 证明了其在 Ｔ ｅｅ Ｌｚｒｉ 间上 的连 ｉ － ｏ ｆ ｂｌ ｉ ｋｎ空
续性 ， 该算子包括 Ｌｔ ｏｄ ａ ｙ 子和 Ｍ ｒｎｉ ｉ 算子． ｉｗ — ｌ 算 ｔ ｅ Ｐｅ ａｉ ｅ ｃ ｃ ｋｗ ｚ 关键词 ： 多线性算子 ； ｒｂｌ ｉｒ ｎ Ｔｉ ｅ Ｌ ｏ 空间 ； ｉ ｅｏ ・ａ ｙ ｅ ・ｚ￣ Ｌ ｆｗ ｄＰｌ 算子 ； ａ ｉ ｉ ｉ 算 子 ｔ ｌ ｅ Ｍ ｒｎ ｅ ｃ ｃｋ ｗ ｚ
１ 引 言
设 为 Ｃ ｌ ｒ ．ｙ ｕｄ算 子 ， Ｃｉ ａ ， ｏｈｅ ａ ｅ ｎＺｇ ｎ ｄ６ ｍ 由 ｏｍ ｎ Ｒ ｃｂｒ ｆ ｇ和 Ｗｅ ｓ 到 的经典 结 果… 说 明交换 子 ｉ 得 ｓ
［ ， ］ ＝ ｒｆ 一 （ （ ｂＴ ∽ ｂ （） Ｔ ∽ 其中 ｂ Ｍ （ ） Ｂ Ｏ Ｒ ） 在 （ （ ＜ ∞） Ｅ Ｒ ） Ｉ ｐ＜ 上有界 ；ｈｎ ｌ ２ Ｃ ａｉ 对分数次积分 ｌＬ ｏ］ 算子 证明了类似的结果． 在文献 ［ ，］ 在 Ｔｉ ｅ Ｌ ｏ ｉ 空间和 ｂ ｉ 』 其 中 ＬｐＢ Ｌｐｃｉ ３ ４ 中， ｒｂ１ ｉ ｒ ｎ ｅ ．ｚｋ ＬｐＢ Ｅ （ ｉ 』为 ｉ ｈ ｚ ｓ ｔ 空间） 的情形下得到了这些结果． 本研究 的主要 目的就是对一类相关于卷积型算子 的多线性算子进行 讨论 ， 讨论其在 Ｔｉ ｅ Ｌ ｏ ｉ ｒｂ１ ｉ ｒ ｎ空间上的连续性． ｅ ．ｚｋ 事实上 ， 对满足一定尺寸条件 的该多线性算子建立了
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第２ ４卷 第 ２期 ２０ ８年 ６ ０ 月
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学
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报
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ． １２ ２
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＡＮＧＳ ＨＡ ＣＯＭ ｎＪ ＣＡＴＩ ＮＩ ｏＮＳ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｊｎ ２ ０ ｕ． ０８