1概率的基本概念
概率论与数理统计复习笔记 (1)
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算⊂(事件B包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.∪B (和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A-B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=? (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=?且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(?) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0)3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立? P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立. 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~?(?)参数为?的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (?>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为?的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (?>0).(3)X~N (?,?2)参数为?,?的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -?<x<?, ?>0.特别, ?=0, ?2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, ?(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((?,?2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z ?}= P{Z<-z ?}= P{|Z|>z ?/2}= ?,则点z ?,-z ?, ?z ?/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧?分位点. 注意：?(z ?)=1-? , z 1- ?= -z ?. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , ?= min (g (-?),g (?)) ?= max (g (-?),g (?)) .如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 ?= min (g (a),g (b)) ?= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ?)=0, F(-?,y)=0, F(-?,-?)=0, F(?,?)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 . (2)归一性 ∑∑=i jij p 1 . 3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<?}= F (x , ?) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<?, Y ≤y}= F (?,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P •=====P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差?(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) . ,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) ~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) ~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p) ~ ?(?) ? ?,}{},{•=====i ji i j i p p x X P y Y x X P~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 服从参数为?的指数分布 ? ?2 ~ N (?,?2) ? ?2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (?,?2 ) ,则 X ~ N (?, ?2 /n) .2.?2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ ?2(n)自由度为n 的?2分布.(2)性质 ①若Y~ ?2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ ?2(n 1) Y 2~ ?2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ ?2(n 1 + n 2). ③若X~ N (?,?2 ), 则22)1(σS n -~ ?2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ ?2(n),0< ? <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为?2分布的上、下、双侧?分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ ?2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (?,?2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (?1,?12 ) 且?12=?22=?2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12 Y~ N (?2,?22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < ?<1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: t 1- ? (n) = - t ? (n).分布 (1)定义 若U~?2(n 1), V~ ?2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< ? <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧?分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数?1, ?2,…, ?k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩? l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, ?1, ?2,…, ?k ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数?1, ?2,…,?k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(?1, ?2,…, ?k )关于?1, ?2,…, ?k 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=?,则估计量∧θ称为参数?的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=?k =E(X k ),即样本均值X ,样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩?k 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= ?, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP→∧,则称估计量∧θ是参数?的相合估计量. 二.区间估计1.求参数?的置信水平为1-?的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,?),其中只有一个待估参数?未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧?分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-?.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间? ?2已知 n X σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) ? ?2未知n S X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α ?2 ?未知22)1(σS n -~ ?2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体(1)均值差? 1-? 2 其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ 22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±- 未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③. (2) ? 1,? 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比?12/?22的置信区间为 注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标?/2改为?,另外的下(上)限取为-? (?)即可.。
1概率ACH1-习题课
C
(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个, 所求概率为:
C C
2 5 3 10
1 12
(2)最大号码为5，即从1，2，3，4里选两个，
2 所求概率为： 4 3 10
1 C = 20 C
8、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中
任取200件.求： (1)恰有90件次品的概率;(2)至少有2件次品的概率。
解： P( AB) P( A) P( AB ) =0.7-0.5=0.2
P ( AB) P( AB) P( B A B ) P ( A B ) P( A) P ( B ) P( AB )
0.2 0.25. 0.7 0.6 0.5
16、根据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( Bi | A) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )
P( A | B )P( B )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
事件的独立性
P ( A1 An ) P ( A1 ) P ( An ) P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 ) P ( An )
配成一双”（事件A）的概率是多少？
4 解： 样本空间总数:C10 210
1
3
5
7
9
事件A:4只恰成1双或恰成2双.
2 4只恰成2双的取法: C5 10
2 4 2 61 8 10 1 1 2 1 1 ） 4只恰成1双的取法:C5 C4 C2C2 120 或C（C8 - C4 120 5
考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分
考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分概率论和数理统计是考研数学一科目中的重要部分，本文将针对概率论与数理统计这一大纲进行重点梳理。
首先，我们将介绍概率论的基本概念和理论，然后详细讨论数理统计的相关内容。
一、概率论的基本概念和理论1. 概率的基本概念概率是研究随机现象的定量描述，用来描述事件发生的可能性大小。
概率可以用数值表示，范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
2. 概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。
加法规则适用于互斥事件，乘法规则适用于独立事件。
3. 随机变量和概率分布随机变量是用来描述随机现象的变量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
概率分布描述了随机变量的取值与概率之间的关系，常见的概率分布包括二项分布、泊松分布和正态分布等。
4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，用来描述随机变量的集中趋势；方差是随机变量与期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。
二、数理统计的相关内容1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和研究的过程，抽样分布是指样本统计量的概率分布。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
2. 参数估计参数估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是用单个数值来估计参数的值，区间估计是用一个区间来估计参数的值。
3. 假设检验假设检验是根据样本提供的信息，对总体的某个参数是否满足某种假设进行判断。
假设检验可以分为单侧检验和双侧检验，常见的假设检验方法包括z检验和t检验等。
4. 方差分析方差分析是用来比较两个或多个总体间均值差异是否显著的统计方法。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，常用的方法包括单因素方差分析和双因素方差分析等。
5. 回归分析回归分析是用来研究自变量与因变量之间的关系的方法。
简单线性回归是一种自变量和因变量之间存在线性关系的回归分析方法，多元线性回归是多个自变量和一个因变量之间的回归分析方法。
新高考数学一卷知识点总结
新高考数学一卷知识点总结一、函数与导数1. 函数的概念：关于自变量 x 和因变量 y 的关系，通常用 y=f(x) 来表示。
2. 常见的初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3. 函数的基本性质：奇偶性、单调性、最值等。
4. 函数的图像和性质：通过绘制函数的图像来分析函数的性质。
5. 导数的概念与计算：导数表示函数在某一点的变化率，可通过极限的方法求导数。
6. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某点处的切线斜率。
7. 导数的应用：求函数的极值、最值、函数图像的凹凸性、曲线的特性等。
二、数列与数列的极限1. 数列的概念：有序数的无限序列，一般用 {an} 或 {xn} 表示。
2. 数列的性质：数列的有界性、单调性和收敛性等。
3. 数列的极限：数列的极限表示数列中的数值逐渐接近一个数。
4. 数列极限的性质：数列极限的唯一性、四则运算规则等。
5. 无穷级数：有限项和与无穷项和的概念、性质和收敛条件。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理的概念和应用。
2. 泰勒公式：泰勒公式的表达形式和具体计算方法。
四、不定积分1. 不定积分的概念：不定积分表示求导运算的逆运算。
2. 不定积分的性质和运算法则：线性性、换元积分法、分部积分法等。
3. 不定积分的奇偶性和对称性：利用函数的奇偶性和对称性简化积分运算。
五、定积分与定积分应用1. 定积分的概念：定积分表示曲线与坐标轴之间的面积或曲线长度的计算方法。
2. 定积分的计算：利用积分的性质和运算法则计算定积分。
3. 定积分的应用：计算几何图形的面积、物理问题中的质量、重心、物理中的功与物体质心问题。
六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义域、值域等性质。
2. 偏导数的概念与计算：对多元函数中的一个变量求导的过程。
3. 隐函数与参数方程的求导：对隐含的函数和参数方程进行求导的方法。
4. 函数的极值与条件极值求解：应用偏导数对多元函数的极值进行求解。
凤凰新学案高中数学必修一电子版试卷
凤凰新学案高中数学必修一电子版试卷凤凰新学案高中数学必修一电子版试卷，是一项非常有助于学生提高数学成绩的英雄互娱课程。
它包含六大知识点，分别是概率、线性函数、空间几何、二次函数、函数及其应用、统计学。
一、概率1. 概率的基本概念：概率是指事件发生的可能性。
2. 抽样、连续性及其关系：抽样指对样本容量进行抽样，可以揭示随机事件发生的可能性；连续性则是指样本容量无限增加时，概率的取值趋于某一恒定的正值。
3. 条件概率：通过计算事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，可以得出不同事件之间的相互影响。
二、线性函数1. 线性函数的基本概念：若函数图象为直线，则称之为线性函数，能够表示两量之间等比例关系，其表达式为 y=kx+b，其中k为系数，b 为常数项。
2. 对称：线性函数满足对称性，即函数图象关于指定点的一条轴或一条直线的对称。
3. 方程的解法：可以使用算法、极坐标及相对对称的方法来求解线性方程的解。
三、空间几何1. 平行： n 条相互平行的直线总共有 n-2 个交点，当 n=3 时，共有1个交点；当 n>=4 时，所有直线均通过一个公共点。
2. 平面：平面是由平行直线构成的有限几何空间，它的特征是没有深度，直线只有平行性而无其他关系。
3. 直线：直线是无穷尽的，它由两点确定，其垂直于两垂直直线之间的公共轴，可以用斜率的角度来表示。
四、二次函数1. 二次函数的概念：它是一种特殊的函数，是二次幂函数的一种，是一元函数，表示为 y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不能为0。
2. 判断函数是否是二次函数：此时要求一下函数的一阶导数和二阶导数均为常数，若不满足此条件则说明函数不是二次函数。
3. 函数图像：当a>0时，图象为以原点为极大值点的抛物线；当a<0时，图象为以原点为极小值点的抛物线。
五、函数及其应用1. 函数的概念：函数是把一个变量的值以某一规律映射到另一个变量上的规则或运算。
2023军队文职数学一概率论考点分布
2023军队文职数学一概率论考点分布一、概率基本概念及概率计算方法1.概率的含义和基本性质概率是指事件发生的可能性大小，在数学中通常用一个介于0和1之间的实数表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
在概率理论中，还要注意概率的加法和乘法公式，概率的互斥事件和对立事件等基本概念。
2.古典概率和几何概率古典概率是指基于等可能性事件的概率计算方法，常见于硬币抛掷、骰子掷出等情节下；而几何概率则是指通过几何形状及空间关系来计算事件的概率，比如在正方形上随机落点的概率、在圆内随机落点的概率等。
3.条件概率和贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下另一个事件发生的概率，贝叶斯定理是指在已知某一事件的条件下求另一事件条件概率的一则公式。
二、随机变量及其分布1.随机变量的基本概念随机变量是指在一次试验中取值不确定并用某一特定变量值来表示其结果的变量。
离散型随机变量和连续型随机变量是随机变量的两种基本类型。
2.离散型随机变量及其分布离散型随机变量是指取值有限或者可列的随机变量，比如抛硬币正反面的次数、扔骰子点数等。
常见的离散型随机变量分布有均匀分布、二项分布、泊松分布等。
3.连续型随机变量及其分布连续型随机变量是指取值不连续的随机变量，比如长度、面积、时间等。
常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、数理统计1.统计量的概念及抽样分布统计量是指利用样本数据来对总体特征进行估计的量，包括样本均值、样本方差、样本标准差等。
抽样分布是指在总体参数未知的情况下，对样本统计量的分布规律进行研究。
2.正态总体及其抽样分布正态总体是指符合正态分布规律的总体，其抽样分布包括正态总体均值的抽样分布和正态总体方差的抽样分布。
3.统计推断的基本原理统计推断是通过对样本数据的分析，对总体参数进行估计、假设检验等推断过程。
其基本原理包括点估计、区间估计和假设检验。
总结：从上述考点分布可以看出，2023军队文职数学一概率论考试内容涵盖了概率基本概念及概率计算方法、随机变量及其分布、数理统计等内容，考生在备考过程中应充分理解并掌握各个考点的理论知识，并通过大量的练习来提高解题能力，这样才能在考试中取得理想的成绩。
人教高一数学必修一b版知识点
人教高一数学必修一b版知识点随着高一学生的数学学习的深入，掌握必修一B版的数学知识点对于他们来说至关重要。
下面将对人教高一数学必修一B版的知识点进行介绍和解析。
一、集合与函数1. 集合的概念：集合是具有某种特定性质的元素的总体。
2. 集合的表示法：列举法、描述法、区间表示法等。
3. 集合的基本运算：并集、交集、差集、补集等。
4. 函数的概念：函数是集合间的一种特殊关系。
5. 函数的表示法：箭头法、映射法、解析式等。
6. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、二次函数与分式函数1. 二次函数的概念：二次函数是关于自变量的一次项是二次的函数。
2. 二次函数的图象：顶点坐标、对称轴、开口方向等特征。
3. 二次函数的性质：增减性、极值、零点、图象的研究等。
4. 分式函数的概念：分式函数是以两个多项式为分子和分母的函数。
5. 分式函数的性质：定义域、零点、图象的研究等。
三、三角函数1. 弧度制与角度制：弧度制是角的一种计量单位，角度制是常用的角的计量单位。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数及其反函数的概念。
3. 三角函数的图象：周期性、对称性、单调性等特点。
4. 三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性等。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：事件、样本空间、随机事件等。
2. 概率的计算方法：古典概型、几何概型、频率法等。
3. 统计学的基本概念：总体、样本、频数分布等。
4. 图表的应用：直方图、折线图、饼图等。
五、解析几何1. 直线与圆的方程：点斜式、截距式、一般式等。
2. 直线与直线的关系：相交、平行、垂直等。
3. 直线与圆的关系：相切、相交等。
4. 二次曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线等。
六、三角恒等变换1. 基本恒等式：正弦定理、余弦定理、正切定理等。
2. 三角函数的运算：和差化积、积化和差等。
3. 三角函数的化简：平凡方程、诱导公式等。
通过对人教高一数学必修一B版的知识点进行整体了解，我们可以更好地为学生提供数学学习的指导和辅助。
第1章 概率论的基本概念
试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性：对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性：对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性：设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验？
1. 试验（Experiment）：包括各种各样的科学实 验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（E，Random experiment）：具有以 下三个特征的试验： （1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。
高一数学必修一知识点总结归纳
高一数学必修一知识点总结归纳1500字高一数学必修一知识点总结归纳高一数学必修一是数学学科的重要基础，它为高中数学的学习打下了基础。
必修一主要包含函数、直线与圆、三角函数等内容。
以下是高一数学必修一的知识点总结归纳。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质：定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。
2. 函数的运算：加、减、乘、除运算、复合运算等。
3. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等。
4. 方程与不等式：代数方程、代数不等式、方程的解、一元二次不等式等。
5. 几何应用：线性规划、最值问题等。
二、直线与圆1. 直线方程：斜率截距式、点斜式、两点式、一般式等。
2. 圆的方程：标准式、一般式、切线方程等。
3. 直线与圆的关系：相交、相切、相离等。
4. 几何应用：解析几何的基本定理和方法。
三、三角函数1. 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 角度制与弧度制：角度的换算、弧度的定义和换算等。
3. 三角函数的图像与性质：周期、奇偶性、单调性等。
4. 三角函数的运算：和差化积、积差化和、倍角公式等。
5. 三角函数的应用：三角恒等式、解三角方程等。
四、数列与级数1. 数列的概念与性质：通项公式、前n项和等。
2. 等差数列与等比数列：公差、公比、求和等。
3. 级数的定义与性质：等比级数、调和级数等。
4. 几何应用：数列与等差数列的应用等。
五、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、概率等。
2. 事件的运算与概率计算：事件间的关系、事件的计算等。
3. 事件的统计和分析：频率、期望、方差等。
4. 统计图表的使用与分析：频数表、频率分布图、直方图等。
总结：高一数学必修一内容较为基础，但仍有一定难度。
学生需要掌握函数与方程的基本概念与性质，能够解决直线与圆的基本问题，熟悉三角函数的定义与性质，掌握数列与级数的运算规律，以及理解概率与统计的基本概念与方法。
1概率论的基本概念
[注样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元 ]
素取决于试验的内容和目的．
二、随机事件
1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件． 通常用字母A，B，C表示.
A的对立事件记作 A .
ASA
B A
A
[注]
(1) 事件之间的关系可用文氏图表示； (2) 对于任意事件A，显然
AA , A
A S,
A S A, A A
(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的． (4) B A B A B AB
B
A
A U B A U ( B A )
S1={H, T}（H表示出现正面， T表示出现反面）
试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. S3={0,1,2,3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. S4={1,2,3,4,5,6}
第一章 概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
1 概率论基本知识点
刘德强ldq7705@419046998最终成绩构成★期末成绩占70%★平时成绩占30%平时成绩30分●签到5分；●作业10分：晚交补交降两个等级●大作业15分。
A +A A −B +B 等级额外得分0.30.10.1−0.3−分组1组.学号20121613050(t)到20141613073(t) 2组.学号20141613074(t)到20141613088(t) 3组.学号20141613089(t)到20141613110(t) 4组.学号20141613111(t)到20141613136(t) 5组.学号20141613137(t)到20141613160(t) 6组.学号20141713169(t)到20142013069(t)参考书籍1. 孙荣恒. 应用数理统计[M]. 北京: 科学出版社, 2003.2. Irwin Miller, Marylees Miller. 数理统计与应用[M].北京: 清华大学出版社(影印版)，2005.3.吴喜之. 统计学——从数据到结论（第二版）[M].北京:中国统计出版社，2006.4.杨虎,刘琼荪,钟波.概率论和数理统计[M]. 重庆大学出版社，2007.《概率论》主要内容一、概率的基本概念二、概率的公理化定义及几种特殊定义三、一维随机变量四、二维随机变量五、随机变量的数字特征六、大数定律和中心极限定理1 概率的基本概念1.1 随机现象★必然现象(确定现象)★随机现象(偶然现象)随机试验(E)(1) 在相同条件下可重复地进行；(2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能出现的结果试验前可以确定；(3) 试验之前不能准确预言哪一个结果会出现。
1.2 样本空间★样本点(ω)随机试验E 中可能出现的结果。
★样本空间(Ω)所有样本点组成的集合。
如(1) 掷硬币：(2) 某天加你QQ好友的人数：(3) 电视机的寿命：(4) 某股票的实际涨幅：12{,}ωωΩ={0,1,2,3,...}Ω={0}t t Ω=≥{0.10.1}x x Ω=−≤≤1.3 随机事件★随机事件(A,B,C,…)某些样本点组成的集合。
一概率论的基本概念
2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注： 样本空间是一个有限或无限的点集。 样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄， 求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。 解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种 而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率 格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。 解 设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!
概率的进一步认识知识点中
概率的进一步认识知识点中
一、什么是概率
概率是一个变量，表示件事情发生的机率大小。
概率是数学中一种量度，也是一个抽象的概念，包含了多个事件的发生机率。
如果在一系列实验中，一个事件发生的次数越多，那么这种事件发生的可能性就越大，它具有一定的发生概率。
二、概率的定义
概率可以定义为一种事件发生的可能性，它可以通过实验测定和理论计算，可以量化描述一个事件的发生机率，用于计算任何事件是否发生。
常见的概率有绝对概率和相对概率。
绝对概率可以通过实验测定，就是一次实验中其中一种事件出现的频率与实验次数的比值，可用来测定当前实验中发生的概率。
而相对概率，是一种统计和概率比较的方法，它通过比较和计算两个事件发生概率的大小，来测定其中一个事件发生的概率。
三、概率的意义
概率是实际生活中一种重要的概念，它可以用来帮助我们确定事件发生的可能性，指导我们预测未来的情况，以及帮助我们分析从一些随机事件中受益。
此外，它对风险评估和经济分析也很有帮助。
四、概率的应用
概率可以应用于社会科学，金融学，数学，工程学，数据科学，生物学，医学等领域，常用于人们分析不确定的环境，了解系统变换，估计风险。
高中二年级数学概率与统计初步
高中二年级数学概率与统计初步概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了概率和统计两个方面。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据进行收集、分析和解释，来给出结论。
本文将从概率和统计两个角度来介绍高中二年级数学中的初步内容。
一、概率1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在实际生活中，我们经常会遇到概率的问题，比如投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，抽一张扑克牌时抽到黑桃的概率是多少等等。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指某个具体结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，事件可以是正面朝上，样本空间可以是{正面，反面}。
1.3 概率的计算方法在概率的计算中，有两种主要的方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过做大量的实验来计算概率，古典概型法是通过确定每个结果出现的可能性来计算概率。
二、统计2.1 数据的收集与整理统计的第一步是收集数据，并对数据进行整理和分类。
我们可以使用表格、图表等形式来展示数据，以便更好地进行分析。
2.2 数据的描述性统计描述性统计是用来对收集到的数据进行概括和描述的方法。
常用的描述性统计方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2.3 样本与总体在统计学中，我们通常会采集一部分数据作为样本，用来对整个总体进行推断。
样本的选择要具有代表性，以确保结果的可靠性。
2.4 统计推断统计推断是通过对样本数据进行分析，来推断总体的特征和性质。
常用的统计推断方法包括假设检验、置信区间等。
结论概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
通过学习概率与统计，学生可以培养逻辑思维能力，提高数据分析和决策能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对读者对高中二年级数学概率与统计初步有所帮助。
1 概率论的基本概念
5、逆事件概率： 对于任一事件A，有P(A )=1－P(A)
6、和事件概率(加法公式)： 对于任意两事件A, B有
3、差事件概率：设A,B是两个事件，
若 A ⊂B，则有
18
1.3 频率与概率
可推广到多个事件的和事件
19
1.4 等可能概型(古典概型)
等可能概型的定义与概率的计算
具有如下两个特点的试验，称为等可能概型(又叫古典概型)：
5
第一章 概率论的基本概念
1.1 随机试验 1.2 样本空间、随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型(古典概型) 1.5 条件概率
1.6 独立性
6
1.1 随机试验
试验
试验是一个含义广泛的 术语。它包括各种各样 的科学实验，甚至对某 一事物的某一特征的观 察也认为是一种试验.
随机试验
1 、可以在相同的条 件下重复地进行； 2、每次试验的可能 结果不止一个，并 且能事先明确试验 的所有可能结果； 3、进行一次试验之 前不能确定哪一个 结果会出现。 E1、 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出 E5: 记录某城市120电话台一昼夜接到 现的情况; 的呼唤次数; E2、 将一枚硬币抛三次，观察正面H、 E6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试 反面T出现的情况; 它的寿命; E3、记录某地一昼夜的最高温度和最低 E7: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面 的次数; 温度。 E4、抛一颗骰子，观察出现的点数;
事件A发生(e∈A:)
样本空间S={t|t≥0}
事件A=“寿命不小于500 小时”={t|t≥500}；A⊂S
测得某只灯泡得 e=“寿命为600小时”
9
1.2 样本空间、随机事件
1.2.2 随机事件
生物统计学 第一章 概率的基本概念
A B B A
A=B
事件B的发生必然导致 事件A的发生.
A B且 B A
即A发生B一定发生，反 之B发生A也一定发生. 事件A与B至少有一个发生 A 事件A与B同时发生 事件A发生但事件B不发生 A B Ω A
A
A B A B
A-B
Ω B A B
Ω
Ω A B
Ω
AB
A B
A与B不能同时发生 A、B必有一个发生，但不能同时发生 即 A B , AB .
2. 运算的性质
（1）交换律 A B B A, AB BA. （2）结合律 A B C A B C ,
A BC AB C.
（3）分配律 （4）差
A( B C ) AB AC.
A B AB.
（5）对偶律（德.摩根律）
3 3 3 3 34 81
(2) 每一个奖项都可能被4个学生中的任何 一人获得， 所以获得冠军的可能情况 共有 3 4 4 4 4 64（种）
例 3 有不同的中文书 9 本， 不同的英文书 7 本， 不同的法文书 5 本， 从中选出不属于同一 种文字的书 2 本， 不同的选法有多少种？
A B A B,
AB A B.
例1 则
设A={直径合格}，B={长度合格}，C={合格}
A {直径不合格}， B {长度不合格}，
C {不合格}，
有 C=AB， C A B, 即
AB A B.
例2 掷一枚骰子，试分析各事件的关系或进行运算。 设事件Ai={i}表示出现 i 点（i=1,2,3,4,5,6） 事件A={2，4，6}，B={1，2}，C={4,5,6}， D={出奇数点}，Q={4，6}
专升本数学一知识点
专升本数学一知识点数学一是专升本考试的一门重要科目，涵盖了高中数学的主要内容和一部分大学数学的基础知识。
以下是数学一考试中的一些重点知识点。
1.函数与方程：1.1.函数的概念：函数的定义与性质，函数的表示方法，函数的求值，函数的图像和性质；1.2.一次函数和二次函数：函数的解析式，函数的图像和性质，函数的表示方法，函数的应用；1.3.指数函数和对数函数：函数的定义，函数图像和性质，指数函数和对数函数的互逆关系，指数函数和对数函数的运算；1.4.三角函数：常见三角函数的定义，周期、图像和性质，三角函数的运算关系，解三角方程；1.5.不等式：一元不等式和二元不等式的解法，不等式的性质和应用。
2.数列与数学归纳法：2.1.数列的概念：数列的定义，数列的表示，数列的性质；2.2.数列的极限：数列的极限概念，数列极限的性质，数列极限的计算方法；2.3.等差数列与等比数列：等差数列的概念、通项公式、和的计算；等比数列的概念、通项公式、和的计算；2.4.数列求和：数列前n项和的计算方法，等差数列与等比数列的求和公式；2.5.数学归纳法：数学归纳法的基本原理，数学归纳法的应用。
3.图形的性质与计算：3.1.平面几何的基本概念：平面几何中点线面的概念，平面角的概念和性质；3.2.三角形：三角形的定义和分类，三角形的性质（角、边的关系、三角形的判定）；3.3.直线和圆：直线和圆的基本性质，直线和圆的方程及其求解；3.4.二次曲线：抛物线、椭圆和双曲线的定义、方程和基本性质；3.5.空间几何：空间几何中点、线、面、体的概念，空间几何中的垂直、平行和余弦定理。
4.概率与统计：4.1.概率的基本概念：试验、样本空间、随机事件的概念和性质，事件的关系与运算；4.2.频率与概率：频率和概率的基本关系，频率稳定性定理；4.3.离散型随机变量与连续型随机变量：离散型随机变量和连续型随机变量的定义和性质，随机变量的概率分布，随机变量的数学期望和方差；4.4.统计分析：样本与总体的概念，频数分布表和频率分布表的制作，统计参数的估计。
概率论第一章 概率论的基本概念 PPT
试验者
n
nA
fn (A)
德.摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有
放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。
事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。
如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω； 不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。
如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差；
E6: 在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。
1.1.3 随机事件与样本空间
v样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. v样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 Ek 所对应的样本空间
1概率论基本概念
特别地会分解：恰好，至少，至多 2. 概率的定义: 统计定义，公理化定义 概率的性质：有限可加性，单调性，加法公式 面积+规范性=概率
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四、古典概型
定义：把具有下述两个特点的随机试验称为古典概型． 1．有限性: 样本空间 中只包含有限个样本点， 即 {1 , 2 ,n } 2．等可能性: 每个基本事件｛i｝(i=1,2,3,…,n)是 等可能发生．
由上表可知, 随着试验次数的增加, 正面出现的 频率越来越集中在0.5附近 频率的稳定性: 在大量的试验下, 频率总在一 个常数p附近来回摆动，即
fn ( A) p ( n充分大 )
我们把频率稳定性的数值p称为事件A的概率 如，A=“正面向上”，则 P(A)=0.5 注意 我们谈频率的稳定性，必须有一个前提条 件-----大量的试验
（3）结果的随机性：每次试验有且仅有一个基本 结果发生，但试验之前无法知道何种结果将发生。
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样本点: 随机试验的基本结果称为样本点， 常用字母
表示.
样本空间: 所有样本点构成的集合称为样本空间 如掷骰子，观察出现的点数， ,2,3,,6 1 练习：试写出下面随机试验的样本空间 E1: 将一枚均匀的硬币连掷两次，观察正、反面出 （反 （正 , （反 , 现的情况； 1 (正, 反), , 正） , 正） , 反） E2: 将一枚均匀的硬币连掷两次，观察正面出现 次数的情况； 2 0, 1, 2 常用 表示.
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结论：
A
（1）事件A是样本空间 上的子集
（2）事件A发生 A, 发生 基本事件：由单个样本点组成的集合
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3.事件的关系和运算
概率 名词解释
概率名词解释
概率(probability)是指某一事件在相同条件下重复出现的可能性，即一个随机事件a发生的可能性。
1.概率的基本概念。
从数学角度看，是一种度量，表示为P(a|b)。
2.概率的性质。
(1)一个大于0的自然数，不能确定地确定其发生的可能性。
(2)概率不依赖于具体的对象和条件。
概率只能是关于大于等于0的自然数的一些性质。
(3)概率可以用加法和乘法来定义。
(4)两个互不相同的事件，必有一个发生的概率小于另一个发生的概率。
3.抽样调查时，必须知道总体中每一个单位被抽中的可能性，才能使用概率进行分析。
概率还常用于其他问题的分析，这时，我们称之为事件的概率。
概率的大小用“或然率”(probable rate)来表示。
或然率是所有相互独立的可能事件中，每一个事件发生的概率。
通常把这个概率记为P(E|M)。
其中E表示总体， M表示每个个体。
或然率愈小，说明事件的发生可能性愈小。
举例来说，你掷一枚硬币，正面朝上的概率是1/2，如果连续6次正面朝上，那么正面朝上的概率就是1/6，所以是1/2。
那么正面朝上的可能性就是1/6，反面朝上的可能性就是1/2。
而每一次都是正面朝上的可能性是1/6，这就是事件的概率。
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事件
称满足以下三个条件的试验为随机试验，记作： 称满足以下三个条件的试验为随机试验，记作：E 。 a）在相同的条件下可以重复进行； ）在相同的条件下可以重复进行； b）试验前，试验的所有可能发生的结果是已知的； ）试验前，试验的所有可能发生的结果是已知的； c）每次试验具体发生哪一结果是不能确定的。 ）每次试验具体发生哪一结果是不能确定的。
U
4、集合的运算规律 a）分配律 ）
（ UB IC （ IC U BIC A ） = A ） （ ） （ IB UC （ UC I BUC A ） = A ） （ ）
b） A=A ） c）德摩根律 ）
AUB= AIB ； IB= AUB A
d） A−B= A−A = AB ） B
§2 一、事件的基本概念 1、随机试验
2、集合的关系 a）子集：集合A中的元素都是集合B中的元素， ）子集：集合A中的元素都是集合B中的元素， 则称集合A是集合B的子集，记作： 则称集合A是集合B的子集，记作： ⊂ B。 A b）相等：若 A⊂ B 且 B ⊂ A ，记作： = B。 ）相等： 记作： ， A
3、集合的运算 a）并集：由属于A或属于B的所有元素构成的 ）并集：由属于A或属于B 集合称为A 集合称为A与B的并集。记作： UB。 的并集。记作： A b）交集：由属于A且属于B的所有元素构成的 ）交集：由属于A且属于B 集合称为A与B的并集。记作： IB。 集合称为A 的并集。记作： A c）差集：由属于A而不属于B的所有元素构成 ）差集：由属于A而不属于B 的集合称为A 的集合称为A与B的差集。记作： −B。 的差集。记作： A d）余集（补集）：A⊂U，称 U−A为 A ）余集（补集）： 在 内的补集，记作： 。 U内的补集，记作：A 或 A
n! C = (n−r)! r! ⋅
r合：具有某种特定性质事物的全体。 ）集合：具有某种特定性质事物的全体。 b）元素：组成集合的事物称为元素。 ）元素：组成集合的事物称为元素。 c）有限集：由有限个元素构成的集合。 ）有限集：由有限个元素构成的集合。 d）无限集：由无数个元素构成的集合。 ）无限集：由无数个元素构成的集合。 e）可数集：无限集中的元素可以与自然数集构成 ）可数集： 对应关系，称这样的无限集为可数集，也称可列集。 对应关系，称这样的无限集为可数集，也称可列集。
i= 1 k
种途径来完成， 若完成某事情有 k 种途径来完成，第1种途径有 m1种方式，…，第 k 种途径有 mk 种方式， 则完成 种方式， 种方式， ， 种方式。 该事情共有 ∑m 种方式。 i
i= 1 k
3、排列 不同元素， 从 n 个不同元素中任意抽取 r 个不同元素，按 一定顺序排成一列，称此一列元素为从 一定顺序排成一列，称此一列元素为从 n 个不同元 个不同元素所组成的一种排列。 素中任意抽取 r 个不同元素所组成的一种排列。 关注：从 n 个不同元素中任意抽取 r 个不同元 关注： 素进行排列，共有多少种？ 素进行排列，共有多少种？
第一章
概率论的基本概念
§1 预备知识
一、排列与组合 1、乘法原理 个阶段来完成，完成第1 若某事情可以分成 k 个阶段来完成，完成第1 个阶段有m 种方法， ， 个阶段有m 个阶段有 1种方法，…，完成第 k 个阶段有 k 种 方法， 方法，则完成该事情共有 ∏ i 种方法。 m 种方法。 2、加法原理
Pr = Ar = n! n n (n−r)!
4、组合 从 n 个不同元素中任意抽取 r 个，得到的这一 个元素称为 称为从 组 r 个元素称为从 n 个不同元素中任意抽取 r 个元 素所构成的一个组合。 素所构成的一个组合。 关注：从 n 个不同元素中任意抽取 r 个元素， 个元素， 关注： 共有多少种组合？ 共有多少种组合？
二、事件的关系 a）子事件：事件A发生则事件B一定发生，则称 ）子事件：事件A发生则事件B一定发生， 事件A是事件B的子事件，或事件B包含事件A 事件A是事件B的子事件，或事件B包含事件A，记 作： ⊂ B 。 A b）相等：若 A⊂ B 且 B ⊂ A ，记作： = B。 ）相等： ， 记作： A
2、样本空间 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间。记作： （ ， 的样本空间。记作：S（U，Ω）。 3、样本点 随机试验 E 的每一个可能结果称为样本点 。 4、随机事件 随机试验E 的随机事件。 样本空间 S 的子集称为 随机试验 的随机事件。 简称事件。 简称事件。
5、事件发生 在试验中，当且仅当事件的一个样本点出现时， 在试验中，当且仅当事件的一个样本点出现时， 称此事件发生。 称此事件发生。 6、基本事件 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 7、必然事件 试验中一定发生的事称为必然事件，记作： 试验中一定发生的事称为必然事件，记作：S 。 8、不可能事件 试验中一定不发生的事称为不可能事件，记作： 试验中一定不发生的事称为不可能事件，记作： 。 ∅
d）互斥或互不相容：若 AIB ，称事件A ）互斥或互不相容： =∅ 称事件A 与事件B互斥，也称互不相容。 与事件B互斥，也称互不相容。 e）逆事件或对立事件： ）逆事件或对立事件： 若 AUB S AIB ∅ ，称事件A与事件B互 称事件A与事件B =， = 为逆事件，也称A 为对立事件。 为逆事件，也称A与B为对立事件。
三、事件的运算 a）和事件：事件A与B至少有一个发生的事件 ）和事件：事件A 称为A 的和事件。记作： 称为A与B的和事件。记作： UB。 A b）积事件：事件A与事件B同时发生的事件称 ）积事件：事件A与事件B 为A与B的积事件。记作： IB A ） 的积事件。记作： A （ B。 c）差事件：事件A发生而事件B不发生的事件 ）差事件：事件A发生而事件B 称为事件A与事件B的差事件。记作： 称为事件A与事件B的差事件。记作： −B。 A
四、事件的运算规律 a）分配律 ）
（ UB IC （ IC U BIC A ） = A ） （ ） （ IB UC （ UC I BUC A ） = A ） （ ）
b） A=A ） c）德摩根律 ）
AUB= AIB ； IB= AUB A
d） A−B= A−A = AB ） B