概率论的基本概念经典习题-1

经典习题—古典概率部分

1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。

⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-U ； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+U ；

⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则

()()()()()()(),()()P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===

， []()()()()()1()()

P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-=-， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-，

[]()()()()1()()

P A P A B P A P B A P B A P A B =+-=+U 。 ■ 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明:

⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立；

⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。

证明:由于0(),()1P A P B <<，故

⑴.若()()P B A P B A =，则()()()()()()()()1()

P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立；

⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故

()()()()()()()P AB P A P B P B A P B P A P A =

≥=。

■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。

证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=U U 。

4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。

解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故

00()()()(1)k k n k k k n k k n k n P B P A P B A C βαα-≤≤≤≤=

=-∑∑。

■ 5、进行独立重复试验，直到事件A 发生为止，若每次试验中A 发生的概率都是()0P A α=>，求A 迟早要发生的概率。

解:用k A 表示在第k 次试验中事件A 发生，B 表示A 迟早要发生，则()0k P A α=>，故

112111()()(1)1k k k k k P B P A A A A αα--≤<+∞≤<+∞=

⋅⋅⋅=-=∑∑，

只要试验中A 发生的概率()0P A α=>，则在独立重复试验中，A 迟早会发生。 ■

6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成3

N m =个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取n 个，其中3,1m n ≥≥为自然数，求所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率。

解: 以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为0a >，则将其锯成3N m =个大小相同的小立方体，就是沿三组平面: ,,,,,1,2,...,1x ia m y ja m z ka m i j k m ====-锯开，这样锯开后:

只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有38m =个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有212(2)m m =-个)，位于原来立方体表面的小立方体之两

面有色(出去顶点处的8个及棱上2m 个，共有216(2)m m =-个)，其余30(2)m m =-个是表面无色

的，用i A 表示任取的一个小立方体是i 面有色的，则

332333(2),06(2),1()12(2),28,3

i i i m m i m m i p P A m N m m i m i ⎧-=⎪⎪-=⎪===⎨⎪-=⎪

⎪=⎩若若若若， 故所取的n 个小立方体中，k 个面上有颜色的个数恰为,0,1,2,3k x k =的概率为:

03120121231232230123301230123!(2)32!()!!!!!!!!

x x x x x x x x x x x x n n p p p p m n P B x x x x m x x x x +++++-==⋅， 其中01230,,,x x x x n ≤≤为整数，且0123x x x x n +++=。 ■

7、某种商品的商标应为“MAXAM ”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM ”的概率。

解:用ij A 表示脱落的字母为商标“MAXAM ”中第,i j 个字母(从左数起)，15i j ≤<≤，用B 表示将脱落的字母放回后仍为“MAXAM ”,则

2511(),1510ij P A i j C ==≤<≤，1,(,)(1,5)(2,4)()12,(,)(1,5),(2,4)ij i j P B A i j =⎧=⎨≠⎩

若或若，故 151113()()()2180.6101025ij ij i j P B P A P B A ≤<≤==⨯

⨯+⨯⨯==∑。

■

8、设有4m ≥个人，,a b 是其中的两人，在下列情形下，分别求,a b 之间恰有k 人的概率:

⑴. 4m ≥人排成一排；

⑵. 4m ≥人排成一圈。

解:用Ω表示试验的样本空间，k A 表示所求的事件，则问题是古典概率问题。

⑴. 若4m ≥人排成一排，则!m Ω=，而事件k A 发生当且仅当“a 排在第i 个位置，而b 排在第

(1)i k ++个位置”或“b 排在第i 个位置，而a 排在第(1)i k ++个位置”

，1,2,...,1i m k =--，故2(1)(2)!k A m k m =---，从而,a b 之间恰有k 人的概率为:

2(1)(2)!2(1)(),02!(1)

k k A m k m m k P A k m m m m -----===≤≤-Ω-； ⑵. 若4m ≥人排成一圈，则此时以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第2,3,...,m 位，从而(1)!m Ω=-，而事件k A 发生当且仅当“以a 所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，b 排在第(1)k +个位置，或b 排在第(1)m k -+个位置”，故

①．若213m n =+≥为奇数，则2(2)!2(21)!,0,1,...,1k A m n k n =-=-=-，故

2(2)!21(),0,1,...,1(1)!1k k A m P A k n m m n

-=====-Ω--； ②．若223m n =+≥为偶数，则2(2)!2(2)!,0,1,...,1

(2)!(2)!,

k m n k n A m n k n -==-⎧⎪=⎨-==⎪⎩若若，故 2(2)!22,0,1,...,1(1)!121()(2)!11,(1)!121k k m k n m m n A P A m k n m m n -⎧===-⎪--+⎪==⎨Ω-⎪===⎪--+⎩

若若； 上述①②还可以统一表示为: