第8章_概率论基本概念_习题答案

14. 设事件 A,B,C 满足 P ( A) P ( B) P (C ) 1 4 ，
P ( AB ) P (CB ) 0 ， P ( AC ) 1 8 ， 求事件A,B,C至少有一
个发生的概率。
解： P ( A, B , C至少一个发生 )
1 P( A B C ) 1 P( A B C ) P( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AC ) 13 1 4 8 0.625
解：
P ( A B ) P ( B AB ) 0.4 0.28 P ( A | B) 0.3 P ( B) P ( B) 0.4 P ( AB ) P ( A AB ) 0.4 0.28 P( A | B ) 0.2 P( B ) P( B ) 1 0.4 P ( A B ) P ( B AB ) 0.4 0.28 P( B | A ) 0.2 P( A ) P( A ) 1 0.4
解：设 A=“第一次取得黑球”，则 A =“第一次取得红球”
设B=“第二次取得黑球”，则 B =“第二次取得红球”
（1）第一次取出黑球。 P ( A)
AA AB AB
4. 一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好 按照1234顺序排列的概率是多少？
解：P 14 1
A4
24
5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立 方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色的小立方 体的概率是多少？
解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个
P 0.2 0.2 0.6 0.024 P 0.8 0.2 0.6 0.6 0.0576 P 0.8 0.2 0.6 0.6 0.0576 P 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.13824
主机没有 被击落
P 0.8
P (敌军阵地没有被击中 ) 0.2 0.8 (0.024 0.0576 0.0576 0.13824 ) 0.421952
P (敌军阵地被击中 ) 1 - P (敌军阵地没有被击中 ) 1 0.421952 0.578
26. 设有5个袋子，有两个内装有2个白球1个黑球，一个内装10 个黑球，另外两个内装3个白球1个黑球。现任选一个袋子，由 其中任取1个球，求取得白球的概率。
解：用 Ai 表示选到第 i 个袋子，B 表示取得白球。
显然，工艺(2)的废品率低。
23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉，分别占总产量的25%、35% 和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中， 任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。
解：令 A1 , A2 , A3 分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，
根据 Bayes 公式：
P (该废品是甲机床生产 ) P ( A1 | B) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A3 ) P ( B | A3 ) 0.25 0.05 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.3623
E3
E5
P (支路1停止工作) 1 P ( E1正常工作) P ( E2正常工作) 1 0.7 0.7 0.51
E6
P(系统S停止工作) 0.513 0.1327
21. 制造某种零件可以采取两种工艺，(1)三道工序，每道工序
出废品的概率分别为0.2，0.1，0.1；(2)两道工序，每道工序出
16. 设有M只晶体管，其中有m只废品，从中任取2只，求所取 晶体管有1只正品的条件下，另1只是废品的概率。 解：令 A=(取到1只正品)，B=(取到1只废品)
P ( AB ) P (有一只正品的条件下， 另一只是废品) P ( B | A) P ( A)
1 1 CM C m m 1 1 2 CM C ( M m) m 2m ( M m ) CM m m 2 2 2 2 M ( M 1) m( m 1) M M m 2 m Cm C M - Cm 1 2 2 2 CM
解： P 0.95 0.59
20. 设元件 E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 停止工作的概率均为0.3，且 各元件停止工作与否是相互独立的，求系统S停止工作的概率。 解： P (系统S停止工作)
E1
3
E2Leabharlann Baidu
E4
P ( 3条支路均停止工作) P (支路1停止工作)
解：令 A=(使用到2000小时)，B=(使用到3000小时)，
则 P ( B | A)
P ( AB ) 0.87 0.9255 P ( A) 0.94
18. 五管收音机，每只电子管的寿命达到2000小时的概率为0.9，
问收音机的寿命达到2000小时的概率为多少。（假设只要有一
只电子管烧坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此 独立的。）
解：P (100小时内系统失效)
1 P (100小时内系统正常) 1 P (100小时内雷达正常) P (100小时内计算机正常) 1 0.9(1 0.12) 20.8%
P ( AB ) 0.28 ，求： 13. 设 P ( A) P ( B ) 0.4 ，
2m ( M m ) 2m ( M m ) 2 2 M m ( M m ) ( M m )( M m ) ( M m ) 2m M m 1
17. 某种电子元件，使用到2000小时还能正常工作的概率是 0.94，使用到3000小时还能正常工作的概率是0.87，求已经工 作了2000小时的元件工作到3000小时的概率。
1 C12 P 1 4 0.444 C27 9
6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字 0,1,…,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则 可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下， 能打开锁的概率。
解：号码盘所有可能的组合为10×10×10种，其中只有一种可 以开锁， 1
P (这批种子结穗含有 50颗麦粒以上) P ( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1 4
(1 0.02 0.015 0.01) 0.5 0.02 0.15 0.015 0.1 0.01 0.05 0.4825
24. 三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地， 飞机缺少无线电导航设备时就达不到目的地，这种设备装置在 主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中
P
C
3 60
38.1%
9. 设有0,1,…,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5 个，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数 字的概率是多少？ 解：抽取结果的可能组合为 10×10×10×10×10 ，抽取到5个 5 不同数字的可能组合为 C10 ，
5 C10 因此 P 5 0.25% 10
24. 播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、1.5%的 三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有 50颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05，求这批种
子结穗含有50颗麦粒以上的概率。
解：令 A1 , A2 , A3 , A4 分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含 有50颗麦粒以上，根据全概率公式：
P
10
3
0.1%
7. 有50件产品，其中4件不合格，从中随机抽取3件，求至少一 件不合格的概率。 解： P（至少一件不合格） 1 - P（所有都合格）
3 C46 1 3 22.5% C50
8. 一个纸盒中混放着60只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产 的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生 产的概率。 2 1 解： C30 C30
目标的概率为0.4，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮
阵地，每机被击落的概率为0.2 。求敌军阵地被击中的概率。
解： P ( 敌军阵地被击中 )
1 - P ( 敌军阵地没有被击中 )
分析得下图：
敌 军 阵 地 没 有 被 击 中
主机被高 射炮击落
P 0.2
只有主机到达目 的地，没有击中 目标 主机和僚机1到 达目的，都没有 击中目标 主机和僚机2到 达目的，都没有 击中目标 主机和两架僚机 到达目的地，都 没有击中目标。
由全概率公式，
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 0 5 3 5 3 5 5 4 5 4
5
0.567
27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将 球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从 罐中取出1球，求下列诸事件的概率。
废品的概率分别为0.2，0.15 。问哪种工艺的废品率低？（两种 工艺中，每道工序是彼此独立的。） 解：工艺(1)的废品率为
P1 (废品) 1 P (三道工序均不出废品 ) 1 (1 0.2)(1 0.1)(1 0.1) 0.352
工艺(2)的废品率为
P2 (废品) 1 P (两道工序均不出废品 ) 1 (1 0.2)(1 0.15) 0.32
10. 电报的密码由0,1,…,9十个数字可重复任意4个数字组成，试 求密码最右边的一个数是偶数的概率。 解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均 等的，都是 50% 。
11. 设事件 A、B、AB的概率分别为p、q、r，求：
P( A B ) P( AB) 1 r
P( A B) P((S A)B) P( B AB) q r P( A B) P((S A) B) P( S A B) 1 p r
AC B ( S A C )
（2）( A B) ( A B )
解：原式 AA AB AB BB
A AB AB A AB A
（3）( A B) ( A B ) ( A B) 解：原式 A ( A B )
（6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现 A B C （7）A、B、C中至少二个出现： AB BC AC
3. 化简下列各式： （1） ( A B) ( B C ) 解：原式 ( A B ) ( B C )
AB AC BB BC AC B AB BC AC BS AB BC AC B
P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 p q r
12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两 样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在100小时内 操作正常的概率为0.9，而计算机在操作100小时内失效的概率 为0.12，试求在100小时内控制系统失灵的概率。
第八章 概率论基本概念 习题
1. 试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。 （1）A 出现，B、C不出现：AB C （2）A 、B、C都出现：ABC （3）A 、B、C至少一个出现：A B C （4）A 、B、C都不出现：A B C
A B C AB C A BC A B C （5）不多于一个事件出现：