3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

因为 a , b ，由共面向量定理可知，存在唯一的数对(x,y)，使
n
a

n
b
因为 n 垂直于平面 内任意一条直 线，所以 n
m m
b
a b
向量证法

a
三、概念形成
概念3.平面的向量表示
空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向 量来刻画。 设A是空间任意一点， n 为空间任意一个非零向量，适合条 件 A M n 0 的点 M 的集合构成什么样的图形？ 我们可以通过空间一点和一个 非零向量确定唯一的一个与该
AB OB OA (a,b 0 , ) AC OC OA (a,0 c) ,
O z C
n
设平面 (y ABC n ,, 的一个法向量 z x ) B
y
AB ,yz b ) n x , ) ( a , ax ( , 0 by 0 则 AC ,yz 0 ) n x , ) ( a , ax ( , c cz0
n
M1
向量垂直的平面。 AM n 0
称此为平面的向量表达式。

M
A
M2
三、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
设 n1 , n 2 分别是平面 , 的法向量，则有 // 或 与 重 合 n1 // n 2
解得 y a b x z , a c x
A x
bc ,ab 令 , y ac x bc, 则 z ab n( ,ac )
a a 令 , x 1则y ,z b c
a a n (1, , ) b c
有何 关系？
三、概念形成
概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明
直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面。 已知：a , b 是平面 内的两条相交的直线，且 n a , n b 求证： n n
一、复习引入
1.直线与平面垂直的定义、判定和性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么称这条直线和这个平面垂直。 判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 则这条直线与这个平面垂直。 性质： (1)垂直于同一个平面的两条直 线平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平 面平行。
( x 1 , y 1 , z 1 ) ( 2, 0, 0 ) 0 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ( 2, 2,1) 0 x1 0 A1 2 y1 z1 0
中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
C1 B1 F E C
A1


a n


A'
B
向量证法

A'
B
一、选择题 → → 1．设 M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM＝AB，则点 B 应为 ( )
A．(－1,3，－3) C．(1，－3,3)
B．(9,1,1) D．(－9，－1，－1)
[答案] B
[解析] → → → → ∵OM＝AB＝OB－OA，
→ → → ∴OB＝OM＋OA＝(9,1,1)．故选 B.
由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个， 法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。 由于垂直于同一平面的两条直线
概念1.平面的法向量
平行，所以，一个平面的所有法 向量都是平行的。 模为1的法向量，叫做单位法向量， 记作 n 0 显然
n n0 |n|
D A x
D A
向量证法
B 利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面 的法向量互相垂直。
四、应用举例
例1.在正方体 A B C D A1 B 1 C 1 D 1 中，M，N，E，F分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点， C1 F 求证：平面AMN//平面EFDB。 D1 N E M B1 A1
已知：a , b 是平面 内的两条相交的直线，且 n a , n b 求证： n 证明：设 m 是 内任意一条直线。在 n , a , b , m 上分别取非 零向量 n , a , b , m 。
m xa yb n m n ( xa yb) x n a yn b n a 0, n b 0 nm 0 即 nm 所以 n m
→ ＝2AB，则 2．已知 A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC 3 → C 的坐标是 14 10 A．(2，－ 3 ， 3 ) 14 10 C．(2，－ ，－ ) 3 3 ( )
三、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
预备知识： 射影：已知平面 和一点A，过点A作 的垂线 l 与 交 于点 A ' ，则 A ' 就是点A在平面 内的正射影，也可简 称射影。 斜线在平面上的正射影：在直 斜线在平面上的正射影：设直 线 l 与平面 交于点B，但不 上任取一点A，作A点在平 面 和 垂直，那么直线 l 叫做 内的射影 A ' ，则平面内 直线 A ' B 叫做斜线 l 在该平 这个平面的斜线。斜线和平面 面内的射影。 的交点B叫做斜足。

AB n ( AA ' A 'B) n AA ' n A 'B n 0 因此 n A B a l
A


l
A
a

l

n
l'
m A
二、提出问题
1.如何用向量来表示空间直线与平面的垂直？ 2.直线的向量表示为 A P t a 平面怎样用向量来表达呢？
三、概念形成
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则 n 叫做平面 的法向量或说向量 n 与平面 正交。
l
A
A

A'
A'
B
三、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 已知 l 是平面 的斜线， A ' B 是 l 在平面 内的射影, 直线 a 且 a A ' B l 求证： a l
1 A D 1 ( 1, 0,1), A1 C ( 1,1, 1) A1 D B (1,1, 0 ), D C 1 (0 ,1,1) 设 n ( x , y , z ) 为平面BDC1的法向量， n D B ( x , y , z ) (1,1, 0 ) 0 n D C 1 ( x , y , z ) (0 ,1,1) 0
n b a
mm c

三、概念形成
概念1.平面的法向量
例子：正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。
A1
正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。 解：建立如图所示的坐标系A-xyz，则
D A (0 , 1, 0 ), D B 1 (1, 1,1) 设 n ( x , y , z ) 是平面ADB1的法
1 n1 A M 2 y 1 z 1 0 n AN 1 x z 0 1 1 1 2
D A B
y x
向量解法
A
利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面
的法向量平行(或共线)。
四、应用举例
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： (1)AD1//平面BDC1 ； (2)AC1⊥平面BDC1 。
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：(1)AD1//平面BDC1 ； (2)AC1⊥平面BDC1 。 证明：以D为坐标原点建立如图所示坐标系Dxyz， 设正方体棱长为1，则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1)
D1
C1
A1
C1
B1
D C
C(0,1,0),B(1,1,0),C (0,1,1)。
z
D1 B1
D B
C
yABiblioteka x y 0 y z 0
令x=1，得 n (1, 1,1)
x
向量解法
B A 利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向 量与直线平行(或共线)的向量垂直；证明直线与平面垂直 只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。
D
令z=1，得 n ( 1, 0,1)
向量证法
一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的， 我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。
例题
例1：已知点 A(a,0,0) ， (0, b,0) ， (0,0, c)，其中 abc 0 B C 求平面 ABC 的一个法向量。
解：由已知得
A B C D A1 B 1 C 1 D 1
例1.在正方体
中，M，N，E，F分别是棱
A1 B1 ，A1 D1 ，B1 C1 ，C1 D1 的中点， 求证：平面AMN//平面EFDB。 解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，则 z C1 F D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), D
已知 l 是平面 的斜线， A ' B 是 l 在平面 内的射影, 求证： a l 直线 a 且 a A ' B 证明：取向量 n // a，则 n // ，且 n A ' B A A ' , a , n A A ' 又 AB AA ' A 'B