1.1.1集合的概念
1.1.1集合的概念
(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
对
(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
课堂练习
1.课本P5练习1，2； 2.判断：
(1)所有在N中的元素都在N*中；
(2)所有在N中的元素都在Z中； (3)所有不在N*中的数都不在Z中；
(4)所有不在Q中的实数都在R中；
课堂练习
1.课本P5练习2； 2.判断：
(1)所有在N中的元素都在N*中；
(2)所有在N中的元素都在Z中；
错
(3)所有不在N*中的数都不在Z中；
(3) 方程x2－9＝0的解的集合；
请用列举法表示下列集合． (1) 小于5的正奇数； (2) 能被3整除且大于4小于15的自 然数；
(3) 方程x2－9＝0的解的集合；
(4)｛15以内的质数｝．
练习题:用列举法表示下列集合
6 (1)｛x｜ ∈Z，x∈Z｝； 3 x
如: 方程 x2x 0的解集为{1}而非{1, 1}．
问题：
4. A＝｛太平洋，大西洋｝，
B＝｛大西洋，太平洋｝是否表示为
同一集合?
集合中的元素具有以下三大特征
1. 确定性：集合中的元素必须是确定的． 2. 互异性：集合中的元素必须是互异的． 3. 无序性：集合中的元素是没有先后顺序
的，也就是说，对于一个给定集合，它与集合的关系有“属于∈”及
“不属于 ” 如: A＝｛2，4，8，16｝
4∈ A, 8∈A, 32 A .
高中数学：1.1.1集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1．1 集合的概念1．了解集合的概念． 2．理解元素与集合的关系． 3．掌握集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A ，B ，C ，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a ，b ，c ，…表示．2．元素与集合的关系 知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 的元素，就说a 属于Aa ∈A“a 属于A ” 不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于Aa ∉A“a 不属于A ”元素 意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a 和集合A ，a ∈A 与a ∉A 必居其一互异性 集合中的元素互不相同，即a ∈A 且b ∈A 时，必有a ≠b无序性集合中的元素可以任意排列顺序4集合⎩⎨⎧空集：不含任何元素，记作∅非空集合：按含有元素的个数分为⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素无限集：含有无限个元素5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内排除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2016届本科生D．满足3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是所有偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011≤x≤2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解判断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．判断一组对象构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的所有员工； ②我国的大河流； ③不大于3的所有自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点； ⑤未来世界的高科技产品； ⑥所有的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来判断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3扫一扫 进入91导学网(www ．91daoxue ．com )元素与集合的关系【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C ．【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可． 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( )A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2解析：选D ．因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0即－4<a ≤－2．集合中元素的特性已知集合P 中有三个元素a －3，2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 【解】 因为－3∈P ，a 2＋4≥4， 所以a －3＝－3或2a －1＝－3， 解得a ＝0或a ＝－1．经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1，4，满足集合中元素的互异性； a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3，5，也满足集合中元素的互异性． 综上可知，a 的值为0或－1．由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解：若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1， 即a ＝±1． 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合互异性， 所以a ≠1； 当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1， 符合互异性． 所以a ＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以判断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a ∈A 与a ∉A 取决于a 是不是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性，对任何a 与A ，在a ∈A 与a ∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而容易忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是( ) A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点 B ．平面内两边之和小于第三边的三角形 C ．新华书店中有意义的小说 D ．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B ．选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉∅；③0∈N ＋；④－3∉N ．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．①②④正确，③错误，故选C ．3．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．“book 中的字母”构成的集合中有b ，o ，k 共3个元素．4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时， 满足题意，故m ＝3． 答案：3[A 基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是( ) A ．2017年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目 B ．某学校高一年级高个子的学生 C ．2的近似值D ．2016年全国经济百强县解析：选D ．由于集合中的元素是确定的，所以D 中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数， (4)正确．故选B ．3．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析：选D ．因为a ，b ，c ，d 为集合A 中的四个元素，故a ，b ，c ，d 均不相同，故选D ．4．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A解析：选C ．因为－1＝3×0－1∈A ，故A 错； －11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A ，故B 错； －34＝3×(－11)－1∈A ，故D 错； 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A ，故C 正确．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A ．x 2＝|x |，－3x 3＝－x ． 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x ．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 含有三个元素3，4，6，且当a ∈A ，有8－a ∈A ，那么a ＝________． 解析：若a ＝3，则8－a ＝5∉A ，故a ≠3； 若a ＝4，则8－4＝4∈A ，故a ＝4合适； 若a ＝6，则8－6＝2∉A ，故a ≠6． 答案：48．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2． 即元素的个数为3． 答案：39．由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 017＋b 2 017的值．解：由a ，ba ，1组成一个集合，可知a ≠0，且a ≠1．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)， 所以a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋0＝－1．10．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R ． (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1．若－3＝a －3，则a ＝0．此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1．此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1． (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1． 当a ＝a －3时， 有0＝－3，不成立； 当a ＝2a －1时，有a ＝1， 此时A 中有两个元素－2，1， 符合题意．综上知a ＝1．[B 能力提升]11．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C ．集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．12．已知集合A 中的元素满足ax 2－bx ＋1＝0，又集合A 中只有唯一的一个元素1，则实数a ＋b 的值为________．解析：当a ≠0时，由题意可知方程ax 2－bx ＋1＝0有两个相等的实数根， 故⎩⎨⎧1＋1＝－－ba，1×1＝1a，解得a ＝1，b ＝2．故a ＋b ＝3．当a ＝0时，b ＝1，此时也满足条件， 所以a ＋b ＝1， 故a ＋b 的值为1或3． 答案：1或313．已知集合A 中含有1，0，x 这三个元素． (1)求实数x 的取值范围； (2)若x 2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x 的取值范围为x ≠1，x ≠0的实数．(2)若x 2＝0，则x ＝0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x 2＝1，则x ＝±1．当x ＝1时，集合中元素为1，0，1，舍去； 当x ＝－1时，集合中元素为1，0，－1，符合题意． 若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合元素的互异性， 所以x ＝－1．14．(选做题)某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1，2，3，…，8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8－x 号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？ (2)若有两个名额，则有多少种分派方法？解：(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M ，则有x ∈M ，8－x ∈M ． 若只有一个名额，即M 中只有一个元素，必须满足x ＝8－x ，故x ＝4，所以应该派学号为4的同学去．(2)若有两个名额，即M 中有且仅有两个不同的元素x 和8－x ，从而全部含有两个元素的集合M 应含有1，7或2，6或3，5．也就是两个名额的分派方法有3种．。
1.1.1集合的含义与表示
作业
教材Ｐ.11
Ｔ1~4.
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
费曼学习法-实操
第四步 循环强化
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人 学得慢
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
• 例3：已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且 -3∈A，求a。
例4若A=｛x|x=3n+1,n ∈ Z｝, B= ｛x|x=3n+2,n ∈ Z｝ C=｛x|x=6n+3,n ∈ Z｝
(1) 若c ∈ C，问是否有a ∈ A，b ∈ B，使得 c=a+b； （２）对于任意a ∈ A，b ∈ B，是否 一定有a+b ∈ C ？并证明你的结论；
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
1.1.1集合的概念
(4)
N，0.5
Z，0
Q，
R，π
Байду номын сангаас
N，0
Z，
Q，π
R，
N*；
Z；
Q；
R.
3.判断下列集合是有限集还是无限集.
(1)你所在班级的所有同学组成的集合；
有限集
(2)方程 + = 的所有正整数解组成的集合；有限集
(3)小于3的所有整数组成的集合；
无限集
典型例题
典型例题
【例】方程 = 的所有实数解组成的集合为，则 −
A
（用符号“ ∈ ”或“ ∉ ”填空）。
练习：如果是由方程 = 的所有解组成的集合，则 − ，
，
. （用符号“ ∈ ”或“ ∉ ”填空）
运用知识,强化练习
练习： 用符号“”或“”填空：
(4)数轴上表示大于0且小于1的所有点组成的集合. 无限集
课堂总结
➢1、集合的有关概念：集合、元素；
➢2、元素与集合的关系：属于、不属于；
➢3、集合中元素的特征；
➢4、集合的分类：有限集、无限集；
➢5、常用数集的定义及记法.
(2)某校汉字录入速度为90字符/min及以上的所有学生； 能
(3)方程( − )( + ) = 的所有实数解； 能
(4)大于−5且小于5的所有整数； 能
(5)大于3且小于1的所有实数； 能
(6)非常接近0的数. 不能；不满足元素的确定性.
2.用符号“∈”或“∉”填空.
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
1.1.1集合的概念及表示方法
教师：张友蛟
1.1集合及其运算
1.1.1集合的概念及表示方法
集合
举例1： （1）小于5的自然数，0,1,2,3,4,5； （2）中国古典四大名著； （3）云南医药健康职业学院护理x班的全体学生； （4）到线段两端距离相等的点；
举例2： 某商店进了一批货，包括：面包、牛奶、汉堡、彩笔、
例1 下列对象能否组成集合？ （1）所有小于10的自然数； （2）某班个子高的同学； （3）方程 x2 1 0的所有解； （4）不等式 x 2 0的所有解；
（三）集合的分类：
由方程的所有解组成的集合叫做这个方程的解集； 由不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集； 元素个数有限的集合叫做有限集； 元素个数无限的集合叫做无限集； 像平面上与原点 O 的距离为2厘米的所有点组成的集合那样，由平 面内的点组成的集合叫做平面点集； 由数组成的集合叫做数集，方程的解集与不等式的解集都是数集
• ①很小的数
②不超过 30的非负实数
• ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
• ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
• ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
• ⑧正三角形全体
• A.⑥⑦
D. ②③⑤⑥⑦⑧
• 练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是 （B）
• ①很小的数
水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子。那么如何将这 些商品放在指定的篮筐里？ 食品篮筐：
面包、牛奶、汉堡、果冻、薯片； 文具篮筐：
彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子
（一）集合的概念
1.集合
由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称 “集”。
组成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。
• 练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是 （）
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
学案3：1.1.1 第1课时 集合的概念
1.1.1第1课时集合的概念基础初探1.元素与集合的概念(1)集合：(2)元素：(3)集合的元素具有的三个特点：思考：根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？2．元素与集合的关系思考：元素与集合之间有哪些关系？3．空集思考：对于任意元素a ，a 与空集∅的关系是什么？4．两个集合相等5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有 元素的集合无限集：含有 元素的集合(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 6．常见的数集及表示符号思考：N 与N ＋(或N *)有何区别？基础小测1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (2)好听的歌能组成一个集合．( )(3)高一(1)班所有姓氏能构成一个集合．( )(4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个．( ) 2．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．(教材练习改编)已知集合M 中有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练}1．下列对象能构成集合的是( )①全国所有的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A ．①②④ B ．②⑤ C ．③④⑤ D ．②③④2．集合P 中含有两个元素分别为1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________． 解题策略1．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的． 2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 【补偿训练】已知A 中含有3个元素1，x ，y ，集合B 中含有3个元素1，x 2，2y ，若A ＝B ，则x －y ＝( )A ．12B ．1C ．14D ．32类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2 ＋3 ，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C ．1a∉A D ．a ＋1∉A2．集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．解题策略判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 跟踪训练1．给出下列关系：①12 ∈R ；②2 ∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3 |∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．【补偿训练】已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉A B ．－11∈A C ．3k 2－1∈AD ．－34∉A类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理)【典例】已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值． 解题策略根据集合中元素的特点求值的三个步骤跟踪训练1．(2021·西安高一检测)已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A ，2∈A ，则( ) A ．a >－4B ．a ≤－2C ．－4<a <－2D ．－4<a ≤－22．设集合M 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件． (2)若－2∈M ，求实数x 的值．【补偿训练】集合P 由1，m ，m 2－3m －1三个元素组成，若3∈P 且－1∉P ，则实数m ＝________． 备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】已知集合A 满足条件：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a ∈A .(1)若a ∈A ，求证：1－1a∈A ；(2)在集合A 中的元素能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由； 跟踪训练设数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A (x ≠1且x ≠0)，则11－x∈A . (1)若2∈A ，试证明集合A 中有元素－1，12 .(2)判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由．当堂检测1．(2021·枣庄高一检测)下列几组对象可以构成集合的是( ) A ．充分接近π的实数的全体 B ．善良的人 C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．(教材练习改编)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．73．设a ，b ∈R ，集合A 中含有3个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有3个元素0，ba ，b ，若A ＝B ，则b －a ＝( )A ．2B ．－1C ．1D ．－24．已知m ∈R ，由x ，－x ，|x |，x 2 ，－3x 3 所组成的集合最多含有元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号).参考答案基础初探1.(1) 对象(2) 每个对象(3) 确定的不同的任意排列思考：提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．a∈A思考：提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．3．任何元素∅思考：提示：由空集的定义可知，a∉∅.4．完全相同5.（1）有限个无限个6．N N*或N＋思考：提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.基础小测1．(1) ×提示：集合中的元素是互不相同的．(2) ×提示：好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3) √提示：高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4) ×提示：因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合．2．D【解析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．3．3【解析】由题意可知a ＋1＝4，即a ＝3.题型探究类型一 元素与集合的相关概念(数学抽象、逻辑推理) {题组训练} 1．D【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 2．±2【解析】由题意，得a 2＝4，a ＝±2. 【补偿训练】C【解析】根据集合元素互异性： 假设x ＝x 2，y ＝2y ，即x ＝0，y ＝0或x ＝1，y ＝0不满足条件； 假设x ＝2y ，y ＝x 2，即x ＝0，y ＝0不满足条件或者x ＝12 ，y ＝14 满足条件，所以x －y ＝12 －14 ＝14 .类型二 元素与集合的关系(数学运算、逻辑推理) 【典例】1.A【解析】选A.a ＝2 ＋3 <4 ＋4 ＝4<5， 所以a ∈A .a ＋1<4 ＋4 ＋1＝5， 所以a ＋1∈A ，a 2＝(2 )2＋22 ×3 ＋(3 )2＝5＋26 >5， 所以a 2∉A ，1a ＝12＋3 ＝3－2（2＋3）（3－2） ＝3 －2 <5， 所以1a ∈A .2．0，1，2【解析】由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x >0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63－0 ＝2∈N ，当x ＝1时，63－1 ＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2. 跟踪训练 1．B【解析】12是实数；2 是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3 |＝3 是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确． 2．解：因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1. 【补偿训练】C【解析】k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，k ＝－103 ∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误． 因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确． 类型三 由集合中元素的特点求参数(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：由题意可知，a ＝1或a 2＝a ， ①若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.②若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0. 跟踪训练 1．D【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，解得－4<a ≤－2.2．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3. (2)因为－2∈M ，所以x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 若x 2－2x ＝－2， 则x 2－2x ＋2＝0.因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0. 方程无解． 所以x ＝－2. 【补偿训练】4【解析】由题意，分两种情况：(1)若m ＝3，则m 2－3m －1＝－1，不满足题意． (2)若m 2－3m －1＝3，则m ＝4或m ＝－1， m ＝－1不满足题意，应舍去． 故m ＝4.备选类型 元素与集合的关系的综合应用(数学运算、逻辑推理) 【典例】解：(1)由a ∈A 得：11－a ∈A ，则11－11－a ∈A ， 又11－11－a＝1－a 1－a＝1－a －a＝a －1a ＝1－1a ，所以1－1a∈A .(2)假设集合A 中只有一个元素， 因为a ∈A ， 则11－a∈A ， 所以a ＝11－a，方程无解，所以假设错误，即集合A 中的元素不能只有一个实数． 跟踪训练解：(1)由题意，由2∈A 可得11－2 ＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－()－1 ＝12 ∈A .所以集合A 中有元素－1，12.(2)由题意，可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0)， 则11－x∈A ，x －1x ∈A ，且x ≠11－x ，11－x ≠x －1x ，x ≠x －1x ，故集合A 中至少有3个元素．当堂检测1．D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能构成集合．2．D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为7 .3．A【解析】由已知，a ≠0，故a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.b －a ＝2.4．A【解析】因为x ，－x ，|x |，x 2 ＝||x ，－3x 3 ＝－x 中，至多有2个不同的实数， 所以组成的集合最多含有元素的个数是2.5．②④【解析】因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．。
1.1.1集合的概念
集合中的元素是没有顺序的
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
6.集合的表示方法:列举法、描述法和图示法. ⑴ 列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，写在
大括号内表示集合的方法.
例如上述⑴、⑷组成的集合可分别表示为
{1，2，3，4，5}与{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}. 注意：1.用列举法表示集合时，不管元素的排列顺序如
何，只要所列的元素完全相同，它们表达的 就是同一个集合. 2.集合中的元素是没有重复现象的，即任何两个 相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个 集合的一个元素.
2.集合的表示:
集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示 如{1，2，3，4，5}与{练市中学的高一学生}； 又如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示， 如a、b、c、p、q……
3.集合与元素的关系:
元素对于集合的从属关系
（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a 属于A，记作a∈A （2）不属于(not belong to )：如果a不是集合A的元 素，就说a不属于A，记作aA 说明:“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
4.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
集合1.1.1
1.1.1 集合的含义与表示1．集合的含义(1)元素与集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．示例：小于5的自然数组成集合，可以记为B，它的元素是0,1,2,3,4；方程x2－x＝0的实数解组成集合，可以记为A，它的元素是0,1．谈重点对集合的理解(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象．(3)集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．(2)集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．【例1－1】下列所给的对象能构成集合的是__________．(1)所有正三角形；(2)新课标人教A版数学必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a，b，a，c．点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的．．．判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．(3)∈∉(1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．(2)符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．(3)“∈”和“∉”具有方向性．．．，左边是元素，右边是集合． 【例1－2】设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( )A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M．答案：B(4)相等集合只要构成两个集合的元素是一样的，也就是说它们的元素是完全相同的，我们就称这两个集合是相等的．【例1－3】若方程(x－1)2(x＋1)＝0的解集为A，方程x2－1＝0的解集为B，那么A与B是否相等？解：由题意知集合A中的元素为1，－1；集合B中的元素为1，－1．由定义可知A＝B．2．常用数集谈重点＋)不包括元素0．(2)通常情况下，大写英文字母N，N*，Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”；虽然正整数集有两种字母表示：N*或N＋，但是本书中主要用N*表示正整数集．【例2】用符号∈或∉填空：(1)3____N；3____Z；3____N*；3____Q；3____R．(2)3.1____N；3.1____Z；3.1____N*；3.1____Q；3.1____R．解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．(1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3∈N；3∈Z；3∈N*；3∈Q；3∈R．(2)因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N*；3.1∈Q；3.1∈R．答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈3．集合的表示法(1)自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．(2)列举法(1)当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；(2)元素间用“，”分隔开；(3)元素不能重复，不考虑顺序；(4)集合元素个数较多或无限时(无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号，如正整数集可表示为{1,2,3,4，…}．【例3－1】用列举法表示下列集合：(1)15以内质数的集合；(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点组成的集合．分析：(1)质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此数自身外，不能被其他自然数整除的数；(2)中要明确方程x(x2－1)＝0的实数根有哪些；(3)中要明确一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点有哪些，应怎样表示．解：(1){2,3,5,7,11, 13}；(2)解方程x(x2－1)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，故方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,0,1}；(3)解方程组,21,y xy x=⎧⎨=-⎩得1,1,xy=⎧⎨=⎩因此一次函数y＝x与y＝2x－1的图象的交点为(1,1)，故所求的集合为{(1,1)}．(3)谈重点用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系；(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}，{正方形}等．【例3－2】用描述法表示下列集合：(1)所有的偶数组成的集合；(2)不等式2x－4＞0的解集．解：(1)偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数组成的集合用描述法表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设不等式2x－4＞0的解集记为A，x为集合A中元素的代表符号，其共同特征是2x－4＞0，则A＝{x|2x－4＞0}；解不等式2x－4＞0，得x＞2，则也可以表示为A＝{x|x＞2}．【例3－3】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解：(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1＜x＜7，因此，用描述法表示为{x∈Z|－1＜x＜7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．4．集合元素的特征的应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一．考查一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准)．(2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素．例如：方程x 2＝0的两个根x 1＝x 2＝0，用集合记为{0}，而不能记为{0,0}．【例4】下列说法正确的是( )A ．数学成绩较好的同学可以组成一个集合B ．所有绝对值接近于零的数组成一个集合C ．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D ．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合解析：对于A 项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于B 项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于C 项，集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，是相等集合，因此正确；对于D 项，1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故不正确． 答案：C5．元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于．用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A ．用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时相对比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……其次要清楚元素的共同特征是什么；最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．描述法表示的集合形式为{x |x ∈P (x )}，其中P (x )为该集合元素的共同特征．例如，集合B ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }，则该集合元素的一般符号是x ，其共同特征是x ＝3n －1，n ∈Z ，即集合B 中的元素是整数，并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合B 的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可．设3n －1＝16，解得n ＝173，则16不能等于3的整数倍减去1，所以16∉B ．设3n －1＝17，解得n ＝6，则17等于3的6倍减去1，所以17∈B ．【例5－1】设集合6|2B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N N ． (1)试判断元素1,2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B ．分析：判断集合B 与元素1,2的关系，只要代入验证即可．解：(1)当x ＝1时，621+＝2∈N ． 当x ＝2时，62＋2＝63222=∈+N ．因此1∈B,2∉B ． (2)∵62x+∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6． ∴x 只能取0,1,4．∴B ＝{0,1,4}．【例5－2】若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}且－3∈A ，求实数a 的值．错解：若a －3＝－3，则a ＝0；若2a －1＝－3，则a ＝－1；若a 2－4＝－3，则a ＝±1．综上可知，a ＝0或a ＝±1．错因分析：由于－3∈A ，故应分a －3＝－3,2a －1＝－3，a 2－4＝－3三种情况讨论，这是正确的，但求出a 值后，应验证其是否满足集合的互异性，错解在于没有验证，导致出现增解．正解：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意；(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足题意；(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意，当a ＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a ＝0或a ＝1．6．集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，既要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来．如方程x 2＝1组成的集合是{－1,1}，而该集合可描述为x 2＝1的解集，或绝对值为1的数等．(2)使用描述法时，需注意以下几点：①写清楚该集合中的代表元素．例如，集合{x ∈R |x ＜1}不能写成{x ＜1}．②集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关．例如，集合{x ∈R |x ＜1}也可以写成{y ∈R |y ＜1}．③所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表述方式不符合要求，需将k ∈Z 也写进大括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．④在不致引起混淆的情况下，所有的非负数组成的集合可记为{x |x ≥0}．当集合是数集时，在没有标明x 范围的前提下，我们认为x 的值是使式子有意义的所有值．如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x y y 1，此时我们认为x ∈R 且x ≠0．由反比例函数的性质，可知该集合可化为{y |y ∈R ，且y ≠0}．当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为{x |x 是四边形}．在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成{四边形}．“所有四边形组成的集合”不能写成{所有四边形}，因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”“全部”等意义的词．(3)对某一个具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的，如{x |x 是自然数中三个最小的完全平方数}，还可以表示为{0,1,4}．方法的选择要因题而异．【例6(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解． 解：(1)由于|x |≤2且x ∈Z ，所以x 值为－2，－1,0,1,2．故绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{－2，－1,0,1,2}．另外本题用描述法可表示为{x ∈Z ||x |≤2}．(2)解方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩得0,1.x y =⎧⎨=⎩因此用列举法表示方程组1,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{(0,1)}． 【例6－2】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界)的点的集合．分析：由于是坐标平面内的点集，所以代表元素可以用有序实数对(x ，y )，x ，y 的范围可结合图形写出．解：(1)设阴影部分的所有点构成集合A ，则集合A 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知－1≤x ≤1，－1≤y ≤1，所以A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}．(2)设阴影部分的所有点构成集合B ，则集合B 中的元素是点，设为(x ，y )．由图形知：－1≤x ≤1，y ∈R ，所以B ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，y ∈R }．【例6－3】下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析：对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．解：(1)它们是互不相同的集合．(2)∵集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，∴{x |y ＝x 2＋1}＝R ；∵集合②{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，∴{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；∵集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，∴{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．点技巧 对用描述法表示的集合的理解 用描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．数集和点集常常会混淆．7．集合相等的应用两个集合相等，是指构成这两个集合的元素完全相同．也就是说，若两个集合相等，则这两个集合中的元素个数相同，并且对于其中一个集合中的任一元素，在另一个集合中都能找到这个元素．例如：若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b ． 解：因为A ＝B ，所以方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集是{－1,3}，那么－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，则13,13,a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩解得2,3.a b =-⎧⎨=-⎩【例7】若含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a 2 012＋b 2 013的值．分析：由题意知，集合,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与集合{a 2，a ＋b,0}相等，由集合相等的定义，列出关于a ，b 的方程组，解出a ，b ，进而求a 2 012＋b 2 013的值．解：由已知集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得a ≠1且a ≠0． 由题意得21,,0a a a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩或21,,0,a b a a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩解得1,0a b =-⎧⎨=⎩或1,0.a b =⎧⎨=⎩ 经检验知1,0,a b =⎧⎨=⎩不满足集合中元素的互异性，应舍去． 因此1,0a b =-⎧⎨=⎩故a 2 012＋b 2 013＝1． 点技巧 由集合相等求参数的技巧 应从集合相等的定义入手，寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，则需分类讨论．．．．，同时要注意利用集合中元素的互异性．．．对求得的结果进行检验．．．．8．方程、不等式等知识与集合交会问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式的问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的共同特征，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手．例如，集合A ＝{x |ax －1＜0}的元素是关于x 的不等式ax －1＜0的解，当a ＝0时，这个不等式化为－1＜0，此时不等式的解集为实数集R ，当a ≠0时，这个不等式是关于x 的一元一次不等式．如果忽视a ＝0，那么就会导致出现错解．(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及数学思想(转化思想、分类讨论思想)的综合应用．【例8】已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．分析：本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题．(1)A 是单元素集合，说明方程有唯一根或有两个相等的实数根．(2)A 中至少有一个元素，说明方程有一根或两根．解：(1)当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝0，即9－8a ＝0，解得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意．综上所述，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当a ≠0时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． (2)由(1)知，当a ＝0时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有实数根，则Δ≥0，即9－8a ≥0，解得a ≤98．综上所述，若A 中至少有一个元素，则a ≤98．辨误区 对方程ax 2＋bx ＋c ＝0的错误认识 “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2－3x ＋2＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在一元二次方程这种情况下，才能用判别式Δ来解决．因此解决二次项系数含参数．．．．．．．．的方程或不等式问题时，应分二次项系数为．．．．．．0．和．不为．．0．两种情况进行讨论． 9．与集合有关的创新题(1)能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用是新课标对本节课的要求．因此高考更多地将集合作为一种语言来考查．其中不乏一些创新题．(2)与集合有关的创新题主要以集合的表示法和元素与集合的关系为背景，常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题．(3)解决这类问题时，要紧扣所给的新背景或新定义．其所用到的集合知识往往是比较基础的，主要是集合的含义和表示法、集合的性质、元素与集合的关系等．【例9－1】定义集合运算A B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：根据A B 的定义，当x ＝0时z ＝0；当x ＝1时，若y ＝2，则z ＝6，若y ＝3，则z ＝12．因此集合A B 的所有元素和为18． 答案：D【例9－2】已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：先分析“孤立元”的含义，再根据不含“孤立元”的条件写出所有不含“孤立元”的集合，最后确定个数．依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合包括：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个，应填6． 答案：6。
(新教材)【人教A版】高一数学《1.1.1集合的含义》
【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立. 2.选A.a= + < + =4<5, 所以a∈A. a+1< + 2 +1=35, 4 4 所以a+1∈A,
44
a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a22∉A, 2 3 3
6
=
<5,
所1 以 ∈1A.
3 2
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
1.元素与集合 (1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁 字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素. 1 a
1
1 a
3
【解析】因为
1
∈A,所以
1
1 3
=2∈A,所以
1
2
=
3
1 1
1 2
-3∈A,所以1 3=-
1
∈A,所以
3 1
1 2
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1∈A.故当 1 ∈A
13 2
1 1 3
3
2
时,集合中的其他元素为2,-3,- 1 .
31 22
含有4个元素.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3 个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.
高一数学教案：1.1.1《集合的概念》 人教A版必修1
1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）有关概念:1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
高中数学：第1章 1.1.1 集合的概念
1．1 集合与集合的表示方法1．1.1 集合的概念1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)基础·初探]教材整理1元素与集合的相关概念阅读教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列问题．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的“帅哥”组成集合．()(2)漂亮的花组成集合．()(3)联合国常任理事国组成集合．( )【解析】 (1)不正确．因为“帅哥”没有统一标准，即元素不确定，不能组成集合．(2)不正确．因为什么样的花是漂亮的花不确定，不能组成集合．(3)正确．因为联合国常任理事国是确定的，所以能组成集合．【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 元素与集合的关系阅读教材P 3“最后一行”～P 4“第6行”以上的内容，完成下列问题．1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .用符号“∈”或“∉”填空：0__________∅，－12________Z ，π __________Q ，4________Q ，|－4|________N *.【解析】 根据常见数集及其记法进行判断．【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈教材整理3 集合的特性及分类 阅读教材P 4“思考与讨论”以下～P 4“练习A ”以上的内容，完成下列问题．1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合的分类(1)有限集：含有有限个元素的集合．(2)无限集：含有无限个元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R已知集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为() A．0B．1C．－1 D．1或－1【解析】当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【答案】 C小组合作型]集合的概念．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2016年里约热内卢奥运会的年轻运动员；⑥2的近似值的全体.【导学号：60210000】【精彩点拨】判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．【自主解答】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”未明确精确到什么程度，因此很难断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．【答案】①③④判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.再练一题]1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．佛冈中学高一班的全体男生B．佛冈中学全校学生家长的全体C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛冈中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；B中，佛冈中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D.【答案】 D元素与集合的关系给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2D．1【精彩点拨】首先明确字母R、Q、N、Z的意义，再判断所给的数与集合的关系是否正确．【自主解答】R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．【答案】 C1．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．2．解决本例及类似问题要准确记忆数集Q，N，R及Z的含义，防止因混淆其含义而出现失误．再练一题]2．用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x 表示，显然(0,0)、(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.【答案】∈∈∉探究共研型]集合中元素的特性探究1100米的楼能否组成一个集合？集合的定义中“某些确定的”含义是什么？【提示】“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼能组成一个集合，因为标准是确定的．集合的定义中“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．探究2“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？【提示】两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．探究3若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？【提示】因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.若集合A中的三个元素分别是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求实数a的值．【精彩点拨】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．【自主解答】(1)若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中的三个元素分别是－3，－1，－4，满足题意；(2)若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中的三个元素分别是－4，－3，－3，不满足题意；(3)若－3＝a2－4，则a＝±1.当a＝1时，集合A中的三个元素分别是－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．综上可知，a＝0或a＝1.1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.再练一题]3．若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．【解】∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此时集合A中有三个元素－2,1，－3，符合题意．故所求a的值为1.1．下列对象不能构成集合的是()①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①②B．②③C．①②③D．①③【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.【答案】 D2．下列三个关系式：①5∈R ；②14∉Q ；③0∈Z .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 ①正确；②因为14∈Q ，错误；③0∈Z ，正确．【答案】 B3．已知集合A 中只有一个元素1，若|b |∈A ，则b 等于( )【导学号：60210001】A ．1B ．－1C ．±1D ．0【解析】 由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.【答案】 C4．a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，那么以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.【答案】 D5．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集，当a ，b 满足什么条件时，方程的解集含有一个元素？含有两个元素？【解】 当a 2－4b ＝0时，方程的解集含一个元素；当a2－4b>0时，方程的解集含两个元素．。
人教版高中数学必修一1.1.1_集合的含义与表示ppt课件
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
1.1.1 集合的概念
1.1.1 集合的概念教材知识检索考点知识清单1．集合、元素 （1）集合：一般地'把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 构成的集合（或集），通常用____表示．(2)元素：构成集合的 叫做这个集合的元素（或成员），通常用 表示． 2. 元素与集合的关系(1)如果 ，就说a 属于“A ”，记作 ．(2)如果 ，就说a 不属 于A ，读作“a 不属于A ”，记作 。
3.集合中元素的性质特征 (1) ;(2)____ ;(3)____ . 4.集合的分类5.常见的数集的专用符号自然数集 ，正整数集 ，有理数集 ，实数集 .要点核心解读1．集合集合是一个原始概念，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．集合一般用英语大写字母表示，集合中的元素一般用英语小写字母表示． 2．元素与集合之间的从属关系如果a 是集合A 的元素，称a 属于A ，记作,A a ∈否则.A a ∉ 3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(1)确定性：对于集合A 和某一对象x ，有一个明确的判断标准可以鉴定,A x ∈还是,A x ∉二者必居其一，而且只居其一．(2)互异性：集合中没有相同的元素．如方程0122=+-x x 的解集用集合记为{1}，丽不能记作{1，l}．(3)无序性：集合中的元素是不排序的．如集合{l ，2}与{2，1}是同一个集合，4．集合的类型含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集；不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅．5．特定集合的记法N(自然数集),N *或N+（正整数集） ，z （整数集），Q （有理数集），R(实数集)． 6．需要注意的几个问题．(1)符号””““∉∈只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系，如.*0,0N N ∉∈ 除此之外，””““∉∈没有其他用途． (2)无论何时何地，“∅∈x ”的写法都是错误的，∅∉x 是永恒的真理．(3)a 与{a}是不同的，a 表示一个元素，{a}表示 由一个元素a 构成的集合，一般称{a}为单元素集，特别地；O 与{0}是不同的．(4){O}与∅是不同韵，{0}表示由一个 元素O 构成的集合，∅是不含任何元素的集合.典例分类剖析考点1 集合的有关概念问题【例1】考查下列每组对象： (1)著名的数学家；， (2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程092=-x 在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．其中能构成集合的是( )．)3)(1.(A )3)(2.(B )4)(3.(C )5)(2)(1.(D[试解]： ．（做后再看答案，发挥母~功能）[解析] (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家？不能构成一个集合，类似地，(2)也不能构成集合．(3)任给一个实数x ， 可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“20200>≤≤x x ”与“或,0”<x 两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合，类似地，(4)也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“ 一些点”中无法确定，因此“ 直角坐标平面内第一象限的一些点” 不能构成集合. [答案] C[点拨] 由一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性其中“整体” 一语说明 集合是指某些对象的整体，而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是集合的元素，要么不是集合的元素二者必居其一，这就是集合的确定性．母体迁移 1．下面各组对象能否构成集合： (1)所有漂亮的人；。
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高一数学导学案
编号：教学课题课型主备教师把关教师使用教师使用时间、班级
集合的概念新授课
学习目标：1.理解集合的概念，会判断元素与集合的关系；
2.理解集合中元素的性质，熟记常用数集的符号。
学习重点、难点：集合的有关概念。
教学过程
教学设计一、课前预习
1.一般地，把一些能够的对象看成一个，就说这
个整体是由这些对象的全体构成的集合，构成集合的每个对象叫做这个集合的。
根据生活实际，举几个集合的例子：
2.如果a是集合A的元素，就说，记作。
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作。
3.一般地，我们把的集合叫做空集，记作。
4.集合中的元素具有性、性和性。
5.集合根据它含有的元素的个数可分为和。
6.常用数集的符号表示：
自然数集，记作；正数数集，记作；
整数集，记作；有理数集，记作；
实数集，记作。
教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！
二、合作探究展示
探究一：判断下列说法是否正确，并说明理由：
⑴某个单位里的年轻人组成一个集合。
⑵1，
23，46，2
1
-，21等数组成的集合有五个元素。
⑶由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。
引申：
1.已知集合{}c b a S ,,=中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是（ ） A.锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
2.由2
a ，a -2，4组成一个集合，A 中含有三个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A.1 B.-2 C.6 D.2
探究二：下列命题中正确命题的个数为（ ） ①N 中最小的元素是1； ②若N a ∈，则N a ∉-；
③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最小值是2.
A.0
B.1
C.2
D.3
补充深化
认真听讲是学习高效的捷径！
三、课堂小结
四、当堂练习
1.下列给出的对象中，能表示集合的是（ ） A.一切很大的数 B.无限接近零的数 C.聪明的人
D.方程22
-=x 的实数根
2.由下列对象组成的集体属于集合的是（ ） ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市； ④平方后等于自身的数；
⑤高一（2）班中考试成绩在500分以上的学生. A.①②③ B.③④⑤ C.①④⑤ D.①②④ 3.在第2题中，有限集合的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4用符号“∈”或“∉”填空：
0 N; 0 Ø ; 2
1
- Z ；
π Q ; 30sin Q ； 30cos Q 。
5.方程0)3)(2()1(2
=-+-x x x 的解集中含有 个元素。
6.已知{
}
33,)2(,2a 2
2++++=a a a A 且A ∈1，求是实数a 的值。
学生总结
积极思考 勤于动手 天才来自勤奋 ！
五、课后巩固作业
1.下面给出的四类对象中，能构成集合的是（ ） A.某校个子较高的同学 B.速度比较快的汽车 C.无限接近于
3
1
的实数 D.倒数等于它本身的实数x
2.a ，a ，b ，b ，a 2；b 2构成集合M ，则M 中元素的个数最多是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3
3.已知z y x ,,为非零实数，代数式xyz
xyz
z z y y x x +
++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）
A.M ∉0
B.M ∈2
C.M ∉-4
D.M ∈4
4.设L （A,B ）表示直线AB 上全体点组成的集合，“P 是直线AB 上的一点”这句话就可以简单地写成P L （A,B).
5.对于自然数集N ，若N a ∈，N b ∈，则b a + N ,ab N 。
6.判断下列语句是否正确：
⑴由1，2，2，4，2，1构成一个集合，这个集合共有6个元素； ⑵1995年末世界上的人构成一个无限集；
⑶某一时刻，地球的所有卫星构成的集合是无限集； ⑷所有三角形构成的集合是无限集
⑸周长为20cm 的三角形构成的集合是有限集。
学生问题反馈
教后记
落 实 是 成 功 的 保 证！。