重庆市万州中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。
2014年高考语文备考重庆市万州二中12月月考
2014年高考语文备考（99）重庆市万州二中12月月考高考模拟2010-12-22 1134万州二中高2014级高三上期12月月考一、（共12分，每小题3分）1．下列各组词语中加点的字，读音和书写全都正确的一组是A．精萃（cuì）缉私（jī）图穷匕见（xiàn）未雨绸缪（mú）B．妊娠（shēn）船舱（cāng）一笔勾销（xiāo）徇私舞弊（xùn）C．碑帖（tiě）隽永（jùn）灯火阑姗（shān）矫揉造作（jiǎo）D．炽热（chì）喟叹（kuì）妍嗤毕露（chī）审时度势（dù）2．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是①不少“形象工程”的背后，往往隐藏着双重的利益______：政治上以政绩求得上级提拔，经济上以项目捞取一己实惠。
②文学需要深厚的文化_____和深沉的人文精神，没有这些则只能流于一般的情感宣泄和浅薄的心灵安慰。
③“人有七情六欲”这固然不错，但_____物欲怎样膨胀，_____不应该折损祖国在心目中的光芒和庄严。
A．趋向内涵纵然／也 B．趋向蕴涵纵然／也C．取向内涵无论／都 D．取向蕴涵无论／都3．下列句中标点符号使用正确的一句是（）A．昨天的作业太多了，能全部完成的同学，只不过占全班十分之二、三。
至于完成的质量就更不好说了。
B．在海边他写浪花，写礁石；在山顶他写青松，写老藤；在田野他写春花，写秋月。
真可谓“远山近水皆有情。
”C．毛泽东同志也强调过，讲话写文章“都应当简明扼要”。
我国历代作家常以“意则期多，字则唯少”作为写文章的准则。
力求“句句无余字，篇中无长语”。
（姜夔《白石诗说》）D．你是坐汽车来呢，还是坐火车来呢，或者索性坐飞机呢？赶快给我个准信儿。
4、下列各句中，没有语病、表意明确的一句是（）A．即使成功就在眼前，他都没有慧眼去发现，因为失败沮丧的情绪已经给他的心灵设置了一层屏障。
B．从公元前21世纪的夏朝，我国进入到奴隶社会，中国历史翻开了新的一页。
数学理卷·2014届重庆市万州区高三第一次诊断性监测(2014.01)
高2014级一诊考试理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1～5 ABDDC 6～10 ADAAD二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）14～16三题为选做题，若三题全做，则按前两题给分.11．212- ； 12．23π； 13．2； 14； 15．2sin ρθ=； 16.30a -≤≤. 三．解答题：(本大题共6小题，共75分) 17．（本小题满分13分） 解：（1）记评估小组中甲、乙两名专家被分配在同一所学校的事件为F那么 P(F)=101A C A 442534=所以甲、乙两名专家不在同一所学校的概率为：P(F )=1－P(F)=109………… 6分 （2）随机变量ξ的可能取值为1,2，则P(ξ=2)= 41A C A C 44253325=；P(ξ=1)=1－P(ξ=2)=43所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望E ξ=1×43+2×41=45……………… 13分18．（本小题满分13分）解：(1)∵()()cos sin ,cos sin ,2sin m x x x n x x x ωωωωωω=+=-0ω>∴()f x m n =⋅ ＝x x x x ωωωωsin cos 32sin cos 22+-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=62sin 22sin 32cos )(πωωωx x x x f ∵函数f (x )的周期为π，∴1,22=∴==ωπωπT ……………… 5分 (2) 在△ABC 中.1)62sin(2,1)(=+∴=πB B f ∴21)62sin(=+πB ………… 6分又∵0＜B ＜π，∴6π＜2B ＋6π＜π613 ∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π ……………… 8分 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ． ……………… 9分∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4222c a c a ac +-+=．化简得a ＝c 又∵B ＝3π，∴△ABC 为正三角形 ……………… 13分 19．（本小题满分13分）（1）由n n S b -=2，令1n =，则111112,,1b S b S b =-=∴= ……… 2分 当2n ≥时，由n n S b -=2，可得()11n n n n n b b S S b ---=--=- 即112n n b b -=，∵10b ≠，∴112n n b b -=∴{}nb 是以11b=为首项，12为公比的等比数列 ……… 6分 ∴{}n b 通项公式为112n n b -= ……… 7分（2）由数列{}n a 为等差数列，13,975==a a ，可得()()7511139222d a a =-=-=即11a = ， ∴21n a n =- ……… 8分 从而()11212n n n n c a b n -==-⋅……… 9分 ∴ 2313572112222n n n T --=+++++ …①23411135723212222222n n n n n T ---=++++++ …② ①－②得23411222222112222222n n nn T --=++++++-1211121121232212331222212n n n n n n n n --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+⋅-=--=--∴ 12362n n n T -+=-……… 13分 20．（本小题满分12分）（1）1'()(2)(1),(0),'(0)2ax f x e ax x f f a=+-=-=- 所以切线方程为120x y a ++=……………… 6分 （2()0,(1)0f f a ->< (1)a f e a∴=-为最小值1330,a e x a a a ⎡⎫∴-+≥∈-+∞⎪⎢⎣⎭对恒成立 (]0,ln 3a ∴∈……………… 12分21．（本小题满分12分）解：（1）椭圆的顶点为(0，即b，e ＝ca＝所以a∴ 椭圆的标准方程为 x 23＋y 22＝1 ……………5分（2）设直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝k (x －1)得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， ∴ x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(6k22＋3k 2)2－4(3k 2－62＋3k 2)]……………8分 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx 消去y ，并整理得x 2＝62＋3k 2设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则 |AB|＝1＋k 2|x 3－x 4|＝26(1＋k 2)2＋3k 2……………10分∴6 ……………12分 22．（本小题满分12分）解：(1)将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y ＝f (x )的图象∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0, 0)对称，即函数y ＝f (x )是奇函数……………………1分 ∴f (x )＝a 1x 3＋a 3x ，∴f ' (x )＝3a 1x 2＋a 3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+=-'32)1(03)1(3131a a f a a f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧-==13131a a 则f (x )＝31x 3－x ，经检验满足题意 …………………… 3分(2) 证明：由(1)知g (x )＝x ，∴当x ＞0时，不等式)()(11x g x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+＜e ，即为：xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11＜e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔x x 11ln ＜1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔x 11ln ＜x 1．………… 5分构造函数h (x )＝ln(1＋x )－x （x ＞0），则h' (x )＝x+11－1＝x x +-1＜0∴函数h (x )在(0, ＋∞)上是减函数．∴x ＞0时，h (x )＜h (0)＝0，即x ＞0时，ln(1＋x )＜x 成立 …… 7分 用x 1换x 得，x ＞0时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ＜x 1成立∴当x ＞0时，)()(11x g x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+＜e ……8分(3) b n ＝11+n n，由(2))2)(1()2)(1(1)()(+++++n n n n n n b b ＝21)1(+++n n n n＝nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+1112＜2)1(n n e +＜2)1(3n n + …………9分令2)1(3nn +＜1，得n 2―3n ―3＞0，结合n ∈N *得n ≥4 因此，当n ≥4时，有()()()()()()121121n n n n n n b b +++++< ∴当n ≥4时，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞… ……………10分 又通过比较b 1、b 2、b 3、b 4的大小知b 1＜b 2＜b 3＜b 4 因为b 1＝1，且n ≠1时，b n ＝11+n n≠1所以若数列{ b n }中存在相等的两项，只能是b 2、b 3与后面的项可能相等 又b 2＝312＝918＝b 8，b 3＝413＞b 5＝615所以数列{ b n }中存在唯一相等的两项，即b 2＝b 8 ……… 12分。
高一数学上学期第一次联考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市新锐私立学校、水口中学2014-2015学年高一上学期第一次联考数学试卷一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则（C U S）∩（C U T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}2．（5分）如果A={x|x＞﹣1}，那么（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A3．（5分）已知，则f{f}的值为（）A．0 B．2 C．4 D．84．（5分）已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．f（x）=x2+6x B．f（x）=x2+8x+7 C．f（x）=x2+2x﹣3 D．f（x）=x2+6x﹣10 5．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．6．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值X围是（）A．C．7．（5分）下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）=B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）=D．f（x）=1，g（x）=x08．（5分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．9．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f的解集是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（2，）10．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（2）=6，则f（﹣2）=（）A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．10二．填空题（每题5分，共25分）11．（5分）若A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}则A∩B=．12．（5分）函数y=x2﹣4x+6当x∈时，函数的值域为．13．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，则M∩N等于．14．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，则f（x）=．15．（5分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}的子集只有两个，则a的值为．三、解答题：解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．（合计80分）16．（10分）设A={x∈Z|﹣6≤x≤6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求：（1）A∩（B∩C）；（2）A∩∁A（B∪C）17．（10分）设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}（1）求a，b的值及A，B；（2）设全集U=A∪B，求（C U A）∩（C U B）．18．（10分）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈．（1）设t=3x，x∈，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．19．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0，f（x）=x2﹣2x，（1）画出 f（x）图象；（2）求出f（x）的解析式．20．（11分）已知函数f（x）=，x∈，（1）用定义法证明函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）的最小值和最大值．21．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f （y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值；（2）若f（3）+f（a﹣8）＜2，某某数a的取值X围．某某省某某市新锐私立学校、水口中学2014-2015学年高一上学期第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则（C U S）∩（C U T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U，找出不属于集合S的元素，求出S的补集，找出不属于集合T的元素，求出T的补集，找出两补集的公共元素，即可确定出所求的集合．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，∴C U S={2，4，6，7，8}，C U T={1，2，4，5，7，8}，则（C U S）∩（C U T）={2，4，7，8}．故选B点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，其中补集即为全集中不属于集合的元素组成的集合，交集即为两集合的公共元素组成的集合，在求补集时注意全集的X围．2．（5分）如果A={x|x＞﹣1}，那么（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A考点：集合的包含关系判断及应用．专题：探究型．分析：利用元素和集合A的关系，以及集合Φ，{0}中元素与集合A的元素关系进行判断．解答：解：A.0为元素，而A={x|x＞﹣1}，为集合，元素与集合应为属于关系，∴A错误．B．{0}为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴B错误．C．∅为集合，集合和集合之间应是包含关系，∴C错误．D．{0}为集合，且0∈A，∴{0}⊆A成立．故选D．点评：本题考查了元素和集合以及集合与集合之间的关系．元素与集合之间应使用“∈，∉”，而集合和集合之间应使用包含号．3．（5分）已知，则f{f}的值为（）A．0 B．2 C．4 D．8考点：函数的值．专题：计算题．分析：欲求f{f}的值应从里向外逐一运算，根据自变量的大小代入相应的解析式进行求解即可．解答：解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f}=f（f（0））=f（2）=4故选C．点评：本题主要考查了分段函数求值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于基础题．4．（5分）已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A．f（x）=x2+6x B．f（x）=x2+8x+7 C．f（x）=x2+2x﹣3 D．f（x）=x2+6x﹣10考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：换元法；函数的性质及应用．分析：【方法﹣】用换元法，设t=x﹣1，用t表示x，代入f（x﹣1）即得f（t）的表达式；【方法二】凑元法，把f（x﹣1）的表达式x2+4x﹣5凑成含（x﹣1）的形式即得f（x）的表达式；解答：解：【方法﹣】设t=x﹣1，则x=t+1，∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（t）=（t+1）2+4（t+1）﹣5=t2+6t，f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；【方法二】∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5=（x﹣1）2+6（x﹣1），∴f（x）=x2+6x；∴f（x）的表达式是f（x）=x2+6x；故选：A．点评：本题考查了函数解析式的常用求法的问题，是基础题．5．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义．解答：解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，解答的关键是保证构成函数式的每一部分都要有意义，属基础题．6．（5分）若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值X围是（）A．C．考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a ﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．解答：解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a≤﹣故选B．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．7．（5分）下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）=B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）=D．f（x）=1，g（x）=x0考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可．解答：解：A．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数．C．函数g（x）=x2，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．D．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．故选C．点评：本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同．8．（5分）下列图象中表示函数图象的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数的概念及其构成要素．专题：作图题．分析：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应可求解答：解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C点评：本题主要考查了函数定义与函数对应的应用，要注意构成函数的要素之一：必须形成一一对应或多对一，但是不能多对一，属于基础试题9．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f的解集是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（2，）考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：把函数单调性的定义和定义域相结合即可．解答：解：由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数得，⇒2＜x＜，故选 D．点评：本题考查了函数的单调性的应用，是基础题，本题易错点是不考虑定义域．10．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（2）=6，则f（﹣2）=（）A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．10考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f（2）=6，可求f （﹣2）的值．解答：解：∵f（x）=ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4=﹣8∴f（x）+f（﹣x）=﹣8∵f（2）=6∴f（﹣2）=﹣14故选A．点评：本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f（x）+f（﹣x）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广．二．填空题（每题5分，共25分）11．（5分）若A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}则A∩B={0，3}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：将A中的元素代入x=3a中计算确定出B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={x|x=3a，a∈A}={0，3，6，9}，∴A∩B={0，3}．故答案为：{0，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．（5分）函数y=x2﹣4x+6当x∈时，函数的值域为．考点：函数的值域；二次函数的性质．专题：计算题．分析：先对二次函数进行配方找出对称轴，利用对称轴相对区间的位置求出最大值及最小值，得函数的值域．解答：解：∵y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，x∈∴当x=2时，y min=2；当x=4时，y max=6∴函数的值域为故答案为：点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值，属于基本试题，关键是对二次函数配方后，确定二次函数的对称轴相对闭区间的位置，以确定取得最大值及最小值的点．13．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，则M∩N等于{（3，﹣1）}．考点：交集及其运算．分析：集合M，N实际上是两条直线，其交集即是两直线的交点．解答：解：联立两方程解得∴M∩N={（3，﹣1）}．故答案为{（3，﹣1）}．点评：本题主要考查了集合的交运算，注意把握好各集合中的元素．14．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，则f（x）=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；方程思想．分析：由2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，用﹣x代入可得2f（﹣x）+3f（x）=x2﹣x，由两式联立解方程组求解．解答：解：∵2f（x）+3f（﹣x）=x2+x，①∴2f（﹣x）+3f（x）=x2﹣x，②得：f（x）=故答案为点评：本题主要考查函数的解析式的解法，主要应用了方程思想求解．15．（5分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}的子集只有两个，则a的值为0或1．考点：子集与真子集．专题：探究型．分析：根据集合A的子集只有两个，则说明集合A只有一个元素，进而通过讨论a的取值，求解即可．解答：解：∵集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}的子集只有两个，∴集合A只有一个元素．若a=0，则方程ax2+2x+1=0，等价为2x+1=0，解得x=﹣，方程只有一解，满足条件．若a≠0，则方程ax2+2x+1=0，对应的判别式△=4﹣4a=0，解得a=1，此时满足条件．故答案为：0或1．点评：本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，注意对a进行讨论，防止漏解．三、解答题：解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．（合计80分）16．（10分）设A={x∈Z|﹣6≤x≤6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求：（1）A∩（B∩C）；（2）A∩∁A（B∪C）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）由B与C求出B与C的交集，找出A与B月C交集的交集即可；（2）根据全集A求出B与C并集的交集，再求出与A交集即可．解答：解：（1）∵A={x∈Z|﹣6≤x≤6}={﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，∴B∩C={3}，则A∩（B∩C）={3}；（2）∵A={x∈Z|﹣6≤x≤6}={﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，∴B∪C={1，2，3，4，5，6}，∴∁A（B∪C）={﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0}，则A∩∁A（B∪C）={﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．17．（10分）设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}（1）求a，b的值及A，B；（2）设全集U=A∪B，求（C U A）∩（C U B）．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）由A∩B={2}可知3分别是方程x2+ax+12=0，x2+3x+2b=0的根，代入可求a，b 及集合A，B（2）由题意可得U=A∪B={﹣5，2，6}，结合已知A，B可求解答：解：（1）∵A∩B={2}∴4+2a+12=0即a=﹣84+6+2b=0即b=﹣5 …（4分）∴A={x|x2﹣8x+12=0}={2，6}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5} …（8分）（2）∵U=A∪B={﹣5，2，6}∴C u A={﹣5}，C u B={6}∴C u A∪C u B={﹣5，6} …（12分）点评：本题主要考查了集合的交集的基本运算及并集的基本运算，属于基础试题18．（10分）已知f（x）=9x﹣2×3x+4，x∈．（1）设t=3x，x∈，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．考点：指数函数综合题．专题：计算题．分析：（1）设t=3x，由 x∈，且函数t=3x在上是增函数，故有≤t≤9，由此求得t 的最大值和最小值．（2）由f（x）=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且≤t≤9，由此求得f（x）的最大值与最小值．解答：解：（1）设t=3x，∵x∈，函数t=3x在上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．（2）由f（x）=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为 t=1，且≤t≤9，故当t=1时，函数f（x）有最小值为3，当t=9时，函数f（x）有最大值为 67．点评：本题主要考查指数函数的综合题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0，f（x）=x2﹣2x，（1）画出 f（x）图象；（2）求出f（x）的解析式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出奇函数的表达式，然后根据表达式作出函数的图象．解答：解：（1）先作出当x≥0，f（x）=x2﹣2x的图象，然后将图象关于原点对称，作出当x＜0的图象．如图：（2）设x＜0，则﹣x＞0，代入f（x）=x2﹣2x得f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，所以函数的表达式为：点评：本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式．20．（11分）已知函数f（x）=，x∈，（1）用定义法证明函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）的最小值和最大值．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．（2）利用函数的单调性求最值．解答：解（1）证明：任取3≤x1＜x2≤5，则，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵3≤x1＜x2≤5，∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴上是增函数，（2）∵上是增函数，∴当x=3时，f（x）有最小值，当x=5时，f（x）有最大值f（5）=．点评：本题考查了函数单调性的证明及函数单调性的应用，证明一般有两种方法，定义法，导数法，可应用于求最值．属于基础题．21．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题；压轴题．分析：（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．解答：解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．点评：本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．22．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f （y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值；（2）若f（3）+f（a﹣8）＜2，某某数a的取值X围．考点：函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f （y），f（3）=1，能求出f（9）和f（27）．（2）由f（x）+f（x﹣8）＜2，知f（x）+f（x﹣8）=f＜f（9），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，能求出原不等式的解集．解答：解：（1）由原题条件，可得到f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2，f（27）=f（3×9）=f（3）+f（9）=1+2=3；（2）f（3）+f（a﹣8）=f（3a﹣24），又f（9）=2∴f（3a﹣24）＜f（9），函数在定义域上为增函数，即有3a﹣24＜9，∴，解得a的取值X围为8＜a＜11．点评：本题考查抽象函数的函数值的求法，考查不等式的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
重庆市万州区万州一中2014-2015学年八年级下学期半期考试试题
2014-2015学年度八年级物理下期期中检测题姓名一、选择题1．下列生活现象中涉及到的物理知识分析正确的是 （ ）A ．大货车轮胎做得多且宽是为了增大压强B ．鞋底凹凸不平的花纹是为了减小摩擦C ．开车时系安全带是为了减小司机的惯性D ．钢笔能吸墨水是因为大气压强的存在 2、如图所示，一物体在外力F 的作用下，以5m/s 的速度做匀速直线运动，如果突然将力F 撤去，则物体（ ）A ．立即停止B ．仍以5m/s 速度做匀速直线运动C ．先向右后向左运动D ．继续前进，但速度逐渐减小直至停止3、如图所示，用弹簧测力计拉着物体，使其在水平桌面上做匀速直线运动。
下列叙述中的两个力是一对平衡力的是 （ ）A ．弹簧测力计对物体的拉力与物体所受的重力B ．弹簧测力计对物体的拉力与桌面对物体的摩擦力C ．物体对桌面的压力与桌面对物体的支持力D ．物体对桌面的压力与物体所受的重力4、将冰块放在水中，液面位置如图所示，若冰完全熔化，杯中液面高度将 （ ）A.上升B.下降C.不变D.无法确定5、如图所示，一个装满水的饮料瓶，正放在水平桌面上时，瓶底对桌面的压力为F a ，压强为p a ，倒放在水平桌面上时，瓶盖对桌面的压力为F b ，压强为p b ，则 （ ） A F a ＝ F b p a ＜ p b B F a ＞ F b p a ＝ p bC F a ＝ F b p a ＝ p bD F a ＜ F b p a ＜ p b 6、将一个木块放入三种液体中，木块静止时的情况如下图所示，木块所受浮力分别为F 1，F 2，F 3，液体密度分别为ρ1，ρ2，ρ3，则下列说法中正确的是（ ）A ．F1＞F 2＞F 3 ρ1＞ρ2＞ρ3 B ．F 1＜F 2＜F 3 ρ1＜ρ2＜ρ3 C ．F 1=F 2=F 3 ρ1＞ρ2＞ρ3 D ．F 1=F 2=F 3 ρ1＜ρ2＜ρ37、小竹将质量为120g 的物体放入盛满水的溢水杯中，当物体 静止时，溢水杯中溢出了100cm 3的水。
重庆市中学2024-2025学年高一上学期第一学月考试数学试题含答案
重庆市2024—2025学年第一学月考试高一（上）数学试题卷（答案在最后）考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A.2210x x ∀>-≤，B.2210x x ∀≤-≤，C.2210x x ∃>-≤，D.2210x x ∃≤-≤，【答案】C 【解析】【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】 命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.2.下列表示正确的个数是（）（1）0∉∅；（2）{}1,2∅⊆；（3）{}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭；（4）若A B ⊆，则A B A = A.3 B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）．【详解】因为空集没有任何元素，故0∉∅，故（1）正确；因为空集是任何集合的子集，故{}1,2∅⊆，故（2）正确；解方程组21035x y x y +=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，则(){}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，故（3）错误；若A B ⊆，则A B A = ，故（4）正确.所以正确的个数是3．故选：A ．3.估计(的值应在（）A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间【答案】C 【解析】【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可.【详解】(4=+因为91016<<，所以34<<，所以748<+<，故选：C.4.已知二次函数()2321y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A .4k < B.4k ≤ C.4k <且3k ≠ D.4k ≤且3k ≠【答案】D 【解析】【分析】由条件可得二次方程()23210k x x -++=有解，列不等式求k 的范围即可.【详解】由已知二次方程()23210k x x -++=有解，所以30k -≠，且()4430k --≥，所以4k ≤且3k ≠.故选：D.5.比较（0a >，0b >）的大小（）A.> B.+<C.+≥ D.≤【答案】C【解析】【分析】利用作差化简比较大小即可.【详解】因为0a >，0b >，20>>≥，+====2=≥，+≥，故选：C 6.已知102x <<，则1812x x+-的最小值为（）A.16 B.18C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】将1812x x+-转化为28212x x +-，发现所求式子两个分母和为定值1，即()2121x x +-=，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.【详解】解：因为102x <<，所以0121x <-<，又因为()2121x x +-=，所以()1828281221212212211216102x x x x x x x x x x x x -++=+-+-⎛⎫⎡⎤=⨯=+ ⎪⎣⎦-⎝⎭--1018≥+（当且仅当162121x x x x -=-即16x =时等号成立），故选：B.7.已知命题:0p x ∀>，4x a x+≥，命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A.24a ≤≤B.22a -≤≤C.2a ≤-或24a ≤≤D.2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】若命题p 为真命题，利用基本不等式求出4x x+的最小值即可得到a 的取值范围，若命题q 为真命题，则由0∆≥即可求出a 的取值范围，再取两者的交集即可.【详解】∵命题p ：40,x x a x∀>+≥为真命题，∴min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，又∵0x >，∴44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∴4a ≤，∵命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，为真命题，∴240a ∆=-≥，∴2a ≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，∴2a ≤-或24a ≤≤.故选：C8.已知集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<，定义集合{},,,,=1,2,3,4i j i j B x x x x x x A i j ==-∈，若B A =，给出下列说法：①1423x x x x +<+；②2132x x x =<；③3242x x x =+；正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由集合的新定义结合B A =，可得324321x x x x x x -=-=-,由此即可求解.【详解】因为集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<,若B A =，则B 中也包含四个元素,即{}2131410,,,,B x x x x x x =---剩下的324321x x x x x x -=-=-，4231x x x x -=-，对于①:由4321x x x x -=-得4123x x x x +=+,故①正确;对于②：由3221x x x x -=-得2132x x x =+,故②正确;对于③：由3243x x x x -=-得3242x x x =+,故③正确;故选:D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分分）9.下列说法不正确的是（）A.“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B.“A =∅”是“A B =∅ ”的充分不必要条件C.若R a b c ∈,,，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项，当2,3a b ==时，11;23a b ><当1,2a b =-=-时，11212->-->-，，所以两者既不充分也不必要，故A 错误;对于B 选项，当A B =∅ 时，可取}{}{1,2A B ==，但A ≠∅，当A =∅时，A B =∅ ，故B 正确;对于C 选项，当22ab cb >时，20b >，从而a c >，反之，a c >时，若0b =，则22ab cb =，所以两者不是充要条件，故C 错误；对于D 选项，220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠，故D 正确，故选:AC10.设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3 B.+的最大值为2C.的最大值为1 D.22m n +的最小值为32【答案】BC 【解析】【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.【详解】因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以()1211212131232222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2n mm n=，即2m ==，4n =-，等号成立，故A 错误；2224m n m n =++=+++=，当且仅当1m n ==时，等号成立，所以2≤，故B 正确；m n +≥12m n+≤=，当且仅当1m n ==时，等号成立，故C 正确；()22222424222m n m n m n mn mn +⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，故D 错误；故选：BC11.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥【答案】ACD【分析】A 选项，由开口方向，与y 轴交点，及对称轴，求出,,a b c 的正负，得到A 正确；B 选项，当1a x a ≤≤-时，数形结合得到函数随着x 的增大而减小，从而求出最大值；C 选项，结合2b a =-，化简不等式，求出解集；D 选项，配方得到两函数的最小值，从而得到2124b b -≥-，求出1b -≥【详解】A 选项，二次函数图象开口向上，故0a >，对称轴为12bx a=-=，故20b a =-<，图象与y 轴交点在y 轴正半轴，故0c >，所以0abc <，故0abc abc abc abc +=-+=，A 正确；B 选项，因为2b a =-，故22y ax ax c =-+，因为0a >，所以11a -<，当11a x a ≤≤-<时，22y ax ax c =-+随着x 的增大而减小，所以x a =时，y 取得最大值，最大值为322y a c a -=+，B 错误；C 选项，因为2b a =-，所以42422ax bx ax ax +=-，()()()2224224222442268a x b x ax ax a a x ax ax a -+-=-+--=-+，故不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-变形为2048ax a >-，因为0a >，22x >，解得：x >或x <，故C 正确；D 选项，2224121b t x bx x b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b x =-时，t 取得最小值，最小值为214b -，2224121b y t bt t b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b t =-时，y 取得最小值，最小值为214b -，所以2124b b -≥-，即2240b b --≥，所以()215b -≥，即1b -≥D 正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合{}{}2,,1a a a =，则a =___________．【解析】【分析】根据集合相等的定义求解即可．【详解】由题意得，21a =，解得1a =-或1a =，当1a =时，集合为{}1,1，不满足集合中元素的互异性，舍去，当1a =-时，集合为{}1,1-，满足题意，故答案为：1-．13.已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】【分析】利用待定系数法设23()()a b a b a b λμ+=++-，得到方程组，解出,λμ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.14.已知正实数,x y 满足224924x xy y -+=-，且24yx y <<，则3x y +的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】将224924x xy y -+=-，变形为()()424x y y x --=，再由()()342x y x y y x +=-+-，利用基本不等式求解.【详解】解：因为()()22492424x xy y x y x y -+=--=-，所以()()424x y y x --=，所以()()3424x y x y y x +=-+-≥=，（当且仅当42x y y x -=-时，联立224924x xy y -+=-，解得610,77x y ==），所以3x y +的最小值为4，故答案为：4四、解答题（本愿共5小题，共77分）15.已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．（1）若A B =∅ ，求a 的取值范围；（2）若A B =R ，求a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解即可；（2）由题意得351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，从而可求出a 的取值范围．【小问1详解】①当A =∅时，A B =∅ ，∴3a a >-+，∴32a >．②当A ≠∅时，要使A B =∅ ，必须满足32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩，解得312a -≤≤．综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞．【小问2详解】∵A B =R ，{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >，∴351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，解得2a ≤-，故所求a 的取值范围为(],2-∞-．16.已知集合{}{}222|560,|2(1)30A x x x B x x m x m =+-==+++-=（1）若0,m =写出A B 的所有子集（2）若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------（2）}{|2m m ≤-【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；（2）由题意得到B A ⊆，分B 中没有元素即B =∅，B 中只有一个元素和B 中有两个元素求解.【小问1详解】{}{}25606,1A x x x =+-==-，若0m =，则{}{}22303,1B x x x =+-==-，此时{}6,1,3A B =-- ，所以A B 子集为{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------.【小问2详解】若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，只需B A ⊆.①若B 中没有元素即B =∅，则()()2241438160m m m ∆=+--=+<，此时2m <-，满足B A ⊆；②若B 中只有一个元素，则0∆=，此时2m =-．则{}}{2|2101B x x x =-+==，此时满足B A ⊆；③若B 中有两个元素，则0∆>，此时2m >-．因为A 中也有两个元素，且B A ⊆，则必有{}6,1B A ==-，由韦达定理得2613m -⨯=-，则23m =-，矛盾，故舍去．综上所述，当2m ≤-时，B A ⊆．所以实数m 的取值范围：}{|2m m ≤-．17.对于二次函数2(0)y mx nx t m =++≠，若存在0R x ∈，使得2000mx nx t x ++=成立，则称0x 为二次函数2(0)y mx nx t m =++≠的不动点．（1）求二次函数23y x x =--的不动点；（2）若二次函数()2221y x a x a =-++-有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1x 、20x >，求1221x x x x +的最小值．【答案】（1）不动点为1-和3（2）6【解析】【分析】（1）根据不动点的定义，解方程23x x x --=，可得答案；（2）根据题意，即为方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，解得a 的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得1221x x x x +的最小值.【小问1详解】由题意知：23x x x --=，2230x x ∴--=，(3)(1)0x x ∴-+=，解得11x =-，23x =，所以二次函数23y x x =--的不动点为1-和3．【小问2详解】依题意，()2221x a x a x -++-=有两个不相等的正实数根，即方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，所以()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以1232x x a ++=，1212a x x -=，所以()222121212122112122x x x x x x x x x x x x x x +-++==()223121321212a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--()()214(1)1621a a a -+-+=-1822621a a -=++≥=-当且仅当1821a a -=-，即5a =时等号成立，所以1221x x x x +的最小值为6．18.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k （2）()321670222y t t t =--+≥+（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t +⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算可得.【小问1详解】由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =-，解得=2k ；【小问2详解】由于=2k ，故222x t =-+，由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t ⎛⎫+=-+ ⎪+⎝⎭，当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t ⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由题意，3212322332232222y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()321670222y t t t =--+≥+.【小问3详解】由（2）知：()321670222y t t t =--+≥+，即3226932269222222t t y t t ++⎛⎫=--+=-++ ⎪++⎝⎭6926.52≤-=，当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立.此时，max 26.5y =.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.19.问题：正数a ，b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：12122()123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b=，且1a b +=时，即1a =-且2b =（1）若正实数x ，y 满足3xy x y =+，求x y +的最小值；（2）若正实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，且a b >，试比较22a b -和2()x y -的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式M =M 取得最小值时m 的值．【答案】（1）4+（2）()222a b x y -≤-，理由见解析.（3）136【解析】【分析】（1）把3xy x y =+转化为131x y+=，利用题设给出的方法求和的最小值.（2）借助“1”的代换，利用22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再利用不等式可判断22a b -和2()x y -的大小.（3）取x =y =2231x y -=，利用（2）的结论，可求M 的最小值，再分析“=”成立的条件，可得m 的值.【小问1详解】由3xy x y =+（0x >，0y >）可得：131x y+=（0x >，0y >），所以()13x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭34y x x y =++4≥+4=+（当且仅当3131y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩=”）.所以x y +的最小值为：4+.【小问2详解】因为22221x y a b-=，所以22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，因为2222222b x a y xy a b +≥（当且仅当222222b x a y a b =时取“=”）.所以22222222222b x a y x y x y xy a b ⎛⎫+-+≤+- ⎪⎝⎭222x y xy ≤+-()2x y =-（当0xy >时取“=”）所以：()222a b x y -≤-（当且仅当2222220b x a y a b xy ⎧=⎪⎨⎪>⎩即22b x a y =时取“=”）.【小问3详解】取x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩⇒2m ≥，此时()()352230m m m ---=->，所以0x y ->.同时：2231x y -=⇒22113y x -=，取21a =，213b =.由（2）可知：()22212133x y a b -≥-=-=，所以3x y -≥，当且仅当22331x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，结合00x y >⎧⎨>⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即136m =时取“=”.【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用22a b -()()222222221x y a b a b a b ⎛⎫=-⨯=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.。
重庆市学校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
重庆市高2026届高一（上）第一次月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡､试卷､草稿纸一并收回.第Ⅰ卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*110A x x =∈≤≤N ∣，集合{1B y y =≤∣或8}y ≥，则A B = （）A.∅B.{}1,8,9,10 C.{}810xx ≤≤∣ D.{810xx ≤≤∣或1}x =【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，利用交集的定义求解A B ⋂.【详解】化简集合{}*110A x x =∈≤≤N ∣，得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，又集合{1B y y =≤∣或8}y ≥，由交集的定义可得，{}1,8,9,10A B = .故选：B2.命题“R x ∃∈，使得2320x x ++<”的否定是（）A.R x ∀∈，均有2320x x ++≤B.R x ∀∈，均有2320x x ++≥C.R x ∃∈，有2320x x ++>D.R x ∃∈，有2320x x ++≤【答案】B 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由题意可知，命题“∃x ∈R 使得x 2+3x +2<0”是存在量词命题，所以其否定是∀x ∈R,均有x 2+3x +2≥0，故选：B.3.使得不等式“21x ≤”成立的一个必要不充分条件是（）A.11x -≤≤B.1x < C.1x ≤ D.1x >【答案】C 【解析】【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】由21x ≤，即()()110x x +-≤，解得11x -≤≤，因为[]1,1-真包含于(],1-∞，所以使得不等式“21x ≤”成立的一个必要不充分条件可以是1x ≤.故选：C4.若命题“存在2R,20x x x m ∈--=”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≤- B.1m ≥- C.11m -≤≤ D.1m >-【答案】B 【解析】【分析】由题可知方程有实数解，即求.【详解】由题知方程220x x m --=有实数解，∴2(2)4()0m ∆=--⨯-≥，解得1m ≥-，故选：B.5.为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（）A.30B.31C.32D.33【答案】C 【解析】【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x 人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y 人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z 人，则：()1391281153020400x y z +++-+++=，32x y z ++=；故答案为：32人.6.已知集合5==,Z 6M x x m m ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，1==,Z 23n N x x n ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，1==+,Z 26p P x x p ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N ，P 的关系为（）A.M N P ==B.=M N P ⊆C.M N P ⊆ØD.M N ⊆，=N P ⋂∅【答案】B 【解析】【分析】对集合,,M N P 中的元素通项进行通分，注意32n -与31p +都是表示同一类数，65m -表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.【详解】对于集合5==,Z 6M x x m m -∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()611565666m m x m -+-=-==，对于集合1==,Z 23n N x x n -∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()3111322366n n n x -+-=-==，对于集合1==+,Z 26p P x x p ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，131266p p x +=+=，由于集合,,M N P 中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且,,m n p ∈Z ，注意到()311n -+与31p +表示的数都是3的倍数加1，()611m -+表示的数是6的倍数加1，所以()611m -+表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M N P ⊆=.故选：B.7.对于集合,M N ，定义{}|,M N x x M x N -=∈∉，()()M N M N N M ⊕=-- ，设9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则A B ⊕=（）A.904,⎛⎫-⎪⎝⎭B.904,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[)4,,90⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.()4,,90⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合9|,R 4A x x x ⎧⎫=≥-∈⎨⎬⎩⎭，{}|0,R B x x x =<∈，则R A ð9,R 4x x x ⎧⎫=<-∈⎨⎬⎩⎭，R B ð{}|0,R x x x =≥∈，由定义可得：{A B x x A -=∈且}x B A ∉=⋂R B ð{}[)|0,R 0,x x x ∞=≥∈=+，{B A x x B -=∈且}x A B ∉=⋂R A ð99,R ,44x x x ∞⎧⎫⎛⎫=<-∈=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，所以()()[)9,0,4A B A B B A ∞∞⎛⎫⊕=--=--+ ⎪⎝⎭，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C ．8.已知正数,a b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A.36B.42C.46D.49【答案】D 【解析】【分析】由题设可得22943837b aa b a b⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求最小值，注意取值条件.【详解】由题设229438(4)(9)3737249b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当9423b a a b a b =⇒=，即64,55a b ==时等号成立，所以2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为49.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列关于符号“,∈⊆”使用正确的有（）A.*0N ∈B.R QðC.{}{}00,1⊆ D.{}{}{}00,1⊆【答案】BC 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A ：*0N ∉，故A 错误；对于B Q R R Q ð，故B 正确；对于C ：{}{}00,1⊆，故C 正确；对于D ：{}{}{}00,1∈或{}0{}{}0,1⊄，故D 错误；故选：BC10.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，c d >，则a c b d +>+B.若a b >，c d >，则ac bd >C.若110a b <<，则2ab b < D.若0a b <<，0c <，则c c a b<【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.【详解】A 选项，当a b >，c d >时，根据不等式的性质可知a c b d +>+，A 选项是真命题.B 选项，当a b >，c d >时，如11,22>->-，()()1212⨯=-⨯-，B 选项是假命题.C 选项，当110a b<<时，0b a <<，两边乘以b 得2b ab >，C 选项是真命题.D 选项，当0a b <<，0c <时，0,0,c c b a c cb ac a b ab a b-->-=⋅<<，D 选项是真命题.故选：ACD11.以下说法正确的有（）A.实数0x y >>是11x y<成立的充要条件B.22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对,R a b ∈恒成立C.若对任意20,31xx a x x >≤++恒成立，则实数a 的取值范围为15a ≥D.若x ∈R，则y =+的最小值是2【答案】BC 【解析】【分析】A 将1,1x y =-=代入判断；B 展开不等式右侧，结合基本不等式判断不等关系；C 问题化为max1()13a x x≥++，利用基本不等式求最大值即可得参数范围；D 基本不等式求最小值，注意等号是否能够成立即可.【详解】A ：当1,1x y =-=时11x y<成立，但0x y >>不成立，错；B ：,R a b ∈有22224442a ab b ab ab a b +⎛⎫ ≥⎪⎝⎭++==，当且仅当a b =时等号成立，对；C ：由题意113a x x ≥++在,()0x ∈+∞上恒成立，只需max1()13a x x≥++即可，而1335x x ++≥=，当且仅当1x =时等号成立，故110153x x<≤++，所以15a ≥，对；D：2y =≥=，而231x +≠，即≠.故选：BC12.下列命题正确的是（）A.若0a b >>，0m >，则+<+a a m b b m；B .若正数a 、b 满足+=1a b ，则114113a b +≥++；C.若0x >，则423x x--的最大值是2-；D.若()2x x y =-，0x >，0y >，则2x y +的最小值是9；【答案】BC 【解析】【分析】A 选项用作差法即可，B ，C ，D 选项都是利用基本不等式判断.【详解】对于选项A ，()()+=++a b ma a mb b m b b m --，因为0a b >>，0m >，所以0a b ->，()()>0+a b m b b m -,即+>0+a a m b b m -，故+>+a a mb b m，所以A 错误；对于选项B ，因为+=1a b ，所以113a b +++=，()111111114112113113113b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当1111b a a b ++=++，即12a b ==时，等号成立，故B 正确；对于选项C ，因为0x >，43x x +≥=，当且仅当43x x =即3x =时，等号成立，所以4232x x--≤-C 正确；对于选项D ，因为()2x x y =-，所以121y x+=，所以()1242248x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=+≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =即4,2x y ==时，等号成立，所以2x y +的最小值是8，故D 错误.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足12,01x y -≤<<≤，则2x y -的取值范围是_________________．【答案】[)3,2-【解析】【分析】利用不等式的性质即可求得答案【详解】解：因为01y <≤，所以220y -≤-<，因为12,x -≤<所以322x y -≤-<，所以2x y -的取值范围是[)3,2-，故答案为：[)3,2-14.不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +=______．【答案】14-【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得016216a ba a ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩求a 、b ，即可确定目标式的结果.【详解】由题设，016216a ba a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，可得122a b =-⎧⎨=-⎩，∴14a b +=-.故答案为：14-15.已知(){},12A x y xy ==，(){},,,B x y x y y x =∈<N ，则A B = ______.【答案】()()(){}12,1,6,2,4,3【分析】根据交集定义可联立构造方程组求得,x y 的值，从而得到结果.【详解】由12,xy x y y x=⎧⎪∈⎨⎪<⎩N 得：121x y =⎧⎨=⎩或62x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩，()()(){}12,1,6,2,4,3A B ∴= .故答案为：()()(){}12,1,6,2,4,3.16.已知正实数,x y 满足224924x xy y -+=-，且24yx y <<，则3x y +的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】将224924x xy y -+=-，变形为()()424x y y x --=，再由()()342x y x y y x +=-+-，利用基本不等式求解.【详解】解：因为()()22492424x xy y x y x y -+=--=-，所以()()424x y y x --=，所以()()3424x y x y y x +=-+-≥=，（当且仅当42x y y x -=-时，联立224924x xy y -+=-，解得610,77x y ==），所以3x y +的最小值为4，故答案为：4四､解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知全集{}|65U x x =-≤≤，{|3121}M x x =-≤-<，{|32}N x x =-≤<．（1）求M N ⋃；（2）求()U M N ð．【答案】（1）{|32}-≤≤x x （2）{|60x x -≤≤或}25x ≤≤【解析】【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.（2）根据交集和补集的知识求得正确答案.【小问1详解】由于{}{|3121}|02M x x x x =-≤-<=<≤，{|32}N x x =-≤<，所以2|}3{M N x x ⋃=-≤≤【小问2详解】{|02}x x M N =<< ，所以()U M N = ð{|60x x -≤≤或}25x ≤≤.18.在①A B B ⋃=；②()A A B ⊆I ；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}2{|211},|230A x a x a B x x x =-<≤+=--≤.（1）当12a =-时，求()R A B ð；（2）若__________，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|21}x x -<<-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合B ，再由集合的交补运算求结果；（2）根据所选条件判断集合间的关系，注意讨论A =∅、A ≠∅分别求参数范围，即可得参数范围.【小问1详解】由题设{}1{|2},|132A x xB x x =-<≤=-≤≤，则R {|1B x x =<-ð或3}x >，所以()R {|21}A x B x =-<<- ð.【小问2详解】选①：A B B A B ⋃=⇒⊆，选②：()A A B A B ⊆⇒⊆I ，若A =∅，则2112a a a -≥+⇒≥，满足；若A ≠∅，则2111302211a a a a a -≥-⎧⎪+≤⇒≤<⎨⎪-<+⎩；综上，0a ≥.选③：A B ⋂=∅，若A =∅，则2112a a a -≥+⇒≥，满足；若A ≠∅，则112211a a a a +<-⎧⇒<-⎨-<+⎩或213211a a a a -≥⎧⇒=∅⎨-<+⎩；综上，(,2)[2,)a ∈-∞-+∞ .19.解答下列各题.（1）已知0a b <<，试比较2222a b a b+-与a b a b +-的大小；（2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1+≤.【答案】（1）2222a ab a a b b b +>+--；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）应用作差法比较大小即可；（2）由222()()()2a b c a b a c b c ++=+++++=，应用基本不等式证明结论.【小问1详解】22222222222()()2a a b a b a b ab a b a a b a b b b++-+==--+---，又0a b <<，所以220,0a b ab ->>，故22220a a a b b b b a +-+->-，即2222a a b a a b b b +>+--.【小问2详解】由题设222()()()2a b c a b a c b c ++=+++++=，又()()()2a b a c b c +++++=≥+当且仅当13a b c ===时等号成立，1≤，得证.20.为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法，市场调查发现，某件产品的月销售量m (万件)与广告促销费用x (万元)(0x >)满足：181221m x =-+，该产品的单价n 与销售量m 之间的关系定为：99n m=+万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为y 万元.（1）请用x 表示y 并表示出x 的范围；（利润=销售额-成本-广告促销费用）（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？【答案】（1）182121y x x =--+且1(,)4x ∞∈+；（2）广告促销费用定为52万元的时候，该产品的利润最大为312万元.【解析】【分析】（1）根据题设有8y mn m x =--，结合已有函数模型即得y 的表达式，并确定自变量范围；（2）利用基本不等式求函数最大值，并写出利润最大时对应广告促销费用即可.【小问1详解】由题意，1882121y mn m x x x =--=--+，又181120214m x x =->⇒>+，所以182121y x x =--+且1(,)4x ∞∈+.【小问2详解】由（1）知：4318214331()221222x y x +=-+≤-=+，当且仅当182152122x x x +=⇒=+时等号成立，所以,广告促销费用定为52万元的时候，该产品的利润最大为312万元.21.已知正数a b ､满足111a b+=.（1）求ab 的最小值；（2）求4911a b a b +--的最小值.【答案】（1）4（2）25【解析】【分析】（1）（2）根据基本不等式即可求解，【小问1详解】由0,0a b >>，故11111144ab a b a b +=≥⋅≤⇒≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故ab 最小值为4，【小问2详解】由111a b+=可得()()111ab a b a b =+⇒--=，故10,10a b ->->因此49494949=131312=25111111a b a b a b a b +=+++++³++------，当且仅当4911a b =--，即55,32a b ==等号成立，故4911a b a b +--最小值为25，22.若实数,,x y m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m .（1）若x 比12远离1，求实数x 的取值范围；（2）若1,14m x y ≤+=，试问：x 与22x y +哪一个更远离m ，并说明理由.【答案】（1）13(,)(,)22-∞+∞ ；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题设定义有1112x ->-，解绝对值不等式求范围；（2）令211()2(22f x x =-+，()g x x =，数形结合判断讨论函数()f x 、()g x 上的点到y m =的距离研究x >m 的情况，根据定义判断x m ≤的情况.【小问1详解】由题设111111222x x ->-=⇒->或13122x x -<-⇒>或12x <，所以实数x 的取值范围是13(,)(,)22-∞+∞ .【小问2详解】由题设2222211(1)2()22x y x x x +=+-=-+，令211()2(22f x x =-+，()g x x =，所以，问题化为讨论在函数()f x 、()g x 上取相同x 值的点到y m =的距离关系，画出()f x 、()g x 、y m =的图象如下，()f x 、()g x 相交于11(,),(1,1)22两点，当x >m ，由图有如下情况，若12m x <<，()g x 到y m =的距离比()f x 到y m =的距离近，即22x y +更远离m ；若112x <<，()g x 到y m =的距离比()f x 到y m =的距离远，即x 更远离m ；若12x =或1x =，()g x 、()f x 到y m =的距离相同，即x 、22x y +与m 一样远；若1x >，()g x 到y m =的距离比()f x 到y m =的距离近，即22x y +更远离m ；当x m ≤，由1()2f x m ≥>，则2222||||2x m x y m m x x y --+-=---22172212()2048x x m x m =-++-=--+-<，所以22||||x m x y m -<+-，即22xy +更远离m ；综上，当12x <或1x >，22x y +更远离m ；当112x <<，x 更远离m ；当12x =或1x =，x 、22x y +与m 一样远.【点睛】关键点点睛：第二问，由距离远近的定义，综合运用函数图象及分类讨论研究距离问题.。
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析没有明显有问题的段落需要删除，只需修改格式错误和语言表达不清的地方。
XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
重庆市万州区2015高三一诊考试数学(理)试卷
重庆市万州区2015高三一诊考试数学(理)试卷本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。
3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上. 1．设集合},5,4,1{},5,3{},5,4,3,2,1{===N M U 则()UM N =ð（）A ．{5}B ．{3}C ．{2，3，5}D ．{1，3，4，5}2．已知等差数列{}n a 中，4,04111073=-=-+a a a a a ，记n n a a a S +++= 21，则＝13S ( )A ．52B ．56C ．68D ．783．抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是 ( )A .B .2C .D .14．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．－3 B ．－12C . 2D ．136. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（ ）A ．C C ．CAB ．CA D ．3C7．,x y 满足约束条件20220220x y y x x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩,若2z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 ( )A .12或1- B .或12- C .2或 D .2或1- 8．已知函数)2015(,4)20151(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为（ ）A ．－4B ．2C ．0D ．－29．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10.已知O 是△ABC 的外心，AB = 6，AC = 10，若y x +=，且5102=+y x ，则△ABC 的面积为（ ）A ． 24B ．3220 C ．18或3220 D ． 24或220 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填写在答题卷相应的位置上，其中11～13是必做题，14～16是选做题. （一）必做题（11～13题）11．若复数iia -+3是纯虚数，则实数a ＝ ． 12. 设双曲线的两个焦点分别为21,F F ，若双曲线上存在点P 满足3:5:6::2211=PF F F PF ，则双曲线的离心率等于 ．13．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）14.(选修4-1：平面几何选讲)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________． 15.(选修4-4：极坐标与参数方程)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．16.(选修4-5：不等式选讲)已知关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 对任意正实数a 、b 恒成立，则实数x 的取值范围是 .三．解答题 (本大题共6小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卷的指定区域内. 17．(本题满分13分)首届重庆三峡银行∙长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛张超获胜的概率为32，夏易正获胜的概率为31，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．18．(本题满分13分)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且在前n 项和中4S 最大. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设113,3nn n a b n N *+-=∈. ① 求证：113n n b b +<≤； ② 求数列2{}n b 的前n 项和n T .19．(本题满分13分)函数R x x m mx f x ∈>+=21,),0(41)(，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f .(1)求m 的值；(2)解不等式)23)1((log )1)1((log 212-->--x f x f ．20．(本题满分12分)已知函数()22sin sin cos 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.(1)若函数()y f x =的图像关于直线()0x a a =>对称，求a 的最小值；(2)若函数2)()(-=x mf x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有零点，求实数m 的取值范围.21．(本题满分12分)如图，椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点, 1=⋅，且斜率为22的直线m 与椭圆交于不同的两点, 这两点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22．(本题满分12分)设函数)1ln()(2++=x a x x f 有两个极值点21,x x ,且21x x <. (1) 求实数a 的取值范围，并讨论函数)(x f 的单调性；(2) 若对任意的),(1+∞∈x x ,都有k x f >)(成立,求实数k 的取值范围．高2015级一诊理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1～5 BADAC 6～10 BBCDD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（一）必做题（11～13题）11．31； 12．35； 13．(－∞，e)；（二）选做题（14～16题，考生只能从中选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分）14． 4 ；15．1； 16． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，52.三．解答题：(本大题共6小题，共75分) 17. (本题满分13分)解：(1)以张超3胜1负而结束比赛,则张超第4局必胜而前3局必有1局败.∴所求概率为133228(1)()3327P C =-⨯=…………………5分 (2) ξ的所有取值为3,4,5 …………………6分P (ξ=3)=31)31()32()31()32(30030333=+C CP (ξ=4)=2710)31()31()32()32()31()32(21131223=+C C P (ξ=5)= 278)31()32(2224=C ∴ξ的分布列为：…………………11分∴E ξ=3×31+4×2710+5×278=27107…………………13分18. (本题满分13分)解：（1）由1210,a a =为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数 ………1分又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤，即1030,1040d d +≥+≤ …………………3分 解得10532d -≤≤-…………………4分 因此3d =- …………………5分数列{}n a 的通项公式为133n a n =- …………………………6分 （2）①由题意知1333n n n n n b +==，111203n n n nb b ++-∴-=<………………………8分 ∴数列{}n b 是单调递减数列，{}n b 的最大项为113b =，所以113n n b b +<≤…………9分②2324629999n n nT =++++① 23411246299999n n nT +=++++②①-②得1231822222999999n n n nT +=++++-11211(1())1()22999194919n nn n n n ++--=-=--…………………11分 99832329n n nT +∴=-⋅…………………13分 19. (本题满分13分) 解：(1)由21)()(21=+x f x f 得 21414121=+++m m x x ∴[]2)44(421244212121m m m x x x x x x +++=+++ ∵121=+x x∴2)2()44)(2(21-=+-m m x x …………………4分 ∴m x x -=+24421或02=-m∵44244244212121==∙≥++x x x x x x 而0>m 时22<-m∴m x x -≠+24421 ∴2=m …………………7分 (2)由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数 …………………8分由)23)1((log )1)1((log 212-->--x f x f 得⎪⎩⎪⎨⎧>---<--0123)1(log 1)1(log 212x x x ∴28114+<<x …………………11分 ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<28114x x …………………13分20. (本题满分12分) 解：(1)()22sin sin cos 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin cos x x x x x =+()22sin cos x x x x =+)222sin cos cos sin x x x x =+-sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭……… 3分()232a k k Z πππ+=+∈，,212k a k Z ππ∴=+∈ 又0a >∴a 的最小值为12π…………………6分(2)∵函数2)()(-=x mf x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有零点∴方程02)(=-x mf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π上有解，)32sin(1)(202)(π+==⇒=-x x f m x mf∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πx ， ∴67323πππ≤+≤x …………………8分∴1)32sin(21≤+≤-πx …………………10分 则(][),21,m ∈-∞-+∞ ………………… 12分21. (本题满分12分)解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>∵1=⋅即 22()()1a c a c a c +⋅-==-∴1222=-=c a b (1) ……………2分 由题意知,直线m 的方程为x y 22=，对于x y 22= 当c x =时 c y 22= 由已知得,点)22,(c c 在椭圆上 ∴1)22(222=+c ac (2) ……………4分由(1)(2)得 12=c ∴22a =故椭圆方程为2212x y += ……………………6分 （2）假设存在直线交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故 1=PQ k ………………………7分于是设直线为 y x m =+，由2222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得 2234220x mx m ++-= (*)……………………8分∴3421mx x -=+ 322221-=m x x∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+- 又(1,2)i i y x m i =+=得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=∴222242(1)033m mm m m -⋅--+-= 化简得0432=-+m m 解得43m =-或1m = ……………………10分 经检验1m =不符合条件,故舍去,43m =-符合条件………………………11分 则直线的方程为:34-=x y ……………………………12分22. (本题满分12分)解:(1)由)1ln()(2++=x a x x f 可得12212)('2+++=++=x a x x x a x x f )1(->x令a x x x g ++=22)(2)1(->x ,则其对称轴为21-=x ,故由题意可知21,x x 是方程0)(=x g 的两个均大于1-的不相等的实数根,其充要条件为⎩⎨⎧>=->-=∆0)1(084a g a 解得210<<a ……………………4分 可知1))((2122)('212+--=+++=x x x x x x a x x x f ,其中211x x <<-,故①当),1(1x x -∈时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),1(1x -上单调递增 ②当),(21x x x ∈时,0)('<x f ,即)(x f 在区间),(21x x 上单调递减③当),(2+∞∈x x 时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),(2+∞x 上单调递增………7分 (2)由(1)可知)(x f 在区间),(1+∞x 上的最小值为)(2x f 又由于0)0(>=a g ,因此0212<<-x .又由022)(2222=++=a x x x g 可得)22(222x x a +-=,从而)1ln()22()1ln()(2222222222++-=++=x x x x x a x x f设)1ln()22()(22++-=x x x x x h ,其中021<<-x 则)1ln()12(22)1ln()12(22)('++-=-++-=x x x x x x x h由021<<-x 知:012>+x ,0)1ln(<+x ,故0)('>x h ,故)(x h 在)0,21(-上单调递增 所以,42ln 21)21()()(22-=->=h x h x f所以,实数k 的取值范围为42ln 21-≤k ……………………………12分。
重庆市重庆一中2015届高三10月月考试题 数学理 Word版含答案
x z 0
1 2
x
1 2
y
z
0
，令
z
1，则
n1
(1,
1,1)
设面 A1C1B 的法向量为 n2 (m, n, k) ，则 n2 BA1 0, n2 BC1 0
n k 0
则
1 2
m
1 2
n
k
0
，令
k
1 ，则
n2
(1,1,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
cos n1 , n2
n1 n2 n1 n2
1 1 1 3 3
Go the distance
21．（本题满分 12 分）
已知圆 C : (x 1)2
( y 1)2
2 经过椭圆
Γ∶ x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的右焦点
F，且
F
到右
准线的距离为 2． (1)求椭圆 Γ 的方程； (2)如图，过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP
1
1－a
(2)当 a＝1，b＝0 时，h(x)＝3x3－x－1，b＝ 2 ，
则由(2)可知，函数 h(x)的单调递增区间为 (, 1), (1, ) ，单调递减区间为(－1，1)．
5
5
因为 h(－2)＝－3，h(1)＝－3，所以 h(－2)＝h(1)．
1 ①当 t＋3<1，即 t<－2 时，[h(x)]min＝h(t)＝3t3－t－1.
5 ②当－2≤t<1 时，[h(x)]min＝h(－2)＝－3.
1 ③当 t≥1 时，h(x)在区间[t，t＋3]上单调递增，[h(x)]min＝h(t)＝3t3－t－1. 综上可知，函数 h(x)在区间[t，t＋3]上的最小值
高一上学期第二次月考数学试卷及答案
高一年级上学期第二次月考数学试题卷时间：120分 总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,52. 函数()ln(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．（-1,2）B ．[1,0)(0,2)- C.(1,0)(0,2]- D ．(1,2]-3. 函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.已知直线20x -=，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 5. 已知两直线 1:80l mx y n ++=和 2:210l x my +-=，若12l l ⊥且1l 在y 轴上的截距 为-1，则,m n 的值分别为( )A ．2，7B ．0，8C ．－1，2D ．0，－86.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 ( ) A ．322π B ．324πC ． π24D ．π）（424+ 7. 设αβ，为平面，,a b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（ ）A ．//,//,//a b a b αα若则B ．//,,a a b b αα⊥⊥若则C ．//,,,//a b a b αβαβ⊂⊂若则D ．,//,a a b b αα⊥⊥若则 8.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9.若函数()()()2221f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间()1,0-和()1,2上，则m 的取值范围是（ ）A.11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ）A ．34π+B ．38π+C.π384+ D ．π388+11. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是（ ）A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDD ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上 12. 设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使得()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 设⎩⎨⎧≥-<=-2),1(log ,2,2)(231x x x e x f x ，则))2((f f 的值为 . 14. 用一个平行于正棱锥底面的平面截这个正棱锥,截得的正棱台上、下底面面积之比为1:9,截去的棱锥的高是2cm,则正棱台的高是 cm.15.如图，正方体1111D C B A ABCD -中，AC 交BD 于O ，E 为线段11D B 上的一个动点，则下列结论中正确的有_______． ①AC ⊥平面OBE ②三棱锥E -ABC 的体积为定值③B 1E ∥平面ABD④B 1E ⊥BC 116. 已知函数32log ,03,()1108,3,33x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩若存在实数,,,a b c d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知全集U R = ，1242x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}3log 2B x x =≤. （1）求AB ；（2）求()U C AB .O18. (本小题满分12分)(1)已知直线l 过点(1,2)A ，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．(2)求经过直线1:2350l x y +-=与2:71510l x y ++=的交点．且平行于直线230x y +-=的直线方程．19.(本小题满分12分)已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=． （1）当l 1//l 2，求实数a 的值；（2）直线l 2恒过定点M ，若M 到直线1l 的距离为2，求实数a 的值．20. (本小题满分12分) 如图，△ABC 中，2AC BC AB ==，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G F 、分别是EC BD 、的中点．(1)求证：//GF ABC 平面；(2) BD EBC 求与平面所成角的大小21. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BD AD PD AB BAD ====∠，，，3260，O 为AC 与BD 的交点，E为棱PB 上一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若EB PE 2=，求二面角B AC E --的大小.22. (本小题满分12分) 对于函数()f x 与()g x ，记集合{}()()f g D x f x g x >=>. （1）设()2,()3f x x g x x ==+，求集合f g D >；（2）设121()1,()()31,()03xx f x x f x a h x =-=+⋅+=，若12f h f h D D R >>⋃=，求实数a 的取值范围.答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)C C B A B CD C C A B A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 2 14. 4 15. ①②③ 16.（21，24）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)解：{}12A x x =-<< ， B {}09B x x =<≤ ·······················4分 （1）{}02A B x x =<< ····································································6分 （2）{}19AB x x =-<≤ ，(){1UC A B x x =≤-或9}x > .·····10分18. (本小题满分12分)(1)解析：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)， 令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－2k ，S ＝12(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ＝4， 即k 2＋4k ＋4＝0. ∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.···················6分解法二 设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝4，1a ＋2b ＝1.a 2－4a ＋4＝0?a ＝2，∴b ＝4.直线l ：x 2＋y4＝1. ∴l ：2x ＋y －4＝0.(2)联立，解得．设平行于直线 x +2y ﹣3=0的直线方程为 x +2y +n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x +18y ﹣4=0．···········12分 19.(本小题满分12分)(1)a=3,或a=-1(舍)··························4分 (2)M(-2,-1)···································8分2=得a=4··················12分20. (本小题满分12分)(1)证明： 连接EA 交BD 于F ， ∵F 是正方形ABED 对角线BD 的中点， ∴F 是EA 的中点， ∴FG ∥AC .又FG ?平面ABC ，AC ?平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .··················6分 (2)∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴BC ⊥AC ， 又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a 4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG ＝30°. ························12分 21. (本小题满分12分)解：（1）∵⊥PD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴PD AC ⊥. ∵60,=∠=BAD BD AD ，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又D BD PD = ，∴⊥AC 平面PBD ，而⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBD .·········································6分 （2）如图，连接OE ，又（1）可知AC EO ⊥，又BD ⊥AC ，∴EOB ∠即为二面角B AC E --的平面角， 过E 作PD EH ∥，交BD 于点H ，则BD EH ⊥， 又31,33,3,2,2=====OH EH PD AB EB PE ，在EHO RT ∆中，3tan ==∠OHEHEOH ，∴ 60=∠EOH ， 即二面角B AC E --的大小为60.·································································12分 22. (本小题满分12分)解：（1） 当0≥x 得3,32>∴+>x x x ； ······················2分当1320-<∴+>-<x x x x ，时，得 ················4分()()∞+⋃-∞-=∴>，31,g f D ··············5分(2) ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅+=∞+=>>013)31(,121xxh f h f a x D D ， ·······7分 R D D h f h f =⋃>>21 ， ∴ (]1,2∞-⊇>h f D即不等式01331>+⋅+xx a ）（在1≤x 恒成立 (9)分∴ 1≤x 时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a )31(91恒成立， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x y )31()91( 在1≤x 时最大值为94-， ··················11分故 94->a ·············12分。
重庆市万州2024-2025学年高一上学期第一次月考化学试题含答案
万州2024年秋季高一年级第一次月考化学试题（答案在最后）（满分100分，考试时间75分钟）一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题意）1.化学促进了科技进步和社会发展，下列叙述中没有涉及化学变化的是（）A ．北京冬奥会场馆使用2CO 跨临界将水直冷制冰B ．利用电解饱和食盐水制取NaOHC ．《神农本草经》中记载的“石胆能化铁为钢”D ．白磷在260℃时转化为红磷2.下列有关胶体的说法正确的是（）A ．可以使用过滤的方法除去胶体中的杂质离子B ．将3FeCl 饱和溶液煮沸可以制得()3Fe OH 胶体C ．“纳米铜”是一种颗粒直径为纳米级的铜材料，属于胶体D ．胶体是混合物，可用丁达尔效应区别胶体和溶液3.下列物质在给定条件下能一步实现的是（）A ．CO HCl 343Fe O Fe FeCl ∆−−→−−→B ．3HNO KCl3NaOH NaNO NaCl −−−→−−→C ．()32CH COOH CO 322Ca OH CaCO CO −−−→−−−−→D ．()22O H O2Cu CuO Cu OH ∆−−→−−−→4.下列实验过程不涉及氧化还原反应的是（）A ．向4CuSO 溶液中加入锌粉，溶液蓝色变浅B ．用3NaHCO 治疗胃酸过多C ．露置在潮湿空气中的钢铁制品，表面产生红棕色物质D ．用黄铜矿（2FeCuS ）作原料炼制铜5.酸、碱、盐、氧化物与生产生活密切相关，下列物质性质与用途对应关系不正确的是（）A ．CO 具有还原性，可用于冶炼铁B ．()422KAl SO 12H O ⋅（明矾）溶于水后形成胶体，可用于净水C ．CaO 具有吸水性，可用于制作干燥剂D ．NaOH 易潮解，可用于2SO 的尾气吸收6.下列表格中各项分类都正确的一组是（）类别选项同素异形体混合物电解质非电解质A 2O 和3O 冰水混合物()2Ca OH 乙醇B红磷和白磷海水冰醋酸甲烷C 金刚石和石量铝合金2HNO 2H DCaO 和2CaO 空气氨水三氧化硫7.A 、B 、C 为中学化学常见物质，它们之间的转化关系如图所示（反应条件、部分反应物和生成物已略去，“→”表示直接转化关系）。
重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题含答案解析
西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 52.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A .6B.8C.9D.104.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.2436.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯ B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.28.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号()i 12345对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.14.已知π,02α⎛⎤∈-⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.15.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.87922.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 5【答案】A 【解析】【分析】设复数z 的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.【详解】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入2i i 0z z -⋅+=得，i 2(i)i i 2(21)i 0a b a b a b b a +-++=++-+=，则有20210a b b a +=⎧⎨-+=⎩，解得2515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即复数z 的虚部为15-.故选：A.2.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域为A ，先求函数12x y =-值域B 即可，再由交集运算可得.【详解】设函数()12x f x =-，则1(1),(0)0,(1)12f f f -===-，所以集合11,0,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，由集合{}1,0,1A =-，则{}1,0A B ⋂=-，A B ⋂中元素的个数为2，故选：B.3.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A.6B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】由于π2αβ+=，得出2sin α和2sin β的对应关系，再设定2sin α和2sin β为,x y ，得到基本不等式形式：“1x y +=和14x y+模型”，求解即可.【详解】由于π2αβ+=，得πsin sin()cos 2βαα=-=，所以设2sin ,(0,1)x x α=∈，2sin ,(0,1)y y β=∈，且1x y +=，则221414144()()5sin sin y xx y x y x y x yαβ+=+=++=++，其中4559y x x y ++≥+=（等号成立时4y x x y =，即12,33x y ==时成立）.故选：C.4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a【答案】C 【解析】【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.【详解】如图，设11B C ，11A C ，11A B 的中点分别为E ，F ，G ，则111112EF A G GB A B ===，111114C EF A B C S S = ，所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为3:4，由于两种状态下水的体积相等，所以当底面ABC 水平放置时，水面高为侧棱长的34，即34a .故选：C5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.243【答案】A 【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，所以不同的安排方法共有2213531322C 0C C A A ⋅=种.故选：A ．6.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯【答案】B 【解析】【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出1n a +，再适当放缩得出n b ，再结合等差数列的求和公式计算即可.【详解】由2145n n n a a a +++=可知21144n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，又11a =，25a =，所以2141a a -=，则数列{}14n n a a +-各项均为1，即111141433n n n n a a a a ++⎛⎫-=⇒+=+ ⎪⎝⎭，11433a +=，则数列13⎧⎫+⎨⎩⎭n a 是以43为首项，4为公比的等比数列，即()()112211411441213333n n n n n a a -++++=⨯⇒=-=-，由()22222214232212123n n nn n +⨯-⨯=>⇒->，()222121222122162422132212213n n n n n n n +++++⨯-⨯=>-⇒⨯>-⇒>-，故()22112122log 2,21nn n n a a n n +++<<⇒∈+，根据题意可知：[]21log 2n n b a n +==，所以()()120232023202322202320232024202322b b S ++⨯⨯===⨯.故选：B7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】求出,E F 的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.【详解】过点P 与双曲线渐近线b y x a =平行的直线PE 为00()by y x x a-=-，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a -⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay E b a --⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 与双曲线渐近线b y x a =-平行的直线PF 为00()by y x x a-=--，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay F b a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以000020200002222EFbx ay bx ay b x a a k bx ay bx ay a y b b+-⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+--，因为1EF OP k k =，所以220022001b x y b a y x a ⨯==，所以双曲线的离心率为c e a ===故选：D8.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】由常用不等式与作差法比较大小,【详解】设()sin f x x x =-，π02x <<，则()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故()(0)f x f >，即sin 0x x ->，则sin 0x x >>，且tan 0x >.11sin x x>，且tan 0x >所以11100,tan 0.010sin 0.010.01>=>，则1tan 0.01100sin 0.01a b =+>=；因为22515353357,2222⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10822225151513575112223525225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则123555775552322c ++=-=，所以7755512355510022b c +--=-=，由(2212315129,515125==，则123555>b c >.所以a b c >>.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】CD 【解析】【分析】根据对称性求得周期判断A ，整体代换法求解对称轴、对称中心判断BC ，代入正弦函数单调减区间求解判断D.【详解】因为函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，所以函数()f x 的最小正周期为π2π2π2T ω=⨯==，所以2ω=，故A 错误；()()sin 2f x x k ϕ=++，将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，则()πsin 24g x x k ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，又()g x 是偶函数，且最大值为2，所以πππ,Z 4212k k k ϕ⎧-=+∈⎪⎨⎪+=⎩，即3ππ,Z 41k k k ϕ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩，又ππ22ϕ-<<，所以π41k ϕ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()πsin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由ππ2π+,42x k k -=∈Z ，得3ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称轴方程为3ππ,82k x k =+∈Z ，当π8x =时，12k =-∉Z ，故B 错误；由π2π,4x k k -=∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称点为ππ,182k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =时，()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；当ππ3π2π22π,242k x k k +≤-≤+∈Z ，解得：3π7πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ，所以当0k =时，()f x 在区间3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：CD10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =【答案】BC 【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断AC ，根据条件概率和全概率公式判断BD.【详解】因为(|)0.95P A C =，所以(|)1(|)0.05P A C P A C =-=，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，故选项A 错误，C 正确；因为()()()()()0.950.0050.004750.005P AC P C A P A P A C P C ===⨯=<，故选项B 正确；由全概率公式可得()()()()(P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，则由条件概率公式知()()()()(|)()()()P AC P AC P C A P A P A C P C P A C P C ==+0.950.005190.950.0050.050.995218⨯==⨯+⨯，故选项D 错误.故选：BC11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号12345()i 对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1 D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数计算公式判断A ，先求标准差x σ，然后利用标准分计算3z 判断B ，计算12345,,,,z z z z z ，代入方差计算公式求解判断C ，利用i z 与i x 关系判断D.【详解】该数组的平均值10566875X ++++==，故选项A 正确；因为标准差5xσ==，所以3354Xx Xzσ-===-，故选项B 错误；114455Xx Xz σ-===，222455X x X z σ-===-，434455z z ===-，5554455Xx Xz σ-===，所以标准分z 的平均值为3555554244405z ---+==，所以该组原始数据的标准分z 的方差为22222355555000004244415⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，故选项C 正确；由题意()574i i z x ==-，若i jx x >，且i j ≠，则i j z z >，故选项D 错误.故选：AC12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点【答案】ABD 【解析】【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.【详解】()()g x f x '=，设()()h x f x ='，则()()g x h x =，则()()g x h x '='，所以()()f x h x ''=-，AB 选项,若()0f x =,则0x 不是()g x 的极大值点,也不是极小值点，故AB 错误；C 选项,考虑32(),()3f x x f x x '==，则2()()3g x f x x '==，显然两者有共同零点0，故C 正确；D 选项,若()()g x f x '=在0x 处取得极值,①若1x 处取得极大值,()10f x '>,则在1x 左右两侧无限小的区间内()0f x >,即()11,,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '>,所以()f x 在()11,x x δδ-+上单增,不符合题意,同理()10f x '≤,有()11,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '≤,所以不符合题意.②若1x 处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以D 选项错误.故选：ABD .【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：（1）结合导数得出原函数表达式；（2）假设成立，判断命题真假；（3）转化思想应用.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.【答案】54【解析】【详解】(2,6)m n +=，由()//m n m +，得()()61220a a -+--=，解得54a =.14.已知π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.【答案】0【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的二倍角公式计算即可.【详解】易知2sin 2tan tan 2tan cos 1tan αααααα===-，因为π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，若0α=，显然tan 0α=，上式恒成立，若π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan 0α<，所以2222tan 2tan 1tan 11tan 1tan ααααα=⇒=⇒=---，无解，综上可知tan 0α=.故答案为：015.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.【答案】34【解析】【分析】由,OA PA OB PB ⊥⊥得出点,A B 在以OP 为直径的圆C 上是关键，通过两圆方程相减得到直线AB 的方程，从而求出OAB 面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点,2P t （），因,OA PA OB PB ⊥⊥,故点,A B 在以OP 为直径的圆C 上，因圆心(,1)2t C，半径为2，故圆C 的方程为：2224:()(1)24t t C x y +-+-=，又圆O ：221x y +=，将两式左右分别相减，整理得直线AB 的方程为：:210AB l tx y +-=，于是，点(0,0)O 到直线:210AB l tx y +-=的距离为：d =，||AB ==，故OAB的面积为：2113=||224AOB S AB d t ⋅=⨯+ ，不妨设m =则m ≥，且223t m =-，故2111AOB m S m m m==++△，因1y m m =+在)+∞上单调递增，故433y ≥，此时34AOB S ≤△，即0=t 时，点(0,2)P 时，OAB面积的最大值为4.故答案为：4.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.【答案】①.9π②.【解析】【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径R ，再根据勾股定理求出球心O 到平面BCD 的距离，再由锥体体积求出点A 到平面BCD 的距离h ，直观想象可得点A 在球O 表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点A 在圆上运动，到定点B 的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.【详解】设外接球半径为R ，因为外接球的表面积为100π，则24π100πR =，解得5R =，设BCD △的中心为1O ，则12423BO ==，如图过点B 作球的轴截面，则13OO ==，设点A 到平面BCD 的距离为h ，(2134A BCDV h -==⨯⨯，解得7h =.则由题意知，点A 在以5为半径的球面上，且距离平面BCD 为7的平面内，则点A 在球O 表面的轨迹为圆，设圆心为2O ，且234OO h =-=则2222222549AO OA OO =-=-=，即圆2O 的半径为3，所以点A 在球O 表面的轨迹长度为9π；由题意可看作点A 在圆台12O O 底面圆周2O 上运动，则当AB 为圆台母线时，AB 最小，即当12,,,A B O O 四点共面时，AB 取最小值，如图，min AB ==故答案为：9π；【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.交轨法：根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）部分确定轨迹；4.基底（建系）法：通过选择基底（或建系）将几何问题数量化，得到动点满足的方程（组），进而分析方程表示的轨迹；5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .【答案】（1）1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数；（2）707【解析】【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】由题意可知当()21Nn k k *=-∈时，有221212n n k k a a a a ++--=-=，此时数列{}n a 的奇数项成等差数列，由题意可知11a =，公差为2，则()2112121k a k k -=+-=-，所以n a n =，（n 为奇数），当()2Nn k k *=∈时，有22224n n k k aa a a ++÷=÷=，即此时数列{}n a 的偶数项成等比数列，由题意可知22a =，公比为4，则1212242k k k a --=⨯=，所以12n n a -=，（n 为偶数），综上1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数.【小问2详解】由上可知()()1012101392410S a a a a a a a a a =+++=+++++++()()()()539214195139222707214-+⨯=+++++++=+=- 18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;（2）由AD 是角A 的内角平分线，可得到ABC ABD ACD S S S =+ ，化简得到32bc b c =+，表示出周长，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】因为2cos cos cos 2c a A B b A =-，由正弦定理可得：()2sin 22sin cos cos 2sin cos 2R C R A A B R B A =-,所以sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A=-因为在ABC 内，有πA B C ++=,所以()sin sin C A B =+，所以()()sin sin 2cos sin cos 2sin 2A B A B B A A B +=-=-,所以2A B A B +=-,或2πA B A B ++-=，即2A B =，或π3A =，由A B ≤，故π3A =.【小问2详解】因为AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，所以ABC ABD ACD S S S =+ ,即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc c b =⨯+⨯，整理得：2bc b c =+，所以()33bc b c =+≥⨯163bc ≥，当且仅当433b c ==时，上式取到最小值，在ABC 中由余弦定理可得：22222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=+-，所以ABC 周长：22ABC C a b c bc bc =++=³³，当且仅当433b c ==时，等号成立，所以ABC 周长的最小值为19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证得PE ⊥平面ABC ，再利用勾股定理求得PE ，从而得解；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】取BC 中点D ，连接AD ，PD ，在ACP △和ABP 中，AB AC =，AP AP =，PAC PAB ∠=∠，可得ACP ABP ≌△△，则CP BP =，所以PD BC ⊥，因为AD BC ⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面ADP ，所以BC ⊥平面ADP ，在平面PAD 中，过P 点作PE AD ⊥，交AD 延长线于点E ，连接CE ，BE ，PE ，因为BC ⊥平面PAD ，且PE ⊂平面PAD ，所以BC PE ⊥，又AD BC D = ，,AD BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，即PE 为点P 到平面ABC 的距离，在PCA V 中，π3PAC ∠=，4,2PA AC ==，由余弦定理可得2222212cos 42242122PC PA AC PA AC PAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则PC =，在Rt ABC △中，12AD CD BC ===，在Rt PCD中，PD ===在Rt PAE △中，22222PE PA AE PD DE =-=-，则)221610DEDE -+=-，解得DE =，则2221028PE PD DE =--==，即PE =，所以点P 到平面ABC的距离为.【小问2详解】由（1）知,CD BD AD DE ==，所以四边形ABEC 是平行四边形，又,AB AC AB AC ⊥=，所以四边形ABEC 是正方形，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，(2,2,P ，可得(2,0,0)AB =，(2,2,AP = ，(2,2,0)CB =-，(0,2,BP =，设平面PAB 的法向量为(,,)m a b c =，则20220m AB a m AP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，则0a =，1c =-，即1)m =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则22020n CB x y n BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =-，则x =，y =，即)1n =-，设平面PAB 与平面PBC 的夹角θ，则π02θ<<，可得15cos cos ,5m n m n m n θ⋅====⋅，10sin 5θ===，所以平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值105.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.【答案】（1）20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；（2）514.【解析】【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；（2）设直线AB 和,A B 坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出,C D 坐标，从而判定CD 过定点，通过消元转化及基本不等式求面积最值即可.【小问1详解】设点(),P x y ，则由题意可知：1x +=，化简得222x y x =-，若200x y <⇒=，即0,0x y <=，若204x y x ≥⇒=，综上可知动点P 的轨迹方程W 为：20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；【小问2详解】根据（1）知0x ≥时，2:4W y x =，由题意可设221212:4,,,,44AB y y l x ky A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22,,,44C D C D y y C y D y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨令A 在第一象限，则,B C 在第四象限，D 在第一象限，如图所示，联立抛物线方程22441604y xy ky x ky ⎧=⇒--=⎨=+⎩，显然12124,16y y k y y +==-，同理可设过F 点的直线为1x my =+，与抛物线联立有2440y my --=，则124,4C D y y y y =-=-，所以2211224444,,,C D y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0k =时，易得124y y =-=，则11,1,,144C D ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1:4CD l x =，若0k ≠，则CD 斜率存在，则2212211214444:44CD y y l x y y y y y -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，化简得()121214164444k y y x y y y x ky x y =-+-⇒-=--⇒=+，综上可知直线CD 横过定点1,04G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()121122FCD FAB D C S S GF y y MF y y +=⨯⨯-+⨯⨯-1211213115116512324y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-+-=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14y =时取得最小值514.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.879【答案】（1）否（2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据2χ计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问1详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联，由题意，2280(4661414)0.356 3.84160206020χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问2详解】对于甲方案：以X 记“第1人维护的20台设备中同一时刻发生故障的台数”，以()1,2,3,4i A i =表示事件“第i 人维护的20台设备发生故障时不能及时维修”，则知80台设备发生故障时不能及时维修的概率为：()()()123412P A A A A P A P X ⋃⋃⋃≥=≥，而()~20,0.01X B ，故有()()()20191202110.01C 10.010.010.0169P X ≥=---⋅-⋅≈，所以()12340.0169P A A A A ⋃⋃⋃≥；对于乙方案：以Y 记“80台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时()~80,0.01Y B ，则80台设备发生故障时不能及时维修的概率为()()()()()80797821280804110.01C 10.010.01C 10.010.01P X ≥=---⋅-⋅-⋅-⋅()()773380C 10.010.010.0087-⋅-⋅≈，可得0.00870.0169<，故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.22.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【答案】（1）①证明过程见解析，②2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出()()00f x f ≥=；②先得到()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，考虑[]0,πx ∈时，求导，结合①可知，()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；（2）先得到1123cos cos cos cos n n a a a a a +⋅⋅⋅=，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，由（1）可知122n n na a a +<-，从而裂项相消法求和得到证明.【小问1详解】①()cos cos sin sin 0f x x x x x x x '=-+=≥在[]0,πx ∈恒成立，故()sin cos f x x x x =-在[]0,πx ∈上单调递增，故()()00f x f ≥=，证毕；②[]π,πx ∀∈-，恒有()()()()221cos 1cos 22x x g x x x g x ⎡⎤-⎛⎫-=+-=+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，当[]0,πx ∈时，()()22cos 1sin cos sin sin 22x x g x x x x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，由①可知，cos sin 0x x x -≤在[]0,πx ∈上恒成立，又2sin 02x x -≤，故()0g x '≤在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，故()()22minππππc22g x g ⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，()()max 01g x g ==，结合函数在[]π,πx ∈-上为偶函数可得，函数值域为2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以33124112312cos cos cos cos n n nn a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，其中0n a >，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以10cos 1n n n n a a a a +<=≤≤，由（1）可知12221cos 212n n n n n n na a a a a a a +=<⋅=++，上式两边取倒数得2121122n n n n n a aa a a ++>=+，故122n n n a a a +<-，于是12312132122222232n n n a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112222n n a a a a ++=-+=，N n *∈，所以()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
重庆市万州2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市万州2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（答案在最后）满分：150分，时间：120分钟第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关系中正确的个数为（）①2R ∈Q ，③|3N |-∈④||Q ∈A.1个B.2个C.3个D.4个2.高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（）A.3B.4C.5D.93.命题:2p x ∀>，210x ->，则命题p 的否定形式是（）A.2x ∀>，210x -≤B.2x ∀≤，210x ->C.2x ∃>，210x -≤D.2x ∃≤，210x -≤4.下列各组函数相等的是（）A.()2f x x =，()4g x =B.()1f x x =-，()21x g x x=-C.()1f x =，()0g x x= D.()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩5.满足{1,2}A ⊆⫋{1,2,3,4,5}的集合A 的个数为（）A.6B.7C.8D.156.已知实数,0x y >，且211x y+=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.()9,1- B.()1,9- C.[]1,9- D.()(),19,-∞-+∞ 7.已知实数集A 满足条件:若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积为（）A.1B.1- C.1± D.与a 的取值有关8.记{}max ,,x y z 表示,,x y z 中最大的数．已知,x y 均为正实数，则2221max ,,4x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最小值为（）A.12B.1C.2D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B.“A =∅”是“A B =∅ ”的充分不必要条件C.若R a b c ∈,,，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件10.若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.b a a b > B.2ab b >C.11b b a a +<+ D.11a b b a+>+11.下列结论中，错误的结论有（）A.()43y x x =-取得最大值时x 的值为1B.若1x <-，则11x x ++的最大值为2-C.函数()2f x =的最小值为2D.若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b +的最小值为32+第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 的定义域为(4,2)--，则函数()(1)g x f x =-+的定义域为______.13.已知37,12x y <<<<，则yx的取值范围是______.14.若关于x 的不等式()22120x a x a -++<恰有两个整数解，则a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实数根．（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 、q 有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．16.已知集合{|215}A x x =-≤-≤、集合{|121}B x m x m =+≤≤-（m ∈R ）.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.已知定义在R 上的函数满足：()()2223f x f x x x +-=-+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若不等式()21f x ax ≥-在[]1,3上恒成立，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()2111y m x m x m =+--+-．（1）若不等式()()21111m x m x m +--+-<的解集为R ，求m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()21210m x mx m +-+-≥；（3）若不等式()()21110m x m x m +--+-≥对一切1122x x x ⎧⎫∈-≤≤⎨⎩⎭恒成立，求m 的取值范围．19.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，1ab =，求证：11111a b+=++．证明：原式111111ab b ab a b b b =+=+=++++．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．2a b+≤（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？解：0x >，10x >，12x x +∴≥1x x +≥，12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：（1）已知1a b ⋅=，求221111a b +++的值．（2）若1a b c ⋅⋅=，解关于x 的方程5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++．（3）若正数a ，b 满足1a b ⋅=，求11112M a b=+++的最小值．重庆市万州2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题满分：150分，时间：120分钟第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】[2,1)--【13题答案】【答案】1273y x <<【14题答案】【答案】112a a ⎧-≤<-⎨⎩或322a ⎫<≤⎬⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭（2）()()13,2,2,22⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【16题答案】【答案】（1）()(),25,∞∞-⋃+（2）7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【17题答案】【答案】（1）()21213f x x x =++（2）13a ≤+【18题答案】【答案】（1）m <（2）当1m <-时,解集为111m x x m ⎧⎫-≤≤⎨⎬+⎩⎭;当1m =-时,解集为{}1x x ≥;当1m >-时,解集为111m x x x m ⎧⎫-≤≥⎨⎬+⎩⎭或.（3）[)1,+∞【19题答案】【答案】（1）1（2）15x =（3）2-。
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万州中学高2017级高一上期12月月考数学试题命题人：雷世波注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。
4. 所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1．全集{}1,2,3,4,0U =----，{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（ ）A. {}0B. {}3,4--C. {}1,2--D. ∅2. 已知角α的终边过点(2,1)-，则cos α的值为（ ）C.D. 3. 当[]1,1-∈x 时，函数23)(-=x x f 的值域是（ ） A. 5[,1]3- B. [1,1]-C. 5[1,]3D. [0,1]4. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 5．若0.52a =，log 3b π=，1ln3c =，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >> 6．函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11, 42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7. 同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是（ ）A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-8. 已知tan 2θ=，则221sin sin cos 2cos θθθθ+-（ ）A. 43-B.54 C. 34- D. 459. 函数ln y x x =⋅的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 若函数1()lnsin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式(2)(22)0f a f a -+->的解集是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．14,23⎛⎫⎪⎝⎭ C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置.） 11. sin(120)︒-= _________.12. 若函数1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f = _________. 13. =-+--4log 12log 9log )827(332731_________.14. 若函数()f x 是偶函数，对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=，且[1,0]x ∈-时，()f x x =-，则方程()lg f x x =的实根个数为_________.15. 若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. (本题满分13分)设全集U R =，已知函数()f x =A ，函数()()1,102xg x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为集合B , （1）求 ()U A B ð；（2）若{}|21C x a x a =≤≤-且B C ⊆,求实数a 的取值范围.17. (本题满分13分)已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----， （1）化简()fα；（2）若31cos()25πα-=，求()f α的值.18. (本题满分13分)已知函数()2sin 6f x x m πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0ω>）的图像过点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，且其相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求实数m 的值及()x f 的单调递增区间； （2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求()x f 的值域.19. (本题满分12分)已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2，求实数a 的值．20．(本题满分12分)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （单位：微克）与时间t （单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线， （1）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1,参考数据：lg 20.301=）21. (本题满分12分)设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，（1）若不等式2()0f x x ->在1(0,)2内恒成立，求a 的取值范围；（2）判断是否存在大于１的实数a ，使得对任意1[,2]x a a ∈，都有22[,]x a a ∈满足等式：12()()f x f x p +=，且满足该等式的常数p 的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a 的值；若不存在，请说明理由.万州中学高2017级高一上期12月月考数学答案1-10 BDADC CCBDC11. -12.2 13. 1 14. 9 15. [3,2]-- 16.解：（1）{}(1,),[1,2],(,1],()1U U A B A A B =+∞=∴=-∞∴=痧； （2）若,C =∅ 则21,1a a a >-∴<；若,C ≠∅则13,12122a a a ≥⎧∴≤≤⎨-≤⎩， 综上，3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.解：（1）(cos )(sin )(tan )()cos (tan )sin f ααααααα--==--； （2）∵31cos()25πα-=, ∴ 1sin 5α-=即1sin 5α=-，又α为第三象限角∴cos α==, ()f α∴=562.18.解：（1）由题意可知，,2T πω==，52sin 21126m ππ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，所以1m =.所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解πππππk x k 226222+≤+≤+-)(Z k ∈ 得：ππππk x k +≤≤+-63)(Z k ∈，所以()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 6,3)(Z k ∈；（2）因为 20π≤≤x 所以π≤≤x 20所以67626πππ≤+≤x ，所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以()x f 的值域为[]0,3. 19.解：22sin sin 26,sin ,[1,1]y x a x a a x t t =-+-++=∈-令2226y t at a a =-+-++，对称轴为2at =，当12a<-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，2max 1|52t y y a a =-==-++=，得2130,2a a a ±--==与2a <-矛盾；当12a>，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，2max 1|352t y y a a ===-++=，得233330,2,22a a a a a --==>=而即； 当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 23|2624a t y y a a ===-++=，得24438160,4,2,33a a a a a --==-≤≤=-或,而-2即；∴43,32a +=-或．20.解：(1）4,01()50.8,1tt t f t t <<⎧=⎨⨯≥⎩，（2）服药0.25小时（即15分钟）后开始有治疗效果，持续7小时.21.解：(1）不等式2log a x x >在1(0,)2内恒成立，所以在1(0,)2内y log a x =图像在2y x =图像的上方，2011, 1.1116log 22a a a <<⎧⎪∴∴≤<⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）假设存在大于1的实数a 满足条件，由12()()f x f x p +=，即1212log log log ()a a a x x x x p +==，12p x x a ∴=，把2x 看作1x 的函数21pa x x =，其在区间[,2]a a 上单调递减，1[,2]x a a ∴∈时，2[,]2p p a a x a a ∈，22log 22,3pa p a a p ap a a a⎧≥⎪≥+⎧⎪∴∴⎨⎨≤⎩⎪≤⎪⎩，因为常数p 的取值唯一，所以2log 23,2a a +=∴=.所以存在大于1的实数a ，且2a =.。