山东省济南市高一数学下学期5月月考试卷(尖子班,含解析)-人教版高一全册数学试题

2016-2017学年某某省某某市尖子班高一（下）5月月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．2．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A．B．C．D．3．{a n}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．84．设数列{a n}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S4＜S5B．S4=S5 C．S6＜S5D．S6=S55．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣216．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．77．小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{a n}有以下结论，（1）a5=15；（2）{a n}是一个等差数列；（3）数列{a n}是一个等比数列；（4）数列{a n}的递推公式a n+1=a n+n+1（n∈N*）．其中正确的是（）A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（2） D．（1）（4）8．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为（）1 20.5 1abcA．1 B．2 C．3 D．9．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．10．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A．B．C．D．11．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是（）A．18 B．19 C．20 D．2112．已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C=．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=．15．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=的值为．16．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=．三、解答题：（本大题6小题共70分）17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．18．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．（1）求a n；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？19．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求{a n}的通项；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的值．20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C 和△ABC的面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2且sinB+sinC=．（1）求sinA；（2）求△ABC面积S的最大值．21．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．（1）已知数列{b n}是项数为9的对称数列，且b1，b2，b3，b4，b5成等差数列，b1=2，b4=11，试求b6，b7，b8，b9，并求前9项和s9．（2）若{}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为31，公差为﹣2的等差数列，数列{}前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）设{d n}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为1，公比为2的等比数列．求{d n}前n项的和S n（n=1，2，…，100）．2016-2017学年某某省某某市平阴一中尖子班高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．【考点】87：等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．2．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC 即可．【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A．3．{a n}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】通过记前三项分别为a2﹣d、a2、a2+d，代入计算即可．【解答】解：由题可知3a2=12，①（a2﹣d）a2（a2+d）=48，②将①代入②得：（4﹣d）（4+d）=12，解得：d=2或d=﹣2（舍），∴a1=a2﹣d=4﹣2=2，故选：B．4．设数列{a n}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S4＜S5B．S4=S5 C．S6＜S5D．S6=S5【考点】8F：等差数列的性质．【分析】先由通项公式求a1，d，再用前n项和公式验证．【解答】解：∵a2=﹣6，a8=6∴a1+d=﹣6，a1+7d=6得a1=﹣8，d=2∴S4=S5故选B5．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C6．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．7【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，代入log3b1+log3b2+…+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7•b8=3，∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3（b1b14b2b13…b7•b8）=log337=7故选D．7．小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{a n}有以下结论，（1）a5=15；（2）{a n}是一个等差数列；（3）数列{a n}是一个等比数列；（4）数列{a n}的递推公式a n+1=a n+n+1（n∈N*）．其中正确的是（）A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（2） D．（1）（4）【考点】8H：数列递推式；8D：等比关系的确定．【分析】根据题意，结合等差数列的求和公式算出a n=1+2+3+…+n=，由此再对各个选项加以判断，可得（1）和（4）是真命题，而（2）（3）是假命题．【解答】解：根据题意，可得a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…发现规律：a n=1+2+3+…+n=，由此可得a5==15，故（1）正确；{a n}不是一个等差数列，故（2）不正确；数列{a n}不是一个等比数列，可得（3）不正确；而a n+1﹣a n=﹣= [（n+2）﹣n]=n+1故a n+1=a n+n+1成立，故（4）正确综上所述，正确命题为（1）（4）故选：D8．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为（）1 20.5 1abcA．1 B．2 C．3 D．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等差数列的定义和性质求出表格中前两行中的各个数，再根据每一纵列各数组成等比数列，求出后两行中的各个数，从而求得a、b、c 的值，即可求得a+b+c 的值．【解答】解：按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a=，b=，c=，则a+b+c=．故选：D．1 2 3 40.5 1 1.5 20.25 0.5 0.75 10.125 0.25 0.375 0.50.0625 0.125 0.1875 0.259．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．10．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A．B．C．D．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．【解答】解：∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，，====故选D．11．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是（）A．18 B．19 C．20 D．21【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a2005+a2006=﹣=2和a2005•a2006=；再把所得结论用a2005和q表示出来，求出q；最后把所求问题也用a2005和q表示出来即可的出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q．因为a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根所以a2005+a2006=﹣=2，a2005•a2006=．∴a2005（1+q）=2 ①a2005•a2005•q=②∴==，又因为q＞1，所以解得q=3．∴a2007+a2008=a2005•q2+a2005•q3=a2005•（1+q）•q2=2×32=18．故选A．12．已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4【考点】8G：等比数列的性质．【分析】假设后三个数均未算错，根据题意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．再假设S2算错了，根据题意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．进而得到答案．【解答】解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．故选C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sinC=，则∠C=．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sin C=，求出∠C的值．【解答】解：因为在△ABC中，若a2+b2＜c2，所以三角形是钝角三角形，∠C＞90°，又sin C=，所以∠C=．故答案为：．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若= 1 ．【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的等差中项的性质，把2a5=a1+a9和2a3=a1+a5代入即可求得答案．【解答】解： ===1故答案为115．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=的值为0 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=0，a n+1=，可得a2=﹣，a3=，a4=0，…，可得：a n+3=a n．即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=0，a n+1=，∴a2=﹣，a3=，a4=0，…，可得：a n+3=a n．∴a2008=a669×3+1=a1=0．故答案为：0．16．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•= ﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．三、解答题：（本大题6小题共70分）17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．【考点】HX：解三角形；HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．18．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．（1）求a n；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【考点】8E：数列的求和；7F：基本不等式；82：数列的函数特性．【分析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：a n=a1+2（n ﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．【解答】解：（1）如图，a1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．19．已知{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16（1）求{a n}的通项；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）求{a n}的通项，由题设条件{a n}是等差数列，其中a1=25，a4=16故通项易求，（2）求数列各项的绝对值的和，需要研究清楚数列中哪些项为正，哪些项为负，用正项的和减去负项的和即可．【解答】解：（1）∵a4=a1+3d∴d=﹣3∴a n=28﹣3n（2）∵∴数列{a n}从第10项开始小于0∴|a n|=|28﹣3n|=当n≤9时，|a1|+|a2|+…+|a n|=，当n≥10时，|a1|+|a2|+…+|a n|=（|a1|+|a2|+…+|a9|）+（|a10|+|a11|+…+|a n|）====∴|a1|+|a2|+…+|a n|=20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C 和△ABC的面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2且sinB+sinC=．（1）求sinA；（2）求△ABC面积S的最大值．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】（1）△ABC的面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2 从而求出sinA=4（1﹣cosA）即可解得sinA的值；（2）sinB+sinC=．外接圆半径为6从而可求得b+c=16，故，当b=c=8时，．【解答】解：（1）S=a2﹣b2﹣c2+2bc=2bc﹣2bccosA=2bc（1﹣cosA）．又∴⇒sinA=4（1﹣cosA）联立得：得：16（1﹣cosA）2+cos2A=1⇒（17cosA﹣15）（cosA﹣1）=0∵0＜A＜π，∴cosA﹣1≠1∴（2）∵，∴∵R=6，∴b+c=16∴∴当b=c=8时，．21．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．（1）已知数列{b n}是项数为9的对称数列，且b1，b2，b3，b4，b5成等差数列，b1=2，b4=11，试求b6，b7，b8，b9，并求前9项和s9．（2）若{}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为31，公差为﹣2的等差数列，数列{}前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）设{d n}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为1，公比为2的等比数列．求{d n}前n项的和S n（n=1，2，…，100）．【考点】8B：数列的应用；8E：数列的求和．【分析】（1）求出{b n}的前4项，利用对称性得出后4项；（2）根据对称性求出S2k﹣1关于k的函数，利用二次函数的性质得出S2k﹣1的最大值；（3）由对称可知{d n}前50项为公比为的等比数列，讨论n与50的大小关系得出S n．【解答】解：（1）设{b n}前5项的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得 d=3，∴b6=b4=11，b7=b3=2+2×3=8，b8=b2=2+3=5，b9=b1=2，∴s9=2（2+5+8+11+14）﹣14=66；（2）S2k﹣1=c1+c2+…+c k﹣1+c k+c k+1+…+c2k﹣1=2（c k+c k+1+…+c2k﹣1）﹣c k∴，∴当k=16时，S2k﹣1取得最大值．S2k﹣1的最大值为481．（3）．由题意得 d1，d2，…，d50是首项为249，公比为的等比数列．当n≤50时，S n=d1+d2+…+d n=．当51≤n≤100时，S n=d1+d2+…+d n=S50+（d51+d52+…+d n）=综上所述，．。