任意角的三角函数 (2)
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
三角函数任意角2
第一章三角函数1.1.1任意角（2）学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
学习重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点：“旋转”定义角课堂探究：一、复习回顾任意角的概念，角可以分为正角、负角和零角；象限角的概念及所有与α角终边相同的角的集合的表示法S={β|β=α+k×3600，k∈Z}.我们将进一步学习并运用任意角的概念，解决一些简单问题。
二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(作业纸)
课题：§1.2任意角的三角函数（二）作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1．如果角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数5y x =- (0)x <的 图象上，那么cos α的值为 .2．若点P 在3π的终边上，且2OP =，则点P 的坐标 ． 3．角α的终边终过点(3,5)P a a -，那么2sin 3cos αα-的值是 ． 4．已知点(cos ,tan )p θθ在第三象限 ,则在区间[0,2)π内θ的取值范围是 . 5. 已知角α的终边上一点P 与点(3,2)A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关 于原点对称，则2sin 3sin αβ+的值为 ．6．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．则α的值为 . 7．若π4 <α < π2，则 sinα、cosα、tanα的大小关系为 < <________.8．若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．9．在(0,2)π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是 ．10．若0 < α < 2π，且sinα<23，cosα> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是 .二、解答题：11．试作出角（1）πα43-=，（2）314π的正弦线、余弦线、正切线．12. 若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α,tan α之间 的大小关系。
13、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥22； ⑵ cos x ≤ 12 ； ⑶ tan x ≥－1 ；三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
1.2.1任意角的三角函数(二)
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首页 例2、若0 , 试比较 sin , tan ,的 2 教学过程 大小.
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G S P
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首页 例1、作出下列各角的正弦线, 余弦线, 正 切线 : 教学过程 5 (1) ; ( 2) ; 引入 3 6 进行 2 13 小结 (3) ; ( 4) ; 3 6 作业
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2、求下列三角函数值 :
(1) sin( 1050 );
0
19 ( 2 ) tan . EXIT 3
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首页 三角函数的几何意义 :
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教学过程
三角函数线
G S P G S P
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引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 1.2.1 任意角的三角函数 (二)
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
O P=1
在 O M P中 ， O M +M P>O P
y
P M x
o
即 ： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习： 不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作 出 下 列 各 角 的 三 角 正 弦 线 , 余 弦 线 , 正 切 线 , 并 根 据 三 角 函 数 线 求 它 的 正 弦 值 ,余 弦 值 ,正 切 值 . (1)
4
(2)
4 3
y
T P A M x
4 3
2
s in 1 cos
1 cos s in
证 明 ： 如 图 连 接 AP 在 直 角 CPA中 ，
PCA APM
y
P x MA
2
C
2
o
在 直 角 AM P中 ， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in
1.2.1任意角的三角函数(2)
例2 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ; ⑵ tan 2. 2
角的终边
y 1 y
P
1
O 1
1 y 2
1 角的终边 x
P
1
M1
O
- P 1
1
A
x
T
1 变题： 写出满足条件 ≤cosα＜ 2 2 的集合. y
3 的角α 2
3
Q
1
P
6
x
-1
4 3
引入：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特 征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
[探索]
三角函数线
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
y MP sin MP (正弦线) r OP x OM cos OM (余弦线) r OP
课后完成《世纪金榜》P8~P10
预习下节内容：同角三角函数的基本关系
O R -1
S1
11 6
2 |2k ＜α≤ 2k ，或 6 3 4 11 2k ，k Z ≤α＜ 2k 3 6
1. 求函数 f (x ) = 2 cos x - 1 的定义域.
解：如右图所示
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα. S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
y AT tan AT (正切线) x OA
三角函数线
α的终边 P A M o y y P α的终边 T
x T
o
M A x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
T M o P
M A A x
1.2.1任意角三角函数2
y r P(x,y)
α
o M
x
例：作出角 的正弦线、余弦线、正切线． 3
分层训练
• 必做题 P15 练习：7（2） 选做题 • P15 练习：8 P23 习题：17 • 作业 P22 ：习题：2(1)(3)、3
y MP AT tan AT x OM OA
y r
T
P(x,y)
A
α
o MxΒιβλιοθήκη 这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x 轴上时， 正弦线、正切线分别变成一个点；
当角 的终边在 y 轴上时， 弦线变成一个点，正切线不存在．
有向线段
• 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称 为有向线段。 • 有向直线：规定正方向的直线称为有向直线。 • 有向线段的数量
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， 都看 MP 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正 弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1 x x cos x OM r 1
任意角的三角函数(2)
学习目标
• 会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别 表示α的正弦、余弦、正切函数值； • 了解有向线段的含义。
自学指导
• 什么叫三角函数线？它们有方向性吗？ • 当α角终边分别Y轴的左、右两侧及在X轴、Y 轴上时，正弦线、余弦线、正切线各有什么 特点？
自主检测：P15 练习题7（1）
三角函数2 任意角的三角函数
大成培训三角函数教案2 任意角的三角函数教学目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切函数值；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和函数的值在各象限的符号重点难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，如何用三角函数线表示三角函数值，各象限内三角函数值的符号 引入新课1、回顾初中锐角的三角函数的定义2、问题：（1）怎样用坐标法定义锐角的三角函数？ （2）怎样用坐标法定义任意角的三角函数？3、三角函数的定义及其定义域：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。
（1）比值_____叫做α的正弦，记作__________，即___________，定义域为__________。
（2）比值_____叫做α的余弦，记作__________，即___________，定义域为__________。
（3）比值_____叫做α的正切，记作__________，即___________，定义域为__________。
4、各象限内三角函数值的符号。
正弦：填入[ ]中；余弦：填入( )中；正切：填入{ }中 5、有向线段、有向线段的数量6、三角函数线表示三角函数值。
例1、已知角α的终边经过点(2,3)，求α的正弦、余弦、正切。
例2、确定下列三角函数值的符号： （1）7cos12π （2）sin(465)- （3）11tan 3π思考：根据单位圆中的三角函数线，探究：（1）正弦、余弦、正切函数的值域； （2）正弦、余弦函数在]2,0[π上的单调性；（3）正切函数在区间(－2π，2π)上的单调性。
[ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { }xy O例3、已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边在直线y kx =上，若sin α=，且cos 0α<，试求实数k 的值。
任意角三角函数2
三角函数线的概念与运用．
重点
三角函数线的概念与运用．
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难点与学法
难点提示
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• 单击此处编辑母版文本样式 三角函数线的灵活运用.
– 第二级
数学必修4—第一章
学法提示 – 第四级
» 第五级 1.请同学们课前将学案与教材 P 1118 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符
• 第三级
号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨 论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “听” 、 “问” 、 “通” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
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数学必修4—第一章
第一章 – 第二级
• 第三级
三角函数
– 第四级 » 第五级
1.2.2任意角的三角函数(2)
成都经开区实验高级中学
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目标
两个同名三角函数值的大小、表示角的范围及其它运用； – 第二级
学习目标与重点
•6.在平面坐标系中点的坐标是怎么来的？坐标是不是对应着一个有向线段？（链接 单击此处编辑母版文本样式 1）
–2第二级 在第 中我们用符号语言、文字语言来描述了三角函数的定义的，那么你能用图形语
– 第四级 0 0 0 1.求下列各式的值:(1) sin 810 tan 765 cos 360 =__________ 1 ； » 第五级
三角函数3 任意角的三角函数(2)
大成培训三角函数教案3 任意角的三角函数(2)教学目标：进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。
重点难点: 三角函数的值域，求解有关象限角问题。
引入新课1、回顾三角函数的定义2、问题：（1）怎样确定一个角的三角函数值？（2）怎样用三角函数线表示三角函数值？（3）各象限内三角函数值的符号如何确定？3、练习：（1）已知角α的终边经过点(1,2)-，则cos α的值为_______________。
（2）已知角α的终边经过点(4,3)P a a -(0)a ≠，则=+ααsin 2cos （ ）A 、52 B 、52或－52 C 、53 D 、－52 （3）函数|tan |tan cos |cos |x x x x y +=的值域为________________。
（4）在单位圆中作出符合下列条件的角的终边：1cos =x1tan -=x 75.0sin =x例题剖析例1、已知角α的终边过点(39,2)P a a -+，且cos α≤0，0sin >α，求a 的取值范围。
例2、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，求tan α的值。
例3、求函数y =x x cos sin -+的定义域。
例4、（1）若－32π≤θ≤6π，试确定sin θ的取值范围。
（2）若︒30≤θ≤︒120且︒≠90θ，试确定θtan 的取值范围。
例5、分别写出满足下列条件的θ的集合（1）1tan ->θ （2）21-≤sin θ23<巩固练习1、求函数y=x x sin 2311sin 2-++的定义域。
课堂小结借助三角函数求角的值；判断三角函数在象限内的符号；三角函数的值域。
课后训练一、基础题1、若角α(πα20<<)的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么α的值为 ( )A 、4π B 、43π C 、47π D 、43π或47π 2、若三角形的两内角α、β满足0cos sin <βα，则此三角形形状是 ( )A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、不能确定3、函数|tan |tan cos |cos |sin |sin |x x x x x x y ++-=的值域为________________。
(浙江专用版)高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)课件新人教A版必修2
任意角的三角函数
1.2.1 任意Biblioteka 的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、 余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
三角函数的定义域
答案
π 正切函数 y＝tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z? π 当 x＝kπ＋2，k∈Z 时，角 x 的终边在 y 轴上，此时任取终边上一
yP 点 P(0，yP)，因为 0 无意义，因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y π ＝tan x，必须要求 x∈R 且 x≠kπ＋2，k∈Z.
解答
反思与感悟 线段的正负.
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1) 角的位置要 “ 对号入座 ” ； (2) 比较三角函数线的长度； (3) 确定有向
跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向 延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1
集合.
1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值 2
1 解 已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2. 1 所以在 y 轴上取点0，2， 过这点作 x 轴的平行线，
梳理
正弦函数y＝sin x的定义域是 R ；余弦函数y＝cos x的定义域是 R； π xx∈R且x≠kπ＋ ，k∈Z 2 正切函数y＝tan x的定义域是___________________________.
【精品资料】任意角的三角函数(二)
任意角的三角函数(二)教学目标：1．根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的某种函数值符号，反馈出α可能存在的象限．2．掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角α的三角函数值转化为[)π20，中角的三角函数值． 教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：运用诱导公式把角α的三角函数值转化为[)π20，中角的三角函数值． 教学用具：直尺、圆规、投影仪． 教学过程 1．设置情境设角βα、均是第二象限角，依三角函数定义，为了求βα、的四个三角函数值，只要分别在βα、终边上取点()11y x P ，、()22y x Q ，，由比值OP y 1，OPx 1，11x y ，11y x ，及OQ y 2，OQ x 2，22x y ，22y x可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于Q P 、均在第二象限，故21x x ，同号，21y y ，同号，因而可见，βα、的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。
那么，当βα、分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就可讨论这一问题．2．探索研究（1）三角函数值的符号今后我们还要经常用到三角函数在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值，根据三角函数定义可知，三角函数值符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角函数值的符号．观察六个三角函数，可发现αsin 与αcsc ，αcos 与αsec ，αtan 与αcot 互为倒数，因此它们的符号规律相同．ry=αsin 当α在第一、二象限时，0>y ，0>r ，所以αsin 为正，而当α在第三、四象限时，0<y ，0>r ，αsin 为负的．同理rx=αcos 对于第一、四象限角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．x y =αtan 与yx=αcot ，当α在第一、三象限时，x 与y 同号，所以0tan >α，0cot >α，而当α 在第二、四象限时，x 与y 异号，0tan <α ，0cot <α． 现在我们将以上讨论结果整理成图1．1图可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．同学们还可以自己用口诀“全正，s 正，t 正，c 正”来记忆．（2）诱导公式一上节课我们已学过同终边的角，例如390和330-都与30终边位置相同． ∵30360390+=30360330+-=- ∴由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即30sin 390sin = 30cos 390cos =() 30sin 330sin =- ()30cos 330cos =-30tan 390tan = ()30tan 330tan =-推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等，即这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～360°角的三角函数值问题． （3）例题分析【例1】确定下列三角函数值符号： （1）()21556tan '-；（2）516cosπ；（3）⎪⎭⎫⎝⎛-4sin π 解：（1）()()()021196tan 21196360tan 21556tan <'-='--='-（2）054cos 544cos 516cos<⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ （3）∵4π-是第四象限角，∴04sin <⎪⎭⎫⎝⎛-π 练习1、课本P19练习3、4【例2】求证角θ为第三象限角的充分必要条件是0sin <θ ，0tan >θ．证明：必要性：当θ为第三象限角时，0sin <θ ，0tan >θ；充分性：∵0sin <θ成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵0tan >θ成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．练习2、课本P19练习5【例3】求下列三角函数值：（1）011480sin '；（2）()1020cos -；（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-611tan π．解：（1）()6451.00140sin 36040140sin 011480sin ='=⨯+'='（2）()()2160cos 360360cos 1020cos ==⨯-=-（3）336tan 26tan 611tan ==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ 练习3、课本P19练习6课本P20习题4.3 6【例4】如果θ在第二象限，则()()θθsin cos cos sin ⋅的值是什么符号？ 解：∵θ在第二象限，∴0cos 1<<-θ 1sin 0<<θ ∴()0cos sin <θ，()0sin cos >θ ∴()()0sin cos cos sin <⋅θθ 【例5】若α是第二象限的角，且2cos2cos αα-=，问2α是第几象限角？ 解：∵α是第二角限的角， ∴()Ζ∈+<<+k k k ππαππ222 ∴()Ζ∈+<<+k k k 224ππαππ∴2α终边在第一或第三象限角， 又∵2cos2cosαα-= ∴02cos≤α故2α是第三象限的角． 【例6】求值：()()495tan 750sin 1020cos 1110cos 1320sin +-+- 解：原式()()()()()135360tan 303602sin 603603cos 303603cos 1203604sin +++⨯+⨯-++⨯+⨯-=135tan 30sin 60cos 30cos 120sin +⋅+=0121212323=-⨯+⨯=3．反馈练习（1）已知α是第三象限角且02sin <α，则（ ）A ．02cos<αB ．02cos>αC ．02tan>αD ．02cot>α（2）下列各式为正号的是（ ）A ．2sin 2cos -B ．2sin 2cos ⋅C ．2sec 2tan ⋅D ．2tan 2sin ⋅ （3）若()θθtan sin lg ⋅有意义，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第一或第四象限角D ．第一或第四或x 轴正半轴（4）已知α的终边过点()293+-a a ，，且0c o s ≤α，0sin >α，则α的取值范围是____________．（5）函数xxx x xx tan tan cos cos sin sin ++的值域是_____________． 参考答案：（1）B ； （2）C ； （3）C ； （4）32≤<-a ； （5）{}13-，4．本课小结（1）确定三角函数定义域时，主要应抓住三角函数定义中，比值的分母不得为零这一制约条件，当终边落在坐标轴上时，终边上任一点()y x P ，的坐标中，必有一分量为0，故相应有一比值无意义．（2）()Ζ∈=k k a π时，αcot ，αcsc 无意义，这两个函数定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Ζk k ，2ππαα 课时作业：课本P20习题4.3 7、8、9、101．确定下列三角函数值的符号（1）186sin （2）505tan （3）π6.7sin （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π423tan （5） 940cos （6）⎪⎭⎫⎝⎛-π1759cos 2．求值 （1）⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ47cot 38tan 419sin 222（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅πππ415tan 611cot 37sin参考答案：1．（1）＜0 （2）＜0 （3）＜0 （4）＞0 （5）＜0 （6）＜0 （2）解：（1）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cot 322tan 434sin 222ππππππ 4cot 32tan 43sin222πππ⋅+= ()1322222⨯-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 4=（2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+=44tan 62cos 32sin ππππππ 4tan6cos3sinπππ+=12323+⨯= 47=。
课时4 任意角的三角函数(2)
§1.2.1 任意角的三角函数（2）
学习目标
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
自主学习
问题一：回顾任意角α的三角函数定义：
问题二：回顾各象限角的三角函数符号，回答下列问题：
（1） 若sin 0
cos 0θθ>⎧⎨<⎩，则θ为第_____象限角。
反之正确吗？_________
（2） 若θ为第三象限角，则cos θ___0; 反之正确吗？___________
问题三：若30α=︒，则sin α=_______;反之成立吗？为什么？
问题四：由三角函数定义知：终边相同的角的同一三角函数值相等。
用公式表示
为：____________________________________________________.
利用这些公式可把任意角三角函数转化为___________范围内角的三角函数，从而判断出三角函数的符号或求出它的值。
问题五：如何用有向线段来表示各象限内角的三角函数值？请画图说明。
自我检测
1. 设α是三角形的一个内角，在sin α，cos ,tan ,tan
2ααα中，哪些有可能是负
值？
2.判断下列各三角函数值的符号。
（1）cos 16
5π (2) sin -450︒（） (3) tan 17
-8π（）
3.分别在四个直角坐标系中作出下面四个角的正弦线、余弦线和正切线。
（1）3π
（2）56
π （3）2-3π （4）136π-
问题反馈。
1.2.1.1任意角三角函数
第1课时 任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔 对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时 任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一 三角函数线的作法【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二 利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三 利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。
任意角的三角函数
任意角的三角函数（二）一． 选择题1.下列各式中，与︒1030cos 相等的是（ ）︒︒︒︒sin50-D. C.sin50 cos50-B. 50cos .A 2.sin 6π25等于（ ） 23.D 21.C 23.B 21.A --3.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于（ ） A.52 B.52- C.51 D.51-4.设x =10,则下列各值中一定是负值的是（ ） A.sin(-2x ) B.cos(-2x ) C.cot x D.tan 2x 5.α是三角形的内角，则sin α、cos α、tan α中可能取负值的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设的角αα,2π4π<<正弦､余弦和正切的值分别为a ,b ,c ,则（ ） A.a <b <c ; B.b <a <c ; C.a <c <b ; D.c <b <a7.已知sin α> sin β,那么下列命题成立的是（ ）A.若α、β是第一象限角,则cos α> cos βB.若α、β是第二象限角,则tan α> tan βC.若α、β是第三象限角,则cos α> cos βD.若α、β是第四象限角,则tan α> tan β二．填空题。
8.设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限.9.设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________.10.若角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP |=10,则m -n 等于_____________.三．解答题。
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《任意角的三角函数》教学反思
任意角的三角函数是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础。
因此本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。
在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的计算。
引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。
通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。
并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。
在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。
通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。
例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上
的值。
例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。
四个立体的设置让学生更好地掌握任意角的三角函数，为以后的学习打下基础。
这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．但需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法．
通过以上反思:认识到课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果。