用截长补短法证明三角形全等
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
-通过小组间的交流，分享解题思路和经验，提高学生之间的相互学习和借鉴。
4.实践操作，加深理解：
-安排尺规作图实践，让学生动手操作，加深对截长补短法的理解和记忆。
-教师巡回指导，及时纠正学生在作图和证明过程中的错误，确保学习效果。
5.反思评价，促进成长：
-在复杂问题中识别应用截长补短法的时机，并能够结合全等三角形的判定定理进行有效证明。
-对于一些非标准图形，能够创造性地运用截长补短法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课：
-通过展示一些生活中的实际例子，如建筑设计中的几何图形，引出全等三角形的应用。
-设计问题，让学生在实际情境中发现全等三角形，并感受到截长补短法在解决问题时的便捷性。
2.教学实施：
-分组讨论：将学生分成小组，每组分配一个或多个问题，要求运用截长补短法解决。
-教师巡回指导：观察学生的讨论过程，适时给予提示和指导，引导学生深入思考。
-小组分享：鼓励各小组展示解题过程和结果，其他小组给予评价和反馈。
（四）课堂练习
1.教学设计：设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-鼓励学生在课后进行反思，总结截长补短法在解决问题时的优势和局限。
-通过自我评价和同伴评价，帮助学生认识自身的进步和需要提升的地方，促进他们的个性化发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学设计：通过生活实例和问题情境，自然导入新课——截长补短法在全等三角形中的应用。
-展示图片：呈现一些包含全等三角形的生活场景，如建筑物的立面图、拼图游戏等。
人教版数学八年级上册第12章全等三角形专题课截长补短法教学设计
2021初中数学证明三角形全等方法总结
2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。
截长补短法构造全等三角形
截长补短法构造全等三角形
截长补短法（SSS）是指通过修改三角形的边长，在保持三个边长之和不变的情况下，改变三角形的形状，使其与另一个三角形完全相同。
下面是一个使用截长补短法构造全等三角形的示例：
给定三角形ABC和DEF，其中AB=6cm，BC=5cm，AC=7cm，DE=5cm，EF=6cm，DF=7cm。
我们需要使用截长补短法构造一个与ABC全等的三角形。
步骤如下：
1. 在BC的中点G处，画一条平行于AC的直线，并延长到交DE延长线于点H。
2. 在AC的中点I处，画一条平行于BC的直线，并延长到交EF延长线于点J。
3. 连接BH和CJ，将四边形BCHJ分成两个三角形。
4. 证明三角形ABH和DEF全等，由于BH=DE=5cm，AB和DF都平行于HJ，AH和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。
5. 证明三角形ACJ和DEF全等，AC=DF=7cm，AC和DF都平行于CJ，AJ 和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。
因此，三角形ABC和DEF是全等的，且可以通过截长补短法构造。
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
截长补短法全等三角形
截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。
而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。
它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。
为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。
根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。
2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。
通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。
2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。
3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。
根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。
除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。
例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。
截长补短法在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。
咱先来说说啥是截长补短法。
简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。
给大家举个例子啊。
就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。
让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。
这时候，咱们就可以用截长补短法。
咱们先截长。
在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。
因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。
这样一来，DC ＝ DE 。
那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。
又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
再说说补短。
延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。
同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。
这样 BD ＝ DF 。
在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。
又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。
老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。
后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。
晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。
我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
三角形全等之截长补短 (整理)
三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。
二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。
截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。
在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。
又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。
因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。
因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。
因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。
在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。
因此，AC=AB+BD。
补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。
因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。
因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。
因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。
因此，XXX。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。
因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。
因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
专题05 用截长补短法构造全等三角形(解析版)
专题05 用截长补短法构造全等三角形参考与答案【例1】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC ＞BD﹣CD．【答案】略【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD．【典例分析】【直击考点】在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DC＝DE．∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，∵AB﹣AE＝BE，∴AB﹣AC＞BD﹣CD．【变式1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD．【答案】略【解答】解：甲：截长法，如图1，在DB上截取DE＝DC，连AE，∵DE＝DC，AD⊥BC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝AC，∴BD＝BE+DE＝AC+CD【变式2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系．【答案】∠C＞∠B【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1，在△ADE与△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AB＝AC+CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED，∴BE＝ED，∴∠AED＝2∠B，∴∠AEC＝2∠B，∴∠C＞∠B；【例2】（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE 是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．【答案】PB+PC＞AB+AC．【解答】解：PB+PC＞AB+AC，理由如下：在BA的延长线上截取AF＝AC，连接PF，在△F AP和△CAP中，，∴△F AP≌△CAP（SAS），∴FP＝CP．在△FPB中，FP+BP＞F A+AB，即PB+PC＞AB+AC．【变式1】（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．【答案】(1)略（2）∠ACB＝108°（3）略【解答】证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．在△ADC与△ADH中，，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，∴AB＝AH+BH＝AC+CD；（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，在AB上截取AK＝AC，连接DK，∵AB＝AC+BD，∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴在△CAD和△KAD中，，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°﹣α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°﹣α，在△BDK中，180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH+BH，∴AB＝AD+CD．【例3】16．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【答案】（1）AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【变式1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD【变式2】（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．【答案】（1）略（2）点E到BC的距离为3【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．【例4】（2019秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）略（2）BE＝DC+CE【解答】（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中∴△AEF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，∵∠AFE＝∠B+∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝DC+CE．【变式1】（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再证出∠＝，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD 对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠＝∠C，再证出△≌△，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】（1）EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C（2）F，AFD，ACD【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC，故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C；方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F，∵∠ABD＝2∠C，∴∠F＝∠C，在△AFD和△ACD中，，∴△AFD≌△ACD（AAS），∴AC＝AF，∴AC＝AB+BF＝AB+BD，故答案为F，AFD，ACD．【跟踪训练】1．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．【答案】略【解答】证法一：在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠F AE，由AF＝AD，∠DAE＝∠F AE，AE＝AE，可得△ADE≌△AFE（SAS），∴∠DEA＝∠FEA，∵AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠CBA）＝×180°＝90°，∠CBE＝∠FBE，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BFE＝90°，∴∠BEC＝∠BEF，由∠BEC＝∠BEF，BE＝BE，∠CBE＝∠FBE，可得△BFE≌△BCE，∴BF＝BC，∴AB＝AF+BF＝AD+BC；2.（2020秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；（2）求证：BE+CD＝BC．【答案】（1）DE＝（2）略【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴D、E分别是AC、AB的中点，∴AD＝AC，AE＝AB，∴AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AE＝；（2）证明：在BC上截取BH＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF∴△EBF≌△HBF（SAS），∴∠EFB＝∠HFB＝60°．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝60°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFB＝120°，∴∠CFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFD＝60°，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CHF（ASA）．∴CD＝CH，∵CH+BH＝BC，∴BE+CD＝BC．3．（2019秋•四川期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC＝2∠C，证明：CD＝AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE＝BD，连接AE．（1）请补写完这个证明：（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，证明：BD＝AC﹣AB．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：在CD上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∠AEB＝∠C+∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴EC＝AE＝AB，∴CD＝CE+DE＝AB+BD．（2）证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△BAD和△EAD中∴△BAD≌△EAD，∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝EC＝DB，∵AC﹣AE＝EC，EC＝BD，AE＝AB，∴BD＝AC﹣AB．4．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）EF＝FC+BE【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．【答案】（1）略（2）∴S的值为4△BEF【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4 ∴S△BEF的值为4．。
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念，而截长补短法则是解决全等三角形问题时常用的方法之一。
在今天的文章中，我将围绕这个主题展开讨论，并通过经典例题来深入探讨全等三角形截长补短法的应用。
1. 问题描述假设有两个全等三角形ABC和DEF，其中已知AB=DE，AC=DF，角A=角D。
现在需要证明三角形ABC和DEF全等。
2. 解题思路在这个问题中，根据已知条件，我们可以利用截长补短法来进行证明。
具体来说，我们可以通过构造辅助线来使得两个三角形的对应边相等，从而得出它们全等的结论。
3. 解题过程我们连接AE和BC，得到交点点O。
接下来，我们通过证明三角形AOE和BOC全等，以及三角形AOE和DOF全等，来得出结论。
通过角度和边的对应关系，可以得出角AOE等于角BOC，另外由已知条件可以得出AO=BO。
因此根据全等三角形的性质，三角形AOE 和BOC全等。
同样地，通过对角分别相等和对应边相等可以得出三角形AOE和DOF全等。
结合以上两个全等三角形的结论，可以得出三角形ABC和DEF全等的结论。
4. 结论通过截长补短法的应用，我们成功地证明了两个全等三角形。
这个例题充分展示了截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性，并且提供了一个经典的例题来帮助我们更加深入地理解这一方法的应用和意义。
5. 个人观点全等三角形截长补短法在几何学中具有重要的地位，在解决相关问题时，能够帮助我们快速、准确地得出结论。
通过经典例题的学习，我们可以更加深入地理解截长补短法的原理和应用，为今后解决类似问题提供了重要的思路和方法。
总结回顾通过以上的讨论，我们深入探讨了全等三角形截长补短法的经典例题，从而更加全面地理解了这一方法的应用。
通过对例题的分析，我们对截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性有了更加深刻的理解，为今后的学习和应用提供了重要的参考。
全等三角形截长补短法是几何学中一个重要且常用的方法，通过不断学习和练习经典例题，我们可以更加熟练地掌握和运用这一方法，从而在解决几何问题时能够更加得心应手。
人教版八年级数学上截长补短法证明三角形全等
初中数学试卷一、截长补短法证明三角形全等例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE3如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．4在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等PEDCBA吗？请说明理由例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°.例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.2、倍长中线法证三角形全等例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
ABCD图1-1ABCDP12N图3-1练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例3已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠B第 1 题图ABFDECCEDB A练习3已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE3、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
截长补短模型证三角形全等
截长补短模型证三角形全等一、截长补短法：包含截长法和补短法，即a=b+c 和a=b-c截长补短法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
当出现等腰三角形、角平分线等关键词句时，常采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在EF =AB +CD ，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF 上截取EG =AB ，再证明GF =CD 即可。
补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH =CD ，再证明AH =EF 即可。
二、模型实例例1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD ．例2：如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是等腰三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ． （1）探究BM 、MN 、NC 之间的关系，并说明理由； （2）若△ABC 的边长为2，求△AMN 的周长；（3）若点M 、N 分别是线段AB 、CA 延长线上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．例3：已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．32HA B FE1G E F D C B A截长补短模型演练题1、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．求证： CE=BD．2、已知，如图AB//CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
3、如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE．。
截长补短法证明全等三角形
截长补短法证明全等三角形全等三角形是指两个三角形的各个对应边和对应角相等。
证明两个三角形全等的方法有很多种，其中一种常用的方法是截长补短法。
截长补短法是通过截取或延长某些线段，使得两个三角形的对应边相等，从而证明两个三角形全等。
下面通过一个具体的例子来说明截长补短法的证明过程。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
首先，我们观察两个三角形的对应边和对应角，如果它们已经相等，那么可以直接得出两个三角形全等。
但通常情况下，我们需要通过截长补短的方法来使得对应边相等。
我们观察三角形ABC和DEF的对应边AB和DE，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边相等得出两个三角形全等。
但如果它们不相等，我们需要截取或延长某些线段来使它们相等。
假设我们截取了线段EF，使得EF = AB。
现在我们观察三角形ABC 和DEF的对应边AB和EF，它们已经相等了。
接下来，我们观察对应角B和对应角E，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。
但如果它们不相等，我们需要继续截取或延长某些线段来使它们相等。
假设我们截取了线段BC，使得BC = DE。
现在我们观察三角形ABC和DEF的对应边AB、BC和EF，它们已经相等了。
接下来，我们观察对应角B和对应角E，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。
但如果它们不相等，我们需要继续截取或延长某些线段来使它们相等。
假设我们截取了线段AC，使得AC = DF。
现在我们观察三角形ABC 和DEF的对应边AB、BC、AC和EF，它们已经全部相等了。
此时，我们只需要观察对应角B和对应角E，如果它们相等，那么我们就可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。
通过以上的截长补短的过程，我们可以得出结论：如果三角形ABC 的对应边AB、BC、AC和角B与三角形DEF的对应边DE、EF、DF和角E分别相等，那么三角形ABC和DEF全等。
构造全等三角形种常用方法
--构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“ＳAS ”,“AS Ａ”,“AAS ”，“HL ”）中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。
如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“S ＡS ”或再找第三组对应边用“SS Ｓ”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“A ＳA ”或“ＡＡS ”)或夹这个角的另一组对应边用“SA Ｓ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“H Ｌ”。
上述可归纳为:()()()()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩用用用用或搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1.截长补短法例１.如图（1）已知:正方形ＡBCD 中，∠B ＡC 的平分线交ＢC 于E,求证：A Ｂ+BE=AC. 解法（一)（补短法或补全法）延长A Ｂ至F 使A Ｆ=AC ，由已知△ＡＥF ≌△A ＥC ，∴∠F=∠ACE=45º, ∴BF ＝BE ，∴AB+BE=A Ｂ+BF=ＡF ＝AC. 解法(二）（截长法或分割法）在ＡC 上截取ＡG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴ＥG=BE, ∠AG Ｅ=∠ABE,∵∠ＡC Ｅ＝45º, ∴CG ＝E Ｇ, ∴ＡB+ＢＥ=ＡG+CG ＝ＡC. ２．平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对R ｔ△,有时可作出斜边的中线．例２．△A ＢC 中，∠BA Ｃ=６0°,∠C=４０°AP 平分∠ＢA Ｃ交BC 于P ，BQ 平分∠A ＢＣ交ＡC 于Q, 求证：AB ＋B Ｐ=ＢＱ+AQ.证明:如图(１），过O 作OD ∥BC 交ＡＢ于D,∴∠ＡDO=∠AB Ｃ=１８0°-６0°－40°=80°,又∵∠AQO=∠C ＋∠QBC=80°,∴∠A ＤO=∠AQO,又∵∠DAO=∠Q ＡＯ,OA=AO ， ∴△ＡD Ｏ≌△ＡＱＯ,∴OD=ＯQ,AD=ＡＱ，又∵OD ∥ＢP,∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PB Ｏ=∠ＤBO ，∴∠D ＢO=∠DOB,∴BD=OD ，∴ＡB ＋ＢP ＝ＡD ＋DB+BP＝ＡQ+OQ ＋BO ＝AQ+BQ ．说明:⑴本题也可以在A Ｂ截取AD=AQ ，连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下: ① 如图(2）,过O 作OD ∥BC 交ＡC 于Ｄ， 则△ADO ≌△AB Ｏ来解决．② 如图(３）,过Ｏ作ＤE ∥ＢC 交A Ｂ于D, A B C P Q D OO A B C P Q D图（2）A B C PQ D E 图（3）O D--交AC 于E ，则△ADO ≌△AQ Ｏ，△ＡBO ≌△AEO 来解决. ③ 如图(4)，过P 作PD ∥B Ｑ交ＡB 的延长线于Ｄ,则△APD ≌△AP Ｃ来解决. ④ 如图（5）,过P 作PD ∥BQ 交AC 于D, 则△ＡBP ≌△A ＤＰ来解决． （本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究)．3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。
截长补短模型结论及证明
截长补短模型结论及证明
截长补短模型是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法，常用于解决三角形中的线段关系问题。
其基本思想是通过截取或延长线段，构造出全等三角形或其他易于处理的图形，从而得到所需的线段关系。
以下是截长补短模型的一些常见结论及证明：
1.
截长法：
结论：在一条线段上截取一条与它相等的线段，剩下的部分与另一条线段相等。
证明：设线段AB，要在AB上截取AC=BC，证明AD=DB。
证明：在AB上截取AC=BC，连接CD。
由于AC=BC且∠ACD=∠BCD（对顶角相等），CD=CD（公共边），根据SAS全等条件，得△ACD≌△BCD。
因此，AD=DB。
2.
补短法：
结论：将一条较短的线段延长至与另一条线段相等，再用其他条件证明新构造的图形与原图形全等。
证明：设线段AB和CD，AB<CD，要在CD上截取CE=AB，证明BF=DE。
证明：在CD上截取CE=AB，连接BE。
由于CE=AB，∠CEB=∠AEB（对顶角相等），BE=BE（公共边），根据SAS全等条件，得△CEB≌△AEB。
因此，BF=DE。
这些结论可以通过截取或延长线段，然后利用全等三角形的性质（SAS、ASA、AAS、SSS等）进行证明。
截长补短法在处理线段关系问题时非常灵活，需要根据具体问题的条件选择合适的截取或延长方式。
三角形全等——截长补短法
4.4---三角形全等——截长补短法(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2221D B A21D CB A 三角形全等——截长补短法（ a b c =+）当求（或条件中出现）三条线段之间的和差关系或已知三条线段之间的和差关系时常用“截长补短法”（意为长上截短或短上补短），通常情况下能用“截长法”的也能用“补短法”。
例6、已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．（截长法）（补短法）F EA BDC FEA BD CCB A变式训练：1、已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．2、在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．3344P C B A2112A D PN3、如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：ABAC >PBPC ．4、已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°． 求证：BD =AB +CD ．55A B C D EF5、在正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，点F 在DC 延长线上， EAF =45°． 求证：DF =EF +BE ．6、如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ．求证：AE =BE +DF ．F E DCB A667、如图，在等边三角形ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°． 求证：EF =BE +CF ．F C E DAB FC ED A B。
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全等三角形中的截长补短
板块一、截长补短
【例1】 已知A B C ∆中，60A ∠= ，BD 、C E
分别平分ABC ∠和.A C B ∠，BD 、C E 交于点O ，试判断BE 、C D 、BC 的
数量关系，并加以证明．
【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所
在直线上的任意一点(点B 除外)，作60D M N ∠=︒，射线M N 与D BA ∠外角的平分线交于点N ，D M 与M N 有怎样的数量关系?
【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD
的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．
分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：
(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC C E +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．
(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(C E )相等．
【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：
BE +DF =AE .
【例5】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD
平分∠CDE
C
E
D
B A
A
B
D
E
F
C
N E
B M A D
D O
E
C B A F E D
C
B A
【例6】 如图所示，A B C ∆是边长为1的正三角
形，BD C ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的M D N ∠，点M 、N 分别在AB 、A C 上，求A M N ∆的周长．
板块二、全等与角度
【例7】如图，在A B C ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造
全等三角形.同样地，将A C 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
【例8】 在正A B C ∆内取一点D ，使D A D B =，在A B C ∆外取一点E ，使D B E D B C ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.
D
E
C
B
A
D C
B A
N
M
D
C
B A。