构造全等三角形之截长补短法
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
全等三角形~截长补短
1 2截长补短截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑截长补短”的方法。
另外的较短线段。
补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a b①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。
即延长a ，得到c ,证：b c-a 。
例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证:1.补短法:证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE .△ △ABD 是 △BDE 的一个外角△ △ABDME + △BDEABE=BD △ △EMBDE△ △ABD=2 △E△ △ABD=2 △C△ △EMC在 AADE 和 AADC 中△ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另AC=AB+BD.ADAD1 2证明：如图，在 CD 上截取CF=CB .△CE 平分△CBD在△CFE 和 △CBE 中△AE=AC△AC=AB + BE=AB + BD2.截长法:证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF .在△ABD 和△AFD 中AB AFAD AD△ △ABD △△AFD ( SAS )△ ABMAFD , BD=FD△ △B=2 △C△ △AFD =2 △C△ △AFD 是^DFC 的一个外角△ △AFD me + 舉DC△ AFDCmCADF=FCABD=FC△AC=AF+FC=AB+BD例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ，CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC.CF CBCE CE△ △CFE △△CBE (SAS)△ △CFEMB△ △B=90△ △CFEMDFE =90△ △A=90 °△ △DFE=AA△DE 平分△ADC在△DEF和△DEA中DFE ADE DE△ △DEF △△DEA (AAS )ADF=AD△CD = DF + CF =AD + BC例3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD =AB ,/ B= / D= / BAD =90° E, F 分别为CD , BC 边上的点，且/ EAF=45°,连接EF.求证：EF=BF+DE .证明：如图，延长FB到G,使BG=DE，连接AG . △ △D=^ABC=90△ △ABG = ^D=90在AABG和AADE中AB=ADABG= DBG=DE△ △ABG△△ADE ( SAS)△AG=AE, △ 1 = △△ △BAD=90 △EAF =45△ △ 2+ △ 3=45△ △ 1 = △+△2△ △ 1 = △+△2DB DE△ △ABD △△AED ( SAS )△ △B=2 △C△ △ 1=20△ △1是AAEC 的一个外角△AE=CE△CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD△ △ 1 + △ 3=45即△GAF =45°△ △GAFMEAF在△AGF 和 AAEF 中AG AEGAF EAFAF AF△ △AGF △△AEF (SAS )△GF=EF△GF=BF+BGAEF=BF+DE例4.在△ABC 中，AD △BC 于 D , △B=2AC .求证：CD=AB+BD.证明：如图，在线段 DC 上截取DE=BD ，连接AE .△AD △BC△ △ADB = AADE=90在 AABD 和 AAED 中 AD ADADB ADE例5.如图，在△ABC 中，AB>AC , △ 1=A2, P 为AD 上任意一点，连接 BP , CP .求证：AB-AC > PB-PC .1.截长法：证明：如图，在 CF 上截取CM=BA ，连接DM .证明：如图，在线段 AB 上截取AE=AC ，连接PE .贝U AB-AC=AB-AE=EB在MEP 和MCP 中AE ACAP AP△ △\EP^mCP (SAS)APE=PC在APEB 中, PB PE<EBAPB-P C<EB△AB-AC > PB-PC例6.如图，在梯形ABCD 中，ADABC , CEAAB 于E , ABDC 为等腰直角三角形, ABDC=90° BD=CD ，CE 与 BD 交于 F ，连接 AF .求证：CF=AB+AF.△ △BDC 为等腰直角三角形，BD=CD△ △仁△CB=45°△CEAAB, ABDC=90°△ △CEB=^BDC=90°△ △ 2=A3△ △ 4=^5在△ABD 和△MCD 中△ △ABD ^^MCD (SAS )ADA=DM ，△ 6=^7 △AD^BC△ △ ?=△ 1=45°△ △ 6=45°△ △ 8=45°△ △ 7=^8在△ADF 和△MDF 中△ △ADF △△MDF ( SAS )△AF=MF△CF=CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G . △ △BDC 为等腰直角三角形△ △GDBMBDCrgO 。
(6)作等边构造全等三角形
6.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 于F，AF=EF，求证：AC=BE．（等腰三角形）
【截长补短法】
1.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。
2.如图所示，已知AB//CD， 的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD.
3.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC.
第四讲：作等边构造全等三角形
【思维突破】
1、题目条件特点：已知一组等边和等角；
2、作辅助线构造全等的依据：SAS；
3、构造辅助线方法：
辅助线方法
应用特点
辅助线作法
截长补短法
题目含多边等量关系或角度互补关系
截长法：在长线段上截取一段线段与其中一条短线段相等，构造全等三角形；
补短法：延长一条短线段使之与长线段相等，构造全等三角形。
4.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE.
5.如图，AB∥CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
6.如图，已知在△ABC内，∠BAC＝60°平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP.（等腰三角形）
【倍长中线法】
1.已知： 中， 是中线．求证： ．
2.如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于 ，求证：
3.已知 为 的中线， ， 的平分线分别交 于 、交 于 ．求证： ．
利用截长补短法构造全等三角形
班级：________姓名：________微专题利用截长补短法构造全等三角形1.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连接AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连接DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E.求证：AF－AE＝BF.第1题图2.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且DE＝10，∠EAF＝45°，△EFC的周长为80，求EF的长．第2题图3.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝A B.连接AG，若AG＝3，DG＝1，求EG的长．第3题图4.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图①，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，求证：AE＝AB＋DE；第4题图①(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，AB＝1，DE＝3，BD＝4，求AE的长．第4题图②5.在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD ＋S△ADC＝S△ABC＋S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC的面积．＝S△ABC(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为________cm2；(2)如图②，已知FG＝FN＝HM＝GH＋MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．第5题图微专题与角平分线有关的辅助线作法1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，求△DEF的面积．第1题图2.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，求tan∠OBD的值．第2题图3.如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，点D、E分别为BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，求EF的长．第3题图4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF∥AB，求证：EF＝A C.第4题图微专题遇到中点如何添加辅助线1.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，连接BD，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝7，则BF的长为________．第1题图第2题图2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________．5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF.第5题图6.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF.(1)求证：DE＝DC；(2)求证：AF⊥BF.第6题图7.(2020南昌模拟改编)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．观察猜想(1)如图①，线段PM与PN的数量关系是__________________________________________________________；探究证明(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；拓展延伸(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出PM·PN的最大值．图①图②第7题图班级：________姓名：________微专题全等、相似三角形的常见模型1.如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD 的是() A.∠E＋∠D＝90° B.AC＝AE＋CD C.EB＝BD D.∠EBD＝60°第1题图第2题图第3题图2.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，DF⊥AE，垂足为G，交BC于点F，CD＝45，则△AFG 的面积为________.3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点，点E、F分别在AB、BC上，且∠EDF ＝90°，EF ＝32，则△DEF 的周长为_______________________________________________________．4.如图，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BA C.求证：△ABE ≌△CAF .第4题图7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC ，交CE 的延长线于点F .求证：AC ＝2BF .第7题图9.如图，一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，且AB ＝CB ＝4cm ，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边与AB 、CB 的交点为G 、H .当三角板DEF 旋转至图中位置时，探究线段BG 和CH 数量关系，并证明．第9题图10.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠DAE 的两边交线段BC 于点D 、E ，且∠DAE ＝12∠BA C.(1)若AD ＝AE ，则BD 与CE 的数量关系为______________________________________________________；(2)求证：BD 2＋CE 2＝DE 2.第10题图11.如图①，正方形ABCD对角线的交点为E，以点E为顶点作正方形EFGH，且EF、EH分别经过点A，B，连接AH、DF，保持正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针旋转至图②.(1)判断图①中AH与DF之间的数量关系，并证明；(2)判断图②中AH与DF之间的位置关系，并证明．第11题图12.如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．第12题图。
全等三角形-截长补短法
“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。
师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。
追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。
CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
三角形全等之截长补短(整理)
三角形全等之截长补短(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形全等之截长补短(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短:题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 已知：如图,在△ABC 中,∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图,在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°,点E 为AB 边上一点，且DE 平分21D CB A 21D CB A 21D B A3∠ADC ,CE 平分∠BCD ． 求证:CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°,连接EF ．E DCA F EDCB A4求证:EF =BF +DE ．4. 已知：如图，在△ABC 中,∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．OED CBA F EDCB A55. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证:CE =BD ．21OED BEDCB A。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
倍长中线、截长补短
三角形全等之倍长中线、截长补短所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE△ABC 中AD 是BC边中线方式2：间接倍长①作CF ⊥AD 于F ，②延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠练习：1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF2、如图，AB=AE ，A B ⊥AE ，AD=AC ，A D ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM第 1 题图ABFDECC M角平分线中截长补短方法在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。
例１．已知：如图，在△ABC 中，AB>AC ∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.例２．如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ． 求证：AB -AC >PB -PC ．例3.已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例4.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DC B A12图4-121PD CB A D OECB AF EDC B A练习：1、已知：△ABC 中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围。
三角形全等之截长补短 (整理)
三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。
二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。
截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。
在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。
又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。
因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。
因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。
因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。
在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。
因此，AC=AB+BD。
补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。
因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。
因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。
因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。
因此，XXX。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。
因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。
因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。
利用截长补短法构全等三角形
江夏区第一初级中学“三为主，N环节”教学模式数学学科导学案序号：20 设计者：洪彩虹班级：姓名：时间：课题利用截长补短法构造全等三角形教学目标利用截长补短法构造全等三角形，从而证明线线段之间的和差关系教学重难点：利用截长补短法构造全等三角形。
一、目标导学，引入新课证明一条线段等于两条线段和差时，通常采用截长法或补短法。
截长法就是在较长线段上截取一段，使之等于其中一段短线段，再设法证明剩下的线段等于另一短线段；补短法就是延长短线段中的一条，使延长来的线段等于另一短线段，再证明两线段之和等于较长线段，或直接将某短线段延长至等于较长的线段。
二、典型例题如图：已知AC∥BD，E是CD上一点，且EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，求证：AB=AC+BD 证明：方法一（截长法）在AB上截取AF=AC，连接EF。
（自已完成下面的证明）方法二：（补短法）延长AC至F，使AF=AB，连接EF。
三、巩固应用1、如图，在ΔABC中，∠B=60º，两条角平分线AD、CE交于点O求证：AC=AE+CD2、如图：E是正方形ABCD的BC边上的中点，EF⊥AE于E交∠DCM的角平分线于F，（1）试探究线段AE与EF的数量关系。
（2）若点E是BC边上不同于B、C的任意一点，其他条件不变，上述结论仍然成立吗？画出图形并证明。
（3）若点E是BC延长线上一点，其他条件不变，结果又如何？请直接写出结论。
3、如图：正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=45º，求证：BE+DF=EF4、如图：在ΔABC中AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC>PB-PC5、如图：平面直角坐标系中，P（1，1）A为y负半轴上一点，B为X正半轴上一点，PA=PB，（1）求∠P的度数，（2）若A（0，-2）求B点坐标。
（3）当点A在y负半轴上运动时，OB-OA的值是否发生变化？为什么？四、布置作业：完成《新观察》P32。
第08讲全等三角形中“截长补短”模型
第08讲全等三角形中“截长补短”模型（核心考点讲与练）【基础知识】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【考点剖析】1、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD2、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠C FB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF .∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO .∴△EBO ≌△FBO .∴∠EOB ＝∠FOB .∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO .∴△DCO ≌△FCO .∴CD ＝CF .∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD .4．如图，AD //BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．解：AB ＝AD ＋BC .理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE .∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，∴EF ＝DE .∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF .∴Rt △BFE ≌Rt △BCE (HL)．∴BF ＝BC同理可证：AF ＝AD .∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC . 5．如图，已知DE ＝AE ，点E 在BC 上，AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，请问线段AB ，CD 和线段BC 有何大小关系？并说明理由．解：线段AB ，CD 和线段BC 的关系是：BC ＝AB ＋CD .理由：在△DCE 中，∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∵∠AEB ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＝∠EDC ，又∵ED ＝AE ，∠ABE ＝∠ECD ＝90°，∴△ABE ≌△ECD (AAS)，∴AB ＝EC ，BE ＝CD ，∴BC ＝BE ＋EC ＝CD ＋AB .【过关检测】1．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，ABC V 为等边三角形，若()060DBC DAC a a Ð=Ð=°<<°，则BCD Ð=__________（用含a 的式子表示）．【答案】120a°-【分析】在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，可证得BEC ADC @△△ ，从而得到CE =CD ，∠DCE =∠ACB =60°，从而得到DCE V 是等边三角形，进而得到∠BDC =60°，则有60B CE a Ð=°-，即可求解．【详解】解：如图，在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，∵ABC V 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，∵a Ð=Ð=DBC DAC ，BE =AD ，∴BEC ADC @△△ ，∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCE +∠ACE =∠ACD +∠ACE ，∴∠DCE =∠ACB =60°，∵CE =CD ，∴DCE V 是等边三角形，∴∠BDC =60°，∴18060120BCD a a Ð=°-°-=°-．故答案为：120a°-【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2.（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．解答：（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由如下：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3.（2020·全国八年级单元测试）在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，（1）如图①，当∠C=90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，易证AB=AC+CD ．请证明AB=AC+CD ；（2）①如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C ≠90°，AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD ；②AC+AB=CD ，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；（2）①首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；②首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠EDC ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案．（1）证明：∵AD 为∠ABC 的角平分线，∴∠EAD=∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴ED=CD ，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．4．（2020·山东青岛·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB ＝AC ＝AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形；（2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，∵线段AC 与AD 关于直线AP 对称，∴∠ACE ＝∠ADE ，AD ＝AC ，∵AD ＝AC ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABFCE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△ABF ≌△ACE （SAS ），∴AF ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠CAE ＝∠DAE ，∴()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°-Ð=°，∴在△AFE 中，AF ＝AE ，∠AEF ＝60°，∴△AFE 是等边三角形，∴AF ＝FE ，∴BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．5．（2021·广东·珠海市九洲中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明△ACD ≌△AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△FAD ≌△MAD （SAS ），∴FD =MD ，∠ADF =∠ADM，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE=ìí=î，∴Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），∴ME =BE ，∵AF =AM ，且AF =1.4，∴AM =1.4，∵AB =7.4，∴MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∴BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD ≌△MAD 和Rt △MDE ≌Rt △BDE 是解题的关键．6．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．【分析】如图，在AB 上截取,AH AD =证明,ADE AHE V V ≌再证明,HBE CBE V V ≌可得,BC BH = 从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB 上截取,AH AD =AE ∵平分,DAB Ð,DAE HAE \Ð=Ð,AE AE =Q,ADE AHE \V V ≌,ADE AHE \Ð=Ð//,AD BC Q180,ADE BCE \Ð+Ð=°180,AHE BHE Ð+Ð=°Q,BCE BHE \Ð=ÐBE Q 平分,ABC Ð,ABE CBE \Ð=Ð,BE BE =Q,HBE CBE \V V ≌,BC BH \=,AB AH HB =+Q.AB AD BC \=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.7．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）八年级期中）在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A Ð+Ð=°-Ð的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC Ð的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD @V △（SAS ），再证明()FEC FGC ASA @V V ，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP @V △（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，再由三角形内角和可求40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，进而可得180()100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°．【详解】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC Ð=°Q，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（2021·福建省福州第十六中学八年级期中）如图，△ABC 为等边三角形，直线l 过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝60°，求证：△AEC ≌△CDB ；（2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG +BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF =EF -BD ．【分析】（1）先证明∠ACE =∠CBD ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CDB ；（2）在直线l 上位于C 点左侧去一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，CE =BD ，然后证明△FAE ≌△HFG 得到GH =EF ，则CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N ，先证明△BDM 是等边三角形，得到∠DBM =∠DMB =60°，然后证明∠ACE =∠ABD =∠CBM ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CMB 得到CE =BM =BD ；最后证明△AEF ≌△FGH 得到HG =EF ，则EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∴∠ACE +∠BCD =180°-∠ACB =120°，∵∠BDC =60°，∴∠BCD +∠CBD =180°-∠BDC =120°，∴∠ACE =∠CBD ，在△AEC 和△CDB 中，===60ACE CBD AEC CDB AC CB ÐÐìïÐÐíï=îo ，∴△AEC ≌△CDB （AAS）（2）如图所示，在直线l 上位于C 点左侧取一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，∵∠ACE =60°，∴∠AEF =120°，∴∠AEF =∠AFH =120°，∴∠AFE +∠FAE =180°-∠AEF =60°，∠AFE +∠HFG =180°-∠AFH =60°，∴∠FAE =∠HFG ，在△FAE 和△HFG 中，120FAE HFG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△FAE ≌△HFG （AAS ），∴GH =EF ，∴CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）如图所示，在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N∵∠BDC =60°，BM =BD ，∴△BDM 是等边三角形，∴∠DBM =∠DMB =60°，∵三角形ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =60°，AC =BC∴∠ABM +∠CBM =∠ABM +∠ABD，∴∠ABD =∠CBM ，∵∠BAC =∠BDC =60°，∠ANE =∠DNB ，∴∠ACE =∠ABD =∠CBM ，∵∠CMB =180°-∠DMB =120°，∠AEC =180°-∠AED =120°，∴∠CMB =∠AEC ，在△AEC 和△CMB 中，120ACE CBM AEC CMB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEC ≌△CMB （AAS ），∴CE =BM =BD ；∵∠AFH =120°，∴∠AFC +∠GFH =60°，∵∠GFH +∠FHG =180°-∠HGF =60°，∴∠AFC =∠FHG ，在△AEF 和△FGH 中，120AFE FHG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEF ≌△FGH （AAS ），∴HG =EF ，∴EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．故答案为：CF =EF -BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9.（2021·云南昆明·八年级期中）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在V ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2.2，AC ＝3.6，求BC 的长．【思考引导】因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．这样很容易得到V DEC ≌V DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知V ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.3，BC ＝2．求AD 的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD ≌△ECD ，得到AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，由于∠A ＝2∠B ，推出∠DEC ＝2∠B ，等量代换得到∠B ＝∠EDB ，得到△BDE 是等腰三角形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．10．（2022·广东东莞·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F分∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证2明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG ＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．【详解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG 和△ADF 中，90AB AD ABG D BG DF °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠GAE ＝∠BAG +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，在△GAE 和△FAE 中，AG AF GAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EG ，∵EG ＝BG +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ，故答案为：EF ＝BE +FD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠1＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 和△ADF 中，1AB AD D BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠3＝∠2，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠2+∠4＝∠EAF ，∴∠EAM ＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM AF MAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EM ，∵EM ＝BM +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ；（3）（1）中的结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，理由如下：如图3，在EB 上截取BH ＝DF ，连接AH ，同（2）中证法可得，△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF ，∴∠HAE ＝∠FAE ，在△HAE 和△FAE 中，AH AF HAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△HAE ≌△FAE （SAS），EF EH\=∵EH ＝BE ﹣BH ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．11．（2022·四川南充·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC=+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，RtΔRtΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔ\≌．BDF BDE\=，BF BE\=+=++=+，2BC BE CE BA AF CE BA CE\-=．BC BA CE2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。
人教版初中数学 小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形(等腰)
1、已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D、E在BC上，
且DE=EC，过D作
交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
7．已知：如图，AD，AE 分别是△ ABC 和△ ABD 的中线，且 BA＝BD.求证：AE＝12AC.
证明：延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 DF. ∵AE 是△ABD 的中线，∴BE＝DE. ∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝ DF. ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD. ∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即 AE＝12AC.
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为 BC的中点，求证：DE＝2AM. 解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN， ∵点M为BC的中点，∴BM＝CM. 又∵∠BMN＝∠CMA， ∴△AMC≌△NMB(SAS)． ∴AC ＝ BN ， ∠ C ＝ ∠NBM ， ∠ ABN ＝ ∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又 ∵BN ＝ AC ＝ AD ， AB ＝ EA ， ∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM＝MN，∴DE＝2AM.
小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形
方法 利用“截长补短法”构造全等三角形 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是 把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段 ，补短就是在一条边上延长，使其等于一条已知边。 例1 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念，而截长补短法则是解决全等三角形问题时常用的方法之一。
在今天的文章中，我将围绕这个主题展开讨论，并通过经典例题来深入探讨全等三角形截长补短法的应用。
1. 问题描述假设有两个全等三角形ABC和DEF，其中已知AB=DE，AC=DF，角A=角D。
现在需要证明三角形ABC和DEF全等。
2. 解题思路在这个问题中，根据已知条件，我们可以利用截长补短法来进行证明。
具体来说，我们可以通过构造辅助线来使得两个三角形的对应边相等，从而得出它们全等的结论。
3. 解题过程我们连接AE和BC，得到交点点O。
接下来，我们通过证明三角形AOE和BOC全等，以及三角形AOE和DOF全等，来得出结论。
通过角度和边的对应关系，可以得出角AOE等于角BOC，另外由已知条件可以得出AO=BO。
因此根据全等三角形的性质，三角形AOE 和BOC全等。
同样地，通过对角分别相等和对应边相等可以得出三角形AOE和DOF全等。
结合以上两个全等三角形的结论，可以得出三角形ABC和DEF全等的结论。
4. 结论通过截长补短法的应用，我们成功地证明了两个全等三角形。
这个例题充分展示了截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性，并且提供了一个经典的例题来帮助我们更加深入地理解这一方法的应用和意义。
5. 个人观点全等三角形截长补短法在几何学中具有重要的地位，在解决相关问题时，能够帮助我们快速、准确地得出结论。
通过经典例题的学习，我们可以更加深入地理解截长补短法的原理和应用，为今后解决类似问题提供了重要的思路和方法。
总结回顾通过以上的讨论，我们深入探讨了全等三角形截长补短法的经典例题，从而更加全面地理解了这一方法的应用。
通过对例题的分析，我们对截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性有了更加深刻的理解，为今后的学习和应用提供了重要的参考。
全等三角形截长补短法是几何学中一个重要且常用的方法，通过不断学习和练习经典例题，我们可以更加熟练地掌握和运用这一方法，从而在解决几何问题时能够更加得心应手。
截长补短构造全等
全等三角形常见辅助线作法板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC CE +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE )相等．我们用(1)法来证明．证 延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线过G 引GH AE ⊥于H ．因为AG 是∠EAF 的平分线，所以GB =GH ，从而Rt △GBF ≌Rt △GHE (HL )，所以∠F =∠HEG ，则 AF =AE (底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE =BC +CE ．说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE 的平分线AG 交边BC 于G ，再作GH ⊥AE 于H ，通过证明△ABG ≌△AHG 知AB =AH =BC ．下面设法证明HE =CE 即可，请同学们自证．【例4】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBAE MDCBA【解析】 过点D 作BC 的垂线，垂足为E .∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60° ∵DM =CM ∴CD =DM ∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75° ∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .【例5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .FE DCBAM F EDCB A【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例6】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBAEABC DM N【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例8】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．DNMCBAFEABCMND E ABCDMN【解析】 如图所示，过D 作DE 交BC 于E ，使得BE BM =；过D 作DF 交BC 于F ，使得CF CN =.因为120BDC ∠=︒，BDC ∆为等腰三角形，所以30DBC ∠=，又因为ABC ∆为正三角形，所以60ABC ∠=︒. 注意到DBC MBD ∠=∠，BM BE =，BD BD =， 所以DBE ∆≌DBM ∆， 可知AM CE =.同理，DCF DCN ∆∆≌，AN BF =.则有DE DM =，DF DN =，M DB EDB ∠=∠，NDC FDC ∠=∠. 又因为60MDN ∠=，120BDC ∠=， 则180MDB NDC ∠+∠=.而120120EDC EDB MDB ∠=︒-∠=︒-∠，120120BDF FDC NDC ∠=︒-∠=︒-∠， 故24060EDC BDF MDB NDC ∠+∠=︒-∠-∠=︒，因此60FDE ∠=︒， 则FDE NDM ∆∆≌，MN EF =，进而可知AMN ∆的周长为1.另解：如图所示，在AB 上取一点E ，使得BE AN =.在DAN ∆和DBE ∆中，DA DB =，AN BE =，DAN DBE ∠=∠，因此DAN DBE ∆∆≌，从而DN DE =.在DMN ∆和DME ∆中，DN DE =，MD MD =，60MDN ∠=， ()180MDE DEM DME ∠=-∠+∠()()180EBD EDB MAD MDA =-∠+∠+∠+∠⎡⎤⎣⎦ ()()1803030EDB MDA =-︒+∠+︒+∠⎡⎤⎣⎦120EDB MDA =-∠-∠()12060EDB NDA =-∠--∠ ()1206060EDB EDB =-∠--∠=.因此DMN DME ∆∆≌，从而MN ME =，进而可知AMN ∆的周长为1．【例9】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECE DB AABDEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CBAE D CB A【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =， 而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形. 注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠， 故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.ED CB A【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【例11】 在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.DC B A EDCB A 【解析】 以AC 为边向ABC ∆外作正ACE ∆，连接DE .在ABC ∆和EAD ∆中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+= 80ABC =∠，则ABC EAD ∆∆≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ∆是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=， 则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.【另解1】以AD 为边在ABC ∆外作等边三角形ADE ∆，连接EC .在ACB ∆和CAE ∆中，6020CAE ACB ︒︒∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =， 因此ACB CAE ∆∆≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ∆和CED ∆中，AD ED =，CE CA =，CD CD =， 故CAD CED ∆∆≌，从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠， 故10ACD ︒∠=，因此30BDC ︒∠=.EDCB ANDCB A【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ∆内部作等边BCN ∆，连接NA 、ND .在CDA ∆和ANC ∆中，CN BC AD ==，20CAD ∠=，ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=，故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ∆∆≌. 则10ACD CAN ∠=∠=， 故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例12】 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.NMCBA PA BCM NK【解析】 过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、MKP ∆均为正三角形.因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒， 则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒， 故PN KN =.从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒.D NMCBA【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=︒，由20C ∠=︒、AC BC =可知80BAC ∠=︒. 而20ABD ∠=︒，故80ADB ∠=︒，BA BD =. 在ABN ∆中，50BAN ︒∠=，80ABN ∠=︒，故50ANB ∠=︒，从而BA BN =，进而可得BN BD =. 而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以BDN ∆为等边三角形.在ABM ∆中，180180806040AMB ABM BAM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故DMB DBM ∠=∠，从而DM DB =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ∆的外心，从而1302NMB NDB ∠=∠=︒.【例13】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.CDB A ECDBA 【解析】 如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ︒︒︒︒∠=-∠=-=， 7628104ADC ADB BDC ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =， 故ADE ADC ∆∆≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠. 又因为AB AC =，故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ︒∠=， 所以ABE ∆为等边三角形. 于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=︒， 故18016CAD ADC ACD ∠=︒-∠-∠=︒， 则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=︒，从而1(180)762ABC CAB ∠=︒-∠=︒，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒.【例14】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD∠的度数.DCB A PDCBA【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是12︒的倍数，这使我们想到构造60︒角，从而利用正三角形. 在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ︒∠=且AP AC =，连接PB 、PD . 在ADP ∆和ADC ∆中，12PAD CAD ︒∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ∆∆≌. 从而APD ACD ∠=∠.在ABC ∆中，36CAB ∠=︒，72ABC ∠=︒， 故72ACB ︒∠=，AC AB =， 从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒， 故PAB ∆是正三角形，60APB ︒∠=，PA PB =.在DAB ∆中，123648DAB DAC CAB DBA ︒︒︒∠=∠+∠=+==∠， 故DA DB =.在PDA ∆和PDB ∆中，PA PB =，PD PD =，DA DB =， 故PDA PDB ∆∆≌，从而1302APD BPD APB ︒∠=∠=∠=，则30ACD ︒∠=.【例15】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.DE C B AD EC B A【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌，故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例16】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.M C A B OD MC A B【解析】 在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ， 则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒ 而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌，故OB OM =.由于120BOM ︒∠=， 则180302BOM OMB OBM ︒-∠∠=∠==︒， 故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=.【巩固】如图所示，在ABC ∆中，已知80BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，D 为三角形内一点，且10DAB ∠=︒，20DBA ∠=︒，求ACD ∠的度数.DC B A GEF D C B A【解析】 如图所示，延长BD 交AC 于E ，则80AEB BAE ︒∠==∠，AB BE =.在BC 上截取BF BA =，连接FA ，则ABF ∆为等边三角形. 在AC 上截取AG AB =，连接GB 、GD 、GF ， 由边角边公理知AFG BAE ∆∆≌.在BEF ∆中，因BE BF =，40EBF ︒∠=， 则70BEF ︒∠=，易得30FEG ADE ︒∠==∠. 由角边角公理知FEG ADE ∆∆≌，于是EG DE =.注意到40EBC ECB ︒∠==∠，故EC EB =.又由边角边公理知EDC EGB ∆∆≌，从而ECD EBG ∠=∠.在ABG ∆中，因AB AG =，80BAG ︒∠=， 则50ABG ︒∠=，从而30EBG ︒∠=，故30ACD ︒∠=.。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“ＳA Ｓ”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“ＳＡＳ”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。
上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来，再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法，供同学们参考、１、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ＡBCD 中,∠BAC 得平分线交B Ｃ于E ，求证:A Ｂ+ＢE=AC 、 解法(一)(补短法或补全法)延长ＡB 至Ｆ使AF=ＡC ，由已知△ＡEF ≌△AEC,∴∠F ＝∠ACE=4５º， ∴BF ＝B Ｅ,∴ＡB+BE ＝A Ｂ+BF=AF=AC 、 解法(二)(截长法或分割法)在A Ｃ上截取ＡG=ＡＢ，由已知 △ AB Ｅ≌△AGE,∴EG=B Ｅ, ∠A ＧＥ＝∠ABE,∵∠ACE ＝４5º, ∴CG ＝EG, ∴ＡB ＋BE ＝ＡG+CG=ＡＣ、 2、平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠ＢAC=60°,∠C ＝40°A Ｐ平分∠ＢAC 交B Ｃ于Ｐ，B Ｑ平分∠ABC 交A Ｃ于Q, 求证:A Ｂ＋B Ｐ=ＢQ+A Ｑ、证明:如图(1),过O 作O Ｄ∥ＢC 交AB 于Ｄ,∴∠ADO ＝∠ＡBC=180°-6０°-40°＝8０°,又∵∠AQ Ｏ=∠C ＋∠QBC=８０°,∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DA Ｏ=∠QAO ，ＯA=AO, ∴△ADO ≌△ＡＱO,∴OD=O Ｑ,AD=AQ ，又∵ＯD ∥ＢP,∴∠ＰＢO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠D ＢO,∴∠ＤＢＯ=∠D ＯB,∴BD=O Ｄ,∴AB ＋BP=AD+DB+B Ｐ=A Ｑ+OQ+B Ｏ＝AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下： ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交ＡC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图（3)，过O 作D Ｅ∥BC 交AB 于Ｄ，交AC 于E,则△ADO≌△AQ Ｏ,△A ＢO ≌△AE Ｏ来解决、 ③ 如图(4)，过Ｐ作P Ｄ∥B Ｑ交A Ｂ得延长线于D,则△A ＰD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5)，过P 作ＰD ∥ＢQ 交A Ｃ于Ｄ， 则△AB Ｐ≌△ＡDP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。