高一数学苏教版必修2教学案：第1章18空间几何体的表面积2
高中1.3《空间几何体的表面积》教案苏教版
高中数学：1.3《空间几何体的表面积》教案（苏教版必修2）总课题空间几何体的表面积和体积总课时第15课时分课题空间几何体的表面积分课时第 1 课时教学目标了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式．重点难点柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．?引入新课1．简单几何体的相关概念：直棱柱：．正棱柱：．正棱锥：．正棱台：．正棱锥、正棱台的形状特点：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面（棱锥的高）；（3）当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高．平行六面体：．直平行六面体：．长方体：．正方体：．2．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式：，其中指的是．，其中指的是．．3．圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式：．．．?例题剖析例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字）．例2 一个直角梯形上底、下底和高之比为．将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．?巩固练习1．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为．2．求底面边长为，高为的正三棱锥的全面积．3．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？?课堂小结柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．?课后训练一基础题1．棱长都为的正三棱锥的全面积等于________________________．2．正方体的一条对角线长为，则其全面积为_________________．3．在正三棱柱中，，且，则正三棱柱的全面积为_____________________．4．一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为___________________．5．已知四棱锥底面边长为，侧棱长为，则棱锥的侧面积为____________________．6．已知圆台的上、下底面半径为、，圆台的高为，则圆台的侧面积为_______．二提高题7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为和，高是，求三棱台的侧面积．8．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，求它的侧面积．三能力题9．已知六棱锥，其中底面是正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心点，底面边长为，侧棱长为，求六棱锥的表面积．。
苏教版高中数学必修2教案立体几何全部教案
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积和体积教案
空间几何体的表面积和体积预习提纲1．平面展开图2．概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：3．面积公式：S直棱柱侧＝S正棱锥侧＝S正棱台侧＝S圆柱侧＝＝S圆锥侧＝＝S圆台侧＝＝S球面＝相互间的关系：4．体积公式：V长方体＝＝V柱体＝V锥体＝V台体＝V球＝相互间的关系：空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积.例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.练习：1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？空间几何体的表面积和体积教案例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm ，全面积为1440 cm 2，求底面各边之长.分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a 、10a 、 9a ，故只须求出参数a 即可，那么如何利用已知条件去求 a 呢？［生］设底面三边长分别是17a 、10a 、9a , S 侧＝（17a ＋10a ＋9a ）·16＝576a 设17a 所对三角形内角α，则cos α＝（10a ）2＋（9a ）2－（17a ）22×10a ×9a ＝－35 ，sin α＝45S 底＝12 ·10a ·9a ·45＝36a 2∴576a ＋72a 2＝1440 解得：a ＝2 ∴三边长分别为34 cm ，20 cm ，18 cm.［师］此题中先设出参数a ，再消去参数，很有特色. 例2：正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积. 分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如图所示，设正三棱锥S —ABC 的高为SO ，斜高为SD ，在Rt △SAO 中，∴AO ＝SA ·cos45°∵AO ＝23 AD ＝23 32a ∴SA ＝63a在Rt △SBD 中 SD ＝a a a 615)21()36(22=- ∴S 侧＝12 ·3a ·SD ＝154a 2. ∵S 底＝34a 2∴S 全＝（154＋34）a 2 例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A —BCD ，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A —BCD 的体积即可.解：设正方体体积为Sh ,则每个截去的三棱锥的体积为 13 ·12 Sh ＝16 Sh . ∵三棱锥A —BCD 的体积为 Sh －4·16 Sh ＝13Sh .∴正三棱锥A —BCD 的体积是正方体体积的13 .例4：假设正棱锥的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求对角面的面积和侧面积. 解：如图所示，在正四棱锥P —ABCD 中，AB ＝a ，PB ＝2a ， 作PO ⊥底面ABCD 于O .连结BD ，则O ∈BD ，且PO ⊥BC ， 由AB ＝a ，得BD ＝ 2 a ，在Rt △P AB 中， PO 2＝PB 2－BO 2＝（2a ）2－（22a ）2∴PO ＝142a ，S 对角面＝12 PO ·BD ＝72a 2. 又作PE ⊥BC 于E ，这时E 是BC 的中点 ∴PE 2＝PB 2－BE 2＝（2a ）2－（12 a ）2∴PE ＝152a ∴S 侧＝4×21PE ·BC ＝15 a 2 ∴对角面面积为72a 2,侧面积为 15 a 2. 例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的23证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ， 高为2R ，得S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2 ∴S 球＝S 圆柱侧（2）∵S 圆柱全＝4πR 2+2πR 2＝6πR 2 S 球＝4πR 2 ∴S 球＝23S 圆柱全例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为a ，则第一个球的半径为 a 2 ，第二个球的半径是22a ，第三个球的半径为32a . ∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶ 2 ∶ 3 ∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB 和球的大圆⊙O ，且⊙O 为 △SAB 的内切圆.设圆锥底面半径为r ,母线长为l ;内切圆半径为R ，则S 锥全＝πr 2＋πrl ，S 球＝4πR 2，∴r 2＋rl ＝8R 2① 又∵△SOE ∽△S A O 1∴r l rl rl r l r R +-=--=22 ②由②得：R 2＝r 2·r l r l +-代入①得：r 2＋rl ＝8r 2·rl rl +-，得： l ＝3r ∴32===rlr rl S S ππ底锥侧 ∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1. 练习：1.已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积. 例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边△SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1，截球面得球的大圆圆O 1.设球的半径O 1O ＝R ，则它的外切圆柱的高为2R ，底面半径为R ，则有OB ＝O 1O ·cot30°＝ 3 R SO ＝OB ·tan60°＝ 3 R ·3 ＝3R ∴V 球＝43 πR 3,V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3V 锥＝13π（ 3 R ）2·3R ＝3πR 3∴V 球∶V 柱∶V 锥＝ 4∶6∶9［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9：半径为R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球O 的半径为R ；设正四面体 A —BCD 的棱长为a ，它的内切球半径为r ，依题意BO 1＝23 32a ＝33a ，AO 1＝AB 2－BO 12 ＝a 2－（33a ）2 ＝63a 又∵BO 2＝BO 12＋OO 12，∴R 2＝（22)36()33R a a -+ ∴a ＝362R 连结OA ，OB ，OC ，OD ，内切球球心到正四面体各面距离为r , V O —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —AOB ＋V O —BCD ∴r S AO S BCD BCD ⋅⋅⋅=⋅⋅∆∆314311 ∴r ＝41AO∴r ＝R R a 31362126126=⋅= ∴V 小球∶V 大球＝34π·（31R ）3∶34π·R 3＝1∶27∴内切球与外接球的体积比为1∶27.。
苏教版高中数学必修二学案精品立体几何第课时(6)
听课随笔
1．△ABC的三边长分别为AC=3 , BC=4 , AB=5 , 以AB所在直线为轴, 将此三角形旋转一周, 求所得旋转体的表面积.
２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm , 高是30cm , 已知每平方米需要油漆150g , 油漆50个这种烟囱帽(两面都漆), 共需油漆多少千克?(精确到1kg)
３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r和R,求证：截得这个
圆台的圆锥的侧面积为
2
22
R S
R r
-
．
选修延伸
侧面积综合题选讲
精典范例
四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形，PA⊥平面ABCD，侧面PBC、侧面PDC与底面所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。
思维点拨
在综合题中，遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体．于是要利用几何体的性质与线面关系来解决问题．这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维．本题中所用方法就是比较原始的方法，即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积．
追踪训练
正三棱台上、下底面边长分别为1，3，侧面积为3
4，求它的侧面与下底面所成二面角的大小．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.3 空间几何体的表面积和体积》
必修2 立体几何初步1.3.1 空间几何体的表面积一、【教学目标】1、了解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台侧面展开所得图像．2、掌握直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台表面积公式3、利用公式解决简单的表面积计算问题二、【导引自学】1、直棱柱的侧面展开图是 ，它的长等于 ，宽等于 ，∴直棱柱侧S2、设正n 棱锥底面边长为a ，则底面周长为 ，若斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为'h ，则它的侧面展开图的面积即侧面积=正棱锥侧S = 。
3、正棱台是由正棱锥被平行于底面的平面所截， 之间的部分。
它的侧面均为全等的 ，其侧面积正棱台侧S4、柱体、椎体、台体的侧面积的关系．当棱台的上底面面积变为0时，图形就成为棱锥；当棱台的上底面面积变为与下底面面积相等时，图形就成为棱柱．棱柱、棱台、棱锥的侧面积公式的演变关系：ch S =正棱柱侧−−−←='c c h c c S ''+=)(21正棱台侧−−→−='0c h c S '=21正棱锥侧c'=c5、圆柱：（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，其特点是 。
（2）若圆柱底面的半径为r ,母线长为l ，则圆柱的表面积为 。
6、圆锥：（1）圆锥的侧面展开图是一个 ，其特点是 。
（2）若圆锥底面的半径为r ,母线长为l ，则S 圆锥的侧面积= 。
7、圆台：（1）圆台的侧面展开图是一个 ，其特点是 。
（2）如果圆台的上，下底面半径为r ,'r母线长为l ,则S 圆台的侧面积= 。
8、圆柱，圆锥，圆台侧面积公式的转化关系：圆柱 圆台 圆锥2S rl π=圆柱侧 −−−←=r r ' =()S r r l π'+圆台侧 −−→−=0'r S rl π=圆锥侧三、【典型例题】 例1：一个正六棱台的两个底面的边长分别为8cm 和18cm ，侧棱长是13cm,求侧面积。
例2：一个直角梯形上底、下底和高之比为2：4：5，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比．例3：已知正六棱锥V -ABCDEF 的棱V A 上有2个点M 、N ，且VM ：MN ：NA=1：1：2，分别过M 、N 点作底面的平行平面，将正六棱锥分成三部分，求这三部分的侧面积之比四、【当堂反馈】1、两个正方体的棱长分别是a 和b ，第三个正方体的全面积等于前两个正方体的全面积C O O'B A之和，则第三个正方体的棱长是 。
苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案(2)
柱、锥、台、球的体积(1)一、课标要求：了解柱、锥、台的体积的计算公式（不要求记忆公式）及计算方法二、教学目标：(1)了解柱、锥、台的体积计算公式；(2)能应用公式求解有关柱、锥、台的体积计算问题；(3)让学生感知柱体体积度量的基本思路：正方体→长方体→柱体，即特殊到一般的数学思想；(4)让学生通过对柱体、锥体、台体体积公式的观察、分析，感受它们之间的转换关系.体会“数”和“形”的完美结合.(5)通过探究柱体的体积计算公式，培养学生动手实验的能力，激发学习的热情.三、教学重点、难点：重点；柱、锥、台的体积计算公式及应用难点；组合体的体积计算四、设计思路：由熟知的正方体、长方体的体积计算公式⇒（类比）未知的柱、锥、台的体积计算公式。
由熟知的圆锥的体积计算公式⇒（类比）未知的柱、锥、台的体积计算公式五、活动设计六、同行点评：该设计由学生熟悉的长方体公式出发，引导学生进行探究活动，激发了学生的数学学习的兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发展了学生创新意识。
柱、锥、台、球的体积(2)一、课标要求：了解球的表面积及体积的计算公式（不要求记忆公式）二、教学目标：(6)了解球的表面积和体积计算公式的推导过程，能用公式解决有关问题；(7)通过推导球的表面积计算公式让学生体会“无穷”“极限”的数学思想；(8)通过学习探求球的体积公式培养学生动手能力，体会知识之间的联系，(9)通过探求球面积的“积分”思想，让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养，激发学习的热情.三、教学重点、难点：重点；(1)球的体积、表面积公式；(2) 柱、锥、台、球的体积公式的综合应用.难点；在球表面积公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的数学思想.四、设计思路：通过实验操作和多媒体演示让学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算研究数学问题的过程。
体会推导球的表面积计算公式中的“无穷”“极限”的数学思想，让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养，激发学习的热情.五、活动设计六、同行点评：该设计自然流畅、充分突出新课程理念。
高中数学《空间几何体的表面积和体积》教案(1) 苏教版必修2(1)
空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积教学目标（1）了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图； （2）了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式； （3）会求一些简单几何体的表面积． 教学重点多面体的平面展开图,求简单几何体的表面积． 教学难点多面体的平面展开图． 教学过程 一、问题情境1．情景：通过演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念． 2．问题：哪些图形是空间图形的平面展开图？二、学生活动仔细观察这些平面图形，说说它们是哪些空间图形的平面展开图？ 三、建构数学1．多面体的平面展开图的概念一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成的平面图形叫做该多面体的平面展开图． 2．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱．把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此直棱柱的侧面积是S ch =直棱柱侧．（2）底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱．（3）底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h '，由图可知它的侧面积是12S ch '=侧． （4）正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为,c c '，斜高为h '，则其侧面积是1()2S c c h ''=+侧．项目 名称直棱柱 正棱柱 正棱锥 正棱台定义侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱 底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台侧面积的计算公式,S ch =侧c 为底面的周长，h为棱柱的高1,2S ch c '=侧为底面周长，h '是斜高（侧面等腰三角形底边上的高）1(),2S c c h c '''=+侧为上底面周长，c 为下底面周长，h '是斜高（侧面等腰梯形的高）性质 每个侧面都是矩形，底面是多边形 每个侧面都是矩形，底面是正多边行侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形，每条侧棱都相等 侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，每条侧棱都相等（2）正棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：练习：如图是正方体纸盒的展开图， 那么直线AB 、CD 在原来正方体 中所成的角是多少？ 提示：把平面展开图还原为正方体。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.3.1 空间几何体的表面积》1
必修2 1.3.1 空间几何体的表面积2No:【教学目标】1.了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图2.会通过柱、锥、台侧面展开图的构成了解它们的表面积计算公式3.会利用特征几何图形、轴截面求一些简单几何体的表面积重点：求一些简单几何体的表面积难点：通过柱、锥、台侧面展开图的构成了解它们的表面积计算公式【自主学习】问题与活动二次备课☆复习学生口答☆预习必修2 第54-55页，思考以下问题：1 一个正方体，若按其中一种方法沿棱将其剪开，可得到什么图形？多面体的平面展开图：把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图多面体的侧面展开图：把一些简单的多面体的侧面沿侧棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的侧面展开图【问题探究】问题与活动总结反思☆探究活动一直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式问题直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是什么？小组讨论2-3分如何求它们的侧面积？ 1 直棱柱2 正棱锥3 正棱台钟，合作互议 学生分析，回答数与形的结合 ☆探究活动二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式问题 分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是什么形状的图形？ 将它们分别沿一条母线展开，它们的侧面展开图分别是什么？ 4 圆柱5 圆锥小组讨论2-3分钟，合作互议 学生分析，回答chh d b a S =⋅++)（＝直棱柱侧'21ch S ＝正棱锥侧')21h c c S +'（＝正棱台侧rlcl S π2=＝圆柱侧'21ch S ＝正棱锥侧')21h c c S +'（＝正棱台侧ch S ＝直棱柱侧c c '=0='c6 圆台数与形的结合☆探究活动三 求直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？小结:寻找联系高、斜高、侧棱和底面边长的桥梁， 即多面体的特征几何图形 过高的截面（如：直棱柱中的矩形；正棱台中的直角梯形；正棱锥中的直角三角形） 牛刀小试正四棱台的上、下底面边长分别是2cm 和14cm ，高是8cm ，求正四棱台的侧面积师分析学生总结，师补充学生做，学生用投影仪讲台上讲rlcl S π=21＝圆锥侧()()l r r l c c S +'=+'=π21圆台侧()lc c S +'=21圆台侧cl S 21＝圆锥侧clS ＝圆柱侧c c '=0='c☆探究活动四求圆柱、圆锥、圆台的侧面积例2 一个直角梯形上底、下底和高之比为2:4： ,将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比小结:寻找联系高、母线和底面半径的桥梁，即旋转体的基本量轴截面（如：圆柱中的矩形；圆台中的直角梯形；圆锥中的直角三角形）变式一个直角梯形下底是上底长的2倍，高是3,将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，圆台的母线与下底面所成角为45度，求这个圆台的表面积学生分析、讲解学生总结，师补充学生做，学生用投影仪讲台上讲【课堂小结】1学习了那些知识？2学习了哪些方法？3发现了那些易错点？【当堂检测】1．求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为2 用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高为3一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm , 侧棱长等于13cm , 则它的侧面积为____________【作业布置】【教后反思】。
苏教版高中数学必修2《空间几何体的表面积》教案设计
1．3．1空间几何体的表面积
【教学目标】
1．理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.
2．让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知侧面展开图的形状，了解空间几何体的侧面积计算公式的推导过程.
3．能用侧面积的计算公式解决具体问题.
４．培养学生观察、分析、归纳的能力，以及数学应用意识与辨证的思想.
【教学重点】
1．正棱柱、正棱锥、正棱台概念的理解.
2．柱、锥、台的侧面展开图的结构以及侧面积计算的结构特征.
【教学难点】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的确定.
2．数学应用.
【课时安排】1课时
【教学流程】
注：M：表示实例 P：课件
H：几何画板
【教学设计】。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.3.1 空间几何体的表面积》
空间几何体的外表积一、情境引入师：一个圆柱形茶杯的一条母线的两端各有一虫子A、B，虫子A想去捉B，又担忧被B发现，所在它决定绕茶杯一周去捉B，那么它爬过的最短路程怎么求？〔教师用FLASH演示〕生1：将圆柱的侧面沿母线展开成矩形，那么矩形的对角线就是虫子的最短距离．师：如何求长方体的外表积？生众：将各个面的面积相加．生2：与可以将长方体展开，求平面图形的面积．师：刚刚的两个问题都把立体几何问题转化为平面问题，将立几问题平面化是我们解决立体几何问题最常见、最根本的方法．我们今天这一节课将用这种方法来研究空间几何体的外表积．【设计意图】设计虫捉虫和求长方体全面积两个问题，既可以激发学生的学习兴趣，又引出空间问题平面化的思想，为侧面积公式的推导做好铺垫．二、定义辨析师：首先我们来看下面的几何体，它们分别是什么特殊的几何体？生众：直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台．师：直棱柱、正棱柱是怎么定义的？生众：侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；下底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；正底面是正多边形．师：生活中常见的正棱柱有哪些？生3：六角螺母、粉笔盒、魔方．生4：粉笔盒下底面不是正方形．〔笔者所教学校的粉笔盒如下列图〕生3：将粉笔盒换个角度．〔学生鼓掌〕师：我们对熟悉的物体常会形成思维惯性，其实换个角度去看会更精彩．师：魔方是个正方体，是正四棱柱，那么正四棱柱是正方体吗？生5：不是，正四棱柱可以很高．师：对，我们如果将两个正方体底面重合叠加在一起，它是一个正四棱柱，但不是正方体．师：正棱锥、正棱台是怎么定义的？生众：下底面是正多边形，顶点在底面上的投影是正多边形的中心的棱锥叫正棱锥；用平行于底面的平面去截正棱锥，截面与底面间的局部称为正棱台．师：正棱锥还有其它定义方式吗？生6：将正棱柱的上底面收缩成一个点．生7：应该收缩到上底面的中心．师：我们不妨看个几何画板动画，当正六棱柱上底面收缩到中心时，就形成了正六棱锥，并且在运动过程中，形成正六棱台．〔教师用几何画板演示〕师：正棱锥和正棱台的侧面有什么特征？生众：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形．【设计意图】特殊几何体概念是本节课的重点，但不是难点，所以我在学生预习的根底上，让学生由图区分几何体，总结概念的关键词，并对易混的概念正方体和正四面体进行辨析，这将有利学生概念的学习和理解．同时对正棱台以动画的形式给出另一种定义，既是对本章第一节柱锥台的一个复习，也为下面得到柱锥台侧面积公式间的关系打下铺垫．三、公式推导师：刚刚我们了解了几个特殊的几何体，那么如何求这些几何体的侧面积呢？我们先来看直棱柱．生8：将各个侧面面积相加．生9：将侧面展开成平面图形．师：如何展开？展开后是什么形状？侧面积公式是什么？怎么求？生9：沿侧棱展开，展开后是个矩形，矩形的宽是直棱柱的高，长是直棱柱底面周长，所以侧面积公式为底面周长乘高，即．〔教师沿侧棱剪开直棱柱手工模型〕师：直棱柱的高是什么？生众：侧棱．师：棱柱的侧棱长我们常用表示，所以直棱柱的侧面积．师：正棱柱的侧面积公式呢？生众：．师：理由是……？生众：正棱柱是特殊的直棱柱．师：我们刚刚说的是直棱柱，它的侧面积是底面周长乘侧棱长，假设一个棱柱不是直棱柱，侧棱与底面不垂直，它的侧面积还是底面周长乘侧棱长吗？〔教师展示斜棱柱手工模型〕生10：是的．师：为什么？生10：将这个三棱柱沿侧棱展开，展开图是三个全等的平行四边形．生11：不一定全等，展开后是一个平行四边形．生12：不是平行四边形．师：请大家拿出昨天做的平行四边形，试试看能否折成三棱柱．〔让学生试验，并通过讨论得到结果〕生众：不能．师：我这有个斜三棱柱，现在沿侧棱展开，显然不是平行四边形？还能用公式吗？为什么？生13：不能．假设三个平行四边形的底分别为，高为，那么，由于和未必有公因式，不好化简．师：只适用于直棱柱，而对于一般棱柱的侧面积往往是各个面相加．【设计意图】很多学生只注重公式的形式和结果，而无视公式成立的条件，让学生参与公式的生成过程，有助于学生更好的理解公式，从而用好公式．师：解决了直棱柱的侧面积，那么正三棱锥的侧面积如何求呢？生：将正三棱锥的侧面沿侧棱展开，展开后是三个全等等腰三角形，假设等腰三角形的底边为，高为，那么．生：如果将3移到前面，．师：是正三棱锥的高吗？生：不是，它是正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高．师：为了与正三棱锥的区分，我们将侧面等腰三角形的高记为，我们称之为正棱锥的斜高，那么．这个公式对于其它的正棱锥成立吗？为什么？生：对其它的正棱锥也成立，证明过程与刚刚一样．师：正棱台的侧面积呢？生：同刚刚一样，将正棱台沿一条侧棱展开，得到个全等等腰梯形，设等腰梯形的上底为，下底为，那么；如果记正棱台的上底周长为，下底周长为，那么．师：漂亮．生通过类比，利用展开的方法得到了正棱台的侧面积公式．公式中的不是正棱台的高，而是侧面等腰三角形的高，称为正棱台的斜高．师：我们前面展示了柱、锥、台三者转化的动画，既然三者可以转化，那么它们的侧面积公式之间会否有联系呢？生：当正棱台中时，就得到正棱锥的侧面积公式；当正棱台中时，就得到正棱柱的侧面积公式．师：我们圆满的得到了正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，并发现了公式间的关系，那么对于旋转体圆柱、圆锥、圆台，它们的侧面积公式又如何呢？用什么方法求解？生：立几问题平面化．生：将圆柱沿一条母线展开，得到一个矩形，它的宽是圆柱的高，也就是侧棱，长是圆柱底面周长，所以．生：将圆锥沿一条母线展开，得到一个扇形，它的半径是母线长，它的弧长是圆锥的底面周长，所以．师：我们比照圆柱、圆锥侧面积公式和正棱柱、正棱锥侧面积公式，再看看正棱台侧面积公式，能猜测圆台的侧面积公式吗？如何记忆？生：，如果将圆台沿一条母线展开，会得到圆环的一局部，像是个梯形，可以通过梯形有面积公式记忆．师：很好！生不仅给出的圆台的侧面积公式，而且还给出它的记忆方法．圆柱、圆台、圆锥的侧面积公式间有联系吗？生：当圆台中时，就得到圆锥的侧面积公式；当圆台中时，就得到圆柱的侧面积公式．【设计意图】对公式的处理主要有二个方面：一是怎么推，在公式推导中我紧紧抓住平面化的思想和类比思想，平面化我就不再多说，类比思想包括方法上的类比和结构上的类比，比方得到直棱柱侧面积后，其它几何体的侧面积如何推导——展开，就是方法上的类比，由棱台公式类比圆台公式就是结构上的类比，这样处理不再是局限在本节课，也为选修中的合情推理的教学打下了伏笔．对公式处理的第二个方面是如何用，对公式的直接运用在例题中表达，而在这里是把学生用公式时的易错点，①不注意公式成立条件，斜棱柱也用c 公式，②斜高和高不分，先进行订正和强化。
高一数学苏教版必修2教学案：第1章18空间几何体的表面积(2)
高一数学教学案(135)必修 2 空间几何体的表面积(二)班级 姓名目标要求1、 进一步理解和掌握正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式．2、 理解和掌握圆柱、圆锥、圆台的概念和侧面积公式以及它们之间的联系． 重点难点]重点：圆柱、圆锥、圆台的生成和侧面积公式． 难点：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的应用． 典例剖析例1、一个直角梯形的上、下底和高的比为1:，它绕垂直于底边的腰旋转一周而形成的圆台的上、下底面积和侧面积的比是多少？例2、（1）圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的全面积．（2）有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm ）例3、如图，圆锥的底面半径5r =cm ，母线10l =cm ，AB 为底面直径，C 为PB 的中点．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A 爬到C，它至少BA爬多远？学习反思1、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是．2、圆柱的侧面积公式是．圆锥的侧面积公式是．圆台的侧面积公式是．3、圆柱、圆锥、圆台中两个重要的平面是．课堂练习1、已知轴截面是正方形的圆柱，其中正方形边长为a，则圆柱的侧面积是____________.2、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的侧面积________________.3、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是_______________.4、圆台的高是12cm，上下两个底面半径分别是4cm和9cm，则圆台的侧面积是．5、已知圆台的下底半径为8cm，高为6cm，母线与下底面成45角，那么圆台的侧面积是．6、若圆锥的侧面积是其底面积的2倍。
（1）求这个圆锥的母线与底面所成角；（2）求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角。
高一数学作业(135)班级姓名得分1、等边圆锥（轴截面是正三角形的圆锥）的侧面展开图扇形的圆心角是_____________.2、一个圆柱内作一个内接正三棱柱，又在这正三棱柱内作一内切圆柱，那么这两个圆柱的侧面积之比是______________.3、矩形的两条棱长为,a b ，分别以,a b 所在的直线为轴旋转一周，若a b <，则所得的两个旋转体的侧面积1S 和2S 的大小关系是___________________.4、如果圆锥与正四棱锥的全面积分别是1S 与2S ，又它们的底面积相等，高也相等，那么1S 与2S 的大小关系是___________________.5、已知三棱锥A BCD -的各个面都是边长为1的正三角形，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，那么从点P 沿侧面运动到点Q 所走的路程最短距离是________。
18版高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学案苏教版必修2
1.3.1 空间几何体的表面积1．了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)2．了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)．(易错点)3．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 几种特殊的多面体阅读教材P53的内容，完成下列问题．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱长都相等的长方体是正方体．(√)(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱．(√)(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱．(×)(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．(√)教材整理2 几种简单几何体的侧面展开图与侧面积阅读教材P54的内容，完成下列问题．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积1．正三棱锥的底面边长为a ，高为33a ，则此棱锥的侧面积为________． 【解析】 如图，在正三棱锥S －ABC 中，过点S 作SO ⊥平面ABC 于O 点，则O 为△ABC 的中心，连结AO 并延长与BC 相交于点M ，连结SM ，SM 即为斜高h ′，在Rt △SMO 中，h ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2.【答案】154a 22．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________．【解析】 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r ＝1，高h ＝1，所以侧面积S ＝2πrh ＝2π.【答案】 2π3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__________．【解析】 S ＝2π×1×2＋2π×12＝6π. 【答案】 6π[小组合作型]棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积.【精彩点拨】 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．【自主解答】 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PE 22＝PE 2，∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12.S 侧＝2S 底＝2×12＝24.∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．[再练一题]1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．【解】 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)．圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积已知圆锥的底面半径为R ，高为3R .若它的内接圆柱的底面半径为34R ，求该圆柱的全面积．【精彩点拨】 作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系． 【自主解答】 设圆柱底面半径为r ，高为h ， 由题意知r ＝34R ，∴h 3R ＝R －r R ，∴h ＝34R ，∴S 圆柱全＝2πr 2＋2πrh ＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫34R 2＋2π⎝ ⎛⎭⎪⎫34R 2＝94πR 2.1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．[再练一题]2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？【解】 如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.[探究共研型]几何体侧面积和全面积的实际应用探究 如图1－3－1(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图1－3－1(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积与正方体的表面积之比为多少？(1) (2)图1－3－1【提示】 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表(2)＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝(2＋2)a 2. S 表(2)∶S 表(1)＝(2＋2)a 2∶6×⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝(2＋2)∶3.用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm ，桶底直径为25 cm ，母线长是27.5 cm ，已知每平方米需要油漆150 g ，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)【精彩点拨】 求水桶的表面积→计算总油漆量．【自主解答】 每个水桶需要涂油漆的面积为S ＝(S 桶底＋S 侧)×2 ＝π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.2522＋0.252×0.275＋0.32×0.275×2＝0.182 5π(m 2)，因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．[再练一题]3．一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)【解】 圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122≈1.6(m 2)，所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)， 即10.9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．1．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a ，则它的表面积是________． 【解析】 正六棱柱的表面积为6a 2＋33a 2. 【答案】 6a 2＋33a 22．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________． 【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 67π3．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________.【解析】 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR .故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .【答案】 4πS4．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是________．【解析】 底面对角线为92－52＝214和152－52＝102，底面边长为14＋50＝8，所以S 侧＝4×8×5＝160.【答案】 1605．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m ，侧棱长为2.3 m ，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m 2)【解】 如图所示，设SE 是侧面三角形ABS 的高，则SE 就是正四棱锥的斜高． 在Rt △SAE 中，SA ＝2.3 m ，AE ＝1.35 m ， 所以SE ＝ 2.32－1.352≈1.86(m)， 而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)， 所以S 棱锥侧≈12×10.8×1.86≈10.0(m 2)．故需要油毡纸约10.0 m 2.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.3.1 空间几何体的表面积学案 苏教版必修2
1.3.1 空间几何体的表面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1 直棱柱和正棱锥的特征是什么？思考2 下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？思考3 下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？思考4 如何求多面体的表面积？梳理(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝______.③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是____________，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝__________.知识点二正棱台的表面积思考1 什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？思考2 如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？思考3 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？梳理正棱锥被________________________所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝________________.知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考2 圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？梳理类型一求多面体的侧面积和表面积例1 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.引申探究若四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长.反思与感悟(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.跟踪训练1 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.类型二求旋转体的表面积引申探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径.例2 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)反思与感悟(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2 若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为________ cm2.类型三简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2)反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有. 跟踪训练3 有两个相同的直棱柱，高为2a，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围.1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________.2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.3.若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍. 4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm ，表面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.5.以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径.1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).答案精析问题导学 知识点一思考1 直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面中心．思考2 S 直棱柱侧面积＝ch ，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积． 思考3 S 正棱锥侧面积＝12nah ′＝12ch ′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．思考4 一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．梳理 (1)①垂直 ②ch (2)①底面中心 ②12ch ′知识点二思考1 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形． 思考2 S 正棱台侧面积＝12 n (a ＋a ′)h ′＝12(c ＋c ′)h ′.思考3 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 棱台的表面积等于侧面积与底面积的和． 梳理 平行于底面的平面 12(c ＋c ′)h ′ 知识点三思考1 S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )．思考2 底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．思考3 由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则，xx ＋l ＝r R，解得x ＝rR －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝12(x ＋l )×2πR －12x ×2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 梳理 2πr 22πrl 2πr (r ＋l ) πr 2 πrl πr (r ＋l ) πr ′2πr 2π(r ′l ＋rl ) π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 题型探究例1 解 (1)如图所示，设O 1、O 分别上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连结C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )． 在Rt△C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝12(b －a )，∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22b －a 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12b －a 2＝32(b －a )． ∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)．(2)∵S 侧＝S 底，S 底＝a 2＋b 2， ∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 2a ＋b.又EF ＝b －a2，∴h ＝ h 2斜－EF 2＝ab a ＋b. 引申探究解 如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt△E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)． ∵E 1F ＝12 cm ， ∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512， 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm. 跟踪训练1 解 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底， ∴4·12·BC ·PE＝2BC 2， ∴BC ＝PE . 在Rt△POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE ，∴9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PE 22＝PE 2， ∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12， S 侧＝2S 底＝2×12＝24，∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.例2 1 100π引申探究解 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面半径为3r ，由题意知母线长l ＝3，∵S 侧＝π(r ＋3r )×3＝84π，∴r ＝7.跟踪训练2 3π例3 解 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52 m ，其侧面积为S 1＝π×52× 1.22＋2.52(m 2)．下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8(m 2)．∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S ＝S 1＋S 2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.05(m 2)．跟踪训练3 解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28.三棱柱有三种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a 2＋48.最小的是一个四棱柱，即24a 2＋28<12a 2＋48，即a 2<53，又a >0，∴0<a <153. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153. 当堂训练1．2π 2.4 3.2 4.112或725．解 如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.。
数学：1.3《空间几何体的表面积和面积》教案二(苏教版必修2)
1．圆锥形烟囱的底面半径是cm 40，高是cm 30．已知每平方米需要油漆g 150，油漆 100个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（π取14.3，精确到kg 1.0）2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为cm 7，cm 5，cm 4，则每层有57⨯个单位正方体，共有4层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为__________或___________．3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：=柱体V ____________________________________________．=锥体V ____________________________________________．=台体V ____________________________________________．=球V _____________________________________________．4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．球的表面积公式为______________________；这表明球的表面积是球大圆面积的4倍． 例题剖析例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重kg 6．已知毛坯底面正六边形边长是mm 12，高是mm 10，内孔直径是mm 10．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是3/8.7cm g ）例2 下图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到301.0cm ）．巩固练习1． 用一张长cm 12、宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm ，高为cm 4，现将它熔化后铸成一个正方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3．若一个六棱锥的高为cm 10，底面是边长为cm 6的正六边形，求这个六棱锥的体积．课堂小结柱、锥、台、球体积计算公式的运用．课后训练一 基础题1．圆台上下底面直径分别为cm 10，cm 20，高为cm 2，则圆台的体积为_______2cm ．2．已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为_________．3．长方体相邻的三个面的面积分别为2，3和6，则该长方体的体积为_________．4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，高是cm 3，体积是363cm π，则圆台的侧面积是____________．5．若一圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为___________．6．已知正三棱锥的侧面积为318，高为3，求它的体积．二 提高题7．若干体积的水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．三 能力题8．正棱锥的底是内接于一圆柱下底的正六边形，而其顶点为圆柱上底的中心．已知棱锥的高为cm 6，体积为3312cmD。
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江苏省泰兴中学高一数学教学案(135)
必修 2 空间几何体的表面积(二)
班级 姓名
目标要求
1、 进一步理解和掌握正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式．
2、 理解和掌握圆柱、圆锥、圆台的概念和侧面积公式以及它们之间的联系．
重点难点]
重点：圆柱、圆锥、圆台的生成和侧面积公式．
难点：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式的应用．
典例剖析
例1
、一个直角梯形的上、下底和高的比为1:2，它绕垂直于底边的腰旋转一周而形成
的圆台的上、下底面积和侧面积的比是多少？
例2、（1）圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的全面积．
（2）有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm ）
例3、如图，圆锥的底面半径5r =cm ，母线10l =cm ，AB 为底面直径，C 为PB 的中点．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A 爬到C
，它至少
爬多远？
学习反思
1、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是．
2、圆柱的侧面积公式是．
圆锥的侧面积公式是．
圆台的侧面积公式是．
3、圆柱、圆锥、圆台中两个重要的平面是．
课堂练习
1、已知轴截面是正方形的圆柱，其中正方形边长为a，则圆柱的侧面积是____________.
2、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的侧面积________________.
3、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120o，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是_______________.
4、圆台的高是12cm，上下两个底面半径分别是4cm和9cm，则圆台的侧面积是．
5、已知圆台的下底半径为8cm，高为6cm，母线与下底面成45o角，那么圆台的侧面积是
．
6、若圆锥的侧面积是其底面积的2倍。
（1）求这个圆锥的母线与底面所成角；
（2）求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角。
江苏省泰兴中学高一数学作业(135)
班级姓名得分
1、等边圆锥（轴截面是正三角形的圆锥）的侧面展开图扇形的圆心角是_____________.
2、一个圆柱内作一个内接正三棱柱，又在这正三棱柱内作一内切圆柱，那么这两个圆柱的侧面积之比是______________.
3、矩形的两条棱长为,a b ，分别以,a b 所在的直线为轴旋转一周，若a b <，则所得的两个旋转体的侧面积1S 和2S 的大小关系是___________________.
4、如果圆锥与正四棱锥的全面积分别是1S 与2S ，又它们的底面积相等，高也相等，那么1S 与2S 的大小关系是___________________.
5、已知三棱锥A BCD -的各个面都是边长为1的正三角形，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，那么从点P 沿侧面运动到点Q 所走的路程最短距离是________。
6、已知正方体的棱长为4cm ，在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2cm ，深为1cm 的圆柱形的孔，则打孔后几何体的表面积为___________ 。
7、如图，已知圆台的上下底面半径分别为1cm 和3cm ，母线长为8cm ，P 是母线MN 的中点，由M 出发，沿圆台侧面绕一周到达点P ，求经过的最短路程．
8、如图，一直角梯形ABCD
的上下底分别为CD =
，AB =2AD =，求以腰BC 所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．
M P N
_ D
_ C _ B _ A
9、已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积;
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？。