(自主招生培训)第六讲：复数
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
复数讲义(绝对经典)
复数讲义(绝对经典)复数一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．（4）i的周期性：，，，． 2．数系的扩充：复数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4．复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系：7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算 1．复数与的和的定义：2．复数与的差的定义：3．复数的加法运算满足交换律:4．复数的加法运算满足结合律:5．乘法运算规则：设， ( 、、、 )是任意两个复数，那么它们的积其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律：（1）（2）（3）7．复数除法定义：满足的复数 ( 、 )叫复数除以复数的商，记为：或者8．除法运算规则：设复数( 、 )，除以( ， )，其商为（、 )，即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:②利用于是将的分母有理化得：原式． ∴(点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法． 9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中的一个重要概念，它表示数量不止一个的情况。
在复数中，有实部和虚部两个部分，可以用数学形式表示为a+bi。
其中a是实部，bi是虚部，i表示虚数单位。
下面将从复数的定义、复数的运算、复数的表示形式以及复数的应用等方面进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i表示虚数单位，i满足i^2=-1。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部则表示复数在虚数轴上的位置。
通过复数，可以扩展实数系到复数系，使得一些无法用实数表示的数也能够得到解释。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部和虚部分别相加或相减。
2. 复数的乘法：按照分配律和虚数单位的性质相乘。
3. 复数的除法：先将分母有理化为实数，再按照分配律相除。
需要注意的是，复数的运算遵循交换律、结合律和分配律，与实数的运算相似。
三、复数的表示形式1. 算术形式：a+bi，其中a和b都是实数。
2. 指数形式：re^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
四、复数的应用1. 电路分析：在电路分析中，很多情况下需要使用复数来表示电流和电压等物理量，特别是交流电路。
2. 信号处理：复数可以方便地表示信号的频率和相位，对于信号处理和调制等领域具有广泛的应用。
3. 物理学：在波动光学和量子力学等物理学领域，复数也起到了非常重要的作用。
4. 工程计算：在求解二次方程及其特征值、求解导数和积分等数学问题中，复数都有重要的应用。
总结：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加减法、乘法和除法，与实数的运算相似。
复数可以用算术形式和指数形式表示。
复数的应用广泛，包括电路分析、信号处理、物理学和工程计算等领域。
深入理解复数的概念和运算规则，对于进一步学习和应用数学和物理学等学科都具有重要的意义。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，允许我们处理平方根为负数的情况。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是实数和虚数的组合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的分类：- 实数：当b=0时，复数a+bi退化为实数a。
- 纯虚数：当a=0时，复数a+bi被称为纯虚数bi。
- 复数：当a和b都不为0时，a+bi是一个完整的复数。
3. 复数的表示：- 代数形式：a+bi，其中a是实部，b是虚部。
- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
- 指数形式：r(cosθ + isinθ) = re^(iθ)。
4. 复数的四则运算：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i5. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭为a-bi，记作a+bi*。
6. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上到原点的距离。
7. 复数的幅角：复数a+bi的幅角是θ，满足tanθ = b/a，且θ的取值范围通常在[0, 2π)。
8. 复数的极坐标表示：复数可以表示为极坐标形式r(cosθ +isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
9. 复数的指数形式：复数的指数形式是re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。
10. 复数的代数基本定理：任何非零复数都可以分解为若干个线性因子的乘积。
11. 复数的解析函数：在复数域上，如果一个函数在某区域内处处可导，则该函数在该区域内是解析的。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解和数学理论的推导中起着重要作用。
下面是关于复数的知识点的归纳：1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2. 实部和虚部：在复数a+bi中，实部为a，虚部为bi。
3. 虚数单位i：虚数单位i定义为i²=-1，它是一个不存在的实数，但在复数中有很重要的作用。
4. 纯虚数：当复数的实部为0时，称其为纯虚数，例如3i、-5i等。
5. 共轭复数：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
6. 复数的运算：- 加法：对于两个复数(a+bi)+(c+di)，实部相加得到a+c，虚部相加得到b+d。
- 减法：对于两个复数(a+bi)-(c+di)，实部相减得到a-c，虚部相减得到b-d。
- 乘法：对于两个复数(a+bi)·(c+di)，使用分配律展开后，相乘得到ac-bd，然后根据i²=-1，得到(ad+bc)i。
- 除法：对于两个复数的除法，可以使用分数的除法规则，即将分子和分母都乘以共轭复数的分母的共轭形式，然后化简。
7. 模和幅角：- 模：对于复数a+bi，其模表示为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数到原点的距离。
- 幅角：对于复数a+bi，其幅角表示为θ = arctan(b/a)，即复数与实轴正方向之间的夹角。
8. 三角形式：复数可以使用三角函数来表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
这种表示方式可以用于简化复数的乘除运算。
9. 欧拉公式：欧拉公式是数学中的一个重要公式，表达了指数和三角函数之间的关系。
它表示为e^(iθ) = cosθ + isinθ。
10. 复数的求根：复数的求根可以使用极坐标形式和欧拉公式来进行计算。
具体的步骤是，将复数表示为模和幅角的形式，然后对模取n次方根，对幅角除以n。
自主招生考试中的复数及其应用
1 的轨迹 z
。 是 A．焦距为 4 的椭圆； C．焦距为 2 的椭圆； 。 是 A． i
18.（09 复旦）复平面上点 z 0 1 2i 关于直线 l : z 2 2i z 的对称点的复数表示 B． 1 i C． 1 i D． i
19.（11 华约） 若复数 轨迹是（ ）. A.一条直线
名校自主招生考试中的复数问题研究 徐小平 一、复数的几种表达形式 （一）代数形式： z a bi ，其中 Re( z ) a , Im( z ) b ， 利用 z z z 可简化运算 （二）复数的三角形式： z r cos ir sin ，辅角主值： arg z 0, 2 三角形式的运算： 棣莫佛定理：
例 6.（06 清华） ．求最小正整数 n ，使得 I (
1 1 i ) n 为纯虚数，并求出 I ． 2 2 3 例 7. （2008 南京大学） 复数 z1 cos A i sin A, z2 cos B i sin B , z3 cos C i sin C ,
3 2
D． 6
a 是非零实数，求
z2 。 z1
5.（03 复旦保送） ．已知|z1|2，|z2|3，|z1+z2|4，则
z1 ______________． z2
6.（2011 清华保送）.已知 x 3i 5 2 ，则 x 3i 3 max
7（.03 复旦保送） ．已知|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值． 8.（05 交大） ．若 z3=1，且 zC，则 z32z22z20_____________． 9. （2011 北大保送） 单位圆 x y 1 上有三点 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 , 满足：
复数的知识点公式总结
复数的知识点公式总结一、复数的基本概念1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部与虚部：复数z=a+bi中，a称为实部，b称为虚部，通常用Re(z)和Im(z)表示。
3. 纯虚数：实部为0的复数，称为纯虚数，如bi，则bi为纯虚数。
4. 共轭复数：设z=a+bi是一个复数，如果将z的虚部b改变符号，得到一个新的复数z’=a-bi，称z’是z的共轭复数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：z=a+bi，即由实部a和虚部b构成的复数形式。
2. 幅角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为复数的模，θ为复数的辐角。
3. 按模辐角表示：z=r·exp(iθ)。
4. 柯西-黎曼公式：当z=x+yi时，可表示为z=r(exp[i(θ+2kπ)]), k=0,±1,±2,...。
三、复数的运算规则1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a+c)-(b+d)i。
3. 乘法：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
5. 复数的乘方：(a+bi)²=a²-b²+2abi。
6. 复数的幂运算：zⁿ=(r·exp(iθ))ⁿ=rⁿ·exp(iθn)。
7. 复数的共轭：z=a+bi的共轭为z*=a-bi。
8. 复数的倒数：z=a+bi的倒数为1/z=1/(a+bi)。
四、复数的性质1. 除法：任一非零复数z=a+bi，存在有唯一的复数1/z=1/(a+bi)，满足z(1/z)=1。
2. 复数的模：|z|=√(a²+b²)，其中|z|为z的模。
复数有关知识点总结
复数有关知识点总结一、复数的基本概念复数是指表示多个人、事物或概念的一种形式。
在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es后缀来表示的。
复数形式不仅用于表示数量上的复数，还可以用于表示概念上的复数，比如表示一类人或物体的情况。
二、复数的形成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词的末尾加上-s后缀。
比如：cat—cats，dog—dogs，book—books等。
2. 当单数名词以s, sh, ch, x, o结尾时，复数形式一般是在单数名词的末尾加上-es后缀。
比如：bus—buses，brush—brushes，box—boxes，tomato—tomatoes等。
3. 当单数名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y改为i，并加上-es后缀。
比如：city—cities，party—parties等。
4. 以f或fe结尾的单数名词变复数时，通常将f或fe改为v，再加上-es后缀。
比如：leaf—leaves，knife—knives等。
5. 以o结尾的单数名词变复数时，有些名词只需加上-s后缀，比如：photo—photos，radio—radios等；有些名词加上-es后缀，比如：potato—potatoes，tomato—tomatoes 等。
6. 有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。
比如：child—children，man—men，woman—women等。
以上是复数形式的一般规则，但是也有例外情况。
需要通过大量的阅读和实际练习来熟练掌握各种名词的复数形式。
三、不可数名词和复数的用法不可数名词是指不能用复数形式表示的名词，它表示不可分割的整体，或者是一种抽象的概念。
英语中有很多不可数名词，比如：water, air, milk, advice, information等。
这些名词在表示数量上并不具有复数形式，而是用单数形式来表示。
但是有些名词在特定情况下可以表示一定数量的概念，这时候可以用复数形式来表示。
自招竞赛课程数学讲义：自主招生考试中的复数问题【讲师版】
自招竞赛 数学“自主招生考试中的复数问题”讲义编号：复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容。
1. 已知复数的代数形式为：()z a bi a b R =+∈、，它的共轭复数是？2. 已知复数的代数形式为：()z a bi a b R =+∈、，你知道它的三角形式和指数形式吗？3.复数相乘在复平面上有什么几何含义？见例题讲解前的知识整理。
1 复数知识1.1 复数的表示形式与运算 代数形式：();z a bi a b R =+∈、三角形式：z (cos sin )(0,);r i r R θθθ=+≥∈ 指数形式：(0,)i z re r R θθ=≥∈例1 设复数12122,cos sin 255w w i ππ=-+=+，令12w w w =，则复数22011w w w ++⋅⋅⋅= （2011，复旦大学自主招生考试）例2 已知3)n z i =，若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（ ）（2011，全国高中数学联赛山东赛区预赛） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）6注：由于所求n 的值比较小，可见，解法l 不失为一种好方法，若所求n 的值较大时，解法2的优越性就体现出来了．1.2 复数的模与共轭复数例3 已知1z =，k 为实数，z 为复数，求21z kz ++的最大值。
（2006，上海交通大学自主招生考试）例4 设z 是模为2的复数，则1z z-的最大值与最小值的和为 。
（2011，全国高中数学联赛湖北赛区预赛）1.3 复数的单位根例5 已知{}181A z z ==和{}481B w w ==均为1的复数根的集合，{},C zw z A w B =∈∈也为1的复数根的集合，问：集合C 中有多少个不同的元素？2 复数方法2.1 在代数问题中的应用构造适当的复数，可以化简某些代数问题的求解，开拓新的思路和方法。
(完整版)复数知识点总结
(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。
以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。
3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。
共轭复数在复平面上关于实轴对称。
4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。
辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。
5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。
7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。
8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。
复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。
9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。
柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。
10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
复数的概念(解析版)
复数的概念(解析版)复数的概念（解析版）复数是英语语法中的一个重要概念，指的是表示两个或两个以上数量的名词。
相比于单数形式，复数形式的名词在形态上会发生变化，这种变化包括词尾的加“-s”或“-es”以及其他部分的变化。
理解和正确使用复数形式对于学习和掌握英语语言至关重要。
一、复数形式的构成方式一般来说，英语名词的复数形式有以下几种构成方式：1. 加“-s”：大部分名词的复数形式是在词尾直接加“-s”。
例如：book （书）→books（书籍）。
2. 加“-es”：当名词以“s”、“ss”、“sh”、“ch”、“x”、“o”结尾时，复数形式需要在词尾加“-es”。
例如：box（盒子）→boxes（盒子们）。
3. 变化型复数：少数名词的复数形式无规律可循，需要特殊记忆。
例如：child（孩子）→children（孩子们）。
4. 不规则复数：一些名词的复数形式完全不符合上述规律，需特别记忆。
例如：man（男人）→men（男人们）。
二、复数形式的用法1. 表示两个或两个以上的数量：英语中，当我们需要表示多个事物或概念时，常常使用复数形式。
例如：There are five books on the table.（桌子上有五本书。
）2. 表示某种类别或分类：复数形式还可以用来表示某种类别或分类。
例如：Cars are popular means of transportation.（汽车是流行的交通工具。
）3. 表示家庭成员：在讨论家庭成员时，常常使用复数形式。
例如：My parents are both doctors.（我的父母都是医生。
）4. 表示复数概念的名词作主语时，谓语动词通常使用复数；而当复数概念的名词作定语时，不需要转变为复数形式。
例如：The books are on the shelf.（这些书在书架上。
）5. 复数形式可以与某些数量词连用，表示某一范围内的多个事物或概念。
例如：Hundreds of people attended the concert.（数百人参加了音乐会。
单招复数的知识点总结
单招复数的知识点总结一、单招复数的定义单招复数是指一个名词表示多个物品、人或概念的形式。
在英语中，通常是在名词后加上-s、-es或其他特定的后缀来表示复数形式。
通常，单招复数的构成规则是在名词后面加上“-s”，但也有一些特殊情况需要添加“-es”或进行其他形式变化。
二、单数名词变复数的基本规则1. 对于以辅音字母+y结尾的名词，变复数时，将y变为i再加-es。
例如：baby→babies2. 对于以“o”结尾的名词，变复数时，大多数情况下，在末尾加上-s。
但是也有一些特殊情况需要变成-es。
例如：tomato→tomatoes3. 对于以辅音字母+o结尾的名词，变复数时，直接加-s。
例如：mango→mangos4. 对于以“f”或“fe”结尾的名词，变复数时，将“f”或“fe”变为“v”，再加-es。
例如：leaf→leaves，wife→wives5. 对于以“s”、“x”、“z”、“ch”、“sh”结尾的名词，变复数时，加-es。
例如：bus→buses，box→boxes6. 对于以“y”结尾的名词，如果y前面是元音字母，变复数时只需要在末尾加上-s。
如果y 前面是辅音字母，变复数时则需要将y变为i再加-es。
例如：toy→toys，baby→babies三、不规则名词变复数的规则除了一般的规则之外，还有一些不规则名词的复数形式需要记住。
1. 一些名词的复数形式与其单数形式完全不同，需要通过背诵来记忆。
例如：man→men，woman→women，child→children，foot→feet2. 一些名词的复数形式与其单数形式相同，无需额外变化。
例如：sheep、deer3. 一些名词在单数形式和复数形式中都有变化。
例如：mouse→mice，goose→geese四、名词复数形式的用法1. 表示多个物品、人或概念的数量。
例如：Those are old books.2. 在一些固定表达中使用复数形式。
自主招生专题之复数答案
7.自主招生专题之复数一、基础知识1.模与共轭的性质有：（1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z ⋅=；（4）1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（5）|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|；（6）1122||||z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z |=1，则1z z=．2．复数的三角形式与指数形式：设z 对应复平面内的点Z ，见图，连接OZ ，设∠xOZ =θ，|OZ |=r ，则a =r cos θ，b =r sin θ，所以z =r (cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式．若z =r (cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角．若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=arg (z )．r 称为z 的模，也记作|z |，由勾股定理知|z如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z =re i θ，称为复数的指数形式． 3.复数在三角形式下的运算：（1）乘法与除法：若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1•z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z 2≠0，则1122z rz r = [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+，12()1122i z r e z r θθ-=． （2）乘方：（棣莫弗定理）[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos nθ+isin nθ)．（3）开方：若ωn =r (cos θ+isin θ)，则ω2k n θπ++isin 2k nθπ+)，k =0,1,2,…,n -1．（4）单位根：若ωn =1，则称ω为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1= cos 2n π+isin 2nπ，则全部单位根可表示为1，Z 1，21Z ，…，11n Z -．记Z k =1k Z （k =1，2，…，n -1），则有x n -1+x n -2+…+x +1=(x -Z 1)(x -Z 2)…(x -Z n -1)=(x -Z 1)(x -21Z )…(x -11n Z -)．特别的，虚数单位i 常用性质有：i 2=-1，i 4=1，i n +i n +1+i n +2+i n +3=0(n ∈N *)．特别的，x 3=1的复数根ω= cos 23π+isin 23π=12-常用性质有：ω3=1，ω2=ω=1ω，ωn +ωn +1+ωn +2=0(n ∈N *)．4.代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根．若重根按重数计算，则n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根．5.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z =a +b i(b ≠0)是方程的一个根，则z =a -b i 也是一个根． 6．若a ，b ，c ∈R ，a ≠0，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0，当Δ=b 2-4ac <0时方程的根为x 1,2．7．复数表示的轨迹方程：设复数z 、z 1、z 2在复平面内对应的点分别为Z 、Z 1、Z 2．（1）|z 2-z 1|表示Z 1、Z 2两点间的距离，|z |表示点Z 到原点的距离； （2）|z -z 1|=r (r >0)表示以Z 1点为圆心，r 为半径的圆的方程； （3）|z -z 1|+|z -z 2|=2a (|z 1-z 2|<2a )表示椭圆方程； （4）||z -z 1|+|z -z 2||=2a (|z 1-z 2|>2a )表示双曲线方程； （5）|z -z 1|=|z -z 2|表示垂直平分线方程． 二、典型例题例1.关于x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m |的最大值和最小值.解法1：设m=a +bi (a ，b ∈R )．则△=z 12－4z 2－4m=16+20i －4a －4bi=4[(4－a )+(5－b )i ]．设△的平方根为u +vi ．(u ，v ∈R )即(u +vi )2=4[(4－a )+(5－b )i ]．|α－β|=27，⇔|α－β|2=28，|(4－a )+(5－b )i |=7，(a －4)2+(b －5)2=72，即表示复数m 的点在圆(a －4)2+(b －5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．【解法2】同解法1，得 ,7|)54(|=+-i m ∈+=y x yi x m ,(令R ）.⎩⎨⎧+=+=.5sin 7,4cos 7ααy x 则 ααsin 70cos 5690||222++=+=∴y x m459041(cos sin )901441sin(),4141αααϕ=++=++其中.414sin =ϕ ∴ |m |的最大值=,417411490+=+ |m |的最小值=.417411490-=+【解法3】根据韦达定理，有⎩⎨⎧+=-=+.21m z z αββαm z z 444)()(22122--=-+=-αββαβα，∴ .28|)2016(4||)4(4|||2212=+-=--=-i m z z m βα|(45)|7.|||(45)(45)||(45)||45|741.m i m m i i m i i -+=∴=-+++≤-+++=+即等号成立的充要条件是)54()54(i i m ++-与的辐角主值相差π，即||,)415414)(417(),415414(7)54(m i m i i m 时所以当++-=+-=+-取最小值.417-例2.（2006年清华大学保送生）求最小正整数n ，使得1()223n I =+为纯虚数，并求得I 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六讲 复数
第一部分 相关知识
1．复数的四种表示方法：①代数形式：=(z a bi a +，)b R ∈；②几何形式：复平面上的点(Z a ，)b 或有
原点出发的向量OZ ；③三角形式：=(cos sin )z r i θθ+，0r ≥，R θ∈；④指数形式：i z re θ
=，0r ≥，
R θ∈.
2．复数的运算法则
111111(cos sin )i z r i re θθθ=+=，222222
(cos sin )i z r i r e θθθ=+=. 乘法：12()
1212121212[cos()sin()]i z z r r i r r e θθθθθθ+=+++=；
除法：
12()1
121212122
[cos()sin()]i z r r i r r e z θθθθθθ-=-+-=； 乘方：1
11111(cos sin )in n
n
n z r n i n r e
θθθ=+=；
开方：复数(cos sin )r i θθ+的n
22sin
)k k i n
n
θπ
θπ
+++，
其中0k =，1，2，…，1n -； 221cos
sin n k k x x i n n ππ=⇒=+（0k =，1，2，…，1n -），令22cos sin
i n n
ππω=+，则1n
x =的所有根为1，ω，2
ω，…，1
n ω-.
3．复数的模与共轭复数
(1)2
2
z z z z == ；z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z = ；11222
(
)(0)z z
z z z =≠； (2)123z z z …123n z z z z = …n z ；11
22
z z z z =；121212z z z z z z -≤±≤+. 4．复数的几何意义
复数=z a bi +对应复平面内的唯一的点(Z a ，)b 及向量OZ
；
第二部分 相关习题
1. 设2014n ≤，n N ∈，且存在θ满足(sin cos )cos sin n
i n i n θθθθ+=+，那么，这样的n 有多少个？
2.
求证：33
[(2))][(2))]a b c b c i b c a c a i ---=--+-.
3. 已知1z =，k 是实数，z 是复数，求2
1z kz ++的最大值.
4.若复数ω满足31ω=，则21n
n ωω++= ，其中*n N ∈.
5.已知12z =，23z =，124z z +=，则1
2
z z = .
6.112z z z =+
，21(1)z z a =+（0a ≠）则1
2
z z = .
7. 给定实数a 、b 、c ，已知复数1z 、2z 、3z 满足1231z z z ===，
3
12231
1z z z z z z ++=，求12
3
a
z b z c z ++
的值. 8.265
5
22i
i
e e
ππ++= .
9.若
z =100501z z ++= .
10.已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：
cos 2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=.
11.已知复数1z 、2z 、3z 满足123z z z ==，1230z z z ++=，则在复平面内的对应点1Z 、2Z 、3Z 构
成 三角形.
12.设z r =，1r >，则1
z z
+
在复平面内的轨迹的焦距为（ ）. A. 4 B.2 C.4r D.2
r
13.已知复数3z +的辐角为3
4
π，问z 取何值时，1
63u z z i
=++-取得最大值？并求出这个最大值.
14.设复平面上的点A 、B 、C 对应复数分别为1z 、2z 、3z ，已知11z =，21z z z =，32z z z =，其中
3
(1)2
z =，求四边形OABC 的面积.
15.已知复数3z t =++，其中t 是使
3
3
t t +-为纯虚数的复数. (1)求z 在复平面上对应点P 的轨迹方程；（2）求z 的辐角的取值范围；(2)求2
2
11z z -++的最小值及取得最小值时的复数.
16.复平面上，点A 对应复数2-，动点B 在以原点为圆心，1为半径的圆上运动，以AB 为边作正ABC
∆（A 、B 、C 按逆时针方向排列），求动点C 的轨迹方程.。