圆锥曲线复习讲义(1)椭圆(含答案)
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
期末专题复习：圆锥曲线(一)—椭圆
期末专题复习：圆锥曲线（一）— 椭圆1．椭圆221168x y += 的离心率为( )A ．13B ．12C D 2．设椭圆22221(1)1x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A ．2B ．12C D 3．已知椭圆的方程为2223(0)x y m m +=>，则此椭圆的离心率为( )A ．13 B C ．2 D ．124．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = ( )A ．2BC ．72D ．4 5．如图1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1||OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△2F AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A B ．12C D 1 6．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2||||PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知椭圆2224x y ＋＝，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．B ．C ．3 D 8．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2做圆221x y ＋＝的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．10．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF ⋅= ，12t 12an PF F =∠，则此椭圆的离心率为________．11．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(,)P a b 满足212||||P F F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22116()(x y =+＋相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．12．如图所示，已知圆C ：2218()x y +=+，定点()1,0A ，0()1,C -，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP = ，0NP AM ⋅= ，点N 的轨迹为曲线E ．经过点且斜率为k 的直线与曲线E 有两个不同的交点P 和Q ．(1)求曲线E 的方程； (2)求k 的取值范围； (3)设曲线E 与x 轴、y 轴正半轴的交点分别为D 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与DB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质讲义(含解析)湘教版选
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) X 围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0＜e ＜1) (1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； (2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]1．椭圆x 225＋y 29＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？提示：根据椭圆的标准方程x 225＋y 29＝1， 得a ＝5，b ＝3，则c ＝25－9＝4. 因此，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.离心率e ＝c a ＝45＝0.8.焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)，顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)． 2．如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，∴e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2. ∴e ＝1－b 2a2. 3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． 4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c .由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[自主解答] 把已知方程化成标准方程为x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223.两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．1．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①X 围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35.由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． [自主解答] (1)当椭圆的焦点在x 轴上时， 因为a ＝3，e ＝63， 所以c ＝ 6.从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63.所以a 2＝27.所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知，得c ＝3，b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18. 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0), ∴4a2＝1，a ＝2.∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1.∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1.∴b ＝2,2a ＝2·2b . ∴a ＝4.∴方程为y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.求椭圆的离心率设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33[自主解答] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值X 围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2.∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22.故C 的离心率的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca求解；(2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．已知椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的端点B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率． 解：如图，|F 1F 2|＝2c ，∵|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，且△BF 1F 2为等腰直角三角形． ∴|BF 1|＝|BF 2|＝a ＝2c . ∴离心率e ＝ca ＝22.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆的离心率的取值X 围．[巧思] 由∠APO ＝90°可知：点P (x ，y )在以OA 为直径的圆上，且P 点又在椭圆上． 然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P 点的横坐标．利用0<x <a 建立关于a ，b ，c 的不等关系．[妙解] 设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知：P 点在以OA 为直径的圆上． 圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22⇒y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②得：x 2a 2＋ax －x 2b2＝1⇒(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 故(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，x ≠a ，x ≠0⇒x ＝ab 2a 2－b 2.又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ⇒2b 2<a 2⇒a 2<2c 2⇒e >22. 又∵0<e <1，故所求的椭圆离心率的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝ a 2－b 2＝69. 答案：D2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m 等于( )A.12 B ．2 C ．4D.14解析：由条件可知1m ＝2，解得m ＝14. 答案：D4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1.∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2555．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：e ＝32，2a ＝12，a ＝6，b ＝3， ∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝16．已知椭圆x 22m ＋1＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程为x 22m ＋1＋y 2m＝1，∴a 2＝2m ＋1，b 2＝m . ∴c ＝a 2－b 2＝m ＋1.由e ＝32，得 m ＋12m ＋1＝32，解得m ＝12， ∴椭圆的标准方程为x 22＋y 212＝1. ∴a ＝2，b ＝22，c ＝62. ∴椭圆的长轴长为22，短轴长为2， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0， 顶点坐标分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，B 2⎝⎛⎭⎪⎫0，22.一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.答案：D2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1. 答案：D3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1C.x 23＋y 22＝1D.x 22＋y 23＝1 解析：∵c a＝63，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 答案：A 二、填空题5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.答案：4,36．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若∠ABF ＝90°，则椭圆的离心离为________．解析：由已知|AB |2＋|BF |2＝|AF |2， ∴(a 2＋b 2)＋a 2＝(a ＋c )2. ∴a 2＋b 2＝2ac ＋c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0. ∴e ＝5－12. 答案：5－127．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形，因此其面积为S ＝12·2a ·2b ＝2ab ＝40， ∴ab ＝20.又c ＝3，且a 2－b 2＝c 2. ∴a 2－400a2＝9，a 4－9a 2－400＝0.∴a 2＝25或a 2＝－16(舍去)． ∴a ＝5，b ＝4，所求方程为x 225＋y 216＝1. 答案：x 225＋y 216＝18．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ―→·FP―→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值6.答案：6 三、解答题9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．解：e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23.∴a 2＝3b 2，即a ＝3b .过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y b＝1， 把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0. 又由点到直线的距离公式得|－3b |1＋－32＝32，解得b ＝1，∴a ＝ 3. ∴所求方程为x 23＋y 2＝1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)．直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵PF 2∥AB ，且k PF 2＝b 2a －c －c ＝－b22ac ，又k AB ＝－b a ，∴由k PF 2＝k AB ，得－b 22ac ＝－ba.∴b ＝2c .∴a ＝b 2＋c 2＝5c . ∴e ＝c a ＝55，即椭圆离心率为55.第二课时 直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得一个一元二次方程.[小问题·大思维]1．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值X 围是什么？提示：∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，∴a 24＋12<1，解得－2<a <2， 即a 的取值X 围为(－2，2)．2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋3；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆x 22＋y 2＝1各有什么样的位置关系？提示：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4x ＝0.∵Δ＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 22＋y 2＝1得3x 2＋43x ＋4＝0.∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0， ∴直线与椭圆相切．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 22＋y 2＝1得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线与椭圆相离．直线与椭圆位置关系对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6，即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0.Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.当Δ＝72k 2－48>0，即k <－63或k >63时， 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝63或k ＝－63时， 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k 2－48<0时，即－63<k <63时， 直线和曲线没有公共点．弦长问题已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[自主解答] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝ 3.∴右焦点F (3，0)． ∴直线l 方程为y ＝x － 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得5x 2－83x ＋8＝0.设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 1－3－x 2＋32＝2x 1－x 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 即弦AB 的长为85.当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22，＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝ 1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625.求椭圆方程．解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上，∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b 2＋y 2b2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝162－2016－4b 2＝165b 2－4>0，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16. ∴b 2＝4，即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.中点弦问题已知椭圆x 22＋y 2＝1，求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程．[自主解答] 法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝kx ＋12－12k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－12k ，得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0， 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－4k 1－k2＋4k2＝1， 解得k ＝－12.∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得y 21－y 22＝－12(x 21－x 22)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12， 即k ＝－12，∴直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5.∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求m的取值X 围．[妙解] 法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－14.设P Q 所在直线方程为y ＝－x4＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x4＋b ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0.解得b 2<134.①x 1＋x 2＝8b 13，x 1x 2＝16b 2－4813.设P Q 中点为M (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22＝4b 13，y ＝－14·4b 13＋b ＝12b13.∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上，∴12b 13＝4·4b 13＋m .∴b ＝－134m .② 把②代入①，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫－134m 2<134，解得－21313<m <21313.故m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.法二：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上的两点，M (x ，y )是P Q 的中点．则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k P Q . ∵k P Q ＝－14，∴y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m ，y ＝－3m .∴M (－m ，－3m )． ∵点M 应在椭圆C 的内部， ∴－m24＋－3m 23<1.解得－21313<m <21313.故m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.[点评] P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63. 答案：C3．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5＞m ，则m ≥1， 若5＜m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D4．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值X 围是________．解析：由x 23＋y 24＝1得－2≤y ≤2，∴－2<a <2. 答案：(－2,2)5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1得交点坐标(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝322.答案：3226．过点P (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1， ①x 222＋y 22＝1， ②由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12·xy. 又∵直线l 的斜率为k PM ＝y －1x －2， ∴y －1x －2＝－x2y. 整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫在椭圆x 22＋y 2＝1内的部分.一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B.答案：B2．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，322B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫322，822解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12＞a 2，解得0＜a ＜322；(2)B 点在椭圆内，16＋92＜a 2，解得a ＞822.答案：B3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ―→·OB ―→＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2.把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1得，3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. ∴OA ―→·OB ―→＝－13.答案：B4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵点A ，B 在椭圆上， ∴y 219＋x 21＝1，①y 229＋x 22＝1.②①－②，得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0. 答案：B 二、填空题5．已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO ―→＝λBO ―→，则λ＝________.解析：由AO ―→＝λBO ―→知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1. 答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.答案：358．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ， 又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝3c . ∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－1 三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)某某数b 的取值X 围； (2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值X 围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.。
高中数学圆锥曲线专题复习考试椭圆(含考试习题加详解)
高中数学圆锥曲线专题复习（1）---------椭圆一．椭圆标准方程1.椭圆标准方程的求法:定义法、待定系数法①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b 的值.2.,a b 为椭圆的定型条件，对,,a b c 三个值中知道任意两个（知二求三），可求第三个，其中,a b a c >>1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是2.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；3.变式：与椭圆4x 2+y 2=16有相同焦点,且过点 的椭圆方程是 . 4.（2013山东）椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(通径=2 ).求椭圆C 的方程;5.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22221x y a b +=x 1222+=1x y AB二．离心率c e a ==椭圆上任一点P 到焦点的距离点P 到相应准线的距离e =一、 直接求(找)出a 、c ，求解e1. 已知椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点分别为F1(-1，0),F2（1，0），椭圆C 经过点 P( ， )，求C 的离心率_______。
二、 根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，进而得到关于 e 的一元方程，解出e 。
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_____。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解1.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线复习讲义(1)椭圆(含答案)
圆锥曲线复习讲义（1） 椭圆一．复习目标：1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.二．基础训练：1．已知椭圆的方程为191622=+y x ，1F 、2F 分别为它的焦点，CD 为过1F 的弦，则△CD F 2 的周长为16 ．2．已知椭圆的离心率32=e ，焦距是16，则椭圆的标准方程是18014422=+y x 或11448022=+y x . 3．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 -3＜k ＜2 且k ≠21-4．椭圆25例1． 解： 以点M 、N 、P 的坐标分别为（-c ，0）、（c ，0）、（0x ，0y ），由斜率公式，得2100=+c x y ，002y x c=-， 即 0x －20y +c=020x －0y －2c=0 由此解得点P 的坐标为（35c ，34c ）. △PMN 的面积为134221=⨯⨯c c ,∴ 23=c .∴ 点P 的坐标为（635，332）. ∴3152)(2020=++y c x ，315)(2020=+-y c x ， 由椭圆的定义，得=+=PN PM a 2=15，从而3222=-=c a b .故所求椭圆的方程为1315422=+y x . 例2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线方程为1x =，倾斜角为45的直线交椭圆于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为α．(1)当arctan 2α=时，求椭圆的方程；(2)当2tan 3α<<时，求椭圆的短轴长的取值范围．解：(1)设所求的椭圆方程为22a x ＋22by ＝1，由已知c a 2＝1，∴ a 2＝c ，b 2＝a 2－c 2＝c －c 2.故所求的椭圆为c x 2＋22cc y -＝1．即(1－c )x 2＋y 2＋c 2－c ＝0． ① ∵ 直线的倾斜角为45o，故可设直线l 的方程为y ＝x ＋m （m ≠0）． ②由①、②消去y ，得 (2－c )x 2＋2mx ＋m 2＋c 2－c ＝0． ③由②、③得M 点的坐标为(2-c m ，2)1(--c c m ). ∴ k OM ＝c －1. ∴ tg α＝|1|||AB OM AB OM k k k k ⋅+-＝|1)1(1||1)1(|⨯-+--c c ＝c c -2. ∵ tg α＝tg(a rctg2)＝2， ∴ cc -2＝2， ∴ c ＝32． 故所求的椭圆方程为232x ＋292y ＝1． (2)∵ 2＜tg α＜3．即2＜cc -2＜3．解得21＜c ＜32． ∵ b ＝22c a -＝2c c -＝41)21(2+--c ．由21＜c ＜32,得92＜－(c －21)2＋41＜41， ∴ 32＜b ＜21， ∴ 322＜2b ＜1． 例3.如图，已知椭圆的一个顶点为A (0，1),焦点在x 轴上，且右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k （k ≠0）的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点M 、N ,且满足|AM |＝|AN |，并说明理由． 解: 由已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且b ＝1．∵ 右焦点(c ，0)到直线x －y ＋22＝0的距离为3，∴ 2|22|+c ＝3， ∴ c ＝2，∴ a 2＝b 2＋c 2＝3． ∴ 已知椭圆的方程为 32x ＋y 2＝1． ① 设l 存在且其方程为y ＝kx ＋m （m ≠0）,代入①并整理得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0. ②设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B （0x ，0y ），则 20031km m kx y +=+=,∴ B (2313k km +-，231k m +). ∵ |AM |＝|AN |的充要条件是AB ⊥MN ，故1-=⋅MN AB k k ，得: kk km k m 131313122-=+--+，解之得，m ＝－21(1＋3k 2)． 此时，方程②的判别式△＞0，即(6km )2－12(1＋3k 2)(m 2－1)＝－9(3k 2＋1)(k 2－1)＞0．解得－1＜k ＜1（k ≠0）.∴ 当－1＜k ＜1（k ≠0）时，存在满足条件的直线；当k ≤－1或k ≥1时，不存在满足条件的直线l . 四．课后作业：1．ABC ∆的一边BC 在x 轴上，BC 的中点在原点，||16BC =，AB 和AC 两边上中线长的和为30，则此三角形重心G 的轨迹方程是221(0)10036x y y +=≠. 2．直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有共点时，则m 的取值范围是________.3．已知1F 、2F 是椭圆1486422=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，若213PF PF =，则P 到左准线的距离为————————————————。
圆锥曲线讲义(带答案)
个性化辅导授课教案学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容圆锥曲线知识点总结1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 9、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+1. 值范围。
圆锥曲线复习一 椭圆(附详细解答)
圆锥曲线 第一节 椭 圆基础知识1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质小题检测1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－192521D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1考点一 椭圆的定义及标准方程例1 (1) 设(4,0)B -，(4,0)C ，若ABC ∆的周长为18，则动点A 的轨迹方程为是（ ）A.221(0)259x y y +=≠ B. 221(0)259y x y +=≠ C.221(0)2516x y x +=≠ D.221(0)169y y x +=≠ 答案：A (2) (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [解答] ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20. 故椭圆C 的方程为x 220＋y251. 答案 D由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法。
选修2-1第三章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程(一)
1．1椭圆及其标准方程(一)明目标、知重点 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程探究点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？答固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．思考2在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？答到两个定点的距离和等于常数．小结平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.思考3在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？答当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．探究点二椭圆的标准方程思考1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程．思考2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？答焦点在y轴上，椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)．思考3怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？答看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考4椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？答椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0， m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)；也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )． ②确定未知量：根据已知条件列出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组，可得a 、b 的值，然后代入所设方程即可．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点(63，3)和点(223，1)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(63)2a 2＋(3)2b2＝1，(223)2a 2＋12b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝9.而a >b >0.∴a 2＝1，b 2＝9不合题意，即焦点在x 轴上的椭圆的方程不存在．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(63)2b 2＝1，12a 2＋(223)2b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 29＋x 2＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点(63，3)和点(223，1)都在椭圆上， ∴⎩⎨⎧m ·(63)2＋n ·(3)2＝1，m ·(223)2＋n ·12＝1，即⎩⎨⎧2m3＋3n ＝1，8m9＋n ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1. 例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________．答案 7<k <10解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2答案 B解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.反思与感悟 (1)椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)的长度；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .跟踪训练3 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积． 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0m ＋9>0m ＋9>25－m，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D.4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， |F 1F 2|＝2c ＝10，由于PF 1⊥PF 2， 所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48. [呈重点、现规律]1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论达到了简化运算的目的．一、基础过关1．已知焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，且a ＝6的椭圆方程是( ) A.x 236＋y 220＝1 B.x 220＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 216＋y 236＝1 答案 B2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于______________． 答案 4或8解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >0m －2>0，得2<m <10， 由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解 如图所示，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 又∵a ＝32. ∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6.二、能力提升8．设椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点Q 恰好在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案 A9．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆． 10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 12．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解 如图所示，以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝5与椭圆x 29＋y 24＝1交于A 、B 、C 、D 四点，则∠F 1AF 2＝∠F 1BF 2＝∠F 1CF 2＝∠F 1DF 2＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝54x 2＋9y 2＝36. 得x ＝±355，如果点P 在椭圆弧AB 及CD 上，即在圆的内部，那么∠F 1PF 2是钝角，故－355<x <355. 三、探究与拓展13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22， 且|P A |＋|PB |>|AB |，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
2 圆锥曲线复习讲义 椭圆 (已编好)
椭圆◆考点梳理◆1．椭圆的定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数；(1)若 ，则集合P 为椭圆；(2)若 ，则集合P 为线段；(3)若 ，则集合P 为空集．2．椭圆的离心率=e = ．◆思考感悟◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系： （1）当 时，点P (x 0，y 0)在椭圆上；（2）当 时，点P (x 0，y 0)在椭圆外；（3）当 时，点P (x 0，y 0)在椭圆内．◆学情自测◆1．(教材改编题)已知椭圆1162522=+x y 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为 ．2．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率为 .3．已知F 1、F 2为椭圆141622=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝10，则|AB |＝________.4．椭圆1422=+ky x 的焦距为2，则k ＝________. ◆课堂●典例●互动◆考向一、椭圆的标准方程典例1 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．考向二、椭圆的几何性质典例2 如图1，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．考向三、直线与椭圆的位置关系典例 3 (2010·天津高考)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B . 已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4.求y 0的值．◆课后●演练●提升◆1．若椭圆C 的短轴长为6，离心率为54，则椭圆C 的焦点到长轴的一个端点的距离为 ( ) A ．9 B ．1 C ．1或9 D ．以上都不对2．已知椭圆121022=-+-m y m x ，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．83．(2011·深圳质检)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 1，右顶点A ，上顶点B 且∠F 1BA ＝90°，则椭圆的离心率是 ( ) A. 215- B. 213- C. 23 D. 21 4．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是 ( ) A. 13422=+y x B. 1121622=+y x C. 1422=+y x D. 141622=+y x 5．(2011·江西六校联考)F 1、F 2是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则 |PF 1→·PF 2→|的最大值是 ( )A ．4B ．5C ．2D ．16．(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是25，等比中项是6，且a >b ，则椭圆12222=+by a x 的离心率e 等于 . 7．(2011·宁波调研)已知F 1，F 2为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，且|PF 1|＝t |PF 2|，则t 的值为 ．8．已知椭圆1522=+m y x 的离心率e ＝510，则m 的值为 ． 9．(2011·绍兴模拟)在△ABC 中，|AB |＝|AC |＝2顶点A 、B 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上，顶点C 为椭圆的左焦点，线段AB 过椭圆的右焦点F 且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为 ．10．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．12．如图2，在△AFB 中，∠AFB ＝150°，S △AFB ＝32-，求以F 为一个焦点，A ，B 分别为长、短轴的一个端点的椭圆方程．13．已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ． (1) 若以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，求椭圆的离心率；(2) 若上述三角形是钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围．14．(2010·课标全国卷)设F 1、F 2分别是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1) 求E 的离心率；(2) 设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
圆锥曲线---椭圆(含解析)
圆锥曲线---椭圆一、填空题1. 已知椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为．2. 椭圆x29+y25=1的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则▵ABF2的面积S=．二、解答题3. 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4,1)在椭圆上，求该椭圆的方程．4.已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(3,0)，离心率为√63.求椭圆C的方程．5.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．6. 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(0,√3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0) (1)求椭圆的方程(2)斜率为−12的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |=√552时，求直线l 的方程7.已知椭圆C ：x 26+y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)和F 2(c,0)，P 为椭圆C 上任意一点，三角形PF 1F 2面积的最大值是3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点(2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且Q(94,0)，证明：QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．8. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 为圆x 2+y 2+2x =0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为√2−1． (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M (−54,0)，证明：MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．答案和解析1.解：由x 24+y 2=1，得a =2，b =1，c =√3，又因为F 2为线段AB 的中点，则可知AB ⊥x 轴，把x =√3带入椭圆方程可得y =±12， 所以|AB |=1，2c =2√3，所以△AF 1B 面积为S =12×2c ×|AB |=√3故答案为：√3． 2.解：∵椭圆x 29+y 25=1的左右焦点分别为F 1，F 2，a =3，b =√5，c =2，过焦点F 1的直线交椭圆于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， ∵△ABF 2的内切圆的面积为π，∴△ABF 2内切圆半径r =1．即△ABF 2面积S =12×1×(AB +AF 2+BF 2)=2a =6。
圆锥曲线(课堂讲义和例题)
专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。
2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质讲义(含解析)湘教版
2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； (2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]1．椭圆x 225＋y 29＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？提示：根据椭圆的标准方程x 225＋y 29＝1， 得a ＝5，b ＝3，则c ＝25－9＝4. 因此，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.离心率e ＝c a ＝45＝0.8.焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)，顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)． 2．如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2. ∴e ＝1－b 2a2. 3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． 4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c .求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[自主解答] 把已知方程化成标准方程为x 281＋y 29＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝223.两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．1．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． [自主解答] (1)当椭圆的焦点在x 轴上时， 因为a ＝3，e ＝63， 所以c ＝ 6.从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63， 所以a 2－b 2a ＝63.所以a 2＝27.所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知，得c ＝3，b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0), ∴4a2＝1，a ＝2.∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1.∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1.∴b ＝2,2a ＝2·2b . ∴a ＝4.∴方程为y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33[自主解答] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2.∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22.故C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c a求解； (2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．已知椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的端点B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解：如图，|F 1F 2|＝2c ，∵|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，且△BF 1F 2为等腰直角三角形．∴|BF 1|＝|BF 2|＝a ＝2c . ∴离心率e ＝c a ＝22.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆的离心率的取值范围．[巧思] 由∠APO ＝90°可知：点P (x ，y )在以OA 为直径的圆上，且P 点又在椭圆上． 然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P 点的横坐标．利用0<x <a 建立关于a ，b ，c 的不等关系．[妙解] 设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知：P 点在以OA 为直径的圆上． 圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22⇒y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②得：x 2a 2＋ax －x 2b2＝1⇒(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 故(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，x ≠a ，x ≠0⇒x ＝ab 2a －b .又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ⇒2b 2<a 2⇒a 2<2c 2⇒e >22. 又∵0<e <1，故所求的椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝ a 2－b 2＝69. 答案：D2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C ．4D.14解析：由条件可知1m ＝2，解得m ＝14. 答案：D4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1.∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2555．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：e ＝32，2a ＝12，a ＝6，b ＝3， ∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝16．已知椭圆x 22m ＋1＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程为x 22m ＋1＋y 2m＝1，∴a 2＝2m ＋1，b 2＝m . ∴c ＝a 2－b 2＝m ＋1. 由e ＝32，得 m ＋12m ＋1＝32，解得m ＝12， ∴椭圆的标准方程为x 22＋y 212＝1. ∴a ＝2，b ＝22，c ＝62. ∴椭圆的长轴长为22，短轴长为2， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0， 顶点坐标分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，B 2⎝⎛⎭⎪⎫0，22.一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.答案：D2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1. 答案：D3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1C.x 23＋y 22＝1D.x 22＋y 23＝1 解析：∵c a＝63，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 答案：A 二、填空题5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.答案：4,36．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若∠ABF ＝90°，则椭圆的离心离为________．解析：由已知|AB |2＋|BF |2＝|AF |2， ∴(a 2＋b 2)＋a 2＝(a ＋c )2. ∴a 2＋b 2＝2ac ＋c 2. 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0. ∴e ＝5－12. 答案：5－127．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形，因此其面积为S ＝12·2a ·2b ＝2ab ＝40， ∴ab ＝20.又c ＝3，且a 2－b 2＝c 2. ∴a 2－400a2＝9，a 4－9a 2－400＝0.∴a 2＝25或a 2＝－16(舍去)． ∴a ＝5，b ＝4，所求方程为x 225＋y 216＝1. 答案：x 225＋y 216＝18．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ―→·FP―→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值6.答案：6 三、解答题9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程． 解：e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23.∴a 2＝3b 2，即a ＝3b .过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y b＝1， 把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0. 又由点到直线的距离公式得|－3b |1＋－32＝32，解得b ＝1，∴a ＝ 3. ∴所求方程为x 23＋y 2＝1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)．直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ， b 2a .∵PF 2∥AB ，且k PF 2＝b 2a －c －c ＝－b22ac ，又k AB ＝－b a ，∴由k PF 2 ＝k AB ，得－b 22ac ＝－ba.∴b ＝2c .∴a ＝b 2＋c 2＝5c . ∴e ＝c a ＝55，即椭圆离心率为55.第二课时直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个一元二次方程.[小问题·大思维]1．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是什么？提示：∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，∴a 24＋12<1，解得－2<a <2， 即a 的取值范围为(－2，2)．2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋3；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆x 22＋y 2＝1各有什么样的位置关系？提示：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4x ＝0.∵Δ＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 22＋y 2＝1得3x 2＋43x ＋4＝0.∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0， ∴直线与椭圆相切．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 22＋y 2＝1得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线与椭圆相离．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6，即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48. 当Δ＝72k 2－48>0，即k <－63或k >63时， 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝63或k ＝－63时， 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k 2－48<0时，即－63<k <63时， 直线和曲线没有公共点．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[自主解答] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝ 3.∴右焦点F (3，0)． ∴直线l 方程为y ＝x － 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得5x 2－83x ＋8＝0.设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 1－3－x 2＋32＝x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 即弦AB 的长为85.当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22，＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝ 1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625.求椭圆方程．解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上，∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b ＋y 2b＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝162－20－4b2＝b 2－，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16. ∴b 2＝4，即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.已知椭圆x 22＋y 2＝1，求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程．[自主解答] 法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝kx ＋12－12k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－12k ，得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0， 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－4k －k2＋4k2＝1， 解得k ＝－12.∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得y 21－y 22＝－12(x 21－x 22)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12， 即k ＝－12，∴直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5.∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求m的取值范围．[妙解] 法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－14.设P Q 所在直线方程为y ＝－x4＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x4＋b ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0.解得b 2<134.①x 1＋x 2＝8b 13，x 1x 2＝16b 2－4813.设P Q 中点为M (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22＝4b 13，y ＝－14·4b 13＋b ＝12b13.∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上，∴12b 13＝4·4b 13＋m .∴b ＝－134m .② 把②代入①，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫－134m 2<134，解得－21313<m <21313.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.法二：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上的两点，M (x ，y )是P Q 的中点．则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x 4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k P Q . ∵k P Q ＝－14，∴y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m ，y ＝－3m .∴M (－m ，－3m )． ∵点M 应在椭圆C 的内部， ∴－m24＋－3m 23<1.解得－21313<m <21313.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313.[点评] P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1得x 24＋(3－x )2＝1， 即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B ．－63C ．±63D ．±33解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63. 答案：C 3．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞) 解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则m ≥1，若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.答案：D4．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________． 解析：由x 23＋y 24＝1得－2≤y ≤2， ∴－2<a <2.答案：(－2,2)5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1得交点坐标(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝322. 答案：322 6．过点P (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 21＝1， ①x 222＋y 22＝1， ②由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12·x y. 又∵直线l 的斜率为k PM ＝y －1x －2， ∴y －1x －2＝－x 2y. 整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫在椭圆x 22＋y 2＝1内的部分.一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B. 答案：B2．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，322 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，822 解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12＞a 2，解得0＜a ＜322；(2)B 点在椭圆内，16＋92＜a 2，解得a ＞822. 答案：B3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ―→·OB ―→＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13 解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2.把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1得，3x 2－4x ＝0. ∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. ∴OA ―→·OB ―→＝－13. 答案：B4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵点A ，B 在椭圆上，∴y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.②①－②，得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.答案：B二、填空题5．已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO ―→＝λBO ―→，则λ＝________. 解析：由AO ―→＝λBO ―→知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点，则实数m 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 54＋＝35.答案：358．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ，又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝3c .∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 答案：3－1三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 相应地y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.。
圆锥曲线专题复习讲义(椭圆双曲线抛物线)
圆锥曲线专题复习讲义一椭圆★知识梳理★1.椭圆定义：(1) 第一定义：平面内与两个定点F,、F2的距离之和为常数2a(2a」F2F2 |)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F,、F2叫椭圆的焦点.当|PF i +|PF2 =2a ＞尸尸2时,P的轨迹为椭圆; ;当PF, +|PF2 =2a vF t F2时，P的轨迹不存在；当PF,出PF 2=2a = F,F2时，P的轨迹为-以F,、F?为端点的线段标准方程2 2冷 +彩=〔(a >b A。
)a b2 2缶岭=1(a>b>0)性质参数关系2 2 2 a =b +c焦占八 '、八\、(c,O),(-c,O)(0,c),(0,-c)焦距2c范围|x|兰a,| y |兰b| y 匡a,|x|兰b 顶点(-a,O),(a,O),(O,-b),(O,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率e = -^(0,1) a★热点考点题型探析★考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1 ](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是［解析］按小球的运行路径分三种情况：(1) A -C -A,此时小球经过的路程为2(a—c);(2) A - B - D - B - A，此时小球经过的路程为2(a+c);⑶A - P - B -Q - A此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指弓I】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】21. 短轴长为5 ,离心率e 的椭圆两焦点为F i, F2,过F1作直线父椭圆于A、B两点，3则厶ABF2的周长为( )A.3B.6C.12D.24［解析］C.长半轴a=3, △ ABF 2的周长为4a=122 2XV 2 22. 已知P为椭圆1上的一点，M , N分别为圆(x • 3)2• y2= 1和圆25 16(x—3)2+y2=4上的点，贝U PM +|PN的最小值为( )A. 5B. 7 C . 13 D. 15［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，二| PC | + | PD |=10 , | PM|+|PN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程［例2 ］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 —4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子描述”出来X2y2x2y2［解析］设椭圆的方程为—2=1或二2 = 1(a b 0),a b b ab =c则｛a -c =4&2 -1),a =b 十c■__ 2 2 2 2 解之得：a=4』2 , b=c= 4.则所求的椭圆的方程为Z+L=1或乙+丄=132 16 16 32【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.［警示］易漏焦点在 y 轴上的情况. 【新题导练】3.如果方程 x +ky =2表示焦点在y 轴的椭圆，那么头数 k 的取值范围是［解析］(0,1).2 22椭圆方程化为X + y=1.焦点在y 轴上，则 >2，即k<1.2 2 kk又 k>0,「. 0<k<1.4•已知方程x 2cosr y 2si nv -1,^（0,二）,讨论方程表示的曲线的形状［解析］当v - （0,—）时，si n^ ：：：cos^，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，4rH当时，sinv - COST ，方程表示圆心在原点的圆，4当八（一「）时，sin 二-cosr ，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆4 25.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是・、3，求这个椭圆方程.a —c=P3a = 2J3 站十七壬口*, x 2 y 2x 2 y 2 ［解析］」 n 」 l ，二b = 3，所求方程为 一 + 一 =1或一 +— =1.a=2cc = J3 12 9912考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）［例3 ］在厶ABC 中，.A =30°,| AB|=2,S.ABC 〜3 •若以A , B 为焦点的椭圆经过点 C ， 则该椭圆的离心率 e = ____________ .【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 ［解析］S ABC =中| AB| | AC |sinA=、、3 ,.| AC 尸2 一 3 , |BC^ |AB|2 | AC f -2| AB | | AC | cosA 二 2【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定,离心率也随之确定（2）只要列出a 、b 、c 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）焦点三角形”应给予足够关注|AB||AC | |BC|2_ 3 -12\3 2 2【新题导练】2 2x ymn 成等比数列，则椭圆 1的离心率为m2 2，椭圆—=1的离心率为n = 4 m n题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2［例4］已知实数x, y 满足— -1,求x 2 y 2 - x 的最大值与最小值4 2【解题思路】 把x 2 y 2 -x 看作x 的函数22i ［解析］由一+ — = 1 得 y 2 = 2x , 4 221 2 2 x 2_0-2_x_22221 2 123x y -x x -x 2 (x -1) ,x ［-2,2］当x =1时，x 2 • y 2 —x 取得最小值—，当 x - -2时,x 2 y 2 - x 取得最大值62【新题导练】2 2x y----- ------- ”9.已知点代B 是椭圆二2 -1（ m 0，n ・0）上两点，且 AO,则’= _______ m n［解析］由AO = ■ BO 知点A,O,B 共线，因椭圆关于原点对称，.■ = -12 210.如图，把椭圆—-1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半25 166•如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为D.i［解析］选B7.已知m,n,m+n 成等差数列，m , n ， 2n =2m n2 2［解析］由』n =m nmn 式0部分于R,F 2,P3, R,P5,F6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点则RF + P2F + P3F + P4F + RF + P6F + RF = __________________ ［解析］由椭圆的对称性知:RF|+|P7F|=|P2F|+ F6F| = RF|+|RF| = 2a =35考点3椭圆的最值问题2 2［例5 ］椭圆 —+— =1上的点到直线l:x + y —9=0的距离的最小值为 ________________16 9【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数［解析］在椭圆上任取一点 P 设P(4cos^3sin r ).那么点P 到直线l 的距离为：P(x, y)，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为 x 的函 数，关键是要具有函数思想 【新题导练】［解析］设内接矩形的一个顶点为 (4cos=3sin 二)， 矩形的面积 S = 48sin^ COST - 24sin2v ■- 242 212. P 是椭圆 —-1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，求| PR |PF 2 |的最大值a b与最小值［解析］|PF 1| |PF 2|=|PF 1|(2a-|PF 1|)=-(|PF 1|-a)2 a 2,|PF 1| ［a-c,a c ］ 当| Ph | = a 时，| PF 11 | PF 21取得最大值a 2， 当|卩卄a 一 c 时，| PF 11 | PF 2 |取得最小值b 2213.已知点P是椭圆亍y2「上的在第一象限内的点，又WO)、Bg)，O 是原点，则四边形 OAPB 的面积的最大值是 ___________［解析］设 P(2cos^si nJ 厂(0, —)，贝卩2|4cosv 3sinv -12|.12 12二 |5sin(…)一9| _2、. 2.2【名师指引】也可以直接设点 x 211•椭圆一16=1的内接矩形的面积的最大值为 _________________SOAPBS.O PA1 1S OPB OA sin OB 2 cos-2 2 二 sin考点4椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题［例6 ］已知椭圆C 的中心为坐标原点 0,—个长轴端点为 0,1 ,短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形，直线丨与y 轴交于点P( 0 ,m),与椭圆C 交于相异两点 A 、B ，且AP=3PB . (1)求椭圆方程； (2 )求m 的取值范围.【解题思路】通过 AP =3PB ，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式2 2-y x［解析］(1 )由题意可知椭圆 C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设 C:厶2=1(a b 0)a b由条件知a = 1且b = c ，又有a 2 = b 2 ■ c 2，解得c故椭圆C 的离心率为e，其标准方程为:a 2(2) 设I 与椭圆C 交点为A (心yj , B (X 2, y ?)2 2 2 得(k 2+ 2) x 2+ 2kmx +( m 2— 1)2x2 + y2= 1△=( 2km ) 2— 4 (k 2 + 2) (m 2— 1 )= 4 ( k 2— 2m 2 + 2) >0 (* ) —2km m2 — 1x 1 + x 2= , x 1x 2 = 1 k2 + 2 1 2 k2 + 2x1 + x2 = — 2x2 T AP = 3 PB .•.— X 1= 3x 2 /.1x1x2 = — 3x 2—2kmm2 — 1消去x 2,得 3(冷+X 2)+4x 1x 2 = 0,「3 ()+ 4T2T 2=0整理得 4k 2m 2 + 2m 2— k 2— 2= 0「 2 2— 2m21 1因 x =3 :e :k = 4m —1>0，A — 1<m <—1 或 1<m <1容易验证k 2>2m 2— 2成立，所以(* )成立 即所求m 的取值范围为(一1, —1 )U(1, 1)a —J2=kx + m ，上式不成立；m 2k 2= 2 — 2m2' 4m2 — 1'【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能2 2例7 •椭圆 笃•爲=1(a b ■ 0)上一点P 向x 轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点 F i ,A 为椭 a b 圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点且K B 「O P (，.0).⑴、求该椭圆的离心率•⑵、若该椭圆的准线方程是 x 二2, 5，求椭圆方程.【新题导练】x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ ・AB =1，贝y P 点的轨迹方程是QC. 3x y = 1 x 0, y 02［解析］AB =(-3x,3y),OQ =(-x,y).2 2［解析］⑴、打 AB 」OP ,.AB // OP , . △ PF i OBOA ,2—— c又 P(-c,y)二 p a而 a 2 二 b 2 c 2. a 2PF i,2PF1b⑵、7 x = _2」5为准线方程,2—=2.5 = ca = 2』5c ,命2 =2』5c - 2a 2 =10由」b=c［b 2=52 2x y_ 2 2 2a -b c■所求椭圆方程为1 •10514•设过点P x, y 的直线分别与 A. 3x 2 3y 2 = 1 x 0, y 0 23 B.—x22c 2-3y=1 x 0, y 0D. 3x 23y 2 =1，选 A.丰PF 1占，J215.如图，在Rt △ ABC 中，/CAB=90° , AB=2 , AC=。
圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲_详细答案
椭圆一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1（1）当焦点在x 22b a -；（2）当焦点在y 22b a -；2三、椭圆的性质（1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：①② 因为)0(>>c a e 越接近1，则c 反之，e 越接近于 当且仅当b a =a =。
③ 注意：椭圆22+a xe PM PF PM PF ==2211 )2(21a PF PF =+ )2(221ca PM PM =+5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（e dPF =||）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有e PM PF PM PF ==2211。
高中数学圆锥曲线专题复习椭圆(含习题加详解)
高中数学圆锥曲线专题复习（1）---------椭圆一．椭圆标准方程1.椭圆标准方程的求法:定义法、待定系数法①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b 的值.2.,a b 为椭圆的定型条件，对,,a b c 三个值中知道任意两个（知二求三），可求第三个，其中,a b a c >>1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是2.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；3.变式：与椭圆4x 2+y 2=16有相同焦点,且过点(−√6,√5)的椭圆方程是 . 4.（2013山东）椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(通径=2b 2a ⁄).求椭圆C 的方程;5.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22221x y a b +=x 1222+=1x y AB二．离心率c e a ==椭圆上任一点P 到焦点的距离点P 到相应准线的距离e =一、 直接求(找)出a 、c ，求解e1. 已知椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点分别为F1(-1，0),F2（1，0），椭圆C 经过点 P(43，13)，求C 的离心率_______。
二、 根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，进而得到关于 e 的一元方程，解出e 。
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_____。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解1.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线复习讲义
圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程1、椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
〔1〕a = ； b = ； c = ； e = ； 〔2〕长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，那么M 点到2F 的距离是3、椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．〔2021年高考〔上海春〕〕椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007安徽)椭圆1422=+y x 的离心率为〔 〕〔A 〕23 〔B 〕43〔C 〕22〔D 〕32 6．〔2005广东〕假设焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，那么m=〔 〕A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考北京】椭圆C ：22x a +22y b=1〔a ＞b ＞0〕的一个顶点为A 〔2,0〕，离心率为2，那么椭圆C 的方程：8、【2021高考广东】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，那么椭圆1C 的方程；9、【2021高考湖南】在直角坐标系xOy 中，中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．〔2004福建理〕F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设△ABF 2是正三角形，那么这个椭圆的离心率是〔 〕〔A 〕32 〔B 〕33 〔C 〕22 〔D 〕2311．〔2006上海理〕椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔－23，0〕，且长轴长是短轴长的2 倍，那么该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，那么动点M 的轨迹方程是：14．〔2021年高考〕椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,那么该椭圆的方程为〔 〕A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．〔2021年高考〔四川理〕〕椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．〔2021年高考〔江西理〕〕椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.假设|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,那么此椭圆的离心率为_______________.17．〔2021年高考江苏〕在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，那么椭圆的方程 ;18．〔2021年高考广东理〕在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，那么椭圆C 的方程 ;19．〔2021年高考福建理〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．〔2021年高考〔北京理〕〕曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，假设曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,那么m 的取值范围是 ;22．〔2021年高考〔陕西理〕〕椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，那么椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
高中数学圆锥曲线复习总结：椭圆
圆锥曲线复习资料(一）—-——-—---椭圆一、曲线与方程1、求曲线（图形)方程的方法及其具体步骤如下 （1）建立坐标系；设动点坐。
（2)由限制条件，列出几何等式。
（3）代换(4)化简(5）证明（常注意方程变量的取值范围)。
2、求曲线方程的常见方法： (1）直接法（直译法）（2）转移代入(3)几何法（定义法）（4）参数法（5）交轨法3、已知曲线方程求曲线：如 （1）方程22320x y x y ----=表示什么曲线?(2）方程()04122=-+-+y x y x 表示什么曲线? 解：（1）原方程等价于:()()120x y x y ++--=为两条直线(2）原方程等价于：224010x y x y ⎧+-≥⎨++=⎩或224x y +=所以，曲线C 为圆：422=+y x 和直线1-+y x 在此圆外面的两条射线（画图）二、椭圆的标准方程和几何性质两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2+By 2=1 (A ＞0，B ＞0，A ≠B)，当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
图 形几 何 性质 焦点坐标()1,0F c -，()2,0F c ()10,F c -，()20,F c顶点()1,0A a -，()2,0A a ; ()10,B b -，()20,B b ；()10,A a -，()20,A a ；()1,0B b -，()2,0B b ； 范围 x ≤a ，y ≤b ; x ≤b ，y ≤a ；对称性 关于,x y 轴均对称，关于原点中心对称;离心率()0,1c e a =∈221a b-=,,a b c 的关系22c a b =- 三、椭圆性质的挖掘椭圆22221x y a b+=上任意一点P (x ，y ）（y ≠0）与两焦点F 1（－c,0）,F 2 （c ，0)，设12F PF θ∠=（1） 构成的△PF 1F 2称为焦点三角形,其周长为2（a ＋c ），其面积122tan 2PF F S b θ=△（2）a-c ≤｜PF 1｜≤a+c （3)b 2≤ |PF 1｜|PF 2|≤a 2（4）()()121212minmax0,F PF F PF F B F ∠=∠=∠(5）过焦点F 1的弦AB ,则△ABF 2的周长为4a . 与12222=+by ax （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb yka x四、直线与椭圆的位置关系 1．直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程, 然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离． 2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．3．直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B （x 2， y 2)两点,则当直线的斜率存在时，弦长公式: 2121x x k l -+==[]2122124)()1(x x x x k -+⋅+或当k 存在且不为零时21211y y kl -+=2122124)(11y y y y k -++=。
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圆锥曲线复习讲义（1） 椭圆
一．复习目标：
1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；
2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程 ；
3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；
4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.
二．基础训练：
1．已知椭圆的方程为19
162
2=+y x ，1F 、2F 分别为它的焦点，CD 为过1F 的弦，则△CD F 2 的周长为16 ．
2．已知椭圆的离心率32=e ，焦距是16，则椭圆的标准方程是180
1442
2=+y x 或1144
802
2=+y x . 34．椭圆例1． 解： 以设点M 、N 002y x c
=-，
即 0x -20y +c=0
20x -0y -2c=0 由此解得点P 的坐标为（35c ，3
4c ）. △PMN 的面积为134221=⨯⨯c c ,∴ 23=c .∴ 点P 的坐标为（635，3
32）. ∴3152)(2020=++y c x ，3
15)(2020=+-y c x ， 由椭圆的定义，得=+=PN PM a 2=15，从而3222=-=c a b .
故所求椭圆的方程为13
1542
2=+y x . 例2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线方程为1x =，倾斜角为45
的直线交椭圆
于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为α．
(1)当arctan 2α=时，求椭圆的方程；
(2)当2tan 3α<<时，求椭圆的短轴长的取值范围．
解：(1)设所求的椭圆方程为22a x ＋22b
y ＝1，由已知c a 2＝1，∴ a 2＝c ，b 2＝a 2－c 2＝c －c 2. 故所求的椭圆为c x 2＋22c c y -＝1．即(1－c )x 2＋y 2＋c 2－c ＝0． ① ∵ 直线的倾斜角为45o ，故可设直线l 的方程为y ＝x ＋m （m ≠0）． ②
由①、②消去y ，得 (2－c )x 2＋2mx ＋m 2＋c 2－c ＝0． ③
由②、③得M 点的坐标为(
2-c m ，2)1(--c c m ). ∴ k OM ＝c －1. ∴ tg α＝|1|||AB OM AB OM k k k k ⋅+-＝|
1)1(1||1)1(|⨯-+--c c ＝c c -2. ∵ tg α＝tg(a rctg2)＝2， ∴
c c -2＝2， ∴ c ＝32． 故所求的椭圆方程为2
32
x ＋292y ＝1． (2)∵ 2＜tg α＜3．即2＜c
c -2＜3．解得21＜c ＜32． ∵ b ＝22c a -＝2c c -＝41)21
(2+
--c ．由21＜c ＜32,得92＜－(c －21)2＋41＜41， ∴ 32＜b ＜21， ∴ 3
22＜2b ＜1．
例3.如图，已知椭圆的一个顶点为A (0，1),焦点在x 轴上，且右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k （k ≠0）的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点M 、N ,且满足|AM |＝|AN |，并说明理由．
解: 由已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且b ＝1．
∵ 右焦点(c ，0)到直线x －y ＋22＝0的距离为3，
∴ 2|
22|+c ＝3， ∴ c ＝2，∴ a 2＝b 2＋c 2
＝3． ∴ 已知椭圆的方程为 3
2x ＋y 2＝1． ① 设l 存在且其方程为y ＝kx ＋m （m ≠0）,代入①并整理得：
(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2
－1)＝0. ②
设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B （0x ，0y ），则 22210313)316(212k
km k km x x x +-=+-⋅=+= 20031k m m kx y +=
+=,∴ B (2313k km +-，231k m +). ∵ |AM |＝|AN |的充要条件是AB ⊥MN ，故1-=⋅MN AB k k ，得: k
k km k m 13131312
2-=+--+，解之得，m ＝－21(1＋3k 2)． 此时，方程②的判别式△＞0，即(6km )2－12(1＋3k 2)(m 2－1)＝－9(3k 2＋1)(k 2
－1)＞0． 解得－1＜k ＜1（k ≠0）.
∴ 当－1＜k ＜1（k ≠0）时，存在满足条件的直线；当k ≤－1或k ≥1时，不存在满足条件的直线l . 四．课后作业：
1．ABC ∆的一边BC 在x 轴上，BC 的中点在原点，||16BC =，AB 和AC 两边上中线
长的和为30，则此三角形重心G 的轨迹方程是22
1(0)10036
x y y +=≠. 2．直线10y kx --=与椭圆22
15x y m
+=恒有共点时，则m 的取值范围是________. 3．已知1F 、2F 是椭圆148
642
2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，若213PF PF =，
则P 到左准线的距离为————————————————。
4．方程221616x ky k +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 .
5．(,)P x y 是椭圆123222=+y x 上的一个动点，则2x y +的最大值是——————，最小值是——————————。
6．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，过AB 中点M 与坐标原 点的直线的斜率为
22,则n m 的值为 . 7．若椭圆12
222=-y a x a 的一个焦点是()2,0-，则a 的值为——————————————。
． 8．设M 是椭圆116
252
2=+y x 上一点，1F 、2F 是焦点，126F MF π∠=，则△21F MF 的面积等于 .
9．过椭圆19
22
=+y x 的左焦点作直线交椭圆于A 、B ，若弦AB 的长恰好等于短轴长，求直线AB 的方程.
10．如图：是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.
（Ⅰ）建立适当．．
的坐标系，求动点的轨迹方程； （Ⅱ）求证：点P 到点B 的距离与点P 至直线k 的距离之比为定值．．
； （Ⅲ）若点P 到A 、B 两点的距离之积．为m ，当m 取最大．
值时，求P 点的坐标. 答案:4
2
x +32y =1, e=
2
1, （0，3）或（0，－3） 11．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆相交于P 和Q ，
且OP OQ ⊥
，||PQ =. (123222=+y x 或122322=+y x )。