2018年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第33--直线与圆的位置关系

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【2018中考数学真题+分类汇编】三期31点直线与圆的位置关系试题含解析385【2018数学中考真题分项汇编系列】

点直线与圆的位置关系一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2. （2018•广安•3分）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3.（2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三.解答题1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB=12，∴AE=EB=6，OE⊥AB，又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，∴EF=BF=3，∴DF==4，∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，∴△AOB的面积是：=27．2. （2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA==，AM=OM=．∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．8.（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径， =，∴∠BOC=90°．∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中．∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13. （2018•呼和浩特•10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC 与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．（1）证明：连接OD.OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．14. （2018•乐山•10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA.DF，如图，∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．15. （2018•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．16. （2018•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O 的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．19. （2018•陕西•10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD ＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O 的切线，ON//AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．【详解】（1）如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．【详解】（1）如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC．∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P 在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5 ．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD.CD 分别有两个公共点时，＜AP ＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP 的值的取值范围是：＜AP ＜或AP=5．故答案为：＜AP ＜或AP=5．精品文档31。

2018年中考数学解析分类汇编分类31 点直线与圆的位置关系(含解析)

31 点直线与圆的位置关系(含解析)一、选择题1.（4.00分）（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【考点】MB：直线与圆的位置关系．【专题】55：几何图形．【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．2．（4.00分）（2018•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O 的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．43D．45【考点】M2：垂径定理；MC：切线的性质．【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系．【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO ⊥CD ，记垂足为E ，∵CD=8，∴CE=DE=21CD=4，连接OC ，则OC=OA=5，在Rt △OCE 中，OE=222245-=-CE OC =3，∴AE=AO+OE=8，则AC=54842222=+=+AE CE ，故选：D ．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．3.（3分）（2018•荆门）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （4，0），B （0，3），C （4，3），I 是△ABC 的内心，将△ABC 绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点I'的坐标为（）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（3，﹣2）D ．（2，﹣3）【考点】MI ：三角形的内切圆与内心；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I 点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【解答】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3﹣1=2，OE=4﹣1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．4．（3分）（2018•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】MC：切线的性质．【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系．【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=12∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．5．（3分）（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P 是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理；R6：关于原点对称的点的坐标．【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系．【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．6．（3分）（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线+P作该圆的一条切线，切点为A，则PA 的最小值为（）A．3 B．2 C【考点】MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【专题】11 ：计算题．【分析】如图，直线+x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2，C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则，然后利用垂线段最短求PA的最小值．【解答】解：如图，直线x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，D（0，，当y=0时，，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），∴，∵12OH•CD=12OC•OD，∴连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴，当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA的最小值为故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．7．（3.00分）（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A．27°B．32°C．36°D．54°【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∴∠B=27°．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．8.（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理．【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系．【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=12∠COD=45°，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．9．（3.00分）（2018•哈尔滨）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A 为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3C．6 D．9【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6﹣3=3．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．10．（3分）（2018•嘉兴）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内【考点】O3：反证法；M8：点与圆的位置关系．【专题】1 ：常规题型．【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题．【解答】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．故选：D．【点评】本题主要考查了反证法的步骤，其中在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11．（4分）（2018•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.5【考点】MC：切线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．【解答】解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴DOBC=POPB=46=23，设PA=x，则48xx++=23，解得：x=4，故PA=4．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO∽△PCB是解题关键．12．（2.00分）（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【考点】MI：三角形的内切圆与内心；Q2：平移的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【解答】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI ，同理可得：BE=EI ，∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B ．【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．13．（3分）（2018•台湾）如图，I 点为△ABC 的内心，D 点在BC 上，且ID ⊥BC ，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID 的度数为何？（）A ．174B ．176C ．178D ．180【考点】MI ：三角形的内切圆与内心．【专题】552：三角形．【分析】连接CI ，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，由I 点为△ABC 的内心，可得出∠CAI 、∠ACI 、∠DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC 、∠CID 的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID 即可求出∠AID 的度数．【解答】解：连接CI ，如图所示．在△ABC 中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠ACB=80°．∵I 点为△ABC 的内心，∴∠CAI=21∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=21∠ACB=28°， ∴∠AIC=180°﹣∠CAI ﹣∠ACI=112°，又ID ⊥BC ，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．14．（3分）（2018•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB 【考点】MJ：圆与圆的位置关系；MB：直线与圆的位置关系；MK：相切两圆的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明AC∥BD．15．（4.00分）（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．（3分）（2018•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A B．192C．34 D．10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．【专题】556：矩形菱形正方形；55A：与圆有关的位置关系．【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．17．（3.00分）（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O 相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】LB：矩形的性质；MD：切线的判定．【专题】1 ：常规题型．【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．18．（4分）（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A 在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A 相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【考点】MB：直线与圆的位置关系；MC：切线的性质；MJ：圆与圆的位置关系．【专题】55A：与圆有关的位置关系．【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．19．（2.00分）（2018•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．20．（3.00分）（2018•贵港）如图，抛物线y=14（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】HF：二次函数综合题【专题】15 ：综合题；537：函数的综合应用．【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．【解答】解：∵在y=14（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x=282-+=3，故①正确；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y=14（x+2）（x﹣8）=14x2﹣32x﹣4中，当x=0时y=﹣4，∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时，14x2﹣32x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6，∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；∵y=14x2﹣32x﹣4=14（x﹣3）2﹣254，∴点M（3，﹣254），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣254）代入，得：42534bk b=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：344kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以直线CM解析式为y=﹣34x﹣4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：430nm n=-⎧⎨+=⎩，解得：344mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线CD解析式为y=43x﹣4，由﹣34×43=﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故④正确；【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．21．（3分）（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；（2）以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；（3）连接BD ，BC ．下列说法不正确的是（）A ．∠CBD=30°B ．S △BDC= AB 2 C ．点C 是△ABD 的外心 D ．sin 2A+cos 2D=l【考点】N2：作图—基本作图；KG ：线段垂直平分线的性质；MA ：三角形的外接圆与外心；T8：解直角三角形的应用．【专题】552：三角形．【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形，由作图可知：CB=CA=CD ，∴点C 是△ABD 的外心，∠ABD=90°，AB ，∴S △AB 2，4∴S △BDCAB 故A 、B 、C 正确，故选：D ．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（3.00分）（2018•烟台）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°【考点】MI ：三角形的内切圆与内心．【专题】1 ：常规题型；55A ：与圆有关的位置关系．【分析】由点I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC=2∠IAC 、∠ACB=2∠ICA ，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB ）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ）=68°，又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE=∠B=68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．23．24．25．26．27．28．29．30．二、填空题1.（3分）（2018•湘潭）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=60°．【考点】MC：切线的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．2．（4分）（2018•岳阳）如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB=18，∠A=30°，弦CD ⊥AB ，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）①»»BCBD =； ②扇形OBC 的面积为427π； ③△OCF ∽△OEC ；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP•OP 有最大值20.25．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；MC ：切线的性质；MO ：扇形面积的计算．【专题】1 ：常规题型．【分析】利用垂径定理对①进行判断；利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，则利用扇形的面积公式可计算出扇形OBC 的面积，于是可对②进行判断；利用切线的性质得到OC ⊥CE ，然后根据相似三角形的判定方法对③进行判断；由于AP•OP=﹣（OP ﹣29）2+481，则可利用二次函数的性质对④进行判断．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，∴»»BCBD =，所以①正确； ∴∠BOC=2∠A=60°，∴扇形OBC 的面积=3609602∙∙π=227π，所以②错误； ∵⊙O 与CE 相切于点C ，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90，∵∠COF=∠EOC ，∠OFC=∠OCE ，∴△OCF ∽△OEC ；所以③正确；AP•OP=（9﹣OP ）•OP=﹣（OP ﹣29）2+481，当OP=29时，AP•OP 的最大值为481，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的性质．3. （3分）（2018•临沂）如图．在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm ．能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm ．【考点】MA ：三角形的外接圆与外心．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O ，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆，∵在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm ，∴∠BOC=120°，作OD ⊥BC 于点D ，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=52，∠OBD=30°， ∴OB=52sin 60，得OB=3， ∴，即△ABC外接圆的直径是cm，3．故答案为：3【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．4．（3分）（2018•青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴【考点】MC：切线的性质；KO：含30度角的直角三角形；MO：扇形面积的计算．【专题】11 ：计算题．【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF 的面积为：1204360π⨯=43π ∵OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=12AC=3，∴由勾股定理可知：∴△ABC 的面积为：12×3×∵△OAF 的面积为：12×∴阴影部分面积为： 4343π故答案为： 43π【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．5．（3分）（2018•广东）如图，矩形ABCD 中，BC=4，CD=2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）【考点】MC ：切线的性质；LB ：矩形的性质；MO ：扇形面积的计算．【专题】11 ：计算题．【分析】连接OE ，如图，利用切线的性质得OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用S 正方形OECD ﹣S 扇形EOD 计算由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接OE ，如图，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OD=2，OE ⊥BC ，易得四边形OECD 为正方形，∴由弧DE 、线段EC 、CD 所围成的面积=S 正方形OECD ﹣S 扇形EOD =22﹣3602902∙∙π=4﹣π，∴阴影部分的面积=21×2×4﹣（4﹣π）=π．故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．6.（2018•南京）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=4，以CD 为直径作⊙O ．将矩形ABCD 绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O 相切，切点为E ，边CD′与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为 4 ．【考点】ME ：切线的判定与性质；R2：旋转的性质．【专题】1 ：常规题型；556：矩形菱形正方形；55A：与圆有关的位置关系．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′=∠OHB′=90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，∴B′H=OE=2.5，∴CH=B′C﹣B′H=1.5，∴，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，∴CF=2CG=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．7．（2018•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=44°．【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理．【专题】55：几何图形．【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，故答案为：44°【点评】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）【考点】MI：三角形的内切圆与内心；K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质．【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=12AB•PD，S2=12BC•PF，S3=12AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．9．（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=1．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】559：圆的有关概念及性质．【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得AE OEOE BE=，推出AE•BE=OE2=1．【解答】解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，∴∠EAO=∠EOB，∵∠AEO=∠OEB=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AE OE OE BE=，∴AE•BE=OE2=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．10．（3分）（2018•黄石）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆的周长为4π【考点】MI：三角形的内切圆与内心；KQ：勾股定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，∴，∴△ABC的内切圆的半径=68102+-=2，∴△ABC内切圆的周长=π•22=4π．故答案为4π．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．11．（5.00分）（2018•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26度．【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．12．（4分）（2018•嘉兴）如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD=10cm ，点D 在量角器上的读数为60°cm ．【考点】M3：垂径定理的应用；LB ：矩形的性质；MD ：切线的判定．【专题】55：几何图形．【分析】连接OC ，利用垂径定理解答即可．【解答】解：连接OC ，∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD ，∵AD=10，∠DOB=60°，∴∠DAO=30°，∴OE=3，OA=3，∴CE=OC ﹣OE=OA ﹣，【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．。

直线与圆的位置关系典例+讲解+习题+答案

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R所以直线L与直线O相交。

2．切线问题：例3：已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2) 法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；\当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。

综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。

(1)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5) 解： (1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。

2018年中考数学真题分类汇编第一期专题31点直线与圆的位置关系试题含解析

点直线与圆的位置关系一、选择题1．（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．2．（2018·山东泰安·3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．3.（2018·山东泰安·3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M 于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．4 （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．5（2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．180【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．【解答】解：连接CI，如图所示．在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．∵I点为△ABC的内心，∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，又ID⊥BC，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．6（2018·浙江舟山·3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆心上D. 点在圆上或圆内【考点】点与圆的位置关系，反证法【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。

中考数学直线与圆的位置关系专题含答案

【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。

全国2018年中考数学真题分类汇编第23讲与圆有关的位置关系

（分类）第23讲与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质知识点4 切线的判定知识点5 切线长定理知识点6 三角形与圆知识点1 点与圆的位置关系（2018烟台）（考查确定圆的条件）（-1，-2）知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质（2018福建）D（2018·包头）115(2018重庆A卷)9．如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若O的半径为4，6BC ，则PA的长为( A )A ．4B ．C ．3D ．2.5（2018重庆B 卷）10.如图，△ABC 中，∠A=30°，点0是边AB 上一点，以点0为圆心，以OB 为半径作圆,⊙0恰好与AC 相切于点D ，连接BD ，若BD 平分∠ABC ，AD=32,则线段CD 的长是( )A.2B.3C.23D.323（2018哈尔滨）A（2018宁波）17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为．（2018山西）15．如图，在 Rt △ A BC 中， ∠ A CB=900， A C=6， B C=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作 ⊙ O ，⊙ O 分别与 AC ， B C 交于点 E ， F ，过点 F 作⊙ O 的切线 FG ，交 AB 于点 G ，则 FG 的长为 ___125__.（2018无锡）6.如图，矩形ABCD中，G是BC中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；BC与圆O相切。

其中正确的说法的个数是（C）A.0B.1C.2D.3（2018安徽）12如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE 60°。

2018年中考数学真题分类汇编第二期专题31直线与圆的位置关系试题含解析

点直线与圆的位置关系一.选择题1.（2018•江苏徐州•2分）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．2.（2018•上海•4分）如图，已知∠POQ=30°，点A.B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．3. （2018•湖州•4分）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是70°．【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，∴∠BOD=90°﹣∠OBD=70°．故答案为70°．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．4.（2018•嘉兴•3分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内.B. 点在圆上.C. 点在圆心上.D. 点在圆上或圆内.【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.5.（2018•福建A卷•4分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6.（2018•福建B卷•4分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7. （2018湖南湘西州4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC.CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4 D．4【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，又∵CD∥AB，∴AO⊥CD，记垂足为E，∵CD=8，∴CE=DE=CD=4，连接OC，则OC=OA=5，在Rt△OCE中，OE===3，∴AE=AO+OE=8，则AC===4，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．8.（2018•上海•4分）如图，已知∠POQ=30°，点A.B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．二.填空题1.（2018•江苏徐州•3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若∠C=18°，则∠CDA= 126 度．【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=∠COD=36°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．2.（2018•内蒙古包头市•3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 115 度．【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．【解答】解：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴∠DCO=90°，∵∠D=40°，∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，∴的度数是130°，∴的度数是360°﹣130°=230°，∴∠BEC==115°，故答案为：115．【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．3. （2018•嘉兴•4分.）如图,量角器的度刻度线为.将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点,直尺另一边交量角器于点，量得,点在量角器上的读数为.则该直尺的宽度为________【答案】【解析】【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可.【解答】连接OC,OD,OC与AD交于点E，直尺的宽度：故答案为：【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.4. （2018•广西玉林•3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是10 cm．【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【解答】解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD= AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，∴r=10cm，故答案为10．4. （2018·黑龙江大庆·3分）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 2 ．【分析】先利用勾股定理计算出BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径=（A.b为直角边，c为斜边）进行计算．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC==8，∴这个三角形的内切圆半径==2．故答案为2．5. （2018•广东•3分）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE.线段EC.CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，∴由弧DE.线段EC.CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．6. （2018湖南长沙3.00分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 50 度．【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB 的度°°【解答】解：∵∠A=20°，∴∠BOC=40°，∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°﹣40°=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．三.解答题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC 延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理．2. （2018·湖北随州·8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交于D.M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．3. （2018·湖北襄阳·8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E 作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积．【解答】解：（1）证明：连接OE.OC．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD=4．∵BC==2，∴BC﹣AD=2，∴BC=3．在直角△OBC中，tan∠BOE==，∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BOC=120°．∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算．4. （2018·湖南郴州·8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．5. （2018·湖南怀化·12分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；（2）求证：CD是⊙O的切线．【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．【解答】解：（1）∵AB=4，∴OB=2∵∠COB=60°，∴S扇形OBC==（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO∴∠FAC=∠ACO∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型．6.（2018•江苏宿迁•10分）如图，AB.AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5.【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．试题解析：（1）、连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）、∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，∴BF=OF﹣OB=5．【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形7.（2018•江苏淮安•10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE.OD，如图，根据切线的性质得∠OAC=90°，再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）先计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE.OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC=90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，在△AOE和△DOE中，∴△AOE≌△DOE，∴∠ODE=∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵点E是AC的中点，∴AE=AC=2.4，∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．8.（2018•江苏苏州•10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE 垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，在△CDA和△CEA中，∵，∴△CDA≌△CEA（AAS），∴CD=CE；（2）证法一：连接BC，∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，∴∠AOC=2∠F=45°，∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，∴△CEO是等腰直角三角形．【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的关系，注意掌握数形结合思想的应用．9.（2018•内蒙古包头市•10分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB 于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵DE是⊙A的直径，∴∠DCE=90°，∴∠BEC+∠CDE=90°，∵AD=AC，∴∠CDE=∠ACD，∴∠BCD=∠BEC，（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，∴△BDC∽△BCE，∴，∵BC=2，BD=1，∴BE=4，EC=2CD，∴DE=BE﹣BD=3，在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，∴CD=，CE=，过点F作FM⊥AB于M，∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，∴△AFM∽△BAC，∴，∵DE=3，∴AD=AF=AC=，AB=，∴FM=，过点F作FN⊥BC于N，∴∠FNC=90°，∵∠FAB=∠ABC，∴FA∥BC，∴∠FAC=∠ACB=90°，∴四边形FNCA是矩形，∴FN=AC=，NC=AF=，∴BN=，在Rt△FBN中，BF=，在Rt△FBM中，sin∠ABF=．【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．10.（2018•山东烟台市•10分）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD.DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．11.（2018•山东济宁市•8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB 于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．【分析】（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB.由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；（2）证△BDE∽△BEC得=，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得=，据此可得AD的长．【解答】解：（1）如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线；（2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC，∴=，即=，∴BC=；∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∴=，即=，解得：AD=．【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．12.（2018•山东东营市•8分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C.∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD.AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出．13. （2018•达州•8分）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D 作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．【分析】（1）连接CD.OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF ⊥AC可得；（2）连接OE.作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO﹣S扇形DOE计算可得．【解答】解：（1）如图，连接CD.OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，又∵△ABC是等边三角形，∴AD=BD，∵BO=CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE.作OG⊥AC于点G，∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，∴四边形OGFD是矩形，∴FG=OD=4，∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，∴△OBD和△OCE均为等边三角形，∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，∴EG=CE=2.DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，∴EF=FG﹣EG=2，则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE=×（2+4）×2﹣=6﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．14. （2018•遂宁•10分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C.D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC.CM．（1）求证：CM2=MN•MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．【分析】（1）由=知∠CAM=∠DCM，根据∠CMA=∠NMC证△AMC∽△CMN即可得；（2）连接OA.DM，由Rt△PAO中∠P=30°知OA=PO=（PC+CO），据此求得OA=OC=2，再证△CMD是等腰直角三角形得CM的长．【解答】解：（1）∵⊙O中，M点是半圆CD的中点，∴=，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠CMA=∠NMC，∴△AMC∽△CMN，∴=，即CM2=MN•MA；（2）连接OA.DM，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=（PC+CO），设⊙O的半径为r，∵PC=2，∴r=（2+r），解得：r=2，又∵CD是直径，∴∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=（2r）2=16，则CM2=8，∴CM=2．【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点．15. （2018•资阳•9分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB 的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线；（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG=，BG=2x，利用勾股定理计算x=，设AC=a，则AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设⊙O的半径为r，同理列方程可得r的值．【解答】（1）证明：如图1，连接OP，∵PA=PB，∴，∴OP⊥AB，∵PD∥AB，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）如图2，过C作CG⊥BA，交BA的延长线于G，Rt△BCG中，tan∠ABC=，设CG=，BG=2x，∴BC=x，∵BC=8，即x=8，x=，∴CG=x=，BG=2x=，设AC=a，则AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，∴，a=2，∴AB=2，BE=，Rt△BEP中，同理可得：PE=，设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=r﹣，由勾股定理得：，r=，答：⊙O的半径是．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键．15. （2018•乌鲁木齐•10分）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．16. （2018•乌鲁木齐•10分）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．18. （2018•金华、丽水•8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知∠CAD=∠B.（1）求证：AD是⊙O的切线.（2）若BC=8，tan B=12,求⊙O的半径.【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证得；此题即证∠ADO=90°；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，求出相关结论，由BC=8，tan B =不难得出AC，AB的长度；而tan∠1=tanB= ，同样可求出CD，AD的长度；设半径为r，在Rt△ADO中，由勾股定理构造方程解出半径r即可。

2018年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编之点直线与圆的位置关系

（2）四边形 BOCD 为菱形，理由如下： ……………………………………… 6 分 [中
连接 OD 交 BC 于点 M，
∵D 是 B»C 的中点，∴OD 垂直平分 BC.
在 RtOMC 中，∵ OCM 300 ，∴OC＝2OM＝OD
∴OM＝OD，
∴四边形 BOCD 为菱形.
……………………………………… 10 分
DE
中点，连接 AC、BD 交于点 E，则
BE
＝………………………………………………………………………( ▲ )
2 / 28
1 A．
5 答案: D
3 B．
16
C．1－ 2
－1 D．
2
8. （2015·无锡市新区·期中）已知⊙O 的半径为 5，直线 l 上有一点 P 满足 PO=5，则直线 l
与⊙O 的位置关系是（ ▲ ）
AC∥BD 交 OB 的延长线于点 A，连接 CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）求弦 BD 的长；
（1）证明：连接 OC，OC 交 BD 于 E，
∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，……2’
∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，∴四边形 ABDC 为平行四边形，
即 5 x2 6 x2 25. 化简得 x2 11x 18 0 ，
解得 x 2 或 x=9.由 AD DF ，知 0 x 5 ，故 x 2 . 从而 AD=2， AF 5 2 3. 因为 OF AB ，由垂径定理知 F 为 AB 的中点，所以 AB 2 AF 6. 4.(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，AB 是 e O 的切线，B 为切点，圆心 O 在 AC 上， A 300 ，D 为 B»C 的中点.

2018届中考数学复习专题33 直线与圆的位置关系试题(b卷,含解析)

直线与圆的位置关系一、选择题1. （湖北省荆州市，6，3分）如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ．若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是（）PA ．15°B ．20°C ．25°D ．30°切线长定理，圆心角、圆周角定理，切线的判定与性质【答案】C【逐步提示】本题考查了切线长定理，圆心角、圆周角定理，切线的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．【详细解答】解：因为PA 、PB 是⊙O 的两条切线，由切线长定理得∠AP0＝∠0PB ＝40°,连接OA ，则∠0AP ＝90°，所以∠A0P ＝90°-40°＝50°，最后由圆周角定理得∠ADC ＝12∠A0P ＝25°，故选择C . 【解后反思】解决与圆的切线有关的角度和长度的相关计算时，一般先连接半径构造直角三角形，利用切线长定理结合圆周角和圆心角有关性质求解角度，利用切线长定理结合垂径定理、直径所对的圆周角是直角等知识构造方程求解长度．在和圆的切线有关的问题中，一般需要连接圆心和切点．【关键词】切线长定理；圆周角定理；切线的判定与性质2. （湖南湘西，18，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3cm ，AC =4cm ，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙O 与直线AB 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【逐步提示】本题考查了直线与圆的位置关系，解此题的关键是求出直角三角形斜边上的高.根据题中的已知条件，可以求出直角三角形的斜边，因而能用面积法求出该直角三角形斜边上的高，即圆心到直线的距离d ，再比较d 和圆的半径r 之间的数量关系确定直线与圆的位置关系．【详细解答】解：∵∠C =90°，BC =3cm ，AC =4cm ，∴AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD ＝512=∙AB BC AC ，即d ＝2.4，∵⊙O 的半径r= 2.5，∴d ＜r ，⊙O 与直线AB 的位置关系是相交，故选择A .【解后反思】此类问题容易出错的地方是未掌握直线和圆之间的位置关系的定理而选错答案．B第8题答图【关键词】直线和圆的位置关系3. （江苏省南京市，5，2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A ．1B ．．2 D ．【答案】B 【逐步提示】本题考查了正六边形的内切圆的性质，解题的关键是正确运用正六边形的内角和与内切圆的性质．如图，作出正六边形的内切圆，连接AO ，BO ，则得到等边△ABC ，进而得到内切圆的半径．【详细解答】解：如图，作出正六边形的内切圆切AF 与点G ，连接AO ，BO ，OG ，所以∠AOB=60°，因为正六边形的内心也是外心，所以OA=OB ，则得到等边△ABO ，所以OA=AB=2；而在Rt △AGO 中，∠GAO =60°，所以OG=2B ．【解后反思】这里提供另外一个解法．作出正六边形的内切圆，连接AC ，因为六边形的内角和为720°，每个内角都是120°，加上AB=BC ，所以得到顶角为120°的等腰△ABC ，AC 与内切圆的直径相等，所以内切圆的直径就是B ．另外，正n 边形的内角=n n ︒⋅-180)2(=180°－n︒360；正n边形的外角=n ︒360；正n 边形的中心角=n︒360；正六边形的边长等于外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆的半径的3倍，正方形的边长等于外接圆的半径的2倍．【关键词】圆；与圆有关的位置关系；正多边形与圆的位置关系；4. （山东省德州市，11，3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步.问勾中容圆径几何 ?”其意思是今有直角三角形，勾〔短直角边)长为8步，股(长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆）直径是多少?” A ．3步 B.5步 C.6步 D.8步第11题图A【答案】38 【逐步提示】（1）先根据勾股定理求出斜边AC 的长；（2）再根据直角三角形面积的两种表示方法：BC AB S ABC ⋅=21△和()r BC AC AB S ABC ⋅++=21△ 即可求出此直角三角形内切圆的半径. 【详细解答】解：过点O 分别作OD ⊥AC 、OE ⊥AB 、OF ⊥BC ，连接OA 、OB 、OC ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OD=OE=OF=r ∵BCO ACO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++= , ∴()r BC AC AB S ABC ⋅++=21△ ∵ AB=15， BC=8在Rt △ABC 中，由勾股定理得，722=+=BC AB AC∴()r ⨯++⨯=⨯⨯817152181521 ∴38=r ，故答案为 38.图11-1F A【解后反思】（1）正确理解三角形的面积与内切圆半径之间的关系是关键，题目中所用方法是解决此类问题的通法；（2）本题是求直角三角形内切圆的半径，也可以根据直角三角形内切圆半径公式2cb a r ++=求内切圆的半径.【关键词】勾股定理；三角形的内切圆；数形结合思想二、填空题1. （甘肃兰州，20，4分）对于—个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义，在同平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y 3-交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线l 运动（BD 在直线l 上）．BD =2，AB ∥y ，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为____．【答案】122⎫--⎪⎪⎭，或322⎫⎪⎪⎭，【逐步提示】第一步，根据一次函数解析式求出直线l 与x 轴、y 轴交点坐标及它们到原点的距离，借助锐角三角函数定义进一步求∠MPO 的度数，由AB ∥y 轴得到BC ∥x 轴；第二步，因为只有矩形两对角线的交点到矩形四个顶点的距离相等，而⊙M 交直线L 于E 、F 两点，故分矩形两对角线的交点与E 重合和与F 重合两种情况分类讨论；第三步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时，借助平行线性质与互余关系求得∠EBC 与∠BMN 度数，从而可证△EBC 是等边三角形，求得BC 的长；第四步，借助解直角三角形求得BN 、MN 的长，再由点M 的坐标通过适当平移求得C 的坐标；第六步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与F 重合时，与“第三步”、第四步类似方法可求得C 的坐标，从而归纳得到答案．答图1 答图2【详细解答】解：易知直线y 3-与x 轴交点M ，0），与y 轴交点P 的坐标为（0，-3），所以OP =3，DM Rt △POM 中，tan ∠MPO =OM OP =，所以∠MPO =30°，因为AB ∥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以AB ⊥x 轴，矩形ABCD 中，∠ABC =90°，所以AB ⊥BC ，所以BC ∥x 轴．设y 3-与⊙M 交于E 、F 两点，其中E 在第一象限，F 在第四象限，因为只有矩形两对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，所以，①矩形ABCD沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时（见答图1），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因为BC ∥x 轴，所以∠EBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BE =12BD =1，CE =12AC ，BD =AC =2，所以BE =CE =1，所以△EBC 是等边三角形，所以BC =BE =1，所以BM =ME －BE =2-1=1，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以MN =12BM =12，BN =2，又M 0），所以M 向右移动MN 的长再向上移动BN 的长得B 的坐标为12，2），点B 再向右移动BC 长得C ＋32，2）；②矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与F 重合时（见答图2），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因为BC ∥x 轴，所以∠FBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BF =12BD =1，CF =12AC ，BD =AC =2，所以BF =CF =1，所以△FBC 是等边三角形，所以BC =BF =1，所以BM =MF ＋BF =2＋1=3，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以MN =12BM =32，BN =2，又M 的，0），所以M 向左移动MN 的长再向下移动BN 的长得B －32，-2），点B 再向右移动BC 长得C 的坐标为12，，综合以上两种情况，故答案为12⎭，或32⎭. 【解后反思】本题是 “矩形的对角线在过已知圆圆心的直线上移动”为背景的阅读理解题，解题的关键是理解“伴侣矩形”含义，明确“到矩形四个顶点距离相等点是矩形对角线的交点”，从而知道符合条件的情况有两种，需分类讨论来求解．另外，利用已知点坐标通过适当平移来求点的坐标，体现了变换思想的运用. 【关键词】一次函数；矩形的性质；圆；解直角三角形；分类讨论思想；转化思想2. （湖南省益阳市，14，5分）13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P =40°，则∠D 的度数为．【答案】115°【逐步提示】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形、圆内接四边形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．（1）连结OC ，由的切线性质可求出∠BOC 的度数；（2）根据等腰三角形性质求出∠OBC 的度数；（3）根据圆内接四边形的性质可求∠D ＝115°.【详细解答】解：连结OC ，因为PC 为切线，所以，OC ⊥PC ，所以，∠BOC ＝90°－40°＝50°，又OB ＝OC ，所以，∠OBC ＝12（180°－50°）＝65°，又ABCD 为圆内接四边形，所以，∠D ＝180°－65°＝115°，故答案为115°.【解后反思】半径处处相等可得等腰三角形，从而底角相等；切线垂于过切点的半径得直角三角形，从而两锐角互余；圆内接四边形对角互补．【关键词】圆的切线性质；圆内接四边形性质定理；等腰三角形性质3. (湖南省永州市，20，4分)如图，给定一个半径为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM =d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d =0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m =4．由此可知： (1)当d =3时，m =_____；(2)当m =2时，d 的取值范围是_______．【答案】(1)1 (2)1<d <3【逐步提示】本题考查了圆中的新定义，解题的关键在于能正确理解点到直线的距离及分类讨论．(1)圆心O 到水平直线l 的距离为3时，圆上到直线l 的距离等于1的点就是圆与OM 的交点；(2)圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为2，找出两个临界状态的点，即圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为1个与3个，据此作出回答．【详细解答】解：(1)当d =3时，圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，是圆与OM 的交点，只有一点，所以m =1；(2)当m =2时，即圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为2，这时d 的取值范围是1<d <3，故答案为(1)1 (2)1<d <3．【解后反思】1．新定义类型题，理解题意是关键；2．分类讨论时，找出临界点是解题的关键．【关键词】直线与圆的位置关系；新定义题型；分类讨论4. （江苏省无锡市，18，2分）如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8cm ，BO ＝6cm ，点C 从A 点出发，在边AO上以2cm/s 的速度向O 点运动；与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5cm/s 的速度向O 点运动．过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了______s 时，以C 点为圆心、1.5cm 为半径的圆与直线EF 相切．CAEFDB O【答案】178．【逐步提示】本题考查了直线与圆的位置关系、相似以及垂直平分线的知识，解题的关键是利用直线EF 到⊙O 的距离等于半径列出方程．本题的思路是点C 、点D 运动速度之比为4∶3，AC 与BD 的线段长度之比为4∶3，容易得出△COD 与△AOB 相似，本题探求直线与圆相切的，可借助圆心C 到直线EF 的距离CF 等于半径1.5来列方程，其中求CF 长的时候，可利用△EFC 与△BOA 相似获得．【详细解答】解：设运动时间为t ，则AC ＝2t ，BD ＝1.5t ，OC ＝8－2t ，OD ＝6－1.5t ，∴OC ODOA OB=，∵∠O ＝∠O ，∴△OCD ∽△OAB ，∴∠OCD ＝∠A ，∵EF ⊥CD ，∴∠EFC ＝∠O ＝90°，∴△EFC ∽△BOA ，∴CF OACE AB=，∵CE ＝12OC ＝4－t ，∴CF ＝4(4)5t -，当CF ＝1.5时，直线与圆相切，∴4(4)5t -＝1.5，解得t ＝178．故答案为178. 【解后反思】判断两个三角形相似有以下几种方法：①平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．直线与圆有三种位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则：d >R ←→直线和圆相离←→无公共点；d =R ←→直线和圆相切←→惟一公共点；d <R ←→直线和圆相交←→两公共点. 【关键词】相似三角形的判定；直线与圆的位置关系；垂直平分线；动态问题；5. （江苏盐城，12，3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为 ▲ ．B【答案】8【逐步提示】本题考查了圆内接正六边形的计算，解题的关键是掌握圆与正多边形的关系．由正六边形的6条边对6条相等的劣弧，从而确定线段BE 的长就是圆的直径即可．【详细解答】解：连接BE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴⌒AB ＝⌒BC ＝⌒CD ＝⌒DE ＝⌒EF ＝⌒FA ，∴⌒BAE ＝⌒BCE ，∴BE 是圆的直径，∴BE ＝2×4＝8，故答案为8．【解后反思】正多边形是一种特殊的多边形，其有关概念及计算是中考的常考点，有关计算公式及规律：①正n 边形的内角和是()2180n -°，它有n 个相等的内角，因此，正n 边形每一个内角的度数是()2180n n-︒；②正n 边形有n 个相等的中心角，而这些中心角的和是360°，因此正n 边形每个中心角的度数是360n︒；③正n 边形有n 个相等的外角，而这些外角的和是360°，因此正n 边形每个外角的度数是360n︒.很容易看出：正n 边形的中心角与它的外角大小相等；④正n 边形的其他计算都转化到直角三角形中进行，如图所示，设正n 边形的半径为R ，一边AB ＝a ，边心距OM＝r，则有∠BOM＝180n︒，2222aR r=+⎛⎫⎪⎝⎭，正n边形的周长l na=，面积122AOB BOMS nS nS lr∆∆===.【关键词】正多边形与圆的位置关系三、解答题1.（甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，27，10分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC=60º，求DE的长．第27题图【逐步提示】本题考查圆的相关性质、切线的判定方法、以及特殊直角三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造直角三角形进行证明，（1）证明圆的直径，很自然想到90°的圆周角所对的弦是直径，因此想到连接AD，设法证明∠ADB=90°，而联系已知条件可以发现，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一很容易证明∠ADB=90°；（2）DE经过圆上一点D，若能够证明OD⊥DE，则DE为⊙O的切线，因此可以考虑连接OD进行探索，由（1）和已知条件可知：OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，故DE与⊙O的位置关系是相切；（3）当∠BAC=60º时，△ABC是等边三角形，圆的半径为3，则直径AD为6，在Rt△ABD中可求出AD的长度，在Rt△ADE中可求出DE的长度.【详细解答】（1）证明：如图①，连接AD，∵在△ABC中， AB=AC，BD=DC，∴ AD⊥BC 1分∴ ∠ADB=90°，∴ AB是⊙O的直径； 2分（2）DE 与⊙O 的相切． 3分证明：如图②，连接OD ， ∵ AO =BO ，BD =DC ， ∴ OD 是△BAC 的中位线，∴ OD ∥AC ， 4分又 ∵ DE ⊥AC∴DE ⊥OD ，∴ DE 为⊙O 的切线； 5分（3）解：如图③，∵ AO =3，∴ AB =6，又 ∵ AB =AC ，∠BAC =60°， ∴ △ABC 是等边三角形，∴ AD= 6分 ∵ AC ∙DE =CD ∙AD ，∴ 6∙DE=3× 7分解得 DE． 8分【解后反思】在圆中，看到直径联想90°的圆周角，反之，亦然；直线与圆的位置关系最重要的当属直线与圆图①C图②C图③相切，判定圆的切线常见思路：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．【关键词】等腰三角形的判定和性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定方法；含有30°角的直角三角形的性质；2. （甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、D ，且DE =DC ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，BC DE 的长．【逐步提示】（1）第一步：连接OC ，易知∠A =∠OCA ，由OD ⊥AB 证得∠A ＋∠AEO =90°；第二步：根据“等边对等角”有∠DEC =∠DCE ，代换得∠OCE +∠DCE =90°，从而证得结论；（2）第一步：作DH ⊥EC ，根据“等角的余角相等”可得∠EDH =∠A ，△EDC 中根据三线合一得EH =HC =12EC ，于是AB =10，由勾股定理可得AC =AEO ∽△ABC 得AO AEAC AB =，代入数据求得AE ，进一步求出EC 、EH ；第四步：由等角的正弦相等得sin ∠A = sin ∠EDH ，从而BC EHAC DE=，进而求得DE 的长．【详细解答】解：（1）证明：连接OC ，则∠A =∠OCA ，∵ OD ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∴∠A ＋∠AEO =90°， ∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∵∠AEO =∠DEC ， ∴ ∠AEO = ∠DCE ，∴∠OCE +∠DCE =90°，∴CF 是⊙O 的切线．（2）作DH ⊥EC ，则∠EDH =∠A ，∵DE =DC ，∴ EH =HC =12EC ，∵ ⊙O 的半径为5，BC ∴AB =10，AC =∵△AEO ∽△ABC ，∴AO AEAC AB=，∴AE =EC =AC -AE =3=3，∴EH=12EC，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即BC EHAC DE=，∴DE=10203 AB EHBC∙==．【解后反思】看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆有交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．【关键词】切线的判定；相似三角形的判定与性质；转化思想；方程思想3.（甘肃省天水市，23，10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD．连结OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N．（1）（4分）求证：MN是⊙O的切线；（2）（6分）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．【逐步提示】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键：对于（1），理解要证明MN是⊙O的切线，就是要证明OM⊥MN．对于（2），需要连接OF，得到OF⊥BC，根据勾股定理先求出BC的长，然后根据△BOC的面积求出⊙O的半径，最后根据△NMC∽△BOC产生相似比就可以求出MN的长．【详细解答】证明：（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠DCB．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°．∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180°＝90°．∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－90°＝90°．∴∠BOM＝180°－∠BOC＝90°．∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOM＝90°．∴OM⊥MN．∴MN是⊙O的切线．解：（2）连接OF，则OF⊥BC，由（1）知，△BOC 是直角三角形， ∴BC＝10．∵S △BOC ＝12•OB •OC ＝12•BC •OF ， ∴6×8＝10×OF ． ∴OF ＝4.8．∴⊙O 的半径为4.8cm ．由（1）知，∠NCM ＝∠BCO ，∠NMC ＝∠BOC ＝90°， ∴△NMC ∽△BOC ． ∴MN OB ＝CM CO ，即6MN ＝8 4.88+，解得MN ＝9.6． ∴MN 的长为9.6cm ．【解后反思】证切线的常用方法有：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径．即已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的唯一公共点未定，则过圆心作到这条直线的垂线段，再证它等于半径即可．由于此题半径OM 已有，只要证得OM ⊥MN 即可说明MN 是⊙O 的切线．对于含切线的圆类问题，还要注意“切点与圆心，连结要领先”解题思想方法的贯彻执行，即遇到切点与圆心没连结的图形，首先要想到将它俩连结起来．这样就可以得到数量关系（圆中半径相等）和位置关系（圆的切线垂直于过切点的半径），产生新的几何结论．【关键词】切线的判定与性质；切线长定理；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；综合法证明；面积法． 4. （广东省广州市，25，14分）如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合），∠ACB =∠ABD =45°．（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结CD ，求证：2AC =BC +CD ；（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【逐步提示】（1）要证BD 是圆的直径，只需证明∠BAD =90°即可，这可由已知条件∠ACB =∠ABD =45°及∠D =∠ACB 直接得到；（2）由所要证明的结论形式自然联想到证明线段“a +b =c ”型问题的方法：截长补短法，由“2AC ”可联想到构造以AC 为直角边的等腰直角三角形，其斜边长即等于2AC ．于是可作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ，通过证明△ABE ≌△ADC 进一步获证结论；（3）由DM 2，AM 2，BM 2三者的形式，可构建直角三角形，进一步利用勾股定理探究三者之间的数量关系．则根据圆的性质，易于构造以DM 为斜边的Rt △MDF ，显然有DM 2=DF 2＋MF 2，借助“几何直观”，易于猜想DF =BM ，关于MF 2与2AM 2，连结AF 后它们在一个等腰直角三角形中，进而易于得出结论．另外，亦可以BM 为直角边，以AM 为直角边构造两个Rt △BMF 与Rt △MAF ，通过三角形全等证明BF =MD 获得结论．AB CD【详细解答】解：（1）由AB ︵=AB ︵，得∠ADB =∠ACB =45°．又∵∠ABD =45°，∴∠ABD +∠ADB =90°，∴∠BAD =90°，∴BD 是△ABD 外接圆的直径；（2）证明：如图，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ．∵∠EAC =∠BAD =90°，∴∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC ，∴∠EAB =∠DAC ．由∠ACB =∠ABD =45°，可得△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE =AC ，AB =AD ，∴△ABE ≌△ADC ，∴CD =BE ．在等腰Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE =2AC ．∵CE =BC +BE ，∴2AC =BC +CD ；（3）DM 2=BM 2＋2MA 2．证明如下：方法1：如图，延长MB 交圆于点F ，连结AF ，DF ．∵∠BFA =∠ACB =∠BMA =45°，∴∠MAF =90°，MA =AF ，∴MA 2+AF 2=2MA 2=MF 2．又∵AC =MA =AF ，∴AC ︵=AE ︵，又∵AD ︵=AB ︵，∴CD ︵=BF ︵，∴DF ︵=BC ︵，∴∴DF =BC =BM ． ∵BD 是直径，∴∠BFD =90°．在Rt △MDF 中，由勾股定理，得DM 2= DF 2＋MF 2，∴DM 2=BM 2＋2MA 2．方法2：如图，过点M 作MF ⊥MB ，过点A 作AF ⊥MA ，MF 与AF 交于点F ，连结BF ．由轴对称性可知∠AMB =ACB =45°，∴∠FMA =45°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴AM =AF ，MF 2=2AM 2．∵∠MAF +∠MAB =∠BAD +∠MAB ，∴∠FAB =∠MAD ．又∵AF =AM ，AB =AD ，∴△ABF ≌△ADM ，∴BF =DM ．在Rt △BMF 中，∵BF 2=BM 2+MF 2，∴DM 2=BM 2＋2MA 2．ACDBF MACDBE【解后反思】1．关于问题（2）的解决，是利用证明线段“a +b =c ”型问题的方法——截长补短法．该例所作的辅助线本质上是在线段CB 的延长线上得到BE =CD ．我们也可直接在CB 的延长线上截取BE =CD ，显然∠ABE =∠ADC ，AB =AD ，因此，△ABE ≌△ADC ，从而可证∠EAC =90°，进一步可证得结论成立．2．对于许多几何证明题，根据已知条件与所要证明的结论，联想相关知识是沟通证明思路的重要途径．如本例（3）中根据探究量的形式联想到勾股定理，从而构造直角三角形是解决问题的突破口．另外，注意“几何直观”，合情推理与演绎推理的有机结合，常常能给我们指明思考的方向与切入点，收到事半功倍之效．【关键词】圆周角定理的推论；圆的三组量关系定理；全等三角形的判定和性质；勾股定理；轴对称的性质；转化思想5. （广东茂名，24，8分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 、F 是AB 边上的两点，以DF 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，连接EF ，过F 作FG ⊥BC 于点G ，其中∠OFE =12∠A .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若sin B =35，⊙O 的半径为r ，求△EHG 的面积.（用含r 的代数式表示）【逐步提示】本题考查了切线的判定定理、圆中有关线段的求值问题，解题的关键是掌握切线的判定方法以及构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等使问题获解．（1）由于BC 与⊙O 有一个确定的公共点E ，根据切线的判定定理，只要连接OE ，证明OE ⊥BC 即可说明BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，过点E 作EQ ⊥AB ，垂足为Q ，由于△EDQ 与题中已知条件的联系比较密切，较容易求出它的两直角边的长度，因此证△EDQ ≌△EHG ，将“求△EHG 的面积”转化为“求△EDQ 的面积”. 【详细解答】解：（1）连接OE . ∵⊙O 中，OE =OF ， ∴∠OEF =∠OFE .∵∠BOE 为△OEF 的外角， ∴∠BOE =∠OEF +∠OFE =2∠OFE . ∵∠OFE =12∠A ，∴∠BOE =∠A ，ACDBFM∴OE ∥AC ， ∴∠BEO =∠C . ∵∠C =90°，∴∠BEO =90°，即OE ⊥BC . ∴BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，过点E 作EQ ⊥AB ，垂足为Q .在Rt △BEO 中，sin B =OE BO ，即35=r BO ，∴BO =53r ，∴BE =BO 2－OE 2=43r.在Rt △BQE 中，sinB=EQ BE ，即35=QE ÷43r ，解得QE =45r .在Rt △OQE 中，OQ =OE 2－QE 2=35r ，∴DQ =OD －OQ =r －35r =25r .∴S △EDQ =12DQ ×QE =425r 2.∵OE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴OE ∥FG ， ∴∠OEF =∠EFG . ∵∠OEF =∠OFE ， ∴∠OFE =∠EFG ，∴EF 是∠QFG 的平分线， ⌒DE = ⌒EH. ∴在⊙O 中，ED =EH .又∵EF 是∠QFG 的平分线，EQ ⊥AB ，EG ⊥FG ， ∴EQ =EG ，∴△EDQ ≌△EHG （HL ）， ∴S △EHG =S △EDQ =425r 2.【解后反思】（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线﹒切线的基本证明方法：①切点已知，连过切点的半径，证所连半径垂直于要证明的切线；②切点未知，作垂线段，证垂线段等于半径.（2）求△EHG 的面积也可采用证△EHG ∽△FEG ，先求出EG 、HG 长度，再求△EHG 面积，不管哪一种方法，都要将条件“sin B =35”置于直角三角形，沟通直角三角形边、角间的关系，从而为求△EHG 的面积创设条件.【关键词】直线与圆相切；锐角三角函数；勾股定理.6.（贵州省毕节市，26，14分）如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，且CD ＝CB ，以BC 为直径作⊙O ，交BD 于点E ，连接CE ，过D 作DF AB 于点F ，∠BCD ＝2∠ABD . 求证：（1）AB 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝60°，DF，求⊙O 的直径BC 的长．（第26题图）【逐步提示】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质以及利用特殊角的三角函数求三角形的边，解题的关键是掌握切线的判定方法以及运用直径所对的圆周角是直角进行角的转化．（1）要证明AB 是⊙O 的切线，只需证明∠CBA ＝90°.根据直径所对的圆周角是直角可知，∠CEB ＝90°，根据等腰三角形“三线合一”及∠BCD ＝2∠ABD ，可得∠ABD ＝∠BCE ，从而证得结论；（2）在Rt △ADF 中，根据∠A ＝60°，DFAD 的长，AC ＝BC ＋2，再利用∠A 的正弦值可求BC 的长.【详细解答】解：（1）∵CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB . 又∠CEB ＝90°，∴∠CBD ＋∠BCE ＝∠CDE ＋∠DCE ＝90°. ∴∠BCE ＝∠DCE ，又∵∠BCD ＝2∠ABD ，∴∠ABD ＝∠BCE ，∴∠CBD ＋∠ABD ＝∠CBD ＋∠BCE ＝90°，∴CB ⊥AB ，垂足为B ，又CB 为直径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵∠A ＝60°，DF，在Rt △ADF 中，AD ＝sin 60DF=2.设BC 的长为x ，则AC 的长为（x ＋2），在Rt △ABC 中，sin 602BC xAC x ==+.即22x x =+，解得x＝6.所以⊙O 的直径BC的长为6.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能利用已知条件发现AC 与BC 的关系，找不到解决问题的突破口.【关键词】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数；7. （河南省，18，9分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=900，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交AC,BM 于点D,E.(1)求证：MD=ME;(2)填空：①若AB=6,当AD=2DM 时，DE= ；②连接OD,OE,当∠A 的度数为时，四边形ODME 是菱形.C【逐步提示】（1）MD=ME 应来源于∠MDE=∠MED，根据条件可知四边形ABED 是圆内接四边形，根据圆内接四边形的外角等于内对角的性质及直角三角形的斜边中线性质综合可得结论。

5.10点和圆、直线和圆的位置关系(第1部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)

第五部分图形的性质5.10 点和圆、直线和圆的位置关系【一】知识点清单1、点与圆的位置关系点与圆的位置关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作三角形的外接圆；反证法；2、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系；切线的性质；切线的判定；切线的判定与性质；切线长及切线长定理；三角形的内切圆与内心；尺规作图-作三角形的内切圆；相交弦定理（删）；弦切角定理（删）；切割线定理（删）；圆与圆的位置关系（删）；相切两圆的性质（删）；相交两圆的性质（删）【二】分类试题及参考答案与解析一、选择题1．（2018年上海-第6题-4分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【知识考点】直线与圆的位置关系；切线的性质；圆与圆的位置关系．【思路分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答过程】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【总结归纳】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．2．（2018年重庆A卷-第9题-4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4 B．C．3 D．2.5【知识考点】切线的性质．【思路分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．【解答过程】解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴===，设PA=x，则=，解得：x=4，故PA=4．【总结归纳】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO ∽△PCB 是解题关键．3．（2018年重庆B 卷-第10题-4分）如图，△ABC 中，∠A=30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，AD=则线段CD 的长是（）A ．2BC ．32 D 【知识考点】切线的性质．【思路分析】连接OD ，得Rt △OAD ，由∠A=30°，AD=2，可求出OD 、AO 的长；由BD 平分∠ABC ，OB=OD 可得OD 与BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答过程】解：连接OD ，∵OD 是⊙O 的半径，AC 是⊙O 的切线，点D 是切点， ∴OD ⊥AC在Rt △AOD 中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD ，又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD ∥CB ， ∴ 即 ∴CD=．【总结归纳】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．4．（2018年河北-第15题-2分）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【知识考点】三角形的内切圆与内心；平移的性质．【思路分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【解答过程】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．【总结归纳】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．5．（2018年福建省A卷/B卷-第9题-3分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC 交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【知识考点】圆周角定理；切线的性质．【思路分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答过程】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．【总结归纳】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．二、填空题1．（2018年安徽省-第12题-4分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=°．【知识考点】切线的性质；菱形的性质．【思路分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．【解答过程】解：连接OA，。

2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编（解答题）

2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编（解答题）2018全国各地中考数学试题《圆》解答题汇编1.（2018?黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．2.（2018?长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求AD的长．（结果保留π）3.（2018?德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是BF的中点．（1）求证：AD⊥CD；（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，⼀只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-CB爬回⾄点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，3≈1.73，结果保留⼀位⼩数）．4.（2018?北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外⼀点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．5.（2018?昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．6.（2018?兰陵县⼆模）如图，已知三⾓形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆⼼O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．7.（2018?⾚峰）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是AD的中点，求阴影部分的⾯积（结果保留π和根号）8.（2018?天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，（I）如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的⼤⼩；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的⼤⼩．9.（2018?福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂⾜为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂⾜为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；⼩．10.（2018?潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；11.（2018?邵阳）如图所⽰，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，过点B作BD⊥CD，垂⾜为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．12.（2018?襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上⼀点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；13.（2018?孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB 的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；，CF=2，求AE和BG的长．14.（2018?抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上⼀点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．15.（2018?泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上⼀点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的⾯积．15.（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的⾯积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．16.（2018?扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆⼼，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的⾯积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最⼩值时，直接写出BP的长．17.（2018?云南）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的⾯积．18.（2018?聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．19.（2018?长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三⾓形．（3）求△ABC的外接圆圆⼼P与内切圆圆⼼Q之间的距离．20.（2018?河南）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC 交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：21.（2018?咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=5，求DE的长．22.（2018?齐齐哈尔）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF=BC=2，求图中阴影部分的⾯积．23.（2018?郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上⼀点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂⾜为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24.（2018?陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．25.（2018?宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．26.（2018?淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的⾯积．27.（2018?随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．27.（2018?湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上⼀点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．28.（2018?宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE⾄点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的⾯积．29.（2018?黄⽯）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2 3，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．30.（2018?衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB 的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求BD的长度．（结果保留π）31.（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于点D，垂⾜为点D．（1）求扇形OBC的⾯积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．32.（2018?达州）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分⾯积．33.（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC的长．34.（2018?临沂）如图，△ABC为等腰三⾓形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=3，BE=1．求阴影部分的⾯积．35.（2018?常德）如图，已知⊙O是等边三⾓形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有⼀点F，使DF=DA，AE∥BC 交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．36.（2018?沈阳）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A 作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．37.（2018?官渡区⼆模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上⼀点，连接OD，过点B作BE∥OD 交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．38.（2018?⾦⽔区校级模拟）如图所⽰，PB是⊙O的切线，B为切点，圆⼼O在PC上，∠P=30°，D为弧BC的中点．（1）求证：PB=BC；（2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．39.（2018?历城区⼀模）某居民⼩区的⼀处圆柱形的输⽔管道破裂，维修⼈员为更换管道，需要确定管道圆形截⾯的半径．如图，若这个输⽔管道有⽔部分的⽔⾯宽AB=16cm，⽔最深的地⽅的⾼度为4cm，求这个圆形截⾯的半径．40.（2018?昌平区⼆模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C 的切线交AB的延长线于点F，连接DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．41.（2018?天⽔模拟）已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若AB=8cm，BD=6cm，求CD的长．42.（2018?葫芦岛⼀模）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平⾏四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=8，求图中阴影部分的⾯积．（结果保留根号和π）43.（2018?内乡县⼀模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．（1）求证：四边形OCAD是平⾏四边形；（2）探究：②当∠B满⾜什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．43.（2018?资中县⼀模）如图，AB是⊙O的⼀条弦，OD⊥AB，垂⾜为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．44.（2018?合肥模拟）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．。

【新】全国2018年中考数学真题分类汇编第23讲与圆有关的位置关系

（分类）第23讲与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质知识点4 切线的判定知识点5 切线长定理知识点6 三角形与圆知识点1 点与圆的位置关系（2018烟台）（考查确定圆的条件）（-1，-2）知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质（2018福建）D（2018·包头）115(2018重庆A 卷)9．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC ，则PA 的长为( A )A ．4B ．C ．3D ．2.5（2018重庆B 卷）10.如图，△ABC 中，∠A=30°，点0是边AB 上一点，以点0为圆心，以OB 为半径作圆,⊙0恰好与AC 相切于点D ，连接BD ，若BD 平分∠ABC ，AD=32,则线段CD 的长是( )A.2B.3C.23D.323（2018哈尔滨）A（2018宁波）17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为．（2018山西）15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，A C=6，B C=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，B C 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为___125__.（2018无锡）6.如图，矩形ABCD中，G是BC中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；BC与圆O相切。

其中正确的说法的个数是（C）A.0B.1C.2D.3（2018安徽）12如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE 60°。

2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题31点直线与圆的位置关系试题(含解析)

点直线与圆的位置关系一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2. （2018•广安•3分）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3.（2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三.解答题1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB=12，∴AE=EB=6，OE⊥AB，又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，∴EF=BF=3，∴DF==4，∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，∴△AOB的面积是：=27．2. （2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA==，AM=OM=．∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．8.（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径， =，∴∠BOC=90°．∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中．∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13. （2018•呼和浩特•10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC 与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．（1）证明：连接OD.OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．14. （2018•乐山•10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA.DF，如图，∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．15. （2018•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．16. （2018•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O 的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．19. （2018•陕西•10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD ＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O 的切线，ON//AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．【详解】（1）如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．【详解】（1）如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC．∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P 在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5 ．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD.CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．。

各地中考数学模拟试题分类汇编直线与圆的位置关系

直线与圆的地点关系一、选择题1、（ 2018 年浙江金华一模）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm 时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的地点关系为( )A、相离B、订交C、相切D、不可以确立2、（ 2018 年浙江金华一模）如图，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边BAB 相切的动圆与CA ，CB 分别订交于点P,Q，则线段PQ 长度的最小值是（）QC P AA．B．C． 5D．42答案： A3、 (2018 年，辽宁省营口市) 如图是油路管道的一部分，延长外头的支路恰巧组成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和 8m.依据输油中心O到三条支路的距离相等来连结收道，则 O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，O中心 O为点）是（）答案： C（第 8 题图）4、(2018年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图，在△ ABC 中，AB=BC=2 ，以 AB 为直径的⊙ 0 与 BC 相切于点 B，则 AC 等于（ C ）A．2B．3C．22D．23（第 1题）5、 (2018 石家庄市42 中二模 )如图，∠ ACB=60 °，半径为 2 的⊙ O 切 BC 于点 C，若将⊙ O在 CB 上向右转动，则当转动到⊙O 与 CA 也相切时，圆心O 挪动的水平距离为( )A.4B.2C.4D.231/18答案： D6、 (2018 四川省泸县福集镇青龙中学一模 )如图，在△ ABC 中， AB=BC=2 ，以 AB 为直径的⊙ 0与 BC 相切于点 B，则 AC 等于（）第2题图A．2B．3C．22D．23答案： C二、填空题1（ 2018 年南岗初中升学调研）．如图，在⊙0中，点A在⊙0上，弦BC⊥OA，垂足为点D 且 OD=AD，连接 AC、 AB．则∠ BAC的度数为答案： 1202、（ 2018 年江西南昌十五校联考）如图用两道绳索捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，．．．．若不计绳索接头（取 3），则捆绳总长为．答案： 96cm3、（ 2018 年，广东二模）如图 2－ 4，从⊙ O 外一点 A 引圆的切线 AB ，切点为 B，连结AO 并延长交圆于点 C，连结 BC .若∠ A＝26°，则∠ ACB 的度数为 32 度．2/184 、（ 2018 江苏扬州中学一模）如图，直线l 的解读式为y 3x，⊙ O 是以坐标原点为圆3心，半径为 1 的圆，点P 在x轴上运动，过点P 且与直线 l平y行（或重合）的直线与⊙O 有公共点，则点P 的横坐标为整数的点的个数有▲个．答案： 5O P x 第 1 题5、（盐城市第一初级中学2018～ 2018 学年期中考试）如图，已知在直角坐标系中，半径为 2 的圆的圆心坐标为（3，-3 ），当该圆向上平移▲个单位时，它与x 轴相切．答案1或5第 17题、三、解答题1、（盐城地域2018 ～ 2018 学年度适应性训练）（此题满分10 分）如图，AB是⊙O的直径，点 A、 C、 D在⊙ O上，过 D作 PF∥ AC交⊙ O于 F、交 AB于 E，且∠ BPF=∠ ADC.（1）判断直线BP和⊙O的地点关系，并说明你的原因；（2）当⊙O的半径为 5，AC=2，BE=1 时，求BP的长 .(1)直线 BP和⊙ O相切 .1 分原因：连结BC,∵ AB是⊙ O直径 , ∴∠ ACB=90° . 2 分∵PF∥ AC,∴BC⊥ PF, 则∠ PBH+∠ BPF=90° . 3 分∵∠ BPF=∠ ADC,∠ ADC=∠ ABC,得 AB⊥ BP, 4 分因此直线 BP和⊙ O相切 .5 分(2)由已知，得∠ ACB=90° , ∵ AC=2,AB=2 5, ∴BC=4.6 分C DPAO E B3/18F∵∠ BPF=∠ ADC,∠ ADC=∠ABC,∴∠ BPF=∠ ABC,由 (1), 得∠ ABP=∠ ACB=90° , ∴△ ACB∽△ EBP,8 分AC BC∴= , 解得 BP=2. 即 BP 的长为 2.10 分BE BP2.（盐城市第一初级中学2018～ 2018 学年期中考试）（此题满分10 分）如图，在△ABC 中，∠ B=60°，⊙ O是△ ABC外接圆，过点 A 作⊙ O的切线，交 CO的延长线于 P 点， CP 交⊙O于 D；（1）求证： AP=AC；（2）若 AC=3，求 PC的长．答案（ 1）证明过程略；（5分）（2）3 3、（年上海青浦二模）如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O订交于点C、D，32018AC=4 ，BOD A， OB 与⊙ O订交于点E，设 OA x ， CD y ．（1）求BD长；（2）求y对于x的函数解读式，并写出定义域；（3）当CE⊥OD时，求AO的长．OEA BC D答案：解：（ 1）∵ OC=OD ，∴∠ OCD =∠ ODC ，∴∠ OAC=∠ ODB．∵∠ BOD=∠ A，∴△ OBD∽△ AOC．∴BDOD ，OC AC∵ OC=OD =6，AC=4，∴BD6，∴ BD= 9．6 4（2）∵△ OBD∽△ AOC，∴∠ AOC=∠ B．4/18又∵∠ A=∠ A ，∴△ ACO ∽△ AOB ．∴ AB AO ，AOAC∵AB AC CD BDy13 ，∴y13 x ，x 4∴ y 对于 x 的函数解读式为y1 x 213 ．定义域为 2 13 x 10 ．4（ 3）∵ OC=OE ， CE ⊥ OD ．∴∠ COD=∠ BOD=∠ A ．∴∠ AOD =180o – ∠A – ∠ ODC= 180o –∠ COD –∠OCD= ∠ ADO ．∴AD =AO ，∴ y 4 x ， ∴ 1x 2 13 4 x ．4∴ x 2 2 10 （负值不切合题意，舍去）． ∴AO= 22 10 ．4、（ 2018 年浙江金华五模）（此题 8 分）已知： ABABCAC如图，中，，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DF AC 于点 F ，交 BA 的延长线于点E ．求证：（1）BD ＝CD ；（2） DE 是⊙ O 的切线．CDFBOAE(第 1题图 )CDF答案：(1) 连结 AD ,AB 是直径ADB 90(1 分)BOAEABACBDCD(3 分)(2) 连结 OD ,OB OD B ODB (1 分)AB AC B C ODBCOD ∥AC(3 分) DFACODDFDE 是⊙ O 的切线(5分)5 （ 2018 山东省德州四模）如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AECD ，垂足为 E ， DA 均分BDE ．（1）求证： AE 是 O 的切线；AE5/18DBOC（ 2）若DBC30 ，DE1cm ，求 BD 的长．答案：（ 1）证明：连结OA，DA 均分BDE ，BDA EDA ．OA OD，ODA OAD ．OAD EDA ．OA ∥ CE ． 3 分AE DE ，AED90 ， OAE DEA90．AE OA ．AAE 是O 的切线． 5 分ED（2）BD 是直径，BCD BAD90．OBDBC30 ， BDC60 ，C BDE120． 6 分DA 均分BDE ，BDA EDA60．ABD EAD30．8 分在 Rt △ AED 中，AED90 ， EAD30， AD2DE ．在 Rt △ ABD 中，BAD90 ， ABD30， BD 2 AD4DE ．DE 的长是1cm，BD 的长是4cm．9 分6、（ 2018 山东省德州一模）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形房屋的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、 B，而后，她又在桌子边沿上任取一点P(异于 A、B) ，经过计算∠ APB的度数，她诧异的发现∠APB的度数的1，正好都和她今日作业中的一条抛物5线与 x 轴的交点的横坐标完整同样，她作业中的那条抛物线还经过点C（ 10， 17） . 聪慧的你：（ 1）请你求出∠APB的度数（ 2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程.答案：解：（1）设圆桌所在圆的圆心为切线AC、BC交于C，p 为异于当p 在AmB上时，如图中的O，过切点的A、 B 的圆周上的随意一点.p1，连结 AP1、 BP1、CBP 26/18A OP各地中考数学模拟试题分类汇编直线与圆的位置关系AO BO OA AC OB BC BC AC.ACBO AOB=90 AP 1B=450 .4 ’pAB p 2AP 2BP 22APB=45 1351APB 90 或2708’59 27 xy=a(x-9)(x-27) (a≠ 0) 10’C(10 17)a(10-9)(10-27)=17a=-112’y=-(x-9)(x-27)y=-x 2+36x-24314’x=-36x=18 15’272018 DO CA BODBA= BCD 1BDO2EBCAEBCF BEF10 cos BFA23ACFBEFDAOC1BDO1’第25题图图 8OBACOABC=90 1+ C=900 OA=OB 1= 2 2+ C=900 3= C 2+ 3=900DBO 4’2Rt ABF2BF 2 cos BFA=5’3AF3E=C4= 57/18∴△ EBF∽△ CAF∴S EBF BF27’S CFA AF即1022解之得： S△ACF8’S ACF38、（ 2018荆门东宝区模拟）如图，已知CD 是⊙ O 的直径， AC⊥ CD ，垂足为 C，弦 DE ∥OA，直线 AE、CD 订交于点 B．(1)求证：直线 AB 是⊙ O 的切线．C O(2)当 AC＝ 1， BE＝ 2 时，求 tan∠OAC 的值．D答案：（ 1）证明：略（ 2）解： tan∠ OAC= 2 ．A E B2第 2 题10、（ 2018 江西高安）如图，将△ ABC 的极点 A 放在⊙ O 上，现从 AC 与⊙ O 相切于点 A（如图1）的地点开始，将△ABC 绕着点 A顺时针旋转，设旋转角为（ 0°<<120°），旋转后AC， AB 分别与⊙ O 交于点E,F ，连结EF （如图2）. 已知∠BAC=60°，∠ C=90°， AC=8，⊙ O 的直径为 8.(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF 的长②弧 EF 的长③∠ AFE 的度数④点 O到 EF 的距离 .此中不变的量是（填序号）；(2) 当 BC 与⊙ O 相切时，请直接写出的值，并求此时△ AEF 的面积 .AA C AOEO OCFBB图1图2第 3 题答案：解：（1）（ 1）， (2) ，（ 4） .（2） =90° .11、 (2018 年，辽宁省营口市) （ 10 分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C， BE⊥ CD，垂足为 E，连结 AC、 BC．⑴△ ABC的形状是______________，原因是_________________；⑵求证： BC均分∠ ABE；⑶若∠＝60°，＝ 2，求的长．A OA CE答案：（ 1）直角三角形直径上的圆周角是直角有一个角是直角的三角形是直角三角形E C（2）略（3） CE=3D8/18A BO12. （ 2018 年，广东二模）如图 2－ 7，在⊙ O 中， AB 为直径， AC 为弦，过点 C 作 CD ⊥AB 与点 D ，将△ ACD 沿 AC 翻折，点 D 落在点 E 处， AE 交⊙ O 于点 F ，连结 OC 、FC.(1)求证： CE 是⊙ O 的切线；(2)若 FC ∥ AB ，求证：四边形 AOCF 是菱形．图 2－7解： (1)由翻折可知，∠ FAC ＝∠ OAC, ∠E ＝∠ ADC ＝ 90°，∵OA ＝OC ，∴∠ OAC ＝∠ OCA ， ∴∠ FAC ＝∠ OCA ， ∴ OC ∥AE ，∴∠ OCE ＝ 90°，即 OC ⊥ CE. ∴ CE 是⊙ O 的切线．(2)∵ FC ∥ AB ， OC ∥ AF ， ∴四边形 AOCF 是平行四边形． ∵ OA ＝ OC ， ∴ ?AOCF 是菱形．13、（ 2018 年 4 月韶山市初三质量检测）如下图．P 是 ⊙O 外一点． PA 是 ⊙O 的切线．点 A 是切点． B 是 ⊙O 上一点．且 PA = PB ，连结 AO 、 BO 、PO 、AB ，并延长 BO 与切线 PA 订交于点 C ．（ 1）求证： PB 是⊙O 的切线；（ 2）求证： AC ?PC= OC ?BC ；（3）设∠ AOC =，若 cos= 4，OC = 15 ，求 AB 的长。

全国名校中考模拟数学试卷分类汇编32直线与圆的位置关系

全国名校中考模拟数学试卷分类汇编32直线与圆的位置关系一、选择题1、（2013·湖州市中考模拟试卷3）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是( ).A. （5，4）B. （4，5）C. （5，3）D. （3，5）答案：A2、（2013·湖州市中考模拟试卷8）如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P,Q，则线段PQ长度的最小值是（）A． 4.8 B．4.75 C．5 D ．答案：A3、（2013·湖州市中考模拟试卷8）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( )A、相离B、相交C、相切D、不能确定答案：C4、(2013年深圳育才二中一摸)如图，已知是△的外接圆的直径，=13 cm，，则的长等于（）A．5 cm B．6 cm C．12 cm答案：CD5、(2013年河南西华县王营中学一摸)如图PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120° 答案：C6、(2013年广西南丹中学一摸)如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P ＝40°，则∠ACB 的度数是A ．80°B ．110°C ．120°D ．140° 答案：B7、(2013年河北省一摸)|如图4，在直径ABAB 于M ，且M 是半径OB 的中点，]则弦CD 的长是A ．3B ．3C ．6D ． 6答案：D8、．(2013年河北三摸)如图：⊙O 与AB 相切于点A ，BO 与⊙O 交于点C ，∠BAC=30°，则∠B 等于A.20°B.50°C.30°D. 60° 答案：C 二、填空题1、 (2013年河北省一摸)|如图8，OA 是⊙B 的直径，OA=4，CD 是⊙B 的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C 的坐标为．答案：(6,0) 三、解答题第10题图图81、（2013江苏东台实中）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．答案：（1）∠AMB=50° （4分）（2）连结AB，AD，∵BD∥AM,BD=AM∴四边形AMBD 为平行四边形,∵AM=BM,AM=DB, ∴BD=BM则证明四边形AMBD为菱形，∵AB=AD,则∠AMB=60°（4分）2、（2013江苏东台实中）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．（1）求、的值；（2）求直线PC的解析式；（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数据，，）答案：（1）（4分）（2）（3分） (3)⊙A与直线PC相交(可用相似知识，也可三角函数，求得圆心A到PC的距离d与r大小比较，从而确定直线和圆的位置关系。

中考数学复习专题33直线与圆的位置关系试题(A卷,含解析)(2021年整理)

2018届中考数学复习专题33 直线与圆的位置关系试题（A卷，含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届中考数学复习专题33 直线与圆的位置关系试题（A卷，含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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直线与圆的位置关系一、选择题1. （浙江衢州,9，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的点,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ )A.12B.2C.2D.3【答案】A 。

【逐步提示】要求sin ∠E 的值，可寻求直角三角形，或求得∠E 的大小即可，于是由EC 是⊙O 的切线,此时可连接OC ,得到OE ⊥CE ,即△ECO 是直角三角形,且∠ECO ＝90°，又由OA ＝OC ，∠A ＝30°，得到∠EOC ＝60°,从而有∠E ＝30°，进而求解。

【解析】连接OC ，∵EC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CE ，即△ECO 是直角三角形,且∠ECO ＝90°，又∵OA ＝OC ,∠A ＝30°，∴∠EOC ＝60°，即∠E ＝30°，∴sin ∠E ＝sin ∠30°＝12，故选择A .【解后反思】利用圆的切线性质求得∠E 的大小是求解问题的关键。

【关键词】圆的切线、锐角三角函数（浙江台州,10,4分）如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P,Q 分别是边BC 和半圆上的动点,连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ．6B ．1132C ．9D ．332【答案】C【逐步提示】第一步：不在圆上的一个点和圆上的一个点，求最长距离、最短距离的方法都是把不在圆上的那个点和圆心相连接画直线，那么与圆会有两个交点，如图1,PB 的长度就是最短离，PC 的长度就是最长距离。

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2018年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第33章直线与圆的位置关系一、选择题1、（2018宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8、若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A、3次B、5次C、6次D、7次【答案】B2、（2018浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A、13B、5C、 3D、2【答案】B3、（2018浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上、现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处、若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )D、22A、3B、4C、22【答案】C4、（2018浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）x y110B C AA 、点(0，3)B 、点(2，3)C 、点(5，1)D 、点(6，1)【答案】C5、（2018浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） x y110B C AA 、点（0，3）B 、点（2，3）C 、点（5，1）D 、点(6，1)【答案】C6、（2018山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O的半径为ba ab 的是（）【答案】C7、（2018湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67、5°【答案】D8、 (2018 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CD A O PB第13题图CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是A 、12B 、1C 、2D 、3【答案】C9、（2018台湾全区，33）如图(十五)，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC 、若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A 、作AC 的中垂线，交AB 于P 点B 、作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C 、作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点D 、过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点【答案】Ｄ10、（2018甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A 、20°B 、30°C 、40°D 、50°【答案】C 11、（2018四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】C AB D O C12、 (2018重庆綦江，7，4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为（）A 、6лB 、5лC 、3лD 、2л【答案】：D13、（2018湖北黄冈，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67、5°【答案】D 14、（2018山东东营，12，3分）如图，直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。

若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（）A 、2B 、3C 、4D 、 5【答案】B15、（2018浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）A 、与x 轴相交，与y 轴相切B 、与x 轴相离，与y 轴相交C 、与x 轴相切，与y 轴相交D 、与x 轴相切，与y 轴相离CD A O PB第13题图【答案】C16、（2018山东枣庄，7，3分）如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，PA =23,∠APO =30°，则O ⊙的半径为（）A 、1B 、3C 、2D 、4【答案】C二、填空题1、（2018广东东莞，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC 、若∠A ＝40°，则∠C ＝ °【答案】0252、（2018四川南充市，13，3分）如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点， AC 是⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度、 PO CBA【答案】503、（2018浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r 、用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C 、假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB 、若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为、OP A第16题图【答案】当08a <≤时，r a =；当22118 4.08,;41616a r a r r a r a >=+<≤==+时，或当当、 4、 (2018浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm 的两个点,A B 在在线l 上，它们分别以2 cm/s 和1 cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点,A B 分别平移到点11,A B 的位置时，半径为1 cm 的1A 与半径为1BB 的B 相切，则点A 平移到点1A 的所用时间为 s 、 l A B【答案】133或 5、（2018江苏苏州，16,3分）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D 、若CD=3，则线段BC 的长度等于__________、【答案】16、（2018江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO并延长交圆于点C ，连接BC 、若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为 ▲、【答案】32（第16题） AB O C7、（2018山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是、【答案】相交8、（2018广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC、若∠A＝40°，则∠C＝°【答案】0259、（2018山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm、（精确到0、1cm）图①（第17题）图②【答案】24、510、（2018四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____、C BA第13题（第11题图）【答案】20°11、（2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB ∥CD ，AB=4，设 CD、 CE 的长分别为x 、y ，线段ED 的长为z ，则z （x+y ）= 、【答案】8π12、（2018广东省，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC 、若∠A ＝40°，则∠C ＝ °【答案】025三、解答题1、（2018浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E 、 ⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD= 、（1）求证：CD ∥BF ；（2）求⊙O 的半径；（3）求弦CD 的长、【答案】（1）∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB ⊥BF∵AB ⊥CD∴CD ∥BF（2）连结BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB =90°∵∠BCD =∠BAD cos ∠BCD =43 FMA DO EC O C B∴cos ∠BAD =43=AB AD 又∵AD =3 ∴AB =4∴⊙O 的半径为2（3）∵cos ∠DAE =43=AD AE AD =3∴AE =49 ∴ED =47349322=⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴CD =2ED =3722、（2018浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC 、（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径、【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC =90°，∴∠ABC +∠DCB=90°，∵∠ACD =∠ABC ， ∴∠ACD +∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线、(2)在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=53，∴53AC EC =,35EC AC =; 在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=23，∴23AC BC =,32BC AC =; ∵BC -EC=BE ，BE =6，∴33625AC AC -=,解得AC =203, （第22题） AB CE DF AD EO C B∴BC=3201023⨯=、即圆的直径为10、 3、（2018安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D 、(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度、【答案】（1）证明：连接OC ， ……………………………………1分因为点C 在⊙O 上，OA =OC ，所以.OCA OAC ∠=∠ 因为CD PA ⊥，所以90CDA ∠=，有90CAD DCA ∠+∠= 、因为AC 平分∠PAE ，所以.DAC CAO ∠=∠……………3分所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=……4分又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以CD 为⊙O 的切线、 ………………5分（2）解:过O 作OF AB ⊥，垂足为F ，所以90OCD CDA OFD ∠=∠=∠= ，所以四边形OC DF 为矩形，所以,.OC FD OF CD == ……………………………7分因为DC +DA =6，设AD x =,则6.OF CD x ==-因为⊙O 的直径为10，所以5DF OC ==，所以5AF x =-、在Rt AOF △中，由勾股定理知222.AF OF OA +=即()()225625.x x -+-=化简得211180x x -+=，解得2x =或x=9、 ………………9分由AD DF <，知05x <<，故2x =、 ………10分从而AD =2，52 3.AF =-= …………………11分因为OF AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.AB AF ==…………12分4、（2018山东滨州，22，8分）如图，直线PM 切⊙O 于点M ,直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM , 连接OM 、BC 、求证：（1）△ABC ∽△POM ;(2)2OA 2=OP ·BC 、【答案】证明：（1）∵直线PM 切⊙O 于点M ，∴∠PMO=90°………………1分∵弦AB 是直径，∴∠ACB=90°………………2分∴∠ACB=∠PMO ………………3分∵AC ∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分∴△ABC ∽△POM ………………5分(2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴AB BC PO OM=………………6分又AB=2OA,OA=OM, ∴2OA BC PO OA =………………7分 ∴2OA 2=OP ·BC ………………8分5、（2018山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由、解：(1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ，又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ，(2) ∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AE AD AB=，（第22题图） PMO C B A FDO C EB A∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(2＋4)×2=12∴AB =23、(3) 直线FA 与⊙O 相切，理由如下：连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°， ∴22212(24)43BD AB AD =+=++=，BF =BO =1232BD =， ∵AB =23，∴BF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，∴直线FA 与⊙O 相切、6、（2018山东日照，21，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D 、求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD 、【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°，即∠ACD +∠ACO =90°、…① ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ，∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即21∠AOC +∠ACO =90°、 ② 由①，②，得：∠ACD -21∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；（2）如图，连接BC 、∵AB 是直径，∴∠ACB =90°、在Rt △ACD 与△Rt ACD 中，∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ，∴△ACD ∽△ABC ，∴ACAD AB AC =，即AC 2=AB ·AD 、7、（2018浙江温州，20，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F 、已知OA ＝3，AE ＝2，(1)求CD 的长；(2)求BF 的长、【答案】解：(1)连结OC ，在Rt △OCE 中，229122CE OC OE =-=-=、∵CD ⊥AB ， ∴342CD CE ==(2) ∵BF 是⊙O 的切线，∴FB ⊥AB ，∴CE ∥FB ，∴△ACE ∽△AFB ， ∴CE AE BF AB =，2226BF =， ∴62BF =8、（2018浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC 、（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径、（第22题） AB CE D【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线、(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=53，∴53ACEC=,35EC AC=;在Rt△ABC中，tan∠ABC=23，∴23ACBC=,32BC AC=;∵BC-EC=BE，BE=6，∴33625AC AC-=,解得AC=203,∴BC=3201023⨯=、即圆的直径为10、9、（2018广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C、（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，3tan4A=，求OD的长、【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC、（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，∴1AD=AE=42，又3tan4A=，∴OD=3、10、（2018山东济宁，20，7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由、【答案】（1）证明：连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO=∠EDO ，∠DAO=∠DEO =90°，∴∠AOD=∠EOD=12∠AOE ， ∵∠ABE=12∠AOE ，∴∠AOD=∠ABE ， ∴OD ∥BE（2）OF =12CD ，理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB=∠OCE∵AM ∥BN ，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°由（1）得∠ADO=∠EDO ，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF=12CD 、11、（2018山东聊城，23，8分）如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的MNFEO D C B A 第20题 MNFEO D C B A 第20题中点，CD ⊥OA 交半圆于点D ，点E 是 BD的中点，连接OD 、AE ，过点D 作D P ∥AE 交BA 的延长线于点P ，（1）求∠AOD 的度数；（2）求证：P D 是半圆O 的切线；【答案】（1）∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝21OA ＝21OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°，在Rt △OCD 中，cos ∠COD ＝21 OD OC ，∴∠COD ＝60°，即∠AOD ＝60°，（2）证明：连接OC ，点E 是BD 弧的中点，DE 弧＝BE 弧，∴∠BOE ＝∠DOE ＝21∠DOB ＝21 (180°－∠COD )＝60°，∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO ，又∠EAO ＋∠AEO ＝∠EOB ＝60°，∴∠EAO ＝30°，∵P D ∥AE ，∴∠P ＝∠EAO ＝30°，由（1）知∠AOD ＝60°，∴∠P DO ＝180°－(∠P ＋∠P OD )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴P D 是圆O 的切线12、（2018山东潍坊，23，11分）如图，AB 是半圆O 的直径，AB =2、射线AM 、BN 为半圆的切线、在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC 、过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F 、过D 点做半圆的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q 、（1）求证：△ABC ∽ΔOFB ；（2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点、【解】（1）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC 、又∵OE ⊥BC ，∴OE //AC ，∴∠BAC =∠FOB 、∵BN 是半圆的切线，故∠BCA =∠OBF =90°、∴△ACB ∽△OBF 、（2）由△ACB ∽△OBF ，得∠OFB =∠DBA ，∠DAB =∠OBF =90°，∴△ABD ∽△BFO ，当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD ≌△BFO 、∴AD =BO=12AB =1、 ∵DA ⊥AB ，∴DA 为⊙O 的切线、连接OP ，∵DP 是半圆O 的切线，∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四边形ADPO 为正方形、∴DP//AB ，∴四边形DABQ 为矩形、∴BQ =AD =1、（3）由（2）知，△ABD ∽△BFO ， ∴BF AB OB AD =，∴2BF AD=、 ∵DPQ 是半圆O 的切线，∴AD =DP ，QB =QP 、过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，222DQ QK DK =+，∴()()2222AD BQ AD BQ +=-+， ∴1BQ AD=，∴BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点、13、（2018四川广安，29，10分）如图8所示、P 是⊙O 外一点、PA 是⊙O 的切线、A 是切点、B 是⊙O 上一点、且PA =PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q 、（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证： AQ ·PQ = OQ ·BQ ；（3）设∠AOQ =α、若cos α=45、OQ = 15、求AB 的长【答案】（1）证明：如图，连结OP∵PA=PB ，AO=BO ，PO=PO∴△APO ≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB 是⊙O 的切线（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°∴△QPB ∽∆QOA ∴PQ BQ OQ AQ= 即AQ ·PQ = OQ ·BQ （3）解：cos α=AO OQ =45∴AO =12 （4） ∵△QPB ∽∆QOA ∠BPQ=∠AOQ=α∴tan ∠BPQ=BQ PB =34∴PB =36 PO=1210 ∵12AB ·PO = OB ·BP ∴AB =3610514、（2018江苏淮安，25，10分）如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°、(1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？(2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长、 _ Q_ P_ O_ B_ A 图8 _ Q_ P_ O_ B_ A图8C O BA D【答案】(1)答：直线BD 与⊙O 相切、理由如下：如图，连接OD ，∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，即OD⊥BD ，∴直线BD 与⊙O 相切、(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，又∵OC=OD ，∴△DOB 是等边三角形，∴OA=OD=CD=5、又∵∠B=30°，∠ODB=30°，∴OB=2OD=10、∴AB=OA+OB=5+10=15、15、（2018江苏南通，22，8分）（本小题满分8分）如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD ⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于C ，OC 平分∠AOB 、求∠B 的度数、【答案】60°、16、（2018四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切、(1)求证：OB 丄OC ;(2)若AD = 12，∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积、【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD ，在直角△AOB 和直角△AOB F 中 ∵⎩⎨⎧AO=FO OB=OB∴△AOB ≌△AOB （HL ）同理△COD ≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB ⊥OCF(2) 过点做O 1G,O 1H 垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O 1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=63,OC=12,CG=3x, O 1C =6-x,根据勾股定理可知O 1G²+GC²=O 1C² x²+3x²=（6-x ）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2FGH17、（2018四川乐山24，10分）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作 O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=23,求BE的长【答案】⑴证明：连接OD∵OA=OD∴∠ADO=∠OAD∵AB为⊙O的直径，∴∠ADO+∠BDO=90°∴在Rt ΔABD 中，∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD ⊥CE即CE 为⊙O 的切线18、（2018四川凉山州，27，8分）如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为 CF的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H 。