2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷(十五)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷(十五)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷（十五）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则（）A． B． C．D．3．已知等差数列满足，，则它的前8项的和为A．95 B．80 C．40 D．204．某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（）.A．B．C．D．5．已知向量，，则在上的投影为（）A．2 B．C．1 D．-16．已知三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A．6 B．24 C． 120 D．7208．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，的长为半径作圆，与在第一象限交于点，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．49．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．2π⎛⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭10.已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 019，则g (x )的最大值与最小值之和为( ) A ．0 B ．1 C ．2 019 D ．4 03811.已知l 是直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是 ( )A. 若l ∥α,l ∥β,则α∥βB. 若α⊥β,l ∥α,则l ⊥βC. 若l ⊥α,l ∥β,则α⊥βD. 若l ∥α,α∥β,则l ∥β12．已知函数，且在上单调递增，且函数与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为__________．14．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______.15．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高”乙说：“我的成绩一定比丙高”丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名 16.如图所示,在杨辉三角中,斜线上方从1开始箭头所指的数组成一个锯齿数列1,3,3,4,6,5,10,….记其前n 项和为S n ,则S 19= .三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为2，求的值．18.(本小题满分12分)如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,PCB PM ∠=︒∥,12BC PM BC ==，，又1120AC ACB AB PC =∠=︒⊥，，，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.（1）求证： PC AC ⊥； （2）求点B 到平面ACM 的距离。
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷(十)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷（十）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i是虚数单位，复数1ii+=（）A. 1i-+ B. -1i- C. 1i+ D. 1i-【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算，化简复数1i1ii+=-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数()1i(i)1i1ii i(i)+⋅-+==-⨯-，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()U C A B ⋂=（ ） A. {}|12x x <≤ B. {}12x x ＃C. {}11x x -≤< D. {}|1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】由补集的运算求得{}1U C A x x =≥，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}{}1,12A x x B x x =<=-≤≤，则{}1U C A x x =≥， 根据集合的并集运算，可得()U C A B ⋂={}12x x ≤≤，故选B ．【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．若高于80分的人数是15，则该班的学生人数是（）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，可得在[]80,100之间的频率为0.3，再根据高于80分的人数是15，即可求解学生的人数，得到答案． 【详解】由题意，根据给定频率分布直方图，可得在[]80,100之间的频率为200.00150.3⨯=，又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是15500.3=人，故选C ． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 32-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由210x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6.已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与此抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A '，直线A F '的斜率为，则AA F '的面积为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，求出点A 的坐标，得到||4AA '=，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设(1,2),(0)A a a '->，则2(,2)A a a ，因为直线A F '的斜率为，所以211a=--，所以a = 所以2||14AA a '=+=，所以AA F '∆的面积为142S =⨯⨯=A ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应用抛物线的几何性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A.12πB.6π C.3π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度，可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.设l 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α且αβ⊥，则l β⊥ B. 若//γα且//γβ，则//αβ C. 若//l α且//l β，则//αβ D. 若γα⊥且γβ⊥，则//αβ【答案】B 【解析】 【分析】A 中，l 与β可能相交、平行或l β⊂；B 中，由面面平行的性质可得//αβ；C 中，α与β相交或平行；D 中，α与β相交或平行，即可求解．【详解】由l 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，在A 中，若//l α且αβ⊥，则l β⊥，则l 与β可能相交、平行或l β⊂； 在B 中，若//γα且//γβ，则//αβ，由面面平行的性质可得//αβ； 在C 中，若//l α且//l β，则//αβ，则α与β相交或平行； 在D 中，若γα⊥且γβ⊥，则//αβ，则α与β相交或平行， 故选B ．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.54B. 5C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为c e a ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件知：0x <时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，1x >时，()0y xf x '=->，由此即可求解．【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>； 所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<， 当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->， 可得选项B 符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，主要导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.已知当m ，[]1,1n ∈-时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是（ ）A. m n >B. m n <C. m n <D. m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】设()3sin2xf x x π=+，利用导数求得函数()f x 在[1,1]-单调递增，再根据()()f m f n <，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设()3sin2xf x x π=+，则()23cos22xf x x ππ'=+，当[1,1]x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 又由33sinsin22mnm n ππ<++，所以()()f m f n <，即m n <，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中设出新函数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =的面积为（ ）A.B. C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得2444sin()3a B a a aπ++==+，又由44a a +≥=，得到sin()13B π+=，解得6B π=，由余弦定理c =，利用面积公式，即可求解．【详解】由题意知()22sin 40a a B B -+=，可得24sin()403a a B π-++=，即24sin()43a B a π+=+，即2444sin()3a B a a aπ++==+，又由44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时等号成立，所以sin()13B π+=，所以32B ππ+=，解得6B π=，在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即222222cos6c c π=+-⨯，整理得2240c --=，解得c =，所以三角形的面积11sin 2226S ac B π==⨯⨯= 故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换公式，以及余弦定理的应用，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，化简求得6B π=，再根据余弦定理求得c =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题．13.已知1sin 3α=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式求得cos 3α=，进而求得tan α，即可求解，得到答案． 【详解】根据三角函数的基本关系式可得22218cos 1sin 1()39αα=-=-=，又因为,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos 3α=，所以sin tan cos 4ααα==． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.已知函数()()2log ,011,1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】由1x >时，得到函数()f x 是周期为1的函数，可得201911()(1009)()222f f f =+=，即可求解．【详解】由函数()()2log ,011,1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，可得当1x >时，满足()(1)f x f x =-，所以函数()f x 是周期为1的函数，所以122201911()(1009)()log 1222f f f =+===-．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，以及函数的周期性的应用，其中解答中得到函数的周期性，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =，2DF FB =，则AE AF ⋅=____________．【答案】52【解析】 【分析】设,AB a AD b ==，则1,2a b ==，得到12AE b a =+，2133AF a b =+，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==，则1,2a b ==， 又由CE ED =，2DF FB =，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE b a =+，221()333AF b a b a b =+-=+， 所以22121151()()233363AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+2021515112cos6023632=⨯+⨯⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．16.在三棱椎P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，PA BC ⊥，则该三棱椎外接球的表面积为__________．【答案】12π 【解析】由于PA ＝PB ，CA ＝CB ，PA ⊥AC ，则PB ⊥CB ，因此取PC 中点O ，则有OP ＝OC ＝OA ＝OB ，即O 为三棱锥P －ABC 外接球球心，又由PA ＝PB ＝2，得AC ＝AB＝，所以PC=2412S ππ=⨯=．点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=．（1）求n a ．（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1) ()23n a n =- (2) 2(4)216n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；(2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．【详解】(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=，由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1232nn n n b a n +=⋅=-⋅，()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅，两式相减得()()2341222222232n n n n T T n ++-=⋅-++++-⋅，()1228128(3)2(4)21612n n n n n -++--+-⋅=-⋅+=-，即2(4)216n n T n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.已知三棱锥P ABC -中，ABC △为等腰直角三角形，1AB AC ==，PB PC ==设点E 为PA 中点，点D 为AC 中点，点F 为PB 上一点，且2PF FB =．（1）证明：//BD 平面CEF ；（2）若PA AC ⊥，求三棱锥P ABC -的表面积． 【答案】(1)见证明；(2)4 【解析】【分析】（1）连接PD 交CE 于G 点，连接FG ，由三角形的性质证得//FG BD ，再由线面平行的判定定理，即可作出证明． （2）由P A A C ⊥，求得2PA =，得到,ABCPACSS，利用2ABCPACPBCS SSS=++表面积，即可求解．【详解】（1）连接PD 交CE 于G 点，连接FG ， 点E 为PA 中点，点D 为AC 中点，∴点G 为PAC的重心，2PG GD ∴=，2PF FB =，//FG BD ∴，又FG ⊂平面CEF，BD ⊄平面CEF，//BD ∴平面CEF ．（2）因为AB AC =，PB PC =，PA PA =， 所以PAB △全等于PAC ，PA AC ⊥，PA AB ∴⊥，PA 2∴=，所以12ABCS=，1PACS =在PBC 中，BC =PB PC ==BC 2=， 所以13222PBCS==， 1322=422ABC PAC PBCS SSS=++=++表面积．【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -=或07x y ++=【解析】 【分析】（1）由题意，设(),C x y ，得到12y k x =+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线:MN x my =-1212,y y y y +，再由2MABNABSS=，得到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =-联立方程组22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MABNABSS=，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y ymy y m y y+-==++=-+，解得22 7m=，即m=所以直线MN的方程为07x y-+=或07x y++=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元新个税政策的税率表部分内容如下：（1）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这50名公司白领的月平均缴纳个税金额为多少？ 【答案】(1)950元(2) 1150元 【解析】 【分析】（1）由李某月应纳税所得额（含税）为11600元，根据税率的计算方法，即可求解． （2）根据题意，根据税率的计算方法，即可求解在新个税政策下这50名公司白领月平均缴纳个税金额，得到答案．【详解】（1）李某月应纳税所得额（含税）为：1960050001000200011600---=元， 不超过3000的部分税额为30003%90⨯=元， 超过3000元至12000元的部分税额为860010%860⨯=元，所以李某月应缴纳的个税金额为90860950+=元． （2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：2000050001000200012000---=元，月应缴纳的个税金额为：90900990+=元；有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：200005000100014000--=元， 月应缴纳的个税金额为：909004001390++=元；没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：200005000200013000--=元， 月应缴纳的个税金额为：909002001190++=元；没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000500015000-=元， 月应缴纳的个税金额为：909006001590++=元；因为()990301390101190515905501150⨯+⨯+⨯+⨯÷=元，所以在新个税政策下这50名公司白领月平均缴纳个税金额为1150元．【点睛】本题主要考查了函数实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用税率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21.已知函数()1ln xf x x+=， （1）已知e 为自然对数的底数，求函数()f x 在21e x =处的切线方程；（2）当1x >时，方程()()()110f x a x a x=-+>有唯一实数根，求a 的取值范围． 【答案】(1) 422e 3e y x =- (2) 01a << 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()2ln x f x x -'=，得到4212e f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，221e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程； （2）当时，方程()()11f x a x x=-+，即()2ln 0x a x x --=，令()()2ln h x x a x x =--，求得()221ax ax h x x-++'=，令()221r x ax ax =-++，分类讨论利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()1ln xf x x+=，定义域()0,∞+， 则()2ln x f x x -'=，所以4212e f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，221e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()f x 在21e x =处的切线方程为2421e 2e e y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得422e 3e y x =-， 即函数()f x 在21ex =处的切线方程422e 3e y x =-． （2）当时，方程()()11f x a x x=-+，即()2ln 0x a x x --=，令()()2ln h x x a x x =--，有()10h =，()221ax ax h x x-++'=，令()221r x ax ax =-++，()1,x ∈+∞因为0a >，所以()r x 在()1,+∞单调递减，①当()110r a =-≤即1a ≥时， ()0r x <，即()h x 在()1,+∞单调递减，所以()()10h x h <=，方程()()11f x a x x=-+无实根． ②当()10r >时，即 0<<1a 时，存在()01,x ∈+∞，使得()01,x x ∈时，()0r x >，即()h x 单调递增； ()0,x x ∈+∞时，()0r x <，即()h x 单调递减； 因此()()0max 00h x h >=，取11x a =+，则21111111ln 111ln 11h a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令11t a=+，()1t >， 由()ln h t t t =-，则()11h t t'=-，1t >，所以()0h t '<，即()h t 在1t >时单调递减， 所以()()10h t h <=． 故存在101,1x x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()10h x =． 综上，a 的取值范围为0<<1a .【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在极坐标系中，曲线C 的方程为()2cossin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标，直线l的参数方程为2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为()20x ay a =>，直线l 的普通方程为10x y +-= ； (2) 1a =【解析】 【分析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)把l 的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得12t t +=，1282t t a =+，可得到2211,,PM N MN t t t t P ===-，根据因为PM ，MN ，PN 成等比数列，列出方程，即可求解．【详解】(1)由题意，曲线C 的极坐标方程可化为()22cossin ,0a a ρθρθ=>，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线C 的直角坐标方程为()20x ay a =>，由直线l的参数方程为2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得10x y +-=，即直线l 的普通方程为10x y +-=；(2)把l的参数方程221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线方程中，得()()2820t t a -++=，由2280a a ∆=+>，设方程的两根分别为1t ，2t ，则120t t +=>，12820t t a =+>，可得10,t >，20t >． 所以12MN t t =-，1PM t =，2PN t =．因为PM ，MN ，PN 成等比数列，所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，则()()2582a =+，解得解得1a =或4a =-（舍）， 所以实数1a =.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．23.设函数()22f x x x a =-+-．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）当()2f x x a =-+时，求实数x 的取值范围．【答案】(1) (][),02,-∞⋃+∞ (2) 当4a ≤时，x 的取值范围为22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22a x ≤≤． 【解析】【分析】 （1）当1a =时，分类讨论把不等式()3f x ≥化为等价不等式组，即可求解．(2)由绝对值的三角不等式，可得()()222f x x a x x a ≥---=-+，当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，分类讨论，即可求解．【详解】（1）当1a =时，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 不等式()3f x ≥可化为33312x x -+≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或13122x x +≥⎧⎪⎨<<⎪⎩或3332x x -≥⎧⎨≥⎩ ， 解得不等式的解集为(][),02,-∞⋃+∞．(2)由绝对值的三角不等式，可得()()22222f x x x a x a x x a =-+-≥---=-+， 当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，所以当4a ≤时，x 的取值范围为22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22a x ≤≤． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
河北省衡水中学2020年高考数学一模试卷及答案分析点评(40页)
河北省衡水中学2020年高考数学一模试卷（文科）数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1] 2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．已知点M在角q终边关于y＝x对称的曲线上，且|OM|＝1，则M 的坐标为（）A．（cos q，sin q）B．（﹣cos q，sin q）C．（sin q，cos q）D．（﹣sin q，cos q）4．在如图所示的程序框图中，若a＝（），b＝log42，c＝log23•log32，则输出的x等于（）A．0.25B．0.5C．1D．25．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8：00～8：40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9：10～10：00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A．B．C．D．6．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数＜3；②标准差s＜2；③平均数＜3；且标准差s＜2；④平均数＜3；且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤8．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面P AB，C为P A中点，P A＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（）A．2B．2C．6D．29．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q 10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，若|BP|＝a|BM|，|OM|＝d．则实数a的值是（）A．B．2C．D．11．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）＝，若曲线y＝sin x+上存在点（x 0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]二、填空题（共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．在平面直角坐标系中，若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y 的最大值为．14．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．15．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y 轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则|MN|的最小值为．16．已知O为△ABC的外心，且A＝，+＝2m，则m＝．三、解答题（本大题共5小题，17─21题每题12分，22、23选做一题10分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若数列{a n+t}是等比数列，求t的取值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ．（2）在线段PC 上是否存在一点Q 使得A ，E ，Q ，F 四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档 第二档 第三档 每户每月用电量（单位：度）[0，200] （200，400] （400，+∞）电价（单位：元/度） 0.61 0.66 0.91 例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61+（400﹣200）×0.66+（410﹣400）×0.91＝263.1元． 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率①[0，100]②（100，200]③（200，300]④（300，400]⑤（400，500]⑥（500，600]合计（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y1，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线P A1，P A2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）＝a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+．二选一：（本小题满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1：（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：．（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．[选修45：不等式选讲]（10分）23．若a＞0，b＞0，且．（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，使得的值为？并说明理由．2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lgx≤0}＝（0，1]，得M∪N＝{0，1}∪（0，1]＝[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】由已知得出x＝（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数【解答】解：由已知，x＝（1+i）（1﹣yi），计算x＝1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi＝2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．3．已知点M在角q终边关于y＝x对称的曲线上，且|OM|＝1，则M 的坐标为（）A．（cos q，sin q）B．（﹣cos q，sin q）C．（sin q，cos q）D．（﹣sin q，cos q）【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两点关于直线y＝x对称的特点，得出结论．【解答】解：由题意可得点M的横坐标为sin q，纵坐标为cos q，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点关于直线y ＝x对称的特点，属于基础题．4．在如图所示的程序框图中，若a＝（），b＝log42，c＝log23•log32，则输出的x等于（）A．0.25B．0.5C．1D．2【分析】由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，根据对数函数的性质比较出a、b、c的大小关系即可．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，由于：a＝（）＝；b＝log42＝；c＝log23•log32＝1，可得：a＜b＜c，则输出x的值是1．故选：C．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，以及对数函数的性质的应用，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8：00～8：40，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在9：10～10：00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，此学生在9：10～10：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在9：10～9：20之间随机到达教室，区间长度为10，即可求出概率【解答】解：他在9：10～10：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于10分钟，则他在9：10～9：20之间随机到达教室，区间长度为10，∴他在9：10～10：00之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是＝，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，面积，还是体积类型，再应用概率公式求解．6．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有＝＝…＝，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）＝（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1＝a2＝a3＝…＝a n＝0，则a1，a2，…，a n 不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．7．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数＜3；②标准差s＜2；③平均数＜3；且标准差s＜2；④平均数＜3；且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤【分析】对①②③举反例判断，对于④分情况讨论，对于⑤结合题意判断即可．【解答】解：①错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数＝2＜3，但不符合题意，②错，举反例：6，6，6，6，6，6，6，其标准差s＝0＜2，但不符合题意，③错，举反例：0，0，0，0，0，1，6，平均数＝1＜3，且标准差s＜2；但不符合题意，④对，若极差小于2，显然符合条件，若极差小于等于2，有可能（1）0，1，2；（2）1，2，3；（3）2，3，4；（4）3，4，5；（5）4，5，6．在平均数＜3的条件下，只有（1）（2）（3）成立，符合条件．⑤对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．故选：D．【点评】本题考查了平均数，极差，方差等基本知识，考查分类讨论思想，是一道常规题．8．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面P AB，C为P A中点，P A＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（）A．2B．2C．6D．2【分析】由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．【解答】解：如图，沿圆锥母线P A剪开再展开，∵P A＝4，PO＝6，∴OA＝，则圆锥底面周长为，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为．故选：A．【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．9．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．【解答】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，若|BP|＝a|BM|，|OM|＝d．则实数a的值是（）A．B．2C．D．【分析】由抛物线的性质可得|OF|＝|OA|＝|AB|，再由题意可得＝＝，进而可得a的值．【解答】解：由抛物线的性质得|PF|＝d，因为|OM|＝d，|OM|＝|PF|，因为B，O关于准线对称，设准线与x轴的交点为A，所以|OF|＝|OA|＝|AB|，所以＝，而∠MBO＝∠FBP所以＝＝，即|BP|＝|BM|，所以a＝，故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质，及对应边成比例的性质，属于中档题．11．如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为（）A．B．C．D．【分析】由正、侧视图得当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，推导出sinα＝，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，由此能求出切面的面积．【解答】解：如图1，由正、侧视图得：当凳脚所在直线为PC时，过P作P A⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则∠PDA＝∠PBA＝60°，设∠PCA＝α，则α为PC与底面所成角，∴P A＝，AC＝，PC＝，∴sinα＝，如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，∠PCA＝α，∴sin，由题意知EC＝2，∴EP＝＝，∴切面的面积为S菱形PMEN＝＝＝（cm2）．故选：A．【点评】本题考查切面面积的求法，考查棱柱的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．设函数f（x）＝，若曲线y＝sin x+上存在点（x 0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]【分析】利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）＝y0．令函数f（x）＝x，化为a＝x2﹣lnx﹣x．令h（x）＝x2﹣lnx﹣x，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵﹣1≤sin x≤1，∴当sin x＝1时，y＝sin x+取得最大值y＝+＝e，当sin x＝﹣1时，y＝sin x+取得最小值y＝﹣+＝1，即函数y＝sin x+的取值范围为[1，e]，若y＝sin x+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0成立，则y0∈[1，e]．且f（y0）＝y0．若下面证明f（y0）＝y0．假设f（y0）＝c＞y0，则f（f（y0））＝f（c）＞f（y0）＝c＞y0，不满足f（f（y0））＝y0．同理假设f（y0）＝c＜y0，则不满足f（f（y0））＝y0．综上可得：f（y0）＝y0．y0∈[1，e]．∵函数f（x）＝，的定义域为（0，+∞），∴等价为＝x，在（0，e]上有解即平方得lnx+x+a＝x2，则a＝x2﹣lnx﹣x，设h（x）＝x2﹣lnx﹣x，则h′（x）＝2x﹣1﹣＝＝，由h′（x）＞0得1＜x≤e，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x＝1时，函数取得极小值，即h（1）＝1﹣ln1﹣1＝0，当x＝e时，h（e）＝e2﹣lne﹣e＝e2﹣e﹣1，则0≤h（x）≤e2﹣e﹣1．则0≤a≤e2﹣e﹣1．故选：C．【点评】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．在平面直角坐标系中，若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为8．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：作出x，y满足约束条件对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，1），此时z max＝3×2+2×1＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．【分析】由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．代入函数y＝e kx+b，解方程，可得k，b，再由x＝33，代入即可得到结论．【解答】解：由题意可得，x＝0时，y＝192；x＝22时，y＝48．代入函数y＝e kx+b，可得e b＝192，e22k+b＝48，即有e11k＝，e b＝192，则当x＝33时，y＝e33k+b＝×192＝24．故答案为：24．【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．15．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y 轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则|MN|的最小值为2﹣2．【分析】由题意，根据圆的对称性，可得当OC⊥MN时，|MN|取最小值．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，MN与圆C相切，∴根据圆的对称性，当OC⊥MN时，|MN|取最小值，如图，|OC|＝＝，，|MN|的最小值为2（）＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．已知O为△ABC的外心，且A＝，+＝2m，则m＝．【分析】先将等式左右两边同时乘以，得：+＝2m2，再利用由正弦定理得：sin C cos B+cos C sin B＝m然后利用两角的和差公式求解【解答】解：∵+＝2m等式两边同时乘得：+＝2m2又＝＝2AO＝∴2+2＝4m由正弦定理得：+＝又A＝∴sin A＝∴sin C cos B+cos C sin B＝m∴m＝sin（B+C）＝sin A＝故应填【点评】本题考查了向量的数量积，正弦定理及两角的和差公式，属难度较大的题三、解答题（本大题共5小题，17─21题每题12分，22、23选做一题10分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若数列{a n+t}是等比数列，求t的取值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的等比中项求出t的值．（2）利用等比数列的定义求出数列的通项公式．（3）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）由，得a1＝1，当n＞1时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2a n﹣1+（n﹣1），即a n＝2a n﹣1+1，所以a2＝3，a3＝7，依题意，（3+t）2＝（1+t）×（7+t），解得t＝1．（2）有（2）知a n＝2a n﹣1+1，所以a n+1＝2（a n﹣1+1），又因为a1+1＝2，所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（3）由（2）知，则．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用及数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF∥平面P AD．（2）在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取P A的中点M，连接MD，MF，证明四边形DEFM 为平行四边形，可得EF∥DM，由直线与平面平行的判定可得EF ∥平面P AD；（2）取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QC＝2：1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面，然后证明即可．【解答】解：（1）证明：如图，取P A的中点M，连接MD，MF，∵F，M分别为PB，P A的中点，∴FM∥AB，FM＝AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E为CD的中点，∴DE∥AB，DE＝AB．∴DE∥FM，DE＝FM，则四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM．∵EF⊄平面P AD，DM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD；（2）存在点Q符合题目条件，且此时PQ：QC＝2：1．取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QC＝2：1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面．证明如下：在平行四边形ABCD中，∵E，H分别为CD，AB的中点，∴CH∥AE，又F是PB的中点，∴G是△P AB的重心，且PG：GH＝2：1．又PQ：QC＝2：1，∴GQ∥HC，∵CH∥AE，∴GQ∥AE，∴GQ与AE确定一个平面α，而F∈直线AG，∴F∈α，则A，E，Q，F四点共面．故在线段PC上存在一点Q，使得A，E，Q，F四点共面．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，平面的基本性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19．（12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档[0，200]（200，400]（400，+∞）每户每月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65＝266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61+（400﹣200）×0.66+（410﹣400）×0.91＝263.1元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率①[0，100]②（100，200]③（200，300]④（300，400]⑤（400，500]⑥（500，600]合计（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y1，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？【分析】（1）完成频率分布表，作出频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出该100户用户11月的平均用电量，由此能估计全市住户11月的平均用电量．（3）求出y1＝0.65x，y2＝，由y2≤y1，解得x≤≈423.1，从而x的最大值为423．根据频率分布直方图，能估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．【解答】解：（1）频率分布表如下：组别月用电量频数频率①[0，100]40.04②（100，200]120.12③（200，300]240.24④（300，400]300.3⑤（400，500]260.26⑥（500，600]40.04合计1001频率分布直方图如下：（2）该100户用户11月的平均用电量：度所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．（3）y1＝0.65x，y2＝，由y2≤y1，得或或，解得x≤≈423.1，∵x∈N，∴x的最大值为423．根据频率分布直方图，x≤423时的频率为：0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26＝0.7598＞0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．【点评】本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、概率的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），而且过点H（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线P A1，P A2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．【分析】（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2＝3，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．【解答】（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，∴a2﹣b2＝3，①∵椭圆过点．∴，②①②解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为．…（4分）解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以a＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线P A1：，令y＝0，得；直线P A2：，令y＝0，得；设圆G的圆心为，则r2＝，，而，所以，所以，所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线P A1：，令y＝0，得；直线P A2：，令y＝0，得；则，而，所以，所以，由切割线定理得OT2＝|OM|•|ON|＝4所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．21．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）＝a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）＝f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）＝0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）＝a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝4x﹣x4，可得f′（x）＝4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）＝﹣12，曲线y＝f（x）在点P处的切线方程为y＝f′（x0）（x﹣x0），即g （x）＝f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）＝f（x）﹣g（x），即F（x）＝f（x）﹣f′（x0）（x ﹣x0），则F′（x）＝f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）＝0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）＝0，即对任意实数x，都有f （x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）＝a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f （x2）＝a＝g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝h（x），可得h（x）＝4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）＝﹣x4≤0，即f （x）≤h（x）．设方程h（x）＝a的根为x1′，可得，∵h（x）＝4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）＝a＝f （x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．二选一：（本小题满分10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1：（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：．（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．【分析】（1）直接利用和转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和特殊的点的位置的应用求出结果．【解答】解：（1）由消去参数α得x2+y2＝4，即曲线C1的普通方程为x2+y2＝4，又由得，即为，即曲线C2的平面直角坐标方程为．（2）∵圆心O到曲线C2：的距离，如图所示，∴直线与圆的切点A以及直线与圆的两个交点B，C即为所求．∵OA⊥BC，则，直线l OA的倾斜角为，即A点的极角为，∴B点的极角为，C点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修45：不等式选讲]（10分）23．若a＞0，b＞0，且．。
2020年河北省衡水市高考(文科)数学(6月份)联考试卷 (解析版)
2020年河北省衡水市高考数学联考试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{0，1，3，5，7}，N＝{x|x（x﹣5）＜0}，则M∩N＝（）A．{1，3}B．{0，1，3}C．{1，3，5}D．{0，1，3，5} 2．已知复数z满足z•（3﹣2i）＝13i，则z的虚部为（）A．﹣2B．3i C．1D．33．已知cos（π+α）＝，则sin（+α）的值为（）A．B．C．D．4．设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则k ＝（）A．2B．﹣2C．6D．﹣65．记曲线y＝2a x﹣2﹣1（a＞0且a≠1）所过的定点为P，若点P在双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则C的离心率为（）A．B．C．D．26．某市2015年至2019年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x之间的关系如表所示：年份20152016201720182019年份代号x01234年销量y101520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m 的值为（）A．22B．25.5C．28.5D．307．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为，且短轴长为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．8．将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则异面直线PB与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB作正方形，以点A或点B为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以该木塔底层的边AB作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上．经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：≈1.414）A．66.1米B．67.3米C．68.5米D．69.0米11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有3f（x）+xf'（x）＜0，且f（2）＝10，则不等式x2f（x）＞的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）12．已知函数f（x）＝|cos2x+cos x|，有下列四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的值域为；③f（x）在上单调递减；④f（x）在[﹣2π，2π]上恰有8个零点．其中所有正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．命题“∃x0∈（1，+∞），x02+x0≤2”的否定为．14．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S3＝15，a3+a4+a5＝27，则S10＝．15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的共顶点的三条棱长度之比为1：1：2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为．16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A﹣a cos A cos C＝c cos2A，则tan A＝；若a＝2，则b+c的取值范围为（用区间表示）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，且a4＝a22，a5＝32．（1）求{a n}的通项公式；（2）求使得S n＜2020成立的n的最大值n0．18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100），得到如图频率分布直方图．（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝，点D，E分别为线段CC1，AB的中点．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求三棱锥D﹣AC1E的体积．20．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O坐标原点，过点F的直线l与C交于A，B两点．（1）若直线l与圆相切，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴的交点为D，且，，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21．已知函数f（x）＝mx2+（x﹣1）e x+1（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当时，f（x）＞mx2+x3．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）点P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求证：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）≥2﹣x；（2）若函数f（x）的值域为[2，+∞），求的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{0，1，3，5，7}，N＝{x|x（x﹣5）＜0}，则M∩N＝（）A．{1，3}B．{0，1，3}C．{1，3，5}D．{0，1，3，5}【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．解：∵集合M＝{0，1，3，5，7}，N＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴M∩N＝{1，3}．故选：A．2．已知复数z满足z•（3﹣2i）＝13i，则z的虚部为（）A．﹣2B．3i C．1D．3【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z•（3﹣2i）＝13i，∴．∴z的虚部为3．故选：D．3．已知cos（π+α）＝，则sin（+α）的值为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式将已知和所求化简求值．解：因为，所以．故选：C．4．设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则k ＝（）A．2B．﹣2C．6D．﹣6【分析】利用向量平行的性质直接求解．解：∵，，，∴，解得k＝﹣6．故选：D．5．记曲线y＝2a x﹣2﹣1（a＞0且a≠1）所过的定点为P，若点P在双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则C的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】求出定点P的坐标，求出双曲线的渐近线方程，代入求解即可推出双曲线的离心率．解：曲线y＝2a x﹣2﹣1（a＞0且a≠1）所过的定点为P（2，1），点P在双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则C的一条渐近线的斜率，所以双曲线的离心率为＝．故选：B．6．某市2015年至2019年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x之间的关系如表所示：年份20152016201720182019年份代号x01234年销量y101520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m 的值为（）A．22B．25.5C．28.5D．30【分析】求出样本中心，利用回归直线方程过样本中心，即可求出m的值．解：因为＝，所以＝，因为回归直线方程过样本中心，所以10+15+20+m+35＝22×5，解得m＝30．故选：D．7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为，且短轴长为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a，b，得到椭圆方程．解：由题意可得，解得a＝2，，因为椭圆C的焦点在x轴上，所以C的标准方程为．故选：B．8．将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得，然后得到函数g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称，排除A，B；求出g（1）的值，可以排除C，即可得答案．解：根据题意，函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数，又由f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），则函数为奇函数，其图象关于原点对称，故函数g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称，排除A，B；又由g（1）＝sin1＞0，排除C．故选：D．9．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则异面直线PB与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD．因为AB∥CD，所以∠PBA即为异面直线PB与CD所成的角．因为，所以∠PBA＝45°，所以．如图所示：故选：A．10．在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB作正方形，以点A或点B为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以该木塔底层的边AB作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上．经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：≈1.414）A．66.1米B．67.3米C．68.5米D．69.0米【分析】由已知结合正弦定理可估算AB的取值范围，结合选项可求．解：设该木塔的高度为h，则由图可知（米），同时，∴，即木塔的高度h约在67.165米至67.9米之间，对照各选项，只有B符合．故选：B．11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有3f（x）+xf'（x）＜0，且f（2）＝10，则不等式x2f（x）＞的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【分析】构造函数g（x）＝x3f（x），求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出g（x）＜g（2），求出不等式的解集即可．解：构造函数g（x）＝x3f（x），则g'（x）＝3x2f（x）+x3f'（x）＝x2[3f（x）+xf'（x）]≤0，所以函数g（x）＝x3f（x）在R上单调递减．因为f（2）＝10，所以g（2）＝80，由，①当x＞0时，得x3f（x）＞80，所以g（x）＞g（2），因为函数g（x）在R上单调递减，所以0＜x＜2；②当x＜0时，得x3f（x）＜80．所以g（x）＜g（2），所以x＞2，不合题意，舍去，所以不等式的解集为（0，2）．故选：B．12．已知函数f（x）＝|cos2x+cos x|，有下列四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的值域为；③f（x）在上单调递减；④f（x）在[﹣2π，2π]上恰有8个零点．其中所有正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②③D．①③④【分析】利用函数的奇偶性判断①；函数的值域判断②；函数的单调性判断③；函数的零点的个数判断④．解：由于f（﹣x）＝|cos（﹣2x）+cos（﹣x）|＝|cos2x+cos x|＝f（x），故f（x）为偶函数，①正确；，记t＝cos x∈[﹣1，1]，则，当t＝1时，y的最大值2，当时，y取得最小值，即的值域为，所以f（x）的值域为[0，2]，②错误；f（x）在上的单调性与它在上的单调性刚好相反，当时，t＝cos x单调递增，且，而在时单调递减，故y＝2cos2x+cos x﹣1在上单调递减，又此时，故函数f（x）在上单调递增，于是得f（x）在上单调递减，③正确；令2t2+t﹣1＝0，得t＝﹣1或，而当x∈[0，2π]时，cos x＝﹣1及恰有3个不等的实根π，，，即f（x）在[0，2π]上恰有3个零点，结合奇偶性可知，f（x）在[﹣2π，2π]上恰有6个零点，④错误．故正确的是①③．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．命题“∃x0∈（1，+∞），x02+x0≤2”的否定为∀x∈（1，+∞），x2+x＞2．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x0∈（1，+∞），”的否定为“∀x∈（1，+∞），x2+x＞2”．故答案为：∀x∈（1，+∞），x2+x＞2．14．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S3＝15，a3+a4+a5＝27，则S10＝120．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解解：设等差数列{a n}的公差为d，根据题意得，解得a1＝3，d＝2，所以．故答案为：12015．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的共顶点的三条棱长度之比为1：1：2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为．【分析】求出长方体外接球的半径R，再求出长方体三条棱长，即可求得长方体的全面积．解：设长方体外接球的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2；设三条棱长分别为k，k，2k（k＞0），于是得，解得；所以该长方体的全面积为．故答案为：．16．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A﹣a cos A cos C＝c cos2A，则tan A＝；若a＝2，则b+c的取值范围为（2，4]（用区间表示）．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求tan A，然后结合锐角三角形可求B的范围，再由正弦定理可表示b+c，利用和差角公式及辅助角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求．解：由及正弦定理得，即，∴，∵，∴sin B＞0，可得，∴，又∵△ABC是锐角三角形，∴解得，∴，∴，∴．故答案为：，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记S n为等比数列{a n}的前n项和，且a4＝a22，a5＝32．（1）求{a n}的通项公式；（2）求使得S n＜2020成立的n的最大值n0．【分析】（1）由已知结合等比数列的通项公式即可求解；（2）结合等比数列的求和公式，解不等式即可求解．解：（1）设{a n}的公比为q，由已知条件得，，解得a1＝q＝2．故．（2）因为，所以，由S n＞2020，得2n+1﹣2＜2020，即2n+1＜2022，而210＝1024＜2022，211＝2048＞2022，所以n+1≤10，即n≤9，所以n0＝9．18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100），得到如图频率分布直方图．（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．【分析】（1）通过频率分布直方图面积的和为1，求解m即可．（2）求出平均数，设中位数为n，然后求解n即可．（3）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种．利用古典概型概率公式求解这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率即可．解：（1）由10×（0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005）＝1，得m＝0.030．（2）平均数．设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+（n﹣70）×0.03＝0.5，得．故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．（3）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），共6种．故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝，点D，E分别为线段CC1，AB的中点．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求三棱锥D﹣AC1E的体积．【分析】（1）取AB1的中点F，连接EF，C1F，证明四边形C1DEF是平行四边形，推出DE∥C1F，然后证明DE∥平面AB1C1．（2）利用，转化求解三棱锥D﹣AC1E的体积．解：（1）证明：取AB1的中点F，连接EF，C1F，则在△ABB1中，EF∥BB1，，又点D是CC1的中点，所以，而CD∥BB1，所以，所以四边形C1DEF是平行四边形，所以DE∥C1F，又DE⊄平面ABC，C1F⊂平面AB1C1，所以DE∥平面AB1C1．（2）因为点D是CC1的中点，所以．而＝＝＝，所以三棱锥D﹣AC1E的体积为．20．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O坐标原点，过点F的直线l与C交于A，B两点．（1）若直线l与圆相切，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴的交点为D，且，，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【分析】（1）求出F（0，1），设l：y＝kx+1．通过直线l与圆相切，求解直线方程．（2）设l：x＝m（y﹣1）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去x，得m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，利用韦达定理，以及向量关系转化求解即可．解：（1）由已知得F（0，1），显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+1．由直线l与圆相切，得，解得，即直线l的方程为．（2）设l：x＝m（y﹣1）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去x，得m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，所以，y1y2＝1．易知D（﹣m，0），由，得（x1+m，y1）＝λ（﹣x1，1﹣y1），所以，同理，所以＝＝＝﹣1，所以λ+μ为定值﹣1．21．已知函数f（x）＝mx2+（x﹣1）e x+1（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当时，f（x）＞mx2+x3．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设F（x）＝f（x）﹣mx2﹣x3，求出F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）由题得，f'（x）＝2mx+xe x＝x（e x+2m）．当m≥0时，令f'（x）＞0，得x＞0；令f'（x）＜0，得x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．当m＜0时，令f'（x）＝0，得x＝0或x＝ln（﹣2m）．当时，f'（x）＝x（e x﹣1）≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．当时，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜ln（﹣2m），令f'（x）＜0，得ln（﹣2m）＜x＜0，即f（x）在（ln（﹣2m），0）上单调递减，在（﹣∞，ln（﹣2m）），（0，+∞）上单调递增．当时，令f'（x）＞0，得x＜0或x＞ln（﹣2m），令f'（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣2m），即f（x）在（0，ln（﹣2m））上单调递减，在（﹣∞，0），（ln（﹣2m），+∞）上单调递增．（2）证明：设F（x）＝f（x）﹣mx2﹣x3＝（x﹣1）e x﹣x3+1，则F'（x）＝e x+（x﹣1）e x﹣3x2＝x（e x﹣3x），设φ（x）＝e x﹣3x，则φ'（x）＝e x﹣3．∵，∴φ'（x）＜e﹣3＜0，∴φ（x）在上单调递减，又，φ（1）＝e﹣3＜0，∴φ（x）在内存在唯一的零点，设为x0．则当时，φ（x）＞0，F'（x）＞0，F（x）单调递增；当x0＜x＜1时，φ（x）＜0，F'（x）＜0，F（x）单调递减，又，F（1）＝0，∴F（x）＞0在上成立，∴当时，f（x）＞mx2+x3．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）点P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求证：．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和二次函数性质的应用求出结果．解：（1）由（α为参数）消去α得，即曲线C的普通方程为，由ρ＝4cosθ，整理得ρ2＝4ρcosθ，根据，所以曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0（或者（x﹣2）2+y2＝4）．（2）证明：设点P（2cosα，3sinα），则，当时，，故，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）≥2﹣x；（2）若函数f（x）的值域为[2，+∞），求的最小值．【分析】（1）a＝b＝1时原不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≥2﹣x，利用分类讨论法求出不等式的解集；（2）根据绝对值不等式求出f（x）的最小值，再结合题意利用基本不等式求出的最小值．解：（1）根据题意得，a＝b＝1时原不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≥2﹣x，等价于，或，或；解得x≤﹣3或﹣1≤x＜1或x≥1，所以不等式f（x）≥2﹣x的解集为{x|x≤﹣3或x≥﹣1}．（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+2b|≥|x﹣a﹣x﹣2b|＝|a+2b|，当且仅当（x﹣a）（x+2b）≤0时等号成立；又a＞0，b＞0，f（x）的值域为[2，+∞），所以a+2b＝2；所以＝，当且仅当a＝2b＝1时取等号；所以的最小值为2．。
河北省衡水中学2019-2020高三十五模数学(文)试题(解析版)
2019—2020学年度下学期高三年级十五模考试衡水中学数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，集合，则（）A. B. C. D.2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若，则的值为（）A. B. C. D.4. 《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A. B. C. D.5. 已知椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 2B. 2或C. 2或6D. 2或86. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. B.C. D.7. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A. B.C. D.8. 已知，则下列选项中错误的是（）A. B. C. D.9. 已知等差数列的前项和为，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.11. 已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.12. 若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________．14. 已知，，如果与的夹角为直角，则__________．15. 已知实数满足约束条件则的最大值为__________．16. 在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积等于__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.18. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求的值.19. 某印刷厂为了研究单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好. （2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.20. 已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.21. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在直角坐标系中，直线.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线的极坐标方程为，.（1）求曲线的参数方程；（2）求曲线上一点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.23. 设实数满足.（1）若，求的取值范围.（2）若，，求证：.2019—2020学年度下学期高三年级十五模考试衡水中学数学（文科）试卷解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），∴∁R A=（﹣∞，1]，故选：B．2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】∵，∴∴∴复数的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限故选：D3. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，故选：C．4. 《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】甲、乙两人从和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有（种）等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有（种）∴所求概率为:故选：B5. 已知椭圆的离心率为，则实数等于（）A. 2B. 2或C. 2或6D. 2或8【答案】D【解析】若焦点在轴时，，根据，即，焦点在轴时，，即，所以等于或8，故选D.6. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(五)文科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2.在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||a b >B ．22ab >C.11a b> D ．11a b a>- 4.总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．01B ．02C ．07D ．085.已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．138.在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．639.如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-10.函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（ ）A.322+B.323+C.4D.512.对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（ ）A.315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.[2,8] C.[2,8) D.[2,7]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____. 14.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____.15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =，底面ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______.16.已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值.18.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P .（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值.19.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操是否近视不做操做操近视 44 32 不近视618 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k2.7063.841 5.024 6.635 7.87920.如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△.（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值.21.已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点. （1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为31212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：二、填空题13.1 14.6π 15.323π 16.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =-因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值.18解：（1）证明 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥.又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD .（2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=.又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形.所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19.解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人）所以后三组频数依次为24，21，18， 所以视力在5.0以上的频率为0.18，故全年级视力在5.0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.21.解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--.（1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-. 所以a 的最大值为7-. （2）当1a >时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如上表： ()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点，故函数()f x 共有三个零点.22.解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.由直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得， 直线l的普通方程为1)3y x =-，即33y x =-. （2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得22114104t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖23.解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„得13x -剟.因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥.①当1a „时，①等价于13a a -+…，无解.当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.。
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷(二)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创精准仿真试卷（二）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合M={0|<x x }，N={8221|<<x x }，R 是实数集，则)(N M C R =（ ） A ．}3|{≥x x B ．}01|{<<-x x C ．1|{-≤x x 或}0≥x D ． }3|{<x x 2．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= （ ）A ．43-B.54C.45D.34-3．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x 2－x ，则f(1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或25．设323log ,log log a b c π===( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>6．已知点P(2，y)在抛物线y 2＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为( )A ．2B ．3 C. 3 D. 2 7．下列说法正确的是（ ）A ．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的充要条件B ．若p ：R x ∈∃0,01020>--x x ，则p ⌝：R x ∈∀，012<--x xC ．“若6πα=，则21sin =α”的否命题是“若6πα≠，则21sin ≠α”D ．若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题8．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C 的方程是 ( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C. x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y23＝19．已知向量,，3=32=，且)(+⊥，则a 与b 的夹角为( )A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π610． 设在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定 11．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．412．已知)(x f y =为偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+-=，则满足21))((=a f f 的实数a 的个数为（ ）A 、8B 、6C 、4D 、2第二部分本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须做答。
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试(一)文科数学试卷
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试（一）文科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。
【详解】由题意，集合，8，10，12，，，集合中元素的个数为2．故选：A．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足，则A. B. C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】由题意得，所以，代入复数模公式即可求解。
【详解】解：由，得，则，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属基础题．3.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4.顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知抛物线的焦点在x轴上也在直线上，所以焦点坐标，即可求，代入公式可得抛物线的方程．【详解】解：由题意可知：抛物线的焦点在x轴上．又抛物线的焦点在直线上，可令，得：．抛物线的焦点的坐标为．，即．此抛物线的方程为．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．5.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.6.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．7.已知，，若，则实数的值等于A. 3B.C. 或3D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意得，根据，即可得出，由数量积的坐标运算即可求出的值．【详解】解：，；；解得或3．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题。
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(二)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（二）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．已知命题:0p x ∀>,总有()1e 1xx +≥,则p ⌝为A ．00x ∃>,使得()001e 1x x +<B ．00x ∃<,使得()001e 1x x +<C ．0x ∀>,总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤,总有()1e 1xx +≤2．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（ ） A ．49B ．827C ．29D ．1273．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣2，则判断框①中可以填入的条件是（ ）A ．n ≥999B ．n ＜9999C ．n ≤9999D ．n<9995. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）参照附表，得到的正确结论是 A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关” C ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关” D ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6．在△ABC 中，已知向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且0AB AC ABAC⋅=，则△ABC为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等腰直角三角形7．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若直线2F H 的斜率为3-，则双曲线C 的离心率为( )A ．2BCD ．38.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银A. 两B.889127两 C. 111131两 D. 84031两 9．设01a a >≠且，设函数()log xa f x a x =-，则当a 变化时，函数()f x 的零点个数可能是（ ）A.1个或2个B.1个或3个C.2个或3个D.1个或2个或3个10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）A ．69B ．64C ．61D ．6311．已知定义在R 上的函数()g x ，其导函数为()g x '，若3()()g x g x x =-+，且当0x …时，23()2g x x >'，则不等式22(1)2()331g x g x x x <++-+的解集为( ) A ．1(2-，0) B ．1(,)2-∞- C ．1(2，)+∞ D ．1(,)2-∞12．定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“中心撇函数”，点(),a b 称为函数()f x 的中心.已知函数()32y f x =++是以()3,2-为中心的“中心撇函数”，且满足不等式()()2233f m n f n m -≤--+，当3,02n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2m n +的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．[]2,0-C ．[]2,4D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知复数11i z i-=+(i 为虚数单位），则____z = 14.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于A,B 两点,AB =,则p 的值为______．15.在中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,已知222a b c +-=,且sin 3sin ac B C =,则的面积为______．16．如图，在边长为3正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体的表面上移动，且满足11B P D E ⊥，当P 在CC 1上时，AP=_______,点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_______.三、解答题17．已知向量(2cos ),(3cos )a x x b x x ==-，函数()2f x a b m =⋅-，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1-. （1）求m 的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程11()2g x =-在区间2[0,]3π上所有根之和.18．已知函数()tan f x x =-，函数()y f x =-在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()Nn a n *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设232(3)(321)nn a b n n n π=++-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．在四棱锥P ABCD -中，090ABC ACD ∠=∠=,060BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 中点，M 为AD 中点，F 为PC 中点,23PA AB ==．（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）证明：AF⊥平面PCD ；（3）求三棱锥E ACF -的体积.20．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-的焦. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点(异于左右顶点)，椭圆C 的左顶点为D ，试判断直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之积与12-的大小，并说明理由.21．已知函数()()ln 1,f x mx x e m R e =-++∈为自然数2.71828.（1）若函数()f x 存在不小于3e +的极小值，求实数m 的取值范围； （2）当1m =-时，若对[),x e ∀∈+∞，不等式()()0x ex e e af x --+≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知曲线1C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C ：(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（Ⅰ）求出1C ，2C 的普通方程.（Ⅱ）若曲线2C 上的点M 到曲线1C 的距离等于为d ，求d 的最大值并求出此时点M 的坐标； 23．已知函数()1f x x x x a =---. （I ）当2a =时，求不等式()1f x <的解集；（II ）若()1,x ∈+∞时，()2f x x >-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1-12 ABABA DADDD BA 三、填空题 13.已知复数11i z i-=+(i 为虚数单位），则____z =【答案】1 【解答】()2221212i iz i i --===--，1z ∴=14.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于A,B 两点,AB =,则p 的值为______．【解答】 解：抛物线的准线为l ：,双曲线22123x y -=的两条渐近线方程为y x =±,可得,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则4AB p p ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭可得p =．15.在中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,已知222a b c +-=,且sin 3sin ac B C =,则的面积为______．【解答】解：在中,222a b c +-=,由余弦定理得222cos 222a b c C ab ab +-===,则4C π=,sin 3sin ac B C =,由正弦定理得3,3ac b c ab ⋅==则,11sin 32224ABC S ab C ∆∴==⋅⋅=16．如图，在边长为3正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体的表面上移动，且满足11B P D E ⊥，当P 在CC 1上时，AP=_______,点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_______.【答案】92,818.【详解】取1CC ，CD 的中点分别为,N M ，连结11,,,AM MN B N AB ， 由于1//AB MN ，所以1AB NM 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形， 因为11,,D E MN D E AM MN AM M ⊥⊥⋂=，所以1D E ⊥面1AB NM ， 因为点P 在正方体表面上移动，所以点P 的运动轨迹为梯形1AB NM ，如图所示：因为正方体1111ABCD A B C D -的边长为3，所以 当点P 在CC 1上时，点P 为CC 1的中点N，92AP AN ====又1122NM AB AM B N ====， 所以梯形1AB NM 为等腰梯形，所以11()2S MN AB=+1812248h ⋅==。
2020届河北省衡水中学高三高考押题文科数学试卷及答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =-≤，(){}2log 2,B y y x x A ==+∈，则A B I 为（ ） A ．()0,1 B ．[]0,1 C ．()1,2 D ．[]1,2 2．已知i 是虚数单位，20172i i 2iz -=-+，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =，12b =r ，则2a b -=r r （ ）A ．1 BC ．2D ．324．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞5．已知实数x ，y 满足30,260,320,x y x y x y ++>⎧⎪-+>⎨⎪--<⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．1-C ．3-D ．5-6．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ） A ．48920 B ．49660 C ．49800 D ．518677．数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=（0n a >），则n a =（ ）A ．210n - B ．110n - C ．1210n - D ．122n -8．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．69．某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C （如图（2）），其中113O A =，111O C =，则该几何体的侧面积及体积为（ ）A ．24，．32，．48，．64，10．已知函数()3sin cos f x x x ωω=-24cos x ω（0ω>）的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132- 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且12PF PF λ=（1λ>），120PF PF ⋅=uuu r uuu r，则λ=（ ）A B ．2 C ．2．12．已知函数()245,1,ln ,1,x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．12⎛⎝ B．12⎡⎢⎣ C．12⎛ ⎝⎦ D．12⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在锐角ABC V 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2sin a B =，则3cos 2A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 14．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于 ．15．若x ，y 都是正数，且3x y +=，则4111x y +++的最小值为 ． 16．已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小；（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18．如图，将直角三角形PAO 绕直角边PO 旋转构成圆锥，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，M 为母线PA 的中点，2PA AO =.（1）求证：PC ∥平面MBD ；（2）当2AM CD ==时，求点B 到平面MCD 的距离.19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆C ：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l 上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12F M N F ''面积S 的最大值. 21．已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ，R b ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ，b 的值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若M 的坐标为()1,0-，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =---（a 为常数）. （1）若()()21f f a <-，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为A ，且[]2,3A ⊆-，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题1-5:DAABD 6-10:CDBCB 11、12：BA二、填空题13．2- 14．2515．9516．1,03⎛⎫-⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1cos2sinA C B=cos cosA C A-，从而可得()2sin cosA CB A+=2sin cosB B A=.又B为三角形的内角，所以sin0B≠，于是cos A=，又A为三角形的内角，所以6Aπ=.（2）设{}n a的公差为d，因为1sin1a A=，且2a，4a，8a成等比数列，所以112sinaA==，且2428a a a=⋅，所以()()()211137a d a d a d+=++，且0d≠，解得2d=，所以2na n=，所以()141=+1n na a n n+=111n n-+，所以1111223nS⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111341n n⎛⎫⎛⎫-++-=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L1111nn n-=++.18．（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以连接AC，则BD与AC相交于圆心O.连接MO，因为O，M分别为AC，PA的中点，所以PC MO∥.又MO⊂平面MBD，PC⊄平面MBD，所以PC∥平面MBD.（2）解：当2AM CD==时，224PA AM AO===，所以2AO BO AB===，所以AOBV是等边三角形.连接PD，则PA PD AC===4BD=，易求得AD CM==AM CD=，DM DM=，所以AMD CDM≌V V，所以CDM AMD S S ==V V 122PAD S =V又点M 到平面BCD 的距离12PO ==BCD S =V 13B CDM CDM V S -=⨯⨯V 点B 到平面MCD 的距离13M BCD BCD V S -==⨯V B 到平面MCD 的距离为13. 19．解：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =，则从女生中抽取20人， 所以251555x =--=，201532y =--=.表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a ，b ，c ，尚待改进的2人为A ，B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),b c ，(),A B ，(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共10种，设事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为35. （2）22⨯列联表如下：因为10.90.1-=，()2 2.7060.10P K ≥=，而()2245155151030152520K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯224515530152520⨯⨯=⨯⨯⨯9 1.125 2.7068=<，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为c a =，所以c =1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=.（2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k x kmx +++240m -=. 由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k ∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==，22d F N '==所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===. 因为四边形12F M N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t +-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t =时，2S 取得最大值为16，故max 4S =，即四边形12F M N F ''面积的最大值为4. 21．解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e x x f x b bx '=+-()1e x bx b =+-.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,01,f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩得10,11,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()()21e x f x x a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式()21e 0x x a ax -+-<的整数解有且只要一个.构造函数()()21e x F x x a ax =-+-，R x ∈，所以()()e 21x F x x a '=+-.①当0x ≥时，因为e 1x≥，211x +≥，所以()e 211x x +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()010F a =-+<，()1e>0F =，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()e 210x x +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312ea ≤<； 当0a <时，()3120eF a -=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．解：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程可得10x +=，而圆C 的极坐标方程可化为28ρ=，化为普通方程可得228x y +=， 圆心C 到直线l 的距离为12d ==，故直线l 被圆C 截得的弦长为=（2）把1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入228x y +=，可得270t --=.（*）设1t ，2t 是方程（*）的两个根，则127t t =-， 故12MA MB t t ⋅=7=.23．解：（1）由()()21f f a <-可得1211a a --<--，即122a a -+->.（*） ①当1a <时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得12a <，所以12a <； ②当12a ≤≤时，（*）式可化为()()122a a -+->，即12>，所以a ∈∅； ③当2a >时，（*）式可化为()()122a a -+->，解之得52a >，所以52a >. 综上知，实数a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为()1f x x x a =---()()11x x a a ≤---=-，所以()11a f x a --≤≤-，由条件只需12,13,a a ⎧--≥-⎪⎨-≤⎪⎩即12a -≤，解之得13a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,3-.。
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(二)文科数学
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（二）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知α是第二象限角，且sin45α=，则cosα＝（）A. 45B.45- C.35D.35-【答案】D【解析】【分析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.【详解】∵α是第二象限角，且sin45α=，可得3 cos5α==-,故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2.集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣7）≤0}，集合B＝{x|x＝2k+1，k∈N}，则A∩B＝（）A. {1，7}B. {3，5，7}C. {1，3，5，7}D. {1，2，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}， 故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解. 3.向量a =r（1，2），b =r（2，λ），c =r（3，﹣1），且（a b +rr）∥c r，则实数λ＝（ ） A. 3 B. ﹣3C. 7D. ﹣7【答案】B 【解析】 【分析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +rr ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a r（1，2），=b r（2，λ），则()=32+a b λ+，rr ， c =r （3，﹣1），且（a b +rr ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=， 解可得=3λ-， 故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4.已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ） A. 0.1 B. 0.2C. 0.3D. 0.4【答案】D【解析】 【分析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称， 又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝， ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题. 5.函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ）A. π12x =B. π12x =-C. π6x =D. π6x =-【答案】B 【解析】 试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B. 考点：1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6.定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ） A. H （﹣x ）＝﹣H （x ） B. H （2﹣x ）＝H （x ） C. H （x +y ）≥H （x ）+H （y ） D. H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确， 故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ） A.2πB.3π C.6π D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角.【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8.对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A. f （cosx ）＝sin 2x B. f （sin 2x ）＝sinx C. f （sinx ）＝sin 2x D. f （sinx ）＝cos 2x【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos xx =1,∴f)=1； 取x =4π-,则cos x=2,sin2x =-1,∴f(2)=-1； ∴f(2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0； 取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于C 选项，取x =4π,则sin x ,sin2x =1,∴f； 取x =34π,则sin x=2,sin2x =-1,∴f (2)=-1； ∴f)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项， ∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ， 只有D 选项满足题意.【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9.在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC = ∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径， ∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， 设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10.已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r |＝1，则PB u u u r •PC uuur 的最小值是（ ） A. ﹣4 B. ﹣3C. ﹣2D. ﹣1【答案】B 【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围，从而得解. 【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r， ∴AB AC ⊥， 建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，， 又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r,故最小值为3-， 故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题. 11.已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值. 【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ） A. x 2＝y B. x 2＝2yC. x 2＝3yD. x 2＝4y【答案】D 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E 的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ， 可得2220,x pkx pt --=∴12+2x x pk =， 设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y 可得2220,x pkx pm --= ∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线, 且所在直线方程为x =pk ， ∵E 的横坐标为2k ， ∴22k pk p ==，， ∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y. 故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数z 满足12zi=+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5 【解析】 【分析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ． 【详解】复数z 满足212zi i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z = 故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14.函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____【答案】（﹣∞，﹣4）. 【解析】 【分析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间. 【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣， 即为64{|}x x x -＞或＜， 令2224t x x =﹣﹣， 则原函数13y log t ＝，因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减，2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4）， 故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题. 15.sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【解析】 【分析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 200in 20s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16.已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（﹣∞，14-ln 2） 【解析】 【分析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根，∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点； 令g （x ）＝121x --lnx 1x-，∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x-+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题（共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数f （x ）＝sinxcosx cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】 【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx 3+cos 2x +112=sin 2x 3+cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ； （2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝2，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2419【解析】 【分析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝，以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系， O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r（24333，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u rr0，）， 设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则0240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r（4，0，， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθm n m n ⋅===⋅r r r r ∴二面角S ﹣AC ﹣E.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】【分析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为： P 121111133333C =⨯⨯+⨯=. （2）记A i 表示甲在第i 轮胜利，B i 表示甲在第i 轮平局，∁i 表示甲在第i 轮失败， ∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利， 其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利， 其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20.已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】 【分析】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =2y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.已知函数f （x ）＝()21211x x x e-+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】 【分析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解； （2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx+-e 2x ﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mx x +-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e -+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0， 所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0， x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0， ∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）. （2）因为x ∈R 时，2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立，等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立， 即2e 2mx ≥e x 1x e+（x ∈R ）， 因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，令F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mxx+-2e 2x ＝2e 2x[（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G （x ）＝（2mx +1）e 2mxx--1，G （0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m12≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．请考生在第22，23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题书上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0；直线C 2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】【分析】（1）求曲线C 1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，x 2+y 2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C 2的参数方程消去参数t 即为普通方程； （2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数关系可得则t 1t 2＝﹣3，故可求|P A |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【详解】（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，x 2+y 2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x 2+y 2﹣4x ＝0， 直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入x 2+y 2﹣4x ＝0， 可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t 2﹣2tcosα﹣3＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣3，可得|P A |•|PB |＝|t 1t 2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23.已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m |（1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】【分析】（1）当m ＝2时，函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣2|≤9,对x 分类讨论，分别在三个区间1122x x x --≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，转化为f （x ）min ≤2成立，又根据|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|恒成立，f （x ）min ＝|m +1|≤2，解得﹣3≤m ≤1.【详解】（1）当m ＝2时，f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣2|332512331x x x x x x -⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜. ∵f （x ）≤9，∴3392x x -≤⎧⎨⎩＞或5912x x -+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391x x -+≤⎧⎨-⎩＜， ∴2＜x ≤4或﹣1≤x ≤2或﹣2≤x ＜﹣1，∴﹣2≤x ≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f （x ）≤2的解集不是空集，∴f （x ）min ≤2.∵|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|，|x ﹣m |≥0，∴f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m |≥|m +1|，当且仅当x ＝m 时取等号，∴|m +1|≤2，∴﹣3≤m ≤1，∴实数m 的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题(附答案解析)
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题一、单选题1．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-3． 若函数f (x )＝sin(ωx －3π)(ω>0)在(－2π，0)上单调递增，则ω的最大值为( )A ．13B ．12C ．1D ．24．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交C 的渐近线于A ，B 两点.若2ABF ∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A BCD 5．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A ．②③B ．①③C ．②D ．①②6．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．已知tan （α+β）=35，tanβ=13，则tanα=（ ） A ．29B ．13C ．79D ．768．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2则输出的函数是（ ） A ．f （x ）＝sinxB ．f （x ）＝cosxC ．1()f x x= D ．f （x ）＝x 29．已知,,a b c R ∈，满足，则下列不等式成立的是 A ．B ．C ．D ．10．当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}0,1,3M =的孤星集为M '，集合{}0,3,4N =的孤星集为N '，则M N '⋃'=( )A ．{}0134，，，B ．{}14，C ．{}13，D ．{}03，11．ABC 中，ACB 90∠=，AC 3=，BC 4=，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD (= )A ．43CA CB 77+ B ．34CA CB 77+ C ．169CA CB 2525+ D ．916CA CB 2525+ 12．若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(0,)+∞C ．(),0-∞D ．(),2-∞二、填空题13．由球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，且PA =PBPC =则球O 的半径R =________．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，若6378S S =，则24a a ⋅=______. 15．在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 16．（2018届四川省南充高级中学高三1月检测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．三、解答题17．某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到()90,100的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到()80,90的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到()60,80的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.（1）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器A 和B 生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中A 机器生产的优等品的数量多于B 机器生产的优等品的数量的概率；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 2.临界值表：18．在极坐标系中，已知两点O (0，0)，B ，4π)．(1)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,{12,x t y t ＝＝＋（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，圆C 的圆心为C ，求三角形MNC 的面积． 19．已知函数f(x)=|2x −1|−|x +2|. （1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)≥t 2−3t 在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围.20．如图，在Rt ABC 中，AB BC ⊥，2AB BC ==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）若E 是线段1A C 的中点，求四棱锥E PBCD -的体积.21．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10y x M a b a b +=>>的两个焦点，椭圆M ，()00,P x y 是M 上异于上下顶点的任意一点，且12PF F ∆面积的最大值为（1）求椭圆M 的方程；（2）若过点()0,1C 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2AC CB =，求直线l 的方程. 22．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.23．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且asinAsin(A +B)+ccos2A=√2b（1）求cb 的值；（2）若ΔABC的面积为b22，求a的值（用b表示）【答案与解析】1．B令真数为1，则可得到定点坐标.真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 2．B由题意易得1z mi =+，计算出iz ，结合纯虚数的概念即可得出结果. 因为复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，1z mi =+， 因为()1iz i mi m i =+=-+为实数，得0m =. 故选：B.本题主要考查了复数的几何意义，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3．A,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则,3233x ππππωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭， 因为单调递增，则232πππω--≥-，所以13ω≤，则ω的最大值为13， 故选A 。
2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试(十五)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高三原创精准预测考试（十五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知集合{}2|20A x x x =->，{|0B x x =<<，则有（ ）A. A B =∅B. A B R =C. B A ⊆D. A B ⊆【答案】A 【解析】 【分析】解不等式220x x -≥，得出集合A ，再对四个选项的命题进行验证。
【详解】解不等式220x x -≥，得0x ≤或2x ≥，则集合{}02A x x x =≤≥或，所以，A B =∅，{}2A B x x x R ⋃=<≥≠，B ÚA ，A ÚB ，故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解。
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(十五)文科数学
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（十五）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集U A B =⋃，则集合()U C A B I 中的元素共有（ ） A. 3个 B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A 【解析】 【分析】利用交集与并集定义先求A B I 与A B U ，再利用补集定义求()U C A B I .【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=，{}1,2,4A B ⋂=，所以(){}0,3,5U C A B ⋂= 故选A.【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公共元素、所有元素、A B I 的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.2.若复数12iz i+=，则z 等于（ ） A. 2i -- B. 2i -+C. 2i -D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算，将复数化成z a bi =+的形式，再利用共轭复数的定义可得答案.【详解】∵()121221i ii z i i ++===--，∴2z i =+. 故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.3.已知p ：12x +>，q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥ B. 1a ≤C. 3a ≥-D. 3a ≤-【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式x 12+>，求出p ⌝和q ⌝对应的不等式，再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.【详解】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，而p ⇒q ，p 化简为1x >或3x <-，所以当1a ≥时，q p ⇒. 故选A.【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可. 4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a 、b 为待定系数）（ ） A. y a bx =+ B. xy a b =+C. 2y ax b =+ D. b y a x=+【答案】B 【解析】 【分析】可以逐一验证,若选A ，则y 的值增加幅度应比较接近；若选C ，则x=1,-1的值应比较接近；若选D ，则x=0不可取.【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x =时，bx无意义，∴D 不成立； 对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各教据比较接近. 故选B.【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.5.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为A. 2-B. 2C. 4-D. 4【答案】D 【解析】解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ．6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】3432,233V r r 球ππ===,所以三棱柱的高为4,设底面边长为a,则2,a =∴=24V ∴=⨯=三棱柱7.若函数()sin x f x e x =，则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为（ ） A.2πB. 0C. 钝角D. 锐角【答案】C 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，斜率k=()'4f ，再根据三角函数值的符号，结合直线的斜率与倾斜角的关系，判断倾斜角为钝角.【详解】由于()()'sin cos sin cos sin 4x x x xf x e x e x e x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以()4'4sin 404f π⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，则此函数的图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为钝角.故选C.【点睛】本题考查了运用导数切线的倾斜角，考查了三角函数的化简和性质，考查了直线的斜率与倾斜角的关系；已知切点()()00,x f x 求切线的斜率k ，即求在该点处的导数值()'f x .8.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，3AD DB =u u u r u u u r ，14CD CA CB λ=+u u uv u u u v u u u v ，则λ等于（ ）A. 34B. 13C. 13-D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的减法将AD =u u u r 3DB u u u v，进行分解，然后根据条件14CD CA CB λ=+u u u v u u u v u u u v ，进行对比即可得到结论【详解】∵AD =u u u r 3DB u u u v， ∴CD CA -=u u u v u u u v 3CB -u u u v 3CD uuu r， 即4CD CA =+u u u v u u u v 3CB u u u r，则13CD CA CB 44=+u u u v u u u v u u u v，∵1CD CA 4=+u u u v u u u v λCB u u u r ，∴λ34=，故选A ．【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键． 9.函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++的最小正周期和最小值分别是（ ）A. π，0B. 2π，0C. π，2-D. 2π，2【答案】C 【解析】 【分析】首先利用倍角公式221cos2cos x x =+,再利用两角和与差的正余弦公式将()f x 化为正弦型（或余弦型）函数，利用正弦型（或余弦型）函数的性质求函数的的周期和最值.【详解】()()22sin 2sin cos 3cos 1sin21cos2224f x x x x x x x x π⎛⎫=++=+++=++⎪⎝⎭，最小正周期为π，当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，取得最小值为2故选C.【点睛】由正弦函数的性质可得正弦型函数sin()y A x B ωϕ=++（x ∈R ，A>0）的周期为2T ωπ=，最大值、最小值分别为A+B ，-A+B.10.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A.43B.42C.3 D.83【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，根据三视图中数据，利用锥体体积公式可得结果,. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥， 底面是边长为2的正方形，面积为4，3，所以，该几何体的体积为134333⨯=， 故选A.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④1212c c a a <. 其中正确式子的序号是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，比较椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值是否相同,离心率是否相同，即可进行判定. 【详解】对于①，因为椭圆中的a c +是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以1122a c a c +>+，所以①错误；对于②，因为椭圆中的a c -是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以1122a c a c -=-，所以②正确；对于③，④，因为由图可以看出椭圆Ⅰ比Ⅱ的离心率大，所以④是错误的，③正确. 故选B.【点睛】由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点(,)P x y 到其左焦点F 的距离PF a ex =+，得椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值分别为a+c 、a-c,而椭圆离心率的大小反映椭圆的扁平程度. 12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ） A. (2016)(2017)(2018)(2019)f f f f <<< B. (2018)(2017)(2019)(2016)f f f f <=< C. (2019)(2018)(2017)(2016)f f f f <<< D. (2016)(2019)(2017)(2018)f f f f <=< 【答案】D【解析】 【分析】由函数()f x 为奇函数及(4)()f x f x -=-确定()f x 的周期为8 ，再利用周期性和函数的单调性判断选项. 【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=，所以定义在R 上的奇函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()201600f f ==，()()20171f f =，()()20182f f =，而由()()4f x f x -=-得()()()()()201933141f f f f f ==--=--=，又因为()f x 在区间[]0,2上是增函数，所以()()()2100f f f >>=，即()()()()2016201920172018f f f f <=<. 故选D.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,由函数的周期性将所给函数值转化到所给范围内的函数值.若函数()f x 满足()()f x a f x +=-（a>0），则()f x 的周期为T=2a.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.变量x 、y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设43z x y =-，则z 的最大值为__________．【答案】14 【解析】 【分析】作出约束条件对应的可行域，变动目标函数对应的直线，确定经过可行域上点5,2（）时z 取得最大值.【详解】由约束条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，作出(),x y 的可行域如图所示，由43z x y =-，得433zy x =-.当直线433z y x =-过点B 时，3z-最小，z 最大.由43035250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()5,2B ，∴max 453214z =⨯-⨯=.故答案为14.【点睛】线性规划问题一般用图解法：作出约束条件对应的可行域，找到目标函数的几何意义，判断目标函数对应的图形经过可行域上哪一点时z 取得最大（小）值，求出最优解，得目标函数的最大（小）值.14.定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递增，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足18(log )0f x >的x 的取值范围是__________．【答案】10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】利用偶函数条件将不等式化为181log ()3f x f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再利用函数()f x 在[)0,+∞上的单调性化简，解出x 的范围.【详解】由题意可得：()()()f x f x f x =-=，181log 3f x f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在[)0,+∞上递增，于是181log 3x >，解得x 的取值范围是()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抽象函数性质综合及不等式的求解问题，其中掌握函数基本性质是解决此类问题的关键，着重考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.15.直线230x y --=与圆C ：22(2)(3)9x y -++=交于E 、F 两点，则ECF ∆的面积为________．【答案】【解析】 【分析】首先利用点到直线的距离公式求C 到直线EF 的距离，再由勾股定理求得EF 的长，最后利用三角形的面积公式计算△ECF 的面积.【详解】圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离d ==4EF ==，所以142S =⋅⋅=【点睛】直线和圆相交求面积问题，首先利用几何法求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出直线被圆截得的弦长公式AB =.16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos A B c ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦定理将2233cos 0a b ab C -+=及cos cos A B c ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为三角形边的关系，可得222133c a b =+，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】根据题意，由余弦定理得222222222291333cos 3302222a b c a b ab C a b ab a b c ab +--+=-+⋅=+-=，得222133c a b =+，依据正弦定理：()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin C A B A B A B B A c C a b A B A B ++⎛⎫+=⋅=⎪⎝⎭22sin 32sin sin 3C c a bA B ab b a===+≥，当且仅当33a b b a =时取等号，综上所述，答案为2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件 “一正”“二定”“三相等”.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且向量(,)n a n S v=，*(4,3)()b n n N =+∈v 共线.（1）求证：数列{}n a 是等差数列.（2）求数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）见解析；（2）n T = 21nn + 【解析】 【分析】（1）首先利用向量共线可得()34n n n S +=，再利用1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，即可求得通项；（2）()1211211n na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用累加法求出n T . 【详解】（1）证明：∵(),n a n S =v ，()4,3b n =+v 共线，∴()340n n n S +-=，∴()34n n n S +=.∴111a S ==，当2n ≥时，112n n n n a S S -+=-=， 又11a =满足此式，∴12n n a +=. ∴112n n a a +-=为常数，∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列. （2）∵()1211211n na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴12111...2n nT a a na =+++ 111112212...222311n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】由数列的前n 项和n S 求n a 时，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证1n =与2n ≥的式子能否统一，裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 18.如图所示，1A A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，12A A AB ==.（1）求证：BC ⊥平面1AA C .（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）由点在圆周上可得BC AC ⊥，再证明1AA BC ⊥，即可证明；（2）设AC x =，建立三棱锥1A ABC -的体积关于AC 长的函数，再利用二次函数即可求相应函数的最大值.【详解】（1）∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC AC ⊥. ∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥.∵1AA AC A ⋂=，1AA ⊂平面1AA C ，AC ⊂平面1AA C ，∴BC ⊥平面1AA C . （2）设AC x =，在Rt ABC ∆中，2224(02)BC AB AC x x -=-<<，故121111114(02)3323A ABC ABC V S AA AC BC AA x x x -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=-<<， 即()()1222221114424333A ABCV x x x x x -=-=-=--+. ∵02x <<，204x <<，∴当22x =，即2x =时，三棱锥1A ABC -的体积最大，最大值为23. 【点睛】利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是判断直线与平面内的两条相交直线垂直，求某个量的最值一般建立其关于另一变量（或几个变量）的函数关系，结合函数的单调性即可求得最值.19.雅礼中学研究性学习课题小组针对长沙市工薪阶层对“长沙市楼市限购令”的态度进行调查，随机调查了50位市民，他们月收入频数分布表，以及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入（单位：百元） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55) [55,65) [65,75)频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4812521（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）及22⨯列联表；月收入不低于55百元人数 月收入低于55百元人数 合计 赞成a = c =不赞成b =d =合计（2）若从月收入（单位：百元）在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率. 【答案】（1）见解析；（2）25【解析】 【分析】（1）由所给数据计算各组频率，再计算频率除以组距，作频率分布直方图；（2）列出从5人（其中4人赞同，1人不赞同）取出2人的所有基本事件，找到其中恰有一人不赞同的基本事件数，计算其概率.【详解】（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1， 所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，月收入不低于55百元人数 月收入低于55百元人数 合计 赞成 3a = 29c = 32 不赞成 7b =11d =18 合计 104050（2）设月收入（单位：百元）在[)15,25的被调查者中赞成的分别是1A ，2A ，3A ，4A ，不赞成的是B ，从中选出两人的所有结果有：()12A A ，()13A A ，()14A A ，()1AB ，()23A A ，()24A A ，()2A B ，()34A A ，()3A B ，()4A B ，其中选中B 的有：()1A B ，()2A B ，()3A B ，()4A B .所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是42105P ==. 【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有补充列联表，作频率分布直方图，古典概型，熟练掌握基础知识是解题的关键.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点21,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）22【解析】【详解】（1）因为21,2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b+=， 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为212222,22a b ab ⨯⨯== 解得222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ，则当0t ≠时，:2t OM y x =，所以2AB k t =-， 直线AB 的方程为()21y x t=--，即()2200x ty t +-=≠，由()2221220y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t +-+-=， 则()()()()22242164882840tt tt ∆=--+-=+>，21212221682,88t x x x x t t-+==++，)222488t AB t t +==++，又OM =，所以)22122441288t t S OM AB t t++=⨯==++， 由()212y x tt y x⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得244N x t =+，所以2221421244S t t =⨯⨯=++，所以2122224248482t S S t t t +=⨯==<+++，当0t =，直线:1l x =，AB =1122S ==2111122S =⨯⨯=，122S S =， 所以当0t =时，()12maxS S =. 点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. 21.已知21()ln ()2f x x a x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值且()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（3）求证：当1x >时，2312ln 23x x x +<. 【答案】（1）见解析；（2）(0,]a e ∈；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x求导，判断()f x '何时大于0，何时小于0.（2）由()f x ≥0在(0,)x ∈+∞恒成立，所以min ()0f x ≥，利用（1）确定()f x 的最小值，建立关于a 的不等式.（3）要证不等式2312ln 23x x x +<在x>1成立，即证3221()ln 032F x x x x =-->在x>1成立，即证min ()0F x >，对F （x ）求导，求F(x)的极小值，再确定F(x)的最小值.【详解】（1）()2'(0)a x af x x x x x-=-=>，若0a ≤时，()'0f x >恒成立，∴函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间.若0a >时，令()'0f x >，得x >∴函数()f x 的单调增区间为)+∞，减区间为(.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >, 又()0f x ≥，∴()()min 1111ln 1ln 02222f x f a a a a a a a ==-=-=-≥， ∴(]0,a e ∈.（3）设()3221ln 32F x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故()21'2F x x x x =--，∴()()()2121'x x x F x x-++=.∵1x >，∴()'0F x >.∴()F x 在()1,+∞上为增函数. 又()F x 在()1,+∞上连续，()1106F =>，∴()16F x >在()1,+∞上恒成立.∴()0F x >. 故当1x >时，2312ln 23x x x +<. 【点睛】判断函数的单调性可利用导数，对()f x 求导，判断()f x '在()f x '=0的解的左右两侧的导数的正负，确定函数()f x 的单调区间.不等式恒成立问题一般先考虑转化为函数的最值问题，先求相应函数的最值，得所求参数的范围或不等式.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(,22【解析】 【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,1+cos 1233D αααπαα⎛-==∈∴= -⎝⎭Q【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()1f x x b x =+--+，222()2g x x a c x b =+++-，其中a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ac ++=.（1）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤. 【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（1）当b=1时，把f （x ）用分段函数来表示，分类讨论，求得f （x ）≥1的解集．（2）当x ∈R 时，先求得f （x ）的最大值为b 2+1，再求得g （x ）的最小值，根据g （x ）的最小值减去f （x ）的最大值大于或等于零，可得f （x ）≤g （x ）成立． 试题解析：（1）由题意，当1b =时，()2121121x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，， 当1x ≤时，()21f x =-<，不等式()1f x ≥无解； 当11x -<<时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤<； 当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， （2）当x R ∈时，()()22221111f x x b x x b x b b =+--+≤++-+=+=+；()()222222222222g x x a c x b x a c x b a c b =+++-≥++--=++．而()2222222211a c b b a c b ++-+=++-()222222112a b b c c a =+++++- ()122212ab bc ac ≥++- 10ab bc ac =++-=当且仅当a b c ===时，等号成立．即222221a c b b ++≥+， 因此，当x R ∈时，()()222212f x b a c b g x ≤+≤++≤，所以，当x R ∈时，()()f x g x ≤点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可．21。
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(十五)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（十五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（i是虚数单位），则＝（）A．B．C．D．2．已知s，则＝（）A．B．C．D．3．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则集合A∪B＝（）A．{1，2，3，4，5，6，8} B．{2，3，4，5，6}C．{1，3，5，6，8} D．{2，4}4．某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为（）A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.165．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+a n+1＝2n+1，则＝（）A．1009 B．1008 C．2 D．16．已知椭圆的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2＝b2相交的弦长为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．πC．D．2π8．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则式子的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．9．若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25 B．50 C．51 D．10010．如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（）A．B．C．D．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y＝，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．在（x2﹣x+1）5的展开式中，x3的系数为．14．△ABC中，D为△ABC重心，以，为一组基底，可表示＝．15．已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，，且a1＝1，设，则的最小值是．三、解答题：共70分。
2020届河北省衡水中学新高考原创冲刺模拟试卷(二十)文科数学
2020届河北省衡水中学新高考原创冲刺模拟试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,nB x x n Z ==∈，则AB =（ ）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4D ．{}1,3,5【答案】C【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】021=，122=，224= {}1,2,4A B ∴= 本题正确结果：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-【答案】A【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得对应点的坐标. 【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++- z ∴对应的点坐标为：()0,1-本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 3．命题“[)0,x ∀∈+∞，1sin x e x ≥+”的否定是（ ） A ．[)0,x ∀∈+∞，1sin x e x <+ B ．[)0,x ∀∉+∞，1sin x e x ≥+ C ．[)0,x ∃∈+∞，1sin x e x <+ D ．[)0,x ∃∉+∞，1sin x e x <+【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定即可得到结果. 【详解】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：[)0,x ∃∈+∞，1sin x e x <+ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 4．函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数()1ln(1)f x x x=-+，可得()10f >和()210f e -<，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()1ln(1)fx x x =-+，可得()11ln 20f =->，可排除C 、D ， 又由()222111ln 1011f e e e e -=-=-<--，排除B ，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．-B ．C ．D 【答案】C【解析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan 2α的值． 【详解】由题11sin 3sin 22a a a a -=-+桫 ，则tan 2α=-故tan2α=22tan =1tan aa-- 故选：A 【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D【解析】根据()0,1x ∈时，()0f x '<，可排除A ；当10x -<，()0f x <，可排除B ；()()2f x f x -≠，可排除C ；()()114f x f x ++-=可知D 正确.【详解】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误； 当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误；()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心的求解问题，考查函数性质的综合应用，属于中档题.7．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(22+B ．()22- C ．()15,-+∞ D ．()15,2-【答案】D【解析】根据圆的半径大于零可求得2a <；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离d ，利用弦长6可求得15a >-；综合可得a 的取值范围. 【详解】由题意知，圆的方程为：()()22112x y a -++=-，则圆心为()1,1-则：20a ->，解得：2a <圆心到直线40x y +-=的距离为：d ==6∴，解得：15a >-综上所述：()15,2a ∈- 本题正确选项：D【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于易错点是忽略半径必须大于零的条件.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案． 【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD ：由正方体的性质得A ,,BC BCD ACD 为直角三角形，ABD 为正三角形 故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．9．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D 【答案】D【解析】c =，两边平方后结合隐含条件得答案． 【详解】 如图，c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==． 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =.且cos 3cos a B b A =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【解析】根据余弦定理构造方程可求得a =，从而得到cos A ，根据同角三角函数求得sin A ，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-解得：a =222cos22b c a A bc +-∴=== s i n 2A ∴==11sin 42222ABC S bc A ∆∴==⨯=本题正确选项：A 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值求解、三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理解得边长和角度.11．已知函数()ln ,0,0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,1【答案】B【解析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有五个不同的实数根等价于y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有5个交点，作图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P （x 0，y 0），得lnx 0＝1，即f ′（e ）1e =，即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e=x ，即所求a 的取值范围为01a e＜＜，得解． 【详解】设g （x ）＝﹣f （﹣x ），则y ＝g （x ）的图象与y ＝f （x ）的图象关于原点对称，方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有五个不同的实数根等价于函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有5个交点，由图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P （x 0，y 0）， 由f ′（x ）1x=，则y ＝lnx 的切线为y ﹣lnx 001x =（x ﹣x 0）， 又此直线过点（0，0）， 所以lnx 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′（e ）1e=， 即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e=x ， 即所求a 的取值范围为01a e＜＜， 故选：B ． 【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题． 12．在一个圆锥内有一个半径为R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为92π，则R =（ ）A ．1 BC ．2D．【答案】B【解析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ,得rh R ，进一步得圆锥体积223222222111V 333h R h r h h R h R h R p p p ===--，求导求最值即可求解 【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O, 半径为r ，高为h ,则OA=h,rh R又圆锥体积223222222111V 333h R h r h h R h R h Rp p p ===-- 令()f h = ()322213h R h R h R p >-，则()()()222'2222313h h R f h R h Rp -=- 当()()''0,;0,fh hf h R h >?<?，故()f h在),+?单调递增，在()R 单调递减，故()f h在h =取得最小值，此时42min221393,332R V R R RR R p p ==?-故选： B【点睛】本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题二、填空题13．已知向量()1,1a =，()2,b m =-，若()2//a b b -，则实数m =______. 【答案】-2【解析】根据向量坐标运算可求得()24,2a b m -=-，根据平行关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()24,2a b m -=-()2//a b b - ()422m m ∴=--，解得：2m =-本题正确结果：2- 【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.14．设x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2x y -的最小值是______.【答案】-3【解析】设2z x y =-，根据约束条件画出可行域，可知z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大；由图象可知当2y x z =-过A 时截距最大，求出A 点坐标，代入可得结果. 【详解】设2z x y =-，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大 由图象可知，当2y x z =-过A 时，截距最大由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：()1,1A - min 213z ∴=--=-，即()min 23x y -=-本题正确结果：3- 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在y 轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.15．已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<<⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π-【解析】根据左右平移可得()g x 解析式；利用对称性可得关于ω和ϕ的方程组；结合ω和ϕ的取值范围可分别求出ω和ϕ的值，从而得到结果. 【详解】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈06ω<< 3ω∴= ,4k k Zπϕπ∴=-+∈ 又22ππϕ-<<4πϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=-本题正确结果：34π- 【点睛】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在曲线C 上，若PAB ∆中，2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y x =±【解析】利用已知条件求出P 的坐标（x ，y ）满足的条件，然后求解a ，b 的关系即可， 【详解】如图，过B 作BM ⊥x 轴，∵∠PBA ＝∠P AB 2π+，则∠P AB ＝∠PBM ， ∴∠P AB +∠PBx 2π=．即k P A •k PB ＝1．设P （x ，y ），又A （﹣a ，0），B （a ，0）．1y yx a x a⋅=+-，∴x 2﹣y 2＝a 2， ∴a ＝b ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ， 故答案为：y ＝±x 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；（2）221nn -+【解析】（1）利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得()1111nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，则2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+-()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=（2）由（1）得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积.【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）根据面面垂直性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可得1BC A C ⊥，利用平行关系可得111AC B C ⊥；根据四边形11ACC A 是菱形，可得11A C AC ⊥；根据线面垂直判定定理可得1A C ⊥平面11AB C ，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---==，可利用三棱锥体积公式求得11B ACC V -，代入可求得结果.【详解】 （1）平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1B C A C ∴⊥ 11//B C BC 111A CBC ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =1111111133B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B -【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型. 19．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）35P =【解析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得2 6.635K >，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人 可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P == 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题.20．已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）设直线l 的方程为x ＝my +1，与抛物线C 的方程联立消去x 得关于y 的方程，利用根与系数的关系表示3OA OB ⋅=-，从而求得p 的值；（2）由题意求出弦长|AB |以及原点到直线l 的距离，计算△OAB 的面积S 1，同理求出△OPQ 的面积S 2，再求221211S S +的值． 【详解】（1）设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的距离d =，所以()21412OABS m ∆=+=因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆==所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++. 即221211S S +为定值14. 【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题．21．已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）根据切线方程可求得()1f 且()12f '=，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得()ln 11x x m x +≤-在()1,x ∈+∞上恒成立；令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，通过导数可知()03,4x ∃∈，当()01,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，从而可得()()0min g x g x =，可求得()()003,4g x x =∈，则()03,4m x ≤∈，得到所求结果. 【详解】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<，()422ln 20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min 0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--= 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的值.【答案】（1）1C 的普通方程为()2225x y +-=，2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=；（2）3.【解析】（1）直接消去参数可得C 1的普通方程；结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ得C 2的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB 的方程，写出AB 的参数方程，与圆C 2联立，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求解． 【详解】（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=，124t t =.因为点M对应的参数为122t t +=，所以121222t t PM AB t t +⋅=⋅-=- 21 - 32==. 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t 的几何意义，是中档题．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =--+.（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()20f x a --≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(],0-∞；（2）[]1,1-.【解析】（1）将a ＝1代入f （x ）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f （x ）﹣a ﹣2≤0恒成立等价于f （x ）max ≤a +2，求出f （x ）的最大值后解不等式．【详解】 （1）当1a =时，()3,22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩，当2x >时，31-≥，无解；当12x -≤≤时，121x -≥，得0x ≤，所以10x -≤≤；当1x <-时，3≥1，符合.综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.（2）因为()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+， 因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+， 所以212121a x a x a -+≤--+≤+. 所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤.所以所求实数a 的取值范围为[]1,1-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．。
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2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷（十五）
文科数学
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{}
02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=（ ） A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i
3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=（ ）
A.22.
B.2
C.2
D.8
4.若函数f(x)=1
22+-x x a
的图像关于y 轴对称, 则常数a=（ ）
A.-1
B.1
C. 1或-1
D.0
5.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加; (2)年接待游客量逐年增加;
(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；
(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳.
其中正确结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.若抛物线)0(22
>=p px y 的焦点是双曲线
132
2=-p
y p x 的一个焦点,则p=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数x x x y 2)(3⋅-=的图象大致是（ ）
8.
《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。
已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的体积为（ ）
A.31
B.3
2
C.1
D.2 9.已知2
3
,2log ,7log 34===z y x ,则（ ）
A.x<y<z
B.y<x<z
C.z<y<x
D.y<z<x 10.在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,A b a A sin 26
==，π
,则角C 为
（ ）
A.
12π B.127π C.12π或 127π D.4
π 11. 如图长方体中,过同一个顶点的三条棱的长分别为2.4.6,A 点为长方体的一一个顶点,B 点为其所在棱的中点,则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）
A. 29
B.53
C.41
D.132
12倾斜角为45°的直线与双曲线1422
2=-b
y x 交于不同的两点P ，Q,且点P 、Q 在x
轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ） A.23+2 B.25+2 C.3+1 D.5+1 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知数列{n a }满足t N n ta a n n ,,*1∈=+为常数,256,281==a a ,则t= . 14.曲线x e
x
x f cos )(=
在点(0，f(0))处的切线方程为 . 15.函数)2
cos(4cos 3)(π
+-=x x x f 在0x x =处取得极大值,则0tan x = .
16.若函数1212)(+-=x x x f ,则不等式9
7
)1(<+x f 的解集为 .
三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分 17.(12分)
某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示:
(1) 根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大?并描述该地人只数量的变化趋势; (2)研究人员用函数1
4878.4450
2000)(6544.0++
=-t
e t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年年初对应时刻t=0,P(t)的单位是千人，经计算可得P(6.5)≈2450,请解释P(6.5)≈2450的实际意义.
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .满足3633==a S ，,数列{}n b 满足
0122=-⋅+n n n b a b ,且0>n b ,数列{}n b 的前n 项和为T.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求99T 。
19. (12分)
已知椭圆，C 的中心为O,左、右焦点分别为21,F F .上顶点为A,右顶点为B ，且
2OF OA OB 、、成等比数列. (1)求椭圆C 的离心率;
(2)判断AB F 1∆的形状,并说明理由.
如图，在四棱锥C-ABEF中，底面ABEF为菱形，且菱形ABEF所在的平面与△ABC 所在的平面相互垂直,AB=4,BC=2,BC⊥BE,∠ABE=60°.
(1)求证:AB//平面CEF;
(2)求四棱锥C-ABEF的最长侧棱的长.
21.(12分)
已知函数f(x)=-x+lnx，f(x)的最大值为a.
(1)求a的值;
(2)试推断方程|2x(x+alnx)|=2lnx+x是否有实数解?若有实数解,请求出它的解集.
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的
第一题计分.
22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
曲线1C 的极坐标方程为ρ=r(常数r>0) ,曲线2C 的参数方程为
)(13)1(22为参数t t y t t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+=+-= (1)求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；
(2)若曲线1C 、2C 有两个不同的公共点,求实数r 的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=m-|x-1|(m>0),且f(x+1)≥0的解集为[-3,3]. (1)求m 的值; (2)若正实数a,b,c 满足m c
b a =++31
211，求证:a+2b+3c≥3.
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