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函数概念与基本初等函数一轮复习专题练习(三)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升

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高三数学 函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

高三数学 函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

高三数学 函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x e x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e -=-，()2120f e -=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.2．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则b aa b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误； 对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x xf x -+-=-==+++， 则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.4．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.5．已知21,1,()ln ,1,xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，下列正确的是（ ）A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】令()0f x t =≥，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，可得2210t t k -+-=， 当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =； 当58k <时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：当58k =时，此时12t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.6．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间(),12-∞-上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.7．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远 所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.8．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.9．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确； 当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.10．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.11．已知函数123,12 ()1,222x xf x xf x⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A．若函数()=-y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B．关于x的方程*1()0()2nf x n N-=∈有24n+个不同的解C．对于实数[1,)x∈+∞，不等式2()30xf x-≤恒成立D．当1[2,2](*)n nx n N-∈∈时，函数()f x的图象与x轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当312x≤≤时，()22f x x=-；当322x<≤时，()42f x x=-；当23x<≤，则3122<≤x，1()1222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当34x<≤，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当46x<≤，则232<≤x，11()2242⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；当68x<≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==-⎪⎝⎭x xf x f；依次类推，作出函数()f x的图像：对于A，函数()=-y f x kx有4个零点，即()y f x=与y kx=有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.13．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nn f x x x f x xx -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.14．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >或3t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.15．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.16．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a bbb->≥，当220a b-≤时，b≤恒成立，()f x∴=“控制增长函数”；对于C. ()21()sin1,()()2f x x f x a f x-≤=≤∴+-≤，2b∴≥时，a为任意正数，()()f x a f x b+≤+恒成立，()2()sinf x x∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b+≤+化为，()sin()sinx a x a x x b++≤+，令2aπ=，则(2)sin sin,2sinx x x x b x bππ+≤+≤，当2bπ≥时，不等式()sin()sinx a x a x x b++≤+恒成立，()sinf x x x∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.17．设函数2,0()12,02xe xf xx x x⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x的方程2()()20f x bf x b-+-=，下列说法正确的有（）．A．当2b=-+1个实根B．当32b=时，方程有5个不等实根C．若方程有2个不等实根，则17210b<≤D．若方程有6个不等实根，则322b-+<<【答案】BD【分析】先作出函数()f x的图象，进行换元()f x t=，将方程转化成关于t的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可.【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误； 选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.18．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.19．已知函数ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =，故1()2f x =-，()f x =()f x =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.20．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。

2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)

2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)

高考数学一轮总复习知识梳理：第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．归 纳 拓 展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －xf x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －xf x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 为偶函数；(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f xg x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.4．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数；(3)函数f (x )＝log a b －xb ＋x 为奇函数；(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．题组二 走进教材2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 5C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x 2[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )，可知f (x )＝x 4是偶函数，同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.题组三 走向高考8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( B )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －12x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x －1－1B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．解法一：f (x )＝－1＋2x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。

函数概念与基本初等函数一轮复习专题练习(三)含答案人教版新高考分类汇编

函数概念与基本初等函数一轮复习专题练习(三)含答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习《函数的概念与基本初等函数》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交与点C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧BDC 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是（2020江西文）2．已知函数y=13x x -++的最大值为M ,最小值为m ,则mM的值为__22_____ 3．01,a <<下列不等式一定成立的是 （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+(C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++(D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+(2020山东理)4．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）A ．2∈M ，0∈M ；B ．2∉M ，0∉M ；C ．2∈M ，0∉M ；D ．2∉M ，0∈M ．5．设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)内单调递增，且y f (x )的图象关于直线x 3对称，则下面正确的结论是( )(A) f (1.5)<f (3.5)<f (6.5) (B)f (3.5)<f (1.5)<f (6.5)(C) f (6.5)<f (3.5)<f (1.5)(D)f (3.5)<f (6.5)<f (1.5) (2020天津文)6．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞(2020湖南理)7．如果函数()y f x =的图像与函数32y x '=-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为( )（A ）23y x =- （B ）23y x =+ （C ）23y x =-+ （D ）23y x =--(2020全国2文)（4）8．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<（2020江苏6）9．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B(1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题及解析

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题及解析

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题及解析一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011x y -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.2．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b <B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．3．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.4．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B，122x x e e e ≥=+==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．7．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.8．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x ee -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.二、导数及其应用多选题9．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．10．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1x f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识归纳总结及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识归纳总结及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识归纳总结及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()2214sin 2x xe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.3．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．4．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．122e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．已知函数1()xx f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()x x f x e'=-， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.8．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s 必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】 设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号； ②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=， 又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.9．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．10．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.11．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根， 当()f x e =2个根， 当()f x e=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =， 故2()3f x =-，3()f x e =3()f x e ， 当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根，当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.12．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.13．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.14．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．15．设函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A．当2b =-+1个实根 B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则322b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =，即131,12()f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A错误； 选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b bt t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.16．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解17．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.18．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>- D．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-，所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ ()332151141x x +≥+⋅-=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.19．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.20．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.2．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y =+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121xyzm ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.3．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．4．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．1515-+⎣⎦是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而1502-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误； 对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=， 由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得1x =，2x =，所以1212a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．已知函数1()x x f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()x x f x e'=-， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x ex =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.8．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则14222k <<-224k =； 【答案】BD【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k x kx x x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04=2k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k的取值范围为：142k <<- 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得04=k x ⎧=⎪⎨'⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根，则14222k <<-或224k =-,故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.9．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则b a a b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误； 对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x x f x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.11．已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确.因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误.对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x xπ=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin xx f x ee -=+，()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+D ．函数()f x 的值域为[)0,1【答案】AD 【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，()[]1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1， 当01x ≤≤时，则当0x =时，则()[]0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=， 当1x =时，()[]11110f x =-=-=，故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.故选：AD ． 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．13．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||2x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.15．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意.故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+16．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117x x -+⇒=由2234151512t x x x x -+=-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，，22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.17．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解18．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2，∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.19．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.20．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确；对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin sin x xf x e e =+，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确.因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x xπ=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin x xf x e e -=+，()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.2．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．3．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++--()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >或3t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.4．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.6．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.7．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.8．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；C 中，由函数()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．10．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.3．已知函数1()xx f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()xx f x e '=-， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．4．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.5．已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x -=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.6．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x m h x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xx x f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.7．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.8．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.9．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,122)01,12(x xxx xxx xxg x⎧++>⎪⎪⎪-++-≤<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x>时，设1201x x，()()()()121212121212111x x x xg x g x x xx x x x---=+--=因为12120,10x x x x-<-<，所以()()12g x g x->，即()()12g x g x>设121x x<<，()()()()121212121x x x xg x g xx x---=<，即()()12g x g x<所以函数()g x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间(),12-∞-上单调递增11241)1(g++==函数()g x图象如下图所示由图可知，要使得函数y m=与函数()()g xf xx=的图象有两个不同的交点则实数m的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D正确；故选：CD【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.10．函数()()1xfx x Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n nxxn xf x f f xx n xn x-+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.11．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或32t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或322t <<+时每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.13．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+14．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12x x ⇒=由223412t x x x x =-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.15．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．16．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根， 当()f x e =2个根， 当()f x e=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根，当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.18．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．19．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确；对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确. 对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.20．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.。

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题的专项培优易错试卷练习题及答案

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题的专项培优易错试卷练习题及答案

高考数学一轮复习数学函数的概念与基本初等函数多选题的专项培优易错试卷练习题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.2．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117x x -+⇒=由2234151512t x x x x -+=-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.3．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．4．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.5．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.7．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．1515-+⎣⎦是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞150-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.8．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-， 将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.二、导数及其应用多选题9．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 存在两个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e =，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e --+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．10．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+- C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③； 对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）。

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题及答案

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题及答案

高考数学一轮复习提高题专题复习函数的概念与基本初等函数多选题练习题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（ ） A ．若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解 C ．对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立 D ．当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断.【详解】 当312x ≤≤时，()22f x x =-；当 322x <≤时，()42f x x =-； 当23x <≤，则3122<≤x ， 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当34x <≤，则3222<≤x ， 1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当46x <≤，则232<≤x ， 11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当68x <≤，则342<≤x ，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ； 依次类推，作出函数()f x 的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13- 【答案】BD【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案.【详解】 画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题．对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e ，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根；对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =， 当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根， 当()f x e =2个根，当()f x e =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；对于C ：当1a =-时，(())1f f x =，故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根，当()f x e =时，由图象可知，有2个根，当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根；对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ， 当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；故选：BD ．【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点 【答案】BCD【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.4．已知函数()()2214sin 2x x e x f x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()fm f m =，且()0f m ≥【答案】AD【分析】 由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D.【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+=+-， 定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e--++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin x xf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数， 令1()2sin x x g x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误； 对C ，1()2sin x x f x e x e '=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<， ()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误； 对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.5．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥【答案】BCD【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否.【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立.对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+， 若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦； 若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确.故选：BCD【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.6．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x +=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8 【答案】BD【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解.【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x --=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确；对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101x x+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3-B ．1-C ．0D ．2 【答案】BC【分析】 利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-， 从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-， 则1()(1)1x g x x ex +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-， 所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>，所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立，从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.8．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件【答案】BCD【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项．【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==，可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；二、导数及其应用多选题9．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴21x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.10．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

高三数学一轮复习函数的概念与基本初等函数知识点突破训练含答案解析

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第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．本节主要包括3个知识点：1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12， 所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点．3．函数的三种表示方法的优缺点优点缺点解析法简明扼要，规范准确(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；(2)求x 与y 的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例] (1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)． 答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋ C.12D.120[解析] (1)因为f (－2)＝2－2＝14，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－ 14＝12，故选C. (2)因为2<log 25<3，所以3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋log 25＋1)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫12 22log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫12 2log 5＝14×15＝120，故选D. [答案] (1)C (2)D [方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[解析] (1)f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a >0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.(2)当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.[答案] (1)A (2)(－∞，8][方法技巧]求分段函数自变量的值或范围的方法求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 2，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1 C.14D.12解析：选C 由题意得f (－1)＝1－2－1＝12，则f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 2．[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12B ．－12C ．1D ．－1解析：选B f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋1＝－12. 3．[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.4．[考点二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.5．[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．解析：由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.答案：－1或16．[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D y ＝|f (x )|的图象如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2,0]．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[log 23,2] C ．[1，log 23]D ．[1,2]解析：选B ∵f (x ＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2.∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2.∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23,2]．3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52.故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题7．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2 017)＝________.解析：根据题意，f (2 017)＝f (1 016＋1 001)＝2f (1 016)＋1，f (1 016)＝f (15＋1 001)＝2f (15)＋1，而f (15)＝1，所以f (1 016)＝21＋1＝1，则f (2 017)＝2f (1 016)＋1＝21＋1＝1.答案：18．(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－349．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．解析：①当x >0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x >1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x <0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x <－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )>2的解集为{x |x <－3或x >1}．答案：{x |x <－3或x >1} 三、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值突破点(一) 函数的单调性基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”判断函数的单调性1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；本节主要包括2个知识点： 1.函数的单调性；2.函数的最值.(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1] (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[解析] (1)当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． (2)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] (1)C (2)B [易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．函数单调性的应用应用(一) 比较函数值或自变量的大小[例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，∴b >a >c . [答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[解析] 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.[答案] B [方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述得－14≤a ≤0.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.[答案] (1)D (2)D[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．2．[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )解析：选C 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．解析：由题意，y ＝f (x )为奇函数且f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 又y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 于是⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫12或⎩⎪⎨⎪⎧log 19x <0，f log 19x >f ⎝⎛⎭⎫－12，即⎩⎪⎨⎪⎧log 19x >0，log 19x >12或⎩⎪⎨⎪⎧log19x <0，log 19x >－12，解得0<x <13或1<x <3.答案：⎝⎛⎭⎫0，13∪(1,3) 4．[考点二·应用(三)]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．解析：由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.答案：⎣⎡⎭⎫32，25．[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性．解：函数的定义域为{x |x ≠0}．任取x 1，x 2∈{x |x ≠0}，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 令x 1＝x 2＝x 0,1－ax 20＝0可得到x 0＝±a ，这样就把f (x )的定义域分为(－∞，－a ]，[－a ，0)，(0，a ]，[a ，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0<x 1<x 2≤a ，则x 1－x 2<0,0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1·x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，a ]上单调递减． 同理可得，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a ]上单调递增，在[－a ，0)上单调递减．故函数f (x )在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．突破点(二) 函数的最值基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.函数的最值 前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求函数的最值(值域)1．(1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．[解析] (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， ∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴2<2＋1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的值域为⎝⎛⎦⎤2，103. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)2 [方法技巧] 求函数最值的五种常用方法1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，785．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．解析：∵点(1,0)，(－1,0)在f (x )的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称， ∴点(－5,0)，(－3,0)必在f (x )的图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－5)＝(1－25)(25－5a ＋b )＝0，f (－3)＝(1－9)(9－3a ＋b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －b ＝25，3a －b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝15. ∴f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15) ＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5) ＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5) 令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4， 则y ＝－(t ＋3)(t －5) ＝－(t 2－2t －15)＝－(t －1)2＋16.故当t ＝1时，f (x )max ＝16. 答案：16[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增，故选B.4．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，故当x ＝－6时，f (x )取最大值－27.当x＝－2时，f (x )取最小值－23.答案：－27 －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)解析：选A 依题意得f (3)＝f (1)，且－1<1<2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)<f (1)＝f (3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0，解得17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．5．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.6．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D ∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2017·豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2.答案：(－∞，－2) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x +是奇函数B ．()()f x g x ⋅是偶函数C ．()()f x g x +的最小值为4D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得t >t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC.【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.3．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.4．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，122112211ln ln lnlnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.5．已知函数1()xx f x e+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个【答案】ABC 【分析】令()t f x =，画出1()x x f x e+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】()xx f x e '=-， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；当0x >时，0fx，故()f x 在0,上为减函数，而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：考虑方程210t mt ++=的解的情况.24m ∆=-，当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2.当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x的解的个数为1，故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．6．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.8．已知函数()221,0log 1,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =±-，则2022a <-≤故211212a <+-≤+，212121a -≤--<，当212t a =--时，即2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =+-时，若t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xx x f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.11．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根， 当()f x e =2个根， 当()f x e=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =， 故2()3f x =-，3()f x e =3()f x e ， 当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.12．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.13．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.14．已知函数()()2214sin 2xxe xf x e -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xx f x e x e'=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx x f x e x e x f x e e--''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.15．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．16．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．17．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.18．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．19．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+， 所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根，则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.20．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.。

2025年高考数学一轮复习-第三章 1 函数与基本初等函数-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-第三章 1 函数与基本初等函数-专项训练【含答案】

)
A.2
B.4
C.6
D.8
5.(多选题)若函数
f(1-2x)=1-
2
2 (x≠0),则
()
A.f
1 2
=15
B.f(2)=-34
C.f(x)=( -41)2-1(x≠0)
D.f 1
( 4-12)2-1(x≠0 且 x≠1)
6.函数 f(x)=1 + 1- 的定义域是
.
7.已知函数 f(x)是一次函数,若 f(f(x))=4x+8,则 f(x)=
数”为假命题的一个函数是
.
10.已知函数 f(x)=
+ +2
,f(1)=13,f(0)=0.
(1)求 f(x)的解析式; (2)判断并证明函数 f(x)在(-∞,-2)上的单调性.
3 函数的奇偶性、周期性与对称性
1.若函数 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( )
023)=
.
10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),且当 x∈(0,1)时,f(x)=42+1.
(1)求 f(1)和 f(-1)的值; (2)求 f(x)在[-1,1]上的解析式.
参考答案
1 函数的概念及其表示法
1.C 2.B 3.A 4.C 5.AD
6.(-∞,0)∪(0,1]
3 函数的奇偶性、
周期性与对称性
1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C
7.ABC 8.1 9.-2
10.解 (1)∵f(x)满足 f(x)=f(x+2),∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,f(-1)=0.

函数概念与基本初等函数一轮复习专题练习(三)带答案人教版高中数学

函数概念与基本初等函数一轮复习专题练习(三)带答案人教版高中数学
①求函数g(x)在 上的解析式；
②若函数g(x)在 上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由。
20．求函数 的最小值 ,并求 的最大值.
【参考答分
一、选择题
1．A
2．A
3．A
4．A 、 在数轴上表示点 到点 、 的距离，他们的和 关于 对称，因此点 、 关于 对称，所以 （直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）
（2）由 知，函数图象对称轴为 ，即 .
，当 时，值域为 .
18．
19．
20． ;
5．B
6．F
解析：∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴ ＝f(3＋log23)
＝
7．
8．
9．
10．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．
评卷人
得分
三、解答题
17．解：（1） 根为 .
12．函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的最大值是．
13．已知函数 ， ，
， 成立，则实数 的取值范围是．
14．已知 （ ），则 .
15．若函数 在区间 上是增函数,则实数 的取值范围是
16．已知函数ｆ（ｘ）是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，则实数ｍ的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
9．若函数 ,且 均大于零,则 的值----( )
A.正数B.负数C. D.正、负都有可能

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．函数()()1xf xx Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.2．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)12,0⎡-⎣上单调递减，在区间(),12-∞-上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.3．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ．【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.5．已知函数()221,0log1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.6．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则142k <<-4k =； 【答案】BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k x kx x x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k 的取值范围为：14222k<<-； 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得02242=k x ⎧=-⎪⎨'-⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则14222k <<-或224k =-,故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.7．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ） A ．()2f x x =，()g x x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xx x f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ．故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.8．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x -为无理数时，x 也为无理数∴()0f x -= ∴1()()0()x f x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x -=()f x ∴是偶函数，A 对；易知B 对；1x =时，()((1))11f f f ==∴C 对(())()f f x f x =的解为全体有理数∴D 错故选：ABC. 【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<，故方程12 f xax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为3；⑦当0a<时，123xx+->，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为2；故选：ABC【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题. 11．已知函数221,0()log,0x kx xf xx x⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x=+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（）A．当1k>，有1个零点B．当2k=-时，有3个零点C．当10k>>，有4个零点D．当4k=-时，有7个零点【答案】ABD【分析】令0y=得()1f f x=-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t=和()1f t=-，作出函数()f x的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y=，得()1f f x=-⎡⎤⎣⎦，设()f x t=，则方程()1f f x=-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t=-，函数21y x kx=-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx=对于A，当1k>时，作出函数()f x的图象：()1f t=-，此时方程()1f t=-有一个根12t=，由()12f x=可知，此时x只有一解，即函数()1y f f x=+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A正确；对于B，当2k=-时，作出函数()f x的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||2x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.13．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.14．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.15．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.16．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>- D．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()2112115 22,222xxx+==-+时等号成立，故D选项正确.由图象可知()()2324log1log1x x+=-+，()()2324log1log10x x+++=，()()34111x x+⋅+=，4433111,111x xx x+==-++，由()()2log111x x+=>-，解得1x=或12x=-，由()()2log121x x+=>-，解得3x=或34x=-，所以3431,1342x x-≤<-<≤，()3433331144145111x x x xx x+=+-+=-+++()332151141xx+≥+⋅-=-①.令()()21134,1,1421x x xx+===-++或12x=-，所以①的等号不成立，即3441x x+>-，故C选项正确.故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.18．已知函数ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】 画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根， 当()f x e =2个根，当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.19．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.20．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题及答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题复习题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.3．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.4．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．5．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．6．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy aa =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.7．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBSSSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.8．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.二、导数及其应用多选题9．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.10．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x x >≤，即0f x，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 04f -⎛⎫'-= ⎪⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<.因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.2．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+=则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.4．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e -=-，()2120f e -=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.5．已知函数()221,0log 1,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当1t =()1f x =-(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.6．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<>()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.7．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++，121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.8．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B ．3412a b ==2a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B 选项，3412a b ==log 12a =4log 12b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=；C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确.故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.10．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．11．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B ．当1515a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<， 故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根；当a =21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根；当112a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；112a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当12a --=时，方程有3个根，C 正确；当 142a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.12．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．13．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确；B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.14．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知111222lg lg 22x x x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭，又()()()22121211lg lg lg lg 222f x f x x x x x x x +===+，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即2121lg lg lg 2x x x x =+，利用对数的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．15．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解16．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.17．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.18．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确； 令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈， 当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>- D．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos cos 0x x x x ==-=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()2112115 22,222xxx+==-+时等号成立，故D选项正确.由图象可知()()2324log1log1x x+=-+，()()2324log1log10x x+++=，()()34111x x+⋅+=，4433111,111x xx x+==-++，由()()2log111x x+=>-，解得1x=或12x=-，由()()2log121x x+=>-，解得3x=或34x=-，所以3431,1342x x-≤<-<≤，()3433331144145111x x x xx x+=+-+=-+++()332151141xx+≥+⋅-=-①.令()()21134,1,1421x x xx+===-++或12x=-，所以①的等号不成立，即3441x x+>-，故C选项正确.故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.20．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.。

基本初等函数之函数综合性问题一轮复习专题练习(三)含答案人教版高中数学新高考指导

基本初等函数之函数综合性问题一轮复习专题练习(三)含答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习《基本初等函数之函数综合性问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ） A ．1y x = B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg ||y x =（2020年高考北京卷（文））2．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））3．函数231x x y =-的图象大致是( ) （2020年高考四川卷（理））4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））(A)()1,1- (B)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)()-1,0 (D)1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ ） （A ） 1 (B) 1,22- (C) 22- (D) 1,22(2020山东文) 6．已知函数()f x =20,1, 0⎧>⎨+≤⎩，x x x x ，若f(a )+f(1)=0,则实数a 的值等于（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （2020福建文8） ()(1)0,()(1)2+=∴=-=-f a f f a f ，若0a >，则22=-a ，显然不成立；若0a ≤，则()1f a a =+2,3a =-=-，符合题意. 3.a ∴=-7． 已知二次函数x ax x f +=2)(，对任意R x ∈，总有1|)1(|2≤+x x f ，则实数a 的最大整数值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．48．f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (2)＝0，则函数y ＝f (x )在区间(－1,4)内的零点个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.由f (2)＝0，得f (－2)＝0.又∵f (x )的周期为3，∴f (1)＝0，f (3)＝0.又∵f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫32， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝0.故选D.9．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

(完整版)高中数学第一轮复习函数与基本函数-详细知识点和经典题目含答案资料,推荐文档

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函数、基本初等函数1. 指数函数（1） 通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2） 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3） 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4） 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2. 对数函数（1） 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2） 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 知道指数函数 y = a x与对数函数 y = log a x 互为反函数（a ＞0，a ≠1）。

4. 幂函数（1） 了解幂函数的概念231 1（2） 结合函数 y=x, ,y=x , y= x ,y= x2,y= x 的图象，了解它们的变化情况二．【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理， 能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

na n a 预测 2010 年对本节的考察是：1. 题型有两个选择题和一个解答题；2. 题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大三．【要点精讲】1. 指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的 n 次方等于a (n > 1,且n ∈ N *) ，则这个数称 a 的 n 次方根。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．函数f (x )=1
1+x
2 (x ∈R )的值域是( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1) D ．[0，1] (2020陕西文)
2．下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+
(C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x
-=+ (2020山东理) 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则
f(-1)= （ ）
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3（2020山东理4）
4．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）
A. 3y x =
B. 1y x =+
C. 21y x =-+
D. 2x y -=（2020全国文3）
5．若0<a<1，则函数y=log a （x+5）的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限（2020
上海理13） 6．函数)13lg(13)(2
++-=x x x x f 的定义域是（ ） A.),3
1
(+∞- B. )1,31
(- C. )31,31(- D. )3
1,(--∞(2020广东)
7．已知函数x x f -=11
)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则
=⋂N M （ ）
A ．{}1>x x
B ．{}1<x x
C ．{}
11<<-x x D ．φ（2020广东) 8．设函数y =f （x ）定义在实数集上，则函数y =f （x －1）与y =f （1－x ）的图
象关于（ ）
A ．直线y =0对称
B ．直线x =0对称
C ．直线y =1对称
D ．直线x =1对称
（2020全国文7）
9．若函数)(x f 是区间],(b a 上的增函数，也是区间),(c b 上的增函数，则函数
)(x f 在区间),(c a 上-----------------------------------------------------------------------
-----------------（ ）
(A) 必是增函数 (B) 必是减函数 (C) 是增函数或减函数 (D) 无法确定增减性
10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()
f x 与()
g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )
A ． (0,2)
B ．(0,8)
C ．(2,8)
D ． (,0)-∞（2020
江西理12文12）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
11．若函数2(1)3m x y -=在R 上是减函数，则实数m 的取值范围是________；
12．设函数e
()1e
x x a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ▲ . 13．如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上是增函数，则()2f 的取值范围
14．设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，下列函数①|()|y f x =-；②2
()y xf x =；
③()y f x =--；④()()y f x f x =--中必为奇函数的有____________（要求填写正确答案的序号）
15．二次函数)(x f 满足,1)1()2(-=-=f f 且)(x f 的最大值是8，求此二次函数.
16．偶函数12+=x y 在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数，奇函数x y 1=
在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数。

评卷人
得分 三、解答题
17．设2()36f x ax
x a =--不等式()0f x >的解集是（－3，2）．
（1）求()f x ；
（2）当函数f （x ）的定义域是[0，1]时，求函数()f x 的值域．（本题满分14分）
18．若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对于任意实数 x 均成立，求实数 a 的取
值范围。

19．已知集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}A B =-=
(1)从集合A 到B 可以建立 个不同的映射; (2)从集合B 到A 可以建立 个不同的映射;
(3)从集合A 到A 可以建立 个不同的一一映射;
(4)映射:f A B →满足对于任意x A ∈,都有()()x f x xf x ++是奇数,则这样的映射f 有 个;
(5)以B 为定义域,A 为值域的函数有 个; (6)以B 为定义域,以{0,1}为值域的函数有 个;
(7)在所有以B 为定义域,A 为值域的函数中,满足(1)(2)(3)f f f f f
≤≤≤≤的函数有 个; (8)映射:f A A →满足(())()f f x f x =,则样的映射f 有 个.
20．已知不等式|2|1x x m +->的解集为R ，求实数m 的取值范围。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分 一、选择题
1．B
2．D
3．D
4．B
5．A
6．B
解析：B 由1310
1301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B. 7．C
8．F
解析：D 令x －1=u ，则原题转化为函数y =f （u ）与y =f （－u ）的图象的对称问题，显然y =f （u ）与y =f （－u ）关于u =0对称，即关于x =1对称.
9．
10．B
解：当0m ≤时，显然不成立
当0m >时，因(0)10f =>当4022
b m a --=≥即04m <≤时结论显然成立；
当4022
b m a --=<时只要24(4)84(8)(2)0m m m m ∆=--=--<即可 即48m <<，则08m <<，选B
解：11111ln(1)x x y e e y x y ++=-⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x =+->-，
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
11．
12．
13．[[]5，+∞
解析：[5，+∞)
14．
15．21()4()82f x x =--+
16． 评卷人
得分 三、解答题
17． 2(1)
()3318f x x x =--+
(2)[12,18]
18．
19．20．。

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