16.1 二次根式1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册16.1章节的重点内容。
这部分内容主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它不仅出现在代数、几何等领域，还与其他学科如物理、化学等有着密切的联系。
因此，掌握二次根式的相关知识对于学生来说至关重要。
二. 学情分析学生在学习二次根式之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，同时也具备了一定的代数运算能力。
然而，由于二次根式的概念和性质较为抽象，学生可能对其理解和运用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过实例和练习引导学生理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，学会进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质和运算规律。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的概念、性质和运算。
2.难点：二次根式的混合运算和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质和运算规律。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件：制作涵盖二次根式概念、性质和运算的课件。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或数学故事引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
如：讲解电梯上升和下降的原理，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）展示课件，讲解二次根式的概念、性质和运算。
通过PPT中的图片、动画等手段，让学生直观地理解二次根式的相关知识。
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
16.1.1 二次根式1
x 3 2 , 则 yx =
例：当 x 是怎样的实数时， 义？
x 2 在实数范围内有意
主备人：
郭海琴
审核人 ：
姜瑞风
时间 ：
（四）达标测试 (一)填空题：
编号 1601
看书第 3 页填空：
( a ) 2 ________ 其中 a 的取值是
3 1、 5
）
D、a＞1
2、已知 x 3 0 则 x 的值为 A、 x>-3 B、x<-3 C、x=-3 D、 x 的值不能确定 ） 。
3、下列计算中，不正确的是 （ A、3= ( 3) 2 C、 0.6 0.6
2
B、 0.5= ( 0.5 ) 2 D、 (5 7 ) 2 35
2、若
2
巩固练习 1 计算 (1) ( 4 )
2
2x 1 y 1 0 ， 那 么 x =
。
，
(2) ( 3)
2
（3） ( 0.5 )
1 2 （4） ( ) 3
y=
3、当 x= 最小值是
时，代数式 4 x 5 有最小值，其 。
4、在实数范围内因式分解： （1） x 9 x ( ) =（x+
2
2 x 3
③
1 2 x
；
3、圆的面积为 S，则圆的半径是 4、正方形的面积为 b 3 ，则边长为
； 。
2、 （ 1 ）若
a 3 3 a 有意义，则 a 的值为
s h 小组合作探讨： （1） 16 ， ， , b 3 等式 5 （2）若 x 在实数范围内有意义，则 x 为（ ） 。
2 2
2
）(y）(y-
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
16.1 二次根式(1)听课记录
中学数学听课记录课题16.1 二次根式(1) 授课教师听课人听课班级初二1班听课时间2014年 6月 3日教学内容（一）复习引入：（1）已知x2 = a，那么a是x的______； x是a的________，记为______,a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________;正数a的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥aa的意义是 .（二）提出问题1、式子a表示什么意义？2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥aa的意义是什么？4、)0()(2≥=aaa的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义?（三)自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试:判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是?为什么?3，16-，34，5-,)0(3≥aa，12+x2、计算：(1) 2)4(（2）（3）2)5.0((4）2)31(根据计算结果，你能得出结论: ，其中0≥a,)0()(2≥=aaa的意义是。
3、当a为正数时指a的 ,而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根.所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义.(三)合作探究2)3(4________)(2=a。
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
教学设计6：16.1二次根式（1）
16.1二次根式（1）一、教学目标：1.了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
2.理解二次根式的非负性，提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。
二、教学重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用。
三、教学法指导：小组合作交流 一对一检查过关四、知识链接1. 回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2. 16的平方根是 .3. 圆的面积为S,则圆的半径是 .4. 正方形的面积为,则边长为 .五、教学内容：1、看书后填空.▲ 二次根式的定义: 一般地我们把形如a （______）叫做二次根式 ,a 叫做____________ , “”称为 。
※ 二次根式满足两个条件： （1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
▲二次根式的性质：)0(≥a a 是 数，即2、练习：判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶2)21(- ⑷ ()223≥-a a ⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x3、※ 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0例1．小组交流完成，完成后做如下练习。
4、练习：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？3-b(1) 43-x ⑵x -21⑶ 25+x ⑷ 2x ⑸3x （6）xx -22 5、（1）拓展1：当x+在实数范围内有意义？ （2）拓展2：已知，求的值． 六、归纳小结：(本节要掌握什么？)（1）二次根式的定义及有意义的条件：__________________________________________（2）二次根式的性质:)0(≥a a 是 数，即七、达标检测：1、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞13有意义的实数x 的取值范围是( ) A 、x ≥1 B 、x ＞1且x ≠－2 C 、x ≠－2 D 、x ≥1且x ≠－24、x 为实数，下列式子一定有意义的是( )A B C D 5、下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
16.1 二次根式 第1课时：二次根式的概念(含答案)
116.1二次根式第1课时二次根式的概念一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是()A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是()A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为()A.2B.±2C.4D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是()A. -1 B.1- C.(1- )2二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.0有意义的条件是.三、解答题11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?3,-16,34,-5, 2+1.(1)求x 的取值范围;(2)求当x=-2x 的值.13.已知 -17+17- =b+8.(1)求a、b 的值;(2)求a 2-b 2的平方根和a+2b 的立方根.16.1二次根式第1课时：二次根式的概念一、选择题1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;B.33是三次根式,故本选项不符合题意;C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.故选A.2.答案A由题意得,a+1≥0,解得a≥-1,结合各选项知,只有-1符合题意,故选A.3.答案D A. ,当x≥0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;B. 2-1,当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;2x≠0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;D. 2+1,无论x取何值,二次根式都有意义,故此选项符合题意.故选D.4.答案A当x=1时,原式=1+3=4=2,故选A.5.答案D∵1-2 是二次根式,∴1-2x≥0,解得x≤0.5,∴x的值不可能是1.故选D.6.答案D A项,当a≥1时,根式有意义;B项,当a≤1时,根式有意义;C项,无论a取何值,根式都有意义;D项,要使根式有意义,则11- ≥0且1-a≠0,解得a<1.故选D.二、填空题7.答案32解析当x=54时, +1==32.故答案为32.8.答案x>-1解析由题意得11+ ≥0且1+x≠0,∴1+x>0,解得x>-1,故答案为x>-1.9.答案1<a≤3解析∵关于x的式子4- + - +2有意义,∴4-x≥0,x-a+2≥0,解得a-2≤x≤4,∵满足条件的所有整数x的和为10,4+3+2+1=10,4+3+2+1+0=10,∴-1<a-2≤1,∴1<a≤3.10.答案x≥-2,x≠1且x≠-12解析由题意可得x+2≥0,x-1≠0且2x+1≠0,解得x≥-2,x≠1且x≠-12.2三、解答题11.解析3,-16,(a≥0), 2+1符合二次根式的定义,故是二次根式; 34是三次根式,故不是二次根式;-5中被开方数小于0,故不是二次根式.12.解析(1)根据题意,得3-12x≥0,解得x≤6.=3+1=2.(2)当x=-2∴3-12x=0,解得x=6.13.解析(1)由题意得a-17≥0,且17-a≥0,则a-17=0,解得a=17,把a=17代入 -17+17- =b+8,得b+8=0,解得b=-8.故a、b的值分别为17、-8.(2)由(1)得a=17,b=-8,∴± 2- 2=±172-(-8)2=±15,3 +2 =317+2×(-8)=31=1.故a2-b2的平方根为±15,a+2b的立方根为1.3。
学教评一致性八年级数学教学设计16.1二次根式(1)
情景二是第二个“思考”，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件.
学
情
分
析
为把握学生学习新知的起点，执教这节课之前，对本班学生进行了相关知识点的复习.复习内容：平方根、算术平方根
学生已经会求平方根、算术平方根，但对于相关概念的理解并不透彻，因此在授课前需要进行相关的复习，八年级的学生已经具备了一定的合作交流与探究能力，所以新知识的接受相对容易，教学中注意把学生的已有经验作为认知基础，在学习过程中，把“理解被开方数是非负数的要求”作为重点，采用让学生观察、思考、探究的方法实现学习目标.
学生怎样学
借助教材中的“思考”，掌握二次根式的定义
教
材
分
析
“二次根式的定义与性质”是人教版八年级数学下册第十六章“二次根式”的内容，二次根式是初中数学知识体系与结构中不可或缺的部分.
学生理解、掌握数学概念，一般需要经历“感知、抽象、符号表征、应用”等一系列认知过程，为了达成课标要求，遵循学生学习的认知规律，教材设置了两个问题情境.
学习
目标
借助教材中的情景，能理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题
评估
任务
能判断一个式子是否为二次根式，掌握二次根式的定义
课题
16.1二次根式
日期
3.1
节次
第节
来源
人教版八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式（1）
课型
新授课
授课对象
八年班学生
教师
单位
目
标
确
立
依
16.1 二次根式(1) 教学反思
16.1 二次根式（1）教学反思阿拉甫乡中学；奥布力喀斯木·艾海提本节课主要内容是学习二次根式的定义，重点是对二次根式的定义的理解，难点是求被开方数中的字母的取值范围。
上完本节课后，我的反思如下：1.由于本节课是八年级下册第十六章的内容，是一节新授课，在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决。
2.在实际授课中，在让学生明白了本节学习目标后，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的四道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件。
本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。
3.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的定义和双重非负性，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。
4.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。
在今后教学中，应注意时间的掌控。
5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。
新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。
通过这次课的教学，使我的教学技能进一步得到了很好的锻炼，我在今后的教学中，将继续学习好的一面，对不足之处进行改善，争取使自己的教学水平得到提高。
16.1二次根式1
/bjlzmw/
例
2：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
观察： 上面几个式子中，被开方数 的特点？根指数是多少？
被开方数是非负数，根 指数都是二次．
/pjgw/
正方形的面积是（ｂ－３）ｃｍ２的边长是－－－－
b3
你认为这个式子的特点是什么？
这个表示算术 平方根，且根 号内都含有字 母。
/pjyl/
问题2 二次根式有哪些性质呢？
性质1
a2 a a 0
性质2
2
a a a 0
/bjljq/
问题3 如果在性质1 中 a2 a a 0 的 a 0 这个条件没有的话，等式还成立吗？
/ambjl/
探究：当a为实数时， a2 与 a 有什么联系？
a
3
1
2 3
0
2 3
1
3
a2 3 1
20
3
2 3
13
a3
1
2 3
0
2 313dq/由此得到：a a2 a o
a
(a o), (a o), (a o).
/zrbjl/
/ampjdc/
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点：
1、根指数为 2；
2、被开方数必须是非负数。
16.1二次根式
第16章：二次根式16.1 二次根式（1）学习目标：1．理解二次根式的概念和基本性质；2．经历观察，比较，总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力；3．经历观察，比较，总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
学习重点：二次根式的概念和性质；学习难点：二次根式的基本性质的灵活运用。
一．学前准备1．_________________________________________________叫平方根；_________________________________________________叫算术平方根；2．平方根的性质有以下几个内容：(1) 正数有__________________________;(2) 负数_________________; (3) 0的__________________________.3. 绝对值的性质有以下几个内容： (1) 正数的___________________;(2) 负数的________________; (3) 0的_______________.二．探究活动独立思考·解决问题1．已知一个正方形的面积是（b-3）2cm,则这个正方形的边长是_____________; 2．已知一个圆的面积是162cm，则它的半径是__________________;师生探究·合作交流议一议：1．上面的代数式有哪些共同点的特点呢？你知道什么是二次根式了吗？2．结合上面的特点你能判断一个式子是不是二次根式了吗？3．下面各式是二次根式吗？（填“是”或“否”）()(()()1)()()()2a<变式训练1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)(2)(3)小组互动·发现规律1．我们知道，是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有2=2，类似地，计算222____,____,_____= ==则，一般地，有性质1 2___(0).a= ≥2．3,3====，类似地，计算___,____,_______,____,___======则，一般地，有性质____⎧==⎨⎩练一练：1．计算2(1);(3);(4)(5)(6)222．已知0=，求x和y的值3．在实数范围内分解因式；224322(1)2;(2)54;(3)4;(4)5x a x a b ab- - - -三．自我测试：1．用代数式表示：（1）面积是S的圆，它的半径r=______________;（2）正方形的面积是28x，它的周长C=___________2．如果x的取值范围是_________.有意义。
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∴当 -1≤ x ≤3时，
1 x 3 x 有意义；
变式：
1 x5
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义） x 5 解：由题意得
x 5 0 x 5 0
1 x 5
x-5
0
∴ 当x＞5时，
在实数范围内有意义。
求下列二次根式中字母 a 的取值范围（默4） (1) (1)解：
代数式包括整式,分式,根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习
1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
b3
2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
形如 a (a 以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
a (n为偶数）
非负数的性质： 1.几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是 非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.
n
a
a (a 0)
x 4 4 x 2 ，你能求出 x y 的值吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。 2.已知 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，
(1) x 5
(2) 1 3x (3) 1 x 3 x
1 3
解：（1）由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义
（2）由1-3x≥0得x≤
3 1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
∴当 x ≤ 1 时， 1 3x 有意义
a 0
2
∵ a 2a 2
(a 2a 1) 1
2
(a为任何实数) (a为任何实数)
∴字母
(a 1) 2 1 0
a的取值范围是全体实数.
(a 1) (a=1)
2
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 2 2 3 a 3 1 a 1 1 2a 解：（ 1）由题意得： 求字母的取值范围的口诀 a 1 a 1 0 ; 从左看到右 从上看到下
a ≥0
( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根 式的代数式，不能称之为二次根式；
而
2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (6) a 1 ,
a2 0 ∵无论 a 取何值， 说明 : 1. 当被开方数本身为非负数或能化为非负 2 字母 a 的取值范围是全体实数 都有 a 1 0 2 数形式时，其字母的取值范围为：全体实数； (2)解： - a 0
a
2
a
2
(2)
(a 1)
2
∴字母 a的取值 2.当被开方数本身为非正数或能化为非正数形式 a2 0 范围是全体实数 . 时，其字母的取值范围为：使被开方数为 0的值。
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
3、关系式中h 5t ，用含有h的式子 h 表示t，则t为 。
2
5
a 1 时 即当 a 1 有意义 看到分数线 ,， 分母不为 0 .
1 ,底数不为0 看到 0 指数 （2） a (3) a 为任意实数 2 最后画数轴 ,写出解集来
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
⑶
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(5) x
3
x 0 (6) 12
x 1 0 ( x 2) (7) x3
x x 1, 且x 2
2
x0
(8)
x2 x
x 0 (9) x 1 x为全体实数
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥ 0 (a≥0) （双重非负性）
思考： 到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
1.已知 y
求
x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
3.已知
a ，你能求出 a a 1
的取值范围吗？
切入点：分类讨论思想。
a a 1
解:由题意得,
a 0 a 1 a 1 0 a 0 a 0 或 a 1 0 a 1 0 a 1或 a 0