(浙江专用)高中数学第三章直线与方程3.13.1.1倾斜角与斜率学案新人教A版必修2

3.1.1 倾斜角与斜率目标定位 1.理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围.2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.能利用斜率解决具体问题.3.掌握直线斜率和倾斜角之间的关系：k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2.自 主 预 习1.直线的倾斜角(1)定义：一条直线l 与x 轴相交，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.一条直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)取值范围：0°≤α<180°. 2.直线的斜率直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2).即 时 自 测1.判断题(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.(√) (2)直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×) (3)直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α.(×) (4)一条直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.(×) 提示 (2)当α＝90°时，直线的斜率不存在. (3)当0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角. (4)当x 1≠x 2时，k ＝y 2－y 1x 2－x 1，当x 1＝x 2时，k 不存在. 2.下图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )A.①B.①②C.①③D.②④解析 结合直线l 的倾斜角的概念可知①可以，选A. 答案 A3.已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B. 3C.1D.22解析 由题意可知，k ＝tan 30°＝33. 答案 A4.过点P 1(3，－1)和P 2(4，2)的直线的斜率k ＝________. 解析 k ＝2－（－1）4－3＝3.答案 3类型一 直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.答案 D规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.【训练1】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A.αB.180°－αC.180°－α或90°－αD.90°＋α或90°－α解析如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.答案 D类型二直线的斜率【例2】已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA 的斜率k PA ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞， 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 位置时，它的倾斜角由90°增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32.综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.【训练2】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.解 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.类型三 斜率公式的应用(互动探究)【例3】 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx的最大值和最小值. [思路探究]探究点一 y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3与yx的几何意义是什么？提示 y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3表示一线段AB ，其中A (2，4)，B (3，2)；y x表示点(x ，y )与点(0，0)连线的斜率.探究点二 解决此题的一般思路是什么？提示 这类题的一般解法是借助图形，用运动变化的观点看问题.注意倾斜角为90°的“跨越”.解 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2，4)，B (3，2).由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解.【训练3】 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值. 解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1，2)，B (－1，4). 则k PA ＝2－（－3）1－（－2）＝53，k PB ＝4－（－3）－1－（－2）＝7.∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为53.[课堂小结]1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：0° 90° 03.运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝21x 2－x 1应注意的问题： (1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.1.直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是() A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180°D.0°<α<180°解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°<α<180°. 答案 C2.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°.则y ＝( ) A.－32B.32C.－1D.1解析 tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.答案 C3.如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________.解析 设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2. 答案 k 1<k 3<k 24.已知点B 在坐标轴上，点A (3，4)，k AB ＝2，求点B 的坐标.解 若点B 在x 轴上，则设点B 的坐标为(x ，0). 由题意知4－03－x ＝2.解得x ＝1，即B (1，0)；若点B 在y 轴上，则设点B 的坐标为(0，y ). 由题意知4－y3－0＝2.解得y ＝－2，即B (0，－2).∴点B 的坐标为(1，0)或(0，－2).基 础 过 关1.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°，1 B.135°，－1 C.90°，不存在D.180°，不存在解析 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C. 答案 C2.直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1＜k ＜1，则α的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π4，π解析 当－1＜k ＜0时，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π；当0≤k ＜1时，则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4.答案 B3.直线l 过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.0°≤α≤90°B.90°≤α<180°C.90°≤α<180°或α＝0°D.90°≤α≤135°解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴.答案 C4.如果过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝______. 解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.答案 15.一条光线从A (3，2)发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点B (－1，6)，则反射光线所在直线的斜率为____________.解析 如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，所以点A ′在直线MB 上.由对称性可知A ′(3，－2)， 所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－（－2）－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2. 答案 －26.求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角. (1)(－3，0)，(－2，3)； (2)(1，－2)，(5，－2)； (3)(3，4)，(－2，9)； (4)(3，0)，(3，3).解 (1)直线的斜率k ＝3－0－2＋3＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.7.已知A (1，1)，B (3，5)，C (a ，7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值.解 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2， 解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.能 力 提 升8.斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A.a ＝4，b ＝0 B.a ＝－4，b ＝－3 C.a ＝4，b ＝－3D.a ＝－4，b ＝3解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3. 答案 C9.已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1，1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥2或k ≤34B.34≤k ≤2 C.k ≥34D.k ≤2解析 直线PA 的斜率k PA ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝34，结合图象，如图所示，可知直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34.故选A.答案 A10.若经过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________. 解析 ∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 答案 (－2，1)11.已知A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围. 解 (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－（－1）＝0，k AC ＝3＋1－12－（－1）＝33.(2)如图所示.k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3. 探 究 创 新12.光线从点A (2，1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4，3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率.解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB . ∵k QA ＝1－y 2，k QB ＝3－y 4，∴1－y 2＝－3－y4.解得y ＝53，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13. 法二 如图，点B (4，3)关于y 轴的对称点为B ′(－4，3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A 、Q 、B ′三点共线. 从而入射光线的斜率为k AQ ＝k AB ′＝－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13.解得y ＝53，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.。