39排列、组合、二项式定理

n (1)0！＝___ ； (2)A _____. n！ n＝ 1 性质 m m－1 m n－ m m C ＋ C (2)①Cn ＝Cn ；②Cn＋1＝___________. n n
1．二项式定理 0 n n－1 r n－r r (1)(a＋b)n＝__________________________________ Cn a ＋C 1 a b ＋…＋ C b ＋…＋ n na n * ____________ Cn b ( n ∈ N )． n r n－r r C b na (2)第r＋1项，Tr＋1＝____________ ． Cr (3)第r＋1项的二项式系数为______ ． n 2．二项式系数的性质 k n－k k n－k C ＝ C n n (1)0≤k≤n时，Cn与Cn 的关系是____________ ．

【答案】 B
3．(2012·大纲全国卷)6位选手依次演讲，其中 选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不 同的演讲次序共有( ) A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 【解析】

第一步先排甲，共有 A1 4种不同的排法；第二步再 排其他人，共有 A5 5种不同的排法． 5 因此不同的演讲次序共有 A1 · A 4 5＝480(种)．

3
【答案】 20

4．(2012· 陕西高考)(a＋x)5展开式中x2的系 数为80，则实数a的值为________．
(a＋x)5 的展开式的通项公式为
【解析】
5－r r Tr＋1＝Cr a x. 5 3 3 当 r＝2 时，由题意知 C2 a ＝ 80 ， ∴ a ＝8，∴ a＝2. 5

【答案】 2



1．(2012·课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个 小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方 案共有( ) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【解析】 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另
一名到乙地，共有 C1 2＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C2 4＝6(种)选派方法． 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2× 6 ＝ 12(种)．


【答案】 D
2．A、B、C、D、E五人并排站成一排， 如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)， 那么不同的排法共有( ) A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

【解析】 可先排C、D、E三人，共A 3 5 种排法，剩余 A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法 共A3 5＝60(种)．

【尝试解答】 赠送一本画册，3本集邮册．需从4人 中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C1 4种方法． 赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画 册，其余2人送邮册，有C2 4种方法． 2 由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C 1 ＋ C 4 4 ＝ 10(种)．

【答案】 B
已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}， 若a，b，c∈M，则 (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二 次函数； (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口 向上的二次函数．

【答案】
A
1．(人教A版教材习题改编)(1＋x)6的展开式中， 二项式系数最大的项是( ) A ．x 3 B．x2 C．x4 D．X6

【解析】 二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数 最大， 3 3 ∴T4＝C3 x ＝ 20 x . 6 【答案】 A
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0， 则a7＋a6＋…＋a1的值为( ) A．1 B．129 C．128 D．127 【解析】 令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128. 令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3 ＋…＋a7＝129. 【答案】 B
1．如何区分某一问题是排列问题还是组合 问题？ 【提示】 区分某一问题是排列问题还是 组合问题，关键是看所选出的元素与顺序 是否有关，若交换某两个元素的位置对结 果产生影响，则是排列问题，否则是组合 问题．

m 2．若 Cx ＝ C n n ，则 x＝m，这个结论一定正确吗？
m 【提示】 不正确．由 Cx ＝ C n n 可得 x＝m 或 x＝n －m.
【答案】 30

1．(人教A版教材习题改编)某班新年联欢会原定的6个
节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如
果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种 数为( A．504

) B．210 C．336 D．120
【解析】
分三步，先插一个新节目，有7种方法，
再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目， 有9种方法．

【答案】 D

4．(2013·广东六校联考)某校开设A类选修 课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课程中各至少选一门，则 不同的选法共有________种(用数字作 答)．
【解析】 分类讨论，①A 类选修 1 门，B 类选 2 修 2 门，有 C1 C ②A 类选修 2 门，B 类选修 3 4＝18(种)； 1 1 门，有 C2 C 3 4＝12(种 )， 所以一共有 30 种．

【答案】 B
3．(2012·浙江高考)若从1，2，3，…，9这9 个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数， 则不同的取法共有( ) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

【解析】 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇 数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意 取4个，有C 4 5 ＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶 数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取 2 2 2个，有C 5 ·C 4 ＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶 数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60 ＋1＝66(种)．

1．排列与排列数 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序 排成一列 ， ________ 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列． (2)排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数 _________________，叫做从 n 个不同元素中取出 m Am 个元素的排列数，记作____ n ．


故共有7×8×9＝504种不同的插法．
【答案】 A

2．在某种信息传输过程中，用4个数字的 一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不 同排列表示不同信息．若所用数字只有0和 1，则与信息0110至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为( ) A．10 B．11 C．12 D．15
【解析】 若4个位置的数字都不同的信息个数为1； 若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C 3 4 ；若恰有2个位 2 置上的数字不同的信息个数为C4 . 3 2 由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C 4 ＋C 4 ＝11.
2．组合与组合数 (1)组合 组成一组 ，叫 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________ 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 所有不 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________ 同组合的个数 ____________________ ，叫做从n个不同元素中取出m Cm 个元素的组合数，记作____ n ．
(2)二项式系数先增后减中间项最大且 n 为偶数时第
n ＋1 项的二项式系数最大，最大值为 C 2 ；当 2 n n＋1 n＋3 n 为奇数时，第 项和 项的二项式系数最大， 2 2
n-1 n 1 2 2 n n 最大值为．_________________
n
C
或C
n 0 1 2 n 2 (3)各二项式系数和：C n ＋C n ＋C n ＋…＋C n ＝____， n－1 0 2 4 1 3 5 2 Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝______．
1．(人教A版教材习题改编)从1，2，3，4， 5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇 数，组成一个没有重复数字的三位数，这 样的三位数共有( ) A．9个 B．24个 C．36个 D．54个

2 【解析】 选出符合题意的三个数字有C 1 3 C 3 种方法， 2 3 这三个数可组成C1 C 3 3A3＝54个没有重复数字的三位数．

【解】 (1)a的取值有5种情况，b的取值有 6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2 ＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二 次函数． (2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有 2种情况，b、c的取值均有6种情况． 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个 图象开口向上的二次函数.

【答案】 C

4．从4名男生，2名女生中，选2人参加某 项活动，至少有一名女生参加的选法有 ________种．
【解析】 法一 分两类， ①一男一女，共有 4×2＝8 种； ②两女，只有 1 种，共有 8＋1＝9 种． 2 法二 间接法 C2 － C 6 4＝15－6＝9 种．
【答案】
9
某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3 本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋 友一本，则不同的赠送方法共有( ) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 【思路点拨】 由于是两类不同的书本， 故用分类加法计数原理．

16 3．(2012· 广东高考)(x ＋ ) 的展开式中 x3 的系数 x 为________．(用数字作答)
2
【解析】 设第 r＋1 项为含 x 的项， r 2(6－r) －r r 12－3r 则 Tr＋1＝C6x x ＝C6x ， 令 12－3r＝3，得 r＝3， ∴x3 的系数为 C3 6＝20.