高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2习题精选北师大版必修5
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.4.3简单线性规划作业课件北师大版必修5
x－2y＋1≥0， x＋y＋1≥0， x≤0
上的一个动点，则O→A·O→M的最大值是( D )
A．－1 C．0
B．－12 D．1
解析：由条件 xx－ ＋2y＋y＋11≥≥00，， x≤0，
画出点 M 的可行域如图阴影
部分所示，目标函数 z＝O→A·O→M＝x＋2y，将其化为 y＝－12x＋2z， 结合图形可知，直线过点 B0，12时，z 最大，将点0，12代入目标 函数，得 zmax＝0＋2×12＝1.故选 D.
由2x＋x－2yy＝ ＝23， 得 A75，45； 由2x＋x－2yy＝ ＝0－，1 得 C－15，－25， 故 z 的最大值为75＋45＝151； 最小值为－15－25＝－35.所以－35≤x＋y≤151.
7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函
数 z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为
( B)
1 A.4
B．35
C．4
D．53
解析：由 y＝－ax＋z 知当－a＝kAC 时，最优解有无穷多个．因 为 kAC＝－35，所以 a＝35.
x＋y≤2， 8．设实数 x，y 满足不等式组y－x≤2，
三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)
12．(12 分)已知－1≤x＋2y≤3,0≤2x－y≤2. (1)求 x＋y 的取值范围． (2)求 x－y 的取值范围． 解：作出不等式组－ 0≤1≤ 2x－x＋y≤2y≤ 2 3， 所表示的可行域．
(1)设 z＝x＋y，如图，作出其对应的直线 l：x＋y－z＝0，则 z 的几 何意义是直线 l 在 x 轴上的截距，由图可知，当直线 l 过点 A 时，z 取 得最大值；当直线 l 过点 C 时，z 取得最小值．
高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。
高中数学 第三章3.4 简单线性规划课时训练 北师大版必修5
- 1 - 3.4 简单线性规划分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
( )
A 2≤-y x
B 022>--y x
C 0≤y
D 2≥x
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0)
B. (1 , 1)
C. (0 , 2)
D. (2 , 0)
３.不等式x －2y+6>0表示的平面区域在直线x －2y+6=0的 ( )
A.右上方
B. 左上方
C. 右下方
D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是 （ ）
A 0<a 或2>a
B 0=a 或2=a
C 20<<a
D 20≤≤a
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５.已知直线l : x －y+a=0, 点P 1(1 , －2) , P 2(3 , 5)分别位于直线l 的两侧, 则a 的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，
不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x －3 (2)y ≤－x+2 (3)3x －2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：
用心爱心专心- 2 -。
高中数学 第三章 不等式 3.4.2 简单线性规划课件 北师大版必修5
解析： 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(包括边界)
(1)将目标函数改写成 y＝－32x＋12z，表示斜率为－32，纵截距 为12z 的平行直线系，其中过点 B 时，纵截距最大，过点 A 时纵 截距最小．
3x＋y≥12
下的可行
域，包含边界：其中三条直线中 x＋3y＝12 与 3x＋y＝12 交于点 A(3,3)，x＋y＝10 与 x＋3y＝12 交于点 B(9,1)，
x＋y＝10 与 3x＋y＝12 交于点 C(1,9)， 作一组与直线 2x－y＝0 平行的直线 l：2x－y＝z 即 y＝2x－z， 然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为－z，当 l 经过点 B 时，－z 取最小值，此时 z 最大，即 zmax＝2×9－1＝17；当 l 经 过点 C 时，－z 取最大值，此时 z 最小，即 zmin＝2×1－9＝－7. ∴zmax＝17，zmin＝－7.
原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原
料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元．若病人每餐
至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质．
[问题 1] 设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g，为了满
足病人的营养需要．试列出 x，y 满足的不等关系．
A．(1,4) C．(5,0)
B．(0,5) D．(3,0)
解析： x＋y＝5，斜率为－1,2x＋y＝6 的斜率为－2,6x＋8y ＝z 的斜率为－34，∴过 y 轴目标函数取得最大值，
又∵x＋y＝5 在 y 轴交点(0,5)， ∴取得最大值的点为(0,5)． 答案： B
x＋2y≤4 3．设 x，y 满足约束条件x－y≤1
3x＋2y≤5
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划截距法解线性规划问题素材北师大版必修5(2021学年)
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［截距法]解线性规划问题由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+,则z b为直线y a b x z b=-+的纵截距,那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论: (1）当b >0时，直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时,便是z 取得最大值的点;反之,使纵截距取得最小值的点,就是z 取得最小值的点。
(2)当b <0时,与b >0时情形正好相反,直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时,是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点,便是ｚ取得最大值的点。
例1. 设x,ｙ满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。
解：如图1作出可行域,目标函数z x y =+2表示直线y x z =-+2在y 轴上的截距,可见当直线过A(1,0)时，截距值最大z=⨯+=2102,当直线过点O(０,0)时，截距值最小z min =0。
图１例２。
设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。
高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习 北师大版必修5
高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件x2y50x y20x0+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组x2y502x y70,x0,y0+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组x1,x4y30,x2y90,≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C)12(D)74.已知x、y满足不等式组y xx y2,x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B)13(C)23(D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组x20,y10,x2y20,-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件y xy mxx y1≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，求z=(x- 12)2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足22x y2x2y101x21y2⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，试求OA OB的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-2z1x33-+，当直线过点A（3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由x4y30x2y90-+=⎧⎨+-=⎩得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由x ay x=⎧⎨=⎩得A(a，a)，由x y2x y+=⎧⎨=⎩得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=13.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-1zx55+过直线x y1y mx+=⎧⎨=⎩的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y 在点（1m,1m1m++）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=2zx33-，它表示与y=23x平行、截距是-z3的一族平行直线，当它经过点A时，截距-z3最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-z3最小，此时z最大（取不到）.由x y2x y4-=⎧⎨+=⎩⇒A(3,1)由x y1x y3+=-⎧⎨-=⎩⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（12,0)距离的平方.【解析】由x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-12)2+y2表示可行域内的任意一点与点(12，0)距离的平方.因此(x-12)2+y2的最小值为点(12,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=211121420-=+（）.z的最大值为点(12,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=14，∴z的取值范围是［120,14］.【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.OA OB=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z 则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即OA OB的最大值为4.。
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划线性规划之父_丹奇克素材北师大版必修52
线性规划之父----丹奇克线性规划是高中数学的重要内容,也是体现数学应用的重要方法之一.它不但在数学中有着广泛的应用,在统计等方面会经常见到它的身影.而线性规划这种方法的发展道路也经历了一个曲折的过程.许多数学家都为此付出了艰辛的劳动.提起线性规划的发展,我们不得不提起一位被称为“线性规划之父”的著名数学家---丹奇克(George Dantzig).在1982年的第11届数学规划大会上,丹奇克举例说明了单纯形法的威力.他说,为70个人分配70项任务,总共有70!种分配方案.若要按照某种标准选出最优的一种分配方案,则要对70!种方案进行分析.而70!是一个比100100还要大的天文数字.如果有10个地球,从宇宙大爆炸时代到太阳变冷,每一个地球装满并行运行程序到每秒运算10亿次到计算机.才能完成这么庞大的运算工作.但如果用单纯形法,在计算机上只需几秒钟就能得出答案.那么,什么是单纯形法呢?单纯形方法的基本思路是,首先从可行域中找一个基可行解，然后判别它是否为最优解，如果是,则停止计算;否则,就找一个更好的基可行解,再进行检验,如此反复迭代,直至找到最优解,或者判定它无界(即无有限最优解)为止.其实,这位研究出来单纯形法的神奇数学家的故事也充满着传奇色彩.常言说:“不经一番寒彻骨,怎得梅花扑鼻香”.和许多人一样,丹奇克的求学之路也经历了一个曲折的过程.丹奇克出生在一个家境贫寒的数学家的家庭,但是他初中时数学成绩却很差,进入高中由于受到一位几何老师的启发,使他对几何着了迷,在父亲的诱导下全身心投入到数学的学习中.在这期间,他的父亲曾经先后为他出了上万道几何题目.每当他得到一个答案,他的父亲就说“我再给你一道”.其实,当时他只是为了摆脱丹奇克的打扰,却成就了丹奇克非凡的数学才华.高中毕业后,他进入马里兰大学攻读数学,但当时大学数学不开设单独的有关数学应用的课程.这对于热爱数学的他来说无疑是一种损失.但是,他并没有停止对应用数学方面的研究.在一年级的化学课中,丹奇克遇到了数学的一个有趣应用,并写出与此有关的短篇论文.教授看了以后,认为结论很有意义,但他以为有人一定已经进行过研究了.两年以后,当丹奇克上三年级时,这位教授找到丹奇克,略带歉意地拿出一篇别人刚刚发表的论文,在这篇论文中竟然发现,它的结论与丹奇克两年前得到的完全一样.1937年,美国经济进入萧条时期,整个国家陷入困难状态,失业人员大量增加.而就是在这种条件下,丹奇克却在劳工统计局找到了一个统计职员的工.在此期间,他熟悉了许多与实际应用有关的知识,并与同事埃文斯成了好朋友.后来,埃文斯从事一项有关二次大战中美国经济的利昂季耶夫投入产出模型的研究,这项研究改变了丹奇克一生的研究生活.1939年,丹奇克到伯克利攻读博士学位,他师从被称为数理统计鼻祖的著名数学家内曼(Neyman, Jerzy)(1894—1981).在此期间,他所学的统计课程只有两门,并且都由内曼讲授.内曼是假设检验的统计理论的创始人之一.他与K·皮尔逊的儿子E·S·皮尔逊合著《统计假设试验理论》,发展了假设检验的数学理论，其要旨是把假设检验问题作为一个最优化问题来处理.他们把所有可能的总体分布族看作一个集合,其中考虑了一个与解消假设相对应的备择假设,引进了检验功效函数的概念,以此作为判断检验程序好坏的标准.这种思想使统计推断理论变得非常明确.内曼还想从数学上定义可信区间,提出了置信区间的概念,建立置信区间估计理论.内曼还对抽样引进某些随机操作,以保证所得结果的客观性和可靠性,在统计理论中有以他的姓氏命名的内曼置信区间法、内曼—皮尔森引理、内曼结构等.内曼将统计理论应用于遗传学、医学诊断、天文学、气象学、农业统计学等方面,取得丰硕的成果.他获得过国际科学奖,并在加利福尼亚大学创建了一个研究机构,后来发展成为世界著名的数理统计中心.在这段求学期间,丹奇克受到了很大的启发,改变了他的学习方式.在一次作业中,内曼在黑板上写了两个题目,丹奇克把它抄下来.几天以后,他把自己努力完成的作业交到内曼的办公桌上.大约经过6个星期的一天上午8点左右,内曼拿着丹奇克的本子找到他,略显激动地说:“我刚为你的论文写好一篇序言,你看一下,就可以理科寄出去发表了”.当时的丹奇克感觉有点莫名其妙,怎么也搞不清楚老师在说什么.原来,他作业中完成的那两个问题正是统计学中的两个非常著名的难题.后来,这份作业也成了丹奇克的博士论文.但令人略感遗憾的是,有关第二个难题的研究成果,直到第二次大战后才得以发表.并且是与一个叫沃尔德的联名发表的.1946年末,丹奇克建立了能反映实际工业各部门之间关系的数学模型.经过一年的思考,在1947年6月,他向经济学家科普曼斯(Tjalling C．Koopmans）介绍了线性规划模型.科普曼斯认识到,经济学中相当多的问题能转化为线性规划的形式,科普曼斯一下子看出丹奇克所介绍的模型对经济理论的重要性.这使得科普曼斯在1975年获得诺贝尔奖.后来,应科普曼的要求,为了解决军事调度问题,他又建立了单纯形法.进入20世纪90年代,年过80的丹奇克与夫人选择了美国斯坦福大学校园一幢优美的住宅一起安享晚年.他所获得的各种奖赏挂满了他的书房.。
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2简单线性规划达标练习北师大版必修5(2021年整理)
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3。
4。
2 简单线性规划[A 基础达标］1．不等式组错误!表示的平面区域是( )A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B.不等式组错误!⇔错误!或错误!，那么利用不等式表示的区域可知,得到的区域为三角形，故选B.2．若x，y∈R,且错误!则z＝x＋2y的最小值等于( )A．2 B．3C．5 D．9解析：选B。
可行域如图阴影部分所示,则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1，1)时,z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( ）A．2 B．1C．－错误!D．－错误!解析：选C。
如图所示，错误!所表示的平面区域为图中的阴影部分．由错误!得A（3，－1）．当M点与A重合时,OM的斜率最小，k OM＝－错误!。
4．在平面直角坐标系中，若不等式组{y≥0，，y≤2x，，y≤k（x－1）－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（)A．（－∞，－1）B．（－1,2)C．(－∞，－1）∪（2，＋∞）D．(2，＋∞)解析：选A。
作出不等式组错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示,注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1,－1）,要使题中不等式组表示的区域为三角形区域,首先必须使k〈0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l与l2,易得k的取值1范围是(－∞，－1)．5．实数x，y满足不等式组错误!则W＝错误!的取值范围是（)A.错误!B．错误!C。
高中数学第三章不等式4简单线性规划第2课时简单线性规划学案(含解析)北师大版必修5
第2课时简单线性规划Q情景引入ing jing yin ru某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？X新知导学in zhi dao xue1．线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数z＝ax＋by＋c叫作目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组最优解可行域内使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题可行解满足约束条件的坐标，称为可行解可行域由所有可行解(x，y)组成的集合称为可行域(1)作出可行域．(2)作出直线l0：ax＋by＝0.(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．Y预习自测u xi zi ce1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( C )A．该直线的截距B．该直线在y轴上的截距C．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在x轴上的横截距[解析] 把目标函数变形为y＝3x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．2．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x 辆6吨的汽车和y 辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( A )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y3．(2019·浙江卷，3)若实数 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则 z ＝3x ＋2y 的最大值是( C )A ．－1B ．1C ．10D ．12[解析]如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C ．4．(2018·全国卷Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为7.[解析] 画出可行域及直线x ＋3y ＝0，平移直线x ＋3y ＝0，当其经过点A (1,2)时，直线的纵截距最大，所以z ＝x ＋3y 的最大值为z ＝1＋3×2＝7.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨求线性目标函数的最值问题例题1 设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值和最小值．[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x ，y 的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.『规律总结』 在求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值时，根据y 的系数的正负，可分为以下两种情形求最值．1．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b >0的最值．在线性约束条件下，当b >0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向，若把l 0向上平移，则对应的z 值随之增大；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之减小，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 2．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b <0的最值．在线性约束条件下，当b <0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向：若把l 0向上平移，所得相应z 值随之减小；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之增大，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 〔跟踪练习1〕(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( C )A ．7B ．8C ．10D ．11(2)(2018·全国卷Ⅲ理，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] (1)画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C ．(2)由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.命题方向2 ⇨求非线性目标函数的最值问题例题2 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[分析] (1)其中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y )到(0,5)距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1的几何意义为平面区域内的点(x ，y )与⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解．[解析] 作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5) 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故 |MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322. |MN |2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72]．『规律总结』 对于目标函数不是直线的形式，这类问题常考虑目标函数的几何意义． (1)形如y －bx －a的式子，表示动点M (x ，y )和定点N (a ，b )连线的斜率k . (2)形如x －a2＋y －b2的式子，表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离|MN |；而(x －a )2＋(y －b )2表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离的平方，即|MN |2.(3)形如|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的式子，表示动点M (x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ；而|ax ＋by ＋c |表示a 2＋b 2d .〔跟踪练习2〕(1)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为255.[解析] 本题考查不等式组表示平面区域，点到直线距离公式等． 区域D 如图所示：则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5＝255.(2)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.①求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； ②求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解析] 画出满足条件的可行域，如图阴影部分所示．①u ＝x 2＋y 2表示可行域内的任一点与坐标原点距离的平方，由图可知，u max ＝|OC |2＝73，u min ＝0.②v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.命题方向3 ⇨已知目标函数的最值求参数例题3 已知变量x 、y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为(1，＋∞).[分析] 作出可行域，平移直线使其过(3,1)点时，在y 轴上的截距也取得最大值．[解析] 由约束条件画出可行域(如图所示)．为矩形ABCD (包括边界)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时使直线在y 轴上的截距最大， ∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1.『规律总结』 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．〔跟踪练习3〕本例中，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的范围又是什么？ [解析] 若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，此时a ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤10x ＋4y ≤11x ∈Z ，y ∈Zx >0，y >0.求S ＝5x ＋4y 的最大值．[误解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A (95，2310)时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝915.因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是C (1,2)，这时S ＝13，所要求的最大值为13.[辨析] 显然整点B (2,1)满足约束条件，且此时S ＝14，故上述解法不正确． 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t ＝Ax ＋By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线t ＝Ax ＋By 最近的整点．[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l: 5x ＋4y ＝0，平行移动直线l 经过可行域内的整点B (2,1)时，S max ＝14.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu简单的线性规划问题⎩⎪⎨⎪⎧约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解线性目标函数最优解的确定整数线性规划问题的解法非线性目标函数的最值求解。
2017-2018年度高中数学 第三章 不等式 3.4.2.1简单线性规划讲义 北师大版必修5
2．满足条件yx－＋22xy≤＋03，>0， 5x＋3y－5<0
的可行域中共有整点的个数为
() A．3 B．4
C．5 D．6
解析：画出可行域，由可行域知有 4 个整点，分别是(0,0)，(0， －1)，(1，－1)，(2，－2)．
答案：B
3．(高考广东卷)若变量 x，y 满足约束条件41x≤＋x5≤y≥3，8， 则 z 0≤y≤2，
＝3x＋2y 的最小值为( )
A．4
23 B. 5
C．6
31 D. 5
解析：不等式组41x≤＋x5≤y≥3，8， 0≤y≤2
表示的平面区域为如图所示的
阴影部分，作直线 l0：3x＋2y＝0，平移直线 l0，当经过点 A 时，z 取得最小值．此时x4＝x＋1， 5y＝8， 所以 A1，54，所以 zmin＝3×1＋
跟x－y≤3y2≤9 x≥0，
则 x2＋y2 的最
大值是( C ) A．4 B．9
C．10 D．12
(2)(新课标全国Ⅰ)若 x，y 满足约束条件xx－ －1y≤≥00 x＋y－4≤0
|自我尝试|
x＋2y≤2， 1．设变量 x，y 满足约束条件x－y≤0，
x≥－2，
大值为( ) A．－2 B．4 C．－6 D．－8
则 z＝x－3y 的最
解析：作可行域如图，
令 z＝0 得 x－3y＝0，将其平移， 当过点(－2，－2)时，
直线 y＝13x－3z的纵截距－3z最小， 此时 z 取最大值， 所以 zmax＝－2＋3×2＝4. 答案：B
线性目标函数
关于 x，y 的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
2016-2017学年高中数学第三章不等式3.4.3简单线性规划的应用课后演练提升北师大版必修5
2016-2017学年高中数学 第三章 不等式 3.4.3 简单线性规划的应用课后演练提升 北师大版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．某学校用800元购买两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析： 设买A 种用品x 件，乙种用品y 件，剩下的钱为z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋100x ＋160y ≤800.求z ＝800－100x －160y 最小时的整数解(x ，y )，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.答案： B2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )C ．1,4D ．2,4解析： 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ，y ∈N ＋，利润z ＝20x ＋10y .由线性规划知识可得x ＝4，y ＝1时，利润最大． 答案： A3．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组解析： 设甲种x 组，乙种y 组． 则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤253x ＋5y ≤20x ≥y y ≥1总的组数z ＝x ＋y ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示寻找整点分析，知选D.答案： D4.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35 C ．4D.53解析： 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润________．解析： 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5 ＝4 900(元)． 答案： 4 900元6．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab (万吨)c (百万吨)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________．(百万元)解析： 设购买铁矿石A 为x ，购买铁矿石B 为y ，所花费用为z ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥192x ＋y ≤4x ≥0y ≥0.可行域如图中阴影部分所示：目标函数z ＝3x ＋6y ， 即y ＝－12x ＋z6.在A 点处z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＝192x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2.故A (1,2)．∴z max ＝3×1＋6×2＝15. 答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．8．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该研究所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：产品A (件)产品B (件)研制成本、搭载费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额300万元 产品重量(千克) 10 5 最大搭载重量110千克预计收益(万元)8060多少？解析：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ≥0y ≥0，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移， 由图像得，当直线经过M 点时z能取得最大值，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M (9,4)，所以z ＝80×9＋60×4＝960(万元)．故应搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需A 、B 、需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解析： 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数z ＝x ＋y .作出可行域如图所示，作出直线x ＋y ＝0.作出一组平行直线x ＋y ＝t (其中t 为参数)．经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575. 由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x 、y 必须都是整数，所以，可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12.经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们是最优解．所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．。
2017_2018学年高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.1习题精选北师大版必修5
4.1二元一次不等式(组)与平面区域课后篇巩固探究A组1.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的()A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方答案:D2.不等式组表示的平面区域是()A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形解析:画出平面区域(如图阴影部分),该区域是等腰梯形.答案:D3.直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0).答案:B4.若不等式组表示的平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,4)B.[1,2]C.(1,4)D.(1,+∞)答案:D5.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是.解析:由题意得(3+3-a)(2-1-a)<0,解得1<a<6.答案:(1,6)6.若用三条直线x+2y=2,2x+y=2,x-y=3围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式(组)表示为.答案:7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.解析:如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故a的取值范围应是5≤a<7.答案:[5,7)8.导学号33194067设f(x)=x2+ax+b,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,试求点(a,b)构成的平面区域的面积.解f(-1)=1-a+b,f(1)=1+a+b,由得不等式组即作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示).可知平面区域为矩形ABCD,|AB|=,|BC|=,所以所求区域面积为=1.9.某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如下表:列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.解设分别生产甲、乙两种产品x件和y件,于是满足条件所以满足的生产条件是图中阴影部分中的整数点.B组1.在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)解析:在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,由图可知,t的取值范围是t>1,故选B.答案:B2.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是()A. B. C. D.解析:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分的△ABC.由得A(1,1),又B(0,4),C,所以S△ABC=×1=.设y=kx+与3x+y=4的交点为D(x D,y D),则S△BCD=S△ABC=,所以x D=,所以y D=,所以=k×,所以k=.答案:A3.已知点(1,2)和点(-1,3)在直线2x+ay-1=0的同一侧,则实数a的取值范围是.解析:因为(2a+1)(3a-3)>0,所以a<-或a>1.答案:∪(1,+∞)4.导学号33194068若区域A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.解析:如图,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.又D(0,1),B(0,2),E,C(-2,0).所以S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.答案:5.以原点为圆心的圆全部在不等式组表示的平面区域的内部,则圆的面积的最大值为.解析:根据条件画出平面区域如图中阴影所示,要使以原点为圆心的圆面积最大,则圆与直线x-y+2=0相切.此时半径r=,此时圆面积为S=π()2=2π.答案:2π6.导学号33194069若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.解析:不等式表示的平面区域如图,当x+y=a过A时,表示的区域是△AOB,此时a=.当a>时,表示区域是三角形.当x+y=a过B(1,0)时,表示的区域是△DOB,此时a=1;当0<a<1时,表示区域是三角形;当a<0时,不表示任何区域,当1<a<时,表示区域是四边形.故当0<a≤1或a≥时,表示的平面区域为三角形.答案:(0,1]∪7.已知点P(1,-2)及其关于原点对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围.解点P(1,-2)关于原点对称点为P'(-1,2),由题意知解得<b<.故满足条件的b的取值范围为.8.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要10 min打磨,6 min着色,6 min上漆;桌子B需要5 min打磨,12 min着色,9 min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min,着色每天至多工作480 min,请列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围.解设家具厂每天生产A类桌子x张,B类桌子y张.对于A类x张桌子需要打磨10x min,着色6x min,上漆6x min;对于B类y张桌子需要打磨5y min,着色12y min,上漆9y min.所以题目中包含的限制条件为上述条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点.。
高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.4.2.2 含解析
第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件{3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为12,则2a +3b的最小值为( ) A.256B.83C.113D.4解析:作出可行域如图阴影部分所示.由图形可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有2a+3b=16(2a+3b )(2a+3b )=16(6b a +4+9+6a b)=136+16(6b a +6ab)=136+(b a +ab)≥136+2√b a ·a b=256,当且仅当a=b=65.故选A .2.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=3x+2y 的最小值是( )B.1C.√3D.9.令t=x+2y ,则当直线y=-12x+12t 经过原点O (0,0)时,12t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x+y.令-x+y=z ,即y=x+z.易知目标函数y=x+z 过点B (1,1)时,z min =0. 目标函数y=x+z 过点C (0,2)时,z max =2.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若点C (23,45)是该目标函数z=ax-y 的最优解,则a 的取值范围是( )A.(-103,-512)B.(-125,-310)C.(310,125) D.(-125,310)C ,则目标函数表示的直线斜率在直线BC 与AC 的斜率之间.因为k BC =-310,k AC =-125,所以a ∈(-125,-310).5.已知x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y -2≥0,x ≤m ,且x-3y 的最大值不小于6,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(-∞,92]D.[92,+∞)x-y+1=0与x+y-2=0交点为(12,32),所以m>12.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z 过点A (m ,2-m )时,x-3y 取得最大值. x-3y 的最大值不小于6,得m-3(2-m )≥6,解得m ≥3.6.已知x ,y 满足约束条件{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z=ax+y 取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值构成的集合是( ) B.{-1,1} C.{-1,3} D.{-3,0,1}{y ≥-1x -y ≥23x +y ≤14表示的平面区域,如图所示.从图可知,当a=-1时,线段AC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC 上的所z 取得最大值的最优解;当a=0时,z 取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.A (1,1),B (4,2),C (-1,4),若动点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,且z=ax-y 的最优解有无数个,则a 的值为 .,说明直线y=ax-z 与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB 的斜率为2-14-1=13,直线BC 的斜率为2-44+1=-25,直线AC 的斜率为4-1-1-1=-32,故直线y=ax-z 的斜率a 的值为13或-32或-25. -32或-258.已知点P 的坐标(x ,y )满足{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是 ..由图可知点B (2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d=|2×4+3×2+1|√4+3=3.A={(x ,y )|x+y ≥2},集合B={(x ,y )|2x+y ≥2},当(x ,y )∈A ∩B 时,求z=x+y 的取值范围.x ,y 满足的不等式组为{x +y ≥2,2x +y ≥2,在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部.因为直线y=-x+z 与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z 与x+y=2重合时,z 取得最小值2,且z 无最大值,故z 的取值范围是[2,+∞).★10.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y (其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大a 的取值范围.,作直线l :ax+y=0,过点(3,0)作l 的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<-12,即a>12.故a 的取值范围为(12,+∞).★11.已知实数x ,y 满足不等式组{2≤x -y ≤4,x +2y ≥-4.(1)求目标函数z=10x+30y (x ,y ∈Z )的最小值;z=ax+y (a<0)的最大值为-2,求a 的取值范围. 解:在平面直角坐标系中作出可行域,如图阴影部分所示.(1)由于x ,y ∈Z ,故在可行域中通过打网格的方法找出各整点,发现当直线y=-13x+z30经过点A (0,-2)时,目标函数取得最小值,z min =-60.(2)若a ≤-1,则目标函数在A (0,-2)处取得最大值-2,符合题意; 若-1<a<0,则目标函数无最大值. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].。
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4.2简单线性规划
课后篇巩固探究
A组
1.(2017北京高考)若x,y满足则x+2y的最大值为()
A.1
B.3
C.5
D.9
解析:由题意画出可行域(如图).
设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值
z max=3+2×3=9.故选D.
答案:D
2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).
把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易
求点A的坐标为(-1,2),所以z max=-1+2×2=3.
答案:D
3.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=的最大值为()
A.4
B.3
C.4
D.3
解析:画出可行域,而z=x+y,所以y=-x+z.令l0:y=-x,将l0平移到过点(,2)时,截距z有最大值,故z max=+2=4.
答案:C
4.已知x,y满足则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()
A. B.2 C. D.
解析:不等式组
所表示的可行域如图阴影部分.
其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为=2.故选B.
答案:B
5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.
解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分.
令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)时,-z最大,即z min=2×(-1)-2=-4.
答案:-4
6.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为.
解析:根据得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在点M处z 取得最小值.
由得
此时z min=4+2×(-5)=-6.
答案:-6
7.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值为.
解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.
令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,即t的最小值为0,则z=3x+2y
的最小值为30=1.
答案:1
8.导学号33194070若实数x,y满足不等式组则(x+2)2+(y+1)2的最
小值为.
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.
表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点D在点
A(1,2)时,|DM|最小,这时|DM|=3,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.
答案:18
9.已知x,y满足约束条件求z=5x-8y的最大值.
解作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分.
作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当直线平移到经过A点时,z取最大值.解方程
组得A(6,0),所以z max=5×6-8×0=30.
10.导学号33194071已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.
由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时,z取最大值,当直线过点B时,z取最小值.
由得A(3,7),
由得B(0,1),
所以z max=9×3-7=20,z min=-1,
所以9a-b的取值范围是[-1,20].
B组
1.在约束条件下,目标函数z=x+y的最大值为()
A. B. C. D.
解析:由z=x+y,得y=-2x+2z.
作出可行域如图阴影部分,平移直线y=-2x+2z,当直线经过点C时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距最大,此时z最大.
由解得点C坐标为,代入z=x+y,得z=.
答案:C
2.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为()
A. B.2 C.8 D.10
解析:画出可行域(如图).
(x+3)2+y2表示点A(-3,0)与可行域内点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,
所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.
答案:D
3.若关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m 的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-2>0,解得m<-.故选C.
答案:C
4.设不等式组所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B,则|AB|的最小值为()
A. B.4 C. D.2
解析:如图所示.由约束条件作出可行域,得D(1,1),E(1,2),C(3,3).
要求|AB|min,可通过求可行域内的点到直线3x-4y-9=0距离最小值的2倍来求得.
经分析,点D(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离d==2最小,故|AB|min=4.
答案:B
5.导学号33194072已知实数x,y满足不等式组若目标函数
z=y-ax取得最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1)
B.(0,1)
C.[1,+∞)
D.(1,+∞)
解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,由z=y-ax,得y=ax+z,要使目标函数y=ax+z仅在点(1,3)处取最大值,则只需直线y=ax+z仅在点B(1,3)处的截距最大,由图像可知a>k BD,因为k BD=1,所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).
答案:D
6.导学号33194073设实数x,y满足则z=的取值范围
是.
解析:令k=,则y=kx.因为x≠0,所以k存在,直线y=kx恒过原点,而在可行域中,当直线过边界点(1,2)时,斜率有最大值,k=2;当直线过边界点(3,1)时,斜率有最小值,k=,所
以斜率k的取值范围是,又z==k+,利用函数单调性的定义可知k∈时,z=k+为
减函数;k∈[1,2]时,z=k+为增函数,可得z的取值范围为.
答案:
7.若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)求点P(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.
解(1)根据约束条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移直线x-y+=0,由图像可知过点A时,z取得最小值,z min=×3-4+=-2,
过点C时,z取得最大值,z max==1.
故z的最大值为1,最小值为-2.
(2)由图像可知,所求的最大值即是点A到直线x+y+2=0的距离,则d=.
8.导学号33194074在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点M的横、纵坐标分别为茎叶图中的中位数和众数,若点N(x,y)的坐标满足的最大值.
解由茎叶图可得中位数为23,众数为23,所以点M为(23,23),
所以=23x+23y.设z=23x+23y,
作出不等式组对应的平面区域如图.
作一平行于z=23x+23y的直线,当直线和圆相切时,z=23x+23y取得最大值.
由圆心到直线的距离d==2,
解得|z|=46.
所以z=46或z=-46(舍去),
故的最大值是46.。