典型相关分析(CCA)附算法应用及程序演示教学
SAS软件应用之典型相关分析
SAS软件应用之典型相关分析典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组变量之间的关系以及它们之间的线性组合。
SAS软件提供了强大的工具和函数来执行典型相关分析，包括PROC CANCORR和CORRCAN。
PROCCANCORR是SAS中执行典型相关分析的主要过程。
它可以分析两组变量之间的关系，并计算它们之间的典型相关系数以及相关变量之间的线性组合得分。
以下是一个使用PROCCANCORR进行典型相关分析的示例代码：```/* 导入数据集data1和data2 */data data1;input var1 var2 var3;datalines;123456789;run;data data2;input var4 var5 var6;datalines;101112131415161718;run;/*运行PROCCANCORR进行典型相关分析*/proc cancorr data=data1 data=data2 out=results;var var1 var2 var3;with var4 var5 var6;run;/*输出典型相关系数和相关变量的得分*/proc print data=results;run;```在上述示例中，我们首先导入两个数据集`data1`和`data2`，其中`data1`包含三个自变量（`var1`，`var2`，`var3`），`data2`包含三个因变量（`var4`，`var5`，`var6`）。
然后，我们使用PROC CANCORR指定自变量和因变量，并将结果保存在名为`results`的输出数据集中。
最后，我们使用PROC PRINT打印结果数据集。
在输出结果中，我们可以查看典型相关系数以及自变量和因变量的得分。
典型相关系数表示两组变量之间的相关程度，取值范围为-1到1、得分表示原始变量的线性组合结果，可以用于分析变量之间的关系。
SPSS典型相关分析案例
SPSS典型相关分析案例典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种统计方法，用于研究两组变量之间的相关性。
它可以帮助研究人员了解两组变量之间的关系，并提供有关这些关系的详细信息。
在SPSS中，可以使用典型相关分析来探索两个或多个变量之间的关系，并进一步理解这些变量如何相互影响。
下面我们将介绍一个典型相关分析的案例，以展示如何在SPSS中执行该分析。
案例背景：假设我们有一个医学研究数据集，包含30名患者的多个生物标记物和他们的疾病严重程度评分。
我们希望了解这些生物标记物与疾病严重程度之间的关系，并查看是否可以建立一个线性模型来预测疾病严重程度。
以下是执行这个案例的步骤：第1步：准备数据首先，我们需要准备数据，确保所有变量都是数值型。
在SPSS中，我们可以通过检查数据集的描述性统计信息或查看变量视图来做到这一点。
第2步：导入数据在SPSS中，我们可以通过选择菜单中的"File"选项，然后选择"Open"来导入数据集。
我们应该选择包含待分析数据的文件，并确保正确指定变量的类型。
第3步：执行典型相关分析要执行典型相关分析，我们可以选择菜单中的"Analyze"选项，然后选择"Canonical Correlation"。
在弹出的对话框中，我们应该选择我们希望研究的生物标记物变量和疾病严重程度评分变量。
然后，我们可以选择一些选项，如方差-协方差矩阵、相关矩阵和判别系数，并点击"OK"执行分析。
第4步：解释结果完成分析后，SPSS将提供几个输出表。
我们应该关注典型相关系数和标准化典型系数，以了解两组变量之间的关系。
我们可以使用这些系数来解释生物标记物如何与疾病严重程度相关联，并找到最重要的变量。
此外，我们还可以使用SPSS提供的其他统计结果来进一步解释模型的效果和预测能力。
典型相关分析
典型相关分析简介典型相关分析（canonical correlation analysis, CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组观测变量之间的相关性。
该方法可以帮助我们理解两组变量之间的线性关系，并找出两组变量中最相关的部分。
在机器学习、数据挖掘以及统计学中，典型相关分析被广泛应用于特征选择、降维和模式识别等领域。
方法典型相关分析是基于矩阵分解的方法，通过将两组变量转化成低秩的典型变量来寻找相关性。
典型相关分析的基本思想是找出两组变量的线性组合，使得这两个组合能够达到最大的相关性。
具体而言，给定两组变量X和Y，我们可以得到X的线性组合u和Y的线性组合v，使得cor(u,v)达到最大。
其中cor(u,v)表示两个向量u和v的相关系数。
典型相关分析的目标即是求解出使得cor(u,v)最大的u和v。
下面是典型相关分析的数学表示形式:max cor(u,v)subject to u = Xa, v = Yb其中，X和Y分别是两组变量的矩阵，u和v是X和Y的线性组合，a和b是权重向量。
通过求解最优化问题，我们可以得到最相关的线性组合u和v，从而得到最相关的部分。
应用典型相关分析广泛应用于多个领域，下面列举了几个常见的应用场景：特征选择在特征选择中，我们经常面临着从大量的特征中选取最相关的特征集合。
典型相关分析可以帮助我们通过寻找两组变量之间的相关性，筛选出对目标变量有着较强相关性的特征。
通过选择最相关的特征，我们可以提高模型的泛化能力，并降低过拟合的风险。
降维在大数据时代，数据维度高维且复杂。
降维可以帮助我们减少计算负担，并去除冗余信息。
典型相关分析可以通过找出两组变量最相关的部分，将原始多维数据降到低维空间。
这样做可以减少计算复杂度，提高模型的训练速度，并帮助我们更好地理解数据之间的关系。
模式识别典型相关分析在模式识别领域也有着重要的应用。
通过找出两组变量之间的最相关部分，我们可以构建更加精确和可靠的模式识别模型。
典型相关分析冗余分析
典型相关分析冗余分析典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种用于探索两组变量之间关系的统计方法。
它可以同时分析两组变量之间的线性关系，在数据降维、特征选择、模式识别等领域有广泛的应用。
冗余分析（Redundancy Analysis，RDA）是典型相关分析的一种扩展形式，主要用于解释连续型解释变量对两组变量关系的贡献。
典型相关分析的基本思想是寻找两组变量之间的最大相关性。
假设有两组变量X和Y，其中X = [X1, X2, ..., Xp]和Y = [Y1, Y2, ..., Yq]，它们都是经过标准化的观测值。
典型相关分析的目标是找到一对线性组合，分别称为第一个典型变量对（first canonical variate pair），使得在两组变量之间的相关系数最大。
然后，可以继续找到第二个典型变量对，它与第一个典型变量对相互独立且与之前的典型变量对相关性最大，依此类推。
最后，可以得到p个典型变量对，每个典型变量对都有一个相关系数，表示两组变量之间的关系。
典型相关分析的核心是求解降维问题，通过计算两组变量在每个典型变量对上的线性组合，可以将原始数据映射到一个低维空间。
这样一来，可以简化原始数据的复杂性，并且保留最相关的信息。
在特征选择和数据可视化中，典型相关分析可以帮助我们识别重要的变量和确定关键的模式。
冗余分析是典型相关分析的一种扩展形式，它增加了一个连续型解释变量的考虑。
冗余分析的目标是找到解释变量集合对两组变量关系的贡献。
在典型相关分析中，我们已经找到了两组变量之间的最大相关性，而冗余分析可以帮助我们理解这种相关性是如何受解释变量影响的。
通过计算解释变量对两组变量的解释度（explained variance），可以确定解释变量在两组变量关系中的贡献。
冗余分析可以用于数据挖掘、模式识别和建模等领域。
在数据挖掘中，冗余分析可以帮助我们识别和理解分类或预测模型中的关键变量。
因果分析图法
因果分析图法
因果分析法（CCA）
1、因果分析图法的步骤：
1)确定要分析的特定问题或事故，写在图的右边，画出主干，箭头指向右端。
2)确定造成事故的因素分类项目，如安全管理、操作者、操作对象、环境等，画出大枝。
3)将上述项目深入发展，画出中枝并写出原因，一个原因画出一个枝，文字记在线的中枝
的上下。
4)将上述原因层层展开，一直到不能再分为止。
5)确定鱼刺图中的主要原因，并标上符号，作为重点控制对象。
6)注明鱼刺图的名称。
2、应用实例：某靶场进行实弹射击试验，发生一起炮弹爆炸伤亡事故，死亡一人，轻伤三
人。
事故调查得出的直接原因为：弹丸飞行不正常，实际弹着点比预计落点近950m，横向偏左706m，如下面事故概况图。
炮弹正好落在观测人员附近爆炸，造成伤亡事故。
据调查，炮弹质量、瞄准方法、射击情况均正常。
事故概况图
北
炮位
根据事故情况及事故的原因分析，绘制出因果分析图如下：
从图中的分析可看出造成的根本原因主要有三条：操作者没有按要求擦拭炮膛，致使仍然使用不合格的火炮进行射击试验，造成弹丸飞行部稳定；操作者没有考虑风向的影响，瞄准方位偏左，使弹丸飞行轨迹偏左；由于高、低空风力的影响，使弹丸飞行更向左偏移，致使最后弹着点落到观测人员附近，爆炸伤人。
上述三条为客观原因，而观测人员没有进入掩体，则是使事故过大，增加伤亡的因素。
典型相关分析及其应用实例
摘要典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用.本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性.【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用ABSTRACTThe Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis.This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life.【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications目录前言 (1)第1章典型相关分析的数学描述 (2)第2章典型变量与典型相关系数 (3)2.1 总体典型相关 (3)2.2 样本典型相关 (4)2.2.1 第一对典型相关变量的解法 (4)2.2.2 典型相关变量的一般解法 (8)2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关 (9)第3章典型相关变量的性质 (11)第4章典型相关系数的显著性检验 (15)第5章典型相关分析的计算步骤及应用实例 (18)5.1 典型相关分析的计算步骤 (18)5.2 实例分析 (19)结语 (26)致谢 (27)参考文献 (28)附录 (29)前言典型相关分析(Canonical Correlation Analysis ,CCA)作为多元统计学的一个重要部分，是相关分析研究的一个主要内容.典型相关分析不仅其方法本身具有重要的理论意义，而且它还可以作为其他分析方法，如多重回归、判别分析和相应分析的工具，因此在多元分析方法中占有特殊的地位.典型相关的概念是在两个变量相关的基础上发展起来的.我们知道，两个随机变量的相关关系可以用它们的简单相关系数来衡量；一个随机变量与一组随机变量之间的相关关系可以用复相关系数来衡量.但考虑一组随机变量与另一组随机变量的关系时，如果运用两个变量的相关关系，分别考虑第一组每个变量和第二组中每个变量的相关，或者运用复相关关系，考虑一组变量中的每个变量和另一组变量的相关，这样做比较繁琐，抓不住要领.因此，为了用比较少的变量来反映两组变量之间的相关关系，一种考虑的思路就是类似主成分分析，考虑两组变量的线性组合，从这两个线性组合中找出最相关的综合变量，通过少数几个综合变量来反映两组变量的相关性质，这样便引出了典型相关分析.典型相关分析的基本思想是首先在每组变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性，然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与第一对线性组合不相关，而第二对本身具有最大的相关性，如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止.有了这样线性组合的最大相关，则讨论两组变量之间的相关，就转化为只研究这些线性组合的最大相关，从而减少研究变量的个数.典型相关分析是由Hotelling于1936年提出的.就目前而言，它的理论己经比较完善，计算机的发展解决了典型相关分析在应用中计算方面的困难，成为普遍应用的进行两组变量之间相关性分析技术.如在生态环境方面，用典型相关理论对预报场与因子场进行分析，实现了短期气象预测；借助典型相关，分析了植被与环境的关系；在社会生活领域，应用典型相关分析了物价指标和影响物价因素的相关关系等等.第1章 典型相关分析的数学描述一般地，假设有一组变量p X X X ,,,21 与另一组变量q Y Y Y ,,,21 ，我们要研究这两组变量之间的相关关系，如何给两组变量之间的相关性以数量的描述.当q p 1时，就是我们常见的研究两个变量X 与Y 之间的简单相关关系，其相关系数是最常见的度量，定义为：)()(),(Y Var X Var Y X Cov xy当1 p ,1 q （或1,1 p q ）时，p 维随机向量'21),(p X X X X ，设),(~1p N Y X ， 22211211，其中，11 是第一组变量的协方差阵，12 是第一组与第二组变量的协方差阵，22 是第二组变量的协方差阵.则称221211121R 为Y 与p X X X ,,,21 的全相关系数，全相关系数用于度量一个随机变量Y 与另一组随机变量p X X X ,,,21 的相关系数.当1, q p 时，利用主成分分析的思想，可以把多个变量与多个变量之间的相关化为两个新的综合变量之间的相关.也就是做两组变量的线性组合即X X X X U p p '2211 Y Y Y Y V q q '2211其中，'21),,,(p 和'21),,,(q 为任意非零向量，于是我们把研究两组变量之间的问题化为研究两个变量V U 与之间的相关问题，希望寻求 ，使U ，V 之间最大可能的相关，我们称这种相关为典型相关，基于这种原则的分析方法就是典型相关分析.第2章 典型变量与典型相关系数2.1 总体典型相关设有两组随机变量'21),,,(p X X X X ,'21),,,(q Y Y Y Y ,分别为维维和q p 随机向量，根据典型相关分析的思想，我们用X 和Y 的线性组合X ' 和Y ' 之间的相关性来研究两组随机变量X 和Y 之间的相关性.我们希望找到 和，使得）（‘Y X ', 最大.由相关系数的定义)()(),(),(''''''Y Var X Var Y X Cov Y X易得出对任意常数d c f e ,,,，均有),(])(,)([''''Y X d Y c f X e这说明使得相关系数最大的Y X '', 并不唯一.因此，为避免不必要的结果重复，我们在求综合变量时常常限定1)(' X Var ， 1)(' Y Var于是，我们就有了下面的定义：设有两组随机变量'21),,(p X X X X ，'21),,(q Y Y Y Y ，q p 维随机向量Y X 的均值向量为零，协方差阵0 （不妨设q p ）.如果存在'1111),,(p 和'1111),,(q ，使得在约束条件1)(' X Var ，1)(' Y Var 下，),(m ax ),('''1'1Y X Y X则称Y X '1'1, 是Y X ,的典型相关变量，它们之间的相关系数称为典型相关系数；其他典型相关变量定义如下：定义了前1 k 对典型相关变量之后，第k 对典型相关变量定义为：如果存在'1),,(pk k k 和'1),,(qk k k ，使得 ⑴ Y X k k '', 和前面的1 k 对典型相关变量都不相关；⑵ 1)(' X Var k ，1)(' Y Var k ； ⑶ Y X k k '' 和的相关系数最大，则称Y X k k '' 和是Y X ,的第k 对（组）典型相关变量，它们之间的相关系数称为第k 个典型相关系数（p k ,,2 ）.2.2 样本典型相关以上是根据总体情况已知的情形进行，而实际研究中，总体均值向量 和协方差阵 通常是未知的，因而无法求得总体的典型相关变量和典型相关系数，首先需要根据观测到的样本数据阵对 进行估计. 2.2.1 第一对典型相关变量的解法设总体'11),,,,,(q p Y Y X X Z ，已知总体的n 次观测数据为：1)()()()(q p t t t Y X Z （n t ,,2,1 ）， 于是样本数据阵为)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x若假定),,(~ q p N Z 则由参考文献【2】中定理2.5.1知协方差阵 的最大似然估计为'1)()()()(1nt t t Z Z Z Z n其中Z = nt t Z n 1)(1，样本协方差矩阵S 为：22211211S S S SS 式中nj j j X X X X n S 1'11)()(1'112)()(1 Y Y X X n S j nj j 21S nj j j X X Y Y n 1')()(1 '122)()(1 Y Y Y Y n S j nj jn j j X n X 11， nj j Y n Y 11令j j X U ' ，j j Y V ' ，则样本的相关系数为nj jnj jj nj j j j V VU UV V U U V U r 1212'1)()()()(),(又因为：X X n X n U n U n j j n j j n j j '1'1'1111Y Y n Y n V n V n j j n j j n j j '1'1'111112''''1'''1)()(1)()(1S Y Y X X n V V U U n S j n j j j n j j V U jj 11''''1'''1)()(1)()(1S X X X X n U U U U n S j n j j j n j j U U jj 22''''1'''1)()(1)()(1S Y Y Y Y n V V V V n S j n j j j n j j V V jj 所以22'11'12'),(S S S V U r j j由于j U ，j V 乘以任意常数并不改变他们之间的相关系数，即不妨限定取标准化的j U 与j V ，即限定j U 及j V 的样本方差为1，故有：1 j j j j V V U U S S （2.2.1） 则 12'),(S V U r j j （2.2.2） 于是我们要求的问题就是在（2.2.1）的约束条件下，求p R ，q R ，使得式（2.2.2）达到最大.这是条件极值的问题，由拉格朗日乘子法，此问题等价于求 ， ，使)1(2)1(2),(22'11'12'S S S（2.2.3） 达到最大.式中，，为拉格朗日乘数因子.对上式分别关于 ， 求偏导并令其为0，得方程组：0022211112S S S S （2.2.4）分别用' ，' 左乘方程（2.2.4）得22'21'11'12'S S S S 又 '12')( S 21'S 所以'12'21')(S S也就是说，正好等于线性组合U 与V 之间的相关系数，于是（2.2.4）式可写为：0022211112 S S S S 或 022211211S S S S（2.2.5） 而式（2.2.5）有非零解的充要条件是：022211211S S S S （2.2.6）该方程左端是的q p 次多项式，因此有q p 个根.求解的高次方程（2.2.6），把求得的最大的代回方程组（2.2.5），再求得 和 ，从而得出第一对典型相关变量.具体计算时，因的高次方程（2.2.6）不易解，将其代入方程组（2.2.5）后还需求解q p 阶方程组.为了计算上的方便，我们做如下变换：用12212 S S 左乘方程组（2.2.5）的第二式，则有12212 SS 21S -02212212S S S 即 12212 S S 21S = 12S又由（2.2.5）的第一式，得 1112S S代入上式： 12212 SS 21S 0112S(0)1122112212 S S S S （2.2.7）再用111 S 左乘式（2.2.7），得(111S12212 SS 0)221p I S （2.2.8）因此，对2有p 个解，设为22221p r r r ，对 也有p 个解.类似地，用11121 S S 左乘式（2.2.5）中的第一式，则有011111211211121S S S S S S （2.2.9）又由（2.2.5）中的第二式，得2221S S代入到（2.2.8）式，有 11121( SS 12S 0)222S再以122 S 左乘上式，得0)(21211121122q I S S S S （2.2.10）因此对2有q 个解，对 也有q 个解，因此2为111S 12212 S S 21S 的特征根， 是对应于2的特征向量.同时2也是1211121122S S S S 的特征根， 为相应特征向量.而式（2.2.8）和（2.2.10）有非零解的充分必要条件为：002121112112222112212111q p I S S S S I S S S S （2.2.11）对于（2.2.11）式的第一式，由于011 S ，022 S ，所以0111S ，0122 S ，故有：2112212111S S S S 2121221221221112111S S S S S S 而2121221221221112111S S S S S S 与2111211222122122111 S S S S S S 有相同的特征根.如果记T 12212111 S S S则 2111211222122122111S S S SS S='T T类似的对式（2.2.11）的第二式，可得T T S S SSS S'21221221112111212122而'T T 与T T '有相同的非零特征根，从而推出（2.2.8）和（2.2.10）的非零特征根是相同的.设已求得'T T 的p 个特征根依次为： 022221p则T T '的q 个特征根中，除了上面的p 个外，其余的p q 个都为零.故p 个特征根排列是021 p ，, 1210 p p ，因此，只要取最大的1 ，代入方程组（2.2.5）即可求得相应的1 ，1 .令U =X '1 与Y V '1 为第一对典型相关变量，而1'112'1),( S V U r 为第一典型相关系数.可见求典型相关系数及典型相关变量的问题，就等价于求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量. 2.2.2 典型相关变量的一般解法从样本典型相关变量的解法中，我们知道求典型相关变量和典型相关系数的问题，就是求解'T T 的最大特征值及相应的特征向量.不仅如此，求解第k 对典型相关变量和典型相关系数，类似的也是求'T T 的第k 大的特征值和相应的特征向量.下面引用参考文献【2】中定理10.1.1 来得出样本典型相关的一般求法.设总体的n 次观测数据为：1)()()()( q p t t t Y X Z （n t ,,2,1 ） 不妨设q p ，样本均值为0，协方差矩阵S 为：22211211S S S SS 0 记2122122111S S ST ，并设p 阶方阵'T T 的特征值依次为022221p （p i i ,,1,0 ）；而p l l l ,,,21 为相应的单位正交特征向量.令 kk l S2111，k k k S S 211221则X U k k '，Y V kk '为Y X ,第k 对典型相关变量，'k为第k 典型相关系数. 由上述分析不难看出，典型相关系数i 越大说明相应的典型变量之间的关系越密切，因此一般在实际中忽略典型相关系数很小的那些典型变量，按i 的大小只取前n 个典型变量及典型相关系数进行分析. 2.2.3 从相关矩阵出发计算典型相关以上我们从样本协方差阵S 出发，导出了样本典型相关变量和样本典型相关系数.下面我们从样本相关阵R 出发来求解样本典型相关变量和样本典型相关系数.设样本相关阵为)(ij r R ，其中jj ii ij ij s s s r / ，ij s 为样本协方差阵S 的i 行j 列元素.把R 相应剖分为22211211R R R R R 有时，Y X 和的各分量的单位不全相同，我们希望在对各分量作标准化变换之后再做典型相关.记)(1X E ，)(2Y Epp s s D 00111q p q p p p s s D ,1,1200则 111111D R D S ，222222D R D S 212112D R D S ，121221D R D S , 对Y X 和的各分量作标准化变换，即令)(111* X D X ，)(212* Y D Y现在来求*X 和*Y 的典型相关变量*'*X i ，*'*Y i ，m i ,,2,1 . **11111111X X S D S D R**11222222Y Y S D S D R **11112212X Y S D S D R **11221121Y X S D S D R于是1121122121111112112112221212121111111112112212111)()( D S S S S D D S D D S D D S D D S D R R R R因为 2112212111S S S S i i i r 2 1121122121111 D S S S S D )()(121i i i D r D 所以 2112212111R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ，有111'1111'*11'* i i i i i i S D R D R同理： 1211121122R R R R *2*i i i r 式中*i i D 1 ，有122'2222'*22'* i i i i i i S D R D R ，由此可见*i ，*i 为**,Y X 的第i 对典型系数，其第i 个典型相关系数为i r ，在标准化变换下具有不变性.第3章 典型相关变量的性质根据典型相关分析的统计思想及推导，我们归纳总结了典型相关变量的一些重要性质并对总体与样本分别给出证明.性质1 同一组的典型变量互不相关 ⅰ总体典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ，Y V i i ' ，m i ,,2,1则有 0),( j i U U 0),( j i V V m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关设Y X 与的第i 对典型变量为X U i i ' ，Y V i i ' ，m i ,,2,1因为 '111i i U U i i S S ，'221i iVV i i S S ，m i ,,2,1 '11(,)0i j i j U U i j r U U S S ，m j i 1'22(,)0i ji j VV i j r V V S S ，m j i 1 表明由X 组成的第一组典型变量m U U U ,,,21 互不相关，且均有相同的方差1；同样，由Y 组成的第二组典型变量m V V V ,,,21 也互不相关，且也有相同的方差1.性质2 不同组的典型变量之间的相关性ⅰ总体典型相关i i i V U ),( m i ,,2,10),( j i V U m j i 1 证明详见参考文献【5】. ⅱ样本典型相关i i i i i r V U r S ),(12' ， m i ,,2,1'1211''22111222(,)0,1i j i j U V i ji j j i j r U V S S S S S r i j m表明不同组的任意两个典型变量，当j i 时，相关系数为i r ；当j i 时是彼此不相关的.记'21),,,(m U U U U ，'21),,,(m V V V V ，则上述性质可用矩阵表示为 ,UU m VV m S I S IUV S或 mm IU S I V其中12(,,...,)m diag r r r性质3 原始变量与典型变量之间的关系 求出典型变量后，进一步计算原始变量与典型变量之间的相关系数矩阵，也称为典型结构.下面我们分别对总体与样本进行讨论.ⅰ总体典型相关的原始变量与典型变量的相关性详见参考文献【2】. ⅱ样本典型相关 记m p ij m A )(),,,(21 m q ij m B )(),,,(21S22211211S S S S =q p q p p q p pq p q p q p p p p p p p q p p p p pp p q p p p s s s s s s s s s s s s s s s s ,1,,1,,11,1,11,1,1,1,11,1111则A S X A X A X X n S n i i XU11'''1)()(1 B S X B X B X X n S n i i XV12'''1)()(1 A S X A X A Y Y n S n i i YU21'''1)()(1 B S Y B Y B Y Y n S n i i YV22'''1)()(1所以利用协方差进一步可以计算原始变量与典型变量之间的相关关系.若假定原始变量均为标准化变量，则通过以上计算所得到的原始变量与典型变量的协方差阵就是相关系数矩阵.1(,)pi j ik k r X U s,1(,)qi j i p k k r X V sp i ,,2,1 ， m j ,,2,1,1(,)pi j i p k kjk r Y U s,1(,)qi j i p p k kjk r Y V s q i ,,2,1 ， m j ,,2,1性质4 设Y X 和分别为维维和q p 随机向量，令d X C X '*，h Y G Y '*，其中C 为p p 阶非退化矩阵，d 为p 维常数向量，G 为q q 阶非退化矩阵，q h 为维常数向量.则：ⅰ对于总体典型相关有：⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ，其中i i a C a 1* ，i i b G b 1* （p i ,,2,1 ）；而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a Y b X a i i i i ，即线性变换不改变相关性. 证明详见参考文献【2】.ⅱ对于样本典型相关有：⑴ **Y X 和的典型相关变量为*'*)(X a i 和*'*)(Y b i ，其中i i a C a 1* ，i i b G b 1* （p i ,,2,1 ）；而i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数.⑵ ],[])(,)[(''*'**'*Y b X a r Y b X a r i i i i ，即线性变换不改变相关性. 证明：⑴ 设**Y X 和的典型相关变量分别为*'*)(X a U i ，*'*)(Y b V i由于 i i a C a 1* ，i i b G b 1*d X C X '*，h Y G Y '*所以 d C a X a d X C C a d X C a C U i i i i '1''''1'''1)()()()()(h G b Y b h Y G G b h Y G b G V i i i i '1''''1'''1)()()()()(即有i i b a 和是Y X 和的第i 对典型相关变量的系数. ⑵ 由⑴的证明可知*'*)(X a U i d C a X a i i '1'')( *'1'''*)()(h G b Y b Y b V i i i由于d C a i '1')( 与h G b i '1')( 都是常数，所以],[])(,)([])(,)[('''1'''1''*'**'*Y b X a r h G b Y b d C a X a r Y b X a r i i i i i i i i 即有线性变换不改变相关性.性质5 简单相关、复相关和典型相关之间的关系当1 q p ， Y X 与之间的（惟一）典型相关就是它们之间的简单相关；当Y X q p 与时或,11 之间的（惟一）典型相关就是它们的复相关.复相关是典型相关的一个特例，而简单相关又是复相关的一个特例.从第一个典型相关的定义可以看出，第一个典型相关系数至少同)(Y X 或的任一分量与)(X Y 或的复相关系数一样大，即使所有这些复相关系数都很小，第一个典型相关系数仍可能很大；同样，从复相关的定义也可以看出，当1 p （或1 q ）时，)()(X Y Y X 或与或之间的复相关系数也不会小于)()(X Y Y X 或与或的任一分量之间的相关系数，即使所有这些相关系数都很小，复相关系数仍可能很大.第4章 典型相关系数的显著性检验设总体Z 的两组变量'21),,,(p X X X X ，'21),,,(q Y Y Y Y ，且'),(Y X Z ),(~ q p N ，在做两组变量X ，Y 的典型相关分析之前，首先应该检验两组变量是否相关，如果不相关，则讨论两组变量的典型相关就毫无意义. 1．考虑假设检验问题：0H ：021 m1H ：m ,,,21 至少有一个不为零其中 q p m ,m in .若检验接受0H ，则认为讨论两组变量之间的相关性没有意义；若检验拒绝0H ，则认为第一对典型变量是显著的.上式实际上等价于假设检验问题0H ：0),(12 Y X Cov ， 1H ：012用似然比方法可导出检验0H 的似然比统计量||||||2211S S S其中q p 阶样本离差阵S 是 的最大似然估计，且S =22211211S S S S ，11S ，22S 分别是11 ，22 的最大似然估计.该似然比统计量 的精确分布已由霍特林（1936），Girshik （1939）和Anderson （1958）给出，但表达方式很复杂，又不易找到该分布的临界值表，下面我们采用 的近似分布.利用矩阵行列式及其分块行列式的关系，可得出：||·||||21122121122S S S S S S =|S S S S |·|S |·||21-12212-1111122 p S所以)1(001001||212212112212111ipi p p S S S S其中 2i是'TT 的特征值（2122122111S S S T ），按大小次序排列为 2122 02 p，当1 n 时，在0H 成立下 ln 0m Q 近似服从2f 分布，这里pq f ，)1(211 q p n m ，因此在给定检验水平 之下，若由样本算出的20 Q 临界值，则否定0H ，也就是说第一对典型变量1 U ，1V 具有相关性，其相关系数为1 ，即至少可以认为第一个典型相关系数1为显著的.将它除去之后，再检验其余1 p 个典型相关系数的显著性，这时用Bartlett 提出的大样本2 检验计算统计量：pi ip22223221)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q近似地服从（1 p ）（1 q ）个自由度的2分布，如果21 Q ，则认为2显著，即第二对典型变量2U ，2V 相关，以下逐个进行检验，直到某一个相关系数k检验为不显著时截止.这时我们就找出了反映两组变量相互关系的1 k 对典型变量.2．检验)(0k H ： ),,2(0p k k当否定0H 时，表明Y X ,相关，进而可以得出至少第一个典型相关系数01 ，相应的第一对典型相关变量11,V U 可能已经提取了两组变量相关关系的绝大部分信息.两组变量余下的部分可认为不相关，这时0 k ),,2(p k ，故在否定0H 后，有必要再检验)(0k H ),,2(p k ，即第k 个及以后的所有典型相关系数均为0),,3,2(p k .为了减少计算量，下面我们采用二分法来减少检验次数，取检验统计量为p ki i k q p k n Q )1ln()]1(21[2它近似服从)1)(1( k q k p 个自由度的2 分布.在检验水平 下，若)]1)(1[(2k q k p Q k ，则拒绝0H ，即认为第k 对典型相关系数在显著性水平 下是显著的，否则不显著.从第2个典型相关系数到第p 个典型相关系数，共1 p 个数，所以根据二分法的原理，将它们分为一个区间 p ,2，然后先检验第 21p 个典型相关系数即中位数，当021p 时，即认为第 21p 个典型相关系数不相关，否定原假设，接着检验21,2p ；若当021p 时，则检验p p ,21.如此划分区间依次检验下去，由数学分析上的区间套定理，一定存在第k 个数),,3,2(p k ，使得01 k ，而0 k .以上的一系列检验实际上是一个序贯检验，检验直到对某个k 值0H 未被拒绝为止.事实上，检验的总显著性水平已不是 了，且难以确定.还有，检验的结果易受样本容量大小的影响.因此，检验的结果只宜作为确定典型变量个数的重要参考依据，而不宜作为惟一的依据.第5章 典型相关分析的计算步骤及应用实例5.1 典型相关分析的计算步骤设)()1(,,n X X 为取自正态总体的样本（实际上，相当广泛的情况下也对），每个样品测量两组指标，分别记为'1),,(p X X X ，'1),,(q Y Y Y ，原始资料矩阵为：)(212122221222211121111211q p n nq n n np n n q p q p y y y x x x y y y x x xy y y x x x第一步 计算相关矩阵R ，并将R 剖分为22211211R R R R R 其中11R ，22R 分别为第一组变量和第二组变量之间的相关系数矩阵，'2112R R 为第一组与第二组变量之间的相关系数.第二步 求典型相关系数及典型变量首先求2112212111R R R R A的特征根 2i，特征向量)(1i D；1211121122R R R R B的特征根2i，特征向量)(2i D.)()(111)(i i D D，)()(212)(i i D D写出样本的典型变量为 X U ’)1(1，Y V ’)1(1X U ’)2(2，Y V ’)2(2X U p p ’)(，Y V p p ’)(第三步 典型相关系数的显著性检验 首先，检验第一对典型变量的相关系数，即0H ：0^1 ，1H ：0^1它的似然比统计量为pi i p1^2^2^22^211)1()1()1)(1(则统计量11ln )]1(212[ q p n Q给定显著性水平 ，查表得2，若21 Q ，则否定0H ，认为第一对典型变量相关，否则不相关.如果相关则依次逐个检验其余典型相关系数，直到某一个相关系数^k ),,2(p k 检验为不显著时截止.5.2 实例分析例1：某康复俱乐部对20名中年人测量了三个生理指标：体重)(1x 、腰围（2x ）、脉搏（3x ）和三个训练指标：引体向上（1y ）、起坐次数（2y ）、跳跃次数（3y ）.数据如附录1：解：记'321),,(x x x X ，'321),,(y y y Y ，其中样本容量20 n .附录1中的数据用SPSS 统计软件计算得六个变量之间的相关矩阵如下：n Sig.(2-tailed) .113 .127. .526 .340 .884 N 20 20 20 202020 Y1Pearson Correlatio n -.390 -.552(*) .1511 .696(**).496(*)Sig.(2-tailed) .089 .012.526 . .001 .026 N 20 20 20202020Y2PearsonCorrelatio n -.493(*)-.646(**).225 .696(**) 1 .669(**)Sig.(2-tailed) .027 .002.340 .001 . .001 N 20 20 20 202020 Y3Pearson Correlatio n -.226 -.191 .035.496(*) .669(**)1Sig.(2-tailed) .337 .419.884 .026 .001 . N 20 2020202020** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).即样本相关矩阵为：11R =1353.0366.01870.0122R =1669.0496.01696.01'2112R R =035.0225.0151.0192.0646.0552.0226.0493.0390.0于是特征方程 022112212111 R R R R用Matlab 求得矩阵2112212111R R R R 的特征值分别为0.6630、0.0402和0.0053，于是 797.01 ，201.02 ，073.03下面我们进行典型相关系数的显著性检验，先检验第一对典型变量的相关系数，欲检验：0H ：01 ， 1H ：01 它的似然比统计量为)1)(1)(1(2322211 =3504.0)0053.01)(0402.01)(6330.01( 255.163504.0ln 5.15ln )]333(2120[11 Q查2 分布表得，919.16)9(205.0 ，因此在05.0 的显著性水平下，)9(205.01 Q ，所以拒绝原假设0H ，也即认为第一对典型相关变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数，即进一步检验：0H ：02 ， 1H ：02它的似然比统计量为9547.0)0053.01)(0402.01()1)(1(23222 )4(488.9745.09547.0ln 08.16ln ])333(21120[205.02212 Q 所以无法否定原假设0H ，故接受0H ：02 ，即认为第二对典型相关变量不是显著相关的.由以上检验可知只需求第一对典型变量即可. 于是求797.01 的特征向量 *1，而*1*12112211R R ，解得059.0579.1775.0*1，716.0054.1350.0*1 ， 因此，第一对样本典型变量为*3*2*1*1059.0579.1775.0x x x u *3*2*1*1716.0054.1350.0y y y vY X 与第一对典型变量的相关系数为797.01 ，可见两者的相关性较为密切，即可认为生理指标与训练指标之间存在显著相关性.例2：为了研究某企业不同部门人员工作时间的关系，随机选取25个企业进行入户调查，达到25个被访企业业务部门和技术部门经理每月工作时间和员工每月工作时间（单位为小时），具体数据如附表2分析：设业务部门经理和员工每月工作时间为（21,X X ），技术部门经理和员工每月工作时间为（21,Y Y ），利用典型相关分析研究企业业务部门和技术部门人员工作时间的关系.解：样本容量为25 n ，2 p ，2 q 分别为随机变量Y X 与的维数.⑴ 标准化随机变量'21),(X X X 与'21),(Y Y Y .根据样本均值i x与标准差ii S ，依照公式iiiki ki S x x x*，对数据标准化.⑵ 求解Y X 的相关矩阵R ，并将其分块yy yxxy xx R RR R R . 将数据输入SPSS 软件求得相关系数矩阵如下：Correlations** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).所以样本相关矩阵1834.0705.0705.01693.0711.01735.01R 分块后2222 yy yx xy xx R RR R R ⑶ 求解534949.0538840.0538840.0544309.011111yx yy xy xx R R R R M 的两个非零特征根，解得两个非零特征根为6218.021 ，0029.022 .⑷ 进行相关系数的显著性检验，取r m 个显著性检验不为0的特征根.Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ，Y X 与第二对典型变量的相关系数为0537.02 .先检验第一对典型变量的相关系数，假设01H ：01 （即第一对典型变量不相关），由典型相关系数的值可得3771.0)1)(1(22211计算统计量97.203771.0ln )5.224(ln )]1(21)1[(11 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0488.9)4()1)(1(97.20205.021 m q m p Q所以否定零假设.01H ：01 ，即第一对典型变量是显著相关的.然后检验第二对典型变量的相关系数，假设02H ：02 （即第二对典型变量不相关），由典型相关系数的值可得9971.0)1(222 计算统计量05945.09971.0ln )5.224(ln )]1(21)2[(22 q p n Q 对于给定的显著性水平05.0841.3)1()1)(1(05945.0205.022 m q m p Q所以无法否定假设.02H ：02 ，即第二对典型变量不是显著相关的.由以上检验可知，只需求第一对典型变量即可.⑸ 求1 m 个显著性检验不为0的特征根21 的特征向量1l ，而11111l R R m yx yy，解得'1)521548.0,55216.0( l ，'1)538134.0,504018.0( m .⑹ 求出r 对典型相关变量X l u j j ' ，Y m v j j ' ，.,,2,1m j 根据上面求得的特征向量11m l 和，得第一对典型相关变量为21'1121'11538134.0504018.0521548.055216.0Y Y Y m v X X X l u Y X 与第一对典型变量的相关系数为7885.01 ，可见其相关性较为密切.⑺ 由于21'11521548.055216.0X X X l u ，与业务部门经理和员工每月工作时间都成正比，而且系数差不多，所以u可以解释为业务部门人员工作时间.同1理v可以解释为技术部门人员的工作时间.可见一个企业技术部门和业务部门人1员月工作时间存在显著的相关性.典型相关分析是一种采用类似主成分分析的做法，在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标（变量的线性组合），通过研究两组的综合指标之间的关系来反映两组变量之间的相关关系.在实际中，只须着重研究相关关系较大的那几对典型相关变量.本文首先根据典型相关分析的统计理论，初步探讨了总体典型相关变量和典型相关系数，然后重点讨论了样本典型相关分析，以及它们的一系列性质与显著性检验，并做了相应的实例分析.通过实例分析，我们进一步明确了典型相关分析是研究两组变量之间相关性的一种降维技术的统计分析方法.而复相关是典型相关的一个特例，简单相关是复相关的一个特例.第一对典型相关包含有最多的有关两组变量间相关的信息，第二对其次，其他对依次递减.各对典型相关变量所含的信息互不重复.并且经标准化的两组变量之间的典型相关系数与原始的两组变量间的相应典型相关系数是相同的.本文是在我的指导老师吴可法教授的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学习生涯和论文工作中无不倾注着老师的辛勤汗水和殷切关怀.吴老师宽厚的人格、敏捷的思维、严谨的治学态度、渊博的知识、积极向上的人生态度、平易近人的师长风范和两年来的谆谆教导，使我深受启迪，并永远铭记在心.从吴老师身上，我不仅学到了扎实的专业知识和技能，更学到了做人的道理，这些教诲必将成为惠及一生的宝贵财富.在此谨向吴老师致以最衷心的感谢和美好的祝愿!论文期间，我得到了许多老师和同学的帮助，本人在这里对他们致以衷心的感谢.我还要感谢我的家人，是他们的理解、支持和鼓励，使我的学习能够顺利进行.最后衷心感谢在百忙之中评审论文和参加答辩的各位专家、教授!。
cca分析
cca分析概述随着科技的不断发展，计算机科学领域不断涌现出新的研究和应用方向。
其中，CCA（Canonical Correlation Analysis，典型相关分析）作为一种多变量统计分析方法，在数据挖掘和模式识别等领域具有广泛的应用。
本文将对CCA进行详细的分析和讨论，介绍其原理、应用和相关的研究进展。
第一部分：CCA的原理CCA是一种统计方法，用于探索变量之间的相关性关系。
它通过寻找一种线性转换，将两组变量投影到低维子空间，使得在该子空间中两组变量的投影向量相关性最大。
换句话说，CCA可以通过最大化两组变量之间的相关性来发现它们之间的潜在联系。
具体来说，假设我们有两组变量X和Y，其中X包含n个样本和p个特征，Y包含n个样本和q个特征。
我们可以将X和Y分别表示为X=[x1,x2,...,xp]和Y=[y1,y2,...,yq]，其中xi和yj分别表示第i个样本的第j个特征。
CCA的目标是找到两个转换矩阵Wx和Wy，将X和Y映射到低维空间，使得映射后的变量能够最大化它们之间的相关性。
形式化地说，我们可以定义两个相关性系数ρi，用于衡量映射后的变量对应的两个特征的相关程度。
这两个相关系数可以表示为：ρi = corr(Tx[:,i], Ty[:,i]), i=1,2,...,min(p,q)其中Tx和Ty分别是X和Y在低维空间中的映射结果。
为了最大化相关系数ρi，CCA可以通过求解以下优化问题来实现：max correlation(X*Wx[:,i], Y*Wy[:,i])其中X*和Y*分别是X和Y的中心化版本，将样本均值减去。
通过求解上述优化问题，我们可以得到最优的映射矩阵Wx和Wy，将X和Y映射到相关性最大的低维空间。
第二部分：CCA的应用现实生活中，CCA广泛应用于多个领域，包括数据挖掘、模式识别、生物信息学等。
以下是一些CCA的典型应用场景：1. 语音信号处理：在语音识别任务中，CCA可以用于挖掘语音信号和语音识别结果之间的相关性，从而提高识别准确率。
cca算法具体计算过程
cca算法具体计算过程
CCA（Canonical Correlation Analysis，典范相关分析）是一种多变量统计分析方法，用于探索两组变量之间的相关性。
它的计算过程可以分为以下几个步骤：
1. 数据准备，首先，我们需要准备两组变量的数据，通常分别表示为X和Y。
每组变量可以包含多个变量，但是它们的观测值需要是成对的。
2. 数据标准化，为了消除量纲的影响，通常会对X和Y进行标准化处理，使它们的均值为0，标准差为1。
3. 计算相关系数矩阵，接下来，我们计算X和Y的相关系数矩阵。
这可以通过计算X和Y的协方差矩阵，然后将其标准化得到相关系数矩阵。
4. 计算特征值和特征向量，对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
5. 选择特征向量，根据特征值的大小，我们选择与较大特征值
对应的特征向量。
通常，我们选择与前k个最大特征值对应的特征
向量，其中k是我们希望保留的维度数量。
6. 计算典范变量，将所选的特征向量与原始数据进行线性变换，得到典范变量。
这些典范变量是X和Y的线性组合，使它们之间的
相关性最大化。
7. 计算典范相关系数，最后，我们计算典范变量之间的相关系数，这些相关系数被称为典范相关系数，它们衡量了X和Y之间的
相关性。
总的来说，CCA的计算过程涉及数据准备、数据标准化、相关
系数矩阵的计算、特征值分解、特征向量的选择和典范变量的计算。
通过这些步骤，我们可以找到X和Y之间最大化相关性的线性组合，从而探索它们之间的关系。
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，简称CCA）是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。
这种方法最早由哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）于1936年提出。
随着数据科学和统计学的发展，CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。
本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。
二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。
设有两个随机向量 (X) 和 (Y)，它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。
CCA旨在寻找一种线性组合，使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。
换句话说，它通过最优化两个集合的线性组合，来揭示它们之间的关系。
2. 数学模型假设我们有两个数据集：(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为：(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。
通过最大化协方差 ((U, V))，我们得到最大典型相关系数 ()，公式如下：[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b)，我们可以获得多个典型变量，从而得到不同维度的相关信息。
三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前，需要确保数据集满足一定条件。
一般来说，应对数据进行标准化处理，以消除可能存在的量纲差异。
可以使用z-score标准化的方法来处理数据。
2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵，并进一步求出其逆矩阵。
给定随机向量 (X) 和 (Y)，我们需要计算如下协方差矩阵：[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时，求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。
学术研究中的典型相关分析方法
学术研究中的典型相关分析方法一、引言典型相关分析是一种广泛应用于社会科学和生物统计学领域的统计方法，主要用于研究两个或多个变量之间的关系。
典型相关分析能够从大量数据中提取出有用的信息，帮助研究者更好地理解研究对象之间的相互作用。
本文将详细介绍典型相关分析的基本原理、步骤和应用，为学术研究提供有益的参考。
二、典型相关分析的基本原理典型相关分析是一种用于探索多个变量之间关系的方法。
它通过寻找一组代表性变量，来反映原始变量之间的相关关系。
这些代表性变量通常被称为主成分或典型变量，它们能够反映原始变量的绝大部分信息。
通过分析典型变量之间的关系，可以推断出原始变量之间的潜在关系。
典型相关分析的基本原理可以概括为以下三个步骤：1.数据的降维：通过主成分分析或类似的方法，将原始数据从多个维度降至少数几个典型变量。
2.寻找代表性变量：根据典型变量的方差贡献和相关性，选择最重要的几个典型变量。
3.解释原始变量之间的关系：通过分析典型变量之间的关系，推断出原始变量之间的潜在关系。
三、典型相关分析的步骤典型相关分析通常包括以下步骤：1.准备数据：收集并整理需要进行分析的数据，确保数据的质量和准确性。
2.降维：使用主成分分析、独立成分分析或其他降维方法，将数据从多个维度降至少数几个典型变量。
3.确定典型变量：根据方差贡献和相关性，选择最重要的几个典型变量。
4.统计分析：使用适当的统计方法，如线性回归、相关系数等，分析典型变量之间的关系，并解释其意义。
5.结果解释：将典型变量之间的关系与原始变量之间的相关性进行比较，推断出原始变量之间的潜在关系。
四、典型相关分析的应用典型相关分析在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于社会学、心理学、生物学和医学。
以下是一些典型相关分析的应用实例：1.研究社会现象：在研究社会现象时，典型相关分析可以用于探索人口统计学特征（如年龄、性别、教育水平等）与行为、态度和价值观之间的关系。
通过分析典型变量，可以更深入地了解社会现象的内在机制。
典范对应分析课件
典范对应分析
引言
• CCA方法简介 • CCA方法优缺点 • CCA排序的基本步骤 • DCCA排序
典范对应分析
2
一、CCA方法简介
• 典范对应分析（canonical correspondence analysis, CCA）， 是基于对应分析发展而来的一种排序方法，将对应分析与多元 回归分析相结合，每一步计算均与环境因子进行回归，又称多 元直接梯度分析。其基本思路是在对应分析的迭代过程中，每 次得到的样方排序坐标值均与环境因子进行多元线性回归。 CCA要求两个数据矩阵，一个是植被数据矩阵，一个是环境数 据矩阵。首先计算出一组样方排序值和种类排序值（同对应分 析），然后将样方排序值与环境因子用回归分析方法结合起来， 这样得到的样方排序值即反映了样方种类组成及生态重要值对 群落的作用，同时也反映了环境因子的影响，再用样方排序值 加权平均求种类排序值，使种类排序坐标值值也间接地与环境 因子相联系。其算法可由Canoco软件快速实现。
数据进行标准化，这里是个简单的例子，我们将两环境因子 中心化得到新的矩阵
典范对应分析
6
zj
样方 1
2
3
4
5
6
7
环境因子
-0.03 -0.13 -0.13 0.7 0.37 -0.13 -0.03 1
2
-0.14 0.26 0.16 -0.24 -0.24 0.16 0.06
下面是CCA排序的基本过程： 第一步：任意给定样方排序初始值（1,2,3,4,1,2,3）
Z*={Zj*}=（z1*，z2*，...，zn*） U={Ukj}，为（q+1）x N维矩阵，包括环境因
U ...
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析(CCA)简介在现代统计学和数据分析领域，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种重要的方法，用于研究和揭示多变量之间的关系。
当我们面对多组变量时，传统的相关性分析往往无法完全捕捉不同变量之间的复杂关联。
典型相关分析为解决这一问题提供了一种有效的工具，尤其适用于社会科学、心理学、医学和市场研究等领域。
本文将对典型相关分析的基本概念、原理、计算方法及其应用进行详细介绍。
典型相关分析的基本概念典型相关分析是一种多变量统计技术，它旨在找出两组变量之间的关系结构。
具体而言，假设我们有两组变量，分别为 (X) 和 (Y)，其中 (X) 包含(p)个变量，(Y)包含(q)个变量。
典型相关分析的目标是通过线性组合找出两个线性组合使得这两个组合之间的相关性最大化。
更具体地说，我们希望找到以下形式的线性组合： - (U =a_1X_1 + a_2X_2 + … + a_pX_p) - (V = b_1Y_1 + b_2Y_2 + … + b_qY_q)使得 (U) 和 (V) 之间的相关系数达到最大值，继而进一步探索(U) 和 (V) 与原始变量之间的联系。
CCA 的基本原理典型相关分析建立在协方差矩阵基础上。
在进行 CCA 前，我们通常会首先计算 (X) 和 (Y) 的协方差矩阵。
然后，我们需要解一个特征值问题，通过特征根和特征向量来捕捉到不同线性组合下变量间的典型相关性。
整个过程可以分为以下几个步骤：计算协方差矩阵：首先计算系列变数X与Y的样本均值，然后构建对应的协方差矩阵。
求解特征值问题：通过构造一个标准特征值问题 ((X,Y){}(Y)b = (X,X){}a)，来得到特征值与特征向量。
提取典型相关系数：根据特征值计算出对应的典型相关系数，通过这些系数可以判断两个组变量之间关系强度。
解释结果：通过不同组合下所得到的典型变量，进一步理解各组变量间更深层次的联系和相互影响.CCA 的计算方法在实践中，可以使用多种统计软件，如 R、Python、SAS 等来实现 CCA 分析。
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析（CCA）简介典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）是一种多变量统计分析方法，用于研究两组变量之间的关系。
它可以帮助我们理解两组变量之间的相关性，并找到它们之间的最大相关方向。
本文将对CCA的原理、应用和计算方法进行简要介绍。
一、CCA的原理CCA的基本思想是将两组变量进行线性组合，使得两组变量的相关性最大化。
具体来说，假设我们有两组变量X和Y，其中X包含p个变量，Y包含q个变量。
我们可以将X和Y分别表示为X = [X1, X2, ..., Xp]和Y = [Y1, Y2, ..., Yq]，其中Xi和Yi分别表示X和Y的第i 个变量。
CCA的目标是找到两个线性组合，分别为U和V，使得它们之间的相关性最大化。
我们可以将U和V表示为U = a1X + a2X + ... + apX 和V = b1Y + b2Y + ... + bqY，其中ai和bi是系数。
通过最大化U 和V之间的相关性，我们可以得到最大的典型相关系数。
二、CCA的应用CCA在多个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 生物医学研究：CCA可以用于分析基因表达数据和临床数据之间的关系，帮助研究人员理解基因与疾病之间的关联。
2. 金融领域：CCA可以用于分析不同金融指标之间的关系，帮助投资者进行资产配置和风险管理。
3. 语音识别：CCA可以用于分析语音信号和语音特征之间的关系，帮助改进语音识别系统的性能。
4. 图像处理：CCA可以用于分析图像特征和图像内容之间的关系，帮助改进图像检索和图像分类算法。
三、CCA的计算方法CCA的计算方法可以分为两个步骤：特征提取和典型相关分析。
1. 特征提取：在CCA中，我们需要对原始数据进行特征提取，以便得到更具代表性的特征。
常用的特征提取方法包括主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）等。
2. 典型相关分析：在特征提取之后，我们可以使用CCA来计算两组变量之间的典型相关系数。
典型相关分析(CCA)——快速分析多变量的相关关系
前言：我们先来看一组数据~1）发现问题通过上表我们来探究大学生学术得分和心理得分之间存在着什么关系，其中学术得分来自语文、数学、英语和才艺四种，他们形成第一组变量；而心理得分来自包控制情绪、自我调节和自我激励三种，形成第二组变量。
我们直接对这些变量的相关进行两两分析，很难得到关于这两组变量之间关系的一个清楚的印象2）解决思路因此，我们需要把多个变量与多个变量之间的相关化为两个具有代表性的变量之间的相关3）选出代表代表：能较为综合、全面的衡量所在组的内在规律一组变量最简单的综合形式就是该组变量的线性组合1 典型相关分析1.1 定义典型相关分析是研究两个多变量（向量）之间之间的线性相关关系，能够揭示出两组变量之间的内在联系。
在一元统计分析中，用相关系数来衡量两个随机变量的线性相关关系，用复相关系数研究一个随机变量与多个随机变量的线性相关关系。
然而，这些方法均无法用于研究两组变量之间的相关关系，于是提出了CCA一般有两个典型的目的：1.数据简化：用少量的线性组合来解释两组变量之间的相关作用。
2.数据解释：寻找特征值，这些特征值对于解释两个变量集合之间的相互作用十分关键。
.与主成分分析（PCA）之间的关系：典型相关分析的基本思想和主成分分析的基本思想相似，它将一组变量与另一组变量之间单变量的多重线性相关性研究，转换为少数几对综合变量之间的简单线性相关性的研究，并且这少数几对变量所包含的线性相关性的信息几乎覆盖了原变量组所包含的全部相应信息。
联系：无论是典型相关分析还是主成分分析，都是线性分析的范畴，一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换，通过计算矩阵的特征值与特征向量得出的。
区别：主成分分析中只涉及一组变量的相互依赖关系，而典型相关则扩展到了两组变量之间的相互依赖的关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。
1.2 分析步骤1.首先在每组变量中找到变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。
第六章_典型相关分析
第六章_典型相关分析典型相关分析是一种多元统计分析方法，用于研究两组变量之间的关系。
它可以用来探索两组变量之间的线性关系，并找到最能代表两组变量之间关系的线性组合。
典型相关分析基于两个原始变量集合，每个集合中的变量可能有不同的数量。
它的目标是找到两个线性组合，使得这两个组合之间的相关性最大。
换句话说，典型相关分析试图找到两个最相关的综合变量，以最大程度地描述两组变量之间的关系。
在典型相关分析中，有两个步骤：计算典型变量和计算典型相关系数。
首先，通过将每一组变量进行线性组合，得到两组典型变量。
然后，计算这两组典型变量之间的相关系数，这个相关系数称为典型相关系数。
为了更好地理解典型相关分析，我们可以考虑一个具体的例子。
假设我们想要研究身高、体重和年龄之间的关系。
我们收集了100个人的数据，其中包括身高、体重和年龄这三个变量。
我们可以将身高和体重看作是第一组变量，年龄是第二组变量。
首先，我们通过将身高和体重进行线性组合，得到第一组典型变量。
然后，我们对年龄进行线性组合，得到第二组典型变量。
接下来，我们计算这两组典型变量之间的相关系数，以确定身高、体重和年龄之间的关系强度。
典型相关分析在很多领域都有应用，比如心理学、社会学、经济学等。
例如，在心理学研究中，研究人员可能希望了解个体的性格特征和行为习惯之间的关系。
他们可以使用典型相关分析来找到最能代表这两组变量之间关系的线性组合。
总之，典型相关分析是一种用于研究两组变量之间关系的多元统计方法。
它可以帮助我们找到最相关的综合变量，以最大程度地描述两组变量之间的关系。
典型相关分析在实践中有广泛的应用，可以帮助研究人员深入了解变量之间的复杂关系。
典型相关分析(CCA)附算法应用及程序
典型相关分析摘要利用典型相关分析的思想,提出了解决了当两组特征矢量构成的总体协方差矩阵奇异时，典型投影矢量集的求解问题,使之适合于高维小样本的情形，推广了典型相关分析的适用范围.首先,探讨了将典型分析用于模式识别的理论构架，给出了其合理的描述.即先抽取同一模式的两组特征矢量，建立描述两组特征矢量之间相关性的判据准则函数,然后依此准则求取两组典型投影矢量集,通过给定的特征融合策略抽取组合的典型相关特征并用于分类。
最后,从理论上进一步剖析了该方法之所以能有效地用于识别的内在本质.该方法巧妙地将两组特征矢量之间的相关性特征作为有效判别信息，既达到了信息融合之目的，又消除了特征之间的信息冗余,为两组特征融合用于分类识别提出了新的思路。
一、典型相关分析发展的背景随着计算机技术的发展,信息融合技术已成为一种新兴的数据处理技术，并已取得了可喜的进展.信息融合的3个层次像素级、特征级、决策级.特征融合，对同一模式所抽取的不同特征矢量总是反映模式的不同特征的有效鉴别信息,抽取同一模式的两组特征矢量，这在一定程度上消除了由于主客观因素带来的冗余信息，对分类识别无疑具有重要的意义典型相关分析(CanoniealComponentAnalysis:CCA)是一种处理两组随机变量之间相互关系的统计方法。
它的意义在于:用典型相关变量之间的关系来刻画原来两组变量之间的关系!实现数据的融合和降维！降低计算复杂程度。
二、典型相关分析的基本思像CCA的目的是寻找两组投影方向,使两个随机向量投影后的相关性达到最大.具体讲，设有两组零均值随机变量()T c...ccp21x，，=和()T d...ddq21y，，=CCA 首先要找到一对投影方向1α和1β,使得投影y v 11Tβ= 和x u 11Tα=之间具有最大的相关性,1u 和1v 为第一对典型变量;同 理,寻找第二对投影方向2α和2β,得到第二对典型变量2u 和2v ,使其与第一对典型变量不相关,且2u 和2v 之间又具有最大相关性.这样下去,直到x 与y 的典型变量提取完毕为止。
（CCA）典型相关在线SPSS操作实例讲解，SPSSAU文章
（CCA）典型相关在线SPSS操作实例讲解，SPSSAU文章相关分析是研究两两变量间关系的方法，在现实生活中，变量间的关系往往更加复杂。
比如，要考察多个变量与多个变量（即两组变量）之间的相关性，该如何分析呢？如果用普通的相关分析，不仅费时费力，也无法很好的解释结果，面对这样的数据最好的方法是使用典型相关分析。
典型相关分析（CCA）用于研究一组X与一组Y数据之间的相关关系情况。
它是借助主成分分析思想，从两组变量中提取出一个或少数几个综合变量（即典型变量），从而将对两组变量关系集中到少数几对典型变量间的关系之上。
分析步骤从步骤上讲：典型相关分析共分为三个步骤。
第一步：提取出典型相关变量【非常重要】第二步：寻找典型变量与研究变量之间的关系表达式，以及典型变量与研究变量间的关系情况第三步：典型冗余分析下面通过一个案例让大家对典型相关有更为直观的认识。
案例应用（1）背景为研究运动员体力和运动能力之间的相关关系情况。
共收集38个学生样本进行分析。
测试数据包括体力指标共7项（反复横向跳、纵跳、背力、握力、台阶试验指数、立定体前屈、俯卧向体后仰）；运动能力指标共5项（50米跑时间、跳远、投球、引体向上、耐力跑）。
从上述背景来看，X共由7项表示，Y由5项表示。
若是研究X和Y这两组指标之间的相关关系情况，不能通过常规的相关分析直接研究，因而使用典型相关分析进行研究。
（2）操作步骤使用途径：SPSSAU→进阶方法→典型相关分析时如有需要可保存典型变量，用于后续研究。
（3）结果分析SPSSAU共输出4个表格：表格1用于典型变量表述典型变量之间的相关关系情况；表格2和表格3用于展示典型变量与研究变量间的数学表达式关系和相关有关系；表格4可用于典型冗余分析。
①典型相关系数及显著性结果表1 典型相关系数及显著性结果表1展现的是典型变量的提取情况，上表中共显示共有5个典型变量被提取，经过显著性检验，有2个典型变量呈现出显著性（P<0.01），因此，最终以两个典型变量为准进行后续研究。
典型相关分析评价指标体系
典型相关分析评价指标体系典型相关分析（Canonical Correlation Analysis, CCA）是一种用于研究两组变量之间关系的统计方法。
它通过计算两组变量之间的典型相关系数，帮助我们理解这两组变量的关联程度和相关结构。
评价指标体系是用于评估典型相关分析结果的指标系统，它能够帮助我们判断典型相关结果的可靠性和解释力，以及从中提取有效信息。
下面是一个典型相关分析的评价指标体系。
1. 典型相关系数（Canonical Correlation Coefficient）：典型相关系数是典型相关分析的核心指标，用于衡量两组变量之间的关联程度。
它的取值范围为-1到1之间，值越接近1表示两组变量之间关联程度越高。
2. 统计显著性（Statistical Significance）：在进行典型相关分析时，我们需要判断典型相关系数的统计显著性，即该系数是否显著不等于零。
通常使用显著性检验来评估典型相关系数是否具有统计学上的显著差异。
3. 共同方向向量（Canonical Loadings）：4. 方差解释比例（Variance Explained）：5. 典型变量（Canonical Variables）：6. 变量间相关关系（Variable Correlations）：7. 判别分析（Discriminant Analysis）：8. 变量贡献（Variable Contributions）：综上所述，典型相关分析评价指标体系包括典型相关系数、统计显著性、共同方向向量、方差解释比例、典型变量、变量间相关关系、判别分析和变量贡献等指标，通过综合评估这些指标，我们可以对典型相关分析的结果进行全面的评价和解释，提取其中的有效信息。
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典型相关分析(C C A)附算法应用及程序典型相关分析摘要利用典型相关分析的思想,提出了解决了当两组特征矢量构成的总体协方差矩阵奇异时,典型投影矢量集的求解问题,使之适合于高维小样本的情形,推广了典型相关分析的适用范围.首先,探讨了将典型分析用于模式识别的理论构架,给出了其合理的描述.即先抽取同一模式的两组特征矢量,建立描述两组特征矢量之间相关性的判据准则函数,然后依此准则求取两组典型投影矢量集,通过给定的特征融合策略抽取组合的典型相关特征并用于分类.最后,从理论上进一步剖析了该方法之所以能有效地用于识别的内在本质.该方法巧妙地将两组特征矢量之间的相关性特征作为有效判别信息,既达到了信息融合之目的,又消除了特征之间的信息冗余,为两组特征融合用于分类识别提出了新的思路.一、典型相关分析发展的背景随着计算机技术的发展,信息融合技术已成为一种新兴的数据处理技术,并已取得了可喜的进展.信息融合的3个层次像素级、特征级、决策级。
特征融合，对同一模式所抽取的不同特征矢量总是反映模式的不同特征的有效鉴别信息，抽取同一模式的两组特征矢量，这在一定程度上消除了由于主客观因素带来的冗余信息，对分类识别无疑具有重要的意义典型相关分析(CanoniealComponentAnalysis:CCA)是一种处理两组随机变量之间相互关系的统计方法。
它的意义在于:用典型相关变量之间的关系来刻画原来两组变量之间的关系!实现数据的融合和降维!降低计算复杂程度。
二、典型相关分析的基本思像CCA 的目的是寻找两组投影方向,使两个随机向量投影后的相关性达到最大。
具体讲,设有两组零均值随机变量 ()Tc ...c c p 21x ，，=和()Td ...d d q 21y ，，=CCA 首先要找到一对投影方向1α和1β,使得投影y v 11Tβ= 和x u 11Tα=之间具有最大的相关性,1u 和1v 为第一对典型变量;同 理,寻找第二对投影方向2α和2β,得到第二对典型变量2u 和2v ,使其与第一对典型变量不相关,且2u 和2v 之间又具有最大相关性。
这样下去,直到x 与y 的典型变量提取完毕为止。
从而x 与y 之间的相关性分析,只需通过分析少数几对典型变量的关系即可达到目的。
三、CCA 算法详解考虑到:的极值只与α和β的方向有关,而与它们的大小无关,为了得到唯一解不失一般性,加入限制条件:1xx =ββ=ααyy T T S S问题变为在约束条件式下,求使准则函数式取最大值的典型投影矢量对 α和β求解上述优化问题,可定义拉格朗日函数:分别对α和β求导数,并令为零,得到：(1)(2)(3)(4)(5) (6)对H 进行奇异值分解：分别将x T 1α，x T 2α ，…x T d α 与 x T 1β，x T2β ，…x T d β看做是变换后的特征分量：(7)再对上式两端分别左乘 和 得：记为：T αTβρ=λ=λ21TUSV H =i i T u HH 2u λ=ii T v H H 2v λ=⎪⎩⎪⎨⎧=β=α--i yy i i xx i v S u S 2121令(8)(9)(10) (11) (12)(13)(14) (15)投影后的组合特征用于分类，其中变换矩阵为：四、典型相关分析应用实例欲研究儿童形态与肺通气功能的关系，测得某小学40名8~12岁健康儿童（身高X1，体重X2，胸围X3）与肺通气功能（肺活量Y1，静息通气Y2和每分钟最大通气量Y3），分析儿童形态和肺通气指标的相关性，确定典型变量的对数。
x1 =[140.6,135.7,140.2,152.1,132.2,147.1,147.5,130.6,154.9,142.4,136.5,162, 148.9,136.3,159.5,165.9,134.5,152.5,138.2,144.2];x2 =[43.7,39.5,48,52,36,45,47,38,48,42,38,58,42,33,49,55,41,53,35.5,42];x3 =[77,63,75,88,62,78,76,61,87,74,69,95,80,68,87,93,61,83,66,76];y1 =[2.6,2,2.6,2.8,2.1,2.8,3.1,2,2.9,2.33,1.98,3.29,2.7,2.4,2.98,3.1,2.25,2.96, 2.13,2.52];y2 =[7,7,6.1,10.1,7.4,9.25,8.78,5.31,10.6,11.1,7.77,3.35,10.1,7.8,11.77,13.14, 8.75,6.6,6.62,5.59];y3 =[108,91,101,112,97,92,95,77,80,76,49,58,82,76,88,110,75,71,105,82];（1）仿真结果分析结：（实验平台：Matlab2014，程序见附录）R1=0.9282R2=0.5302R3=0.0081（16）（17）R1=0.9282R2==0.5302R3=0.0081(2)结果分析：三幅分别对应不同特征值所对应的儿童形态与肺通气功能的关系，显然，第一幅图的线性关系最好，即儿童形态与肺通气功能的相关性最大，变化趋势一致，进行特征融合以达到降维的目的。
六、心得体会通过本次大作业，对小样的典型相关分析查阅了很多文献，对文献的阅读的辨别能力有了很大提升，抓住文献中的重点要点，进行深一步的理解；其次在程序的编写中，CCA的编写从原理到算法解析再到算法的逻辑结构，一步步的将CCA的思想理解透彻并体现在MATLAB的程序中，在程序编写的过程中也遇到了很多挫折和编译失败的困惑，但是通过网上查阅和向教员请教以及同学的询问，一一得到解决，最终完成了本次大作业的撰写，其中也收获到了很多东西，学到了很多，希望以后能扎实学习，更进一步。
附录：clear allclcx1=[140.6,135.7,140.2,152.1,132.2,147.1,147.5,130.6,154.9,142.4,136.5 ,162,148.9,136.3,159.5,165.9,134.5,152.5,138.2,144.2];x2=[43.7,39.5,48,52,36,45,47,38,48,42,38,58,42,33,49,55,41,53,35.5,42 ];x3=[77,63,75,88,62,78,76,61,87,74,69,95,80,68,87,93,61,83,66,76];y1=[2.6,2,2.6,2.8,2.1,2.8,3.1,2,2.9,2.33,1.98,3.29,2.7,2.4,2.98,3.1,2 .25,2.96,2.13,2.52];y2=[7,7,6.1,10.1,7.4,9.25,8.78,5.31,10.6,11.1,7.77,3.35,10.1,7.8,11.7 7,13.14,8.75,6.6,6.62,5.59];y3=[108,91,101,112,97,92,95,77,80,76,49,58,82,76,88,110,75,71,105,82]; mx1=sum(x1)/20;mx2=sum(x2)/20;mx3=sum(x3)/20;my1=sum(y1)/20;my2=sum(y2)/20;my3=sum(y3)/20;d=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];x1=x1-mx1.*d;x2=x2-mx2.*d;x3=x3-mx3.*d;y1=y1-my1.*d;y2=y2-my2.*d;y3=y3-my3.*d;%b=imread('1.jpg');%a=imread('2.jpg');%c=rgb2gray(a);%d=rgb2gray(b);%c=double(imresize(c,[128,128]));%d=double(imresize(d,[128,128]));%zushu = size(X,1);A=[x1',x2',x3'];B=[y1',y2',y3'];[Wx, Wy, r,n,m] = CCA_algorithm(A,B);%CCA_zq.(Z,zushu,2)Z=WxY=WyU1=Wx(:,1);U2=Wx(:,2);U3=Wx(:,3);V1=Wy(:,1);V2=Wy(:,2);V3=Wy(:,3);figure(1);plot(U1,V1,'*');figure(2);plot(U2,V2,'r*');figure(3);plot(U2,V2,'g^')%CCA函数调用：function [U,V,nmuta,nmutatwo,U_replace,V_replace]=CCA_algorithm(X,Y) %计算典型相关分析的程序n=size(X,1);p=size(X,2);q=size(Y,2);X=X-repmat(mean(X,1),n,1);Y=Y-repmat(mean(Y,1),n,1);Z=[X Y];Covz=cov(Z);S11=Covz(1:p,1:p);S22=Covz(p+1:end,p+1:end);S12=Covz(1:p,p+1:end);%S21=Covz(p+1:end,1:p);S21=S12';k=1;Ip=eye(p);Iq=eye(q);if rank(S11)~=pS11=S11+k*Ip;endif rank(S22)~=qS22=S22+k*Iq;end%避免出现复数，不使用S11^(-1/2)K=S11^(-1/2)*S12*S22^(-1/2);d=rank(K);[U1,S1,V1]=svd(K,0);U2=U1(:,1:d);V2=V1(:,1:d);A=S11^(-1/2)*U2;B=S22^(-1/2)*V2;%A=S11^(1/2)\U2;%B=S22^(1/2)\V2;U=X*A;V=Y*B;nmuta=diag(S1);nmuta=nmuta(1:d);%使用下面的效果是一样的M1=inv(S11)*S12*inv(S22)*S21;M2=inv(S22)*S21*inv(S11)*S12;[V1,D1]=eig(M1);[V2,D2]=eig(M2);%归一化gu1=V1'*S11*V1;gu1=1./sqrt(diag(gu1));gu1=repmat(gu1',p,1);a=V1.*gu1;gu2=V2'*S22*V2;gu2=1./sqrt(diag(gu2));gu2=repmat(gu2',q,1);b=V2.*gu2;d1=size(find(diag(D1)~=0),1);%对特征值自动排序的，由大到小%d1=min(max(diag(D1),0),1); d2=size(find(diag(D2)~=0),1);dd=min(d1,d2);Utwo=a(:,1:dd);Vtwo=b(:,1:dd);nmutatwo=sqrt(diag(D1));%已经取过平方根了nmutatwo=nmutatwo(1:dd);A1=Utwo;B1=Vtwo;U_replace=X*A1;V_replace=Y*B1;end。