正切函数的图象与性质
正切函数的图像与性质
正切函数的图像与性质
y=tanx
若需视频讲解请联系作者！
π2
−π2
•正切函数的最小正周期是π
•正切函数的最小正周期是π，延伸成整个定义域上的的图像
•渐近线x =±π
2
y
x
π2
−π2
y
x
•单调递增区间：(−π2,π
2)•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z •值域：y ∈R
•为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上
•[−π2,π
2] 范围内的图像如图：
•单调递减区间：无
•对称轴：无•中心对称点：x =0
π2
−π2
y
x
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π
2+k π,π
2+k π],k ∈Z •中心对称点：(k π,0),k ∈Z
y =tanx 的图像与性质
•延伸成整个定义域上的的图像
•k π即周期的整数倍
π
3π2
B
•与点A 的函数值相同的点B ，它们的x 值相差π•两个相邻的中心对称点(0,0)，(π,0)相差πA
•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π2+k π,π
2+k π],k ∈Z
•中心对称点：(k π,0),k ∈Z
总结
π
3π2
•定义域：x ≠
π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2。
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
三角函数正切函数的性质与图像
3
正切函数的周期性和对称性
正切函数具有周期性和对称性，其图像呈周期 性变化，且具有一些对称轴和对称中心。
正切函数在复数域的扩展
正切函数的复数形式
正切函数可以扩展到复数域，其复数形式为tan(z)。
复数域中的正切函数的应用
正切函数在复数域中有广泛的应用，如在信号处理、 电路设计和物理学等领域。
正切函数在微积分和数学分析中的应用
正切函数在微积分中的导数
在微积分中，正切函数的导数为(sec x)^2，其导数与 其他三角函数的导数之间也有密切的联系。
正切函数在数学分析中的极限 和连续性
在数学分析中，正切函数是一个无穷级数展开的函数， 其极限和连续性都有一定的规律和特性。同时，正切函 数在实数域上的定义域为所有不等于kπ+π/2的x，值 域为所有实数R。
03
微分的几何意义：表示曲线的弧长
03
正切函数的周期性和实践应用
正切函数的周期性
周期性定义
正切函数是周期函数，其周期为π。函数在任意两个π/2的整 数倍之间是重复的。
周期性证明
正切函数的定义域为所有不等于π/2的实数，而正弦和余弦函 数的周期均为2π，因此可以通过相加得到正切函数的周期为 π。
正切函数在实践中的应用
周期性
正切函数是周期函数，最小正周期为π
正切函数的基本性质
定义域
正切函数定义域为{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}
周期性
正切函数是周期函数，最小正周期为π
值域
正切函数的值域为R
有界性
正切函数是有界函数，|tan(x)| ≤ ∞
正切函数的图像
01
图像形状
正切函数的图像是周期函数，呈现周 期性变化
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
143正切函数的图像和性质
4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
正切函数的图像与性质
正切函数的性质：
①定义域： x x k , k Z ,以 x k ( k Z ) 2 2 为渐近线
②值域：R ③周期性：最小正周期π,正切型函数y=Atan(ωx+φ)最 小正周期为π/|ω| ④奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称 ⑤单调性：增区间为 ( k , k )( k Z ) ,无减区间 2 2 k ( , 0)( k ⑥对称性：为中心对称图形，对称中心坐标为 2
做一做：
1.求函数 y
1 1 tan( x ) 4
的定义域.
2.试作出函数 y tan( 2 x
x x k , 且x k , k Z 4
3 提示：“两线一点法”
) 的简图.
3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线 y=1所得线段长为π/4,则f(π/12)= .
x , x ( , 0 0,） ）（ 4.函数 y 的图像大致为( D) sin x
y
3
y
y
y
1 -π o π
x
-π o
π
x
-π o
π
x
1 -π o π
x
A
B
C
D
5.函数 f ( x )
1 cos 2 x ( A) cos x 3 3 A.在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递增，在 [ , 2 ),( 2 , ]上递减 3 3 , 2 ] 上递减 [0, ),[ , ) 上递增，在 ( , ],( B.在 2 2 2 2 3 3 [0, ),[ , ) 上递减 C.在 ( , ],( , 2 ]上递增，在 2 2 2 2 3 3 D.在 [ , ),( , ] 上递增，在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递减 2 2
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。
如果我们将这个概念推广到整个定义域，就得到了正切函数。
对于任意角α（α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z），正切函数可以表示为tanα＝sinα ／cosα。
需要注意的是，cosα 不能为0，否则正切函数无定义。
二、正切函数的定义域正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}。
这是因为当α ＝kπ ＋π/2 时，cosα ＝ 0，而分母不能为 0，所以这些点不在定义域内。
三、正切函数的周期性正切函数是一个周期函数，其最小正周期为π。
这意味着对于任意实数 x，都有 tan(x ＋π) ＝ tan x。
四、正切函数的奇偶性正切函数是一个奇函数，即tan(α) ＝tanα。
这表明正切函数的图像关于原点对称。
五、正切函数的图像正切函数的图像是由无数条不连续的曲线组成的。
我们可以通过分析其在一个周期内的图像来了解其整体特征。
在区间（π/2，π/2）内，正切函数的图像是单调递增的。
当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于负无穷；当 x 趋近于π/2 时，tan x 趋近于正无穷。
正切函数的图像在每个周期内都有一个垂直渐近线，即在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处，函数值趋近于无穷。
为了更直观地理解正切函数的图像，我们可以通过列表、描点、连线的方法来绘制。
六、正切函数的性质1、单调性正切函数在每个周期内都是单调递增的，但在整个定义域内不是单调函数。
2、值域正切函数的值域是 R，即全体实数。
3、零点正切函数的零点为kπ（k∈Z）。
4、渐近线如前所述，正切函数在 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z）处有垂直渐近线。
七、正切函数的应用正切函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在数学中，正切函数常用于解决三角函数的相关问题，如求解三角形的边长和角度。
在物理学中，例如在波动和振动的研究中，正切函数可以用来描述某些周期性现象。
正切函数的图像与性质
1、你已经对正切函数 y tan x 的性质了解多少？
①定义域：{x | x k , k Z}
2
②周 期：T
③奇偶性：奇函数
2、已知的这些性质对作正切函数 y tan x 的图象
有何帮助？
建构数学
一、正切函数y tan x 在 ( , ) 的图象
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
③周 期：T
④奇偶性：奇函数
⑤单调性：单调增区间为：( k ,
⑥渐近线： 直线：x
2
k , k Z
2
k )(k
Z)
开区间
2
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
数学应用
活动1、求函数
y tan(2x )
4
的定义域。
若求值域、周期、单调区间呢？
整
体
代
练习：P33 ， 2
入
数学应用
活动2、比较大小：
（1）tan 138 。与 tan 143 。
（2）tan( 13 )与tan( 17 )
4
y
5
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
数学应用
活动3、根据图象求满足下列条件的 x 的取值集合
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
正切函数的图像和性质
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质：
定义域：x
|
x
2
k
,
k
Z
值域：全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期为
奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间 k, k ,k Z
2 2
内都是增函数。
本节课学习了哪一种数学方法解 题？
利用正切函数单调性比较大小
3．tan 1°与tan 1从小到大的关系是 ________．
【答案】tan 1°＜tan 1
比较正切值的大小
【例 2】 比较 tan－147π与 tan－252π的大小． 【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在 正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小．
B.xx∈R且x≠kπ＋4π，k∈Z
C.xx∈R且x≠kπ＋2π，k∈Z
D.xx∈R且x≠kπ－4π，k∈Z
【答案】A
例6
（2）周期性
y tan x
2 3
利用正切函数图像解不等式问题
课本P46 A 9 (1) 1 tan x 0
方法（1）在
2
,
2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
利用几何画板探究 资料书P26 4 例3.求下列函数的周期.
(2)y tan x
3
3
2
2
2
资料书P26例题
3．函数 y＝|tan 2x|是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
课件5：7.3.4 正切函数的图像与性质
跟踪训练 1.求函数 y＝ tatnanx＋x－π61 的定义域.
tan x≥1， 解：根据题意，得tanx＋π6≠0，
x＋π6≠π2＋kπ（k∈Z），
π4＋kπ≤x<π2＋kπ，
解得x≠－π6＋kБайду номын сангаас，
(k∈Z)．
x≠π3＋kπ，
所以函数的定义域为π4＋kπ，π3＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．
∴tan－π5<tan π7，即 tan－65π<tan－137π.
②因为 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π， 所以－π2<3－π<0. 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又 y＝tan x 在－π2，π2内是增函数， 所以 tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3<tan 1.
跟踪训练 2.(1)求函数 y＝tan12x－π4的单调区间； (2)比较 tan－134π与 tan－152π的大小．
解：(1)由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)得，2kπ－π2<x<2kπ＋32π， k∈Z， 所以函数 y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋
θ）（－sin cos θsin θ
θ）cos
θ
＝tan θ.
题型探究 探究一 正切函数的定义域、值域问题
例 1.(1)函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是_______． (2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________．
正切函数的性质与图像
因此函数的周期为2. 由
2
k
2
x
3
2
k , k Z
解得
5 3
5 3
2k x
1 3
2k , k Z .
因此,函数的单调递增区间是:
(
2k ,
1 3
2 k ), k Z .
练习
• P45 练习2 • P47 B组练习 2
3、求满足下列式子 x 的取值范围 ：
y
1
-3/2 -
-/2
-1
0 /2
x
3/2
y=tanx
x
2
k k z
正切函数 y tan x 的性质：
y
定义域：{ x | x 值域：
R
2
k , k Z }
y tan x
正切函数是周期函数， 周期性： 周期是 奇偶性： 奇函数
2
Y
3 8
2
，
2
）
作法如下：
作直角坐标系，并在
直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 把单位圆右半圆 中作出正切线。 X 找横坐标（把x轴上 到
4
O1
8 8Fra bibliotek2
0
2
4
3 8
等份） 找交叉点。
这一段分成8
2
连线。
由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩 展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
的大小。
解： tan 1 3 又0
正切函数的图像与性质
正切函数的单调性
总结词
在开区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z，正切函数是单调递增 的。
详细描述
在区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z时，随着x的增加，tan(x) 的值也增加，因此正切函数在此区间内单调递增。在其他区间 上，正切函数可能表现出先减后增或先增后减的单调性变化。
THANKS
感谢观看
03பைடு நூலகம்
在地理学中，正切函数可以用 于描述地球上不同地区的气候 类型、地理特征等，例如分析 经纬度对气候的影响。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中有着广泛的应用，它可以与其他数学函数结合使用， 建立各种复杂的数学模型。
在解决优化问题时，正切函数可以用于描述约束条件或目标函数的形状， 例如求解最小二乘法问题。
02
正切函数图像与x轴的交点是当 y=0时的点，即无数个点，分别位 于x=nπ (n为整数)的位置上。
03
正切函数的应用
在三角函数中的应用
三角函数是数学中的基本概念，正切函数作为三角函数的一种，在解决与角度和边长相关的问题中有 着广泛的应用。
在求解三角形问题时，正切函数常常与其他三角函数结合使用，例如求解直角三角形中的边长或角度。
正切函数的周期性
总结词
正切函数具有周期性，最小正周期为 π。
详细描述
正切函数的周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。在每个周期内，正切函数呈现出 重复的变化规律。
正切函数的奇偶性
总结词
正切函数是奇函数，满足f(-x) = -f(x)。
详细描述
由于tan(-α) = -tan(α)，正切函数是奇函数，具有奇函数的性质。这意味着正切函数图像关于原点对称。
正切函数图像与性质
1、周期性 T π π tan( x π ) tan x , x R, x kπ , k Z 2
y A tan(x )
T
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
正切函数在整个定义域上单调递增？
例1、判断下列函数的奇偶性并求周期：
(1)
(2) y tan 2 x y tan 3x 奇函数，T . 非奇非偶函数，T . 3 2 x (4) y tan x (3) y tan 2 3 奇函数，T 2 . 奇函数，T 3
正切函数的性质:
定义域： x x k , k Z 2
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
值域： R 周期性：T 奇偶性：奇函数
在开区间 k , k k Z内递增 单调性： 2 2 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
1.4.3 正切函数的图象和性质
正切函数的性质与图象
利用正切线画出函数在
, 2 2
y
的图象 y P T
O M A x
3 4 6 2
O1
O 6
4 3 2
x
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性: 奇函数．正切曲线关于原点 O 对称． ②值域： R ④奇偶性： x x k，k Z ①定义域： 2 Z）且无限接近于 kkk Z ) 内都是增 k， ( 时， x tan ． k 正切函数在每个开区间 当 x 小于 （k x 正切函数是周期函数，周期是k Z ) 2 2 ∵任意 x 2 k， k( 2 ，都有 tan x tan x ， 2 2 tan 当 函数． x 大于 2 k(k Z)且无限接近于 2 k 时， x ∴正切函数是奇函数．
正切函数的性质与图像(xy)
二、图象
例3.作出下列函数，并根据图象判断周期性， 求出单调区间
(1) y tan x
(2) y tan x
谢谢支持！
余弦函数[2k , 2k ](k Z)上是单调递增,从 1到1:
3 在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递减的 , 从1到 1 2 2
在[2k , 2k ](k Z)上是单调递减,从1到 1
正切函数和正切线
正切函数的性质与图象
隔开
4.对称中心
x k , k Z 2 k ( ,0), k Z 2
单调性
在每个分支里是单调递增的 增区间：
2
k ,
2
k
kZ
在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
正切函数在整个定义域上单调递增？
正切函数的基本性质
零点x k (k Z ), 渐近线x
2
k ( k Z )
(1) y tan(2x ) (2) y log2 ( 3 tan x ) 3 (3) y 2 log 1 x tan x (4) y lg(tan x 1) sin 2x
2
一、求定义域和值域 例1.求定义域
例2求下列函数的值域
复习回顾 .
一
正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
2 函数y A sin( x )和y Acos( x )，x R的周期T | |
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§1.4.3 正切函数的图象与性质 （第二课时）
授课： 徐晓晖
学习目标：使学生能借助正切函数的图象探求其性质.并解决问题并在教学过成中培养学生的
数形结合思想。
学习重点：运用三角函数的图象与性质解题
学习难点：观察图像得正切函数的性质并应用
学习过程：
一、复习、探究
问题1：正切函数图像的作图方法：（1）利用正切线；（2）“三点两线”法，即
)1,4(),1,4(),0,0(ππ-- 和直线2π-=x 及2π
=x ，然后向左右两边扩展.
问题2：观察x y tan =的图象，类比x y x y cos ,sin ==的性质，你能得到x y tan =的一些怎样性质？
二、正切函数的性质
1. 定义域： ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+
≠Z k k x x ,2ππ 2. 值域：R . 当Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+
∈,2,πππ时0yt ，当Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,,2πππ时0 y 3. 周期性： π=T
4. 奇偶性：奇函数 对称中心：Z k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛,0,2π 渐近线：Z k k x ∈+=,2ππ 5. 单调性：在开区间Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-,2,2ππππ内，函数单调递增 三、教学精讲
例1.讨论函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=4tan πx y 的性质 解析：法一：观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移
4π单位得到 定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-4,43ππππk k 上是增函数 法二：由学生思考或引导学生类比例5完成
变式训练：
1、 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围
①tan 0x > ②tan 0x = ③tan 0x < ④tan x >
答案：①Z k k k ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+,2,πππ, ②,{}z k k x x ∈=,π ③Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-,,2πππ, ④Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++,2,3πππ
π 2 、求)4
2tan(π-=x y 的定义域及周期 答案：2},,832|{πππ=∈+≠
T z k k x x 例2 比较tan 27π与tan 107
π的大小 解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小
解：tan 107π＝tan 37π ∵0＜27π＜37π＜2π 又∵y ＝tan x 在(0，2
π)上单调递增 ∴tan 27π＜tan 37π，则tan 27π＜tan 107
π 变式训练: 比较)56tan(π与tan (－135π)的大小， 答案：)56tan(π＜ tan (－135
π) 四、巩固练习 1、与函数tan(2)4y x π=+
的图象不相交的一条直线是（ ）. A ．2π
-=x B ．2π
=x C ．8π
-=x D ． 8π
=x
2、函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）
A 、31
B 、32
C 、π6
D 、π
3 3、函数1tan +=
x y 的定义域是 . 4、确定函数)23tan(x y -=π
的奇偶性和单调区间.
五、小结：（1）数形结合思想 （2）正切函数的性质。