高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例(二)学案 湘教版必修4

8.3 解三角形的应用举例(二)[学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.[知识链接]“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.[预习导引]1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图.2.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.要点一测量底部不能到达的建筑物的高度例1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).即山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m(精确到1m.2≈1.4142，sin35°≈0.5736). 答案 811解析 过点D 作DE∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin∠ADBsin∠ABD＝10002(m).在Rt△ABC 中，BC ＝AB sin35°≈811(m).例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD.解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m).即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪演练2 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠BCD ＝α， ∠BDC ＝β，∴∠CBD ＝180°－(α＋β)， ∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝ssin (α＋β).∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s .在Rt△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s .要点二 测量地面上两个不能到达点之间的距离例3 如下图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离.解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin30°＝CDsin45°，则BC ＝CD sin30°sin45°＝64(km). 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形.∴AC ＝CD ＝32km. 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64km. 所以河对岸A ，B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.跟踪演练3 如图所示，隔河可以看见目标A ，B ，但不能到达，在岸边选择相距3km 的C ，D 两点，并测得∠DCB ＝45°，∠BDC ＝75°，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离.解 在△BCD 中，因为∠DCB ＝45°，∠BDC ＝75°，所以∠CBD ＝60°. 又CD ＝3，由正弦定理得BD ＝3sin45°sin60°＝ 2.在△ACD 中，同理可求得AD ＝3. 在△ABD 中，AB ＝(2)2＋32－62cos (75°－30°)＝ 5.即A 、B 之间的距离为5km.1.如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A.a ，c ，αB.b ，c ，αC.c ，a ，βD.b ，α，γ 答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m 高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d 1，d 2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( ) A.d 1>d 2B.d 1<d 2C.d 1>20mD.d 2<20m 答案 B解析 由tan50°＝20d 1，tan40°＝20d 2，及tan50°>tan40°可知d 1<d 2.3.甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________. 答案 203m4033m 解析 甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203m ； 乙楼的高为203－20tan30°＝203－20×33＝4033m.4.如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为________m.答案 50 2解 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC ＝50×2212＝502(m).1.只运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离.2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.一、基础达标1.如下图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB等于( )A.10mB.53mC.5(3－1)mD.5(3＋1)m答案 D解析 在△ADC 中，AD ＝10·sin135°sin15°＝10(3＋1).在Rt△ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1).2.某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A.15mB.5mC.10mD.12m 答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt△AOC 中，∠ACO ＝45°， 则OC ＝OA ＝h .在Rt△AOD 中，∠ADO ＝30°， 则OD ＝3h .在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍).3.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A.10mB.102mC.103mD.106m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin45°＝CD sin30°，BC ＝CD sin45°sin30°＝10 2.在Rt△ABC 中，tan60°＝ABBC，AB ＝BC tan60°＝10 6.4.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A.200mB.300mC.400mD.1003m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300，故选B. 方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos2θ，即300＝2003cos2θ.cos2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300，故选B. 5.如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则河的宽度为________m.答案 60 解析在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120(m). 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度. 由正弦定理得AC sin∠ADC ＝CDsin∠CAD ，∴120sin90°＝CD sin30°，∴CD ＝60(m). ∴河的宽度为60m.6.如下图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.由在H ，G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α，β，CD ＝a ，测角仪器的高是h .那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .7.在某一山顶观测山下两村庄A ，B ，测得A 的俯角为30°，B 为俯角为40°，观测A ，B 两村庄的视角为50°，已知A 、B 在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精确到1米.sin40°≈0.6428)解 设山顶为C ，山高CD ＝x ，由题意 ∠CAD ＝30°，∠CBD ＝40°，∠ACB ＝50°. 在Rt△ADC 中，AC ＝CD sin30°＝2x ，在Rt△BDC 中，BC ＝CDsin40°＝xsin40°.在△ABC 中，由余弦定理知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos∠ACB .∴10002＝4x 2＋x 2sin 240°－4x2sin40°cos50°，∴x ＝1000×sin40°≈643(米). 所以山高约为643米. 二、能力提升8.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m ，则电视塔的高度是( ) A.1002mB.400mC.2003mD.500m 答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt△ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt△ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500.故选D.9.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82nmile.此船的航速是________nmile/h.答案 32解析 设航速为v nmile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82nmile ，∠BAS ＝30°，∴∠BSA ＝45° 由正弦定理得：82sin30°＝12v sin45°，∴v ＝32nmile/h. 10.地平面上有一旗杆设为OP ，已知地平面上的一基线AB ，AB ＝200m ，在A 处测得P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角为∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .解 如图，∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°，∠AOB ＝60°，AB ＝200m ，在△OAP 中，∵OP ⊥AO ，∴∠AOP ＝90°，则OP OA ＝tan30°，∴OA ＝OPtan30°＝3h (m)， 同理在△BOP 中，∠BOP ＝90°，且∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h ，在△OAB 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos∠AOB ，即2002＝3h 2＋h 2－23h 2·cos60°，解得h ＝2004－3m.答 旗杆高为2004－3m.11.某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40m 以后，望见塔在东北方向.若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度.解 在△BCD 中，CD ＝40m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝45°＋90°＝135°. 由正弦定理，得CD sin∠DBC ＝BDsin ∠BCD ，∴BD ＝CD ·sin∠BCD sin∠DBC ＝40sin30°sin135°＝202(m). 在Rt△ABE 中，tan∠AEB ＝AB BE ，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小， 即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在△BCD 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD ·sin∠BDE ＝202sin15°＝10(3－1)(m).在Rt△ABE 中，AB ＝BE tan∠AEB ＝10(3－1)·tan30°＝103(3－3)(m). 所以塔的高度为103(3－3) m. 12.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米.(1)求△CDE 的面积；(2)求A ，B 之间的距离.解 (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △CDE ＝12DC ·CE ·sin150°＝12× sin30°＝12×12＝14(平方百米). 即S △CDE ＝14公顷. (2)连接AB ，依题意知，在Rt△ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan60°＝3(百米)，在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin∠CEB ＝CEsin∠CBE ，得 BC ＝CEsin∠CBE ·sin∠CEB ＝1sin30°×sin45°＝2(百米).∵cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12×22＋32×22＝6＋24， 在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ， 可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， ∴AB ＝2－3百米.三、探究与创新13.如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1km ， 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，∠ABC ＝75°－∠BCA ＝15°，由正弦定理得AB sin∠BCA ＝AC sin∠ABC， 即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620(km)，因此，BD ＝32＋620≈0.33km，故B ，D 的距离约为0.33km.。