高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例(二)学案 湘教版必修4

8.3 解三角形的应用举例(二)

[学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.

[知识链接]

“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.

[预习导引]

1.仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图.

2.高度问题

测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.

要点一测量底部不能到达的建筑物的高度

例1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.

解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.

根据正弦定理得AC sin∠ABC ＝BC

sin∠BAC ，

即

AC sin (90°－α)＝BC

sin (α－β)

，

∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos α

sin (α－β)

.

在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin∠CAD ＝AC sin β ＝

h cos αsin β

sin (α－β)

.

即山的高度为

h cos αsin β

sin (α－β)

.

规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m(精确到1m.2≈1.4142，sin35°≈0.5736). 答案 811

解析 过点D 作DE∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°.

又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，

由正弦定理，AB ＝

AD sin∠ADB

sin∠ABD

＝10002(m).

在Rt△ABC 中，BC ＝AB sin35°≈811(m).

例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD

.

解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，

在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由

AB sin15°＝AD

sin45°

，

得AD ＝

AB ·sin45°

sin15°

＝

800×

22

6－24

＝800(3＋1) (m).

即山的高度为800(3＋1) m.

规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.

跟踪演练2 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D .现测得∠BCD ＝α

，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .

解 在△BCD 中，∠BCD ＝α， ∠BDC ＝β，

∴∠CBD ＝180°－(α＋β)， ∴

BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝s

sin (α＋β)

.

∴BC ＝

sin β

sin (α＋β)

·s .

在Rt△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC

＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θ

sin (α＋β)

·s .

要点二 测量地面上两个不能到达点之间的距离

例3 如下图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为3

2

km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离.

解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin30°＝CD

sin45°，

则BC ＝

CD sin30°

sin45°

＝

6

4

(km). 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形.∴AC ＝CD ＝3

2

km. 在△ABC 中，由余弦定理得

AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos45°

＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64km. 所以河对岸A ，B 两点间距离为

6

4

km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.

跟踪演练3 如图所示，隔河可以看见目标A ，B ，但不能到达，在岸边选择相距3km 的C ，

D 两点，并测得∠DCB ＝45°，∠BDC ＝75°，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°(A ，B ，C ，D 在同

一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离.