4-5含绝对值不等式导学案

选修4-5含绝对值不等式导学案

预习案

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.

请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果

。

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是

}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ）

，如图所示。

图1-1 a - a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是

{|

x a x >或a x -<}

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。

如图1-2所示。

a - a 图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

探究案

（一）绝对值的意义

（1）绝对值定义

（2）积、商的绝对值与绝对值积、商的关系： |ab|=|a||b|；

． （二）绝对值不等式的基本性质

定理1：|a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|

推论1：

321321a a a a a a ++≤++

此性质可推广为n

n a a a a a a +++≤+++ (2121)

推论2：|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|

定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤|a －b|＋|b －c|，当且仅当(a －b)(b －c)≥0时，等号成立．

二、典型例题：

例1、解不等式213+<-x x 。

例2、解不等式x x ->-213

例3、证明 b a b a b a +≤-≤-。

例4、证明 c b c a b a -+-≤-

例5、已知 2

,2c

b y

c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+

例6、已知.6

,4a

y a x << 求证：a y x <-32

训练案

1、若不等式

62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）

.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-

2、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）

.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-

3、不等式

x x 3102≤-的解集为（ ）

.A {}

|210x x ≤≤ .B

{}|25x x -≤≤.C {}|25x x ≤≤ .D {}

|

105x x ≤≤

4、不等式

x 0)21(>-x 的解集是（ ）

.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),2

1

(+∞ .D

)21,0(

5、设函数

)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围

是 .

6、已知a ∈R ，若关于x 的方程21

04

x x a a ++

-+=有实根，则a 的取值范围

是 ． 7、不等式

12

1

≥++x x 的实数解为 ．

8、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，

则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x

，

|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围

是 ；

()

3若关于

x

的不等式

|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围

是 ；

9、解不等式：221>-+-x x 10、方程

x

x x x x x 32

322

2

++=++的解集为 ，不等式

x

x x x ->

-22的解集

是 ；

11、解下列不等式 ⑴ 4321

x x ->+； ⑵

|2||1|

x x -<+； ⑶

|21||2|4

x x ++->；

⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈）