4-5含绝对值不等式导学案

选修4-5含绝对值不等式导学案
预习案
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。

主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

即⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。

设a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是
}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ）
，如图所示。

图1-1 a - a
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。

设a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是
{|
x a x >或a x -<}
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。

如图1-2所示。

a - a 图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

探究案
（一）绝对值的意义
（1）绝对值定义
（2）积、商的绝对值与绝对值积、商的关系： |ab|=|a||b|；
． （二）绝对值不等式的基本性质
定理1：|a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|
推论1：
321321a a a a a a ++≤++
此性质可推广为n
n a a a a a a +++≤+++ (2121)
推论2：|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|
定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤|a －b|＋|b －c|，当且仅当(a －b)(b －c)≥0时，等号成立．
二、典型例题：
例1、解不等式213+<-x x 。

例2、解不等式x x ->-213
例3、证明 b a b a b a +≤-≤-。

例4、证明 c b c a b a -+-≤-
例5、已知 2
,2c
b y
c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+
例6、已知.6
,4a
y a x << 求证：a y x <-32
训练案
1、若不等式
62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）
.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-
2、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）
.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-
3、不等式
x x 3102≤-的解集为（ ）
.A {}
|210x x ≤≤ .B
{}|25x x -≤≤.C {}|25x x ≤≤ .D {}
|
105x x ≤≤
4、不等式
x 0)21(>-x 的解集是（ ）
.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),2
1
(+∞ .D
)21,0(
5、设函数
)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围
是 .
6、已知a ∈R ，若关于x 的方程21
04
x x a a ++
-+=有实根，则a 的取值范围
是 ． 7、不等式
12
1
≥++x x 的实数解为 ．
8、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，
则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x
，
|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围
是 ；
()
3若关于
x
的不等式
|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围
是 ；
9、解不等式：221>-+-x x 10、方程
x
x x x x x 32
322
2
++=++的解集为 ，不等式
x
x x x ->
-22的解集
是 ；
11、解下列不等式 ⑴ 4321
x x ->+； ⑵
|2||1|
x x -<+； ⑶
|21||2|4
x x ++->；
⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈）。