高级心理统计2-多元方差分析
多元方差分析
u22
H0: = ... = … = … =
up1
up2
பைடு நூலகம்
或H0:u1=u2=…=un
Ha: u1,u2,…,un不全相等
u1n u2n …
upn
MANOVA原理讲解
检验统计量的计算
单因子多元方差分析：
SSCPT= SH+SE 来源
df
自由度
SSCP ……
组间
k1
H
威尔克斯统 计量
组内
Nk
E
总和
Ab1
Aj1
Ag1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
…
…
…
…
…
10
Ah10
Ab10
Aj10
Ag10
One-way MANOVA原始数据
N=n1+n2+…+ng p: 响应变量个数
One-way MANOVA举例
来自黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光 合效率(A)，叶片长度(B)，开花时间(C)上有无显 著差异，每地各量测10株。
(Yij yi)2
i1 j1
SStreat
= 34
g
=
ni(yi
i1
y)2
= 160
MANOVA的SSCP计算示例
处理
观测值
高 Y1 5 3 Y2 4 6
中 Y1 1 1 Y2 3 1
低 Y1 6 5 Y2 5 9
样本 总均 均值 值向 向量 量
44 55
14 25
76 77
备选方法： 1 对各因变量分别进行单因素方差分析. 2 用Bonferroni修正的两两比较.
甘怡群《心理与行为科学统计》笔记和习题详解(多元方差分析(MANOVA))【圣才出品】
第20章多元方差分析（MANOVA）20.1 复习笔记一、多元方差分析简介（一）多元方差分析的概念多元方差分析是用于考查类目型变量在多个等距因变量上的主效应和交互作用的统计方法。
（二）MANOVA与ANOVA的比较1．相似之处（1）均可以有一个或几个类目型自变量作为预测源。
（2）计算性质和逻辑相同。
MANOVA可以看成是ANOVA在多个因变量情境下的延伸。
ANOVA是在一个因变量上进行检验，检测组间的差异是否是随机出现的；MANOVA 是在因变量的组合上进行检验，检测组间的差异是否是随机出现的。
2．不同之处MANOVA与ANOVA根本的不同在于因变量的个数。
MANOVA中因变量的个数多于一个，而ANOVA中只有一个因变量。
而且，MANOVA所测量的因变量彼此之间是有相关的。
（三）不能用多个ANOVA的分析来代替MANOVA的分析1．MANOVA的优点（1）首先，通过测量多个因变量而不是一个因变量，MANOVA减少了忽略某个会被自变量和自变量的交互作用影响的因变量的机率；（2）其次，对多个相关的因变量进行多个ANOVA检验，会造成I类错误的膨胀，使用MANOVA能够同时检验多个因变量，而又避免I类错误的膨胀；（3）第三，在特定的情况下，MANOVA能够检验出单独ANOVA分析无法检验出的差异。
2．MANOVA的局限（1）首先，在MANOVA中，有几个非常重要的前提假设需要考虑。
（2）其次，MANOVA在解释自变量对于某个因变量的效果时存在着一些模糊不清。
（3）MANOVA的统计效力高于ANOVA的情境并不是很多。
（四）多元协方差分析MANCOVA与MANOVA类似，因变量个数大于或者等于2，以等距自变量作为“协变量”。
多元协方差分析是协方差分析（ANCOVA）的扩展，应用多元协方差分析。
要回答的问题是：如果控制了一个或者多个协变量对新创建的因变量的影响之后，各组之间是否存在着统计上可靠的均值差异。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
心理学研究方法第七讲心理统计方法
心理学研究方法
第七讲心理统计方法
12
2、统计表的内容（3）
表注
写于表的下面。它不是统计表的必要组成部 分。用来解释标题的内容，数据来源和数据 含义等。
心理学研究方法
第七讲心理统计方法
13
2、统计表的内容（4）
名称 标目和数字 表注
Table 1 Mean Evaluation Scores for Captains in Each Group
19
1、平均数（1）
算术平均数
算术平均数一般简称为平均数或均数（Mean），用 X
表示。平均数是一组数据总和的平均值。平均数是一组数 据总和的平均值。在一组数据中，如果没有极端数值（特 别大或特别小的个别数据），平均数就是集中趋势中最有 代表性的数字指标。因此，在一般情况下，我们使用平均 数来表示数据的集中趋势。
用Md或Mdn表示。
心理学研究方法
第七讲心理统计方法
22
3、众数
众数（mode）
就是在一系列数据中出现次数最多的那个数。 用Mo表示。
心理学研究方法
第七讲心理统计方法
23
（二）数据的离中趋势
表示数据的离中趋势的指标包括
全距 四分差 平均差 标准差
心理学研究方法
第七讲心理统计方法
Q Q3 Q1 2心理学研源自方法第七讲心理统计方法26
3、平均差
平均差是一个分布中每个变量和平均数的差的绝 对值的平均值，用AD表示。
如果每个数值和平均数的差越大，它离平均数就 越远，表明这个分布也就越分散，平均差也就越 大，所以和平均数一样，平均差也是容易受极端 数值影响的。
XX
AD n
S2越大，表示数据分散程度越大，X 的代表性就越小；S2越
SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two
SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two医咖会在之前的推文中，推送过多篇方差分析相关的文章，包括：单因素方差分析(One-Way ANOVA)双因素方差分析(Two-way ANOVA)三因素方差分析(Three-way ANOVA)单因素重复测量方差分析两因素重复测量方差分析三因素重复测量方差分析单因素多元方差分析(One-way MANOVA)每种方差分析的应用场景，以及该如何进行SPSS操作和解读结果，各位伙伴请点击相应的文章链接查看~~今天，我们再来介绍一种统计方法：两因素多元方差分析(Two-way Manova)。
一、问题与数据某研究者想研究三种干预方式（regular—常规干预；rote—死记硬背式干预；reasoning—推理式干预）对学生学习成绩的影响。
研究者记录了学生两门考试的成绩：文科成绩（humanities_score）和理科成绩（science_score）。
另外，基于之前的知识，研究者假设干预方式对男女两种性别学生的效果可能不同。
换言之，研究者想知道不同干预方式对学习成绩的影响在男女学生中是否不同。
也就是说，干预方式和性别两个自变量之间是否存在交互作用（interaction effect）。
注：交互作用是指某一自变量对因变量的效应在另一个自变量的不同水平会不同。
在本例中，就是要比较①男性中干预方式对学习成绩的影响和②女性中干预方式对学习成绩的影响。
这两个效应就成为单独效应（simple main effects），也就是说，单独效应是指在一个自变量的某一水平，另一个自变量对因变量的影响。
因此，交互作用也可以看做是对单独效应间是否存在差异的检验。
在本研究中，共有三个效应：性别的主效应；干预方式的主效应；性别和干预方式的交互作用。
研究者选取30名男学生和30名女学生，并将其随机分配到三个干预组中，每个干预组中共有10名男学生和10名女学生。
部分数据如下：二、对问题的分析使用两因素多元方差分析法进行分析时，需要考虑10个假设。
应用多元统计知识点总结
应用多元统计知识点总结在多元统计分析中，我们经常会涉及到一些常用的方法和技术，比如多元方差分析（MANOVA）、主成分分析（PCA）、聚类分析（Cluster Analysis）、因子分析（Factor Analysis）等。
下面我们来总结一下这些知识点的应用和要点。
一、多元方差分析（MANOVA）多元方差分析（MANOVA）是一种比较多组样本均值差异的统计方法，其基本思想是同时分析多个因变量的均值差异，以便全面地考察自变量对因变量的影响。
在实际应用中，我们经常会遇到多组变量之间的比较问题，比如不同品牌的产品在多个指标上的表现如何？不同地区的消费者在多个方面的行为有何差异？这些问题都可以通过MANOVA来进行分析。
MANOVA的要点在于，首先需要对数据进行正态性和方差齐性的检验，以确保分析结果的可靠性。
其次，需要注意变量的选择和方差分析的模型建立，要仔细考虑自变量和因变量之间的关系，以避免产生误导性的结果。
二、主成分分析（PCA）主成分分析（PCA）是一种多元统计方法，其主要目的是通过线性变换，将原始变量转化为一组新的互相无关的综合变量（主成分），以减少数据的维度和提取数据中的主要信息。
在实际应用中，PCA常用于数据降维和变量筛选，尤其适用于处理大量相关性较强的变量。
比如，在市场营销中，我们需要从众多消费者行为指标中提取出最重要的因素进行分析，这时就可以运用PCA来进行变量选择和数据降维。
在进行PCA分析时，需要注意的是，要对数据进行标准化处理，以避免因量纲不同而产生误导性的结果。
同时，要仔细考虑主成分的解释性和累计方差贡献率，以确保提取的主成分能够较好地反映原始变量的信息。
三、聚类分析（Cluster Analysis）聚类分析（Cluster Analysis）是一种将样本划分为若干个类别的统计方法，其主要目的是将相似的样本归为一类，以便对样本进行分类和归纳。
在实际应用中，聚类分析常用于市场细分和用户分群，以识别出具有相似特征和行为的消费者群体。
多元方差分析
表3.1 身体指标化数据
比较三个组(k=3)的4项指标(p=4)间是否有差异，就 是检验多样本均值向量是否相等。
SPSS中的实现方式有2种： 1）通过菜单：GLM过程 2）通过编程：MANOVA过程
区别：对分类变量进行参数估计时应用的矩阵不同。
• GLM过程以某一水平为参照水平，其他水平与参 照水平进行比较，即Indicator对比(Indicator Contrast) 或Simple对比(Simple Contrast)。
(重复) 用ni表示各处理的重复数 N=n1+n2+…+ng
One-way ANOVA举例
芦苇(Phragmites australis)是广布种。欲检验产 于黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光合效 率(A)上有无显著差异，每地各量测10株。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
called covariance matrix)
ANOVA的SS计算示例
例：3个营养梯度下一枝黄花(Solidago spp.)的生物量是否有显著差异，每个营 养梯度下有5棵植株
营养
生物量(g)
均值
高5
4
8
6
7
6
中1
3
1
3
2
2
低 10 13 7
9 11 10
total
6
SSerror =
g ni
(Yij yi)2
i1 j1
SStreat
= 34
g
=
ni(yi
i1
y)2
= 160
MANOVA的SSCP计算示例
处理
观测值
高级心理统计2-多元方差分析
4.14协方差分析
协方差分析的假设 (1)协变量与因变量相关 (2)在不同组上，协变量对因变量有相等的效应，即协变量
与自变量之间没有交互作用。以上两个假设只要有一个 不满足，就不适合使用协方差分析。
4.14协方差分析
协变量的选择 一个有效的协变量应与因变量有较高相关而与自变量不
相关。为什么呢？ （1）如果协变量与因变量相关，那么协变量就可以用来解 释一部分的因变量的变异，这样会使得残差变小，进而统计 检验更加显著。而与自变量无关，则因变量中被协变量解释 的那部分变异不会被自变量解释，这样对自变量的检验就更 加敏感而有力了。
4.3.3 多元分析பைடு நூலகம்统计检验力
效应值 (Effect Size)
效应值是对组间差异的标准化测量，可以通过计算组间差 异比标准差得到。
样本量 (Sample Size)
如果组样本量少于 30，那么很难得到理想的检验力。如 果效应值很小，可以通过增大 α 水平（如，从.05到.10） 以便得到理想的检验力。
4.3.3 多元分析的统计检验力
因变量的多重共线性对检验力的影响 随着因变量的效应量大小不同，检验力也各不相同。 会产生如下几种模式：
（1）如果相关的变量对由强-强或者弱-弱的变量构成， 那么在变量之间存在强的负相关时，检验力最大。这 一结果表明，在 MANOVA 中，可以通过使用高度负相 的因变量来提高检验力
解释协变量 在 ANOVA 和 MANOVA 中解释协变量类似于对回归方程 进行解释的过程。如果整体效应是显著的，之后就可以 检验协变量对因变量的作用大小了。
4.4.2 评价因变量的效应——主效应和交互作用
主效应
主效应是指自变量对因变量的作用。如果在不同组间因变量存在显 著差异，那么就称主效应显著。
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
《多元方差分析》课件
多元方差分析模型的构建
模型建立
VS
多元方差分析模型的构建是分析的关 键步骤。在这个步骤中，需要确定因 变量和自变量，并选择适当的模型来 拟合数据。模型的选择应基于研究问 题和数据的特性，例如线性模型、二 次模型、或者更复杂的模型。此外， 还需要确定控制变量，以控制其他潜 在因素的影响。
模型检验与解释
模型评估
在构建多元方差分析模型后，需要进行一 系列的检验来评估模型的拟合程度和有效性 。这包括检验残差的正态性、同方差性和独 立性等假设。如果模型拟合良好，则可以进 行解释和推断，以了解自变量对因变量的影 响程度和方向。此外，还可以进行效应大小
的估计和比较，以及预测新数据等。
04
CATALOGUE
02
CATALOGUE
多元方差分析的基本假设
线性关系假设
线性关系假设是多元方差分析中最基本的假设之 一，它要求因变量与自变量之间存在线性关系。
在实际应用中，如果数据呈现非线性关系，多元 方差分析的结果可能不准确。
为了满足线性关系假设，可以通过散点图、趋势 线等方法来检验数据是否满足线性关系。
独立性假设
03
法来检验数据是否满足无多重共线性假设。
03
CATALOGUE
多元方差分析的步骤
数据收集与整理
数据准备
在进行多元方差分析之前，需要收集和整理相关数据。数据应来自适当的样本，并且需要确保数据的准确性和完整性。此外 ，数据需要被适当地编码和转换，以便进行后续的统计分析。
描述性统计分析
初步探索
在进行多元方差分析之前，通常需要进行描述性统计分析，以了解数据的分布、集中趋势和离散程度 。这包括计算均值、中位数、标准差、方差等统计量，以及制作直方图、箱线图等图形，以便更好地 理解数据的基本特征。
多元方差分析
height 1.00000 0.92192 0.93008
weight 0.92192 1.00000 0.98992
chestc 0.93008 0.98992 1.00000
⎛ 73.98 ⎞ ⎜ ⎟ X A = ⎜ 75.26 ⎟ ⎜ 79.84 ⎟ ⎝ ⎠
' X A = ( 73.98 75.26 79.84 )′
⎡ v11 v12 v=⎢ ⎢ v21 v22 ⎢ ⎣ v31 v32
v13 ⎤ v23 ⎥ ⎥ v33 ⎥ ⎦
weight 107.0041667 151.8958333 87.6250000
chestc 62.9083333 87.625000 51.3833333
对角线上为各变量的方差。对角线的两恻为两变量的协方差，沿对角线左右对称。 2.2 离差阵 将各指标的离均差平方和与离均差积和以矩阵形式进行排列， 得离均差平方和与离均差积和 以矩阵（sum of squares and cross-products matrix, SSCP） ，简称离差阵。用字母 SS 表示。
77 64 93 68 69 66 81 72 72 92 77 82
65 77 72 78 83 59 74 71 88 62 93 74
88 75 73 84 75 97 87 65 51 79 82 85
69 68 74 78 67 85 80 72 72 70 84 92
80 80 64 92 74 59 86 71 67 73 88 59
r12 r22 r32
r13 ⎞ ⎟ r23 ⎟ r33 ⎟ ⎠
例1-1 的相关系数矩阵为： height weight chestc 相关系数以对角线左右对称。 2.4 将各指标的均数用以向量的形式排列， 称为均向量。 排成列的形式称为列向量， 如 XA ， 排成行的形式称为行向量，如 X A 。
多元方差分析
4.219a 3.919a
Std. Error
.223 .191
95% Confidence Interval
Lower Bound
3.761
3.526
Upper Bound 4.678 4.312
a Evaluated at covariates appeared in the model: 年龄= 46.64
A 133.8
B 151.2
饲料 C
193.4
D 225.8
125.3
149.0
185.3
224.6
143.1
162.7
182.8
220.4
128.9
143.8
188.5
212.3
135.7
153.5
198.6
均值A= 133.36 均值B= 152.04
均值C=189.72
均值D= 220.78
多种SPSS输出:
SSB
P-1 MSB=SSB/(p-1)
F=
P(F>Fa)
MSB/MSE
Within Groups
(误差)
Total(总和)
SSE SST
n-p MSE=SSE/(n-p) n-1
这里n 为观察值数目p 为水平数,Fa满足 P(F>Fa)=a.这是自由度为p-1和n-p旳F-
分布旳概率
F (3,15)分布密度图 F0.05(3,15) 面积=0.05
Source Corrected Model
Type III Sum of
df
Squares
11.085a
2
Intercept
41.936
多元统计方法在心理学研究中的应用
多元统计方法在心理学研究中的应用在心理学研究中，多元统计方法的应用越来越广泛。
这些方法不仅可以帮助研究者更好地理解心理学现象，还可以提供科学依据来开展干预和预测研究。
本文将探讨多元统计方法在心理学研究中的应用，并对其贡献和挑战进行讨论。
一、多元统计方法简介多元统计方法是通过在多个变量之间建立关系模型来分析和解释数据的统计方法。
相比于单变量分析，多元统计方法更能揭示变量之间的相互作用和综合效应。
常用的多元统计方法包括因子分析、聚类分析、多元方差分析以及结构方程模型等。
二、1. 探索变量关系：多元统计方法可以揭示心理学变量之间的关系网络。
通过因子分析，研究者可以将众多变量归纳为几个重要因子，从而更好地理解变量之间的内在联系。
聚类分析则可以将观测对象按照特定属性进行分类，帮助研究者发现变量之间的群组差异。
2. 预测和诊断：多元统计方法可以帮助研究者预测心理学现象的发生和发展趋势。
通过建立结构方程模型，研究者可以揭示变量之间的因果关系，进而预测某个变量对另一个变量的影响。
在心理诊断中，研究者可以利用多元回归分析等方法来确定诊断标准和预测患者的病情发展。
3. 效果比较：多元统计方法可以帮助研究者比较不同因素对心理学变量的影响程度。
多元方差分析可以检验不同处理组之间是否存在显著差异，而共同区别分析则可以挑选出最能有效区分不同组之间差异的变量。
4. 模型评估和改进：多元统计方法可以帮助研究者评估和改进研究模型的适应性。
研究者可以利用卡方检验、拟合指数等统计指标来检验模型与实际观测数据的拟合程度，从而对研究模型进行修正和优化。
三、多元统计方法的贡献多元统计方法的应用为心理学研究提供了全新的角度和方法。
它不仅能够更全面地了解心理学现象，还可以提供科学依据来指导干预和治疗实践。
通过分析大规模数据集，多元统计方法能够揭示变量之间的复杂关系，在理论建构和模型验证方面起到关键作用。
同时，多元统计方法也推动了心理学研究的深入和交叉。
第16章HotellingT2检验、多元方差分析、重复测量方差分析
组别 受试者 服药前 服药 服药
编号
3个月 6个月
A药 1
52
49 42
2
51
50 46
3
50
49 41
4
51
49 44
5
49
47 40
B药 6
51
54 பைடு நூலகம்3
7
49
47 46
8
50
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48 41
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50 48
【SPSS操作】 【DPS操作】
球形检验
球形检验：P>0.05→第1行 P≤0.05→第2行, multivariate tests。
教学目的与要求 ： 掌握：Hotelling T2、多元、重复测量资料方差分析用途。 熟悉：SPSS和DPS的操作方法、结果阅读。 了解：常用统计量、重复测量资料的概念。 教学内容提要 ： 重点讲解： Hotelling T2、多元、重复测量方差分析用途。 讲解：SPSS和DPS的操作方法。 介绍：常用统计量、重复测量资料的概念。 重点： Hotelling T2、多元、重复测量资料方差分析用途。 难点：Hotelling T2检验。 教学时间： 2学时
第三节 重复测量资料的方差分析
一、主要特征：
重复测量设计中，处理组是在受试对象（区组） 间随机分配，区组内各重复测量点（如各时间点） 是固定的，不能随机分配。
同一受试对象的重复测量值之间具有自相关性， 不独立（重复测量值在不同受试对象间是独立 的）。
二、重复测量资料的方差分析
处理间变异
条件:要求资料满足 Huynh-Feldt条件（简 称H-F条件，指齐性与 球对称条件）。
心理学考研-心理统计资料-方差分析
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第十章方差分析【本章综述】两个平均数之间的差异检验用Z/t检验，那么两个以上的平均数之间差异检验该用何种检验？方差分析主要处理两个两个或以上的平均数之间的差异检验问题。
本章主要介绍方差分析的基本原理，以及完全随机设计和随机区组设计这两种最基本的实验设计数据的方差分析以及事后检验。
【考点分布】方差分析【本章框架】【复习建议】方差分析这一章处处是重点，而且有一定的难度。
同学们在复习时旨在把握方差分析的原理以及在不同的实验设计中的变异来源，抓住这一精髓灵活地应对不同类型的题。
第一节 方差分析的原理与基本过程(一)方差分析的基本原理1. 方差分析依据的基本原理就是方差的可加性或者说可分解性原则，具体说就是将实验中的总变异分解为几个不同来源的变异。
一般来说，总变异包括组间变异(组间平方和)和组内变异(组内平方和)两部(平方和指观测数据与平均数离差的平方总和)。
2. 其公式如下： ① SS T = SS B + SS W ；∑∑===k j n1i )X (X SS 2ijT 1-t ；∑=∙=kj )X X (n SS 2jB 1-t ；∑∑===k j n1i )X (X SS 2ijW 1-j ；这些公式中，X 的下标j 表示第几组，i 表示某一组中第几个被试，求和符号的起止标记意思与这个相同。
k 表示实验处理数；n 表示每种实验处理下的被试数。
SS T 表示总平方和，所有观测值与总平均数的离差的平方总和，也即实验中产生的总变异；SS B 为组间平方和，几个组的平均数与总平均数的离差的平方总和，表示由于接受不同的实验处理而造成的各组之间的差异以及无法控制的随机实验误差(通常忽略不计)；SS W 为组内平方和，各被试的数值与组平均数之间的离差的平方总和，表示由实验误差(个体差异)造成的变异。
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4.13因素分析
自变量的个数 （1）单元格的个数：单元格的个数由每个自变量的处理水平
数决定。 （2）交互作用：交互作用是两个或更多自变量的联合效应是
指一个变量在不同组间的差异取决于其他变量的取值。
4.14协方差分析
协方差分析的目的 协方差分析的目的是为了消除两方面的影响：
(1)协变量只对部分被试有影响； (2)协变量对不同被试的影响不同。 与区组变量类似，协变量可以实现如下两个目的： (1)消除一些研究者无法控制且又会影响结果的系统误差; (2)用来解释不同特征的被试在作答反应上的差异。
（1）当存在时间顺序效应时 （2）当在相同的条件下收集信息的时候，被试的作答可能
会有一定的相关
4.2.2 方差-协方差矩阵齐性
MANOVA 的第二个基本假设就是各组的方差-协方差矩阵 相等。在 MANOVA 中可以用 Box’s M 检验来检验协方差 矩阵的齐性，并能够提供检验结果的显著性水平。
多元方差分析中，因变量必须为连续型变量，自变量 为分类变量。为了保证多元方差分析的有效性，必须 满足三个基本假设：
（1）不同观测之间必须相互独立。 （2）各组的方差-协方差矩阵必须相等。 （3）因变量服从多元正态分布（因变量的任意线性组合
都服从正态分布
4.2.1 独立性
多元方差分析中最基本最重要的假设就是独立性假设， 即使是稍微违背这一假设，也会对检验的第一类错误和 统计检验力带来较大的影响。而且任何无关的非测量的 因素都可能通过在组间产生依赖性而影响结果，其中两 种最普遍的破坏独立性的情况是：
与多元回归分析相比，多元回归的“元”指的是自变量的数目， 而多元方差分析的“元”指的是因变量的数目
1.1多元方差分析的优势
可控制犯一类错误的概率 可对多个因变量的线性组合进行差异检验
2.多元方差分析主要回答的问题
多个单变量问题：是指在研究中有多个因变量，每个因变量是被独立 分析的MANOVA 是用来检验多变量在不同组之间的整体差异的，而 独立的单变量检验则是用来分析单个因变量的组间差异的。
多元方差分析
Multivariate Analysis of Variance
核心要点
了解多元方差分析的零假设与一元方差分析的零假设的差异 知道多元方差分析与一元方差分析的主要类型及其差异 了解多元方差分析的假设 知道多元方差分析的显著性检验标准 描述多元方差分析与一元方差分析的事后检验方法 多元方差分析中交互作用的解释 多元协方差分析的目的
4.3.1 广义线性模型（GLM）的估计
GLM是一个模型家族，每个模型都包含三部分元素：
（1）变量（variate）：自变量的线性组合。每个自变量都有一个 估计权重用来表示对预测值的贡献程度
（2）随机部分（random component）：因变量的概率分布。典型 的分布有正态分布、泊松分布、二项分布和多项分布等。
4.1研究设计
（1）因变量的选择 （2）样本量 （3）因素设计 （4）协方差分析
4.11因变量的选择
MANOVA 可以处理多个因变量的问题，但在研究中所选 用的因变量个数也不宜过多，一般在 5 个及以下为好。 因变量的选择要有理可依，不能将一些没有意义的变量 选入进去。
所选用的因变量之间的相关不宜过高，否则就会出现多 重共线性的问题。
4.14协方差分析
协方差分析的假设 (1)协变量与因变量相关 (2)在不同组上，协变量对因变量有相等的效应，即协变量
与自变量之间没有交互作用。以上两个假设只要有一个 不满足，就不适合使用协方差分析。
4.14协方差分析
协变量的选择 一个有效的协变量应与因变量有较高相关而与自变量不
相关。为什么呢？ （1）如果协变量与因变量相关，那么协变量就可以用来解 释一部分的因变量的变异，这样会使得残差变小，进而统计 检验更加显著。而与自变量无关，则因变量中被协变量解释 的那部分变异不会被自变量解释，这样对自变量的检验就更 加敏感而有力了。
结构上的多变量问题：是指研究中的两个或多个因变量之间有某种特 殊的关系。MANOVA 提供了一种结构化的方法，可以在保证统计效 力的情况下对一系列因变量进行组间差异的检验。
本质上的多变量问题：是指研究最关心的问题就是这些因变量在整体 上有没有组间差异，而对于单个因变量本身的差异检验就显得不那么 重要。MANOVA 最重要的功能就是分析这类问题，不仅是因变量整 体上的组间差异，还包括多个因变量线性组合的组间差异。
4.3.3 多元分析的统计检验力
统计检验力的影响
显著性水平（α）
（1）提高α水平（如α从 0.05变为 0.01，即变得更保守）会减小犯第一 类错误的概率，但此时需要更多来自研究结果的证据来证明差异 的存在，因此会造成检验力的降低。
（2）降低α水平（如α从 0.05 变为 0.10）意味着研究者认为更小的 组间差异是显著的，因此被认为是“更不统计的”。然而，在 效应量或样本量较小时，我们应该考虑降低α水平以提高检验力。
解释协变量 在 ANOVA 和 MANOVA 中解释协变量类似于对回归方程 进行解释的过程。如果整体效应是显著的，之后就可以 检验协变量对因变量的作用大小了。
4.4.2 评价因变量的效应——主效应和交互作用
主效应
主效应是指自变量对因变量的作用。如果在不同组间因变量存在显 著差异，那么就称主效应显著。
4.3.3 多元分析的统计检验力
在设计和分析中应用检验力
在设计分析和评价结果时都要用到统计检验力的估计。在设 计阶段，研究者要通过估计效应值来确定所需样本量。一般 情况下，效应值可以根据前人研究或合理的判断来估计，又 或者直接设定为实际显著性最小的水平。无论如何样本量都 要达到在给定水平的检验力和 α水平下的要求
4.14协方差分析
特殊的方差分析——重复测量设计
我们有时会对同一个被试被多次测量，例如，在一段时 间内让学生做几次测验，我们希望通过分析找出这几次 测验学生的分数变化趋势。如果没有特殊的处理，这种 设计就违背了一个重要假设——独立性。这时，就需要 运用重复测量方差分析
4.2 多元方差分析的假设
4.3.3 多元分析的统计检验力
效应值 (Effect Size)
效应值是对组间差异的标准化测量，可以通过计算组间差 异比标准差得到。
样本量 (Sample Size)
如果组样本量少于 30，那么很难得到理想的检验力。如 果效应值很小，可以通过增大 α 水平（如，从.05到.10） 以便得到理想的检验力。
4.12样本量
遵循的基本原则是： （1）每个单元格内的人数最少应大于因变量的个数。 （2）作为一个实践指导，每个单元格里至少有 20 个人。 （3）为了维持应有的检验力，当因变量个数增多时，所需 要的样本量会随之增大。
4.13因素分析
自变量的类型：
在方差分析中，自变量是分类变量，分成几类即有几个处理 水平，每个水平代表影响因变量的一种条件。在实验设计时， 由研究者根据研究目的来确定自变量及其处理水平。
4.2.3 正态性
MANOVA 的第三个基本假设是因变量的正态性假设。严 格意义上讲，这个假设是指所有变量的组合服从多元正 态，如果一组变量联合起来服从多元正态分布，那么其 中每一个变量一定都服从一元正态分布，所有的变量子 集也服从多元正态分布，所有可能的线性组合也服从单 元正态分布。
4.2.4 其他基本假设
结果的解释一般包括三个步骤： （1）如果有协变量，则要首先解释协变量的效应 （2）评价不同因变量在不同处理上表现出的差异大小 （3）评价组间差异是在单个因变量上还是在整体因变量 组合上
4.4.1 评价协变量
评价整体效应 协变量最重要的作用就是统计检验中的整体效应问题。 而最直接的评价整体效应的方法就是分别对含有协变量 和不含协变量的模型进行分析，然后再比较。
4.14协方差分析
（2）如果协变量与自变量有相关，那么协变量将会解释一 部分可以被自变量解释的变异，进而降低自变量的作用。因 为在分析中首先是协变量抽取可解释的那部分变异，这样这 部分变异就不能再被自变量抽取了
4.14协方差分析
协变量的个数
虽然在研究中加入协变量可以控制一些变异，但如果加 了过多的协变量，也会减少统计效率的。最大协变量个 数可遵循下面这个法则： 最大协变量的个数=（0.10*样本量）-（组数-1）
（3）连接函数（link function）：根据不同的模型公式为变量和 随机部分提供理论连接。三种最常用的连接函数是恒等
（identity）、logit 和 log。
4.3.2 显著性检验的标准
在进行多元方差分析时，常采用 Roy’s 最大特征（gcr）、 Wilks’ lambda（又称为 U statistic）、Pillai’s criterion 和 Hotelling’s T2 这 4 种统计检验来评价各自变量组之间在 多个因变量的线性组合上是否存在显著差异
3 .多元方差分析主要类型
在单个因变量的差异检验中，零假设是单一因变量的均值在不同自变 量组间相等，此时检验组间差异的方法是 t 检验（两个水平）和 ANOVA（两水平及以上）。而在多个因变量的差异检验中，零假设 则为多因变量组合的均值向量在不同自变量组间相等，检验组间差异 的方法有 Hotelling’s T2（两个水平）和 MANOVA（两水平及以 上）。总结如下：
3.1 自变量有两个水平：Hotelling’s T2
如果研究者想比较自变量的两个水平在多个因变量上的差异是 否显著，则需要用到 Hotelling’s T2 检验。Hotelling’s T2 检验 是 t 检验的扩展（多个因变量），是 MANOVA 的特例（自变 量两个水平）。
3.2 自变量有多个水平：多元方差分析
在 MANOVA 中，除了以上的基本假设，还应该关注因变 量之间的关系是否为线性关系、因变量之间是否存在共线 性，以及数据中是否有极端数据。