高考专题突破四 高考中的立体几何问题

高考专题突破四高考中的立体几何问题

【考点自测】

1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为()

A．相交B．平行

C．垂直相交D．不确定

答案 B

解析如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，

则EF∥A1B1，DF∥B1B，

且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，

∴平面EFD∥平面A1B1BA，

∴DE∥平面A1B1BA.

2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．

其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()

A．③④B．①③C．②③D．①②

答案 C

解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．

3．(优质试题届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为()

A．2＋π

3 B.1

2＋π

C．2＋π

6 D.

2

3＋π

答案 D

解析结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的

三棱锥组成的组合体，其体积为V＝1

3×

1

2×2×1×2＋

1

2×π×1

2×2＝

2

3＋π，

故选D.

4．(优质试题·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是()

A．①②④B．①②③

C．②③④D．①③④

答案 B

解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角

形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B. 5．(优质试题·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)

答案①或③

解析由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

题型一求空间几何体的表面积与体积

例1(优质试题届衡水联考)如图，在三棱柱

ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC

＝CC1＝2，点D为AB的中点．

(1)证明：AC1∥平面B1CD；

(2)求三棱锥A1—CDB1的体积．

(1)证明连接BC1交B1C于点O，连接OD.

在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，

∴点O是BC1的中点．

∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1.

又OD ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD .

(2)解 ∵AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴CD ⊥AB . 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，

由AA 1⊥平面ABC ，得平面ABB 1A 1⊥平面ABC . 又平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1， ∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝A 1B 1＝22，CD ＝2，

1111——A CDB C A DB V V 三棱锥三棱锥＝ ＝13×12×2×22×2＝43.

思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪训练1 (优质试题·乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：

(1)这个正三棱锥的表面积；

(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．

解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×3

2×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为

12＋(2)2＝3，

∴S 侧＝3×1

2×26×3＝92， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×3

2×(26)2 ＝92＋6 3.

(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥O －P AB ＋V 三棱锥O －PBC ＋V 三棱锥O －P AC ＋V

三棱锥O －ABC

＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .

又V P －ABC ＝13×12×3

2×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，

得r ＝2332＋23

＝23(32－23)

18－12

＝6－2.

∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝8

3(96－22)π.

题型二 空间点、线、面的位置关系