圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系_2
27.2(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
变式2：
若点F为⊙O上一点，过F作⊙O的弦FA、FD 如图（2） 若∠AFO＝∠DFO,求证：AF＝DF（学生探 A 索发现）
O F
D 图（2）
变式3：
如图（3）若点F为⊙O外一点，过F作两条 射线分别交⊙O于点A、B、C、D，若 ∠AFO＝∠DFO，求证：AB＝CD（学生探 索发现）
巩固反馈
1、例题精讲 例1 如图（3），在⊙O中，弦 AB、CD相交于E， OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距 AC=BD （1）如果OM＝ON，求证： （2）如果 AC=BD ， 求证：EO平分∠AED
C E M A O N D B
图（3）
巩固反馈
例2 如图，在⊙O中， 相交于点E 求证(1)∆ABD ≌ ∆CDB ∠AEC ，AD、BC
B O C
A E
D
图（5）
课堂小结
1．会叙述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系 2．你觉得定理和推论在运用过程中需注意些 什么？
27.2(3)圆心角、弧、弦、弦心 距之间的关系
(一) 温故知新
回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两 个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦， 两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量 相等，那么它们所对应的其余三组量也分 别相等.
27.2(2)圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
上海市干巷学校
A
E B
探究
O
问题：如图（1），在⊙O中，AB、CD是两 D F 条弦，OE、OF分别是AB、CD的弦心距 C 图（1 ） （1）如果∠AOB＝∠COD，可得到哪些结 论？ 定理推论：在同圆或等 （2）如果 AB=CD ，能否得到 圆中如果两个圆心角， ∠AOB＝∠COD？ 两条劣弧（或优弧）， （3）如果AB＝CD，能否得到 两条弦，两条弦的弦心 ∠AOB＝∠COD？ 距得到的四组量中有一 （4）如果OE＝OF，能否得到 组量相等，那么它们所 对应的其余三组量也分 ∠AOB＝∠COD？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）弦与弧在上一篇文章中，我们介绍了圆心角、弧和弦之间的关系。
本篇文章将继续探讨弦与弧之间的关系，以及弦心距与弦的关系。
弦的定义和性质首先，我们来回顾一下弦的定义。
在圆上任取两点，并用直线连接这两点，这条直线就是圆上的一条弦。
弦的长度可以通过两点之间的距离来计算。
根据弦的定义，我们可以得到一些性质。
1.在同一个圆中，相等弦对应的弧相等。
2.在同一个圆中，相等弧对应的弦相等。
根据这些性质，我们可以得出结论：在同一个圆中，等长的弦对应着等长的弧，而等长的弧对应着等长的弦。
弦和弧的关系既然弦和弧对应，那么它们之间有何关系呢？我们可以通过角度来说明它们之间的关系。
对于一个圆，以圆心为顶点的角叫做圆心角。
当我们在圆上划过一个圆心角时，这个角所对应的弧就是圆心角对应的弧。
在上一篇文章中我们已经讨论过，圆心角的大小等于其所对应的弧度数。
这意味着，当我们知道一个圆心角的度数时，也就知道了对应的弧度数。
同样地，我们也可以知道，等长的圆心角对应着等长的弧。
这是因为圆心角的度数决定了弧的长度，所以度数相同的圆心角对应的弧也是相等的。
弦心距与弦的关系弦心距是指从圆的圆心到弦的距离。
在上一篇文章中，我们已经了解到，弦中垂线的长度等于弦心距。
在本篇文章中，我们将进一步讨论弦心距与弦之间的关系。
在同一个圆中，相等弦对应的圆心距相等。
这是因为弦中垂线的长度等于弦心距，并且等长的弦对应的弦中垂线也是等长的。
我们可以通过一个实际的例子来进一步理解这个关系。
假设在一个圆上，有两条等长的弦AB和CD，并且它们都通过同一个圆心O。
那么根据上述性质，我们可以得知弦AB的中垂线的长度等于弦CD的中垂线的长度。
由于这两条垂线的长度相等，所以它们对应的弦心距也相等。
综上所述，在同一个圆中，等长的弦对应着相等的弦心距，而相等的弦心距对应着等长的弦。
结论根据我们在本篇文章中的讨论，我们可以得到以下结论：•在同一个圆中，等长的弦对应着等长的弧，而等长的弧对应着等长的弦。
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(课件)九年级数学下册(沪教版)
证明：连接OA，OB，OC，如图.
A
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
【变式题】如图，在☉O 中，AB= AC，∠ACB = 60°， A
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ AB = AC ，
C．3个
D．4个
5．如图，已知⊙O 的半径为 5，弦 AB、CD 所对的圆心角分别是∠AOB、
∠COD，若∠AOB 与∠COD 互补，弦 CD＝6，则弦 AB 的长为( B )
A．6
B．8
C．5 2
D．5 3
6．如图，AB、CE 是⊙O 的直径，∠COD＝60°，且
＝
，那么∠AOE
的度数是 60° ，与∠AOC 相等的角有 ∠BOD、∠BOE、∠DOE
⌒ ⌒
AB=CD
∠ = ∠
（2）如果 AB=CD，那么 ____________，_____________．
=
AB=CD ．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________，
_____________
E
A
B
O·
D
F
C
(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
⌒
所对的弧为AB.
O·
B
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
O·
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学中有关圆的定理有很多，以下是其中一部分：
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧。
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同
圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等。
3.过三点的圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
三角形的
外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
以上信息仅供参考，建议查阅九年级上册数学教材或相关辅导资料，获取更全面和准确的信息。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 讲义
九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（2）AE= BF B
1.如图，已知AD＝BC，
︵
︵
A
C
D O
B
试说明AB=CD
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
B A D
F
C O
G
E
4、已知：如图， ⊙O的两条半径 OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。 求证：CD＝AE＝BF。
24.2 圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
想一想
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离(如线段OD).
A D B
O
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
你会做吗?
三, 如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解: ∵ AC=BD
B
AOE 180 3 35
75
︵ ︵ 1. 如图，在⊙ O 中， AB＝AC，∠B＝70°. 求 ∠C度数. ︵ ︵ ︵ 2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
第 1题
第 2题
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
第27章圆与正多边形第一节圆的基本性质§27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标(1)理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念，知道圆是一个旋转对称图形，理解圆的旋转不变性.(2)经历利用圆的旋转不变性探索同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这一定理及其推论解决有关数学问题.教学重点引进圆心角、弧、弦、弦心距等概念，导出同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，并能进行简单的运用，解决有关数学问题.知识点梳理1.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径.以圆心为顶点的角叫做圆心角.(没有特别说明时，本章中的圆心角通常是指大于00且小于0180的角)2.圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3.圆心到弦的距离叫做弦心距.4.在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度(大于00且小于0360)，都能与原来图形重合.所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于00且小于0360的任何一个角.5.能够重合的两条弧称为等弧.半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相等的两个圆称为等圆.(等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形)6.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.7.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧或优弧、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.8.圆被等分成360份，得到的每一份弧叫做01的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.经典题型解析(一)圆的基本概念例1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征( )A.同弧所对的圆心角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形随堂练习：下列说法中，正确的是( )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2.下列说法中，错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随堂练习：下列语句中，正确的有( )A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴例3.如图，在O中，如果AB CD、是直径，那么图中相等的弧有哪些?为什么?随堂练习：如图，已知在O中，AB CD、.⊥，垂足分别是点E F、分别是弦，OE AB⊥，OF CD请添加一个条件，使得OE OF=.(二)定理与推论例4.已知：如图，O的弦AB与CD相交于点P，OM AB、，⊥，ON DC⊥，垂足分别是点M N 且AD BC=.求证：OM ON=.随堂练习：如图，AB CECD AB.、是O的直径，CD是圆O的弦，//求证：EB AC BD==.例5.已知：如图，AB CD、.、是O的直径，弦//AE CD，联结CE BC求证：BC CE=.随堂练习：已知：如图，AD BC=分别表示弦AB和CD的弦心、是O的弦，AD BC=，OM ON距.求证：OM ON=.例6.已知：如图，AB CD=.、是O的弦，且AB CD求证：ACB DBC∆≅∆.随堂练习：已知：如图，AB是O的直径，AC和AD是分别位于AB两侧的两条相等的弦.求证：AB平分CAD∠.例7.如图，O是ABC∆的形状，并说明∠=∠，探索ABC∠，AOB BOC∆的外接圆，AO平分BAC理由. 等边三角形例8.已知：如图，AB是O的直径，M N⊥.⊥，DN AB、的中点，CM AB、分别是AO BO求证：AC BD=.例9.已知：如图，在O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，AB OC、相交于P.求证：四边形OACB为菱形.例10.已知：如图，AD的度数是090，B C、将AD三等分，弦AD与半径OB OC、.、相交于E F 求证：AE BC FD==.巩固提升一、填空题1.下列说法正确的是_________(填序号)①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦.2.圆是中心对称图形，它的对称中心有_________个.3.如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，025OEF ∠=，则EOF ∠=__________.(第3题) (第4题) (第5题)4.如图，在ABC ∆中，070A ∠=，圆O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，则BOC ∠=_________.5.如图，半圆O 中，直径2AB =，作弦//DC AB ，设AD x =，四边形ABCD 的周长为y ，则y 与x 的函数关系式为_________，自变量x 的取值范围是_________.6.已知等边ABC ∆的三个顶点在半径为r 的圆上，则ABC ∆的周长为_________.7.已知点(1,0)(4,0)A B 、，P 是经过A B 、两点的一个动圆，当P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，则圆心P 的坐标是_________.二、选择题8.下列命题中正确的是( )A .三点确定一个圆B .在同圆中，同弧所对的圆周角相等C .平分弦的直线垂直于弦D .相等的圆心角所对的弧相等9.下列命题，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。
（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。
注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。
7. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。
（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。
（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：∴AB＝CD弦AB、DC若PO平分∠APC弦AB、CD交于P点（PO平分∠APC=⎩OP OP ∴≅∆∆P O M P O N AAS ()∴=PM PN AM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
第一课时（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在
同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD. 解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果=，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．（目的：巩固基础知识）2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）
（五）小结：学生自己归纳，老师指导．知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．（六）作业：教材P99中1（1）、2、3．
第二课时（二）教学目标：（1）理解1°弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．难点：理解1°弧的概念．教学活动设计：（一）阅读理解学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．理解：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．（二）概念巩固1、判断题：（1）等弧的度数相等（）；（2）圆心角相等所对应的弧相等（）；（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对
应的圆心角相等（）2、解得题：（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么? （2）5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角? （3）n°的圆心角对着多少度的弧? n°的弧对着多少度的圆心角? （三）疑难解得对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．（四）应用、归纳、反思例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．学生自主分析，写出解题过程，交流指导．解：（参看教材P89）注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，=40°，求∠BOD的度数．题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．（解答参考教材
P90）题目拓展：1、已知：如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：＝．2、已知：如上图，已知AB和CD 是⊙O的两条直径，弦＝，求证：CE∥AB．
目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．（五）小节（略）（六）作业：教材P100中4、5题．探究活动我们已经研究过：已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD ；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线. 解（略）①AB=CD；②=．（等等）。