圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

A C E O B
C
3、如图，⊙O中弦AB， CD相交于P，且AB=CD.
求证：PB=PD
P
O
A D
B
思考题：
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD， 那么OM和ON有什么关系？为什么？ 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；
AOB COD AB=CD ，_____________ ． AB = CD ，那么____________ AB=CD AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ．
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
┌ O
M
A
顶点在圆心的角称为圆心角，把以点Ａ和点 B的端点的弧AB称为圆心角∠ＡＯＢ所对的 弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距 离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．
(
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
O
①
O ②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在等圆中
B O A
两位同学先作一个度数相同的圆心角！
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
︵
AB A ' B '.
B′
┏ A′ D′
④ OD=O′D′
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
B
二.如图，⊙O中，AB=CD,
50 o . 1 50，则 2 ____

1 C
A
2 O D
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． AOB COD AB = CD （1）如果AB=CD，那么___________ ，_________________ ．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在自己的圆内作两条长度相同的弦，量 一量它们所对的圆心角
D B C
O A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
两位同学作一条长度相同的弦，看一 看它们所对的圆心角是否相同
B O A
O' B' A'
(2) 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD A E O B D
∵ AB﹦CD ∵ OA﹦OC
∴ AE﹦CF ∴ Rt△AOE≌Rt △COF C
·
F
∴ OE﹦OF
1°弧的概念：
顶点在圆心的圆心角等分成 360 份时，每 一份的圆心角是 1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
24.1.2圆的对称性
圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
同圆
O
重合的两个圆
等圆
半径相等的两个圆
O
同圆或等圆的半径相等
O'
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D
弦 弧
B
C
A
等弧
在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧
B
如图：以圆心O为顶点作一个 角，这个角的两边与圆O相交， 如果设这个角是∠ＡＯＢ，那 么OA、OB分别与⊙O相交于点 Ａ与点Ｂ
C 1度弧 D
结论： 圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O
1度圆心角 A n度圆心角
n度弧 B
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC＝∠BOC＝∠AOC.
5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为 4
3 cm，
这条 弦所对的圆心角是 120 度，圆的半径 是 8 3cm。
C
6、如图，弦AB所对的劣弧
1 为圆的 ,则∠AOB= 120º . 3
O
∠ACB= 60 °
B A
你会做吗?
三, 如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解: ∵ AC=BD
︵
︵
AB A ' B '.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A D B O B' D' A'
O B A O' B' A'
前提条件
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦心距相等
三、巩固应用、变式练习 1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图：因为∠AOB=∠A’OB’， ︵ ︵ 所以AB=A`B`. （不对） （2）在⊙O和⊙O’中，如果 ︵ ︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
例1：如图，点O是∠EPF平分线上的一点，
以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D 求证：AB=CD
B
证明：作OM⊥AB， ON⊥CD，M、N为垂足， ∵ ∠MPO=∠NPO
∴ OM⊥AB ON⊥CD
M
A P C N D · O
∴ OM＝ON
∴AB＝CD
变式1：
M
B
A N
· O
D
C
B
变式2：
已知：如图， ⊙O的弦AB，CD相交 于点P，APO=∠CPO
C
M E P N A
O •
F
求证：AB=CD
D
变式3：
如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.
求证：∠AMN＝∠CNM
A
C
M • O
N
B
D
例2、在⊙O中，弦AB所对的
劣弧为圆的1/3，圆的半径为2 O
厘米，求AB的长
A
D
C
B
AOE 180 3 35
75

小结: 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
B' O A' A B
（不对）
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。
思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：
条件： 在等圆或同圆中 圆心角相等
结论：
演示
圆心角所对弧相等 圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等
猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？
⌒ AmB
1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对 的圆心角为 240 °. ⌒、 ⌒ ⌒ 、BC 2、A、B、C为⊙O上三点，若 AB CD 的度数之比为1：2：3， 则∠AOB= 60 °， ∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °. 3、在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长 是圆周长的 1/6 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆 心角是 60 度。
2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角 也较大。
二、弦、弦心距之间的不等量关系
A
M O N D
已知⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB， ON⊥CD，垂足分别为M，N， 求证：OM<ON
C
B
重要结论： 若AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那 么OM<ON。
三、基础练习：
（已知）
图 23.1.5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧所对的 圆心角相等）
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A ∵
= DE
BC = CD
= DE
· O
BOC=COD=DOE=35
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
相等 ，所对的弧_________ 相等 ． ______
推 论
D
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中, 有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
A
●
B
O
如由条件: ③AB=A′B′ ①∠AOB=∠A′O′B′ 可推出 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′
A D B O B' D' A'
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等，所对的弦心距相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
B' O' A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用尺量一量！ 这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用什么方法验证的?