圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习

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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

【注意：同圆或等中】一、知识梳理圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在中，相等的f对的相等,所对的相等，所对的弦的相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组屋都分别相等.eg:在同圆或等圆中，弓玄AB=A f B f,弦心距OD、077,则有:'①(ZA0B=ZA,B,C f)③(4B=48)斗②(佔=AF)®(0D=0,D,)二、讲练结合【圆中相关弦的求解】例1、如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A.B和C.D,求证：AB=CD.例2、如图，EF为OO的直径，过EF上一点P作弦AB・CD,且ZAPF=ZCPF.求证：PA=PC・VWA例3、如图，OO的弦CE・ED的延长线交于点A,且EC=DE・求证：AC=AE・【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等，则弦相等2.P为0O内一点，已知OP=lcm,0O的半径r=2cm,则过P点弦中，最短的弦长为（）A・1cmE・JJcmC・cmD・4cm3.在0O中，AE与CD为两平行弦，AE>CD,AB、CD所对圆心角分别为120。

,60。

，若（DO的半径为6,则AB、CD两弦相距（）A・3】B・6C・A/3+1D・3、/J±34.已知：ZAOB=90°,C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F・求证：AE=BF=CD・【圆中相关圆心角的求解】例4、如图所示，在AABC中，ZA=72%OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长，求ZEOC.1.1,MBC 内接于OO,ZC=45\AB =4则OO 的半径为（A.2>/2 E.4 C.2^3 D ・5 三. 课堂练例5、如图，在0O 中，弓玄AB=CB>ZABC=120°,OD 丄AB 于D,OE 丄EC 于E ・求证：△ODE 是等边三角形.【巩固练习】1. 如图，在0O 中「AB 的度数是50。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..

圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________．证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．分析： (1)∠ACO=∠______，而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。

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CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例：如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题

27.2圆心角,弧,弦,弦心距之间关系3

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(3)［学习目标］掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这些定理及其推论解决有关数学问题.一、课前预习1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的______________________ 相等，所对的______________ 相等，所对的 ________________ 相等.2、在同圆或等圆中，如果两个_____________________ 、两条____________________ 、两条__________________ 、两条____________________ ，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等.、课堂学习例题1 已知：如图，点F在O O的半径OE上，AB和CD是过点F的弦，且/ AFO= / DF0.求证：(1) AB=CD;〔2) AC = BD.3、如图，AB CD是O O的两条弦，OPL AB于P, OQL CD于Q.(1) 如果AB=CD 例题2 已知：如图，O0是厶ABC的外接圆，AE平分△ ABC的外角/ DAC, OM _ AB,ON_ AC,垂足分别是点M,N且OM=ON.求证:(1) AE// BC; ( 2 ) AO_AE.(2)如果AB=CD ,那么，，V"(3)如果/ AOB2 CODB那么那么(4) 如果OP=OQ那么4、如图，在O O中，点C是AB的中点，/ A=40°,求/ BOC的度数.课堂小结1、如图，点B 是O 0外的一点，以B 为顶点的角的两边分别交O 0于点A D 和点C E , B0平分/ ABC. 求证：AD=CE.2、如图，在O 0中，弦AB 与弦CD 相交于点P, AC = BD . 求证：P0平分/ CPB.3、如图，AD 是O 0的直径，AB AC 是O 0的弦，BD = DC , OE OF 分别表示AB AC 的弦心距• 求证：(1)AB=AC (2) OE=OF.4、如图，L O 与L 。

圆心角＼弧＼弦＼弦心距之间的关系

例如图，已知：在⊙O 中，=2，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，并说明理由.分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中.解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下：如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC ’∵=2，∴，=+=.∴AB=CC ’. ∠AOB=∠CO C ’=∠COD+∠DOC ’=2∠COD又∵在△CD C ’中，CD+DC ’> CC ’，∴CC ’ <2CD ，即AB<2CD.说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD 是正确的，但由=2得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.例如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：=.分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴=.证法二：连结OC 、OD ，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ，∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴=.证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=21BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ，又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴CE=DF ，∴=∵=21，=21，∴=.说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.例如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若的度数为40°，CDC'OABCDMNO OABMNCDEF求的度数．分折：要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．解：连OE 、OD 并延长DO 交⊙O 于F ． ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．∵CD ＝CO ， ∴∠ODE ＝∠AOD ＝40°． ∵OD ＝OE ， ∴∠E ＝ ∠ODE ＝40°．∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD ＝40°，则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．例如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.分析：连结OC ，通过求圆心角的度数求解. 解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴的度数为20°.说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识.典型例题五例（北京市朝阳区试题，2002）已知：如图，ABC ∆内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，点E 、F 分别在AB 、AC 的延长线上，EF 交⊙O 于点M 、N ，交AD 于点H ，H 是OD 的中点，，2=-HF EH ，设α=∠ACB ，43tan =α，EH 和HF 是方程()0422=++-k x k x 的两个实数根.ACO D EFOCD（1）求EH 和HF 的长；（2）求BC 的长. 解：（1）依题意，有一元二次方程根与系数关系，得()[]04412>⨯-+-=k k ∆，① 2+=+k HF EH ， ② 04>=⋅k HF EH ， ③ 又2=-HF EH . ④ 由②、③、④得 12=k . 当12=k 时，①成立.把12=k 代入原方程解得 81=x ,62=x ∴8=EH ，6=HF . （2）解法一：连结BD ，∴α∠=∠1.∵AD 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ABD .∵， ∴EF AD ⊥. 即︒=∠=∠90AHF AHE . ∴α∠=∠=∠1E .在AEH Rt ∆中，43tan tan ===αEH AH E ，又8=EH . ∴6=AH . 由勾股定理得10=AE . 在AHF Rt ∆中，6==HF AH ，由勾股定理得26=AF .在ABD Rt ∆中，43tan 1tan ===∠αBD AB . 设m AB 3=，则m BD 4=，由勾股定理得m AD 5=.∵H 是OD 的中点，∴AD AH 43=.∴863434=⨯==AH AD .∴85=m . 解得58=m .∴5243==m AB . …………………………11分∴α∠=∠E ，FAE BAC ∠=∠， ∴ABC ∆∽AFE ∆. ∴AFABEF BC =. ∴()()25282668524=+⨯=+=AF HF EH AB BC . …………………………14分解法二：同解法一求出10=AE ，8=AD . 连结CD .∵HF AH =，且HF AH ⊥， ∴︒=∠=∠45F HAF ∵AD 为⊙O 直径，∴︒=∠90ACD ，︒=∠45ADC .∴2445sin sin =︒⋅=∠⋅=AD ADC AD AC . ……………………11分以下同解法一可求得2528101424=⨯=⋅=AE EF AC BC . 说明：这是一道综合性较强的题目，主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。

2422弦弧圆心角弦心距之间的关系

C
A
E
O
B
D
? 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，
? OE 、OF 为AB 、CD 的弦心距，
?如果AB ＝CD ，那么
，
，
；
?如果OE ＝OF ，那么
，
，
；
?如果弧AB ＝弧CD ，那么
，
，
；
?如果∠AOB ＝∠COD ，那么
，
，
。
A
注意前提：
在同圆或等圆中
E
O
B
? 下列说法正确吗？为什么？
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧和它所对的弧的度数相等。
判断题：在两个圆中，分别有弧 AB和弧CD，若弧 AB和弧CD的度数相等，则有：
（1）弧AB和弧CD相等；
（）
（2）弧AB所对的圆心角和弧 CD所对的圆心角相等。（）
注意：等弧的度数一定相等，但度数相等的弧不一定是等弧！
1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为
圆的 1 ，圆的半径为4cm，求AB的长 3
O
A
C
B
2、已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦 EC//AB,弧EC的度数为40°，求∠BOD的度数。
E
A
C
O
D B
3、已知：如图， PB＝PD.
求证： AB=CD 。 C
A
P
O
B
D
4、已知：如图， ⊙O 的两条半径 OA ⊥OB ，C、D是弧AB 的三等分点。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量都分别相等。
已知：如图，点P在⊙O 上,点O 在∠EPF 的平分线上，∠ EPF 的两边交⊙O 于点A 和B。求证：PA=PB.

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圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习
1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心
距相等。

若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒= A'B'
⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇
2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中；
②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数
相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂
AOB AB”之类的错误。

因为角与弧是两个不能比较变量的概念。

相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧；
④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

3、应用
（1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；
（2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。

例：如图，为⊙的弦，，、交于、。

CD O AC BD OA OB CD F E ⋂=⋂
求证：OE ＝OF
∴≅∆∆OFN OEN ∴=OF OE
练习
一、选择题
1、下列说法中正确的是（）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、相等的弧所对的圆心角相等
C 、相等的弦所对的弦心距相等
D 、弦心距相等，则弦相等 2、半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（）
A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm
3、在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（）
A. AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂2
D. AB CD ⋂=⋂2
4. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16
5. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（） A. OM ON > B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定
6、如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，AB C
则⊙O 的半径为（）. A ．22B ．4
C ．32
D ．5
7、如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，
40=∠A ，则BOC ∠等于（）.
A ． 40
B ． 50
C ． 70
D ．
80
8、如图3，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠=︒BAC 20，AD CD ⋂=⋂
，则∠DAC
如图4 如图5
如图6 的度数是（）
A. 70°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
D
A
O
B
C
二、填空题
1、如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ，
55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.
2、如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，则BAC ∠的度数是 .
3、如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm.
4、一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

5、一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

6、在半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4. 在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于E ，且∠AEC ＝30°，AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，那么弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。

7、已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。

8‘已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ⋂⋂⋂、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝_______，
∠BOC ＝________，∠COA ＝________。

9、已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ⋂
是⊙O 的1
4，则弦AB ＝_______，AB 的弦心距＝______。

三、解答题
1. 如图1：已知，OA 为⊙O 的半径，AC 是弦，OB ⊥OA 并交AC 延长线于B 点，OA ＝6，OB ＝8，求AC 的长。

2. 如图2，∆ABC 中，∠=︒A 70，⊙O 在∆ABC 的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC 的度数。

3、如图3，C 是⊙O 直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD ＝CO ，使AD ⋂
的度数40°，求BE ⋂
的度数。

如图3 如图2 1
O
A
C
B O
A
B
C
O
C A
B
D
E
四、证明题
1、已知：如图1，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。

求证：AE=BF=CD 。

O C
B
A
D N
M O
A C E
B
D
2、如图：已知，⊙O 中，AB BC CD ⋂=⋂=⋂
，OB 、OC 分别交AC 、DB 于M 、N 。

求证：∆OMN 是等腰三角形。

3、如图，⊙O 中弦AB ＝CD ，且AB 与CD 交于E 。

求证：DE ＝AE 。

1
1
2
2
3
3。